Flexão de Cascas Cilíndricas 3.1. Capítulo 10

Capítulo 10

Flexão de Cascas Cilíndricas

10.1 Equações Gerais de Cascas Cilíndricas Flectidas

10.1.1 Equações de Equilíbrio

Considere-se num ponto de uma casca cilindrica cujo estado de tensão é definido a partir dos esforços generalizados, representados na figura 10.1 e que são:

‰ Esforços de membrana N_x, N_s e N_xθ ‰ Esforços de flexão M_x, M_s eM_xs ‰ Esforços de corte T_x eT_s

Forças por unidade de comprimento Momentos por unidade de comprimento

Figura 10.1: Esforços generalizados.

Os sentidos indicados para os esforços na figura 10.1 correspondem aos sentidos positivos adoptados para os esforços generalizados.

O raio de curvatura da superfície média, superfície cilíndrica é designado por a e é considerado elevado quando comparado com a espessura t de casca.

O elemento ABCD de casca está limitado por duas secções rectas infinitamente próximas definidas por x e x + dx e por duas geratrizes infinitamente próximas definidas por s e s + ds.

O equilíbrio de forças traduz-se na equação vectorial

(

)

(

N i N j T k

)

p i p j p k 0 s k T j N i N x x xs x ∂ xs + s − s + 1 + 2 + 3 = ∂ + − + ∂ ∂ G G G G G G G G G 10.1

e a equação de equilíbrio de momentos traduz-se na equação vectorial:

(

)

(

M i M j

)

T i T j 0 s j M i M x xs x ∂ s − xs − s + x = ∂ + − ∂ ∂ G G G G G G 10.2

Tendo em conta que:

as equações vectoriais de equilíbrio são equivalentes às seis equações escalares seguintes: 0 p s N x N 1 xs x _{+ =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 p T a 1 s N x N 2 x s xs _{− + =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 p N a 1 s T x T 3 s x _{+ − =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 10.4 0 T s M x M x xs x _{− =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 T s M x M s s xs _{− =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 M a 1 xs =

Pode obter-se uma boa aproximação considerando insignificantes os termos a

/

T_s e M_xs/a, com efeito se a (raio de curvatura da superfície cilíndrica) é elevado e os esforços T e _s M são pequenos, nestas condições as equações 10.4 podem reduzir-_xs se a cinco equações de equilíbrio com a forma seguinte:

0 p s N x N 1 xs x _{+ =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 p s N x N 2 s xs _{+ =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 p a N s T x T 3 s s x _{+ − =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 10.5 0 T s M x M x xs x _{− =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 T s M x M s s xs _{− =} ∂ ∂ + ∂ ∂

0 p s N x N 1 xs x _{+ =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 p s N x N 2 s xs _{+ =} ∂ ∂ + ∂ ∂ 10.6 0 p a N s M s x M 2 x M 3 s 2s 2 xs 2 2x 2 = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂

Estas equações são insuficientes para calcular os esforços de flexão e de membrana.

10.1.2 Relações Deformações-Deslocamentos

Considere-se o elemento ABCD na vizinhança do ponto e sobre a superfície média da casca, como se representa na figura 10.2, sendo A

(

x, θ

)

, B

(

x + dx, s

)

,

(

x, s ds

)

C + e D

(

x + dx,s + ds

)

. Na configuração deformada os pontos ocupam a posição A', B', C' e D' como se representa na figura 10.2. Designando por u, v, e w os deslocamentos sofridos pelo ponto A é possível calcular os deslocamentos sofridos pelos pontos B e C, ou seja:

O deslocamento do ponto A é k w j v i u ' AA = G + G + G 10.7

O deslocamento do ponto B é: k dx x w w j dx x v v i dx x u u ' BB G G  G      ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + = 10.8 O deslocamento do ponto C é:

( )

( )

_ds s k w k w ds s j v j v i ds s u u ' CC ∂ ∂ + + ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + = G G G G 10.9

Tendo em conta que

a j s k e a k ds j dG G G ₌ G ∂ ∂ − = 10.10 obtém-se: k ds a v s w w j ds a w s v v i ds s u u ' CC G G _ G            ₋ ∂ ∂ + +             ₊ ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + = 10.11

Tendo em conta que AB=dx Gi e AC= ds Gj obtém-se: k dx x w j dx x v i dx x u 1 ' B ' A G G G ∂ ∂ + ∂ ∂ +       ∂ ∂ + = k ds a u s w j ds a w s v 1 i ds s u ' C ' A G G  G      ₋ ∂ ∂ +       ₊ ∂ ∂ + + ∂ ∂ = 10.12

As componentes da deformação ε_x, ε e _s ε do tensor da deformação na _xs ausência de mudanças de curvatura são:

x u x _∂ ∂ = ε a w s v + ∂ ∂ = θ ε e u v s u 2 _xs ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε 10.13

Os termos de flexão são contabilizados de modo análogo ao considerado no caso das placas.

10.1.3 Relações Deslocamento-Esforços Generalizados

Designado por e a espessura da casca, as relações entre os esforços e deformações, lei de Hooke escrevem-se com a forma:

x u x _∂ ∂ = ε

(

N_x N_s

)

e E 1 _−ν = a w s v s _∂ + ∂ = ε

(

N_s N_x

)

e E 1 _−ν = x v s u 2 _xs ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε

(

)

N_xs e E 1 2 + ν = 10.15 ou             ₊ ∂ ∂ + ∂ ∂ = a w s v x u k N_x ν     ∂ ∂ + + ∂ ∂ = x u a w s v k N_s ν       ∂ ∂ + ∂ ∂ − = x v s u 2 1 k N_xs ν 10.16

onde k representa a rigidez de membrana que é definida por:

2 1 e E k ν − = .

Fazendo uso das equações 10.15 podem calcular-se as deformações e uma vez conhecidas as deformações podem calcular-se os deslocamento por integração.

As relações entre os momentos e os deslocamentos são análogos às consideradas no caso das placas, as curvaturas são calculadas em função de deslocamento w, como já foi referido e as relações momentos - curvaturas, são:

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2₂ 2 ₂ s x w s w D M ν

(

)

s x w 1 D M 2 xs _{∂ ∂} ∂ − = ν 10.17

onde D representa o módulo de rigidez à flexão que é definido do seguinte modo:

(

2

)

3 1 12 e E D ν − = .

As equações 10.16 e 10.17 conjuntamente com as equações 10.6, num total de nove equações permitem o cálculo de

(

N_x,N_s e N_sx

)

,

(

M_x,M_s e M_sx

)

e

(

u, ve w

)

, sendo os esforços transversos calculados por uso das equações de equilíbrio eliminadas para efeitos de obtenção das equações 10.6, as quais podem ser escritas em termos dos deslocamentos, fazendo uso das equações 10.17 com a seguinte forma:

      ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 ₂ 2₂ x s w x w x D T       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 ₂ 2₂ s s w x w s D T 10.18

Note-se que a teoria acabada de obter tem uma aproximação que resulta de se eliminarem os termos T_s/a eM_xs /a, no caso de não se considerar esta aproximação, há que distinguir entre N e _xs N e entre _sx M e _xs M , sendo o estado de tensão _sx definido considerando seis equações de equilíbrio.

10.1.4 Equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos

0 k p x w a s x v 2 1 s u 2 1 x u 2 ₁ 2 2 2 2 = + ∂ ∂ ν + ∂ ∂ ∂ ν + + ∂ ∂ ν − + ∂ ∂ 0 k p a w s s x u 2 1 x v 2 1 s v 2 ₂ 2 2 2 2 = +       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ν + + ∂ ∂ ν − + ∂ ∂ 10.19 0 p w D a w s v x u a k 3 = − ∇ ∇ +     ₊ ∂ ∂ + ∂ ∂ ν O operador ∇ representa ₂ 2 2 2 s x ∂ ∂ + ∂ ∂ e consequentemente 4 4 2 2 4 4 4 2 s w s x w 2 x w w w ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ∇ = ∇

Por solução das equações 10.19 pode obter-se o campo de deslocamentos u, v e w.

A solução geral das equações 10.19 pode escrever-se com a seguinte forma:

2

1 u

u

u = + v = v₁ + v₂ w = w₁ + w₂

onde u₁, v₁ e w₁ representa uma solução geral do sistema homogéneo de equações obtido do sistema 10.19

(

p₁ = p₂ =p₃ = 0

)

e u₂, v₂ e w₂ representa uma solução particular do sistema de equações 10.19 calculada de tal modo que u, v e w satisfaçam as condições de fronteira.

As condições de fronteira mais frequentes que se encontram nas aplicações práticas são:

1 - ao longo do bordo x = constante

♦ Bordo encastrado u = 0, v = 0, w = 0 e 0 x w = ∂ ∂

v = 0, w = 0, M_x = 0 e N_x =0 10.20 ♦ Bordo livre 0 M_x = , N_x =0, 0N_xs = e 0 s M T_x xs = ∂ ∂ +

2 - ao longo do bordo s = constante

♦ Bordo encastrado u = 0, v = 0, w = 0 e 0 s w = ∂ ∂

♦ Bordo simplesmente apoiado

u = 0, w = 0, M_s = e 0 N_s = 0 10.21 ♦ Bordo livre 0 M_s = , 0N_s = , 0N_xs = e 0 x M T_s xs = ∂ ∂ +

Note-se que no caso de a →∞ as equações 10.19, se reduzem às equações de elasticidade plana e à equação de Lagrange.

10.2 Cascas Cilíndricas com Carregamento Axissimétrico

No caso do carregamento ser axissimétrico, o deslocamento v = 0 e as derivadas em ordem a s são nulas, consequentemente as equações 10.19 tomam a forma:

0 k p a w dx w d k D dx du a 3 2 4 4 = + + + ν b) 10.22

Tendo em conta as relações esforços-deslocamentos, 10.16, conclui-se que

    ₊ = a w dx du k N_x ν ou seja w a k N dx du _{= x −} ν 10.23

Substituindo este resultado na equação 10.22b obtém-se:

0 k p a w dx w d k D w a k N a 3 2 4 4 x _{+ + + =}     ₋ ν ν 10.24 ou seja D a N D p w 4 dx w d 4 _{3 x} 4 4 _ν β = − + 10.25 com

(

_{2 2}

)

2 4 a e 1 3 ν β = −

Note-se que a N_x pode ser obtido através da equação 0 p dx dN 1 x _{+ = ou seja N p dx} 1 x 0 x = −

∫

10.26

sendo N_x independente da deformação da casca cilíndrica e constante em todo o comprimento da casca. No caso de ser p₁ =0, como é o caso de um reservatório de pressão, N_x é uma constante calculada através das condições de fronteira.

A solução geral da equação pode ser escrita com a forma:

p

c w

w

w = + 10.27

toma a forma mx m 1 m c A e w = ∑ = 10.29

sendo A_m constantes arbitrárias.

Substituindo 10.29 em 10.28 obtém-se:

(

m 4

)

e 0

A 4 4 mx

m + =

Σ β 10.30

donde obtém a equação característica com a forma

0 4

m4 _{+ β}4 _{= ou seja m = ± 2 β 4 −1}

10.31

A solução complementar w , toma a forma: _c

( ) ( ) ( ) (1 i) x 4 x i 1 3 x i 1 2 x i 1 1 c A e A e A e A e w = + β + − β + − + β + − − β 10.32

Tendo em conta que:

(

i x i x

)

(

_ei x _e i x

)

2 1 x sen e e e 2 1 x cosβ ₌ β ₊ −β β ₌ β ₋ −β _10.33

obtém-se a solução complementar com a forma:

x sen e C x cos e C x sen e C x cos e C w x 4 x 3 x 2 x 1 c β β β β β β β β _{+ +} − ₊ − = 10.34

A solução particular da equação 10.25 pode ser considerada com a forma:

    ₋ = a N p e E a w x 3 2 p ν 10.35

10.2.1Casca Cilíndrica Semi-Infinita Sujeita a uma Distribuição Axissimétrica de Momentos e Esforços Transversos

Considere-se uma casca cilíndrica de comprimento semi-infinita sujeita a uma carga axissimétrica, uma distribuição uniforme de momentos e esforços transversos unitários, como se representa na figura 10.3. A origem do sistema de eixos é considerada na extremidade em que se consideram aplicados os momentos e os esforços transversos.

A solução geral da equação 10.25 tem a forma:

(

+

)

+

(

+

)

+ _ − _ = − a N p e E a x sen C x cos C e x sen C x cos C e w x 3 2 4 3 x 2 1 x _{β β} β _{β β} ν β ₁₀

No caso de casca da figura 10.3, p₃ = N_x =0 e por outro lado o deslocamento deve decrescer à medida que x aumenta, consequentemente os termos de w que contêm eβx devem ser eliminados, a solução toma a forma:

( )

x e

(

C cos x C sen x

)

w ₌ −βx _{3 β + 4 β}

10.37

Figura 10.3: Casca cilíndrica semi-infinita sujeita a esforços transversos e momentos no extremo.

As condições de fronteira são:

Os momentos flectores e os esforços transversos unitários são facilmente calculados a partir de w, por uso das equações

2 2 x dx w d D M =− e ₃ 3 x x dx w d D dx dM T = =− 10.39 ou seja

[

C cos x C sen x

]

e D 2 M 2 x _{4 3} x β β β β ₋ + = −

(

)

(

)

[

C C cos x C C sen x

]

e D 2 T 3 x _{4 3 3 4} x = − β −β + β + − β 10.40

Substituindo as condições 10.38 nas equações 10.40 obtém-se:

para x = 0 o 4 2_{C M} D 2 β = ou seja D 2 M C ₂o 4 = _β

(

3 4

)

o 3 _{C C T} D 2 + = − β ou seja D 2 T D 2 M C ₃o 2 o 3 = − _β − _β 10.41

Substituindo as constantes 10.41 na equação 10.37 obtém-se:

( )

(

)

cos x D 2 T x cos x sen e D 2 M x w x ₃o 2 o _β β β β β β _{− −} = − _10.42

Substituindo as constantes 10.41 nas expressões 10.40 obtém-se os momentos e esforços transversos com a forma seguinte:

(

cos x sen x

)

T e sen x e M M x o x o x = −β β + β + _β −β β

[

cos x sen x

]

e T x sen e M 2 T x o x o x β β β β β β _{+ −} − = − − _10.43

Na extremidade x = 0, o deslocamento é máximo e tem o valor

e a inclinação é:

( )

D 2 T D M dx dw 0 o ₂o 0 x β β θ  = +      = = 10.45

As expressões 10.43 permitem a obtenção das tensões resultantes da aplicação de momentos e esforços transversos no extremo de uma casca cilíndrica longa.

10.2.2Casca Cilíndrica Curta Sujeita a Distribuição Axissimétrica de Momentos e Esforços Transversos nos Extremos

Considere-se uma casca cilíndrica de dimensão finita sujeita a distribuição de momentos e esforços transversos nos extremos como se representa na figura 10.4, na ausência de esforços axiais, N_x =0 e na ausência de pressão interior, p₃ = . A 0 solicitação pode considerar-se simétrica em relação ao plano médio como se representa na figura. Nestas condições a solução geral da equação 10.25 tem a forma:

(

C cos x C sen x

)

e

(

C cos x C sen x

)

e w x _{3 4} 2 1 x _{β β} β _{β β} β _{+ + +} = − _10.46

Figura 10.4: Casca cilíndrica curta sujeita a distribuição de esforços transversos e momentos nos extremos.

Esta solução pode ser escrita com a forma:

onde

( )

x e cos x

A _{β =} −βx _{β e B}

( )

_{βx =e}−βx _senβx

Nestas condições, as expressões seguinte para os momentos e esforços transversos são:

( )

( )

[

(

)

]

[

(

)

]

{

C B x C A x C B L x C A L x

}

D 2 M 2 _{1 2 3 4} x = − β β − β + β − − β −

( ) (

)

( ) (

)

{

1 2 1 2

}

3 x 2D A x C C B x C C T = − β β + − β − 10.49

Devido à simetria de carregamento deve considerar-se

4 2 3

1 C e C C

C = =

As condições de fronteira são:

para x = 0 M_x = M_o e T_x = T_o

para x = L M_x = M_o e T_x = T_o 10.50

( )

_βL ₌

[

1₊ A

( )

_βL

]

[

1₋ D

( )

_βL

]

₊ B

( )

_βL

[

1₋ C

( )

_βL

]

₌ 2e βL

(

senh_βL ₊sen_βL

)

∆ −

O deslocamento, w e a inclinação _o θ para x = 0 são facilmente obtidas, sendo _o

( )

( )

( )

_      + − = D 2 T L D 2 M L 0 w ₃o H 2 o M β _β δ β _β δ

( )

( )

( )

D 2 T L D M L dx dw 0 ₂o H o M o β β θ β β θ θ = = + 10.53 onde

( )

( )

L sen L senh L sen L senh L L _H M _{β β} β β β θ β δ + − = =

( )

L sen L senh L cos L cosh L H _{β β} β β β δ + + =

( )

L sen L senh L cos L cosh L M _{β β} β β β θ + − =

10.2.3 Casca Cilíndrica Submetida a Carregamentos Antissimétricos nos Extremos

Considere-se a casca cilíndrica finita, representada na figura 10.5, sujeita a carregamentos uniformes de esforços transversos e momentos flectores antissimétricos em relação ao plano médio.

O deslocamento radial, w tem a forma geral:

( )

x C B

( )

x C A

[

(

L x

)

]

C B

[

(

L x

)

]

A

C

w = ₁ β + ₂ β + ₃ β − + ₄ β − 10.54

Como o carregamento é antissimétrico

3

1 C

C = − e C₂ =−C₄

As condições de fronteira são:

para x = 0 M_x = M_o e T_x = T_o

para x = L M_x = − M_o e T_x = −T_o 10.55

Substituindo uma destas condições nas equações 10.49 obtém-se as constantes

( )

_

[

+

( )

]

+

[

−

( )

]

_ ∆ − = − = 1 A L D 2 T L C 1 D 2 M L 1 C C ₃o 2 o 1 3 1 _{β β} β _β β

( )

_

[

+

( )

]

+

( )

_ ∆ = − = B L D 2 T L D 1 D 2 M L 1 C C ₃o 2 o 1 4 2 _{β β} β _β β 10.56

onde as funções A

( )

βL , B

( )

βL , C

( )

βL e D

( )

βL são as funções definidas no caso anterior e

( )

L

[

1 A

( )

L

]

[

1 D

( )

L

]

B

( )

L

[

1 C

( )

L

]

2e L

[

senh L sen L

]

1 β β β β β β β β ₋ = + − + − = ∆ − 10.57 O deslocamento e a inclinação para x = 0 são:

( )

L sen L senh L cos L cosh L ' H _{β β} β β β δ − − =

( )

L sen L senh L cos L cosh L ' H _{β β} β β β θ − + =

10.2.4Casca Cilíndrica Finita Sujeita a Distribuição Uniforme de Momentos e Esforços Transversos nos Extremos

Considere a casca cilíndrica finita representada na figura 10.6 sujeita a esforços transversos e momentos uniformemente distribuídos numa das extremidades.

As condições de fronteira são:

para x = 0 M_x = M_o e T_x = T_o para x = L M_x = 0 e T_x = 0 10.59 A expressão da deformada é:

( )

L C B

( )

L C A

[

(

L x

)

]

C B

[

(

L x

)

]

A C w = ₁ β + ₂ β + ₃ β − + ₄ β − 10.60 e os esforços são:

( )

( )

[

(

)

]

[

(

)

]

{

C B x C A x C B L x C A L x

}

D 2 M 2 _{1 2 3 4} x = − β β − β + β − − β −

( ) (

)

( ) (

)

{

_{1 2 1 2}

}

3 x 2D A x C C B x C C T =− β β + − β − 10.61

Figura 10.6: Casca cilíndrica sujeita a esforços num dos extremos.

Resolvendo o sistema de equações 10.62, obtém-se:

[

4 1 2 1

] [

1 4 2 3

]

1 T M / C = α − α α α −α α

[

1 1 3 1

] [

2 3 1 4

]

2 T M / C = α −α α α −α α

(

)

₁

(

)

₂ 3 A 2B C 2A B C C = − + + 2 1 4 BC AC C = − 10.63 onde A = A

( )

βL , B = B

( )

βL , α₁ =− 2B,

[

2 2

]

2 = −1+ 2AB+ A + B α , AB 2 A B 3 A 2 2 3 = − − + α , 2 2 4 = A + 2AB+ B − A α , T T /2 3D o 1 = β e D 2 / M M 2 o 1 = β

O deslocamento e a inclinação para x = 0 e para x = L são:

(

)

(

)

      − + − + − + − − = _{1 1} L T 2 L 2 cos L 2 cosh L sen L cosh L cos L senh 2 M 2 L 2 cos L 2 cosh L sen L senh 4 w β β β β β β β β β β

(

)

      − + + − + + − − = D 2 T 2 L 2 cos L 2 cosh l sen L senh 4 D M 2 L 2 cos L 2 cosh L sen L cosh L cos L senh 2 dx dw 3 o o L β β β β β β β β β β β β 10.64 O mesmo resultado seria obtido se a solução tivesse sido obtida considerando os resultados dos casos 10.2.2 e 10.2.3, usando o princípio da sobreposição de efeitos.

O efeito de bordo manifesta-se até uma certa distância tornando-se irrelevante a partir de determinado valor de x. As soluções têm todas as mesmas características, uma constante a multiplicar por um factor que exibe um andamento exponencial tendente para zero do tipo oscilatório. O deslocamento, a inclinação, o momento flector e o esforço transverso diminuem com e−βx, uma vez que _{β =}

[

3

(

1_{− ν}2

)

]

1/4 ea_{, x ea} é um parâmetro que caracteriza o comportamento da casca. Por exemplo, x ea = 4 ocorre quando βx =5.12, para o qual é e−βx = 0.005976 que é uma quantidade insignificante. Pode portanto afirmar-se que para distâncias L_B > 4 ea, os efeitos de bordo são irrelevantes. A quantidade L_B =4 ae é conhecida por comprimento de atenuação dos efeitos de bordo ou comprimento do amortecimento.

10.2.5 Casca Cilíndrica Longa Sujeita a um Anel de Carga

Considere-se a casca cilíndrica representada na figura 10.7 sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade H como se representa.

Na ausência de pressão interior e tendo em conta a simetria e o facto de a casca ser longa, w → com 0 x →∞, o deslocamento radial w por ser considerado com a forma:

(

C cos x C sen x

)

e

w ₌ −βx _{1 β + 2 β 10.65}

Os esforços são calculados fazendo uso das expressões:

2 2 x dx w d D M =− 2 ₂ dx w d D M_θ = − ν e ₃ 3 x dx w d D T =− 0 N_x = e a w e E N_θ = 10.66

As condições de fronteira aplicadas, tendo em conta que

2 P T T_D = _E = , são: 2 P dx w d D T ₃ 3 x =− =− e 0 dx dw = 10.67

Considerando estas condições 10.67 e a equação 10.65 obtém-se:

D 8 P C C_{1 2 3} β = =

Consequentemente o deslocamento pode ser escrito com a seguinte forma:

(

sen x cos x

)

D 8 e P w ₃ x β β β β + = − ou             ₊ = − 4 x sen 2 D 8 e P w ₃ x _π β β β 10.68

O deslocamento máximo e momento máximo, para x = 0, são: e E 2 a P D 8 P w_{max 3} 2 β β = = e β 4 P M_max = 10.69

As tensões de flexão máximas ocorrem para x = 0 e z = c/2 e são calculadas tendo em conta que 3 3 x x x t z M 12 t N ; e z M 12 e N _{θ θ} θ σ σ = + = + 10.70

Os esforços são N_x = 0, aN_θ = − Eew/ , M_x definido de acordo com 10.69 e M_θ = ν M_x, consequentemente: 2 max , x e 2 P 3 β σ = e _      + − = _{2 2} max , e 3 e a 2 P β ν β σ_θ 10.71

O efeito da carga localizada no anel pode ser desprezado para distâncias β

π > /

x sendo a flexão produzida por este tipo de carga do tipo localizado.

10.2.6Casca Cilíndrica Longa Sujeita a uma Carga Superficial Uniformemente Distribuída numa Distância Pequena

Considere-se a casca cilíndrica representada na figura 10.8 considerada de comprimento infinito quando comparado com o raio da casca e sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p sobre uma banda de comprimento 2b.

Figura 10.8: Cilindro infinito carregado numa zona finita.

Este caso de carga é facilmente resoluvel se se recorrer ao caso anterior, 10.2.5, a equação do deslocamento é:

a

x

b b

(

sen x cos x

)

e D 8 P w x 3 β β β β _{± +} = ± 0 0 x > < 10.72

Os sinais - são usados para valores negativos de x e + são usados para valores finitos de x. No caso de se mover a carga da posição x = 0 para a posição x =ξ a equação 10.72 toma a forma:

( )

[

_β

₍

_ξ

₎

_β

₍

_ξ

₎

]

β ξ β _{± − + −} = _e± − _{sen x cos x} D 8 P w x 3 para _>ξ ξ < x 10.73

como resulta de substituir x por x − ξ.

Tendo em conta que P = dp ξ e somando o efeito das cargas no intervalo - b, b deve obter-se a resposta da casca para a carga atribuída. Note-se que é necessário distinguir dois intervalos, o intervalo - b < x < b e x > b ou x < - b.

No intervalo x > b é: ( )

[

_β

(

_ξ

)

_β

(

_ξ

)

]

_ξ β ξ β _{sen x cos x d} e D 8 p w b x b 3 ∫ − + − = − − −

[

e ( ) cos

(

x b

)

e ( ) cos

(

x b

)

]

[

x b

]

D 8 p x b x b 4 − − + > = − − _β − + _β β β β _10.74

No intervalo - b < x < b existe carga para ambos os lados do ponto de coordenada x, e é: ( )

[

₍

₎

₍

₎

]

{

∫ − + − + = − − − β ξ β ξ ξ β ξ β _{sen x cos x d} e D 8 p w x x b 3 + _∫b _eβ(x−ξ)

[

−_senβ

(

_x −_ξ

)

+_cosβ

(

_x −_ξ

)

]

_dξ

}

= x

[

2 e ( ) cos

(

x b

)

e ( ) cos

(

x b

)

]

D 8 p x b x b 4 − + − − = − + _β − − _β β β β _10.75

Uma vez conhecido o deslocamento é fácil a obtenção dos esforços e das tensões correspondentes.

As cascas cilíndricas são muitas vezes reforçadas por anéis que podem ser equidistantes ou não. Neste estudo consideram-se anéis equidistantes em cascas longas sujeitas a pressão interior, como se representa na figura 10.9. As dimensões dos anéis de reforço são relevantes para efeitos de análise de comportamento da casca, no presente estudo consideram-se anéis de espessura pequena quando comparada com o raio do anel ou da casca.

Figura 10.9: Casca cilíndrica reforçada por anéis.

Os anéis podem ser rígidos ou flexíveis quando comparados em termos de rigidez com a casca. No caso de serem rígidos, os anéis vão impedir o deslocamento radial da casca nas secções em que são considerados, no caso de serem flexíveis vão deformar-se com a casca. Têm de distinguir-se estas dias situações extremas.

a) Anéis de reforço rígido

Nesta caso os deslocamento radias nas secções de reforço são nulos. No caso de não existir anel a pressão circunferencial e o deslocamento radial seriam:

e pa N_s = e e E pa2 o = δ 10.76

Nas secções onde existem os anéis desenvolvem-se reacções, P por unidade de comprimento circunferencial da casca entre o anel e a casca.

L

Para efeitos de cálculo de P, é necessário calcular o deslocamento radial produzido na casca como resultado de P, o qual deve ser em grandeza igual ao deslocamento produzido pela pressão p, a fim de anular o deslocamento na secção do anel. O momento na secção do anel, M , pode ser calculado impondo a condição _o dw/dx = 0 numas das extremidades do troço da casca entre os anéis. Entre anéis a casca está solicitada de acordo com a representação da figura 10.10.

Figura 10.10: Acções entre anéis.

O deslocamento radial e a inclinação para cascas curtas sujeitas a esforços simétricos M_o,T_o nos extremos são:

      + + + + − − = L sen L senh L cos L cosh T L sen L senh L sen L senh M e E a 2 w _{o o} 2 β β β β β β β β β β       + − + + − ± = L sen L senh L sen L senh T L sen L senh L cos L cosh M 2 e E a 2 dx dw o o 2 2 β β β β β β β β β β 10.77

Impondo a condição dw/dx = 0 e tendo em conta que T_o = P/2, obtém-se:

Substituindo 10.79 na primeira das equações 10.77 e igualando o deslocamento a e E / pa2 1 =

δ , deslocamento resultante da pressão, obtém-se:

(

)

(

) (

)

E e pa L sen L senh L cos L cosh 2 L sen L senh l sen L senh L cos L cosh e E a P 2 o 2 2 = =       + − − − + + δ β β β β β β β β β β β 10.80 ou seja

(

)

(

) (

)

a p e E L sen L senh L cos L cosh L sen L senh 2 1 L sen L senh L cos L cosh P o ₂ 2 = =       + − − − + + δ β β β β β β β β β β β 10.81

No caso de Lβ ser muito elevado, a parcela dentro de parêntesis recto tendo para 1/2 obtém-se 1 2 e E 2 a Pβ _{= δ} 10.82 b) Anéis flexíveis

No caso dos anéis de reforço serem flexíveis, o deslocamento radial da casca na secção do anel não é nulo.

As forças na ligação anel - casca provocam um aumento do raio interior do anel que é: AE Pa a AE Pa w 2 =       = ∆ 10.83

onde A é área da secção recta e Pa é a força de tracção no anel.

Substituindo na equação 10.80 δ por _o δ₁ =δ_o − ∆ w, obtém-se a equação que permite o cálculo de P na secção do anel e que é:

Resolvendo a equação anterior em ordem a P e substituindo na equação do momento, 10.79, obtém-se: L sen L senh L sen L senh . A Pt p 2 1 M_{1 2} β β β β β + −       − = 10.85

que representa o momento na casca junto ao anel.

10.2.8 Reservatórios Cilíndricos

Outro caso de flexão axissimétrica ocorre nos reservatórios contendo fluidos, como se representa na figura 10.11. No caso do reservatório da figura existe um encastramento na base que provoca o aparecimento de momentos significativos. O reservatório é considerado de espessura constante e igual a e e a altura é igual a h, o raio do reservatório é a, como se representa na figura. O peso específico do fluído contido no reservatório é j. No topo não existem forças aplicadas, sendo N_x =0 e a deformação é livre. As condições na base inferior, encastramento são:

Figura 10.11: Reservatório cilíndrico.

A equação de equilíbrio em termos dos deslocamentos é:

D p w 4 dx w d 4 4 4 = + β 10.87 sendo p = − γ

(

h − x

)

.

Uma solução particular da equação 10.87 pode ser − γ

(

h − x

)

a2/E e e a solução geral da equação toma a forma:

[

]

[

]

(

)

2 4 3 x 2 1 x _a e E x h x sen C x cos C e x sen C x cos C e w = −β _β + _β + β _β + _β − γ − 10.88

A espessura é considerada pequena quando comparada com a e h e h é considerado elevado quando comparado com a e neste caso podem considerar-se

0 C

C₃ = ₄ = . As constantes C₁ e C₂ são calculadas considerando as condições de fronteira para x = 0, que são:

0 e E h a C w 2 1 − = = γ e

(

)

0 e E a C C dx dw 2 1 2 − + = =β γ donde e E h a C 2 1 γ = e _      − = β γ 1 h e E a C 2 2 10.89

A equação 10.88 toma a forma:

As tensões resultantes são obtidas a partir dos esforços que são:                     − + − − = − = − _{sen x} h 1 1 x cos e h x 1 h a a w e E N x _β β β γ β θ                     ₋ − = − = − _{sen x} h 1 1 x cos e e E h D a 2 dx w d D M 2 2 x 2 2 x β _β β γ β β x M M_θ =ν 10.91

No caso de se considerar a secção x = 0, obtém-se o momento flector máximo que é:

( )

e E h D a 2 h 1 1 M 2 2 max x γ β β _     ₋ = 10.92