UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURIAS E EXATAS
MATEMÁTICA BACHARELADO
CADEIAS DE MARKOV E APLICAÇÕES
TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Fernanda Alves Lamberti
Fernanda Alves Lamberti
Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Bacharelado da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para
a obtenção do grau de
Bcharelado-Matemática
Orientador: Professor Dr. João Roberto Lazzarin
Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Naturias e Exatas
Matemática Bacharelado
A Comissão Examinadora, abaixo assinada,
aprova o Trabalho de Graduação
CADEIAS DE MARKOV E APLICAÇÕES
elaborado por
Fernanda Alves Lamberti
como requisito parcial para obtenção do grau de
Bcharelado-Matemática
COMISSÃO EXAMINADORA:
João Roberto Lazzarin, Dr. (Presidente/Orientador)
Lidiane Buligon, Dra. (CCNE-UFSM)
Karine Faverzani Magnago, Dra. (CCNE-UFSM)
RESUMO
Trabalho de Graduação Matemática Bacharelado Universidade Federal de Santa Maria
CADEIAS DE MARKOV E APLICAÇÕES AUTORA: FERNANDA ALVES LAMBERTI ORIENTADOR: JOÃO ROBERTO LAZZARIN
Local da Defesa e Data: Santa Maria, 03 de Dezembro de 2015.
Atualmente a internet tem feito parte do dia-a-dia da maioria das pessoas. Ferramentas simples como as da Álgebra Linear podem contribuir muito no uso de sites de busca. As Ca-deias de Markov são exemplos disso. Com algumas definições importantes e alguns teoremas podemos formar uma base para um algoritmo de grande utilizade, o PageRank.
Undergraduate Final Work Graduate Program in Mathematics
Federal University of Santa Maria
CHAIN MARKOV AND APPLICATIONS AUTHOR: FERNANDA ALVES LAMBERTI
ADVISOR: JOÃO ROBERTO LAZZARIN
Defense Place and Date: Santa Maria, December 03st, 2015.
Today the internet has been part of day-to-day life of most people . Simple tools such as the linear algebra can go a long way in the use of search engines . The Markov chains are examples. With some important definitions and some theorems we can form a basis for a big plus algorithm, PageRank.
SUMÁRIO
1 PRÉ-REQUISITOS E DEFINIÇÕES . . . 8 1.1 Autovalores e Autovetores . . . 8 1.2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS . . . 9 1.3 PROCESSOS MARKOVIANOS . . . 10 1.4 CADEIAS DE MARKOV . . . 11 1.5 MATRIZES DE TRANSIÇÃO . . . 111.6 CADEIAS DE MARKOV REGULARES . . . 13
1.6.1 CONVERGÊNCIA DE UMA MATRIZ DE TRANSIÇÃO . . . 14
2 O QUE É A MÉTRICA PAGERANK E COMO FUNCIONA . . . 17
2.0.2 Fator de amortecimento . . . 17
2.0.3 Cálculo interativo . . . 20
2.0.4 Ilustrando o método . . . 21
2.1 Casos em que o método pode não dar certo . . . 24
2.1.1 Caso 1: Rede simples. . . 25
2.1.2 Caso 2: Ciclo . . . 26
2.1.3 Caso 3: Páginas sem ligação . . . 28
3 CONCLUSÃO . . . 29
1 PRÉ-REQUISITOS E DEFINIÇÕES
Neste capítulo iremos apresentar alguns dos conceitos necessários para entender o
algo-ritmo PageRank, iniciaremos com as definições de Processos Estocásticos, Cadeias de Markov
e resultados de convergência de matrizes, como citado anteriormente, é necessário um
conheci-mento básico de matrizes, probabilidade e conjuntos.
Não entraremos em detalhes no que seja probabilidade, porém, em termos informais, a
probabilidade de um experimento ou de uma observação produzir um certo resultado é
apro-ximadamente a fração de vezes durante a qual esse resultado ocorreria se o experimento fosse
repetido muitas vezes sob condições constantes; quanto maior o número de repetições, mais
preciso ficará esse valor. Também usaremos o termo evento de modo informal, que servirá para
indicar todo fenômeno que pode ser observado e analisado seus possíveis resultados, exemplos
destes fenômenos podem ser atirar uma moeda (podemos observar se cairá cara ou coroa),
jo-gar um dado de seis faces e observar qual ficará virada para cima, a quantidade de produtos em
uma loja, o número de alunos de uma sala de aula e , no nosso caso, a chance de partindo de
clicks aleatórios, chegar a um determinado site. Também usaremos livremente o termo
vetor-probabilidade para toda matriz-linha em que a soma de todos elementos desta linha tem soma
igual a 1.
1.1 Autovalores e Autovetores
Lembremos da Álgebra Linear que toda matriz quadrada An×n satifaz a seguinte
9
XA = XIλ Onde Xn×1é chamado de autovetor e λ é chamado de autovalor.
1.2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Um Processo Estocástico é qualquer evento que varia aleatoriamente com o passar do
tempo, chamamos a variável correspondente ao tempo de t e o valor associado ao evento no
tempo t de x(t) (para mais detalhes ver (3) ).
Exemplo 1.2.1 Consideremos t o período em semanas, e x(t) a quantidade de produtos no
es-toque de uma loja, ao findar de cada período. Se no início da observação temos14 produtos no
estoque, ao passar de uma semana temos19, ao passar da segunda semana temos 22, podemos
fazer a seguinte associação:
t(semanas) 0 1 2 x(t)(peças) 14 19 22
Quando os valores de x(t) se encontram em um conjunto enumerável ou finito, dizemos
que o evento tem estado discreto, portanto nosso Processo Estocástico tem estado discreto, caso
contrário, dizemos ter estado contínuo.
Exemplo 1.2.2 Conseidere x(t) o número de alunos na disciplina de TCC I a cada ano, em
uma determinada Universidade. Notemos que se trata de um estado discreto (quando se refere
ao número de pessoas se usa os números naturais, logo se trata de um conjunto enumerável) e
tempo discreto (o número de anos também se dá por números naturais). Tomando port0 = 0
o ano de2010, se no ano de 2010 a turma tinha 15 alunos, ao passar de um ano aumentou 5
nos próximos2 anos, a turma aumentou 1 aluno a cada ano. Portanto temos
t(anos) 0 1 2 3 4
x(t)(pessoas) 15 20 17 19 20
Exemplo 1.2.3 Em uma viagem entre Santa Maria e Porto Alegre, supondo que t esteja
repre-sentado em horas, analisando a velocidade x(t), obtemos os seguintes valores:
t(h) 1, 5 2, 4 3, 1 4 x(t)(km) 60 66, 33 54 73
Note que os valores det encontram-se em um subconjunto finito dos números reais positivos,
pois a viagem terá um tempo definido e os valores dex(t) também, desde que a velocidade de
um carro é limitada. Portanto, podemos dizer que nosso Processo Estocástico apresenta estado
e tempo discretos.
1.3 PROCESSOS MARKOVIANOS
Um Processo se diz Markoviano (em homenagem a Andrei Andrevevich Markov) quando
o estado futuro depende apenas do estado anterior, ou seja, os estados passados não exercem
influência alguma. Processos deste tipo são chamados de processos sem memória
(memory-less process). As probabilidades condicionais representam a probabilidade do estado x(tk+ 1)
ser xk+1 no instante tk+ 1, dado que o estado x(tk) é xk em tk ((6), 2009). Por exemplo, se
no tempo t = 1, o estado é A e no tempo t = 2, o estado é A + 3, denotamos x(1) = A e
x(2) = A + 3, poderíamos deduzir que x(t) = x(t − 1) + 3 e assim x(t) depende apenas do
estado anterior, o que nos leva a um processo sem memória, isto é, a um Processo Markoviano.
Exemplo 1.3.1 A quantidade de um determinado produto no estoque de uma loja, ao fim de
11
Processo Markoviano, pois a quantidade de produtos depende apenas da quantidade anterior
e do que foi adquirido ou vendido nesse intervalo de tempo.
1.4 CADEIAS DE MARKOV
Processo Markoviano é dito uma Cadeia de Markov quando o estado é discreto ((6),
2009).
Exemplo 1.4.1 Saldo (em reais) de uma conta no banco, de uma determinada pessoa num
período de tempo em semanas é uma Cadeia de Markov, pois o estado é discreto (valores
em reais são enumeráveis). Por exemplo, na semana1 temos R$500, 00 de saldo em conta.
Na semana2 tivemos um aumento de R$100, 00 ao saldo anterior. Na semana 3 temos uma
redução deR$175, 00. E assim podemos dizer que
t(semanas) 1 2 3
x(t)(reais) 500 600 425
Exemplo 1.4.2 Seja x(t) = 12x(t − 1) a função que descreve os valores de x no tempo t, e
x(0) = x0 ∈ N. Notemos que x(t) descreve uma Cadeia de Markov, pois é um evento que varia
conforme o tempo, só depende do estado anterior, e tem estado discreto.
1.5 MATRIZES DE TRANSIÇÃO
Consideremos um vetor-probabilidade num processo estocástico que é denotado por
x(t) = h
x1(t) x2(t) · · · xn(t)
em que xi(t) é a probabilidade com que o sistema esteja no estado i no instante t, para i =
1, 2, ..., n. Vale lembrar que
n
X
i=1
xi(t) = 1.
Uma Matriz de Transição é uma matriz quadrada de ordem Pn×n = (pij) onde cada pij
é a probabilidade de que haja uma transição do estado i para o estado j ((6), 2009). No caso das
Cadeias de Markov, quando o evento varia do estado i para o estado j, num determinado tempo
t. A cada cadeia de Markov, podemos associar uma matriz de transição P conforme vemos no
próximo exemplo.
Exemplo 1.5.1 Numa determinada loja temos três produtos a venda do mesmo setor, a cada
período de uma semana podemos notar que 50% dos compradores continuam comprando o
mesmo produto. Dos que compravam o produto1, 20% passam a comprar o produto 2 e 30%
o produto 3. Dos que compravam o produto 2, 10% passam a comprar o produto 1 e 40%
passam a comprar o produto3. E dos que compravam o produto 3, 30% passam a comprar o
produto1 e 20% passam a comprar o produto 2. Podemos notar que é uma Cadeia de Markov,
pois o estado futuro depende do estado anterior, que o estado é discreto, pois a quantidade de
valores é finita, já que vamos observar uma quantidade finita de clientes. Podemos descrever tal
evento utilizando uma matriz(aij)3×3, onde aij representa a probabilidade de um comprador
do produtoi trocar para o produto j. Assim
P = 0, 5 0, 3 0, 2 0, 1 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 5
Analisando50 compradores destes produtos, vemos que, inicialmente, 20 compravam o produto
13
compram cada produto fazemos a multiplicação da matriz com a quantidade de compradores
inicialmente pela matriz de transição montada acima:
h 20 15 15 i 0, 5 0, 3 0, 2 0, 1 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 5 =h 16 16, 5 17, 5 i .
Temos então, em média,16 compradores do produto 1, 16, 5 compradores do produto 2 e 17, 5
compradores do produto3, depois de uma semana.
1.6 CADEIAS DE MARKOV REGULARES
Uma Cadeia de Markov ou sua matriz de transição P é dita ser regular se existir uma
potência inteira positiva n tal que Pntenha todas as entradas positivas ((8), 2010).
Exemplo 1.6.1 a matriz 0, 1 0, 7 0, 2 0, 3 0, 05 0, 65 0, 6 0, 05 0, 35
tem todas as entradas positivas para qualquer
n, logo é uma matriz de transição regular.
Exemplo 1.6.2 Considere a matriz A = 0, 3 0, 2 0 0, 5 0 0, 3 0, 3 0, 4 0, 6 0 0 0, 4 0, 4 0, 3 0 0, 3 . Temos queA2 = 0, 29 0, 27 0, 06 0, 38 0, 34 0, 21 0, 09 0, 36 0, 34 0, 24 0 0, 42 0, 24 0, 26 0, 09 0, 41 eA3 = 0, 275 0, 253 0, 081 0, 391 0, 3 0, 239 0, 063 0, 398 0, 27 0, 266 0, 072 0, 392 0, 29 0, 249 0, 078 0, 383 .
Note queA e A2tem entradas iguais a zero, porémA3já não apresenta entradas nulas,
portanto, desde que a soma dos elementos das linhas deA resulta em 1, temos que A é uma
1.6.1 CONVERGÊNCIA DE UMA MATRIZ DE TRANSIÇÃO
Nosso ojetivo é provar uma versão Markoviana do teorema de Perron-Frobenius (ver
referência (5)), antes porém, precisamos fixar algumas notações e resultados.
Para a prova do Teorema precisaremos do seguinte resultado auxiliar:
Lema 1.6.3 Seja M uma matriz de transição de uma cadeia de Markov, e x = (xi) ∈ Rn.
Se y = xM , então n P i=1 yi ≤ n P i=1
xi . Se a matriz M tiver todas as entradas positivas e duas
coordenadasxi 6= 0 e xj 6= 0 tais que xxij ∈ R/ +, então a desigualdade é estrita.
Demonstração 1.6.4 observemos que
n P j=1 |yj| = n P j=1 |x1a1j + x2a2j + · · · + xnanj| ≤ n P j=1 |x1| a1j + |x2| a2j + · · · + |xn| anj = |x1| n P k=1 ak1 + · · · + |xn| n P k=1 akn ,
considerando que cada
n P k=j akj ! = 1 para j = 1, 2, ..., n temos n X j=1 |yj| ≤ n X i=1 |xi|
Além disso, a desigualdade será estrita quando houver sinais trocados entre os termosxi
dis-tintos e não nulos como afirma o restante da hipótese.
Teorema 1.6.5 (i) (Teorema de Perron-Frobenius, caso Markoviano) Seja M uma matriz de
transição de uma cadeia de Markov, então
(i) Seλ é autovalor de M , então |λ| ≤ 1;
(ii) λ = 1 é autovalor de M .
Demonstração 1.6.6 (i)Seja u = (u1, u2, ..., un) 6= 0 um autovetor qualquer de M , com
15
implica que|λ| ≤ 1.
(ii) Lembrando que a soma de cada uma das linhas da matriz de transição vale 1, segue-se que
h 1 1 · · · 1 i M = 1 h 1 1 · · · 1 i
, o que prova o resultado afirmado.
Teorema 1.6.7 Se P é uma matriz de transição de uma cadeia de Markov regular, então:
(i) Existe um único vetor-probabilidade q tal que q.P = q;
(ii) Para qualquer vetor-probabilidade inicial x0 , a sequência de vetores de estado
x0, x0P, ..., x0Pktende aq como um limite, ou seja, x0Pk→ q quando k → ∞. (O vetor
q é chamado de vetor de estado estacionário). ((5), 2011 ou (4)).
Demonstração 1.6.8 A existência de q está garantida pelo Teorema anterior. A unicidade será
mostrada depois. Vamos mostrar quex0Pk→ q quando k → ∞.
Como a cadeia é regular, exister natural tal que Prtem todas as entradas positivas, ou
seja,prij > 0, para todo i, j..
Para0 < δ < 1 temos que Pr
ij > δq. Agora, seja ε = 1 − δ e Π a matriz quadrada cujas
linhas sejam iguais aq e considere a matriz Q tal que Pr= (1 − ε)Π + εQ.
Note queM Π = Π e ΠP = Π, assim, aplicando plicando o princípio de indução sobre
k, temos que
Pkr = (1 − εk)Π + εkQk.
Multiplicando a igualdade acima porPj paraj ∈ N, temos
MasΠP = Π e portanto ΠPj = Π, logo Pkr+j = (1 − εk)Π + εkQkPj ou Pkr+j − Π = −εkΠ + εkQkPj ou ainda mais, Pkr+j − Π = εk QkPj − Π
lembrando que||A|| = supx∈Rn||x|| = 1, temos que
Pkr+j − Π = εk QkPj− Π ≤ εk,
agora, fazendok → ∞ obtemos que Pkr+j → q. Nos falta provar a unicidade de q, para isso
basta supor que exista umq1tal que q1P = q1,fazendo q1Pk, pelo fato deq1Pk = q teremos
então queq = q1.
Exemplo 1.6.9 A matriz de transição P de uma determinada cadeia de Markov é 0, 8 0, 2 0, 9 0, 1 .
Como as entradas são positivas temos que a cadeias de Markov é regular e, portanto, tem um
único vetor de estado estacionário q. Então segundo o Teorema, para encontrarmos q
ob-servamos que qP = q ⇔ 0 = q − qP ⇔ q(I − P ) = 0, daí temos o seguinte sistema
−0, 2q1+ 0, 9q2 = 0 que resulta em q1 = 4, 5q2. Como queremos queq seja um vetor
17
2 O QUE É A MÉTRICA PAGERANK E COMO FUNCIONA
Neste capítulo iresmos apresentar como funcuina o algoritmo PageRank, dar um
exem-plo com um número razoável de páginas e mostrar os casos onde o algoritmo não funciona
muito bem.
A métrica apresenta a probabilidade de chegarmos a um determinado link clicando em
linksaleatórios, tal cálculo é feito através de iterações, que se observarmos as condições do
Te-orema 1.6.5, podemos obter um vetor-probabilidade que fornecerá os valores de PageRank que
buscamos. Nosso próximo passo e estabelecer a matriz de transição de uma cadeia Markoviana
obtida estabelecendo vetores-probabilidades em cada iteração que fornece o PageRank (índice
que estabelece a importância deste site dentro da rede em que ele pertence) de vários sites que
estejam lincados entre si.
2.0.2 Fator de amortecimento
Além das conexões entre os sites de uma rede, muitas vezes é considerado o fato do
navegador não utilizar as ligações entre os sites, pensando assim, leva-se em consideração um
fator de amortecimento, que denotaremos por d, e que fornece a probabilidade do navegador
se-guir as ligações, portanto 1 − d será então a probabilidade do navegador não utilizar as ligações.
O fator de amortecimento leva em consideração os seguintes pontos:
1. Uma página tem uma probabilidade de ser acessada por uma escolha aleatória pelo
sim-ples fato de existir;
existentes na rede;
3. outros fatores.
Levando em consideração os fatos listados, em geral utiliza-se o valor d = 0, 85 para o
fator de amortecimento. Notemos que se o fator de amortecimento a ser considerado for muito
pequeno, então a estrutura de links não tem muita força, ou seja, ela não nos mostra realmente
quem é o mais ou menos importante.
Consideraremos os seguinte caso ideal: uma rede com N páginas, sendo elas
P1, P2, P3, ..., PN, onde cada Pi indica ao menos uma outra página Pj. Denotaremos por R o
vetor-probabilidade que representa o valor de PageRank de cada uma das páginas num instante
t, isto é
R =h P R(P1) P R(P2) · · · P R(PN)
i
(a notação P R vem de PageRank).
Com o fator de amortecimento, o cálculo do valor de PageRank foi estabelecido por seus
idealizadores pela seguinte fórmula:
P R(Pi) = 1 − d N + d n X j=1 P R(Pj)δij L(Pj) ! . (2.1)
onde L(Pj) é o número de ligações que saem da página j e
δij = 0 se Pi não é indica o Pj; 1 se Piindica o Pj. (ver (9)).
19 R =h P R(P1) P R(P2) · · · P R(PN) i = " 1−d N + d n P j=1 P R(Pj)δij L(Pj) ! 1−d N + d n P j=1 P R(Pj)δij L(Pj) ! · · · 1−d N + d n P j=1 P R(Pj)δij L(Pj) ! #
que portanto, utilizando a matriz (de transição) MN ×N = (mij), onde N é o número de páginas
e mij = l(Pi, Pj) = L(Pδij i) definida por: l(Pi, Pj) =
0, se nao existe referência da pag i para pag j;
1
L(Pi), se existe referência da pag i para j,
onde L(Pi) é o número de ligações que saem da página i. Portanto, R pode ser obtido pela
fórmula R = h 1−d N · · · 1−d N i + dR l(P1, P1) l(P1, P2) · · · l(P1, PN) l(P2, P1) l(P2, P2) · · · l(P2, PN) .. . ... . .. ... l(PN, P1) l(PN, P2) · · · l(PN, PN)
Se substituirmos por U = [1, 1, ...1] o vetor com U em todas as colunas então pela
igualdade acima temos:
R = dRM + 1 − d
N U
Sabendo que a soma dos valores de cada linha de R é 1, se tomarmos E como sendo a matriz
N × N com 1 em todas as entradas, obtemos RE = U e assim rescrevemos a expressão anterior
Segue-se que R é o autovetor associado ao autovalor autovalor 1da matriz ˙M definida por
˙
M = dM +1 − d N E.
Para ver que de fato ˙M é uma matriz de transição devemos observar que a soma de uma linha k
desta matriz será
N X j=1 dl(Pk, Pj) + 1 − d N = (1 − d) + d N X j=1 l(Pk, Pj) = (1 − d) + d = 1. 2.0.3 Cálculo interativo
Em geral, R é calculado utilizando-se o Teorema 1.6.5, estudando-se a convergência
da seguinte cadeia Markoviana: chamando de x(0) o vetor-probabilidade que contém os valores
de P R(X) iniciais de cada página e de x(t) este mesmo vetor-probabilidade na iteração t,
podemos calcular x(t + 1) multiplicando x(t) pela matriz pela matriz ˙M . Ou seja
x(t + 1) = x(t) ˙M
Teremos então
x(1) = x(0) ˙M
x(2) = x(0) ˙M2
x(t + 1) = x(0) ˙Mt+1
Notando que a matriz ˙M segue as exigências do Teorema 1.6.5 afinal ˙M é uma matriz regular
de transição, pois pij são todos não-nulos e a soma de cada linha é 1, então podemos concluir
21
Não discutiremos a velocidade de convergência, no entanto o processo em geral não
é demorado e com um número relativamente pequeno de iteração temos um valor bastante
aproximado de R.
2.0.4 Ilustrando o método
Nesta seção vamos considerar uma mini internet com 5 sites denotados respectivamente
por A, B, C, D e E e cujas ligações estão ilustradas na Figura 2.1 abaixo:
Figura 2.1: Fonte: O autor
podemos montar a matriz M , como definida anteriormente,
Utilizando d = 0, 85, temos então que ˙ M = 0, 85 0 13 0 13 13 1 4 0 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 0 0 0 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 3 0 1 3 1 3 0 +1 − 0, 85 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 que fornece ˙ M = 0, 03 0, 3133 0, 03 0, 3133 0, 3133 0, 2425 0, 03 0, 2425 0, 2425 0, 2425 0, 455 0, 455 0, 03 0, 03 0, 03 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 3133 0, 03 0, 3133 0, 3133 0, 03
Utilizando o software matemático MATLAB para fazer as sucessivas multiplicações
podemos notar que calculando a nona e decima iteração obtemos
23 0.03 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.242 5 0.03 0.242 5 0.242 5 0.242 5 0.455 0.455 0.03 0.03 0.03 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.03 10 = 0.230 76 0.202 83 0.161 94 0.227 31 0.177 11 0.230 75 0.202 85 0.161 93 0.227 31 0.177 12 0.230 74 0.202 82 0.161 94 0.227 32 0.177 14 0.230 76 0.202 85 0.161 93 0.227 31 0.177 12 0.230 75 0.202 85 0.161 92 0.227 31 0.177 13
donde observamos que
0.03 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.242 5 0.03 0.242 5 0.242 5 0.242 5 0.455 0.455 0.03 0.03 0.03 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.03 9 − 0.03 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.242 5 0.03 0.242 5 0.242 5 0.242 5 0.455 0.455 0.03 0.03 0.03 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.313 33 0.03 0.313 33 0.313 33 0.03 10 = −4. 40 × 10−5 −8. 23 × 10−6 −1. 84 × 10−5 1. 60 × 10−5 5. 87 × 10−5 2. 71 × 10−6 −3. 37 × 10−5 2. 44 × 10−5 1. 31 × 10−5 −2. 49 × 10−6 3. 39 × 10−5 9. 88 × 10−5 −4. 56 × 10−5 −4. 36 × 10−5 −3. 95 × 10−5 −4. 79 × 10−6 −2. 00 × 10−5 1. 12 × 10−5 1. 00 × 10−5 7. 60 × 10−6 3. 46 × 10−5 −1. 06 × 10−5 2. 70 × 10−5 −3. 70 × 10−6 −4. 32 × 10−5
o que mostra que o método convergiu e se pode usar com boa margem de segurança M9 para
site são inicialmente iguais): R0 = h 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 i temos que R0M9 = h 0, 2307 0, 2028 0, 1619 0, 2272 0, 1777 i
Portanto, se fossemos classificar os sites quanto sua importância, teríamos a seguinte
ordem crescente de importância: A; D; B; E e C.
2.1 Casos em que o método pode não dar certo
Vale lembrar que na vida real as coisas não são tão simples, por exemplo se um
nave-gante buscar por assuntos pertinentes a matemática, ele poderá esbarar nos seguintes fatores
que dificultarão a classificação:
1. O número muito grande de sites na internet;
2. Quando buscamos sobre matemática, não podemos levar tanto em consideração os sites
sobre futebol, por exemplo, que possuem links que levam a sites relacionados à
matemá-tica.
3. Fatores publicitários e distratores que podem levar o navegador a se "embrenhar"em sites
que não eram de interesse e nem possuem alguma ligação com a matemática.
Porém, nada disso tira a importância do mecanismo de classificação descrito acima e
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visto na seção acima não funciona bem mesmo em redes pequenas. Relataremos abaixo cada
um destes casos.
2.1.1 Caso 1: Rede simples.
Na Figura 2.2 abaixo, temos uma pequena rede com 4 sites (A, B, C e D), cada um vai
iniciar com o valor de 14, ou seja, todos tem inicialmente a mesma importância:
Figura 2.2: Fonte: O autor
Num segundo passo, como vemos na Figura 2.2, cada ligação transfere 0,25 para o
PageRankde A, daí,
P R(A) = P R(B) + P R(C) + P R(D)
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 e ˙M = 0.85 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 +1−0.855 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0.03 0.03 0.03 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03
que de fato não é uma matriz de transição (as somas dos elementos
de cada linha não dá 1), o que não garante a convergência do método, Aliás ˙M10≈ 0 fazendo
com que o vetor-probabilidade nivele a zero a importância de todos os sites.
Um outro modelo desta mesma situação pode ser visto na Figura 2.3, vemos pelas
liga-ções existentes na figura, que o valor de B é transferido metade para A e metade para C. O valor
de C é transferido para A e o de D, um terço para A, um terço para B e um terço para C. assim,
P R(A) = P R(B) 2 + P R(C) 1 + P R(D) 3 ,
mesmo assim, M apresentará uma linha nula, fazendo com que a convergência não seja
garan-tida pelo Teorema 1.6.2.
Outro problema que o algoritmo encontra é quando a rede é em forma de ciclo, como
mostra a Figura 2.3 (fenômeno chamado rank sink).
27 Figura 2.3: Fonte: O autor Neste caso M = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 e ˙ M = 0.85 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 +1−0.855 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.03 0.88 0.88 0.03 0.03 0.03 é tal que h 1 1 1 1 i 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.03 0.88 0.03 0.03 0.03 0.03 0.88 0.88 0.03 0.03 0.03 10 = h 0.737 42 0.737 42 0.737 42 0.737 42 i
Notemos que o problema, neste caso, se encontra
no fato de todos os valores finais serem iguais, ou seja, todos apresentam a mesma importância,
Figura 2.4: Fonte: O autor
O algoritmo também encontra problemas quando uma página é isolada das outras. Como
mostra a Figura 2.4:
Nesta pequena Rede com apenas 2 site teremos a matriz associada M = 0 1 0 0 e ˙ M = 0.85 0 1 0 0 + 1−0.855 1 1 1 1 = 0.03 0.88 0.03 0.03
que também não é uma matriz de
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3 CONCLUSÃO
A importância do trabalho vem do fato de termos utilizado apenas ferramentas simples,
como os conceitos de Álgebra Linear e Probabilidade para explorar uma área que não é
apre-sentada ao longo do curso de graduação e que nos leva a um algoritmo de grande importância
nos dias atuais.
Na elaboração do trabalho foi necessária a utilização de um software matemático para
obtermos resultados mais rápidos e precisos, tanto no desenvolvimento dos exemplos
apresen-tados quanto para explorarmos os resulapresen-tados que utilizamos até sua total compreensão. O que
foi um desafio de grande aproveitamento.
Como os sites de busca são ferramentas muito utilizadas nos dias atuais, o algoritmo
pode ser visto como indispensável, pois se fossemos fazer uma busca na internet onde os
re-sultados são apresentados de forma aleatória passaríamos horas até encontrarmos uma página
realmente relevante. Ou seja, podemos perceber que conceitos simples podem nos gerar muitos
benefícios, o que nos faz acreditar que ainda podemos ter muitas outras contribuições como
REFERÊNCIAS
(1) BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; RIBEIRO, V. L.,WETZLER, H.G., Álgebra Linear,
Harper-Row, São Paulo; 1986.
(2) GERHARDT, M. L. Descobrindo a pesquisa no ensino médio. Santa Maria: UFSM, 2013.
(3) GOLMAKANI, et al. Cadeias de Markov. Maceió: [s.n.], 2014.
(4) HOWARD, A; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações, 8 ed. Rio de Janeiro: Bookman„
2002.
(5) MALAJOLVICH,G., Álgebra Linear. Rio de Janeiro, [s.n.], 2010.
(6) NOGUEIRA, F. Modelagem e simulação cadeias de Markov. [Juiz de fora]: [s.n.], 2009.
Notas de aula.
(7) PEDROSO. C.M. Modelagem e avaliação de desempenho. Paraná:[s.n.], 2011.
(8) PORILHO, D. F.; VARGAS. V. Conceitos e simulação de cadeias de Markov. Goiás: [s.n.],
2010.
(9) WIKIPÉDIA. PageRank. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/PageRank. Acesso
