Hydrology, environment and water resources 2016 / Statistical analysis. Rodrigo Proença de Oliveira

Rodrigo Proença de Oliveira

Hydrology, environment and water resources

2016 / 2017

Why do we need statistical analysis?

• The temporal and spatial variability of hydrological variables is quite

significative. /

A variabilidade espacial e temporal das variáveis hidrológicas

(sobretudo precipitação e variáveis dependentes como o escoamento ou a recarga de

aquíferos) é muito significativa.

• There are questions we cannot answer directly:

Há perguntas que

gostaríamos saber a resposta mas que não é possível responder diretamente:

– What will be the precipitation over the Tagus basin next

year? /

Qual será precipitação anual no próximo ano hidrológico sobre

a bacia hidrográfica do rio Tejo?

– What will be the precipitation over the Tagus basin next

month? /

Qual será precipitação no próximo mês sobre a bacia

hidrográfica do rio Tejo?

– What will be the maximum precipitation in 3 hours in

Trancão? /

Qual será a precipitação máxima em 3 horas sobre a bacia

hidrográfica do rio Trancão? /

– What will be the peak discharge? /

Qual será o caudal máximo

instantâneo no rio Trancão junto a Loures?

Needed for water

management (drought

management). /

Se

soubéssemos a resposta

poderíamos preparar (ou não)

para uma eventual seca

Needed for flood

management. /

Why do we need Statistical analysis?

• The world would be easier (less fun?) if it would be

deterministic

:

A vida seria fácil se o mundo fosse determinístico:

– Tomorrow’s precipitation will be exactly 20 mm.

Amanhã chove 20

mm.

• Unfortunately, it is not. We do not know the future, but

we try to frame it.

Infelizmente não é. Na prática não sabemos o futuro, mas

procuramos enquadrá-lo.

– Tomorrow the precipitation will be close to 20 mm /

Amanhã a

precipitação será próxima dos 20 mm.

– Tomorrow the precipitation will most probably be between 10 and

30 mm / Amanhã a precipitação situar-se-á muito provavelmente entre os 10 mm e os 30

mm.

– There is a 99% chance that the precipitation will be be between 10

and 30 mm and 80% change that the precipitation will be between

15 and 25 mm /

Amanhã existe uma probabilidade de 99% da precipitação estar no

intervalos entre os 10 mm e os 30 mm e de 80% de estar entre os 15 mm e os 25 mm .

Statistical analysis

• Objective

/

Objectivo:

– To be able to quantify the most probable values of a given variable /

Conseguir quantificar os valores mais prováveis de variáveis que condicionam as nossas

decisões.

– To be able to quantify extreme (but possible) values of a given

variable /

Quantificar os valores extremos mas possíveis de variáveis

• Method

/

Método:

– To use the a sample of hystorical values /

Utilizar o registo histórico da

variável em análise (amostra) para quantificar os seus possíveis valores futuros.

• Assumptions

/

Premissas:

– Sample representativeness: The observed values are good

representatives of the past /

Representatividade da amostra: Os valores

observados (incluídos na amostra) são representativos do passado (A amostra deve ser

longa para poder ter registos dos mais variáveis acontecimentos).

– Stationarity: The caracteristics of the proccess that generate the

random variable are maintained /

Estacionaridade do processo: As

Random variable

• Random variable /

Variável aleatória:

– A random variable is a variable whose value is subject to

variations due to chance.

Uma grandeza variável no tempo e espaço, cuja

variação não conseguimos quantificar completamente, em função de outras

variáveis e dos processos que lhe dão origem.

• Common examples /

Exemplos mais comuns:

– Annual precipitation /

Precipitação anual;

– Annual maximum daily precipitation /

Precipitação diária máxima anual;

– Annual maximum hourly precipitation /

Precipitação horária máxima anual;

– Annual flow /

Escoamento anual;

– Annual maximum discarge /

Caudal máximo anual;

Note: we may know that annual flow volume is the result of annual precipitation, but due

to lack of data on precipitation and because precipitation does not fully explain flow

volume, we may decide to analyse flow volume as a random variable.

Nota: podemos saber que o escoamento anual é o resultado da precipitação anual, mas a precipitação não explica toda a

variação do escoamento; por essa razão ou por falta de dados de precipitação podemos optar por analisar o escoamento

anual como uma variável aleatória.

Population and sample

• Population:

The set of values that a given random variable

has assumed in the past. /

População: Conjunto de todos os valores que a

variável aleatória assumiu no passado (conjunto infinito).

• Sample:

The set of past values of a given variable that are

available (in record) /

Amostra: Conjunto de valores observados da variável

aleatória.

Passado

Futuro

Amostra

Foram observados valores

da variável aleatória

V

a

ri

á

v

e

l

a

le

a

tó

ri

a

We do not want to predict

the future; Just estimate a

probable range of values.

Sample

Statistical description of a sample

• Average /

Média:

• Variance /

Variância:

• Standard deviation /

Desvio Padrão:

• Coeficient of variation /

Coeficiente de variação:

• Skewness /

Coeficiente de assimetria:

Examples

Average

/

Média

= 10,0

Std deviation

/

Desvio padrão

= 4,3

Skewness

/

Coef. de assimetria

= 0,0

Average /

Média

= 10,0

Std deviation /

Desvio padrão

= 0,9

Skewness /

Coef.de assimetria

= 0,0

Average /

Média

= 10,0

Std deviation /

Desvio padrão

= 4,3

Skewness / Coef.de assimetria = 0,0

Average /

Média

= 10,0

Std deviation /

Desvio padrão

= 4,3

Skewness /

Coef. de assimetria

= 0,8

The red sample values show a higher

variability over and below the average.

The green sample values show a higher number

Example

Time series

Histogram

Average /

Média

= 10,0

Std Deviation /

Desvio padrão

= 4,3

Skewness /

Coeficiente de assimetria

= 0,0

Average /

Média

= 10,0

Std Deviation /

Desvio padrão

= 0,9

Skewness /

Coeficiente de assimetria

= 0,0

Example

Time series

Histogram

No green sample

values on this range

Only

green

sa

m

ple

val

ue

s

on

th

is

ra

nge

Average /

Média

= 10,0

Std Deviation /

Desvio padrão

= 4,3

Skewness /

Coeficiente de assimetria

= 0,0

Average

/

Média

= 10,0

Std Deviation

/

Desvio padrão

= 4,3

Basic sample descriptors

• Average:

A location

parameter

/

Média: Indica a

localização ou centralidade dos

valores;

• Standard deviation:

A

scale parameter

/

Desvio

padrão: Indica a dispersão em

torno dos valores centrais;

• Skewness:

A shape

parameter

/

Assimetria: Indica

a assimetria dos valores.

Useful Excel Functions

Function / função

English

Português

Average

Média

AVERAGE

?

Variance

Variância

VAR

?

Desvio Padrão

Standard deviation

STDEV

?

Skewness

Coeficiente de assimetria

SKEW

?

Kurtosis

Probability function

• A function that defines the relationship between the value of random

variable and its probability of occurrence/

Função que definem a relação entre

os valores da variável aleatória e a sua probabilidade de ocorrência;

• Estimated from a sample, i.e. from the frequency of values in the

sample /

Estimadas a partir dos valores da amostra e da sua frequência de ocorrência;

X –

Random variable

/

variável aleatória;

x –

Value assumed by a random variable

/

valor assumido pela variável aleatória

num dado instante;

F(x) –

Cumulative probability function /

Função de probablidade acumulada;

F(x) = p = Prob (X ≤ x) = Prob of X being less than x /

Prob. de a

variável X ser igual ou inferior a um valor x

f(x) –

Probability density function

/

Função de densidade de probabilidade:

Probability functions

Cumulative probability function

Função de probabilidade acumulada

F(X)

1

F(X)

0

F

-1

(p)

Inverse cumulative probability function

Inversa da função de probabilidade acumulada

Cumulative probability function

Função de probabilidade acumulada

x >> F(x) -

Cumulative probability (between 0 e 1)

Inverse cumulative probability function

Inversa da função de probabilidade acumulada

F(x) >> x

How to describe a pdf?

• X – Random variable /

Variável

aleatória;

• f(x) –Probability distribution

function /

Função de distribuição

de probabilidade (fdp);

• F(x) – Cumulative probability

function /

Função de distribuição

acumulada - Probabilidade de não

excedência;

• Z – Inverse standard normal

variable /

Normal reduzida;

Probability functions

• We usually use a generic probabilty function that we

adapt

(select its parameter values) to each application /

Por regra utilizamos

funções de probabilidade que resultam da parametrização de leis mais gerais /

• Example /

Exemplo:

Gauss law (normal) /

Lei de Gauss ou função de

distribuição normal

– The function describes the generic

characteristics of the distribution (like

its domain, its simmetry and its shape

– e.g. bell shape)

/

As características da

função são definidas pela equação da lei geral

(domínio infinito, simetria, forma em “sino”);

– Two parameters specify the location

of the central values

(

m

)

and the

dispersion around that centre(

s

) /

Dois parâmetros definem a localização dos

valores centrais (

m

) a sua dispersão em torno

desse centro (

s

).

f(X)

How to describe a probability distribution function

10-11-2016

Time, Value

t

₁

, v

₁

t

₂

, v

₂

t

₃

, v

₃

t

₄

, v

₄

t

₅

, v

₅

..,..

t

_i

, v

_i

.., ..

..,..

t

_n-1

, v

_n-1

t

_n

, v

_n

Sample in

chronological order

Sample from

smallest to largest

Time, Value

1, v

_(1),

p

₁

2, v

_(2),

p

₂

3, v

_(3),

p

₃

4, v

_(4),

p

₄

5, v

_(5),

p

₅

..,..

i, v

_(i),

p

_i

.., ..

..,..

n-1, v

_(n-1),

p

_n-1

n, v

_(n),

p

_n

X

F(X)

1

0

Time series (X vs time)

Not very helpful for

statistical analysis

Probability distribution function fit

Population: The random variable follows an unknown distribution with unknown

parameters /

População desconhecida: A variável segue uma função de distribuição

desconhecida com parâmetros desconhecidos.

Sample:Known values

Amostra: Valores conhecidos

/

V

a

ri

á

v

e

l

a

le

a

tó

ri

a

V

a

ri

á

v

e

l

a

le

a

tó

ri

a

Estimativa dos parametros

da função de distribuição

da população a partir dos

valores da amosta

10-11-2016

How to select a probability function?

• How to select a probability function?

/

Como se seleciona uma função

de distribuição?

– Verifying which function better describles the sample variability.

/

Verificando qual a função que melhor se ajusta aos valores observados (amostra), isto é que

melhor descreve a variabilidade dos valores da amostra.

– The function adherence to the sample depends on the values

assumed by function parameters

/

Esse ajustamento depende dos valores atribuídos

aos parâmetros da função de distribuição.

• How to estimate the parameters of the probability

distribution function?

/

Como se determinam os parâmetros de uma função de

distribuição?

– Selecting the values that lead to the best adherence/adjustement to

the sample depends

/

Escolhendo os parâmetros da função que determinam o melhor

ajustamento aos valores da amostra:

– Methods

/

Metodologias:

• Moments /

Método dos momentos

• Linear moments /

Métodos do momentos lineares

Statistical analysis in hydrology:

Usual application of different probability functions

Dist function

Func. distrib.

Usual application

Aplicações mais usuais

Recommended by

Recomendado por

Normal

Annual precipitation, Annual flow volume

Precipitação anual, escoamento anual

Log-normal

(Galton)

Annual precipitation,Maximum daily precipitation, Annual flow volume

Precipitação anual, precipitação diária máxima, escoamento anual

Log-normal- 3

param

Annual precipitation, Maximum daily precipitation, Annual flow volume

Precipitação anual, precipitação diária máxima, escoamento anual

Gumbel (GEV

tipo I)

Daily precipitation, Maximum daily precipitation, Daily flow volume

Precipitação diária, precipitação diária máxima anual, escoamento diário

Goodrich (GEV

tipo III)

Minimum daily flow

Escoamento diário mínimo

Gener.de

extremos (GEV)

Maximum daily flow, Maximum discharge

Escoamento diário máximo anual, caudal máximo

UK_Flood Studies Report, NERC (1975)

PT: AGH (1990)

Pearson III

Maximum daily precipitation,

Precipitação diária máxima

UK_Flood Studies Report, NERC (1975)

Log Pearson III

Maximum daily flow, Maximum discharge

Escoamento diário máximo anual, caudal máximo

USA: Guidelines for Determining Flood Flow Frequency, WRC (1977) UK_Flood Studies Report, NERC (1975)

Common distribution function used in hydrology

Distribution function

Função de distribuição

Domain

Domínio

# params

Params

Skwewn

C.Assim.

Normal

2

μ, σ

0

Log-normal (Galton)

X > 0

₂

μ, σ

₊

Log-normal de 3 parâmetros

3

μ, σ, ε

+

Gumbel (GEV tipo I)

2

α, u

1.1396

Goodrich (GEV tipo III)

3

α, k, ε

-Gener.de extremos (GEV)

3

α, k, ε

Pearson III (Gamma)

3

α, β, ε

Log Pearson III

3

α, β, ε

Probability factor, K

How to compute the random variable value for a given

probability p?

• Use the inverse cumulative probability function

• Use the probability factor

10-11-2016

But first you need to estimate the distribution parameter

values and then apply the inverse cumulative probability

function (usually a complex function).

K is a the probability factor, which is dependente on the

probability expressed as p, z

_p

or T

Each probability distribution has its own expression to

compute the probability factor

It’s easier and more practical !!

Slightly less acurate, but usually this does not matter.

Unfortunately, not all probability distributions have explicit

expressions to compute the probability factor.

𝑥

_𝑝

= 𝐹

−1

𝑝

.

Probability factor, K

• Normal

• Log-normal

• Gumbel

• Pearson III

• Log-Pearson III

• GEV:

Não existe fórmula de fator de probabilidade; aplicar método dos momentos

𝐾

_𝑝

= −

6

𝜋

0.5772 + 𝑙𝑛 −𝑙𝑛 𝑝

𝑥

_𝑝

= ത

𝑋 + 𝐾 𝑝 ∙ 𝑆

_𝑋

𝑥

_𝑝

= 𝑒

𝑌+𝐾 𝑝 ∙𝑆

ത

𝑌

𝑥

_𝑝

= ത

𝑋 + 𝐾 𝑝 ∙ 𝑆

_𝑋

𝑥

_𝑝

= 𝑒

𝑌+𝐾 𝑝 ∙𝑆

ത

𝑌

𝑥

_𝑝

= ത

𝑋 + 𝐾 𝑝 ∙ 𝑆

_𝑋

𝐾

𝑝

=

2

𝐺

𝑋

∙ 1 +

𝑧

𝑝

∙ 𝐺

𝑋

6

−

𝐺

_𝑋2

36

3

−

2

𝐺

𝑋

𝐾

_𝑝

= 𝑧

_𝑝

Aprox: de Wilson-Hilferty; valid for 0.01<p<0.99 and −2 < 𝛾 < 2.

Aprox. de Kite (1977); valid for 0 < 𝛾 < 5 and z > 0.

𝑘 =

𝐺

6

𝐾

𝑝

= 𝑧

𝑝

+ 𝑧

𝑝 2

_{− 1 ∙ 𝑘 +}

1

3

𝑧

𝑝 3

_{− 6𝑧 ∙ 𝑘}

2

_{− 𝑧}

𝑝2

− 1 ∙ 𝑘

3

+ 𝑧

𝑝

∙ 𝑘

4

+

1

3

∙ 𝑘

5

 

2 3 2 2

001308

.

0

189269

.

0

432788

.

1

1

010328

.

0

802853

.

0

515517

.

2

ln

2

w

w

w

w

w

w

K

T

w

T

_p



















Methods to estimate the probability distribution

function parameters

• Moments:

Population moments are assumed equal to the sample

moments /

Método dos momentos: Assume a igualdade entre os momentos da

amostra e da população.

• Maximum likelihood:

Maximizes the probability of ocurrence of the

sample /

Método da máxima verosimilhança: Maximiza a probabilidade de ocorrência

da amostra.

Order

Ordem

Moments

Momentos

Linear moments

Momentos lineares

1ª

Média

L1

2ª

Variância

L2

3ª

Assimetria

L3

4ª

Kurtosis

L4

n

X

X

n i i X









1

ˆ

m





1

ˆ

1 2 2















n

X

X

S

S

n i i X X X

s

10-11-2016

Computation of values assuming different pdfs

X

_i

Ln(X

_i

)

Sample values

sorted

chronologically

Valores da amostra e do

seu logaritmo ordenados

cronologicamente

 



F

x



F

 

p

F

x

_p





1





1

F(x)

Z

Ano

P (mm)

Y = Ln P

Ordem

P (mm)

i/(n+1) Norm.Red.

Normal

LNorm

Gumbel

Pearson III

1

x1

y1

1

x(1)

1/(n+1)

z1

x

x

x

x

2

x2

y2

2

x(2)

2/(n+1)

z2

x

x

x

x

3

x3

y3

3

x(3)

3/(n+1)

z3

x

x

x

x

…

…

…

..

…

…

..

…

…

…

…

n

xn

yn

n

x(n)

n/(n+1)

zn

x

x

x

x

X (mm)

 



F

x



 

p

F

z

d N

p







1

Re

F(x)

Probability of non-exceedance according to

an empirical formula

Probabilidade de não excedência de acordo com

uma fórmula empírica

X

_i

Sorted sample values

from min to max

Valores da precipitação

annual ordenados

crescente

Z

Standard

normal

Random variable values for

different probabilities assuming

different prob. distributions

Probability distribution functions

10-11-2016

F(x)

Z

Ano

P (mm)

Y = Ln P

Ordem

P (mm)

i/(n+1) Norm.Red.

Normal

LNorm

Gumbel

Pearson III

1

x1

y1

1

x(1)

1/(n+1)

z1

x

x

x

x

2

x2

y2

2

x(2)

2/(n+1)

z2

x

x

x

x

3

x3

y3

3

x(3)

3/(n+1)

z3

x

x

x

x

…

…

…

..

…

…

..

…

…

…

…

n

xn

yn

n

x(n)

n/(n+1)

zn

x

x

x

x

X (mm)

X –axis

Return period

Non excedance probability

/

Prob. de não excedência anual:

Prob(X<=x) = F(x) = p

Excedance probability

/

Prob. de excedência annual:

q = Prob(X>x) = 1 - F(x) = 1 - p

Return period, T

: Average number of years between events /

Período de retorno, T / Período médio em anos entre eventos

q = 1- F(x

)

T (anos)

0,5

2

0,1

10

0.01

100

0.001

1000

q

p

x

F

T

1

1

1

)

(

1

1

_









This means: A 100 year event occurs on average every 100 years.

Ou seja, um

evento com um período de retorno ocorre em média 100 vezes num intervalo de 1000

anos.

Return period

10-11-2016

Is a 100 year event a rare event? What is the probability of a 100 year event

occurring in a period of 100 years?

Considere um evento com um periodo de

retorno de 100 anos. Será que é um evento raro ? Qual é a probabilidade de

ocorrência deste evento num intervalo de 100 anos?

Probability of occurring in a given year:

Probabilidade do evento ocorrer num dado ano:

Probability of not occurring in a given year:

Probabilidade do evento não ocorrer num dado ano:

Probability of not occurring in a 100 years period:

Probabilidade do evento não ocorrer em 100 anos:

Probability of occurring in a 100 years period:

Probabilidade do evento ocorrer em 100 anos

Recomended return periods

Type of infra-structure

Return period

(years)

Urban drainage works /

Drenagem de zonas urbanas

10 a 20

Agricultural drainage works

/

Obras de enxugo

20 a 50

Flood control works along rivers /

Obras longitudinais de defesa contra cheias

em rios , consoante a importância das zonas e dos centros urbanos existentes

20 ou 50 a 100

Coastal defense works /

Obras de defesa do mar

50 a 100

Concrete dam spillways in isolated areas /

Descarregadores de cheias de

barragens de betão, de modesta dimensão, em zonas pouco habitadas

100 a 250

Concrete dam spillways in populated areas/

Descarregadores de cheias de

barragens de betão, de grande dimensão, em zonas muito habitadas

500 a 1000

Earth dam spillways in isolated areas /

Descarregadores de cheias de

barragens de aterro, de modesta dimensão, em zonas pouco habitadas

1000 a 5000

Earth dam spillways in populated areas /

Descarregadores de cheias de

barragens de aterro, de grande dimensão, em zonas muito habitadas

5000 a 10000

Recommendd return period as a function of the type of works (and risk) (Tonini, 1966)

Normal

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

: 0

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

• Probability factor /

Factor de probabilidade

:

K

_N

= Z

_p

(inverse standard normal /

inversa da normal reduzida

)











X

n

X

X

n i i X









1

ˆ

m

s





1

ˆ

1 2 2















n

X

X

S

S

n i i X X X

s

m



























 





2 2

₂

1

exp

2

1

)

(

s

m

s

x

x

f

p

z

X



m



s



z

_p





 

p



Inversa

normal

reduzida

• X ~ Normal; Y = ln(X) ~log normal

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

• Probability factor /

Factor de probabilidade

:

K

_N

= Z

_p

(inverse standard normal /

inversa da normal reduzida

)

Log-normal

0



X

n

X

X

n i i X









1

ˆ

m

 



exp

2

1



2 2





Y X

m

X

s

s





1

ˆ

1

2

2















n

X

X

S

S

n

i

i

X

X

X

s

















2

exp

2 Y Y X

s

m

m



































2 2

ln

2

1

exp

2

1

)

(

Y Y Y

x

x

f

s

m

s



Y p



p

Y

S

z

X

 exp





z

_p





 

p



Inversa

Normal

Re

duzi

da

• X ~ Normal; Y = ln(X-



) ~log normal

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

• Probability factor /

Factor de probabilidade

:

K

_N

= Z

_p

(inverse standard normal /

inversa da normal reduzida

)

Log-normal de 3 parâmetros





X

n

Y

Y

n i i Y









1

ˆ

m





1

ˆ

1 2 2















n

Y

Y

S

S

n i i Y Y Y

s



































2 2

ln

2

1

exp

2

1

)

(

Y Y Y

x

x

f

s

m

s



Y p



p

u

Y

S

z

x





exp





z

_p





(

p

)



Inversa

Normal

Re

duzida

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

• Probability factor /

Factor de probabilidade

:

Gumbel





ˆ



u



X



0

,

5772

ˆ







ˆ



₆

S

x

u

























































x

x

x

f

(

)

1

exp

exp

exp

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape /

Forma

:

• Skewness coeficient /

Coef. assimetria:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

Goodrich (EV tipo III)



1

_ˆ

1



ˆ

ˆ







1ˆ













_u

_X

































 













x

x

F

(

)

1

exp









ˆ

_ln

₁

_p



1



ˆ

u

x

_p











0

,

;











X





























 













 































x

x

x

f

k

exp

)

(

1

goalseek

N ~

ˆ

1

_





 



ˆ2 2 2

1

ˆ

1

1

ˆ

2

ˆ

1









_















_

_

_

_

_





X

S

A

)

(x



Gamma function (it is not the Gamma

probability distribution function)

Change N to set the skewness coefficient

equal to the sample skewness coefficient

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape /

Forma

:

• Estimators (by linear moments) /

Estimadores (por momentos lineares)

:

• Inverse function /

Função inversa

:

GEV - Generalizada de extremos



































_

















1

1

exp

)

(

x

x

F

 















ˆ

ln

1

ˆ

ˆ

p

u

x

_p















2

9554

.

2

8590

.

7

ˆ

_c

_c

k





 

 

3

ln

2

ln

3

2

0 2 0 1

















c

 



 

























 





n r j j r

r

n

X

r

j

n

r

1

1

1

1

ˆ





(x

)

Gamma function (it is not the Gamma

probability distribution function)

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

• Probability factor /

Factor de probabilidade

:

Pearson III

















X

X

0

0





 





















_















 

























x

x

x

f

(

)

1

exp

1

)

,

ˆ

(

ˆ

ˆ

1

p

x

_p































2

0

2

0















ˆ

ˆ



S

X 2

2

ˆ

_













G





ˆ



u



X



S

_X





ˆ



X





ˆ





ˆ

)

,

ˆ

(

1

p







Inversa da fdp Gama padronizada

10-11-2016

𝐾

_𝑝

=

2

𝛾

∙ 1 +

𝑧

_𝑝

∙ 𝛾

6

−

𝛾

2

36

3

−

2

𝛾

Aprox. de Kite (1977); valid for −2 < 𝛾 < 5 and z > 0.

Aprox: de Wilson-Hilferty; valid for 0.01<p<0.99 and −2 < 𝛾 < 2.

Pearsonn III

• When the skewness coefficient is close to zero, the PearsonIII function

approximates the normal distribution. In such cases, there may be

problems in calculating the quantile if they are calculated by the

equations derived for the Pearson III distributions. It is recommended

to resort to the probability factor or the expressions of the normal

distributions /

Quando o coeficiente de assimetria é próximo de zero, a função de

PearsonIII aproxima-se da normal. Nesses casos, pode haver problemas no cálculo dos

quantis se estes forem calculados pelas expressões da PearsonIII, sendo necessário

recorrer ao factor de probabilidade ou às expressões da normal.

• X~Pearson 3; Y = ln(X) ~Log-Pearson 3

• Domain /

Domínio

:

• Parameters /

Parâmetros

:

– Location /

Localização

:

– Scale /

Escala

:

– Shape (Skewness )/

Forma (Coeficiente de assimetria)

:

• Skewness /

Coeficiente de assimetria

:

• Estimators /

Estimadores

:

• Inverse function /

Função inversa

:

Gamma function and

Gamma probability distribution function

Função

Expressão

Função Excel

Função Gama

EXP(GAMMALN(x))

Função de distribuição da

probabilidade Gama

GAMMADIST(x,,,0)

Função de distribuição da

probabilidade acumulada Gama

GAMMADIST(x,,,1)

Inversa da função de

distribuição da probabilidade

acumulada Gama

GAMMAINV(p,,)

Distribuição de probabilidade

Gama reduzida (padronizada)

(cum = 0 dens.; cum = 1 – acum.).

Relationships between probability distribution functions

Generic function

Função geral

Condition

Condição

Specific function

Função particular

Log-normal 3 param

Log-normal

GEV

Gumbel (EV tipo I)

Pearson3

Gama

Pearson3

Normal

Goodrich

Weibul

X

Relationship /

Relação

Y

Log-Normal

Y = ln(X)

Normal

Log-Pearson3

Y = ln(X)

Pearson3

Weibull

Y=-ln(X)

Gumbel

EV-tipo III com k>0

Weibull

Exercise

Consider the annual precipitation record and assume it follows a

Gauss distribution /

Considere o registo de precipitação anual do posto de

Alenquer. Assumindo que a precipitação anual segue uma distribuição de probabilidade

de Gauss.

• What is the probability of ocurrring an annual value less than

450 mm?

Qual é a probabilidade de ocorrer um valor de precipitação anual inferior

a 450 mm?

• What is the precipitation value that corresponds to a probability

of 1% of ocurrring larger values?

Qual o valor da precipitação anual que

corresponde a uma probabilidade de ocorrerem valores de precipitação anual

superiores igual 1%.

ALENQUER (19C/10U) Precipitação anual (mm) 1980/81 398.3 1981/82 601.4 1982/83 435.7 1983/84 957.7 1984/85 903.1 1985/86 662.4 1986/87 752.3 1987/88 998.7 1988/89 624.7 1989/90 1092 1990/91 818.3 1991/92 478.1 1992/93 570.4 1993/94 749.8 1994/95 399 1995/96 1996/97 742.9 1997/98 1011.6 1998/99 505.1 1999/00 748.5 2000/01 1038.9 2001/02 672.6 Ano hidrológico

Average /

Média

= 722,0 mm

Std deviation /

Desvio padrão

= 217,8 mm

Skewness /

Coef. assimetria

= 0,14

Exercise

The average annual flow generated in a watershed is 200 mm. Assuming

that the coeficient of variation can be estimated by

,

determine the annual flow which has a 90% change of not being

exceeded. Assume the annual flow follows a normal distribution. Also

determine the annual flow which has a 90% change of being exceeded.

Para determinada bacia hidrográfica estimou-se um escoamento médio anual de

200 mm. Assumindo que o coeficiente de variação do escoamento anual pode ser

estimado

, determine o valor de escoamento anual que tem a

probabilidade de 90% de não ser excedido, de acordo com a lei normal.

Determine também o valor do escoamento anual que, segundo tal lei, tem a

probabilidade de 90 % de ser excedido.

Exercise

Consider the following plot of annual

maximum daily precipitation values /

Na

figura representa-se em papel de probabilidade

normal uma série de máximos anuais da

precipitação diária.

– What is the sample average and the

sample standard deviation?

Estime a média

e

o desvio-padrão da série amostral ?

– Is the sample skewness positive or

negative?

A série amostral tem um coeficiente

de assimetria positivo ou negativo ?

– Provide an estimate of the annual

maximum daily precipitation for a return

period of 100 years, using the Gumbel

distributions /

Estime a precipitação máxima

diária com um período de retorno de 100 anos

pela lei de Gumbel.

Exercise

Compute the annual maximum discharge for a return period of 500 years,

for a watershed where the average and the coeficient of variation of the

annual maxima discharge sample is 1000 m

3

_{/s and 0,270. Assume a}

Gumbel probability function.

Estime o caudal máximo anual com um período de retorno de 500 anos para a secção

transversal de um curso de água onde a média e o coeficiente de variação dos caudais

máximos anuais são, respectivamente, 38,9 m

3

_{/s e 1,15. O factor de probabilidade da lei de}

Gumbel é definido por:

Exercise

Compute the annual maximum discharge for a return period of 20 years, for a

watershed where the annual maxima flow record has the following statistics.

Assume a Pearson3 probability function.

Exercise

Compute the annual maximum discharge for a return period of 20 years, for a

watershed where the annual maxima flow record has the following statistics.

Assume a LogPearson3 probability function.

Uma determinada amostra de valores de caudal máximo anual apresenta as estatísticas apresentadas no

quadro. Assumindo a fdp de LogPearson III, estime o valor de caudal máximo anual associado a um

período de retorno de 20 anos.

Exercise

Use the data from the previous exercise to compute the flood maximum discharge

assuming the Gumbel, Pearson 3 and log-Pearson 3 probability functions.

Use os dados do exercício anterior para comparar os valor de caudal máximo de cheia

assumindo as fdp de Gumbel, Pearson 3 e log-Pearson 3.

Exercise

A small town suffers floods whenever the discharge of a nearby river exceeds

400 m

3

_{/s. The table presents some statistics of the flow record of that river.}

Assuming a log-normal distribution, estimate the return period of the floods.

Considere um aglomerado populacional localizado junto a um curso de água que provoca inundações

sempre que o seu caudal excede 400 m

3

_{/s. O registo de uma estação hidrométrica próxima permitiu}

estimar os valores apresentados no quadro e concluir que a distribuição dos valores do caudal máximo

anual pode ser representada por uma função de distribuição log-normal. Estime o período de retorno de

ocorrência das inundações.

Variável

Média

Desv. padrão

Coef. assimetria

Caudal máximo anual, Q, (m3/s)

40

45

3

Ln Q

3,5

3

-2

Exercise

The series of Naiperian logarithms of the annual maximum peak discharge of a

given river cross section has an average of 6,46, a standard deviation of 0,9 and

skewness of 0,0. Using the log-Pearson III distribution, estimate the discharge

associated with a probability of 0,99 of not being exceeded.

Em determinada secção de um curso de água, a série de logaritmos neperianos dos caudais máximos

anuais em m3/s, apresenta uma média de 6,46, um desvio padrão de 0,9 e um coeficiente de assimetria

de 0,0. Estime pela lei Log-Pearson III o caudal que tem uma probabilidade de 0,99 de não ser excedido.

T (anos)

10

100

1000

10000

Exercise

The annual flow volume of a watershed with 438 km

2

_{is 750 mm. Assuming that}

this variable can be described by a normal distribution with CV = 2,74H

-0,24

_{(H in}

mm) estimate the annual flow in m

3

_{for a 100 anos return period.}

O escoamento anual médio de uma bacia hidrográfica com 438 km

2

_{é 750 mm. Assumindo que esta}

variável pode ser descrita por uma distribuição Normal e que o coeficiente de variação pode ser

estimado por CV = 2,74H

-0,24

_{(H em mm) estime o escoamento anual em m}

3

_{para um período de retorno}

de 100 anos.

F(x)

0,5

0,9

0,99 0,995 0,999

K

_N

0,00

1,28

2,33

2,56

3,09

Exercise

Consider a small town located near a stream where the distribution of the annual

maximum peak discharge can be described by the Gumbel law, with average 70

m

3

_{/s and standard deviation 40 m}

3

_{/s. Knowing that floods ocurr whenever the}

discharge exceeds 150 m

3

_{/s, estimate the return period of floods and the}

probability of ocurring one or more floods in a period of 80 years.

Exercise

The spillway of a dam is designed for a peak discharge of 1280 m

3

_s

-1

_{. The series}

of the annual maximum peak discharge at the dam site has na average of 500 m

3

s

-1

_{and a standard deviation of 250 m}

3

_s

-1

_{. Assuming the Gumbel distribution,}

please estimate:

– The probabilidade of the design flow being exceded in a given year.

– The probabilidade of the design flow being exceded at least once in 40 years.

Em determinada obra dimensionaram-se os órgãos de descarga para um caudal máximo anual de 1280 m

3

s

-1

_{. Na secção onde a obra foi implantada a série dos caudais máximos anuais apresenta uma média e um}

desvio-padrão de 500 m

3

_s

-1

_{e 250 m}

3

_s

-1

_{, respectivamente. Nessas condições e admitindo a aplicabilidade}

da lei de Gumbel, determine:

–

A probabilidade do caudal de dimensionamento não ser excedido num determinado ano;

–

A probabilidade do caudal de dimensionamento ser excedido em pelo menos um dos quarenta anos

que se sigam à conclusão da obra.