Existência e Multiplicidade de Soluções Positivas para Problemas Elípticos Semilineares

(1)

Centro de Ciˆencias e Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matem´atica

Existência e Multiplicidade de Soluções

Positivas para Problemas El´ıpticos

Semilineares

por

Franciery Chaves Silva

†

sob orientac¸˜ao do

Prof. Dr. Jos´e Lindomberg Possiano Barreiro

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como re-quisito parcial para obtenção do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática.

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UFCG

S586e Silva, Franciery Chaves.

Existência e multiplicidade de soluções positivas para problemas elípticos semilineares / Franciery Chaves Silva. – Campina Grande, 2017.

110 f.

Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciências e Tecnologia, 2017.

"Orientação: Prof. Dr. José Lindomberg Possiano Barreiro”. Referências.

1.

1. Equação Elíptica Semilinear. 2. Sistema Elíptico Semilinear. 3. Métodos Variacionais. 4. Não Linearidade do Tipo Côncava e Convexa. I. Barreiro, José Lindomberg Possiano. II. Título.

CDU 517.956.2(043)

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Dedicat´oria

Aos meus pais, Francisco Amaro e Raimunda Chaves.

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Agradecimentos

Quero expressar meus sinceros agradecimentos a todos que contribu´ıram para a realiza-ção deste trabalho, em especial, à Deus, pelo dom da vida e por estar comigo em todos os momentos.

Aos meus pais, Francisco Amaro e Raimunda Chaves, por todo amor, carinho, confian-ça, atenção, dedicação e ensinamentos; esses foram essenciais para a concretização desse sonho.

Aos meus irm˜aos, Franciany Chaves e Francismael Chaves, e a minha tia, Terezinha Chaves, por todo amor, apoio, carinho e incentivo.

Aos meus sobrinhos, Mariany Stefane, Gabriel, Diogo e Wilian Davi, por todo amor e carinho.

Ao meu cunhado, Lindomar Silva, por todo apoio, carinho, atenc¸˜ao e incentivo. Aos demais familiares por estarem presentes em todos os momentos da minha vida.

`

A minha melhor amiga, Gisane Fagundes, a qual foi uma das grandes responsáveis para a concretização dessa conquista.

`

A Eulalia Lucena, por toda atenc¸˜ao e carinho prestados nesse per´ıodo que estive em Campina Grande.

Aos meus professores da Universidade Regional do Cariri, em particular a Ricardo Rodrigues de Carvalho e a Fl´avio Franc¸a Cruz, por todo apoio, incentivo e pela oportunidade de ter sido bolsista.

Aos meus amigos da Universidade Regional do Cariri, em particular a Alancoc, Danilo e Keyson, por todo apoio, incentivo e todos os momentos de estudo.

Ao professor José Lindomberg, pela orientação, atenção, incentivo e confiança. Aos meus professores da Universidade Federal de Campina Grande, em particular ao professor Marcelo Carvalho, por todo apoio, dedicação e paciência.

Aos meus amigos da Universidade Federal de Campina Grande, em particular a Andr´e Felipe, Arthur, Bruna, Camila, Daniela, Felipe, Geovany, Ismael, Laise, Lucas, Lucas Sie-bra, Marinho, Matheus, Otacilia, Thiago Felipe e Wellier, pelo apoio, incentivo, companhia,

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momentos de estudo e in´umeras risadas compartilhadas.

Aos membros da banca, por terem aceitado o convite para compor a banca examina-dora.

Aos funcion´arios da UAMat da Universidade Federal de Campina Grande, pela com-panhia e amizade.

`

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poss´ıvel tente a quarta, a quinta e quantas vezes for necessário. Só não desista nas primeiras tentati-vas, a persistência é amiga da con-quista.”

Bill Gates

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Resumo

Nesta dissertação, apresentamos resultados de existência e multiplicidade de soluções positivas para os seguintes problemas:

 



−∆v + λv = f (z)vp−1+ h(z)vq−1, em RN

v∈ H1_(RN_), (Eλ)

onde 1 ≤ q < 2 < p < 2∗=_N−22N , para N ≥ 3, e as funções f e h satisfazem algumas condições, e          −∆u = λg(z)|u|p−2u+ α α+βf(z)|u| α−2_u|v|β_{, em Ω} −∆v = µh(z)|v|p−2v+ β α+βf(z)|u| α_|v|β−2_{v, em Ω} u= v = 0, sobre ∂Ω, (E_λ,µ)

onde α > 1, β > 1 e 2 4, λ, µ > 0, 0 ∈ Ω ⊂ RN é um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω suave e f , g, h : Ω → R satisfazem algumas condições. Entre as principais ferramentas utilizadas estão o Princ´ıpio Variacional de Ekeland, Lema de Pierre-Louis Lions, Teorema dos Multiplicadores de Lagrange e propriedades envolvendo Varie-dade de Nehari.

Palavras-chave: Equação El´ıptica Semilinear, Sistema El´ıptico Semilinear, Métodos Varia-cionais, Não Linearidade do Tipo Côncava e Convexa.

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Abstract

In this dissertation, we present results of existence and multiplicity of positive solutions for the following problems:

 



−∆v + λv = f (z)vp−1+ h(z)vq−1, in RN

v∈ H1_(RN_), (Eλ)

where 1 ≤ q < 2 < p < 2∗=_N−22N for N ≥ 3 and the functions f and g satisfy some conditions, and          −∆u = λg(z)|u|p−2u+ α α+βf(z)|u| α−2_u|v|β_{, in Ω} −∆v = µh(z)|v|p−2v+ β α+βf(z)|u| α_|v|β−2_{v, in Ω} u= v = 0, on ∂Ω, (E_λ,µ)

where α > 1, β > 1 and 2 4, λ, µ > 0, 0 ∈ Ω ⊂ RN is a boun-ded domain with smooth boundary ∂Ω and f , g, h : Ω → R satisfy some conditions. Among the main tools used are the Ekeland’s Variational Principle, Pierre-Louis Lions Lemma, La-grange Multipliers Theorem and properties involving Nehari Manifold.

Keywords: Semilinear Elliptic Equations, Semilinear Elliptic Systems, Nehari Manifold, Concave and Convex Type Nonlinearity.

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Sum´ario

Lista de Notac¸˜oes 10

Introduc¸˜ao 12

1 Existência e Multiplicidade de Soluções Positivas para uma Equação El´ıptica

Semilinear Envolvendo n˜ao Linearidade Cˆoncava e Convexa 15

1.1 O Funcional Energia Associado ao Problema e a Variedade de Nehari . . . 16 1.2 Existência de uma Solução Positiva . . . 32 1.3 Existência de Múltiplas Soluções Positivas . . . 41 2 Existência e Multiplicidade de Soluções Positivas para um Sistema El´ıptico

Se-milinear 57

2.1 O Funcional Energia Associado ao Problema e a Variedade de Nehari . . . 58 2.2 Sobre Sequências de Palais-Smale . . . 68 2.3 Existência de uma Solução Positiva . . . 71 2.4 Existência de Múltiplas Soluções Positivas . . . 77

A Funcionais Diferenci´aveis 86

B Sobre Valores Palais-Smale 91

C Resultados Importantes 103

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Lista de Notac¸˜oes

u+ max{u, 0} ≥ 0, chamada de parte positiva de u.

h·, ·i Produto de dualidade.

supp(u) Suporte da func¸˜ao u.

BN_r(x) Bola aberta de centro x ∈ RN e raio r > 0.

Ac Complementar do conjunto A.

Lp(Ω) Espaço das funções mensuráveis u : Ω → R tais que R

Ω|u| p_dz_<

∞, 1 ≤ p < ∞.

L_locp (Ω) Espaço das funções mensuráveis u : Ω → R tais queR

K|u|pdz<

∞, para todo conjunto compacto K ⊂ Ω, 1 ≤ p < ∞.

H1_(RN) Espaço de Sobolev das funções em L2_(RN) cujas derivadas fracas de primeira ordem estão em L2_(RN).

D1,2_(RN) Espaço das funções u ∈ L2∗_(RN) tais que ∇u ∈ L2(RN). H−1_(RN) Espaço dual de H1_(RN).

H H₀1(Ω) × H₀1(Ω).

H−1 Espac¸o dual de H.

Ck Conjunto das funções k vezes continuamente diferenciáveis.

C∞

0(Ω) Espaço das funções u ∈ C∞(Ω) tais que supp(u) ⊂⊂ Ω.

o_n(1) Sequência de números reais convergindo para 0 quando n → ∞. oε(1) Sequência de números reais convergindo para 0 quando ε → ∞.

f(x) = O(εN−2) Se lim ε→∞ f(x) εN−2 ≤ C, para algum C ≥ 0. ∇u = ∂u ∂x1, . . . , ∂u ∂xN

Denota o gradiente da função u. ∆u = ∑N_i=1∂ 2_u ∂x2_i Denota o laplaciano de u. k.k Norma no espaço H1_(RN). k.k_H Norma no espaço H. k.k# Norma no espaço L p p−q_(RN_). k.k_LP_(RN₎ Norma no espaço Lp(RN). k.k∞ Norma no espaço L∞(Ω).

→, * Convergˆencia forte e fraca, respectivamente.

(12)

9 N˜ao converge forte.

,→ Indica a imers˜ao.

2∗= _N−22N Expoente cr´ıtico de Sobolev, N ≥ 3.

(PS) Palais-Smale.

(PS)c Sequˆencia de Palais-Smale no n´ıvel c.

q.s. Quase sempre, ou seja, a menos de um conjunto de medida nula.

|Ω| Medida de Lebesgue do conjunto Ω.

(13)

Introduc¸˜ao

Nesta dissertação, apresentamos resultados de existência e multiplicidade de soluções positivas para a seguinte equação el´ıptica semilinear envolvendo não-linearidade côncava e convexa    −∆v + λv = f (z)vp−1+ h(z)vq−1_{, em R}N v∈ H1_(RN_), (Eλ)

onde 1 ≤ q < 2 < p < 2∗ = _N−22N , para N ≥ 3, e as funções f e h satisfazem as seguintes hipóteses:

( f1) f é uma função cont´ınua positiva em RN e lim

|z|→∞f(z) = f∞> 0.

( f2) existem k pontos a1, a2, . . . , akem RN tais que

f(ai) = fmax= max z∈RN f(z), para 1 ≤ i ≤ k e f_∞< fmax. (h1) h ∈ L p p−q_(RN_{) ∩ L}∞_(RN_{) e h > 0.}

Estudamos também a existência e multiplicidade de soluções positivas para o seguinte sistema el´ıptico semilinear

         −∆u = λg(z)|u|p−2u+ α α+βf(z)|u| α−2_u|v|β_{, em Ω} −∆v = µh(z)|v|p−2v+ β α+βf(z)|u| α_|v|β−2_{v, em Ω} u= v = 0, sobre ∂Ω, (E_λ,µ)

onde α > 1, β > 1, 2 4, λ, µ > 0, 0 ∈ Ω ⊂ RN é um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω suave e f , g, h : RN→ R satisfazem as seguintes propriedades: (A1) f , g e h são funções cont´ınuas e positivas em Ω.

(14)

(A2) existem k pontos a1, a2, . . . , akem Ω tais que f(ai) = max z∈Ω f(z) = 1, 1 ≤ i ≤ k, e para alguma σ > N, f(z) − f (ai) = o(|z − ai|σ₎ quando z → aiuniformemente em i.

Para abordar tais problemas utilizamos o Método Variacional. Grosso modo, tal método consiste em encontrar pontos cr´ıticos do funcional associado ao problema em estudo. A mul-tiplicidade de soluções para tais problemas está relacionada ao número de máximos isolados que a função f possui. De uma maneira geral, introduzimos uma função baricentro e, a partir dela, constru´ımos vizinhanças na Variedade de Nehari associada ao funcional. Em seguida, em cada vizinhança, constru´ımos sequências Palais-Smale para as quais vale a condição de Palais-Smale para o funcional associado, mostrando, assim, a existência de múltiplas soluções positivas.

Esta dissertação está dividida em dois cap´ıtulos e três apêndices organizados da se-guinte maneira: no Cap´ıtulo 1, baseado no artigo de Lin [25], buscamos k + 1 soluções positivas para o problema (E_λ). À princ´ıpio, faremos uma mudança de variável na equação (E_λ), a qual é transformada em

   −∆u + u = f (εz)up−1+ ε 2(p−q) p−2 _h(εz)uq−1_{, em R}N u∈ H1_(RN_), (Eε) onde ε = λ−12 e u(z) = ε 2

p−2_v_{(εz). Depois, dedicamos ao estudo do funcional associado ao} problema (Eε) e a variedade de Nehari Mε, a qual dividimos em duas partes Mε+ e M

− ε . Em

seguida, provamos a existência de uma solução positiva u0∈ Mε+ para (Eε). Finalmente,

mostramos que a condição ( f2) garante a existência de k soluções positivas para (Eε), isto é,

existem, pelo menos, k pontos cr´ıticos u1, u2, . . . , uk∈ Mε− de Jε tais que Jε(ui) = βiε, para

1 ≤ i ≤ k.

No Cap´ıtulo 2, baseado também no artigo de Lin [24], buscamos k soluções positivas para o sistema (E_λ,µ). Primeiramente, estudamos a variedade de Nehari M_λ,µ. Em seguida, provamos a existência de uma solução positiva (u0, v0) ∈ Mλ,µde (Eλ,µ). Por fim, mostramos

(15)

no m´ınimo, k pontos cr´ıticos (ui, vi) ∈ Mλ,µde Jλ,µ tais que Jλ,µ(ui, vi) = βi_λ,µpara 1 ≤ i ≤ k.

No Apêndice A, definimos à derivada de Fréchet, à derivada de Gateaux e mostramos que os funcionais associados aos problemas (Eε) e (Eλ,µ) são de classe C1.

No Apˆendice B, mostraremos que dois valores Palais-Smale em H1_(RN) para um fun-cional s˜ao iguais.

(16)

Cap´ıtulo 1

Existência e Multiplicidade de Soluções

Positivas para uma Equac¸˜ao El´ıptica

Semilinear Envolvendo n˜ao Linearidade

Cˆoncava e Convexa

O objetivo deste cap´ıtulo é estudar a existência e multiplicidade de solução não nega-tiva para o seguinte problema

 



−∆v + λv = f (z)vp−1+ h(z)vq−1, em RN

v∈ H1_(RN_), (Eλ)

onde 1 ≤ q < 2 < p < 2∗=_N−22N , para N ≥ 3, e as funções f e h satisfazem algumas condições. Este tipo de não linearidade caracteriza o Problema (E_λ) como do tipo côncava e convexa.

Problemas el´ıpticos semilineares envolvendo n˜ao linearidade cˆoncava e convexa em um dom´ınio limitado vem sendo estudado intensamente na literatura. Em 1994, Ambrosetti-Brezis-Cerami [3] mostraram que o problema

 



−∆u = c|u|q−2u+ |u|p−2u, em Ω u∈ H₀1(Ω),

onde Ω ´e um dom´ınio limitado do RN e 1 ≤ q < 2 0 suficientemente pequeno. Resultados mais gerais do problema

 



−∆u = ch(z)|u|q−2u+ |u|p−2u, em Ω u∈ H1

0(Ω),

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onde Ω ´e um dom´ınio limitado do RN e 1 ≤ q < 2 < p < 2∗, foram feitas por Ambrosetti-Garcia-Peral em 1996 [4], Brown-Zhang [12] e de Figueiredo-Gosses-Ubilla [14], ambos em 2003.

Mais tarde, em 2006, Wu [31], utilizando a variedade de Nehari, provou que existem, pelo menos, duas soluc¸˜oes positivas para o problema

   −∆u = up_{+ λ f (x)u}q_{, em Ω} u∈ H1 0(Ω),

onde Ω é um dom´ınio limitado do RN, 0 ≤ q < 1 0 e f : Ω → R é uma função cont´ınua que muda de sinal em Ω.

Neste cap´ıtulo, trataremos da existência e multiplicidade de soluções positivas para o problema (E_λ) em RN. Para o caso q = λ = 1 e f ≡ 1, Zhu [32] mostrou que o problema (E_λ) admite, pelo menos, duas soluções positivas em RN, onde a função h é não negativa, sufici-entemente pequena e tem decaimento exponencial. Sem a condição do decaimento exponen-cial, Cao-Zhou [13] e Hirano [19] provaram que o problema (E_λ) admite, pelo menos, duas soluções positivas em RN. Mudando a condição sobre a f (z), Adachi-Tanaka [1], usando a ideia de categoria e o argumento minimax de Bahri-li’s, afirmaram que o problema (E_λ) admite, no m´ınimo, quatro soluções positivas em RN, onde f (z) ≥ 1 − cexp(−(2 + δ)|z|), para algum c, δ > 0 e khk_H−1> 0 suficientemente pequeno. Hsu-Lin em [20] estudaram que há, ao menos, quatro soluções positivas do caso geral

−∆u + u = f (z)up−1+ λh(z)uq−1 em RN, para λ > 0 suficientemente pequeno.

1.1 O Funcional Energia Associado ao Problema e a

Vari-edade de Nehari

(18)

Demonstração. Sejam ε = λ−12 e u(z) = ε 2 p−2_{v(εz), então} ε−2= λ e u(z)ε− 2 p−2 _{= v(εz).}

Assim, via mudança de variável, temos que a equação

−∆v + λv = f (z)vp−1+ h(z)vq−1, isto ´e, − N

∑

i=1 ∂2v ∂z2_i + λv = f (z)v p−1_{+ h(z)v}q−1 ´e equivalente a −ε−2ε− 2 p−2 N

∑

i=1 ∂2u ∂z2_i + ε −2 ε− 2 p−2_u_{= f (εz)ε}− 2(p−1) p−2 _up−1_{+ h(εz)ε}− 2(q−1) p−2 _uq−1_. Logo, −ε−2(p−1)p−2 _{∆u + ε}− 2(p−1) p−2 _u_{= f (εz)ε}− 2(p−1) p−2 _up−1_{+ h(εz)ε}− 2(q−1) p−2 _uq−1_. _(1.1) Dividindo (1.1) por ε− 2(p−1) p−2 _{, temos} −∆u + u = f (εz)up−1+ ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)uq−1_.

Portanto, o problema (E_λ) ´e transformado em    −∆u + u = f (εz)up−1+ ε 2(p−q) p−2 _h(εz)uq−1_{, R}N u∈ H1_(RN_).

Considere o problema el´ıptico semilinear (Eε), com 1 ≤ q < 2 < p < 2∗, para N ≥ 3,

onde f e h satisfazem as seguintes condic¸˜oes:

( f1) f é uma função cont´ınua positiva em RN e lim

|z|→∞f(z) = f∞> 0.

( f2) existem k pontos a1, a2, . . . , akem RN tais que

f(ai) = fmax= max

(19)

(h1) h ∈ L p

p−q_(RN_{) ∩ L}∞_(RN_{) e h > 0.}

Associado ao problema (Eε), temos o funcional energia Jε: H1(RN) → R definido por

J_ε(u) = 1 2||u|| 2₋1 p Z RN f(εz)|u|pdz−1 q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz, onde kuk2= Z RN (|∇u|2+ |u|2)dz ´e a norma em H1_(RN).

O funcional Jε∈ C1(H1(RN), R) (Veja Apˆendice A) com

J0 ε(u), v = Z RN ∇u∇vdz + Z RN uvdz− Z RN f(εz)|u|p−2uvdz− Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q−2_uvdz, para todo v ∈ H1_(RN).

Definição 1.2 Uma solução fraca para (E_ε) é uma função u ∈ H1_(RN) que satisfaz Z RN ∇u∇vdz + Z RN uvdz= Z RN f(εz)|u|p−2uvdz+ Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u|q−2_uvdz, para todo v∈ H1_(RN_).

Observação 1.3 Uma solução fraca para (E_ε) é precisamente ponto cr´ıtico do funcional J_ε e reciprocamente.

Seja

S= sup

u∈H1_(RN_{) : kuk=1}

kuk_Lp_(RN₎

a melhor constante de Sobolev para a imers˜ao de H1(RN) em Lp_(RN), isto ´e, a menor constante positiva tal que

kuk_Lp_(RN₎≤ Skuk, (1.2)

para todo u ∈ H1_(RN)\{0}.

Para a equac¸˜ao el´ıptica semilinear 





−∆u + u = f (εz)up−1, RN

(20)

definimos o funcional energia Iε: H1(RN) → R pondo Iε(u) = 1 2kuk 2₋1 p Z RN f(εz)|u|pdz.

Como feito anteriormente, Iε∈ C1com

hI_ε0(u), ui = kuk2− Z RN f(εz)|u|pdz. Defina γε= inf u∈Nε I_ε(u), onde N_ε=u ∈ H1_(RN)\{0} : hI_ε0(u), ui = 0 . Note que: i) Se f ≡ f∞, definimos I_∞(u) =1 2kuk 2₋1 p Z RN f_∞|u|p_dz, com hI_∞0(u), ui = kuk2− Z RN f∞|u|pdz. Temos, tamb´em, γ∞= inf u∈N∞ I_∞(u), onde N_∞=u ∈ H1 (RN)\{0} : hI_∞0(u), ui = 0 . ii) Se f ≡ fmax> 0, definimos

I_max(u) =1 2kuk 2₋1 p Z RN f_max|u|pdz, com

(21)

Agora, definiremos as sequências de Smale (denotada por (PS)), valor Palais-Smale e a condição Palais-Palais-Smale em H1_(RN) para um funcional J : H1_(RN_{) → R, que serão} úteis nas demonstrações seguintes.

Definic¸˜ao 1.4 Para β ∈ R, dizemos que:

i) a sequência {un} é uma sequência (PS)β para J se

(

J(u_n) = β + on(1),

J0(u_n) = o_n(1), em H−1_(RN).

ii) β ´e um valor (PS) para J se existe uma sequˆencia (PS)βpara J.

iii) J satisfaz a condição (PS)_β se toda sequência (PS)_β para J possui uma subsequência convergente.

Pelo Corol´ario B.8, Apˆendice B, temos

γmax=

p− 2

2p ( fmaxS

p₎−p−22 _{> 0.} _(1.3)

Observe que Jεn˜ao ´e limitado inferiormente em H1(RN), pois para cada u > 0, temos

J_ε(tu) = t 2 2 ||u|| 2₋tp p Z RN f(εz)|u|pdz−t q q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz ≤ t 2 2 ||u|| 2₋tp p Z RN f(εz)|u|pdz, donde J_ε(tu) → −∞,

quando t → ∞, uma vez que p > 2. Dessa forma, nenhuma minimização é poss´ıvel em todo o espaço H1_(RN). O primeiro passo consiste em livrar-se dessa ilimitação, para isso restringiremos J_εa um conjunto adequado onde ele torna-se limitado inferiormente.

Definição 1.5 Suponha que ϕ ∈ C1_{(X , R) com ϕ}0(0) = 0. Uma condição necessária para que u∈ X seja um ponto cr´ıtico de ϕ é que hϕ0(u), ui = 0. Esta condição define a Variedade de Nehari

N:=u ∈ X : hϕ0_{(u), ui = 0, u , 0} . Consideremos a Variedade de Nehari para o funcional Jε

(22)

onde hJ_ε0(u), ui = kuk2− Z RN f(εz)|u|pdz− Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz.

Lema 1.6 O funcional energia Jε ´e coercivo e limitado inferiormente em Mε.

Demonstração. Se u ∈ Mε, então hJε0(u), ui = 0. Dessa forma,

kuk2= Z RN f(εz)|u|pdz+ Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz. _(1.5)

Segue ent˜ao que

J_ε(u) = 1 2||u|| 2₋1 p Z RN f(εz)|u|pdz−1 q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz = 1 2||u|| 2₋1 p ||u||2− Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz −1 q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz = 1 2− 1 p ||u||2− 1 q− 1 p Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz. _(1.6)

Pela Desigualdade de H¨older (Teorema C.2), com expoentes conjugados _p−qp e p_q, temos que

J_ε(u) ≥ 1 2− 1 p ||u||2− 1 q− 1 p ε 2(p−q) p−2 _khk #kukq_Lp_(RN),

onde khk# ´e a norma em L p

p−q_(RN_{). Da´ı, pela Imers˜ao de Sobolev (Teorema C.7),}

J_ε(u) ≥ 1 2− 1 p ||u||2− 1 q− 1 p ε 2(p−q) p−2 _khk #S q_kukq = p− 2 2p ||u|| 2₋p− q pq ε 2(p−q) p−2 _khk #Sqkuk q = kuk q p p − 2 2 kuk 2−q₋ p− q q ε 2(p−q) p−2 _khk #Sq .

Logo, como q < 2, temos que Jε ´e coercivo e limitado inferiormente em Mε.

Para cada u ∈ M_ε, defina

ψε(u) =Jε0(u), u .

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Para u ∈ Mε, temos por (1.5) ψ0_ε(u), u = 2 kuk2− p kuk2− Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u|q_dz − q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u|q_dz = (p − q) Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u|q_dz_{− (p − 2) kuk}2_. _(1.7)

Por outro lado, e tamb´em por (1.5), podemos escrever ψ0_ε(u), u = 2 kuk2− p Z RN f(εz)|u|pdz− q kuk2− Z RN f(εz)|u|pdz = (2 − q) kuk2− (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz. (1.8)

Agora, dividiremos Mεem trˆes partes, a saber,

M_ε+=u ∈ Mε: ψ0_ε(u), u > 0 ; M_ε0=u ∈ Mε: ψ0_ε(u), u = 0 ; M_ε−=u ∈ Mε: ψ0_ε(u), u < 0 ; este m´etodo ´e devido a Tarantello (veja [28]).

Primeiramente, necessitaremos de alguns Lemas que são essenciais para a demonstração do Teorema 1.18. Lema 1.7 Seja α = ε 2(p−q) p−2 _{. Suponha}_{( f} 1), ( f2) e (h1). Se 0 < α < α0= (p − 2) 2 − q fmax 2−q_p−2 [(p − q)S2] q−p p−2_khk−1 # , (1.9) então M_ε0= /0.

(24)

Uma vez que p−q_p +q_p= 1, segue da Desigualdade de H¨older (Teorema C.2), que kuk2 ≤ p− q p− 2ε 2(p−q) p−2 Z RN |h(εz)|p−qp _dz p−q_p Z RN (|u|q)pq q_p = p − q p− 2 ε 2(p−q) p−2 _khk #kuk q Lp_(RN₎. De (1.9), obtemos kuk2≤ p− q p− 2ε 2(p−q) p−2 _khk #S q_kukq implicando kuk2−q≤ p − q p− 2 α khk_#Sq, e, da´ı, α ≥ p− 2 (p − q) khk_#Sqkuk 2−q . (1.10)

Por outro lado,

kuk2 = p− q 2 − q Z RN f(εz)|u|pdz ≤ p− q 2 − q Z RN f_max|u|pdz = p− q 2 − qfmaxkuk p Lp_(RN₎,

Novamente, por (1.9), temos

(25)

Logo, combinando (1.10) e (1.11), temos α ≥ p− 2 (p − q) khk_#Sq 2 − q (p − q) fmax S−p 2−q_p−2 = (p − 2) 2 − q f_max 2−q_p−2 (p − q)S2q−p_p−2 khk−1_# = α0,

que é uma contradição, pois 0 < α < α0.

O Lema seguinte mostra que minimizantes em Mεs˜ao pontos cr´ıticos para Jε.

Lema 1.8 Suponha que u0´e um minimizante local de Jεem Mεe u0< Mε0. Ent˜ao, J 0

ε(u0) = 0

em H1_(RN).

Demonstração. Se u0 é um minimizante local para Jε sobre Mε, então u0 é solução do

seguinte problema de otimização: minimizar Jε(u) sujeito à restrição ψε(u) , 0. Assim, pelo

Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (Teorema C.10), existe µ ∈ R tal que Jε0(u0) =

µψ0_ε(u0). Logo,

0 = hJ_ε0(u0), u0i = µhψ0ε(u0), u0i,

pois u0∈ Mε. Por´em, como u < M0ε, temos hψ 0

ε(u0), u0i , 0, o que implica µ = 0. Portanto,

J_ε0(u0) = 0 em H1(RN).

Lema 1.9 Valem as seguintes desigualdades: i)

Z

RN

h(εz)|u|qdz> 0, para cada u ∈ M_ε+;

ii) kuk <p−q_p−2αkhk#Sq _2−q1 , para cada u∈ M+ ε; iii) kuk>_{(p−q)( f}2−q max)Sp _p−21 , para cada u∈ M_ε−; iv) Se0 < α = ε 2(p−q) p−2

< q₂α0, ent˜ao existe uma constante positiva d0= d0(α, p, q, S,

khk_#, fmax) tal que Jε(u) > d0> 0, para cada u ∈ Mε−.

Demonstrac¸˜ao. i) Por (1.7), temos

(26)

donde Z RN h(εz)|u|qdz> p− 2 p− qε 2(q−p) p−2 _kuk2_{> 0.} _(1.12) ii) De (1.12), kuk2 < p− q p− 2ε 2(p−q) p−2 Z RN h(εz)|u|qdz = p− q p− 2α Z RN h(εz)|u|qdz.

Da´ı, como fora feito no Lema 1.7, temos

kuk2−q< p− q p− 2α khk#S q_, ou seja, kuk < p − q p− 2α khk#S q _2−q1 .

iii) Para cada u ∈ M−_ε , segue de (1.8), que

0 > (2 − q) kuk2− (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz. Da´ı, kuk2 < p− q 2 − q Z RN f(εz)|u|pdz ≤ p− q 2 − qfmaxkuk p Lp_(RN₎ ≤ p − q 2 − q f_maxSpkukp. Assim, kuk2−p< p− q 2 − qfmaxS p o que implica kukp−2> 2 − q (p − q) fmaxSp e, portanto, kuk > 2 − q (p − q) fmaxSp _p−21 , para u ∈ M_ε−.

(27)

com as Imers˜oes de Sobolev (Teorema C.7), Jε(u) = 1 2− 1 p kuk2− 1 q− 1 p Z RN αh(εz)|u|qdz ≥ kuk q p p − 2 2 kuk 2−q₋p− q q α khk#S q .

Por (iii), segue que

J_ε(u) > 1 p 2 − q (p − q) fmaxSp _p−2q " p− 2 2 2 − q (p − q) fmaxSp 2−q_p−2 − p− q q α khk#S q # = (p − q) p 2 − q (p − q) f_maxSp _p−2q khk#Sq   p− 2 2 2 − q f_max 2−q_p−2 1 (p − q)S2p−q_p−2 khk# −α q   = 1 p 2 − q (p − q) fmaxSp _p−2q (p − q)khk#Sq α0 2 − α q = d0> 0,

pois α <q₂α0. Portanto, para 0 < α < q₂α0e u ∈ Mε−, temos que Jε(u) > 0.

Definiremos agora uma função e mostraremos que tal função atinge um máximo. Essa informação será útil para a demonstração do Lema (1.11).

Lema 1.10 Para cada u ∈ H1_(RN_{)\{0} fixada, defina k : R → R por} k(t) = ku(t) = t2−qkuk2− tp−q

Z

RN

f(εz)|u|pdz, (1.13)

para t≥ 0. Ent˜ao, k(t) tem um ´unico ponto cr´ıtico

¯t = ¯t(u) =    (2 − q)kuk2 (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz    1 p−2

que é um ponto de máximo global. Além disso,

k(¯t) ≥ (p − 2) 2 − q fmax 2−q_p−2 (p − q) q−p p−2_Sp(q−2)p−2 _kukq_. _(1.14)

(28)

temos que k(t) atinge seu valor m´aximo em t > 0. Derivando (1.13), obtemos k0(t) = (2 − q)t2−q−1kuk2− (p − q)tp−q−1 Z RN f(εz)|u|pdz = (2 − q)t−(q+1)t2kuk2− (p − q)t−(q+1)tp Z RN f(εz)|u|pdz = (2 − q)t−(q+1)ktuk2− (p − q)t−(q+1) Z RN f(εz)|tu|pdz = t−(q+1) (2 − q)ktuk2− (p − q) Z RN f(εz)|tu|pdz , (1.15)

para t > 0. Se t0> 0 ´e ponto cr´ıtico de k(t), temos

0 = k0(t0) = (2 − q)t₀1−qkuk2− (p − q)t₀p−q−1 Z RN f(εz)|u|pdz, como t₀1−q_{, 0, obtemos} (2 − q)kuk2− (p − q)t₀p−2 Z RN f(εz)|u|pdz= 0. Da´ı, t₀=    (2 − q)kuk2 (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz    1 p−2 = ¯t, (1.16)

(29)

Pela Desigualdade de Hölder (Teorema C.2) e pela Imersão de Sobolev (Teorema C.7), vem k(¯t) ≥ " 2 − q p− q 2−q_p−2 − 2 − q p− q p−q_p−2# kuk2(p−q)p−2 1 f_maxSp_kukp 2−q_p−2 = (2 − q) 2−q p−2 (p − q) p−q p−2 1 (p − q)−1− (2 − q) kukq 1 f_maxSp 2−q_p−2 . e, portanto, k(¯t) ≥ (p − 2) 2 − q f_max 2−q_p−2 (p − q)q−pp−2_S p(q−2) p−2 _kukq_. y= k(t) t y ¯t Figura 1.1: Gráfico de y = k(t)

Lema 1.11 Para cada u ∈ H1_(RN) \ {0} fixada, temos que: i) Se

Z

RN

h(εz)|u|qdz= 0, então existe um único número positivo t−= t−(u) > ¯t tal que t−u∈ M_ε− e J_ε(t−u) = sup t≥0 J_ε(tu); ii) Se 0 < α = ε 2(p−q) p−2 < α0 e Z RN

h(εz)|u|qdz> 0, ent˜ao existem n´umeros positivos unicamente determinados t+ = t+(u) < ¯t < t−= t−(u) tais que t+u∈ M+ ε , t −_u_{∈ M}− ε , J_ε(t+u) = inf 0≤t≤¯tJε(tu) e Jε(t −_{u) = sup} t≥¯t J_ε(tu).

Demonstração. i) Sabemos que k(t) é crescente para t < ¯t, k(t) é decrescente para t > ¯t, k(¯t) > 0 e lim

(30)

existe um ´unico t−> ¯t tal que

k(t−) = 0 = Z

RN

h(εz)|u|qdz e k0(t−) < 0. Observe que para t > 0, temos

hJ_ε0(tu),tui = ktuk2− Z RN f(εz)|tu|pdz− Z RN αh(εz)|tu|qdz = t2kuk2− tp Z RN f(εz)|u|pdz− tq Z RN αh(εz)|u|qdz = tq t2−qkuk2− tp−q Z RN f(εz)|u|pdz− Z RN αh(εz)|u|qdz = tqk(t).

Assim, para t = t−, obtemos

hJ_ε0(t−u),t−ui = (t−)q[k(t−)] = 0, donde, t−u∈ Mε. Segue de (1.7) e (1.15) que,

hψ0_ε(t−u),t−ui = (2 − q)kt−uk2− (p − q) Z RN f(εz)|t−u|pdz = (t−)q+1[k0(t−)] < 0. ou seja, t−u∈ M−_ε .

Mostraremos agora que Jε(t−u) = sup t≥0

J_ε(tu). Observe que

(31)

Como k(t) > 0, 0 < t < ¯t < t−, k(t) ´e decrescente em (¯t, ∞) e k(t−) ≤ 0 segue que d dtJε(tu)          > 0 , em (0,t−) = 0 , em t− < 0 , em (t−, ∞) .

Assim, Jε(tu) ´e crescente em (0,t−), _dtdJ(t−u) = 0 e Jε(tu) ´e decrescente em (t−, ∞), logo t−

é o único ponto cr´ıtico de Jε(tu), o qual é ponto de máximo. Portanto, Jε(t−u) = sup t≥0

J_ε(tu).

ii) Como k(0) = 0 e Z

RN

αh(εz)|u|qdz> 0, pela Desigualdade de H¨older (Teorema C.2) e a Imers˜ao de Sobolev (Teorema C.7),

k(0) = 0 < α Z

RN

h(εz)|u|qdz< αkhk#Sqkukq.

Assim, para 0 < α < α0aplicando (1.9) e (1.14), conclu´ımos que

0 < α Z RN h(εz)|u|qdz < " (p − 2) 2 − q f_max 2−q_p−2 [(p − q)S2]q−pp−2_khk−1 # # khk#Sqkukq = (p − 2) 2 − q f_max 2−q_p−2 (p − q) q−p p−2_S p(q−2) p−2 _kukq ≤ k(¯t).

Sendo k(t) cont´ınua, crescente em (0, ¯t) e decrescente em (¯t, −∞) segue do Teorema do Valor Intermedi´ario que existem ´unicos t+ e t− onde 0 < t+< ¯t < t−, tais que

k(t+) = Z RN αh(εz)|u|qdz= k(t−) e k0(t−) < 0 < k0(t+).

Analogamente ao que foi feito no item (i), temos que t+u∈ M_ε+, t−u∈ M_ε−,

(32)

para cada t ∈ [t+,t−] e

J_ε(t+u) ≤ Jε(tu),

para cada t ∈ [0, ¯t]. Portanto,

J_ε(t+u) = inf 0≤t≤¯tJε(tu) e Jε(t + u) = sup t≥¯t J_ε(tu).

Aplicando o Lema 1.7 (M_ε0= /0 para 0 < α < α0), podemos escrever Mε= Mε+∪ M − ε , onde M_ε+= u∈ Mε: (2 − q)kuk2− (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz> 0 e M_ε−= u∈ M_ε: (2 − q)kuk2− (p − q) Z RN f(εz)|u|pdz< 0 . Como Jε ´e limitado inferiormente em Mε, podemos definir

αε= inf u∈Mε J_ε(u), α+_ε = inf u∈Mε+ J_ε(u) e α−_ε = inf u∈M−ε J_ε(u). Lema 1.12 Temos: i) Se0 < α = ε 2(p−q) p−2 < α0, ent˜ao αε≤ α+ε < 0;

ii) Se0 < α <q₂α0, ent˜ao α−ε ≥ d0> 0 para alguma constante d0= d0(ε, p, q, S, khk#, fmax).

Demonstrac¸˜ao. i) Seja u ∈ M+_ε . Por (1.7), temos

(p − 2)kuk2< (p − q) Z

RN

αh(εz)|u|qdz.

Como u ∈ M+_ε , por (1.6), obtemos

(33)

Portanto, α+_ε < 0. Como M_ε+⊂ Mε, segue da definic¸˜ao de ´ınfimo que

αε≤ α+ε < 0.

ii) Seja u ∈ M_ε−. Como 0 < α < q₂α0, pela demonstrac¸˜ao do Lema 1.9 (iv), temos que

J_ε(u) > d0> 0 para alguma constante d0= d0(ε, p, q, S, khk#, fmax). Aplicando a definic¸˜ao

de α−_ε, resulta

α−_ε ≥ d0> 0.

O Lema seguinte mostra a existˆencia de sequˆencias minimizantes (PS) para Jεem Mε,

M_ε+ e M_ε−. Omitiremos a demonstração, pois as ideias são semelhantes ao Lema 1.25. Lema 1.13 i) Existe uma sequência (PS)_α_εem M_εpara J_ε;

ii) Existe uma sequˆencia (PS)_α+

ε em M

+

ε para Jε;

iii) Existe uma sequˆencia (PS)_α−

ε em M

−

ε para Jε.

1.2 Existência de uma Solução Positiva

A fim de provar a existência de soluções positivas, mostraremos primeiro que Jε

sa-tisfaz a condição (PS)_β em H1_(RN) para β ∈−∞, γ∞−C0α 2 2−q , onde α = ε 2(p−q) p−2 _{e C} 0 é

definida no Lema seguinte.

Lema 1.14 Suponha que h satisfaz (h1) e 0 < α

= ε

2(p−q p−2

< α0. Se{un} ´e uma sequˆencia

(PS)_βpara J_εem H1_(RN) com un* u em H1(RN), ent˜ao Jε0(u) = 0 em H −1 (RN) e J_ε(u) ≥ −C0α 2 2−q ≥ −C0 0, onde C₀=(2 − q)[(p − q) k h k#S q_]p−q2 2pq(p − 2) q 2−q e C₀0 = (p − 2)(2 − q) p p−2 2pq[ fmax(p − q)] 2 p−2_S 2p p−2 .

Demonstração. Seja {un} uma sequência (PS)β para Jε em H1(RN) com un * u em

(34)

temos que hun, vi → hu0, vi. Da´ı, Z RN ∇un∇vdz → Z RN ∇u∇vdz e Z RN u_nvdz→ Z RN uvdz.

Pela Imers˜ao de Sobolev (Teorema C.7), temos que un→ u em Lp(RN). Assim, decorre do

Teorema de Vainberg (Teorema C.4) que un(x) → u(x) q.s. em RN e existe g ∈ Lp(RN) tal

que |un(x)| ≤ g(x) q.s. em RN. Da´ı |un(x)|p−2un(x)v(x) → |u(x)|p−2u(x)v(x) q.s. em RN e |un(x)|p−2un(x)v(x) = |un(x)|p−1|v(x)| ≤ g(x)p−1|v(x)|,

para todo v ∈ H1(RN). Como g ∈ Lp_(RN), temos que gp−1|v| ∈ L1_(RN_{), pois}

Z RN gp−1|v|dz ≤ Z RN gpdz p−1_p Z RN |v|pdz 1_p < ∞.

onde usamos Desigualdade de Hölder (Teorema C.2). Logo, como f é uma função cont´ınua segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue (Teorema C.3) que

Z RN f(εz)|un|p−2unvdz→ Z RN f(εz)|u|p−2uvdz.

Sendo h uma função limitada, mostra-se de maneira análoga ao que foi feito acima que Z RN αh(εz)|un|q−2unvdz→ Z RN αh(εz)|u|q−2uvdz.

Portanto, hJ_ε0(un), vi → hJε0(u), vi, ou seja, J 0

ε(un) → J 0

ε(u). Sendo {un} uma sequˆencia (PS)β

para J_ε em H1_(RN), temos que J_ε0(un) → 0 em H−1(RN). Assim, pela unicidade do limite,

temos que J_ε0(u) = 0 em H−1_(RN), completando a afirmação. Assim, obtemos hJ_ε0(u), ui = 0, isto é,

Z RN f(εz)|u|pdz= kuk2− Z RN αh(εz)|u|qdz.

(35)

que Jε(u) = 1 2− 1 p kuk2− 1 q− 1 p Z RN αh(εz)|u|qdz ≥ p − 2 2p kuk2− p − q pq αkhk#kukq_Lp_(RN₎ ≥ p − 2 2p kuk2− p − q pq αkhk#Sqkukq = p − 2 2p kuk2− p − 2 pq p − q p− 2 αkhk#Sqkukq .

Da´ı, pela Desigualdade de Young (Teorema C.1), com expoentes conjugados2_q e _2−q2 , temos

J_ε(u) ≥ p − 2 2p kuk2− p − 2 pq "_qkuk2 2 + p − q p− 2αkhk#S q _2−q2 2 − q 2 # = p − 2 2p − q(p − 2) 2pq kuk2− (p − 2)(p − q) 2 2−q pq(p − 2)2−q2 ! αkhk#Sq _2−q2 2 − q 2 (1.17) = −(2 − q)[(p − q)khk#S q_]2−q2 2pq(p − 2) q 2−q α 2 2−q = −C0α 2 2−q_.

Al´em disso, como por hip´otese 0 < α < α0= (p − 2)

2−q fmax 2−q_p−2 [(p − q)S2] q−p p−2_khk−1 # , segue de (1.17) que J_ε(u) > −(p − 2)(p − q) 2 2−q 2pq(p − 2)2−q2 " (p − 2) 2 − q f_max 2−q_p−2 [(p − q)S2]q−pp−2_khk−1 # khk#S q # 2 2−q (2 − q) = −(p − 2)(2 − q) p p−2_{(p − q)}p−2−2 _S −2p p−2 2pq( fmax) 2 p−2 = − (p − 2)(2 − q) p p−2 2pq[ fmax(p − q)] 2 p−2_S 2p p−2 = −C₀0.

Lema 1.15 Se {un} ⊂ H1(RN) é uma sequência (PS)β para o funcional Jε, então {un} é

limitada em H1_(RN).

(36)

on(1) e Jε0(un) = on(1) em H −1_(RN_{). Assim,} |β| + cn+ d_nkunk p ≥ Jε(un) + 1 phJ 0 ε(un), uni = 1 2− 1 p kunk2− 1 q− 1 p Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u n|qdz ≥ p− 2 2p kunk 2₋p− q pq αkhk#S q_ku nkq,

onde cn= on(1) e dn= on(1) quando n → ∞. Como 1 ≤ q < 2, segue-se da desigualdade

acima que {un} ´e limitada em H1(RN).

Lema 1.16 Suponha que f e h satisfazem ( f1) e (h1). Se 0 < α

= ε 2(p−q) p−2 < α0, ent˜ao Jε

satisfaz a condic¸˜ao (PS)_βem H1_(RN) para β ∈ −∞, γ∞−C0α 2 2−q .

Demonstração. Seja {un} uma sequência em H1(RN) (PS)β para Jε. Pelo Lema anterior

{un} ⊂ H1(RN) é uma sequência limitada. Uma vez que {un} é limitada em H1(RN), o qual

é um espaço reflexivo, pelo Teorema C.8, existe uma subsequência, ainda denotada por {un},

e uma u ∈ H1_(RN) tais que

u_n* u em H1_(RN). Pelo Lema 1.14, temos que

J_ε0(u) = 0 em H−1_(RN). Usando as Imers˜oes de Sobolev, temos

u_n→ u em Ls

loc(RN), para algum 1 ≤ s < 2 ∗

e

u_n_{→ u q.s. em R}N. Usando o Lema de Br´ezis-Lieb (Teorema C.5), obtemos

(37)

Afirmamos que Z RN h(εz)|un− u|qdz→ 0 quando n → ∞. (1.20) De fato, como h ∈ L p

p−q_(RN_{), para todo σ > 0, existe r > 0 tal que}

Z [BN r(0)]c h(εz) p p−q_dz_{< σ.} Temos, Z RN h(εz)|un− u|qdz ≤ Z BN r(0) h(εz)|un− u|qdz+ Z [BN r(0)]c h(εz)|un− u|qdz.

Pela Desigualdade de H¨older (Teorema C.2) e o Teorema de Imers˜ao de Sobolev (Teorema C.7), temos Z RN h(εz)|un− u|qdz ≤ khk# Z BN r(0) (|u_n− u|q)pq_dz q_p + Z [BN r(0)]c h(εz) p p−q_dz p−q_p kun− ukq_Lp_(RN₎ ≤ khk# Z BN r(0) |un− u|pdz q_p +Sq Z [BN r(0)]c h(εz) p p−q_dz p−q_p kun− ukq.

Como {un} ´e limitada em H1(RN) e un→ u em L_locp (RN),

Z RN h(εz)|un− u|qdz ≤ C0σ + on(1), para todo σ > 0. Sendo assim, lim sup n→∞ Z RN h(εz)|un− u|qdz ≤ C0σ.

Fazendo σ → 0, conclu´ımos que para n suficientemente grande Z

RN

h(εz)|un− u|qdz= on(1),

(38)

Afirmamos, tamb´em, que Z RN f(εz)|un− u|pdz= Z RN f∞|un− u|pdz+ on(1). (1.21)

Com efeito, por ( f1), dado ς > 0, existe R > 0 tal que | f (εz) − f∞| < ς, para todo |z| > R.

Ent˜ao, Z RN f(εz)|un− u|pdz− Z RN f_∞|un− u|pdz = Z RN f(εz) − f∞|un− u|pdz ≤ Z [BN R(0)]c f(εz) − f_∞ |un− u|pdz + Z BN_R(0) f(εz) − f_∞ |un− u|pdz ≤ Cς + k f (ε) − f∞k∞ Z BN_R(0) |u_n− u|p_dz.

Fazendo n → ∞ na desigualdade acima e usando o fato de un→ u em L_locp (RN), obtemos

lim sup n→∞ Z RN f(εz)|un− u|pdz− Z RN f∞|un− u|pdz ≤ Cς, para todo ς > 0. Como ς > 0 ´e arbitr´ario, conclu´ımos que

Z RN f(εz)|un− u|pdz− Z RN f_∞|un− u|pdz= on(1),

demonstrando o que quer´ıamos.

Seja pn= un− u. Suponha que pn9 0 em H1(RN). Temos

kpnk2= hpn, pni = hun− u, un− ui = kunk2+ kuk2− 2 hun, ui .

Como un* u em H1(RN), temos hun, ui = kuk2−1₂on(1). Assim,

kpnk2 = kunk2+ kuk2− 2kuk2+ on(1)

(39)

Por (1.18) - (1.21), deduzimos que: kpnk2 = Z RN f(εz)|un|pdz− Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u n|qdz− Z RN f(εz)|u|pdz + Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz_{+ o} n(1) = Z RN f(εz)|un− u|pdz+ on(1) = Z RN f_∞|pn|pdz+ on(1). Ent˜ao, I_∞(pn) = 1 2kpnk 2₋1 p Z RN f_∞|pn|pdz = 1 2kpnk 2₋1 pkpnk 2_{+ o} n(1) = 1 2− 1 p kpnk2+ on(1) > 0.

Pelo Teorema B.5, existe uma sequˆencia {sn} ⊂ R+ tal que

s_n= 1 + on(1), snpn⊂ N∞ e I∞(snpn) = I∞(pn) + on(1). Assim, γ∞ ≤ I∞(snpn) = I∞(pn) + on(1) = Jε(un) − Jε(u) + on(1) = β − Jε(u) + on(1). Da´ı, como β < γ∞−C0α 2 2−q _{e J} ε(u) ≥ −C0α 2

2−q _{(veja Lema 1.14), segue-se que}

γ∞ < γ∞−C0α 2 2−q_+C 0α 2 2−q_{+ o} n(1) = γ∞+ on(1),

que é um absurdo. Portanto, un→ u em H1(RN), demonstrando que Jε satisfaz a condição

(40)

Observação 1.17 Da expressão de C₀0 no Lema1.14 e de (1.3), temos C₀0 = (p − 2)(2 − q) p p−2 2pq[ fmax(p − q)] 2 p−2_S 2p p−2 = 2 − q q 2 − q p− q _p−22 " p− 2 2p( fmax) 2 p−2_S 2p p−2 # = 2 − q q 2 − q p− q _p−22 γmax < γmax < γ∞. Da´ı, como −C₀0 ≤ −C0α 2 2−q_{, desde que} _{0 < α < α} 0, temos 0 < γ∞− C 0 0 ≤ γ∞− C0α 2 2−q_. Donde, γ∞−C0α 2 2−q _{> 0,} para0 < α < α0.

Pelo Lema 1.13 (i), existe uma {un} ⊂ Mεsequência (PS)αε para Jε. Então, provare-mos que (Eε) admite uma solução positiva u0em RN.

Teorema 1.18 Suponha que ( f1) e (h1) valem. Se 0 < α

= ε 2(p−q) p−2 < α0, ent˜ao existe,

pelo menos, uma solução positiva u0de(Eε) em RN. Além disso, temos que u0∈ Mε+ e

J_ε(u0) = αε= α+ε ≥ −C0α 2

2−q_. _(1.22)

Demonstração. Pelo Lema 1.13 (i), existe uma sequência minimizante {un} ⊂ Mεpara Jε

tal que

J_ε(un) = αε+ on(1) e Jε0(un) = on(1) em H −1

(RN). Pelo Lema 1.12 (i) e a observac¸˜ao 1.17, temos

αε< 0 < γ∞−C0α 2 2−q_.

Assim, pelo Lema 1.16, existem uma subsequˆencia {un} e u0∈ H1(RN) tais que un→ u0

em H1_(RN). Pela continuidade de Jε temos que Jε(un) → Jε(u0). Mas Jε(un) → αε quando

n→ ∞, pois {un} ´e uma sequˆencia minimizante para Jε em Mε. Pela unicidade do limite

temos Jε(u0) = αε. Logo, pelo Lema 1.8, temos que u0 ´e ponto cr´ıtico para o funcional Jεe,

portanto, uma soluc¸˜ao de (Eε) em RN.

Afirmação: u0∈ M+ε . De fato, caso contrário, u0deveria estar em M −

(41)

1.7, M_ε0= /0. Observe que:

Z

RN

αh(εz)|u0|qdz> 0,

pois, caso contr´ario,

Z

RN

αh(εz)|u0|qdz= 0,

ent˜ao, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue (Teorema C.3), temos

lim n→∞ Z RN αh(εz)|un|qdz= Z RN αh(εz)|u0|qdz= 0,

o que implica, juntamente com (1.5), ku_nk2= Z RN f(εz)|un|pdz+ on(1). Dessa forma, J_ε(u_n) = 1 2||un|| 2₋1 p Z RN f(εz)|un|pdz− 1 q Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)|u n|qdz = 1 2kunk 2₋1 pkunk 2_{+ o} n(1) = 1 2− 1 p kunk2+ on(1),

implicando que lim

n→∞Jε(un) = 1 2− 1 p

kunk2> 0, pois p > 2, que é uma contradição, pois

J_ε(un) → αε< 0. Pelo Lema 1.11 (ii) existem n´umeros positivos t+< ¯t < t− = 1 tais que

t+u0∈ Mε+, t −_u 0∈ Mε−e J_ε(t+u0) < Jε(t −_u 0) = Jε(u0) = αε,

contradic¸˜ao, pois Jε(t+u0) ≥ α+ε ≥ αε. Da´ı, u0 ∈ Mε+ e −C0α 2 2−q _{≤ J}

ε(u0) = αε = α+ε,

completando a afirmac¸˜ao.

Como Jε(|u0|) = Jε(u0) podemos assumir sem perda de generalidade que u0 ´e n˜ao

negativa e, pelo Princ´ıpio do Máximo (Teorema C.13), conclu´ımos que u0 é solução positiva

(42)

1.3 Existência de M últiplas Soluções Positivas

No que segue, assumiremos que f e h satisfazem ( f1), ( f2) e (h1). Seja w ∈ H1(RN) a

única solução positiva, radialmente simétrica, da equação (E0) em RN para f = fmax. Temos

as seguintes propriedades (veja [6], [7], [17] ou [23]) i) w ∈ L∞_(RN_{) ∩C}2,θ

loc(RN) para algum 0 < θ < 1 e lim_|z|→∞w(z) = 0;

ii) Para qualquer ε > 0, existem n´umeros positivos c1, cε2e cε3tais que, para todo z ∈ RN,

cε 2exp(−(1 − ε)|z|) ≤ w(z) ≤ c1exp(−|z|) e |∇w(z)| ≤ cε 3exp(−(1 − ε)|z|). Para 1 ≤ i ≤ k, definimos wi_ε(z) = w z−a i ε , onde f (ai) = fmax.

Claramente, wi_ε(z) ∈ H1_(RN). Pelo Lema 1.11 (ii), existe um ´unico n´umero (t_εi)−> 0 tal que

(t_εi)−wi_ε∈ M_ε−⊂ Mε, para 1 ≤ i ≤ k.

Agora, provaremos que

lim ε→0+ sup t≥0 (Jε(tεi) −_wi ε) ≤ γmax uniformemente em i. Lema 1.19 Temos:

i) Existe um n´umero t0tal que para todo0 ≤ t ≤ t0e qualquer ε > 0, tem-se

J_ε(twi_ε) < γmax uniformemente em i;

ii) Existem n´umeros positivos t1e ε1tal que para qualquer t> t1e0 < ε < ε1, vale

J_ε(twi_ε) < 0 uniformemente em i.

(43)

H1_(RN) e para qualquer ε > 0 e γmax> 0, existe t0> 0 tal que para 0 ≤ t ≤ t0,

Jε(twiε) < γmax, para todo ε > 0.

ii) Como f ´e cont´ınua, existe r0> 0 tal que f (z) ≥ fmax₂ , para z ∈ BNr0(a

i_{) uniformemente em}

i. Ent˜ao, existe ε1> 0 tal que para 0 < ε < ε1

J_ε(twi_ε) = t 2 2kw i εk 2₋tp p Z RN f(εz)(wi_ε)pdz−t q q Z RN αh(εz)(wi_ε)qdz ≤ t 2 2kw i εk 2₋tp p Z RN f(εz)(wi_ε)pdz = t 2 2 Z RN (|∇wi_ε|2+ (wi_ε)2) −t p p Z RN f(εz)(wi_ε)pdz ≤ t 2 2 Z RN (|∇w|2+ w2)dz −t p p Z BN₁(0) f(εz + ai)wpdz ≤ t 2 2 Z RN (|∇w|2+ w2)dz − t p 2p Z BN₁(0) f_maxwpdz,

o que implica que Jε(twiε) → −∞, quando t → +∞, pois p > 2. Assim, existe t1> 0 tal que

para qualquer t > t1e 0 < ε < ε1 J_ε(twi_ε) < 0 uniformemente em i. Lema 1.20 Suponha ( f1), ( f2) e (h1). Se 0 < α = ε 2(p−q) p−2 <q 2α0, ent˜ao lim ε→0+ sup t≥0 J_ε(twi_ε) ≤ γmax uniformemente em i.

Demonstrac¸˜ao. Pelo Lema 1.19, basta mostrar que

lim

ε→0+

sup

t0≤t≤t1

J_ε(twi_ε) ≤ γmax uniformemente em i.

Sabemos que sup

t≥0

I_max(tw) = γmax. Para t0< t < t1, temos

(44)

Como wi_ε(z) = wz−ai ε , obtemos J_ε(twi_ε) = t 2 2 Z RN " ∇w z−a i ε 2 + w z−a i ε 2# dz−t p p Z RN f(εz) w z−a i ε p dz −t q q Z RN αh(εz) w z−a i ε q dz.

Usando o fato do RN ser invariante por translação, temos J_ε(twi_ε) = t 2 2 Z RN [|∇w|2+ w2] −t p p Z RN fmaxwpdz+ tp p Z RN fmaxwpdz −t p p Z RN f(εz) w z−a i ε p dz−t q q Z RN αh(εz) w z−a i ε q dz = Imax(tw) + tp p Z RN fmax− f (εz) w z−a i ε p dz −t q q Z RN αh(εz) w z−a i ε q dz ≤ γmax+ t₁p p Z RN fmax− f (εz) w z−a i ε p dz−t q 0 q Z RN αh(εz) w z−a i ε q dz. Como Z RN fmax− f (εz) w z−a i ε p dz= Z RN fmax− f (εz + ai)wpdz= oε(1), quando ε → 0+uniformemente em i e α Z RN h(εz) w z−a i ε q dz≤ ε2(p−2)p−q _khk #Sqkwkq= oε(1), quando ε → 0+, então lim ε→0+ sup t0≤t≤t1 J_ε(twi_ε) ≤ γmax, donde, lim ε→0+ sup t≥0 J_ε(twi_ε) ≤ γmax uniformemente em i.

Aplicando os resultados dos Lemas 1.11, 1.12 (ii) e 1.20, podemos deduzir que

(45)

Como γmax< γ∞, existe ε0> 0 tal que

γmax< γ∞−C0α 2

2−q_{, para qualquer ε < ε}

0. (1.23)

Como os pontos de máximos a1, a2, . . ., ak da função f são distintos, iremos fixar 0 < ρ0< 1 de modo que BN_ρ₀(ai_{) ∩ B}N ρ0(aj) = /0, para i , j e 1 ≤ i, j ≤ k, onde BN_ρ₀(ai_{) = {z ∈ R}N_{: |z − a}i_{| ≤ ρ} 0} e f (ai) = fmax. Defina K= {ai : 1 ≤ i ≤ k} e Kρ0 2 = k [ i=1 BN_ρ0 2 (ai_). Suponha que k [ i=1 BN_ρ₀(ai_{) ⊂ B}N r0(0), para algum r0> 0. Seja Qε: H1(RN)\{0} → RN u 7→ Qε(u) = Z RN χ(εz)|u|pdz Z RN |u|pdz , onde χ : RN→ RN_{, χ(z) = z para |z| ≤ r} 0e χ(z) = r₀z |z| para |z| > r0. Lema 1.21 Existe 0 < ε0≤ ε0 tal que se0 < ε < ε0, então Qε (tεi)

(46)

ε → 0+. Portanto, existe ε0> 0 tal que Qε((tεi) −_wi ε) ∈ Kρ0 2 ,

para todo ε < ε0e para cada 1 ≤ i ≤ k.

Lema 1.22 Existe um n´umero ¯δ > 0 tal que se u ∈ Nεe Iε(u) ≤ γmax+ ¯δ, ent˜ao Qε(u) ∈ Kρ0 2

, para todo0 < ε < ε0.

Demonstração. Suponha, por contradição, que existe uma sequência {εn} ⊂ R+ e {un} ⊂

N_ε_n tais que εn→ 0, Iεn(un) = γmax+ on(1), quando n → ∞ (1.24) e Q_ε_n(un) < Kρ0/2 para todo n ∈ R N_. (1.25) Temos que {un} é limitada em H1(RN). De fato, se para alguma subsequência tivéssemos

kunk → +∞, ent˜ao acarretaria Iεn(un) → +∞, o que contraria (1.24). Suponha que un→ 0 em Lp_(RN). Como

kunk2=

Z

RN

f(εnz)|un|pdz, para cada n ∈ N,

pois un∈ Nεn, e I_ε_n(un) = 1 2kunk 2₋1 p Z RN f(εnz)|un|pdz = γmax+ on(1), conclu´ımos que γmax+ on(1) = Iεn(un) = 1 2− 1 p Z RN f(εnz)|un|pdz= on(1),

que ´e um absurdo, pois γmax> 0. Assim,

u_n_{9 0 em L}p_(RN). (1.26)

(47)

{zn} ⊂ RN tal que

Z

BN₁(zn)

|un(z)|2dz≥ d0> 0. (1.27)

Com efeito, se (1.27) n˜ao ocorresse, ter´ıamos Z

BN₁( ¯zn)

|un(z)|2dz→ 0.

Consequentemente, como {un} ´e limitada em H1(RN), pelo Lema de Lions, ter´ıamos {un} →

0 em Lp_(RN), o que contradiz (1.26).

Seja vn(z) = un(z +zen). Ent˜ao, existe uma subsequˆencia {vn} e v ∈ H

1_(RN_{) tais}

que vn* v em H1(RN). Usando um c´alculo similar ao Lema 1.11, existe uma sequˆencia

{sn

max} ⊂ R+tal que

e

v_n= sn_maxv_n∈ Nmax

e

0 < γmax= inf u∈Nmax

I_max(u) ≤ Imax(ven) ≤ Iεn(s n

maxun) ≤ sup t≥0

I_ε_n(tun) = Iεn(un) = γmax+ on(1),

onde a ´ultima iguadade segue de (1.24). Assim,

{sn_maxu_n} ⊂ Nmax e Iεn(s n

maxun) → γmax.

Logo, podemos supor que {sn_max} satisfaz sn

max → s0, para algum s0 > 0. Ent˜ao, existem

subsequˆencias {_evn} e ev∈ H

1_(RN_{) tais que}

e

vn* ˜v(= s0v) em H1(RN). Por (1.27), temos

˜

v , 0. Al´em disso, podemos obter que

e

v_n→ ˜v em H1_(RN)

e

I_max( ˜v) = γmax.

Agora, queremos mostrar que existe uma subsequˆencia {zn} = {εn˜zn} tal que zn →

z0∈ K.

(48)

ent˜ao γmax = Imax( ˜v) < I∞( ˜v) ≤ lim inf n→∞ 1 2k ˜vnk 2₋1 p Z RN f(εnz+ zn)|evn| p_dz = lim inf n→∞ (sn max)2 2 kunk 2₋(snmax)p p Z RN f(εnz)|un|pdz = lim inf n→∞ Iεn(s n maxun) ≤ lim inf n→∞ Iεn(un) = γmax.

Donde, γmax< γmax, o que ´e um absurdo.

Afirmação 2: z0∈ K. De fato, suponha que z0< K, isto é, f (z0) < fmax. Então, usando os

mesmos argumentos acima, obtemos

γmax = Imax( ˜v) = 1 2k ˜vk 2₋1 p Z RN f_max| ˜v|pdz < 1 2k ˜vk 2₋1 p Z RN f(z0)| ˜v|pdz ≤ lim inf n→∞ 1 2k ˜vnk 2₋1 p Z RN f(εnz+ zn)|ven| p_dz = γmax,

acarretando γmax< γmax, o que ´e um absurdo. Como vn→ v , 0 em H1(RN), temos que

Passando ao limite quando n → ∞,

Q_ε_n(un) → z0∈ Kρ0 2 ,

(49)

Iε(u) ≤ γmax+ ¯δ, tem-se

Qε(u) ∈ Kρ0 2

para qualquer 0 < ε < ε0.

De (1.23), escolha 0 < δ0< ¯δ tal que

γmax+ δ0< γ∞−C0α 2

2−q _{para qualquer 0 < ε < ε}0_. _(1.28)

Para cada 1 ≤ i ≤ k, defina as vizinhanc¸as em M−_ε ,

Oi_ε=u ∈ M_ε− : |Qε(u) − ai| < ρ0 e suas fronteiras ∂Oi_ε=u ∈ M−_ε : |Qε(u) − a i_{| = ρ} 0 .

Considere tamb´em os n´umeros

βi_ε= inf u∈Oi ε J_ε(u) e β˜i_ε= inf u∈∂Oi ε J_ε(u).

Lema 1.23 Se u ∈ M−_ε e J_ε(u) ≤ γmax+δ₂0, ent˜ao existe um n´umero 0 < ¯ε < ε0 tal que

Q_ε(u) ∈ Kρ0 2

para qualquer0 < ε < ¯ε.

Demonstração. Usando um cálculo similar ao que foi feito para obter (1.16), obtemos um único número positivo

su_ε =    kuk2 Z RN f(εz)|u|pdz    1 p−2 tal que su_εu∈ Nε.

Afirmação: su_ε < c, para alguma constante c > 0 (independente de u). Como u ∈ M−_ε ⊂ M_ε, então hJ_ε0(u), ui = 0. Além disso, temos também

0 < d0≤ α−ε ≤ Jε(u) ≤ γmax+

δ0

(50)

Assim, 0 < d0 ≤ Jε(u) = 1 2− 1 p kuk2− 1 q− 1 p Z RN αh(εz)|u|qdz ≤ p− 2 2p kuk 2_, isto ´e, kuk2≥ p− 2 2p d0= c1> 0. (1.29)

Como Jε ´e coercivo em Mε e Jε(u) ≤ γmax+δ₂0, ent˜ao temos que existe uma constante

c2> 0 (independente de u) tal que

kuk2< c2. (1.30)

Logo, por (1.29) e (1.30), temos

0 < c1≤ kuk2< c2. (1.31)

Provaremos agora que

kuk_Lpp_(RN₎> c3> 0. (1.32)

De fato, suponha que (1.32) n˜ao ocorre, logo existe uma sequˆencia {un} ⊂ Mε−tal que

kuk_Lpp_(RN₎= on(1) quando n → ∞. Por (1.8) e (1.29), 2 − q p− q < Z RN f(εz)|un|pdz kunk2 ≤ fmaxkunk_Lpp_(RN₎ c1 = on(1),

que é uma contradição, pois 2−q_p−q > 0. Segue então que (1.32) vale.

(51)

Da desigualdade acima, deduzimos que

I_ε(su_εu) ≤ γmax+ δ0 2 + 1 q Z RN αh(εz)|su_εu|qdz ≤ γmax+ δ0 2 + αkhk#S q_ksu εuk q < γmax+ δ0 2 + αc q_(c 2) q 2khk_#_Sq, onde α = ε 2(p−q) p−2

. Da´ı, existe 0 < ¯ε < ε0tal que, para 0 < ε < ¯ε,

I_ε(su_εu) ≤ γmax+

δ0

2, onde s

u

εu∈ Nε.

Pelo Lema 1.22, obtemos

Q_ε(su_εu) = Z RN χ(εz)|su_εu(z)|pdz Z RN |su_εu(z)|pdz ∈ Kρ0 2 ,

para qualquer 0 < ε < ¯ε ou Qε(u) ∈ Kρ0

2 , para qualquer 0 < ε < ¯ε.

Aplicando o Lema acima, obtemos que ˜

βi_ε≥ γmax+

δ0

2 para qualquer 0 < ε < ¯ε. (1.33)

Com efeito, se (1.33) não vale, segue da definição de ˜βi_εque existe u ∈ ∂Oi_ε tal que Jε(u) <

γmax+δ₂0. Assim, pelo Lema 1.23, temos que Qε(u) ∈ Kρ0/2, para todo 0 < ε < ¯ε, ent˜ao

Q_ε(u) ∈ BN_ρ0 2

(aj_),

para algum j ∈ {1, ..., k}, que é uma contradição, pois |Qε(u) − aj| = ρ0. Portanto, (1.33)

(52)

Pelo Lema 1.21, existe ε0> 0 tal que

Qε((tεi) −_wi

ε) ∈ Kρ0/2,

para cada 1 ≤ i ≤ k e 0 < ε < ε0. Segue da definic¸˜ao de K_ρ₀_/2 que (t_εi)−wi_ε∈ Oi

ε. Usando a

definição de βi_ε, o Lema 1.20 e a equação (1.28), obtemos

βi_ε= inf u∈Oi ε J_ε(u) ≤ Jε((tεi) −_wi ε) ≤ sup t≥0 J_ε(twi_ε) ≤ γmax+ δ0 3 < γ∞−C0α 2 2−q_, _(1.34) para qualquer 0 < ε < ε∗.

Lema 1.24 Dado u ∈ Oi_ε, ent˜ao existem η > 0 e um funcional diferenci´avel l: B(0, η) ⊂ H1_(RN_{) → R}+

tais que

l(0) = 1, l(v)(u − v) ∈ Oi_ε, para qualquer v ∈ Bη(0)

e hl0(v), φi |(l,v)=(1,0)= hψ0_ε(u), φi hψ0ε(u), ui , (1.35) para qualquer φ ∈ C∞ c(RN), onde ψε(u)= hJ 0 ε(u), ui.

Demonstração. Para u ∈ Oi_ε, defina uma função F : R × H1(RN) → R por

F(τ, w) = hJ_ε0(τ(u − w)), τ(u − w)i.

Logo, pela definic¸˜ao de J_ε0,

(53)

(pois u ∈ M−_ε (u ∈ Mε)). Derivando F em relação a τ, obtemos d dτF(τ, w) = 2τku − wk 2_{− pτ}p−1Z RN f(εz)|u − w|pdz− qτq−1 Z RN αh(εz)|u − w|qdz. Logo, d dτF(1, 0) = 2ku − wk 2_{− p}Z RN f(εz)|u|pdz− q Z RN αh(εz)|u|qdz = hψ0_ε(u), ui , 0 (u ∈ Mε−). Além disso, ∂ ∂wF(τ, w)(φ) = −2τ 2_{(u − w/φ) + pτ}pZ RN f(εz)|u − w|p−2(u − w)φdz +qτq Z RN αh(εz)|u − w|q−2(u − w)φdz. Da´ı, ∂ ∂wF(1, 0)(φ) = −2(u/φ) + p Z RN f(εz)|u|p−2uφdz + q Z RN αh(εz)|u|q−2uφdz.

Logo, pelo Teorema da Função Impl´ıcita, existem η > 0 e uma função diferenciável l : B_η(0) ⊂ H₀1_(RN_{) → R tais que l(0) = 1, F(l(v), v) = 0, para todo v ∈ B}_η(0) e

hl0(0), φi =− ∂F ∂w(1, 0) dF dτ(1, 0) =hψ 0 ε(u), φi hψ0ε(u), ui .

Lema 1.25 Para cada 1 ≤ i ≤ k, existe uma sequˆencia (PS)_βi

ε,{un} ⊂ O i ε, em H

1_(RN_{) para}

J_ε.

Demonstrac¸˜ao. Para cada 1 ≤ i ≤ k, por (1.33) e (1.34),

βi_ε≤ γmax+ δ0 3 < δmax+ δ0 2 = ˜β i ε,

para todo 0 < ε < ε∗, ou seja,

(54)

Ent˜ao, βi_ε= inf u∈Oi ε∪∂Oiε J_ε(u), para qualquer 0 < ε < ε∗. Considere {ui_n} ⊂ Oi ε∪∂O i

εuma sequˆencia minimizante para β i

ε. Aplicando o Princ´ıpio

Variacional de Ekeland (Teorema C.11), existe uma subsequˆencia {ui_n} tal que

J_ε(ui_n) = βi_ε+1 n e J_ε(ui_n) ≤ J_ε(u) +kw − u i nk2 n , para qualquer w ∈ O i ε∪ ∂O i ε. (1.37)

Usando (1.36), podemos assumir que ui_n∈ Oi_ε, para n suficientemente grande. Pelo Lema 1.24, existem ηi_n> 0 e um funcional diferenci´avel

l_ni : B(o, ηi_n) ⊂ H1_(RN_{) → R}+ tais que l_ni(0) = 1, l_ni(v)(ui_n− v) ∈ Oi_ε, v ∈ B_ηi n(0) e hl0(v), φi |(l,v)=(1,0)= hψ0_ε(u), φi hψ0ε(u), ui . (1.38)

Seja vσ= σv com kvk = 1 e 0 < σ < ηin. Ent˜ao,

v_σ∈ B_ηi n(0) e wσ:= l i n(vσ)(u i n− vσ) ∈ O i ε.

Desde que Jε ´e de classe C1, segue de (1.37) que

(55)

Substituindo o valor de wσ, temos kwσ− uinkH n ≥ hJ 0 ε(tu i n), uin− lni(vσ)(uin− vσ)i + o(kuin− wσk) = hJ_ε0(tui_n), ui_n− l_ni(vσ)uin− lni(vσ)vσi + o(kuin− wσk)

= hJ_ε0(tui_n), l_ni(vσ)σvi + hJε0(tu i

n), uin(1 − lni)i + o(kuin− wσk).

Fazendo σ → 0, temos l_ni(vσ) → lin(0) = 1 e, da´ı

|hJ_ε0(ui_n), vi| ≤kl

i

n(vσ)(uin− vσ) − uink(1n+ |o(1)|)

σ|l_ni(σv)| .

Sabendo-se que vσ= σv, temos

|hJ_ε0(ui_n), vi| ≤ kl i n(vσ)(uin− σv) − uink 1n+ |o(1)| σ|l_ni(σv)| = ku i n(lni(σv) − 1) − σvlni(σv)k 1n+ |o(1)| σ|l_ni(σv)| .

Como l_ni(0) = 1, segue que

|hJ_ε0(ui_n), vi| ≤ ku i n(lni(σv) − lni(0)) − σvlni(σv)k 1n+ |o(1)| σ|l_ni(σv)| ≤ ku i nk|lni(σv) − lni(0)| − σkvk|lni(σv)| σ|l_ni(σv)| 1 n+ |o(1)| = ku i nk|lni(σv) − lni(0)| σ|l_ni(σv)| + 1 1 n+ |o(1)| .

Tomando o limite quando σ → 0 e observando que (kui_nk) ´e limitada, obtemos |hJ_ε0(ui_n), vi| ≤ (Ck(l_ni)0(0)k + 1) 1

n+ |o(1)|

.

(56)

Mostraremos agora que k(l_ni)0(0)k ≤ c. Dada φ ∈ C∞ 0, temos hψ0_ε(ui_n), φi ≤ 2|(ui_n|φ)| + p Z RN f(εz)|ui_n|p−2ui_nφdz + q Z RN αh(εz)|ui_n|q−2ui_nφdz .

Pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a limitac¸˜ao de (kui_nk), temos |(ui

n|φ)| ≤ kuinkkφk ≤

C₁kφk. Usando a Desigualdade de H¨older (Teorema C.2) e as Imers˜oes de Sobolev (Teorema C.7), Z RN f(εz)|uin|p−2uinφdz ≤ fmaxkuink p−1 Lp_(RN₎kφkLp_(RN₎≤ C₂kφk. e Z RN αh(εz)|ui_n|q−2ui_nφdz ≤ αkhk∞ku i nk p−1 Lp_(RN₎kφkLp_(RN₎≤ C₃kφk. Logo, hψ0_ε(ui_n), φi ≤ C₄kφk. (1.39) Afirmamos que ψ0_ε(ui_n), un > C₅. (1.40) Como ui_n∈ M_ε−⊂ Mε, temos ψ0_ε(ui_n), ui_n = (2 − q)kui_nk2− (p − q) Z RN f(εz)|ui_n|pdz. De (1.31)

0 < c1≤ kuk < c2, para todo u ∈ Mε−,

(57)

mostrando (1.40). Ent˜ao, de (1.39) e (1.40), temos h(l_ni(0))0, φi= hψ0_ε(ui_n), φi hψ0ε(uin), uini ≤C4 C₅kφk.

e, portanto, de (1.35) k(l_ni)0(0)k ´e limitada para todo n e i e, consequentemente, J_ε0(ui_n) = o_n(1) fortemente em H−1_(RN) quando n → ∞.

Usando os resultados mostrados anteriormente, mostraremos que a equação (E_λ) tem k_{+ 1 soluções positivas em R}N.

Teorema 1.26 Suponha que ( f1), ( f2), (h1) e que existe um n´umero positivo λ∗(λ∗= (ε∗)2)

tal que para λ > λ∗, então a equação (E_λ_{) tem k + 1 soluções positivas em R}N. Demonstração. Para cada 1 ≤ i ≤ k, existe uma sequência {un} ⊂ Mε− (PS)βiε em H

1_(RN₎

para Jε. De (1.34), temos

βi_ε< γ∞− c0α 2 2−q_.

Como Jε satisfaz a condic¸˜ao (PS)β para todo β ∈ (−∞, γ∞− c0α 2

2−q_{), ent˜ao J}

ε tem, pelo

menos, k pontos cr´ıticos em M−_ε para 0 < ε < ε∗. Seja u+ = max{u, 0}. Substituindo os

termos Z RN f(εz)|u|pdz e Z RN ε 2(p−q) p−2 _h_(εz)|u|q_dz do funcional por Z RN f(εz)u₊pdz e Z RN ε 2(p−q) p−2 _h(εz)uq +dz,

(58)

Cap´ıtulo 2

Existência e Multiplicidade de Soluções

Positivas para um Sistema El´ıptico

Semilinear

Neste Cap´ıtulo vamos estabelecer resultados de existência e multiplicidade de soluções positivas para o sistema el´ıptico semilinear

         −∆u = λg(z)|u|p−2u+ α α+βf(z)|u| α−2_u|v|β_{, em Ω} −∆v = µh(z)|v|p−2v+ β α+βf(z)|u| α_|v|β−2_{v, em Ω} u= v = 0, sobre ∂Ω (E_λ,µ)

onde α > 1, β > 1, 2 4, λ, µ > 0, 0 ∈ Ω ⊂ RN é um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω suave e f , g, h : RN → R satisfazem as seguintes condições:

(A1) f , g e g são funções cont´ınuas e positivas em Ω. (A2) existem k pontos a1, a2, . . . , akem Ω tais que

f(ai) = max

z∈Ω f(z) = 1, 1 ≤ i ≤ k,

e para alguma σ > N,

f(z) − f (ai) = o(|z − ai|σ_),

quando z → aiuniformemente em i.

Estudos recentes têm investigado os sistemas el´ıpticos com expoentes subcr´ıticos ou cr´ıticos e provado a existência de pelo menos uma solução positiva ou a existência de pelo