AGREGAÇÃO DINÂMICA DE MODELOS DE ESTABILIZADORES COM
DUPLA ENTRADA PARA O CÁLCULO DE EQUIVALENTES DINÂMICOS
Eduardo J. S. Pires de SouzaMarcos A. Albuquerque
Departamento de Engenharia Elétrica
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) Rua Marquês de São Vicente, 225, sala 401-L, Gávea CEP 22453-900 Rio de Janeiro, RJ, Brasil
E-mail: pires@ele.puc-rio.br
Resumo. O artigo apresenta uma nova metodologia para a agregação dinâmica de estabilizadores com dupla entrada aplicados em
reguladores de tensão de unidades geradoras coerentes. O objetivo é o cálculo de equivalentes dinâmicos para estudos de estabilidade transitória de sistemas de energia elétrica. A metodologia disponível na literatura trata da agregação dinâmica de modelos de estabilizadores com uma única entrada. A agregação dinâmica de um grupo de unidades geradoras coerentes conectadas a uma barra comum consiste em representar este grupo por uma ou mais unidades geradoras equivalentes. A agregação dinâmica tem sido considerada como um problema de ajuste de parâmetros de modelos equivalentes escolhidos adequadamente. Estes parâmetros são ajustados numericamente pelo método de Levenberg-Marquardt. De acordo com o método de agregação dinâmica utilizado, apenas estabilizadores com o mesmo sinal de entrada são agregados. O modelo de sistema de excitação equivalente é inicialmente determinado sem o estabilizador. Em seguida, o modelo do estabilizador equivalente é incluído. As respostas em freqüência são apresentadas em diagramas de Bode (módulo e fase). Os equivalentes dinâmicos são avaliados no sistema New England, considerando modelos de estabilizadores com dupla entrada do banco de dados de estabilidade do sistema brasileiro. As curvas de oscilação dos geradores do sistema interno obtidas com o sistema equivalente são comparadas com aquelas obtidas com o sistema completo.
Palavras-Chave. Estabilidade transitória, equivalentes dinâmicos, geradores coerentes, agregação dinâmica, sistemas de excitação.
1. Introdução
Com o crescimento em tamanho e complexidade dos modernos sistemas interligados de energia elétrica, o esforço computacional dos estudos de avaliação da segurança dinâmica tornou-se bastante elevado. Estes sistemas estão cada vez mais dependentes de controles, tanto em operação normal como em condições de emergência. Há uma necessidade crescente de se analisar um número grande de condições reais que possam ocorrer, o que requer o uso de ferramentas eficientes. Uma maneira de aumentar a velocidade do processo, sem perda significativa de precisão, é reduzir o tamanho do modelo do sistema por meio de equivalentes dinâmicos. Além desta aplicação, outra motivação para a utilização de equivalentes dinâmicos baseados em coerência tem sido a determinação de reduções drásticas da rede elétrica, visando estudos com simuladores em tempo real (Pires de Souza e Macedo, 2000).
Para o cálculo do equivalente dinâmico, o sistema completo interligado deve ser subdividido em um sistema em estudo ( sistema interno e fronteiras ) , onde as faltas ocorrem e é a área de interesse do estudo (por exemplo, uma concessionária de energia elétrica), e um sistema externo, que corresponde ao restante do sistema elétrico interligado, sendo representado pelo equivalente dinâmico.
O objetivo do equivalente nos estudos de estabilidade é simular as reações do sistema externo quando ocorrerem distúrbios no sistema em estudo. O equivalente dinâmico representa, portanto, a dinâmica do sistema externo.
A metodologia utilizada para o cálculo de equivalentes dinâmicos baseados em coerência apresenta três etapas básicas: a identificação de geradores coerentes, a redução estática da rede e a agregação dinâmica dos modelos das unidades geradoras coerentes (Pires de Souza e Leite da Silva, 1992). Dentre essas etapas, a última é a que menos tem sido tratada, e que vem requerendo maior desenvolvimento.
A agregação dinâmica de um grupo de unidades geradoras coerentes consiste em representar esse grupo através de uma ou mais unidades geradoras equivalentes. Os parâmetros lineares de cada modelo equivalente são ajustados numericamente de modo a se obter um erro mínimo entre a função de transferência equivalente e a função de transferência agregada, que representa a soma das funções de transferência das unidades individuais de cada grupo. O erro a ser minimizado é a soma dos quadrados da magnitude dessa diferença, calculada para várias freqüências discretas (Germond e Podmore, 1978). Para o cálculo desse erro em cada freqüência discreta, é necessário que as funções de transferência estejam na forma retangular. Se considerarmos s = jZ, uma função de transferência, representada usualmente como uma relação de polinômios em s, pode ser rescrita na forma [ A(Z) + j B (Z) ] / C(Z).
2. Agregação dinâmica de modelos de estabilizadores
Os estabilizadores de sistemas de potência têm a função de aumentar o amortecimento das oscilações de rotor dos geradores, através da aplicação de um sinal adicional estabilizante no sistema de excitação. Os estabilizadores apresentam duas estruturas básicas quanto ao número de entradas: simples ou dupla (IEEE,1992). O sinal adicional estabilizador é gerado, portanto, a partir de um ou dois sinais de entrada, podendo ser desvio de velocidade ou freqüência, potência elétrica ou potência acelerante, produzindo uma componente de torque elétrico em fase com o desvio de velocidade do rotor.
Os estabilizadores com entrada simples que utilizam sinais de desvio de velocidade ou freqüência apresentam bom rendimento em baixas freqüências. Para os estabilizadores com sinais de entrada de potência elétrica ou acelerante, o melhor desempenho ocorre em altas freqüências. Assim, o estabilizador com dupla entrada é uma alternativa atraente pois pode processar os sinais de freqüência e potência elétrica, de forma a garantir um melhor desempenho numa faixa de freqüência mais ampla.
O método de agregação dinâmica utilizado neste trabalho permite a agregação de estabilizadores com o mesmo tipo de sinal de entrada, e mesmo ponto de atuação na entrada do regulador de tensão. No trabalho de Germond e Podmore (1978) foi considerada a agregação dinâmica de modelos de estabilizadores com uma única entrada.
Para a obtenção dos parâmetros do estabilizador equivalente, é necessário que os parâmetros do modelo equivalente do sistema de excitação já tenham sido previamente identificados. Esta identificação é feita inicialmente sem a presença do estabilizador. Em seguida, o modelo do estabilizador equivalente é inserido no modelo do sistema de excitação equivalente, a fim de representar a influência do sinal de entrada do estabilizador na tensão de campo. Esta relação pode ser visualizada no diagrama da Fig. 1.
Figura 1. Diagrama de blocos do modelo equivalente de sistema de excitação com estabilizador. Neste diagrama de blocos, temos:
Geq
S(s) - Função de transferência do modelo de estabilizador equivalente. Geq
E(s) - Função de transferência do modelo de sistema de excitação equivalente. u - Sinal de entrada do estabilizador.
Vref - Tensão de referência. VT - Tensão terminal do gerador. VS - Tensão de saída do estabilizador.
'VT - Sinal de erro de tensão que entra no sistema de excitação. Efd - Sinal de saída do sistema de excitação.
O modelo equivalente de estabilizador deve apresentar uma resposta em freqüência similar à do grupo que irá substituir. Os procedimentos para a agregação dos estabilizadores com mesmo sinal de entrada são iniciados com o cálculo, para cada unidade geradora de um grupo coerente, do produto da função de transferência do estabilizador pela função de transferência do sistema de excitação e pelo correspondente fator W de ponderação da tensão de campo, em cada freqüência discreta na faixa de 0,01 Hz a 10 Hz (Germond e Podmore, 1978). A função de transferência agregada (FTA) representa a soma dos produtos obtidos anteriormente, em cada freqüência discreta, conforme indicado na Eq.1.
s
W
s
G
s
G
s
u
s
E
FTA
Ej Sj j j FD¦
(1) O processo de ajuste dos parâmetros da função de transferência equivalente (FTE) considera a média aritmética dos ganhos de cada modelo individual como estimativa inicial para os ganhos, e o inverso da média aritmética dos inversos das constantes de tempo de cada estabilizador como estimativa inicial para as constantes de tempo. A partir dessas estimativas iniciais são feitos os ajustes dos parâmetros através do método de Levenberg-Marquardt (1944, 1963), deforma a minimizar o erro entre as respostas em freqüência da FTE e da FTA. A função de transferência que representa o modelo equivalente pode ser representada por:
s
G
s
G
s
u
s
E
FTE
eq S eq E eq FD(2) Os limites do estabilizador equivalente são calculados aplicando-se, simultaneamente em cada sistema de excitação do grupo coerente, um degrau na entrada com valor igual ao limite de cada estabilizador (Germond e Podmore, 1978). 2.1 Aplicação do método a estabilizadores com dupla entrada
A Figura 2 apresenta a estrutura considerada para o estabilizador com dupla entrada (PSS2).
Figura 2. Diagrama de blocos do modelo de estabilizador com dupla entrada.
O método de agregação dinâmica trata de modelos com funções de transferência lineares. Para o sistema linear é válido o princípio da superposição, onde a saída desse sistema, em resposta a várias entradas conhecidas, é igual à soma de todas as saídas individuais. Para a determinação dos parâmetros do modelo equivalente do PSS2, o diagrama apresentado na Fig. 2 é dividido em três partes, conforme apresentado na Fig. 3. A Fig. 3(c) corresponde ao modelo de estabilizador com entrada simples (PSS1).
Duas funções de transferência foram, então, consideradas, tanto para os modelos individuais dos grupos coerentes (cálculo da FTA), como para os modelos equivalentes (cálculo da FTE). Essas funções de transferência relacionam o sinal de saída do PSS2 com as duas entradas. A primeira corresponde aos diagramas (a) e (c) da Fig. 3 (VST/'Z), e a outra aos diagramas (b) e (c) da mesma figura (VST/Pe). Os parâmetros do diagrama da Fig. 3(c) são determinados preliminarmente, e são comuns às duas funções de transferência consideradas. A primeira função de transferência permite a determinação dos parâmetros equivalentes A1, A3, A4 e D1, e a segunda os parâmetros equivalentes B1, B6, B7 e D1. O parâmetro D1 é determinado, portanto, pelas duas funções de transferência, já que o respectivo bloco é comum às duas estruturas consideradas.
A seguir serão apresentadas as funções de transferência dos três diagramas apresentados na Fig. 3. A função de transferência (FT) GS(s)=VST / u, correspondente ao diagrama de blocos da Fig. 3(c), é dada por:
0
2
4 3 1 0 0 1 1 1 1 1 sT sT sT sT sT sT A K u VST (3) Considerando s=jZ, a FT GS(jZ) pode ser representada na forma [A(Z)+jB(Z)]/C(Z), onde:
0 2 0 0 0 3 1 4 2 0 4 3 4 1 3 2 2 1 4 2 3 1 0 4 2 3 1 2 4 3 2 1 0 0 0 4 3 2 4 2 1 4 3 1 3 2 1 0 4 3 1 3 2 1 4 3 2 4 2 1 2 0 3 1 4 2 4 3 3 2 4 1 2 1 4 4 3 2 1 2 0 6 KA T T A T T T T A T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T A T A T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T T K A Z Z Z Z
1 3 2 4 0 0 0 0 4 3 1 3 2 1 4 3 2 4 2 1 0 0 4 2 3 1 4 3 3 2 4 1 2 1 0 4 3 4 1 3 2 2 1 3 1 4 2 2 0 3 1 4 2 3 4 3 2 1 0 0 2 0 4 3 2 4 2 1 4 3 1 3 2 1 5 1 1 T A A T T T T K A T T T T T T T T T T T T T A T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T T A T T T T T T T T T T T T T K B Z Z Z Z
42 1 2 2 2 0 2 2 4 2 0 2 4 2 2 2 2 2 0 4 2 4 2 2 2 0 6 T T T T T T T T T T T T C Z Z Z Z
A FT GAD(s)=VAD / 'Z, correspondente ao diagrama de blocos da Fig. 3(a), é dada por:
1 4 1 1 1 1 1 4 3 1 1 1 1 1 1 4 1 sD sD sD sD sA sA D s sA A VAD Z (4)Considerando s=jZ, e representando GAD(jZ) na forma [A(Z)+jB(Z)]/C(Z), temos:
1 4 4 4 6 4 6 6 4 4 4 6 4 2 1 2 4 2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 1 4 6 1 4 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 4 2 1 6 8 1 6 1 2 4 6 1 2 1 4 1 2 4 2 1 8 8 1 2 4 8 1 2 1 6 1 2 4 2 1 10 8 1 2 4 2 1 12 A A D A A D A D A D D D A D A D A A D D A D A D A A D A D A D A A D A A C Z Z Z Z Z Z Z
A FT GBD(s)=VBD / Pe, correspondente ao diagrama de blocos da Fig. 3(b), é dada por:
1 1 4 1 1 1 4 1 1 7 1 6 sD D s sB sB B Pe VBD (5)
Considerando s=jZ, e representando GBD(jZ) na forma [A(Z)+jB(Z)]/C(Z), temos:
Figura 3. Diagramas utilizados para representar o PSS2.
2 1 7 6 2 1 6 1 3 1 6 3 3 1 7 6 1 4 1 7 6 4 1 6 1 5 1 6 5 6 1 7 6 6 1 6 1 5 1 7 6 1 7 8 1 7 6 8 1 6 1 9 6 6 20 20 21 21 4 4 4 4 D B B D B B D B D B B B D B B D B B D B D B B D B B D B B B D B B D B B B Z Z Z Z Z
4 1 4 4 6 4 6 6 4 6 4 4 4 2 7 2 1 2 1 2 2 1 2 7 2 7 2 1 2 1 2 1 4 1 4 2 1 2 7 2 1 4 1 2 7 4 1 2 1 6 1 6 4 1 2 7 2 1 6 1 2 7 6 1 2 1 8 1 8 8 1 2 7 6 1 2 7 2 1 8 1 2 1 10 8 1 2 7 2 1 12 B B D D B B B D B D D B B D B D B D D B B D B D B D D B D B B D B D B B C Z Z Z Z Z Z Z 3. Resultados
A Fig. 4 apresenta o bem conhecido sistema New England com 39 barras, 46 linhas/transformadores e 10 geradores. Foram considerados modelos de estabilizadores com dupla entrada do banco de dados de estabilidade do sistema elétrico brasileiro para avaliar a metodologia. A área de interesse específico escolhida está acima das barras 39, 2 e 26, definidas como barras de fronteira. O restante do sistema é o sistema externo, que será substituído pelo sistema equivalente.
Figura 4. Sistema New England.
Nos testes realizados foram estudados os comportamentos dos geradores do sistema interno (geradores 1, 8 e 9), considerando o gerador 10 como referência. As curvas de oscilação desses geradores obtidas com a simulação do sistema equivalente foram comparadas com as obtidas com o sistema completo.
A seguir serão apresentados os resultados da agregação dinâmica dos estabilizadores com dupla entrada (Pe e 'Z) das unidades geradoras coerentes. Dentre os resultados que foram obtidos para várias composições de grupos coerentes (Albuquerque, 2002), serão apresentados aqueles relativos à aplicação de um curto-circuito trifásico na barra 29, e eliminação da falta após 67ms com a abertura do circuito entre as barras 28 e 29. Considerando-se o índice de qualidade da coerência q=90% (Pires de Souza e Leite da Silva, 1992), formam-se os grupos coerentes (2,3) e (6,7). As figuras 5 e 6 apresentam os diagramas de Bode (módulo e fase) do grupo (6,7), para ilustrar o ajuste da resposta em freqüência da função de transferência equivalente em relação à da função de transferência agregada, para o canal de desvio de velocidade e o canal de potência elétrica, respectivamente.
As avaliações dinâmicas dos estabilizadores foram feitas comparando-se as curvas de oscilação angular de geradores, e outras variáveis do sistema em estudo, obtidas com o sistema completo e com o sistema equivalente, para diferentes pontos de aplicação de curto-circuito e valores do índice de qualidade da coerência.
As Figuras 7, 8 e 9 apresentam os desempenhos dos sistemas completo e equivalente através das curvas de oscilação angular do gerador 1, potência elétrica do gerador 9 e tensão na barra 26 do sistema interno, respectivamente.
Figura 5. Diagramas de Bode das funções de transferência dos estabilizadores: grupo (6, 7) e equivalente (Canal 'Z).
Figura 6. Diagramas de Bode das funções de transferência dos estabilizadores: grupo (6, 7) e equivalente (Canal Pe).
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0,0100 0,0316 0,1000 0,3162 1,0000 3,1623 10,0000 Freqüência ( Hz ) M ódulo ( pu )
Função Agregada Função Equivalente
-330 -230 -130 -30 70 170 0,0100 0,0316 0,1000 0,3162 1,0000 3,1623 10,0000 Freqüência ( Hz ) F ase ( g rau s )
Função Agregada Função Equivalente
0 2 4 6 8 10 0,0100 0,0316 0,1000 0,3162 1,0000 3,1623 10,0000 Freqüência ( Hz ) M ódul o ( pu )
Função Agregada Função Equivalente
-400 -300 -200 -100 0 100 0,0100 0,0316 0,1000 0,3162 1,0000 3,1623 10,0000 Freqüência ( Hz ) F ase ( g rau s )
Figura 7. Curvas de oscilação angular do gerador 1.
Figura 8. Curvas de potência elétrica do gerador 9.
Figura 9. Curvas de tensão na barra 26. -20, -10, 0, 10, 20, 30, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Tempo (s)
Completo c/ estabilizador Equivalente c/ estabilizador
400 600 800 1000 1200 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Tempo (s)
Completo c/ estabilizador Equivalente c/ estabilizador
0,9 0,94 0,98 1,02 1,06 1,1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Tempo (s)
Conforme já visto, os diagramas utilizados para representar o PSS2 apresentam um bloco em comum (Fig. 3(a)-(b)), cujo parâmetro D1 faz parte das duas funções de transferência, desenvolvidas para representar as relações entre o sinal de saída e os dois sinais de entrada. Os valores obtidos para o parâmetro D1 com as duas estruturas, para várias composições de grupos coerentes, apresentaram diferenças percentuais na faixa de 2,94% a 9,22%. Como nas simulações dinâmicas realizadas, considerando o menor e o maior valores para D1 em cada grupo coerente, os resultados obtidos foram similares, sugere-se o valor médio para o parâmetro D1.
4. Conclusões
As curvas referentes às variáveis selecionadas mostram que o sistema equivalente apresenta um desempenho dinâmico similar ao obtido com o sistema completo para os distúrbios considerados, comprovando que a metodologia adotada para a agregação dinâmica de modelos de estabilizadores com dupla entrada é eficaz na determinação de equivalentes precisos.
5. Agradecimento
Ao Eng. Nilo José Pereira de Macedo, de Furnas Centrais Elétricas S.A., pelo apoio técnico recebido durante o desenvolvimento deste trabalho.
6. Referências
Albuquerque, M. A., 2002, “Agregação Dinâmica de Modelos de Estabilizadores com Dupla Entrada para o Cálculo de Equivalentes Dinâmicos”, Dissertação de Mestrado, PUC/Rio, 97 p.
Germond, A. J., Podmore, R., 1978, “Dynamic Aggregation of Generating Unit Models”, IEEE Trans. on Power App. and Syst., Vol. PAS-97, pp. 1060-1069.
IEEE, 1992, “Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies”, IEEE Std 421.5.
Levenberg, K., 1944, “A Method for the Solution of Certain Nonlinear Problems in Least Squares”, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. II, nº 2, pp. 164-168.
Marquardt, D.W., 1963, “An Algorithm for Least Squares Estimation on Nonlinear Parameters”, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 2, nº 11, pp. 431-441.
Pires de Souza, E.J.S., Leite da Silva, A.M., 1992, “An Efficient Methodology for Coherency-Based Dynamic Equivalents”, IEE Proceedings-C, Vol.139, nº 5, pp. 371-382.
Pires de Souza, E.J.S., Macedo, N.J.P., 2000, “Application of Coherency-Based Dynamic Equivalents in the Interconnected Brazilian System”, Revista Eletroevolução, Cigré-Brasil, Vol.19, pp. 14-17.
7. Aviso sobre direitos autorais
Os autores são os únicos responsáveis pelo material impresso contido neste artigo.
DYNAMIC AGGREGATION OF DUAL-INPUT POWER SYSTEM
STABILIZER MODELS TO CALCULATE DYNAMIC EQUIVALENTS
Abstract. The paper presents a new methodology for dynamic aggregation of dual-input stabilizer models applied on voltage
regulators of coherent generating units. The aim is the calculation of dynamic equivalents for power system transient stability studies. The methodology available in the literature deals with the dynamic aggregation of single-input stabilizer models. The dynamic aggregation of a group of coherent generating units attached to a common busbar consists in the representation of this group by one or more equivalent generating units. The dynamic aggregation has been considered as a parameter adjustment problem of equivalent models properly chosen. These parameters are numerically adjusted using the Levenberg-Marquardt method. According to the dynamic aggregation method used, only stabilizers with the same input signal are aggregated. The equivalent excitation system model is initially determined without the power system stabilizer (PSS). Then, the equivalent PSS model is included. The frequency responses are presented in Bode diagrams (magnitude and phase). The dynamic equivalents are evaluated in the New England system, considering dual-input power system stabilizer models of the Brazilian system stability database. The swing curves of the internal system generators obtained with the complete system are compared with those obtained with the equivalent system.
