CONTROLO. Cap 3 Respostano Tempo

CONTROLO

1º semestre – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap 3 – Resposta no Tempo

Maria Isabel Ribeiro António Pascoal

Setembro de 2007

Todos os direitos reservados

Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram p p q p q elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Objectivos

• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs

• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica de , , g p SLITs

• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª

• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª  ordem e ordem superior

d f ã í

• Sistemas de fase não mínima

• Relação tempo‐frequência

¾ Referências

¾ Referências

o Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) o Sinais e Sistemas Isabel Lourtie Escolar Editora (para revisão de o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de 

conceitos sobre TL)

Função de Transferência: definição

r(t) y(t)

( ) SLIT y( )

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Q i t d t f d d L l d i l d

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

) ( R

) s ( ) Y

s (

G =

Quociente da transformada de Laplace do sinal de  saída pela transformada de Laplace do sinal de  entrada considerando nulas as condições iniciais

0 .i .

) c

s ( ) R

(

=

R(s) G(s) Y(s)

G(s)

) ( R ) ( G )

( Y

Para condições iniciais nulas Y ( s ) = G ( s ). R ( s )

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o  comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

• Para SLITs a função de transferência caracteriza completamente o

• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o

sistema do ponto de vista de entrada‐saída

Resposta no Tempo

r(t) SLIT y(t)

Dados 

• a equação diferencial que representa um modelo do SLIT

• a equação diferencial que representa um modelo do SLIT

• a entrada r(t)

• as condições iniciais ç

Pretende‐se:

• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)

Uma maneira de resolver o problema

R l ã dif i l é ã d

Resolver a equação diferencial que é a representação do 

comportamento de entrada‐saída

Função de Transferência e a Resposta no Tempo

r(t) SLIT y(t)

R(s) G(s) Y(s)

) s ( ) Y

s ( G

r(t)

y(t)

0 .i .

) c

s ( R

) ) (

s ( G

=

=

TL _u TL _u ^-1

R(s) Y(s)

) s ( R ).

s ( G ) s (

Y(s)=G(s).R(s) Y

Se as condições iniciais forem nulas

Resposta no tempo a partir da FT: 

exemplo de sistema de 1ª ordem p

m

f(t) ^{F ( s ) V ( s )} 1

Sistemas mecânicos de translação

m s

m ) 1

s (

G = + β

b

m f(t) _G(s) ^{( )}

Sistemas mecânicos de translação

exemplo‐1ªordem

u(t) = escalão de Heaviside ( ) f(t) = F u(t) = entrada do 

)) F t ( f ( TL 1

)) t ( u (

TL = → =

( ) ( ) sistema

1 F

( ( )) s

)) s ( (

assume‐se que o 

1 F

q sistema está  inicialmente em repouso

β

= +

ms . 1 s ) F s ( V

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛

−

−

F 1

TL ))

( V ( TL )

t

(

TL

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝ + β

=

= . ms

TL s ))

s ( V ( TL )

t (

v

exemplo de sistema de 1ª ordem p

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛

−

−

F 1

TL ))

( V ( TL )

t

(

⎟⎟ ^{1 m}

⎜⎜ ⎠

⎝ + β

=

= . ms

TL s ))

s ( V ( TL )

t (

v

m s

m ) 1

s (

G = + β

( ) ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

β

− β

= β

= β

β )

1 . 1

) F (

m 1 F 1

F

decomposição em fracções parciais

⎟ ⎠

⎜ ⎝ + β β

+ β

+ s ( s m ) s s m )

ms s

β

β

saída

F

β

) 1

t ( u 1 e

F ) t ( 1 u F )

t (

v

− β

= β

− β

β

F ^β

0 t

para

1 e 1 F

F )

t (

v

≥

− β

= β

− β

Ganho em regime

β β

regime estacionário

A FT e a obtenção da resposta de um SLIT  com c.i. não nulas

Utilização da Função de

Transferência na obtenção da

r(t)

y(t)

Transferência na obtenção da resposta de um SLIT

TL TL ^‐1

Se as condições iniciais forem nulas

R(s) Y(s)

) s ( R ).

s ( G ) s ( Y =

E se as condições iniciais não forem nulas?

Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ? Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?

TL

TL

G(S) R(s)

TL

eq.diferencial Y(s) y(t)

c.i. ≠0

Já tem em 

linha de conta

as c.i.

um SLIT com c.i. não nulas um SLIT com c.i. não nulas

exemplo p

Y(s)/R(s) a

s

G(s) K =

= + ay(t) Kr(t)

dt dy(t)

=

a +

s + dt

TL

u(t) r(t) =

1 )

0 (

y

= sY(s) − y(0 ⁻ ) + aY(s) = KR(s)

K R(s) )

Y(s) y(0 1 −

K )

Y(s) y(0

−

a R(s) s

a s

) Y(s) y(

+ +

= +

TL

s a s

a s

) Y(s) y(

+ +

= +

0 t

) e K (1

)e y(0

y(t) = ^{- − at} + − ^{− at} ≥

TL

Sistema linear

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008      © Isabel Ribeiro, António Pascoal

0 t

), e

a (1 )e

y(0

y(t) = + − ≥ Princípio da sobreposição

Resposta devida à 

excitação pelas condições Resposta devida à excitação pela entrada r(t)

Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros

R(s) G(s) Y(s)

n grau de

polinómio

m grau

de polinómio D(s)

G(s) = N(s) =

G(s) D(s) polinómio de grau n

1 0 n n

0 1

1 m 1 m m

m

, m, n N

b

b s b s

b s

b D( )

G(s) = N(s) = +

+ L + + ∈

0 0

1 1

n 1 n n

n

s b s a s a

a ( ) D(s)

+ +

+

+

L

Função de transferência

• própria ⇔ n≥m

• própria     ⇔ n≥m

• estritamente própria ⇔ n>m

• não própria ⇔ n<m

Só estudaremos este tipo de FT

não própria ⇔ n m

Pólo do SLIT

λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞

Zero do SLIT

λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0

Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns

• Os pólos do sistema são os zeros de D(s) p ( ) cuidado ao cancelar factores comuns nos

• Os zeros do sistema são as zeros de N(s) polinómios N(s) e D(s)

Função de Transferência: outras representações

0 1

1 m 1 m m

m

s b s b s b m n N

b )

s ( ) N s (

G +

+ L + + ∈

0 0

1 1

n 1 n n

n

0 1

1 m

m

, m , n N

a s a s

b s

a )

s ( D

) ) (

s (

G ∈

+ +

+

= +

=

−

L

Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem n≥m )

Representações alternativas (  Se não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m )

0 m

2

1

, m , n N

) ) (

)(

(

) z s )....(

z s )(

z s K ( )

( D

) s ( ) N

s (

G + + + ∈

=

=

n 2

1

)( s p )....( s p ) p

s ( )

s ( ) D

( + + +

Pólos     {‐p

, ‐p

, ... , ‐p

} Zeros     {‐z

, ‐z

, ... , ‐z

} (em rad/seg)

i

i

p

= 1 τ

i

i

z

T = 1

m 0 2

0 1

, m, n N

) s ) (1 s

)(1 s

(1

) sT )....(1

sT )(1

sT K (1

D(s)

G(s) N(s) ∈

+ +

+

+ +

= +

= τ τ τ

Forma das constantes de

p

z

(em seg)

n 2

1

)(1 s )....(1 s ) s

(1

D(s) + τ + τ + τ

tempo

Se ‐p

for um pólo real

constante

0

1

K ganho estático Atenção ao valor do ganho  constante  de tempo

i

i = p

τ

0

ç g

estático quando houver pólos 

e/ou zeros na origem

Resposta no tempo a partir da FT: 

exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt) exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)

m f(t)

β

m s

m ) 1

s (

G = + β b

) s ( V

G(s)

) s ( F pólo =

m

− β

não tem zeros

constante de tempo=

(seg) (rad/seg)

( )

jw

β

1 ) 1

( G

FT na forma das constantes de tempo

1

σ

m

− β

+

= β

s

) 1 s (

G Ganho estático= β = 1.33

1

Quando         aumenta, 

• a resposta do sistema torna‐se mais rápida.

m

− β

• a constante de tempo diminui

• o regime transitório atenua‐se mais rapidamente

=1

β ¹

|pólo| a aumentar

m

375 . mβ =0

|pólo| a aumentar

¾ O pólo determina a natureza da componente  natural da resposta; pólo real Æ exponencial amortecida

75 .

= 0 amortecida β

¾ Como é a resposta em frequência para estas duas 

situações?

Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem

R(s) a Y(s)

K ) s ( G

Pólo = ‐a (rad/seg) jw

C t t d t 1/ ( )

a K s

) s (

G

= +

a σ

− Constante de tempo = 1/a (seg)

Ganho estático = K

r(t)=u(t) s ) 1 s (

R =

a s

K s

K a s . a s K 1

Y(s)

− + + =

=

a . tempo K de

te tan cons . 1 K

declive= ₀ = ₀

at 0

0 K e

K

y(t) = − ⁻ _Para t≥0

K

tempo de

te tan cons

0

Tempo de estabelecimento (a 2%)–

tempo ao fim do qual a resposta se

5 %

tempo ao fim do qual a resposta se  confina a uma faixa de ±2% do valor  final.

t d t t

* 4 4 (2%) t

86. 5

tempo de

constante

* a 4 (2%) 4

t

= =

t

a 5%

a 1

a 2

a 3

a 4

a

tempo

de constante

* a 3 (5%) 3

t

= =

Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

Teorema do Valor Inicial

)]

t ( [ TL )

( X

Teorema do Valor Inicial

) s ( lim sX

) t (

lim x =

)]

t ( x [ TL )

s (

X = ^{t → 0}

^{s → ∞}

Teorema do Valor Final Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e

Teorema do Valor Final

) s ( lim sX

) t ( lim x

0 s

t → ∞ = →

Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e

De que modo estes teoremas podem ser usados na 

á ( í )

0 s

t → ∞ →

análise do comportamento (da saída) de SLITs ?

R( ) Y( ) Sem o cálculo explícito da saída para

R(s) G(s) Y(s)

) ( R ) ( G )

( Y

Sem o cálculo explícito da saída para  uma dada entrada é possível avaliar  valores particulares da saída:

) 0 ( )

0 ( )

( )

0

(

&

&&

) s ( R ).

s ( G )

s (

Y = ^{( 0 ), ( ), ( 0}

^{), ( 0}

^),....

∞

→

+

y t y y

y

lim

Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

no cálculo de características da saída de um SLIT

R(s) G(s) Y(s)

Valor Inicial da Saída

) s ( R ) s ( lim sG

) s ( lim sY

) t ( lim y

s 0 s

t = → ∞ = → ∞

+

s s

0

t →

→ ∞ → ∞

Entrada

escalão 1 lim G(s)

sG(s) y(t) lim

lim = =

R(s) = 1

Valor Final da saída

escalão unitário

s ( ) ( ) y( )

s 0 s

t→ ⁺ →∞ →∞

( ) s

Valor Final da saída

) s ( R ) s ( lim sG

) s ( lim sY

) t ( lim y

0 s 0

s

t → ∞ = → = →

Entrada escalão

i á i

) s ( lim G s

) 1 s ( lim sG )

t ( lim y

0 s 0

s

t→∞

=

=

s ) 1 s (

R =

Valor do ganho em

unitário Valor do ganho em

regime

estacionário

Ganho Estático: exemplo

X

b

m f(t)

) s ( X )

s (

F G

( s )

Entrada=f(t) Saída = x(t)

)

1

(

) ( )

( s ) V ( s ) X ( )

( F

m s

m 1

β +

) s ( X

s 1

m ) 1

s ( G

este sistema tem um pólo na origem (a posição é o integral da velocidade)

) m s

( ) s

s ( G

β

= +

∞

=

= lim G (s)

K

→

( )

lim

0 0 s

Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem

exemplo X

b

m f(t) Objectivo: controlar o sistema em posição

) s ( G

) s ( ) V

s ( F

m s

m 1

β +

) s ( X s

K 1 ) +

s ( R

)

1

(

m

s + β s

_

Qual é a função de transferência do sistema controlado?

[ ^{R ( s ) X ( s )} ]

K ) s ( G )

s ( F ) s ( G )

s (

X ^{( s ) G ( s ) F ( s ) G ( s ) K} [ ^{R ( s ) X ( s )} ]

X = ₁ = ₁ −

) s ( R ) s ( KG )

s ( X )) s ( KG 1

( + ₁ = _{1 X ( s ) m} ^K

) s ( G )

s ( KG 1

) s ( KG )

s ( R

) s ( X

1 1

= + m

K s m

s

m )

s ( R

) ) (

s ( G

2

+ β +

=

= )

( )

(

• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros

• ganho estático = ?

Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral

2

w

) s (

G =

G(s)

R(s) Y(s)

2 n n

2

2 w s w

) s s (

G = + ζ +

G(s)

Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?

• depende da localização dos pólos 0

w s w 2

s

+ ζ

+

= ^{s = − ζw}

^{± w}

^ζ

^{− 1}

ζ

jw

1

0 ≤ ζ < Sistema subamortecido

>>

ζ

w

jw

jw

Pólos complexos

conjugados

n

n

jw 1

w ± − ζ

ζ

−

n

ζ

=

θ arcsin

= 1 ζ

= 1 ζ

Pólo real duplo − ζ w = − w

Sistema criticamente amortecido − w

^{− ζ w}

> 1 ζ

p ζ w n = w n

Sistema sobreamortecido − jw

jw

−

> 1 ζ

Pólos reais distintos − ζ w

± w

ζ

− 1

j

=0 ζ

Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0

, 1

w

= , ζ ζ = w

= 1 , , ζ ζ = 0.3

Sistema subamortecido

1

, 1

w

= ζ = w

= 1 , ζ = 2

Sistema criticamente amortecido Sistema sobreamortecido

Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0.3

, 1

w

= ζ = w

= 1 , ζ = 2

Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido

zoom zoom

A derivada na origem é nula

sw

Demonstre este resultado usando o  teorema do valor inicial, mostrando que:

w 0 s

w 2 s

lim sw )

t (

lim y

n n

2

n 0 s

t

+ = ζ

= +

∞

→ ⁺

&

Sistema de 2ª ordem Subamortecido ⁰ ≤ ζ < ¹

1

j

pólos complexos _W

n

– freq. oscilações naturais NÃO  amortecidas

fi i t d t i t

43 ζ 42 1

wd

2 n

n 2

,

1

w j w 1

s = − ζ ± − ζ ^‐‐ coeficiente de amortecimento

W

– frequência das oscilações amortecidas

ζ

Resposta a uma entrada escalão unitária

) t

1 1 i (

1 ) t

(

ζ

Ψ ^T

0 t ≥ )

t 1

w sin(

1 e 1

) t (

y

2

n

− ζ + Ψ

ζ

− −

=

sobreelevação

0 t ≥

parte real dos pólos

parte 

imaginária dos Consequência de o ganho

estático ser unitário

S

%

±2 sobreelevação

1 0.9

ζ ζ

= −

Ψ 1

arctg

imaginária dos  pólos

ζ

Nota: 

t t t

0.1

n p

de tempo

t

t

Tempo  de pico

Tempo de estabelecimento

t

Tempo de subida

Especificações no domínio do tempo

• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, por vezes, expressas em termos da sua resposta no tempo

• Especificações típicas em termos de:

– Tempo de subida (t

) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de  um novo set‐point p

• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final

– Tempo de estabelecimento (t

) – tempo que o regime transitório demora a decair

• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final

– Sobreelevação ‐ (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo  valor final

±

valor final

– Tempo de pico (t

) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo  da saída

P i t d 2ª d b t id t

• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estas

especificações podem expressar‐se como função de ζ e de ω _n

Sistema de 2ª ordem Subamortecido

Características da resposta

• Pontos em que a derivada se anula

dt 0 ) t (

dy = n 0 , 1 , 2 ,...

1 w

n w

t n

2 d n

ζ =

−

= π

= π

•Período das oscilações ‐ T

Para n=0 ^{y & ( 0}

^{) = 0} A derivada na origem é nula

Período das oscilações  T

d

d

w

T = 2 π

•Tempo de pico ‐ t

Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t) 2

T w

t π

d

p

= = n=1

↓

↑⇒

⇔

↑

−

=

d

w 1 ζ parte imaginária dos pólos t

w

Sistema de 2ª ordem Subamortecido

Características da resposta

• Sobreelevação – S%

final final max

y y 100 y

S% = − Só depende do 

coeficiente de 

ζ2

1 ζπ p

max

y(t ) 1 e

y

−

+

=

=

ζπ

amortecimento

↑

⇒

↓ S%

ζ

1 2

e . 100

%

S

− ζ

=

ζ

T d bid t

Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final

• Tempo de subida ‐ t

Não há uma expressão analítica simples que relacione tr com o coeficiente de amortecimento e a frequência w_n.

Mas há expressões aproximadas

t

≅ 1 . 8

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008      © Isabel Ribeiro, António Pascoal

t

n

r

w

Sistema de 2ª ordem Subamortecido

Características da resposta

• Tempo de estabelecimento a 2% (t

(2%))

•Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final

•A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem

) t

1 w sin(

1 e 1 1

) t (

y

2

n

− ζ + Ψ

− ζ

=

1 − ζ

1 aproximação

02 . 0 1 e

1

2

n

=

ζ

−

ζ

−

1 ) t

1 w

sin(

− ζ

+ Ψ = aproximação

n

s

w

t 4

= ζ 3

a 2% ζ w _n ↑ ⇔ | parte real dos pólos | ↑⇒ t _s ↓

Valores aproximados

Verifique a analogia com os 

n

s

w

t 3

= ζ

a 5%

4 6 sistemas de 1ª ordem

n

s

ζw

t = 4.6

a 1%

Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos

Figuras retiradas de

Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001

Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos

Figuras retiradas de

Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001

Sistema de 2ª ordem Subamortecido

Lugar geométrico dos pólos que correspondem a determinadas especificações

constante ω

constante ξω

Tempo de subida constante

Tempo de estabelecimento constante

constante

ξ ω

constante

Sobreelevação_, constante

Tempo de pico constante

Exercício

1 1

+ K Y(s)

R(s)

2

s + s

K

_

• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?

• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a uma entrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.

l d l é d b l % d ?

• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?

2) K s(s

K

Y(s) +

K 2s s

2) s(s 1 K

) (

R(s) =

+ +

+ +

= Ganho estático unitário, independente de K

O sistema em cadeia fechada  Das especificações pretendidas:

tem uma f.t. da forma

2 2

2 n

2 ) w

s (

G = ζ ^{ln 0 . 2}

2 . 0 2 ln

. 0

% 20

%

2 1 ²

= +

⇒

=

⇒

=

ξ π

ξ ξπ

e S

46 ξ 0

Das especificações pretendidas:

2 n n

2

2 w s w

) s

( + ζ +

Por  ⎨ ⎧ 2 ξω

= 2

ξ

= 1 ω

46 .

= 0 ξ

8 . 4 2

.

2 ⇒ =

= K

ω

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008      © Isabel Ribeiro, António Pascoal

comparação:

⎩ ⎨ K = ω

ξ

seg t

n

s

3 3

%) 5

( = =

Confirme resultados usando Matlab ξω

Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido

2

w

) s (

G =

=1 ζ 2

n n

2

2 w s w

) s s (

G + ζ +

= 1 ζ

w

−

2

w

) s (

G =

ζ 1

2 n

) w s

) ( s (

G +

) 1 s (

R =

t d lã d lit d itá i

ganho estático unitário

) s s (

R =

entrada escalão de amplitude unitária

3 2

1 2

n

c c c

) w ( Y

n 3 2

n 2 1

2 n n

w s

) w s

( s )

w s

( ) s

s (

Y + +

+ + + =

=

t w t

w

n te

e

w 1

) t (

y = − ⁻ − ⁻ t ≥ 0

t w n te )

w

1 ( 1 )

t (

y = − + ^{− t ≥ 0}

Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais

w . ) a

s ( G

2

=

) a s )(

w s w 2 s

) ( s (

G

n n

2

+ ζ + +

=

s ) 1 s (

R =

a s

R w

) w s

(

w R ) w s

( R s

) R s (

Y

d 2

n

d 3 n

2 1

+ + +

ζ +

+ ζ

+ +

=

at 4 d

3 d

2 t w

1

e ( R cos w t R sin w t ) R e

R ) t (

y = +

+ +

^{t ≥ 0}

• De que modo um pólo influencia a resposta global?

¾ Através de:

¾ Através de:

– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)

t l d t i it d

Contribuição de pólos para a  resposta transitória

pólo simples

– parte real ‐ que determina o ritmo de

decaimento da componente transitória associada – resíduo associado – que depende da localização

e

at at

te e

,

pólo simples

pólo duplo

resíduo associado que depende da localização 

dos outros pólos e zeros. e

sin( bt + Ψ )

pólos complexos

Sistema de 3ª ordem sem zeros

a

* 25

) 25 s

4 s )(

a s (

a ) 25

s (

G

+ +

= +

3 1 8

-2 -3 -1 -8

a =1, 3, 8 rad/seg

sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real

sistema de 2ª ordem

¾ Quando |a| aumenta

a=3 a=8

¾ Quando |a| aumenta

• a influência do pólo real diminui

• O pólo torna‐se “menos dominante”

• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos

a=1 a=3

• A resposta é  dominada  pelos pólos complexos

¾ Em qualquer das situações o sistema torna‐se mais lento

• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui

a 1

Compare o diagrama de Bode para as quatro situações

Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

a

* ) 25

s (

G =

) 25 s

4 s

)(

a s ) (

s (

G

+ +

= +

¾ Quando |a| aumenta

• a influência do pólo diminui

• O pólo torna‐se “menos dominante”

• O pólo torna‐se  menos dominante

• Os pólos complexos são pólos dominantes

¾ Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ? q ç p p p ( )

¾ Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.

¾ Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezes maior que o módulo 

da parte real dos pólos dominantes.

Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

a

* ) 25

(

G ( s ) ( s a )( s 4 s 25 )

G

+ +

= +

) 250 s ( G

2ªordem

= 10 a

) 25 s

4 s

)(

10 s

) ( s (

G

+ +

= +

) 25 s ( G

3ªordem 2 ordem

) 25 s

4 s )(

1 10 s

( 1 ) s ( G

2

+ +

+

=

O desprezo de pólos não  dominantes tem que preservar o  ganho estático

) 25 s

4 s ( ) 25 s (

G

+

≅ +

Aproxima o sistema de 2ªordem,  no que respeita à resposta no  tempo

Que acontece no domínio da frequência?

Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da 

frequência?

Efeito de zeros adicionais

Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?

R R

R bc c)

b)(s (s

a) (s a

G(s) bc

+ +

= +

unitário

c ) s

R b

s R s

( R a ) bc s (

Y

+ + + +

=

1 a

Entrada escalão de  amplitude unitária

) b c )(

b (

b R a

bc R a

2 1

−

−

= − s =

R(s) = 1

Cálculo geométrico dos resíduos

) c b )(

c (

a R c

) b c )(

b (

3

− −

+

= −

‐b

‐c ‐a

b

Os zeros determinam o valor dos resíduos

) e R e

R R

a ( ) bc t (

y =

+

+

• Os resíduos R

ou R

serão pequenos se o zero estiver

ó i d ól b d ól R

<< R

bc ( R R e ) )

t (

y =

+

aproximação

próximo de pólo em –b ou do pólo  em –c, respectivamente.

3

2

R

R << ( R R e )

) a t (

y

+

Pólos não dominantes: Redução de ordem

Em que condições 

Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?

• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES

– o resíduo associado ao pólo é pequeno – o resíduo associado ao pólo é pequeno

• Proximidade com um zero – a parte real do pólo é elevada

• Regime transitório extingue‐se muito rapidamente Como se faz a aproximação ?

despreza se o pólo e o zero – despreza‐se o pólo e o zero – despreza‐se o pólo

Cuidado a ter na aproximação Cuidado a ter na aproximação

O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático

) 1 1 s ( 236 +

exempl o

] 3 )

2 s )[(

20 s

)(

1 s (

) 1 . 1 s ( ) 236

s (

G

+ +

+ +

= +

Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional

2

n ( s b )

) w s (

G +

2 n n

) w s

(

) (

) b s (

G = +

1 pólo duplo e 1 zero

Para entrada escalão unitário

n n

2

n

( s b ) 1 ( w b ) w / b 1

) w (

Y + −

n 2

n n n

2 n n

w s )

w s (

) (

s )

w s ( s

) (

) b s (

Y − +

+ + + =

=

) b w (

w ⎞

⎛ t 1 e , t 0 b

) b w ( 1 w

) t (

y

⎟

≥

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

+

=

0 ) 0 (

y

=

Características da resposta

Use os teoremas dos valores inicial e final para chegar a  estas conclusões

1 ) ( y

b ) w 0 ( y

2 n

∞

+

=

&

Pode ser negativo se  o zero estiver no spcd

1 ) (

y ∞ =

Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional

2 2

n

) (

) b s

( b

) w s (

G = +

n

) w s

(

b +

b w

0 <

< 0 < b < w

-w

-b -w

-b

Existe

4 b

2 w

=

=

sobreelevação 1

b 2 w

=

=

1 w

) w s ( s

) b s ( b ) w s ( Y

2 2 n 2

n =

+

= + Combinação linear de um sinal

e da sua derivada )

s ( bY ) s ( ) sY

w s ( s

1 b

)w b s (

_{1 1}

) s ( Y

2 n n

1

+ + =

+

=

4 4 3 4

4 2 1

Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional

2

n

( s b )

) w (

G + ^{b < 0 < w}

2 n n

) w s

(

) b s

( ) b

s (

G = +

-w

-b

n

Pólo duplo e zero no spcd

Sistema tem um zero no spcd

‐ sistema de FASE NÃO MÍNIMA

• Sistema de fase não mínima é aquele que

• Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um pólo e/ou um zero no semi‐plano complexo direito

Derivada na origem é negativa

– Pólo no spcd – instabilidade

– Qual é o efeito de um zero no spcd ?

Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

Exemplo – Barrilete

– Centrais termoeléctricas – Produção de vapor 

r(t) h(t)

b il t

Caudal de água  fria à entrada

Altura da água no  barrilete

barrilete

• Relação entre a abertura da válvula da 

Lento

água fria e a altura da água no  barrilete depende de:

• Efeito rápido de contracção da água Efeito rápido de contracção da água devido à injecção de água fria

• Efeito de integração devido à adição de 

massa

massa

Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

Exemplo – Barrilete

) s ( R

) s ( H )

s ( R

) s ( H )

s ( R

) s ( ) H s (

G = =

+

) 1 s ( s

s ) 1 K

( K 1

s 1 s

) K s (

G

+ τ

− τ

= + +

− τ

=

• Para certa relação de K

e τ o sistema tem um zero no semi‐plano complexo direito ( τ <1/ K

)

• Nos sistemas reais τ<<1, K

<<1.

entrada escalão r(t) =u(t)

Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível

Manipulador Rígido

saída

Τ θ ^{T(t) entrada} θ (t)

T‐binário motor

0 t ₀ t

saída Manipulador Flexível

T(t) ^entrada θ (t)

Τ θ

0 t t

θ

T binário motor T‐binário motor

Efeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)