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GULO DE RIA COM

E

APRESENTAÇÃO...1

INTRODUÇÃO...3

ATIVIDADE 1: Apresentação do Triângulo de Pascal...4

ATIVIDADE 2: O Triângulo Aritmético...6

ATIVIDADE 3: Relação das combinações complementares...8

Situação-problema da atividade 3...11

ATIVIDADE 4: Alternância de sinais...13

ATIVIDADE 5: Teorema das linhas...16

Situação-problema da atividade 5...19

ATIVIDADE 6: Somando termos alternados de uma linha...22

ATIVIDADE 7: Relação de Stifel...26

Situação-problema da Relação de Stifel...31

APRESENTAÇÃO

A elaboração das atividades presentesnesse Produto, elaborado na Dissertação de mesmo títulofoi feita para possibilitar ao aluno, além de participar de uma experiência Matemática, o sabor de vivenciar a descoberta de propriedades, promovendo a aquisição de informações e conhecimento. Tal elaboração seguiu a abordagem teórico-metodológica das Investigações Matemáticas e Resolução de Problemas. Também foram seguidas as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, no sentido de promover o desenvolvimento do pensamento lógico-dedutivo, a fim de motivar o aluno a compreender situações diversas, resolver problemas e aplicar o conhecimento matemático às variadas situações do cotidiano.

Há, assim, o objetivo de oferecer ao aluno uma sequência didático- metodológica, no intuito de facilitar o processo de aprendizagem do conteúdo e conduzi-lo a refletir, compreender e analisar as mais diversas situações-problemas presentes, principalmente, na Análise Combinatória. Isso contribui para uma ampliação dos métodos de Resolução de Problemas como linha metodológica de aprendizagem, valorizando não somente os conteúdos dentro dessa área de conhecimento, mas também a capacidade de mobilizá-los nas diferentes situações as quais se fazem necessárias, desenvolvendo, dessa forma, habilidades e competências necessárias e indispensáveis na formação dos estudantes.

Como o Triângulo de Pascal é um objeto com um extraordinário e vasto campo de observação de padrões, o desenvolvimento da elaboração das atividades foi feito com o cuidado de promover várias aquisições matemáticas, como por exemplo, a interpretação e resolução de situações em determinado contexto e também, a capacidade de analisar informações para resolver e formular problemas, bem como a capacidade de generalizar padrões e elaborar argumentações Matemáticas relacionadas a problemas de contagem.

A sequência de atividades se inicia buscando desde a concepção da formação do Triângulo de Pascal, procurando explorar suas propriedades mais evidentes, observadas muitas vezes pelos inúmeros padrões existentes nessa extraordinária figura, bem como estimular os alunos a justificarem propriedades por meio de argumentos combinatórios.

Cada atividade explora uma propriedade do Triângulo, sem ter a pretensão de

esgotá-las, o que mostra a possibilidade de tais atividades serem estendidas para um

número muito superior, uma vez que número de propriedades do Triângulo é bastante significativo, variando em diferentes graus de complexidade. Nesse produto, as atividades foram divididas da seguinte maneira:

• Atividade 1: Apresentação do Triângulo de Pascal

• Atividade 2: O Triângulo Aritmético

• Atividade 3: Relação das combinações complementares

• Situação-problema da atividade 3

• Atividade 4: Alternância de sinais

• Atividade 5: Teorema das linhas (soma dos termos de uma linha)

• Situação-problema da atividade 5

• Atividade 6: Somando termos alternados de uma linha

• Atividade 7: Relação de Stifel

• Situação-problema da Relação de Stifel

Algumas das atividades apresentam uma situação-problema, que mostram

aplicações relacionadas, principalmente, a problemas de contagem, mais

especificamente a situações envolvendo agrupamentos não ordenados, como no caso

das combinações simples. Como as propriedades são muito diversas, também são as

habilidades e competências curriculares exploradas ao longo do trabalho. Algumas

atividades exploram, por exemplo, a capacidade de argumentação do aluno para

justificar a propriedade. Em outro momento, o aluno é guiado para generalizar tal

propriedade, o que não significa que as diferentes propriedades sejam também disjuntas

na exploração das capacidades do estudante.

Introdução : O número binomial

Sabemos que o número de grupos de k elementos escolhidos dentre n elementos distintos é dado por ⁿ

k

   

  , denominado de número binomial, cujo cálculo é:

Calcule os seguintes números binomiais:

(1) ¹⁰

3

   

 

(2) ⁷

2

   

 

( )

n n!

k n k !k!

  =

  −

 

Atividade 1 – Apresentação do triângulo de Pascal

Objetivo da Atividade 1

A primeira atividade tem o objetivo de analisar a construção do Triângulo de Pascal utilizando os números binomiais.O intuito da apresentação da fórmula é para que erros de cálculo não comprometam a qualidade da experiência no sentido de serem atingidos os objetivos que vão além dos cálculos em si. É importante ressaltar que, na apresentação da construção do Triângulo de Pascal é explorada a capacidade de compreensão do aluno da transição do modelo algébrico para o numérico.

Descrição da atividade

O triângulo de Pascal é um triângulo formado por linhas de números binomiais, da seguinte forma:

1. Na primeira linha colocamos o número binomial ⁰

0

   

  . 2. Na segunda linha, escrevemos os dois binômios ⁿ

k

   

  , sendo n = 1,k = 0 ֜ ¹

0

   

  e n= 1, k = 0֜ ¹

1

   

  .

3. Na terceira linha, escrevemos os três binômios ⁿ

k

   

  , n = 2,k = 0֜ ²

0

   

  ,n = 2, k = 1֜ ²

1

   

  e n = 2, k = 2֜ ²

2

   

  .

4. Na quarta linha e daí por diante, repetimos esse procedimento escrevendo na linha todos os binômios com o valor fixo de n e k variando, em ordem crescente, de 0 a n.

Dessa maneira, criamos o triângulo de Pascal, onde a seguir temos sua representação até

a sexta linha:

Questão: Complete as duas próximas linhas (a 7ª e a 8ª) do Triângulo de Pascal.

→ 1ª linha

→ 2ª linha

→ 3ª linha

→ 4ª linha

→ 5ª linha

→ 6ª linha

Atividade 2 – O Triângulo Aritmético

Objetivo da Atividade 2

Apesar do Triângulo de pascal manter uma relação intrínseca com os números binomiais, muitas pessoas conhecem o Triângulo não pelos binômios, mas pelos valores desses binômios, como mostra a figura a seguir.Ocorre que há uma grande facilidade na construção do Triângulo nessa forma numérica por meio de uma de suas principais propriedades (que será explorada mais adiante): a Relação de Stifel, que nos mostra que cada par de números consecutivos numa mesma linha somados produzem o número na próxima linha situado entre esses dois.Dessa forma, a fim de que haja o reconhecimento do Triângulo de Pascal não apenas pelos números binomiais, mas também por cada um de seus valores, a atividade consiste em calcular os valores de cada binômio do Triângulo, até a oitava linha e representar o triângulo pelos números correspondentes de cada binômio.

Muitos dos padrões observados no Triângulo de Pascal são mais facilmente visualizados quando o Triângulo é expresso por números e não por binômios. Alguns padrões mais simples, como a igualdade dos números equidistantes numa mesma linha ou da soma de dois números consecutivos numa mesma linha ser o número situado na linha abaixo entre esses números somados são exemplos de visualizações mais diretas, que em uma primeira observação no Triângulo já podem ser percebidas. Por isso a opção de se fazer didaticamente a apresentação do Triângulo, primeiro na forma binomial, para que se entenda a estrutura de sua formação e depois na forma aritmética, de tal forma que, quando o aluno o constrói, escrevendo algumas de suas linhas na forma aritmética (numérica) alguns padrões podem ser descobertos justamente na construção. Daí a proposta do aluno montar o Triângulo e não o ter em sua vista de maneira pronta em uma ilustração.

Desse modo, tem-se por objetivo nessa atividade o reconhecimento do Triângulo

e montagem do mesmo pelos valores dos binômios, assim como o treinamento do

cálculo dos valores dos binômios, que dentro da proposta metodológica de Resolução de

Problemas, é uma das mais importantes ferramentas do cálculo combinatório: as

combinações simples.

Descrição da atividade

O Triângulo de Pascal é conhecido como Triângulo Aritmético quando é apresentado pelos valores dos seus binômios, por exemplo, escrevendo 10 no lugar de ⁵

2

   

  , já que

5 2

   

  = 10.

Questão: Apresente o triângulo aritmético com as oito primeiras linhas.

Atividade 3 – Relação das Combinações Complementares

Objetivo da Atividade 3

Em todas as áreas do conhecimento, e em particular na Matemática, somos atraídos por encontrar regularidades. A observação e uso de padrões repetitivos, desde o ensino pré-escolar contribui do modo bastante significativo, como suporte para a aprendizagem da Álgebra, particularmente na significação de símbolos.Dessa forma, com a intenção de explorar os padrões presentes no Triângulo de Pascal, esta é a primeira das atividades a explorá-lo nesse sentido. A propriedade das combinações complementares foi escolhida como a primeira a ser trabalhada através dos padrões pela simplicidade de ser observada. Inicialmente, há uma ilustração da igualdade dos binômios equidistantes dos extremos de uma mesma linha mostrando que, na sexta linha no Triângulo de Pascal temos ⁵

2

   

  = ⁵

3

   

  = 10. O objetivo dessa atividade é que o aluno reconheça que isso acontece para outros binômios tanto na sexta linha como nas outras, ou seja, que em todo o Triângulo há uma simetria entre os binômios na montagem das linhas.

Descrição da atividade

Em uma mesma linha do Triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais.Observe como exemplo, na sexta linha no Triângulo de Pascal, que temos ⁵

2

   

  =

5 3

   

  = 10.

Questões:

(1) Na quinta linha do Triângulo de Pascal mostre quais binômiosproduzem o mesmo

resultado, ou seja, são equivalentes.

(2) Mostre quais são os binômios equivalentes na sexta linha.

(3) Mostre quais são os binômios equivalentes na sétima linha.

(4) Na décima linha, um dos binômios é o ⁹

3

   

  . Qual o outro binômio dessa linha cujo resultado coincide com este?

(5) Qual binômio é equivalente a ⁷

2

   

  ? E ¹²

5

   

  ? E ³⁴

11

 

 

  ?

(5) De uma maneira geral, qual binômio é igual a ⁿ

k

   

  ?

n k

   

 

 

=  

 

Esses binômios são chamados de binômios complementares.

Situação-problema da atividade 3.

Objetivo da Situação-problema da Atividade 3

Poucos conteúdos na Matemática são tão intrinsicamente ligados à metodologia de Resolução de Problemas quanto à Análise Combinatória. É muito improvável que um aluno aprenda, de fato, um conteúdo matemático sem a resolução de um grande número de problemas ou a demonstração de identidades importantes. Certas identidades algébricas, envolvendo números combinatórios são muito difíceis, quando não impossíveis de serem provadas por efeito de manipulações algébricas. E, várias dessas identidades, muitas vezes, permitem uma prova simples utilizando argumentos combinatórios que em muitos casos não necessitam sequer do uso de cálculos, sejam algébricos ou numéricos. A ideia da prova por argumentos combinatórios é a princípio bastante simples, como sabemos: a partir de uma identidade, se ambos os lados são resultados de um problema de contagem e se ficar claro que eles contam as mesmas coisas, logo, elas são iguais. Para isso, torna-se imprescindível a visualização de uma situação-problema que represente a identidade a ser demostrada e um raciocínio coerente que conduza a prova.

Nesse ponto, algumas propriedades do Triângulo de Pascal nos permitem explorar e incutir no aluno essa capacidade de argumentação, incluindo aí a propriedade tratada na atividade 3, a respeito dos binômios complementares. Para que o aluno compreenda do se trata quando falamos sobre um argumento combinatório, há no início da situação-problema um exemplo de como podemos justificar que as possibilidades de escolhas de dois ou três objetos são indiferentes, quando temos cinco objetos a disposição, ou seja, faz-se uma demonstração baseada apenas em argumentos de que os binômios ⁵

2

   

  e ⁵

3

   

  tem o mesmo valor. Há uma explicação detalhada desse fato, sem o

uso de cálculos e, por fim, é destacado num quadro que o raciocínio exposto é

denominado de um argumento combinatório.

Descrição da atividade

Sabemos que ⁿ

k

   

  é o número de maneiras de escolhermos k objetos dentre n objetos distintos. Assim, uma maneira de argumentarmos oporque de ⁵

2

   

  ser igual a ⁵

3

   

  é que quando temos cinco objetos e queremos escolher dois dentre eles, cada vez que escolhemos dois deixamos de escolher os outros três, e isso é uma maneira de escolhermos três desses objetos. Ou seja, para cada grupo de dois objetos existe exatamente um grupo de três e assim, tanto faz se escolhemos dois ou três se temos cinco objetos quando queremos contar o número de grupos.

Questão: Suponha que Flávia, a professora de uma turma com 16 alunos tinha 13 canetas para distribuir entre seus alunos de modo que cada aluno recebesse apenas uma caneta. Para fazer essa distribuição, Flávia se perguntou: de quantas formas diferentes posso escolher os alunos que receberão as canetas?

Mostre através de cálculos que, ao invés de escolher os alunos que receberiam as canetas, Flávia poderia escolher aqueles que ficariam sem caneta.

Isso é o que chamamos de um argumento combinatório.

Atividade 4 – Alternância de sinais

Objetivo da Atividade 4

Uma propriedade menos evidente quando se observa os padrões estabelecidos no Triângulo de Pascal é destacada nessa atividade: quando se soma os valores de uma mesma linha alternando os sinais desses valores a soma sempre se anula. Pode-se observar esse fato nas primeiras linhas do Triângulo de Pascal na ilustração a seguir.

Para que haja uma fixação por parte do aluno, pede-se, como primeira questão da atividade, que ele descreva tal propriedade utilizando os elementos da quinta linha. Com a finalidade de generalizar tal procedimento, é pedido que o aluno escrevesse essa relação para uma linha qualquer.

Nesse caso, há a oportunidade de explorar com o aluno a escrita de uma relação algébrica muito importante: como escrever uma expressão algébrica generalizada mostrando a alternância de sinais? Tal discussão é muito pertinente nesse momento, pois será necessário que o aluno saiba utilizar essa escrita, a fim de generalizar a propriedade apresentada nessa atividade.

Por exemplo, na expressão numérica 2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... , pode-se perguntar: o que vai ser precedido quando chegar num determinado valor, digamos, 100? Ou seja, o número 100 será somado ou subtraído?

Em outras palavras:

2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... ± (?) 100 Assim pode-se trabalhar a generalização desse processo:

1 1 – 1 1 – 2 + 1 1 – 3 + 3 – 1 1 – 4 + 6 – 4 + 1 1 – 5 + 10 – 10 + 5 – 1

0

0

0

0

0

2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... ± (?) 2n Tendo obtido o resultado correto

2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... + (– 1) ²ⁿ⁺¹ ⋅ (2n),

Até isso acontecer pode ser discutida uma questão de fundamental importância presente em quase toda a Matemática: a escrita algébrica. A capacidade de uso e manipulação de símbolos matemáticos é uma das principais competências da Álgebra, a qual possibilita a interpretação e resolução de problemas não apenas da Matemática, mas também das outras áreas do conhecimento.

Voltando à propriedade observada nessa atividade: como esta se relaciona, de certa maneira, com a propriedade das combinações complementares, a terceira e última questão pede ao aluno que tente, por meio de argumentos, mostrar a relação entre tais propriedades, em que ela busca explorar, mais uma vez, a capacidade do aluno de criar argumentos lógicos coerentes.

Descrição da atividade

Observe que quando tomamos uma linha do Triângulo de Pascal, se subtrairmos o segundo número do primeiro, somarmos com o terceiro, subtrairmos o quarto e assim por diante, alternando subtrações e somas, o resultado sempre é zero!

Assim, na quarta linha, dos binômios ⁿ

k

   

  para n = 3, temos:

3 0

   

  – ³

1

   

  + ³

2

   

  – ³

3

   

  = 0 Questões:

(1) Repita esse procedimento mostrando a sua validade para a próxima linha, ou seja, para os binômios ⁿ

k

   

  onde n = 4.

(2) Generalize esse procedimento, ou seja, escreva essa relação para a linha qualquer, dos números binomiais ⁿ

0

   

  até ⁿ

n

   

  .

(3) Essa propriedade guarda relação com a propriedade obtida na atividade 3 (dos

binômios complementares). Tente argumentar por que uma propriedade justifica

a outra. (Dica: observe os pares, primeiro e o último, segundo e penúltimo e etc.)

Atividade 5 – Teorema das linhas

Objetivo da Atividade 5

Explora-se aqui propriedade da soma dos elementos de uma mesma linha, a saber:

“A soma dos números ⁿ

k

   

  , com n fixo e k variando de 0 a n, ou seja, de uma linha qualquer do Triângulo de Pascal é sempre igual a 2 ⁿ .”

Pode-se observar esse fato nas primeiras linhas do Triângulo de Pascal, na ilustração a seguir.

Para que seja bem observada, há a exemplificação da propriedade para as quatro primeiras linhas do Triângulo. A primeira questão da atividade pede para que se verifique a propriedade da quinta e sexta linhas, a fim de fixar essa relação. Com o intuito de generalizar, pede-se na questão seguinte, que a propriedade seja escrita para uma linha qualquer, ou seja, o objetivo é de que o aluno consiga representar algebricamente essa propriedade da seguinte forma:

       

+ + + + =

       

       

n n n n

n

... 2

0 1 2 n

1 1 + 1 1 + 2 + 1 1 + 3 + 3 + 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

1 = 2

⁰

2 = 2

¹

4 = 2

²

8 = 2

³

16 = 2

⁴

32 = 2

⁵

Descrição da atividade

Observe que:

0 0

   

  = 1 = 2 ⁰

1 0

   

  + ¹

1

   

  =2 ¹

2 0

   

  + ²

1

   

  + ²

2

   

  =2 ²

3 0

   

  + ³

1

   

  + ³

2

   

  + ³

3

   

  =2 ³

Questões:

(1) Mostre essa propriedade para a quinta e sexta linhas do Triângulo de Pascal.

A soma dos números ⁿ

k

   

  , com n fixo e k variando de 0 a n, ou seja, de uma linha

qualquer do Triângulo de Pascal é sempre igual a 2 ⁿ .

(2) Escreva essa propriedade para uma linha qualquer, ou seja, deixando n como

incógnita e variando k de 0 a n.

Situação-problema da atividade 5.

Objetivo da Situação-problema da Atividade 5

Uma aplicação bastante clara da propriedade, explorada anteriormente nos problemas de contagem, é a de determinar o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos. Assim, faz-se uma explanação do que é um subconjunto, por um conjunto dado e através de uma atividade guiada, pede-se ao aluno que a partir do conjunto X = {a, b, c, d}, ele determine todos os subconjuntos de X com dois elementos.

Como o objetivo principal é contar os subconjuntos, para que não haja margem de erro, na sequência da atividade há um texto comentando que se trata de seis subconjuntos para o caso do aluno ter esquecido um ou mais na sua resposta. Ainda no comentário, há a observação de que o cálculo de ⁴

2

   

  nos mostra essa quantidade sem a necessidade de enumeração. A continuação sugere que ⁴

3

   

  seja a quantidade de subconjuntos de X com três elementos e com esse raciocínio, para descobrir quantos são todos os subconjuntos de X, basta somarmos todos os números binomiais ⁿ

k

   

  com n = 4, já que X possui quatro elementos e k, sendo o número de elementos dos subconjuntos, variando de 0 a 4, uma vez que o número de elementos dos subconjuntos varia de 0 (conjunto vazio) a 4 elementos (o próprio conjunto).

Dessa forma, é pedido ao aluno que, através dos números binomiais, mostre

quantos são os subconjuntos de um conjunto com três elementos e, na sequência, de um

conjunto de oito elementos. Com o propósito de estabelecer uma regra geral, pede-se

como última questão da atividade, que o aluno determine quantos são os subconjuntos

de um conjunto com n elementos.

Descrição da atividade

Aplicações em conjuntos.

Suponha um conjunto X com quatro elementos, por exemplo, X = {a, b, c, d}.

Sabemos que um subconjunto de X é todo conjunto que não possua elemento que não pertença a X. Assim, Y = {a, c} e Z = ∅ são subconjuntos de X, porém W = {a,g} não o é, pois g∉ X.

Questão: Determine todos os subconjuntos de X com dois elementos.

Repare que os subconjuntos de Xque têm dois elementos são seis. Para determinarmos a quantidade sem escrevermos um por um poderíamos ter calculado simplesmente ⁴

2

   

  , uma vez que cada um desses subconjuntos com dois elementos nada mais é que uma escolha de 2 dos 4 elementos de X. Assim sabemos pelo cálculo que temos ⁴

2

   

  = 6 subconjuntos de 2 elementos. Então os subconjuntos de três elementos são ⁴

3

   

  = 4.

Portanto, para descobrirmos quantos são todos os subconjuntos de X, basta somarmos todos os números binomiais ⁿ

k

   

  com n = 4, já que X possui quatro elementos e k variando de 0 a 4, uma vez que o número de elementos dos subconjuntos varia de 0 (conjunto vazio) a 4 elementos.

Questões:

(1) Mostre, através dos números binomiais, quantos são os subconjuntos de

S = {a, b, c}.

(2) Faça o mesmo para o conjunto R = {a, b, c, d, e, f, g, h}.

(3) Quantos são os subconjuntos de um conjunto com n elementos?

Atividade 6 – Somando os termos alternados de uma linha

Objetivo da Atividade 6

O primeiro objetivo pretendido nessa atividade é fazer com que o aluno compreenda a seguinte propriedade:

“Se somarmos todos os binômios ⁿ

k

   

  de uma linha (então com n fixo) e k variando apenas com números pares, ou seja, k = 0, 2, 4, ... o resultado é sempre 2 ^n–1 ”.

A título de ilustração, a figura mostra esse resultado para as primeiras linhas do triângulo.

Para que haja uma fixação da propriedade, pede-se como primeira questão na atividade, que a propriedade seja apresentada para os elementos da quarta linha do Triângulo de Pascal. Com o objetivo de apresentar uma regra geral, na sequência, a questão posterior pede que se mostre a propriedade numa linha qualquer, ou seja, fixando n e variando k = 0, 2, 4, ...

Assim, há uma expectativa de que os alunos possam escrever algebricamente a seguinte relação:

   

  n 0 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n 4 + ^{ }  

  n

6 + ... + ^{ }  

  n

n = 2 ^{n – 1} ,para n par; ou

   

  n 0 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n 4 + ^{ }  

  n

6 + ... + ^   − ^   n

n 1 = 2 ^{n – 1} ,para n ímpar.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 = 2

⁰

1 + 1 = 2

¹

1 +3 = 4 = 2

²

1 + 6 + 1 = 8 = 2

³

5 + 10 + 1 = 16 = 2

⁴

2ª linha, n = 1

3ª linha, n = 2

4ª linha, n = 3

5ª linha, n = 4

6ª linha, n = 5

A propriedade em questão apresenta clara relação com as propriedades das atividades (4) e (5). Explorando a capacidade do aluno em estabelecer recursividade, como questão final da atividade, pede-se ao aluno que utilize as referidas propriedades para justificar essa última. Esta questão exige muito mais dos alunos do que havia sido até então, seja da capacidade de argumentação ou mesmo da manipulação algébrica. Há na resolução dessa demonstração um trabalho de manipulação algébrica bastante sofisticada. O que se espera é que os alunos, de alguma maneira, formulem o seguinte:

Da propriedade (4), sabe-se que:

   

  n 0 – ^{ } _{ }

  n 1 + ^{ } _{ }

  n 2 – ^{ } _{ }

  n

3 + ... + ^{ } _{ }

  n

n = 0(para n par) Da propriedade (5), sabe-se que:

   

  n 0 + ^{ }  

  n 1 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n

3 + ... + ^{ }  

  n n = 2 ⁿ

Assim, pode-se estabelecer a seguinte relação, ao somar as equações:

   

  n 0 – ^{ } _{ }

  n 1 + ^{ } _{ }

  n 2 – ^{ } _{ }

  n

3 + ... + ^{ } _{ }

  n n = 0

   

  n 0 + ^{ }  

  n 1 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n

3 + ... + ^{ }  

  n n = 2 ⁿ

2 ^{ } _{ }

  n

0 + 2 ^{ } _{ }

  n

2 + 2 ^{ } _{ }

  n

4 +... + 2 ^{ } _{ }

  n n = 2 ⁿ

⇒2 ^{ }  

   n 0 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n

4 +... + ^{ }   ^ 

 

n

n = 2 ⁿ ⇒ ^{ }  

  n 0 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n 4 + ^{ }  

  n

6 + ... + ^{ }  

  n

n = 2 ^{n – 1}

+

Isso demonstra a propriedade para n par. Para n ímpar faz-se um cálculo similar, substitui-se o último binômio da propriedade (4) por ^   − ^  

n

n 1 e chega-se a conclusão que

   

  n 0 + ^{ }  

  n 2 + ^{ }  

  n 4 + ^{ }  

  n

6 + ... + ^   − ^   n

n 1 = 2 ^{n – 1} , para n ímpar.

A expectativa é a de que poucos alunos do grupo, o qual está envolvido na pesquisa, formulem tal demonstração algébrica. Como o enunciado já antecipou a relação dessa atual propriedade com as duas anteriores, espera-se também que a explicação da relação entre as propriedades seja feita na forma de texto.

Apesar de não ter sido explorada, a atividade deixa em aberto a possibilidade de ser analisada também a soma dos elementos ⁿ

k

   

  de uma linha, para valores ímpares de k, que também resulta em 2 ^{n – 1} .

Descrição da atividade

Por exemplo, na oitava linha, onde n = 7, temos:

7 0

   

  + ⁷

2

   

  + ⁷

4

   

  + ⁷

6

   

  = 2 ^{7 – 1} = 2 ⁶ = 64 Questão:

(1) Mostre essa propriedade na quinta linha (n = 4).

Se somarmos todos os binômios ⁿ

k

   

  de uma linha (então com n fixo) e k variando

apenas com números pares, ou seja, k = 0, 2, 4, ...o resultado é sempre 2 ^n–1 .

(2) Mostre essa propriedade numa linha qualquer, ou seja, tomando n como n, e fazendo k = 0, 2, 4, ...

(3) Essa propriedade pode ser justificada a partir das observações obtidas nas

atividades4 e 5. Tente justificar essa propriedade dando argumentos obtidos com

as conclusões obtidas nas atividades citadas.

Ativi

Obje

Pasc que d

“A s na pr Pode

Inici grup uso d

indic próxi entre binôm

idade 7 – R

etivo da At

Uma das al, a última diz:

oma de doi róxima linh e-se observa

Não há u almente, tem os de binôm de palavras,

Assim, c cado qual bi ima questão e eles. O ob mios que se

Relação de

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0

   

  + ^ _



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da linha é ig am somados a a seguir.

opriedade, m na forma b mo ²

0

   

  , ²

1

   

 

2 1

  

  = ³

1

   

  e ^ _



ira questão de ⁴

3

   

  , na qu l o binômio tões é estab

percepção n ostas é a R

gual ao elem s.”

mas uma de inomial) de e ³

1

   

  ou ⁴

2

 



4 2

  

  + ⁴

3

   

  = ^ _



da atividad uinta linha.

o da sexta belecer a e

no Triângu Relação de S

mento local

escoberta gu estacando a

 

 , ⁴

3

   

  e ⁵

3

   

  .

5 3

  

  .

de pede que Na sequên linha se loc scolha o tr

ulo de Stifel,

lizado

uiada.

alguns . Sem

e seja

ncia, a

caliza

rio de

A próxima questão pede que seja explicitada a relação entre os binômios, a qual afirma que a soma dos binômios da linha de cima é igual ao valor do binômio da linha abaixo. Após essa questão, é destacado que a relação estabelecida pelo aluno é conhecida como Relação de Stifel. A seguir, ao explorar a capacidade de verbalização dos alunos, é pedido como atividade que a Relação de Stifel seja enunciada com palavras, sem cálculos ou exemplos.

Na sequência das questões, uma vez que o aluno tenha a habilidade de reconhecer o grupo de binômios e estabelecer a relação entre eles é, então, cobrado que o aluno apresente a Relação de Stifel para o binômio ⁵

2

   

  e seu consecutivo. Para fixação do conceito, é pedido posteriormente que o mesmo seja feito para ⁸

4

   

  e seu consecutivo.

Observando que ao calcular os valores dos binômios, pode-se facilmente justificar a Relação de Stifel por meio dos cálculos nessas duas últimas questões, para que se estabeleça uma regra geral. Após isso, a questão pede ao aluno que, na sequência, faça o mesmo para o binômio ³⁵

12

   

  . Observa-se que ainda não há um processo de generalização, pois ainda se utiliza de valores específicos para o binômio. Porém como não há no caso desse binômio de ³⁵

12

   

  fazer os cálculos (pelo menos tão facilmente), a fim de se constatar a referida relação, já há um processo de generalização intuitivo por parte do aluno, a qual acredita ser verdadeira a propriedade, sem, no entanto, fazer os cálculos. Dessa forma, na sequência da atividade, pede-se na última questão que seja escrita a Relação de Stifel para ⁿ

k

   

  e seu consecutivo, criando assim, a

regra geral.

Descrição da atividade

Observe o Triângulo de Pascal e os números binomiais destacados:

Na figura acima, em relação aos binômios destacados, observe que

2 0

   

  + ²

1

   

  = ³

1

   

 

e ainda que

4 2

   

  + ⁴

3

   

  = ⁵

3

   

 

Questão:

(1) Na quinta linha, qual o binômio consecutivo de ⁴

3

   

  , ou seja, o que vem à direita deste?

(2) Qual o binômio da sexta linha situado entre esses dois?

(3) Calculando os valores desses binômios, que a relação podemos estabelecer entre esses três binômios?

(4) Usando suas palavras, tente descrever na forma de texto, sem cálculos, a Relação de Stifel.

Essa relação é conhecida como “Relação de Stifel”.

(5) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para ⁵

2

   

  e seu consecutivo.

(6) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para ⁸

4

   

  e seu consecutivo.

(7) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para ³⁵

12

   

  e seu consecutivo.

(8) Generalize a Relação de Stifel, ou seja, escreva-a para ⁿ

k

   

  e seu consecutivo.

Situação-problema para a Relação de Stifel:

Objetivo da Situação-problema da Atividade 7

A Relação de Stifel traz uma aplicação muito utilizada nos problemas de contagem que é explorada por meio dessa atividade. O problema compara todas as comissões que podem ser formadas a partir de um grupo de pessoas com as comissões formadas com e sem determinada pessoa. O objetivo da atividade é guiar o aluno à descoberta que o princípio que caracteriza a situação é exatamente a Relação de Stifel.

Em um primeiro momento, nos exercícios 1 a 4, a situação é abordada com valores específicos, ou seja, um caso particular de número de pessoas. Assim, a partir de um grupo de oito pessoas, pergunta-se:

1) Quantas comissões podem ser formadas escolhendo quatro dentre essas pessoas?

Na sequência há o seguinte questionamento:

2) Suponha que uma das oito pessoas da turma seja Leonardo e que por alguma razão ele não possa entrar no grupo das quatro pessoas. Portanto, quantos grupos podem ser formados sem Leonardo?

Na próxima questão, tem-se:

3) Suponha agora o contrário, que Leonardo tenha que ser um dos quatro escolhidos. Dessa forma, quantos são os grupos em que Leonardo é sempre uma das pessoas escolhidas?

Ao finalizar a descoberta, a questão pede ao aluno para mostrar que os valores

satisfazem a Relação de Stifel. Para se estabelecer uma regra geral, explorar a

capacidade de argumentação do aluno e contribuir para fazê-lo compreender e utilizar

um argumento combinatório, segue-se o mesmo princípio das questões apresentadas

anteriormente, porém ao generalizar o raciocínio.

Dessa forma, foi elaborada a seguinte situação: considere um grupo de k + 1 pessoas que devem ser escolhidas dentre n + 1 pessoas. E assim, são feitas então as mesmas perguntas:

1) quantas são as comissões possíveis de serem formadas?

2) quantas comissões excluem determinada pessoa?

3) quantas comissões incluem determinada pessoa?

E por meio dos resultados obtidos nessas três questões, pede-se ao aluno não apenas que observe a Relação de Stifel, como crie um argumento combinatório que o justifique.

Descrição da atividade

Considere uma turma de oito pessoas e todos os grupos de quatro pessoas dentre essas oito que podem ser formados.

Pergunta:

(1) Quantos são esses grupos?

(2) Suponha que uma das oito pessoas da turma seja Leonardo e que por alguma

razão ele não possa entrar no grupo das quatro pessoas. Portanto, quantos grupos

podem ser formados sem Leonardo?

(3) Suponha agora o contrário, que Leonardo tenha que ser um dos quatro escolhidos. Dessa forma, quantos são os grupos em que Leonardo é sempre uma das pessoas escolhidas?

(4) Mostre que os valores obtidos satisfazem a Relação de Stifel.

Vamos generalizar esse raciocínio: considere um grupo de k+1 pessoas que devem ser escolhidas dentre n+1 pessoas. Logo, o número de grupos que podem ser formados é

n 1 k 1

 + 

 + 

  . Suponha uma pessoa específica desse grupo e faça o seguinte:

(5) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que não incluem essa pessoa.

(6) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que incluem essa pessoa.

(7) Qual a relação entre os grupos obtidos em (5) e (6) e o total?

(8) Tente através do raciocínio obtido em (5), (6) e (7) dar um argumento

combinatório que justifique a Relação de Stifel.