Teoria métrica de curvas reais e complexas

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 10.12.2001

Assinatura:,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J\ Ku "í, .•,. /•-. .,-, h. • r,,/-.. . /<:•• -••

Teor ia m étr ica de cu r va s r eais e com p lexa s

Alexandre César Gurgel Fernandes

Orientadora: Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.

USP - São Carlos Dezembro de 2001

A Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Maria Aparecida Soares RuaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ^ icxC M

-Prof. Dr. Abramo Hefez

Prof. Dr. Mareio Gomes Soares 1'JsQXÁJjD ^CrO^M

Prof. Dr. Lev Birbrair v _'

Agradecimentos

A Deus pelas infinitas bênçãos recebidas durante a realização deste

tra-balho inclusive a graça de ser papai.

Aos meus pais, Sílvio e Lenir, às minhas irmãs, Alessandra, Aline e

Aman-da por estarem do meu lado em toAman-das as situações difíceis que enfrentei.

À minha esposa, Claudia, pelo interese neste projeto, pelas observações

a respeito de minha postura profissional, que foram fundamentais neste

tra-balho e pelas inúmeras vezes em que se dispôs a ficar algumas horas da

madrugada ouvindo-me falar de resultados obtidos (a maioria incorretos).

À minha professora e orientadora Dra. Maria Aparecida Soares Ruas por

me introduzir com bastante mestria e de forma muito rápida na Teoria de

Singularidades, por várias leituras e correções deste trabalho e pelo trabalho

de orientação.

Ao professor Dr. Lev Birbrair por me incentivar a estudar Teoria métrica

de singularidades, dividir comigo a sua enorme experiência neste assunto e,

finalmente, por ter me acompanhado até hoje em se tratando de amizade e

profissão.

Ao ICMC e ao Grupo de Singularidades pelo excelente suporte técnico

dado.

Resumo

Neste trabalho abordamos o problema de classificação de conjuntos

singu-lares sob o ponto de vista métrico. Como resultado principal, apresentamos

um teorema de classificação de germes de curvas complexas, munidos da

métrica euclidiana induzida, módulo homeomorfismos bi-Lipschitz. A

es-tratégia usada para a obtenção deste resultado foi o estudo do contato de

arcos reais convenientes nessas curvas.

Abstract

In this work we approach the problem of classification of singular sets under

the metric viewpoint. As the main result, we present a theorem of

classi-fication of germs of complex curves, equipped with the induced Euclidean

metric, module bi-Lipschitz homeomorphisms. The used strategy for the

at-tainment of this result was the study of the contact of convenient real ares

in these curves.

Sumário

Introdução 2

1 Preliminares 4

1.1 Conjuntos e aplicações semi-algébricas 4

1.2 Conjuntos e aplicações subanalíticas 5

1.3 Subespaços euclidianos, aplicações bi-Lipschitz e o Teorema de Kirszbraun 6

1.4 Expoentes característicos de Puiseux 7

1.5 Projeções gerais 9

2 Teoria métrica de curvas reais 10

2.1 Semicomplexo de Hõlder 11

2.2 Sobre o tipo Lipschitz de curvas reais '. . . 13

2.3 Sobre famílias de curvas reais 17

2.4 Sobre famílias de curvas reais quase-homogêneas 25

3 Teoria métrica de curvas complexas 29

3.1 Arcos de Teste 31

3.2 Caso irredutível 32

3.3 Caso redutível 41

3.4 Tipo bi-Lipschitz de curvas complexas 44

4 bi-Lipschitz trivialidade de funções 48

Introdução

A partir de resultados de S. Lojasiewicz sobre propriedades métricas de conjuntos

semi-analíticos, desenvolveram-se alguns trabalhos, iniciados por S. Lojasiewicz e seus

alunos, tendo como objetivo principal o estudo de conjuntos singulares sob o ponto

de vista métrico, originando então o que hoje é conhecida como teoria métrica de

singularidades. Como referência mais recente, essa teoria tem como autores mais

ativos, T Mostowski, A. Paxusinski, L. Birbrair, K Kurdyka, P. Orro, Y. Yomdim,

dentre outros.

Em [2], L. Birbrair classifica completamente os germes de superfícies semi-algébricas

(singulares), munidos da métrica geodésica intrínseca, módulo homeomorfismos

bi-Lipschitz. Nesta direção, surge naturalmente a pergunta: como classificar os germes

de superfícies (singulares), munidos da métrica euclidiana induzida, módulo

homeo-morfismos bi-Lipschitz ?

Uma estratégia para responder à pergunta acima seria a redução do problema de

classificação de superfícies ao problema de classificação de curvas, isto é, estamos

apostando na existência de curvas "características"que detectem completamente o

comportamento métrico dessas superfícies. Aqui, resolvemos o problema de

classi-ficação de curvas complexas (caso bem particular de superfícies reais) usando essa

estratégia. Claramente,-esta abordagem, diante da pergunta inicial, exige uma análise

acurada dos germes de curvas a qual fazemos no Capítulo 2. Mais especificamente,

neste capítulo, classificamos completamente o "tipo bi-Lipschitz"de curvas e, como

consequência dessa classificação, obtemos resultados de caracterização de famílias de

curvas bi-Lipschitz triviais.

classificação completa dos germes de curvas complexas planas, munidos da métrica

euclidiana induzida, módulo homeomorfismos bi-Lipschitz. Ainda neste capítulo,

a-presentamos uma rápida discussão a respeito de curvas espaciais.

No Capítulo 4, introduzimos, rapidamente, o problema da 7£-bi-Lipschitz

equiva-lência de germes de aplicações e apresentamos um teorema de bi-Lipschitz

Capítulo 1

Preliminares

SejamzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A um subconjunto de Kn_{, a e A e sejam / , g : (A, a) —»• K, 0 germes de funções} não negativas. Denotamos / < g quando existe uma vizinhaça U de a em M" e uma

constante K tal que f(x) ^ Kg(x), Vx e A. Denotamos / « g quando ocorre / < g

e _{9 ^ /• Finalmente, denotamos}

/ « C p quando lim — f = 0 e f g quando lim -r—- = 0.

x->ag[x) x-+af{x)

1.1 Conjuntos e aplicações semi-algébricas

Dizemos que um subconjunto A c Rn _{é semi-algébrico (semi-analítico) se existem}

polinómios (funções analíticas) : Kn _{—> K, 1 ^ i ^ p, 1 ^ j < q tais que}

p

A = jj{x € Kn _{: fij = 0,gij >0, 1 ^ j < q}.}

i—X

Um fato, que não é óbvio, é que se AyxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC C Mn _{é semi-algébrico, então existem}

subvar-iedades A\,..., Am de Mn, conexas, semi-algébricas tais que A = UíAí ([5]). Definimos

a dimensão de A como o máximo das dimensões das variedades Ai,..., Am.

Seja A C Rn _{semi-algébrico. Dizemos que uma aplicação F : A —> R}k _é

semi-algébrica se o seu gráfico é um subconjunto semi-algébrico de Rn _{x K}fc_.

Teorema 1.1.1. (Tarski-Seidenberg) Seja II : Rn _{x K}m _{—»• M}m _{a projeção canónica.}

O toerema acima permite afirmar que a classe dos conjuntos semi-algébricos é

estável por operações booleanas e aplicações semi-algébricas. Quanto à classe dos

conjuntos semi-analíticos, não podemos afirmar o mesmo, por conta disso se faz

necessário o estudo sobre conjuntos subanalíticos.

1.2 Conjuntos e aplicações subanalíticas

As definições e resultados destacados nesta seção podem ser encontrados em [6]. Seja zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

X um espaço analítico real. Um subconjunto A C X é dito subanalítico em x e X, se existe uma vizinhança U de x em X e uma família { / „ : 1 ^ i ^ k, j — 1, 2} de

morfismos analíticos próprios: Y^ —» X|u, em que Y^ é espaço analítico real, tais que

k

A n [ / = U (I m_{( f i i ) - M f i2) ) .} i=l

Dizemos que A é um subconjunto subanalítico em X quando A é subanalítico em

cada ponto de X .

A classe dos conjuntos subanalíticos é a menor classe de subconjuntos de espaços

analíticos contendo os conjuntos semi-analíticos e estável por morfismos próprios e

operações booleanas.

Teorema 1.2.1. Sejam X e Y dois espaços analíticos reais, II : X x Y —» X a

projeção canónica. Se V é um subconjunto compacto subanalítico em Y, e A C X x V um subconjunto subanalítico em 1 x 7 , então II(A) é subanalítico em X.

Esse teorema é o análogo do Tarski-Seidenberg para o caso subanalítico.

Sejam K, L subconjuntos subanalíticos respectivamente nos espaços analíticos

X, Y. Dizemos que uma aplicação contínua F : K L é subanalítica se o seu gráfico Graf(/5 é um subconjunto subanalítico em X xY.

O Lema a seguir é o que chamamos de Decomposição de Puiseux de uma função

subanalítica.

Lema 1.2.2. Seja f : [0,1] —» M uma função subanalítica tal que /(O) = 0 e f{t) ^ 0

função subanalítica h :yxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC [O, e) —> R tais que h(0 ) ^ O e f(t) = £Q_{/ i(£) para cada zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA} t e [ 0,e).

1.3 Subespaços euclidianos, aplicações bi-Lipschitz

e o Teorema de Kirszbraun

Nesta tese, salvo menção em contrário, consideramos Mn _{munido da métrica}

euclidi-ana e entendemos por subespaço euclidiano os subconjuntos de Mn _{munidos da métrica}

induzida.

Sejam (Xi,di) e (X2, d2) espaços métricos. Uma aplicação F : X^ —» X2 é

chamada Lipschitz se existe um número c > 0 tal que

dv(F(x),F{y)) ^ cdfay), Vx,y G

Nesse caso dizemos também que F é c-Lipschitz. Dizemos que F é bi-Lipschitz quando

F é Lipschitz e possui uma inversa Lipschitz.

A definição de homeomorfismo bi-Lipschitz acima é uma relação de equivalência

sobre os subespaços de Mn_{. Sobre esses mesmos subespaços, temos naturalmente}

outra relação, a qual dizemos que detecta o tipo bi-Lipschitz dos subespaços de Mn_.

De fato, sejam X± e X2 subespaços de Mn, então Xi possui o mesmo tipo bi-Lipschitz

de X2 se existe um homeomorfismo bi-Lipschitz (f) : Mn —» M" tal que (f){Xi) = X2.

Observação 1.3.1. Como nos interessamos em classificar subespaços euclidianos

módulo homeomorfismos bi-Lipschitz, não fazemos distinção entre a métrica

eucli-diana e qualquer outra métrica equivalente a esta.

O Teorema de Kirsbraun considera o problema de extensão de funções Lipschitz.

Kirsbraun, como caso particular de um resultado sobre extensão de contrações de

um espaço vetorial V —» M, obteve uma prova para o fato que aplicações c-Lipschitz

para a extensão (cf. [20]). A seguir, apresentamos uma versão fraca do Teorema de

Kirszbraun, já enunciado com a fórmula de McShane(cf. [10])

Teorema 1.3.2.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sejam X C Kn _{um subespaço euclidiano e f : X —> M uma aplicação} c-Lipschitz. Então,

F{z) = sup(/(x) -c\x-z\), z e R " (1.1) xex

é uma extensão c-Lipschitz de f.

Segue-se que se / depende continuamente de alguns parâmetros u = (ui,..., uv);

isto é, f(x,u), x £ X, é contínua como função das variáveis (x,u) e é c-Lipschitz

com respeito a x com c independente de u, então / possui uma extensão c-Lipschitz

F(x,u), x £ Mn_{. Agora, se v é um campo de vetores c-Lipschitz definido em X e} dependendo continuamente de alguns parâmetros u, então podemos aplicar o Teorema

de Kirszbraun para cada uma das funções coordenadas v e obter uma extensão

Cy/n-Lipschitz V de v a M". Essa construção pode ser encontrada em [23].

Observação 1.3.3. A fórmula de McShane, apresentada no teorema acima, é muito

bem-vinda, não só por apresentar uma nova prova para o Teorema de Kirszbraun.

Com efeito, a partir de (1.1), podemos concluir que se f é semi-algébrica

(sub-analítica), então a sua extensão F vem semi-algébrica (subanalítica).

A seguinte proposição, provada em [12], justifica a nossa escolha por trabalhar,

no capítulo que trata da teoria métrica de curvas complexas, com homeomorfismos

subanalíticos bi-Lipschitz e não apenas homeomorfismos bi-Lipschitz.

Proposição 1.3.4. Seja h : (M",0) —> (M",0) homeomorfismo subanalítico. Então,

h é bi-Lipschitz se, e somente se, para cada par de curvas analíticas cti,ct2 : [0, á) —> (ffr,o),

ordtHMM*)) - h(ct2(t)) || = ordt||ai(í) - a2(t)|| .

1.4 Expoentes característicos de Puiseux

parametrização do tipo abaixo:

x = tm

y = tn _{+ a2t}n2 _{+ ...tsronjidXF (1.2)}

em que m é a multiplicidade de (C, 0), m não divide o inteiro n e y(t) G C { í } . A

série de potências fracionárias y{x™) é conhecida como Parametrização de

Newton-Puiseux de (C, 0) e todas as outras parametrizações de Newton-Newton-Puiseux de (C, 0) são obtidas da parametrização acima via x™ > wx™ em que w é raiz m-ésima da

unidade. Observo que estamos admitindo que 0 seja uma singularidade de C

Denotamos P0 = m e Pi = n. Seja e\ = (Pi,Po) o máximo divisor comum desses

dois inteiros. Agora, definimos P2 como o menor expoente aparecendo em y(t) que

não é divisível por e\. Definimos e2 = (ei,/^); temos e2 < ei, e continuamos esse

processo. Supondo já definido ei = (ej-i,/^), definimos Pi+i como o menor expoente

aparecendo em y(t) que não é divisível por eComo a seqiiência de inteiros positivos

m > ei > • • • > ej > • • •

é estritamente decrescente, existe um inteiro g tal que eg = 1. De posse desses dados,

podemos reescrever (1.2) da seguinte maneira:

x = tm

y = t^1 _{+ a0l+eit^}l+ex _{+ ... + ap1+k1e1t})3l+kiei

+ a02t^ + a02+e2tP2+e2 + • • • + a0qtp- + a0q+e/<e« + •••

+ a0gt09 + apg+ití3g+1 + •••

tal que, por construção os coeficientes de i ^ 1 são distintos de zero. Definimos

os inteiros rrii e n4 pelas igualdades:

Cí-i = riiei

Pi = 771^ para 1 ^ i ^ g

e observamos que podemos reescrever a expansão de y em potências fracionárias de

x da seguinte forma:

m2 m2 + l mq mq + l

+ ap2xnin2 + dfr^x -) -(- apqxnw"ni + apq+e<lxnw"n* H TTLg TTlg + 1

+ apgxnw"ns + a pg +i xnwn9 H (1.3)

A sequência de inteiros P(C) = (@0, ..., (3g) é conhecida como a sequência de

expoentes característicos de C, e a sequência {mi,ni)... (mg,ng) é conhecida como a

sequência de pares característicos de C.

1.5 Projeções gerais

Seja (C, 0) um germe de curva analítica espacial (reduzida) definida por um ideal

IyxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC C C { x i , . . . , x<i}- Consideremos uma projeção linear p : Cd _{—> C}2_{. Seja M o} espaço de todas as projeções, pensado como um subespaço do espaço das matrizes

d x 2. Equipemos M com a topologia complexa (ou de Zariski). A projeção linear p é dita uma projeção plana geral para C em 0, se para qualquer sequência de pares

(ai, bi) G (C \ 0) x (C \ 0) tendendo a (0 ,0 ), a direção limite das retas secantes a ^

(para qualquer subseqúência) não está contido no núcleo de p.

Observação 1.5.1. Em [28], B. Teissier observa que projeções gerais para C em

0, ocorrem genericamente. Além disso, B. Teissier prova que p(C) define um germe

de curva analítica plana (reduzida) e p, quando restrita a C, define um germe de

Capítulo 2

Teoria métrica de curvas reais

0 seguinte exemplo

Xt = {{x,v) e R2 _{: xy{x - y){x -ty) = 0} t > 1} (2 .1 )

devido a H. Whitney (1965), motivou autores como D.Trotman, B. Teissier, T.C.

Kuo, T. Mostowski e muitos outros a considerar o estudo de conjuntos singulares

módulo relações de equivalências mais fracas do que diferenciáveis e mais fortes do

que topológicas, pois para cada par de números reais t > s > 1 temos que Xt não

é C1 _{equivalente a Xs, isto é, não existe um difeomorfismo C}1 _{0 : (IR}2_{, 0) —• (R}2_,0) tal que <p(Xt) = (Xs). Este fenómeno indica uma grande rigidez no problema de

classificação do ponto de vista diferenciável. Por outro lado, a família

mostra quão flexível é o problema de classificação topológica de conjuntos singulares.

Com efeito, para cada par de inteiros positivos m ^ n temos um homeomorfismo

De forma nada surpreendente, mostramos que a família (2.1) define uma única

classe módulo uma relação bi-Lipschitz, isto é, para cada par de números reais t > s >

1 temos um homeomorfismo bi-Lipschitz (f> : (M2_{,0) —» (R}2_{,0) tal que (j>{Xt) = Xs.} Isto indica que, comparada à relação diferenciável, a relação métrica acima não

é tão rígida. Por outro lado, a família (2.2) tem seus elementos dois a dois não = {(x,y) eK2 _{: y}2m+12m+l _{= x}2_{}, m e N} ( 2. 2)

equivalentes módulo a relação métrica acima. T.Mostowski [22], A. Parusinski [24],

L. Birbrair [2] são alguns nomes que consideram o problema de classificação métrica

de singularidades.

Este capítulo é destinado exclusivamente ao estudo de conjuntos singulares de

dimensão real 1, vistos como subespaços euclidianos, módulo homeomorfismos

bi-Lipschitz. De forma superficial, subdividimos este capítulo da seguine forma. Na

primeira seção deste capítulo, listamos alguns resultados de classificação de curvas

reais os quais estão no artigo [3]. Observo que as idéias apresentadas nesta seção

são fundamentais para o desenvolvimento desta tese. Na segunda seção, resolvemos

o problema de caracterização do tipo bi-Lipschitz de curvas reais ílemonstrando que

o semi complexo de Hõlder (cf. [3]) é um invariante completo para esse problema.

Na terceira seção, apresentamos um teorema de caracterização de famílias de curvas

bi-Lipschitz triviais. Ainda na terceira seção, abordamos o problema de trivialização

bi-Lipschitz de famílias de curvas semi-algébricas por desdobramentos bi-Lipschitz

semi-algébricos e, nessa direção, obtemos um teorema que carateriza completamente

famílias de curvas planas por tais desdobramentos. Na quarta seção, aplicamos os

resultados da seção anterior para o estudo de famílias quase-homogêneas.

2.1 Semicomplexo de Hõlder

Os resultados apresentados nesta seção, exceto a Proposição 2.1.2, estão publicados

em [3].

SejazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA {X,x) um germe de subconjunto semi-algébrico em Mp_{, de dimensão reàl 1,}

com semi-ramos X _{= Uie/^í- Definimos para cada par de semi-ramos X{, Xj, o}

seguinte número:

sh(Xi, Xj) = ordr[dist(Xj n Sr(x), Xj n 5r( i ) ) ]

em que Sr(x) denota a esfera {y £ W : ||x — y\\ = r}.

Lema 2.1.1. sh(Xj, Xj) = ordr[distztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDC(Xj — Br(x), Xj — Br(x))}, V i ^ j, em que Br(x)

A proposição abaixo está provada na primeira seção do Capítulo 3.

P r o p o s i ç ã o 2.1.2.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Seja F : (X, 0) -> Rp _{o germe de uma aplicação semi-algébrica} tal que sua restrição a cada X{ é Lipschitz. Denotemos porxi(r) o ponto na interseção XiHSri0). Se

| | * W r ) ) - F(xó{r)\| < H ^ W - Xj(r)\\, ViJ,

então F é o germe de uma aplicação Lipschitz.

Teorema 2.1.3. Sejam (X,x) e (Y,y) germes de subconjuntos semi-algébricos, de

dimensão real 1, equipados com a métrica euclidiana induzida e com semi-ramos X = UigjXí eY = \JieJYj. Então, existe F : (X,x) -> (Y,y) bi-Lipschitz se, e

somente se, existe uma bijeção <j> : I —> J tal que s h ( X j , X j ) = s h( Y ^ ^ Y f â ) ) , para cada par i ^ j € /.

Prova. Sem perda de generalidade, podemos supor x = 0 = y. Suponhamos que

F : (X, 0) —> (y, 0) seja uma aplicação bi-Lipschitz. Sejam 0 < C\ < ci constantes de Lipschitz de F. Como F é um homeomorfismo, temos que I e J possuem a

mesma quantidade de elementos e para cada i € I existe um único <p(i) € J tal que

(F ( X i) , 0) = (Y^i), 0). Isto é, $ : I —» J definida como acima é uma bijeção.

Sejam m = sh(Xi,X: )) e n = sh(Y^(j), Y^)). Consideremos também rm_{h(r) e}

rn_{g(r) as decomposições de Puiseux de}

ordr[dist(^ - Br(0), Xj - Br(0))] e ordr[dist(y0(i) - 5r( 0 ) , Ym - Br(0))]

respectivamente. Como F é bi-Lipschitz com constantes 0 < C\ < c2,

M^r^WFfàW^ar

e, portanto,

rm_{h(r) =yxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC | | x,(r) - Xj ( r ) | |}

^ I||F(Xi(r)) - Fix^r))]] c₂

= —(cir)n_g(cxr).

Com isso, mostramos quezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m ^ n. Simetricamente, podemos mostrar que n ^ m e, portanto, m = n.

Reciprocamente, suponhamos / = J e s h( X i , X j ) = sh(Yi,lj) para cada i ^ j.

Definamos F : (X, 0) —• (Y,0) por: dado x £ Xi U Sr(0), seja F(x) o ponto na

interseção Yj D 5r(0). Segue imediatamente da Proposição 2.1.2 que F é o germe de

uma aplicação bi-Lipschitz.

•

2.2 Sobre o tipo Lipschitz de curvas reais

Sejam X, YyxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC C Mn_{, subconjuntos semi-algébricos de dimensão real 1, e sejam x £ X,}

yeY.

Nesta seção, procuramos responder à seguinte pergunta: quando existe um germe

de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (Mn_{,a;) —» (K}n_{,y) tal que F(X) = Y?}

Sejam (X,x), (Y,y) C Rn _{germes de curvas semi-algébricas, com semi-ramos}

X = UieI Xi e Y = UieJ^O- Pa r a efeito de simplicidade, nas demonstrações e

em alguns resultados auxiliares deste capítulo, escrevemos sh(X, x) = sh(Y, y) para

indicar que existe uma bijeção $ : I —» J tal que sh(Xi,X,-) = sh(^(i), Y/>(.j)), para

cada par i ^ j e /.

Segue do Teorema 2.1.3 que sh(X, x) = sh(Y, y) é uma condição necessária para

que exista um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (Mn_{,a;) —» (M}n_,y)

tal que F(X) = Y. Nesta seção, mostramos que tal condição, é também suficiente.

Respondemos à pergunta formulada no início desta seção em duas etapas. Na

primeira etapa, a qual tem início a seguir, respondemos essa pergunta para o caso de

curvas planas e, na segunda etapa, concluímos o resultado para o caso geral.

Denotamos o primeiro quadrante de M2 _{por Q = {(x, y) £ M}2 _{: x > 0 e y > 0} e}

dada uma função / : [0, <5] —» M, denotamos Tf = {(x, y) £ M2 _{: x > 0 e y = f(x)}.}

Quando f(x) = xa_{, denotamos Ta = Tj.}

Lema 2.2.1. Sejam f : [0, <5] —>• K. uma função semi-algébrica com decomposição de

seguinte germe de aplicação semi-algébrica FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA : (R2_{,0) —> (R}2_{,0); para cada (x,y)yxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC E} Q, é definido por:

e, fora de Q, F é definido como o germe da aplicação identidade. Então, F é um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz tal que (F(Tf), 0) = (TQ,0) e fora do quadrante Q coincide com a aplicação identidade.

(F(T/),0) = (Ta, 0). Também é claro que F é bi-Lipschitz fora do domínio: {(x, y) E

Q\ 0 ^ y ^ / ( x ) } . Mas, nesse domínio, a Proposição 4.1 de [2] mostra que F é bi-Lipschitz.

•

de classificação do tipo semi-algébrico bi-Lipschitz de curvas reais. Os resultados que

apresentamos nesta seção, foram obtidos quando visitei a Universidade de Valladolid

em Abril-Maio de 2001 e formam parte de um artigo, ainda em preparação, junto

com o Professor Dr. Lev Birbrair, sobre classificação bi-Lipschitz de singularidades

(o-minimais) de dimensão real 1 e 2.

Observação 2.2.2. Como consequência do Lema 2.2.1, temos que se / , g : [0, 5] —> R

são funções semi-algébricas, com os mesmos primeiros expoentes de Newton-Puiseux

em x = 0, então existe um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F :

(R2_{, 0) (R}2_{,0) tal que F(Tf) = Tg.}

Lema 2.2.3. Sejam fi,gi : [0,5] —> R funções semi-algébricas, com /j(0) = $(0) = 0

e % = 1, ...,m. Sejam também, X = UGraf(/j) e Y = [JGraf^i). Se sh(X, 0) = sh(y, 0), então existe um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (R2_{,0) —>}

(R2_{,0) tal que F(X) = Y e, fora do quadrante Q, F coincide com a aplicação}

iden-tidade.

Prova. Provamos o resultado acima por indução sobre m > 1. Antes, podemos fazer

algumas considerações sem perda de generalidade. Por exemplo, podemos supor 0 = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

fm < • • • < fi e 0 = gm < ... < g\. O caso em que m = 2, segue imediatamente do

Lema 2.2.1. Agora, suponhamos m > 2 e, por indução, suponhamos que o resultado

seja válido param—1. Novamente, pelo Lema 2.2.1, podemos supor /m_ i = h = gm-\.

Então, sejam X = ( X "1 _{Graf(/0, Y = U í ^}1 _{Graffà), fi = h ~ h e & = gt - h,} i = 1, . . . , m — 1. Por hipótese de indução, existe um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (M2_{, 0) (M}2_{, 0) tal que F(X) = Y e, fora de Q, F}

coincide com a aplicarão identidade.

Tomemos, $ : (M2_{,0) (M}2_{, 0) dada por = (xty - h(x)). Assim, F :} (IR2_{, 0) —> (M}2_{,0) dada por F = o F o $ é um germe de aplicação semi-algébrica}

bi-Lipschitz tal que (.F(X),0) = (Y, 0) e F coincide com a aplicação identidade fora

de Q.

m

Observação 2.2.4. Sejam c > 0 e K = { (x , y) eIR2 _{: 0 < x e 0 < y < cx}.} Então, $ : M.2_{,0 —* R.}2_{,0, dada por = (cx — y,y), é uma aplicação}

semi-algébrica bi-Lipschitz tal que = Q. Com isso, podemos reenunciar o Lema

2.2.3 da seguinte forma:

Lema 2.2.5. Sejam fi,gi : [0, <5] —> R funções semi-algébricas, com /t(0) = ^(0) = 0

e i = 1 ,...,m. Sejam também, X = |JGraf(/j), Y = IjGraf(gj), c > 0 e K = {{x,y) e K2 _{: 0<xe0<y<cx} cone contendo X e Y. Se sh(X,0) = sh(V; 0),} então existe um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (M2_{,0) —* (K}2_,0)

tal que F(X) =Y e, fora do cone K, F coincide com a aplicação identidade.

Lema 2.2.6. Sejam X, F e l 2 _{curvas semi-algébricas e sejam x E X, y E Y. Se}

sh(X, x) = sh(y,y), então existe um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz

F : (M2_{, 0) (R}2_{, 0) tal que F{X) = Y.}

Prova. Sem perda de generalidade, podemos supor x = 0 = y e IR2_{. Por hipótese,}

(.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAX, 0), respectivamente (Y, 0), em cones K*,..., K?, respectivamente Kj,..., Kj,

os quais possuem interseção somente na origem, de tal maneira que dois semi-ramos

de (X, 0), respectivamente de (K,0), estão em um mesmo cone se, e somente se,

possuem o mesmo vetor unitário tangente na origem. Como sh(X,0) = sh(Y,0),

podemos enumerar os cones de forma que:

sh{X n K?, 0) = sh[Y n Kj, 0)

paxa cada i = 1 ,. . . , t. Agora, pelo Lema 2.2.5, para cada i = 1 ,. . . , t, temos um

germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz

Fi : (R2_{,0) (R}2_,0)

tal que {Fi(X D K*)) = Y ft Kj) e Fi coincide com a aplicação identidade fora do

cone Kf. Então, seja

F : (R2_{,0) — (R}2_,0)

dada por: F(x,y) — Fi(x,y) caso exista i tal que (x,y) £ Kf e F(x,y) = (x,y) no

caso contrário. Temos que F é um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz tal que (F(X),0) = (Y,0).

m

Teorema 2.2.7. Sejam (X,x), (Y,y) C Rn _{germes de curvas semi-algébricas, com}

semi-ramos X = (Ji e / Xi e Y = UztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDCÍ Ç J • existe uma bijeção <f> : I —> J tal que

tal que sh(Xf, Xj) = sh(Y0(j), Y^), para cada par i ^ j £ I, então existe um germe

de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz F : (R71_{, x) —> (R",y) tal que F(X) = Y.}

Prova. Provaremos este teorema por indução sobre o número n ^ 2. O Caso n = 2

segue imediatamente do Lema 2.2.6. Então, sejam n ) 2 e (X, x), (Y,y) germes

de curvas semi-algébricas em R"+ 1 _{tais que s h p f ,x ) = sh(Y,y). Suponhamos, por}

hipótese de indução, que o teorema seja verdadeiro para germes de curvas

semi-algébricas em Kn_{. Sem perda de generalidade, podemos supor x = y — 0 € M}n+1_.

Sejam 111, n2 : Rn + 1,0 —* R71,0 projeções genéricas tais que

Então, temos germes de funções semi-algébricas bi-Lipschitz

h : ( n i ( x ) . o ) -ztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDC (R,0) h •• ( n2( y ) , 0 ) - (R,o)

tais que Graf(/i) = X e Graf(/2) = Y. Pelo Teorema de Kirszbraun, existem

ex-tensões semi-algébricas bi-Lipschitz : (Rn_{, 0) —> (R,0) de / i , /2}

respectiva-mente. Agora, consideremos os seguintes germes de aplicações semi-algébricas

bi-Lipschitz FUF2 : (Rn + 1, 0) -> (Rn + 1,0) dados por

Fi(zi, ...,zn, zn+1) = (zi, ...,zn, zn+1 - <j>i(zi,.. •, Zn)), i = 1, 2.

Temos X, Y curvas semi-algébricas em IR" tais que

(F^X), 0) = (X x 0 , 0 ) ( F2( Y ) , 0) = (Y x 0 , 0 ) .

Daí,

ah(X, 0) = sh(X, 0) = sh(y, 0) = sh(Y, 0).

Logo, por hipótese de indução, existe um germe de aplicação semi-algébrica

bi-Lipschitz F : (Rn_{, 0) -> (R}n_{, 0) tal que F(X) = Y. Finalmente, sejam F, F3 :}

(Rn + 1_{,0) -> (R}n + 1_{,0) dadas por}

F2(zi, ... ,zn, zn+i) = (F(zi,... , Zn), zn+1)

e F = F2_1 OF3OF!. Assim, F é um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz

tal que F ( X ) = Y.

•

2.3 Sobre famílias de curvas reais

Definição 2.3.1. Seja Y um subconjunto semi-algébrico de Rp_{. Uma família de}

germes de conjuntos semi-algébricos em IR" x Rp _{sobre Y é um germe X em {0}}n _{x Y}

de subconjunto de R" x Rp _{tal que o germe de X em cada ponto (0, t) é semi-algébrico.}

Dizemos quezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X é topologicamente (respect. bi-Lipschitzj trivial ao longo de Y se existe um germe de homeomorfismo (respect. homeomorfismo bi-Lipschitz)

H:{ R" x Yt {0}n xY)-* (Rn x {0}n x Y)

tal que II o H = II e H(X) = Xto x Y para algum í0 6 Y.

Observação 2.3.2. Seja X uma família de germes de curvas semi-algébricas pela

origem de Rn_{, ao longo de um intervalo I. Dizer que sh(Xt, 0) é constante significa}

dizer que existem <5 > 0 e m > 1 tais que para cada t 6 I temos uma quantidade m

de semi-ramos de (Xt, 0)

V"1 \rm -X-t , • • • , At

e existem 0 < K\ < K2 e uma coleção aij de números racionais tais que

xi{r,t)-xj{r,t)=rai'Jdiij{r,t)

em que K\ < ||áij(r, í)|| < K2, V(r,í) G [0,í] x / ezxvusrpomljihgfedcbaZXTSRQPOMLJHGDCBA Xi(r,t) é o ponto na interseção

de X] com a esfera de raio r e centro na origem.

De acordo com as considerações acima, temos claramente que para que uma

família de curvas Xt pela origem de Rn seja bi-Lipschitz trivial é necessário que

sh(X£, 0) seja constante.

Exemplo 2.3.3. (Kite singularities [19])

Sejam 1 < k < l < m e consideremos

Xt = {{x,y) : y2k = x2m+l + tx2l+1}.

Temos que: sh(ATt) 0) = ^ t i para t ^ O e sh(X0, 0) = Portanto, para qualquer

intervalo não degenerado I de R contento 0, a família Xt não é bi-Lipschitz trivial

ao longo desse intervalo. Por outro lado, é bem conhecido que essa família é Whitney

equisingular.

O exemplo acima deixa clara a diferença entre estratificações de Whitney e

estrati-ficações bi-Lipschitz. Pois, estratiestrati-ficações de Whitney oferecem o bom

seja bi-Lipschitz trivial, também devemos ter o bom comportamento de pares de

estratos de mesma dimensão. E, para o caso de família de curvas, esse bom

compor-tamento de pares de estratos de mesma dimensão vai ser obtido a partir de hipóteses

sobre sh(X£, 0).

Proposição 2.3.4.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A família (2.1) de quatro retas de ti. Whitney é bi-Lipschitz trivial.

Prova. Consideremos X = {(x:y,z) : xy(x — y)(x — zy) = 0, z > 1}. Para cada

t > 1, seja Xt = {(x,y, z) e X : z = t. Consideremos os seguintes subconjuntos de

X :

. Xo _{= {{x,y,z) eX : z = 0};}

. X1 _{= {(x,y,z)eX : y = 0};}

• X2 _{= {{x,y,z) eX : x = y}\}

• X3 _{= {(z, y,z) e X : x = zy}.}

Definamos V : X —> R3_{, campo de vetores em X, da seguinte forma:}

, í (0,0,1) se (x,y,z)?X3

V(x,y,z) = <

[ {y, 0,1) se {x,y,z)eX3

É claro que V é um campo tangente a cada X1_{; i = 0,1,2,3. Nesse momento,}

consideramos M3 _{equipado da métrica da soma.}

Afirmação. Para cada t > 1, Vt := V(-,t) é um campo &(í)-Lipschitz, com k(t)

contínua em t.

Com efeito, sejam P — (x,y,t) e Q = (a, b, t) pontos de X. Se P, Q $ X3_{, então}

V(P) = V(Q). Assim, podemos supor que P e X3_{, isto é, P = (ty,y,t).}

• Se Q € Xo_{, então ||V{P) - V(Q)|| ^ r ^ P - Q||;}

• Se Q e X\ então \\V(P) - V(Q)\\ ^ \\P - Q||;

Q\\-. QzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA G Xo_{, então ||V{P) - V{Q)\\ + l ) "}1_{^ - Q||.}

Assim, temos Vt um campo A;(í)-Lipschitz para k(t) = max{l, ( 1 - í )- 1} . Fica provada

a afirmação acima.

Seja I um intervalo compacto em (1, +00). Pela afirmação acima, Vt é um campo

/c-Lipschitz com a constante k independendo de t. Usando o Teorema de Kirzbraun,

temos uma extensão W : E2 _{x I —> E}3 _{de V tal que para cada t G I,Wt := W{-, t) é}

um campo /c-Lipschitz. Agora, como V é tangente a X, temos que o fluxo de W nos

dá uma trivialização bi-Lipschitz de X ao longo de I.

U Teorema 2.3.5. Seja X uma família de germes de curvas semi-algébricas pela origem

de En_{, ao longo de um intervalo I. Se X é Whitney equisingular ao longo de I e}

sh(Xt,0) é constante, então X é bi-Lipschitz trivial ao longo de I.

Prova. Como X é Whitney equisingular ao longo de I = [0, a], podemos considerar

V um campo de vetores, integrável, sobre X; V coincide com Jj sobre o í-eixo e seu fluxo <j) sobre X satifaz: ||</>t(x)|| = ||x||, V(x,t) (cf. [16]). Usando a notação da

observação acima, isto significa que Xj(r, t) = Xi(r, 0), Vi. Então ,

< K\\Xi(r,t) -

xjírM-Assim, pelo Lema 2.1.2, segue que, para cada t G I,Vté um campo Lipschitz com uma

constante que não depende de t. Com isso, podemos usar o Teorema de Kirszbraun

para estender V a um campo de vetores Lipschitz sobre Kn _{x I e tomar o seu fluxo} para obter uma trivialização bi-Lipschitz de X.

•

Observação 2.3.6. No Teorema 2.3.5 é suficiente pedirmos que a família Xt seja

c-regular no sentido de K. Bekka [1], uma vez que Xt c-regular ao longo de I ainda é

suficiente para garantir a existência de <t>t satisfazendo ||^ztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDCÍ(X)|| = ||a;||, V (x,t).

Lev Birbrair, em conversa particular, apontou-me para a dificuldade de se

bi-Lipschitz triviais. Pois, a integração de campos semi-algébricos não fornece

apli-cações semi-algébricas. A seguir, apresentamos um resultado de caracterização de

famílias de curvas planas semi-algebricamente bi-Lipschitz triviais.

Definição 2.3.7. Seja Y um subconjunto semi-algébrico de Rp_{. UmazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA família de} germes de conjuntos semi-algébricos em Rn _{x R}p _{sobre Y é um germe X em { 0 }}n _{x Y}

de subconjunto de Rn _{x R}p _{tal que o germe de X em cada ponto (0, t) é semi-algébrico.}

Denotamos por II: Rn _{x Y —» Y a projeção canónica e Xt = X D II}_ 1_(i).

Dizemos que X é semi-algebricamente bi-Lipschitz trivial ao longo de Y se existe

um germe de homeomorfismo semi-algébrico bi-Lipschitz

H : (Rn _{x Y, {0}}n _{x Y) -> (R}n _{x Y, { 0 }}n _{x Y)}

tal que II o H = II e H(X) — Xto x Y para algum t0 6 Y.

Observação 2.3.8. Seja X uma família algébrica de germes de curvas

semi-algébricas planas, pela origem de R2_{, ao longo de um intervalo compacto / de R. É}

um fato que, para cada í e / existe uma vizinhança da origem Ut em R2 tal que

Xt H Ut tem os seus ramos, na origem, dados por gráficos de funções

semi-algébricas convexas. Em particular, estas funções, quando não são identicamente

nulas, não se anulam em pontos desse domínio. Nesse caso, diremos que Xt D Ut tem

uma estrutura de gráfico (na origem).

Definição 2.3.9. Seja X uma família algébrica de germes de curvas

semi-algébricas planas, pela origem de R2_{, ao longo de um intervalo compacto / de R.}

Dizemos que X tem estrutura uniforme de gráfico (na origem), se existe uma

vizi-nhança U da origem em R2 _{tal que para cada t 6E / , U D Xt tem uma estrutura de}

gráfico (na origem).

Dado um germe de curva semi-algébrica (X, 0), seu cone tangente, que denotamos

por c(X), é o conjunto formado pelas semi-retas tangentes a (X, 0).

Lema 2.3.10. Seja X uma família semi-algébrica de germes de curvas semi-algébricas

associada a X é trivial. Se X é topologicamente trivial, ao longo de I, então X possui uma estrutura uniforme de gráfico (na origem).

Prova. Seja B uma bola em torno da origem de K2 _{tal que Xa D B possua estrutura}

de gráfico (na origem). Como X é topologicamente trivial, ao longo de / , podemos

supor que ByxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC é suficientemente pequena tal que para cada aberto V C B, em torno da origem, temos: para cada t,s £ I, existe um homeomorfismo (f)t,s : V V;

4>ttS(Xt nv) = (xs n v) e </>t,s(o) = o.

Tomemos [0,5] o maior intervalo contido na projeção ortogonal de Xt H B sobre a

sua semi-reta real tangente /, V í. Observemos que 0 < 5, pois caso contrário, usando

a compacidade de / , mostraríamos que, para algum í, Itf l B intersectaria a reta

ortogonal a l e isto contradiz o fato de termos um homeormofismo </>: B —> B tal que

<p(Xa C\B) = XtC\ B. Agora tomemos V = B D [—5,5] x M. Então, dado í, qualquer

reta vertical contida em V intersecta Xt

Por contradição, suponhamos que uma curva XtC\B possua um semi-ramo, na

origem, que não seja gráfico sobre sua tangente l. Isto é, temos uma reta rx vertical

(reta ortogonal a l) tal que, se rx intersecta esse semi-ramo o faz mais de uma vez.

Então, tomemos um aberto V C B em torno da origem tal que ri D V C dV. Observe que isso contradiz o fato de existir um homeomorfismo (j>a<t : V —> V; 4>a,t{Xa f l V ) =

(X£n V) e </>a,t(0) = 0 pois, como XaC\V possui uma estrutura de gráfico (na origem),

ri n B intersecta cada semi-ramo de Xa D V (na origem) uma, e somente uma, vez.

Também, por contradição, e tomando retas horizontais (retas paralelas a uma

determinada tangente /), podemos provar que para cada t £ I os semi-ramos da

curva Xt (na origem), com tangente l, ou bem coincidem com l ou não intersectam l.

•

Definição 2.3.11. Uma família semi-algébrica X de germes de curvas semi-algébricas

pela origem de Mn _{topologicamente trivial ao longo de um intervalo I = [a, 6] de IR é}

ct-regular se a família de cones tangentes c(Xt) é semi-algebricamente topologicamente

trivial.

A seguinte família de curvas planas pela origem de R2

Xt : y3 = x5 + tx 2 (2.3)

não possui uma estrutura uniforme de gráfico (na origem), embora possua tipo

topológico constante. Vale observar que, para cada £, Xt possui dois semi-ramos

reais pela origem com contato igual a 1.

E x e m p l o 2.3.13. A seguinte família de germes de curvas planas

sugerida por R.N.A. dos Santos [26], é topologicamente trivial, mas não é ct-regular.

N o t a ç ã o . Uma função f : I x [0,5] —> R define uma família de funções ft :

[0,(5] —> R; V £ e . / , ft(x) = f(x,t). E, denotamos

Lema 2.3.14. Seja f : I x [0, <5] —» R uma função semi-algébrica tal que, para cada

t £ I, ft é uma função não negativa com decomposição de Newton-Puiseux em x = 0

dada por ft(x) = xaht(x). Então ,

é um germe de aplicação semi-algébrica bi-Lipschitz tal que II o F ~ II e F(Tf) =

Ta x R. Além disso, para cada t £ I, Ft coincide com a aplicação identidade fora do

quadrante Q.

Como aplicação do Lema 2.3.14, vejamos o seguinte exemplo. Consideremos a

seguinte família de germes de curvas semi-algébricas planas, pela origem de R2_: cos (í + |) x + sin(í + |)(x2_{y + y}3_{) = 0}

Tf = {(x,y,t)£ R3 | (x,y)£Tít}.

F : (R2 _{x R, 0) —> R}2 _{x R, 0)}

dada por F(x, y, t) = (Ft(x, y), t) em que

Mostremos que essa família é semi-algebricamente bi-Lipschitz trivial ao longo de

qualquer intervalo I = [—a, a], a > 0. Por simetria, podemos considerar

Xt : x6 -y4 + tx3y2 = 0 ; x > 0.

Temos Xt n { x = 1} = {(1, g(t)), (1, -g(t))}, em que g é uma função

semi-algébrica, contínua, tal que g(0) > 0. Como Xt é homogéneo com relação aos pesos

wt(x) = 2 e wt(y) = 3, temos que os semi-ramos de Xt na origem são parametrizados

por

(52_,53_{«7(í)) : {s\-s}3_{g{t)) ; S > 0.}

Ou ainda, temos que os semi-ramos de Xt na origem são dados pelos gráficos

y = x*g{t) : y=-x?g(t) ; x > 0.

Após considerarmos a seguinte mudança de coordenadas bi-Lipschitz

(:x,y,t) (x,y + x%g(t),t)

temos que Xt pode ser visto como os gráficos

3

y — o : y = 2x2g(t) ; x > 0.

isto é, Xt = Tft em que /t( x ) = 2 x ^ ( í ) . Segue do Lema 2.3.14, que a família

X = {(x, y, t) : (x,y) £ Xt} é semi-algebricamente bi-Lipschitz trivial ao longo de

/ .

Teorema 2.3.15. Sejam X e Y duas famílias de germes de curvas semi-algébricas

pela origem de E2_{, ct-regulares ao longo de um intervalo I e topologicamente}

equiva-lentes. Se sh(Xt,0) = sh(y£, 0), Ví £ I, então X e Y são semi-algebricamente bi-Lipschitz equivalentes. Em particular, se X é ct-regular, topologicamente trivial e sh(Xt,0) é constante, então X é semi-algebricamente bi-Lipschitz trivial.

Prova. Idêntica à prova dada para o Lema 2.2.6, aplicando aqui a versão do Lema

2.4 Sobre famílias de curvas reais quase-homogêneas

Seja ( a i , . . . , a „ ) uma n-upla de inteiros positivos primos entre si. Associada a

( a i ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA. . . , an) temos a seguinte ação :

t-p:= (tai_p\,tan_{pn) para cada tyxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC G R* e p = (plt... ,pn) G R}n_{. (2.4)} L

Definição 2.4.1. Uma aplicação F : Rn _{—> R}m_{; F = ( / i ,. . . , fm) é quase-homogênea} de tipo ( a i , . . . , an : du ..., dm) se F(t • p) = ( £d l/ i ( p ) ,. . . , tdmfm{p)') para cada t G R

e p = (pi,...,pn) € Rn_.

0 exemplo das quatro retas de H.Whitney (2.1) é um exemplo de uma família de

conjuntos singulares definidos como zeros de uma família de aplicações homogéneas

que apresenta modalidade para o problema de classificação módulo difeomorfismos

de classe C1_{. Motivados por esta observação, estaremos interessados em responder a}

seguinte pergunta:

Quando uma família de aplicações Ft : Rn —> Rn _ 1 quase-homogêneas define uma

família de curvas quase-homogêneas Xt = i^- 1 (0), pela origem de Rn, bi-Lipschitz

trivial ?

Exemplo 2.4.2. Consideremos Ft : R3 -> R2 dada por Ft(x,y,z) = (z3 + tx,y3 -x2).

Temos que Xt — Ff1(0) não define uma família, de curvas pela origem de R3,

bi-Lipschitz trivial. Com efeito, X0 possui os seguintes semi-ramos

= {(r3_,r2_{,0) : r ^ 0}}

=zxvusrpomljihgfedcbaZXTSRQPOMLJHGDCBA {(-r\r\0) : 0 } .

3

Portanto, s1i(Xo,Xq) = - . Por outro lado, para t ^ 0, Xt possui os seguintes

semi-ramos

= {(-]r\r2_{,r) : 0}}

X? = {(]r3_,r2_{,r) :}

Exemplo 2.4.3. ConsideremoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ft : R2 - * R dada por ft(x,y) = x4 - y6 + tx2y3,

de-formação quase-homogênea do germe / : (R2_{, 0) —> (R, 0) dado por f(x,y) = x}4 _{- y}6_.

Vimos na seção anterior que Xt = /£_1 (0) define uma família de curvas, pela origem de

R2_{, semi-algebricamente bi-Lipschtz trivial. Observo que / tem singularidade isolada}

na origem.

Seja X urna curva plana quase-homogênea com respeito aos pesos (ai, isto é,

X é invariante pela ação (2.4), e com semi-ramos reais X = UiejXi.

Lema 2.4.4. Se > a2 ^ 1, então o cone tangente a (X, 0) está contido nos eixos

de coordenadas de R2_.

Prova. Seja S um semi-ramo de X, 0 e seja (p, q) um ponto em S distinto da origem.

Como X é quase-homogênea com respeito aos pesos (ai,a2), podemos parametrizar

S por

S= {(sa i_p,sa 2_{ç) : s ^ O } .}

Se q ^ 0, então o y-eixo é tangente a S, pois estamos supondo ax > a2. Caso contrário,

claramente o x-eixo é tangente a S.

O lema acima mostra quão previsível é o comportamento das tangentes de famílias

de curvas quase-homogêneas no caso em que os pesos são distintos. O lema seguinte

é fundamental para o esclarecimento do comportmento bi-Lipschitz de curvas

quase-homogêneas planas.

Lema 2.4.5. Para cada par de semi-ramos Xl e X3 de (X, 0), com mesma semi-reta

real tangente, sh(Xi,Xj) =

Prova. No caso a2 = al t isto é, no caso homogéneo nada temos a provar. Então,

suponhamos > a.2. Como Xt e Xj são semi-ramos distintos de (X, 0), pelo lema

anterior temos que a semi-reta tangente real a Xi e Xj é gerada por ±e2, isto é,

(0,±1). Sem perda de generalidade, suponhamos que tal semi-reta seja gerada por

(0,1). Sejam p = {p\,p2) E X, e q = [qi,q2) G Xj. Claramente, temos p2 ^ 0

—2^37 ^ ?1_{j_ . Com efeito, sezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA —}EL_{r =} qi_{_L > então troquemos p por p' = t • p}

(P2)a_{2 (92) °}2 _{(P2)°2 (92)}a2

com t > 0 suficientemente pequeno. Obviamente, p' e Xi e p2 ^ 0. Se tivéssemos

= ?1_{j_, então í}a i _ 1 _{= 1 . Como ai > a2 ^ 1, e t > 0 foi escolhido pequeno,}

CzxvusrpomljihgfedcbaZXTSRQPOMLJHGDCBAp'2)a2 (12) a2

temos uma contradição .

Usando que X{ e Xj são invariantes pela ação 2.4, concluímos o seguinte:

Xi = {(ta_>pi,ta_{*p2) : O^t} e ^ { ( ^ i , ^ ) : 0 < t}.}

Assim, se Xi(r) é o ponto na interseção X{ U Sr(0) e se Xj(r) é o ponto na interseção Xj U 5^(0), temos:

( \ I P2 _{\ ( \ ( ^} 9 2 _N

Xi{r) = (r,ra_{2 j-) e Xj(r) = (r,r}a _{2 -pj.}

b i K |Çih Agora, como pi_{j_ ^ , temos ordyxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGECr| | :Ei(r) — = r}2_.

(P2)°2 (g2) 1

•

T e o r e m a 2.4.6. Seja ft : R2 —» R «ma deformação quase-homegênea, com respeito

aos pesos ai ^ a2 ^ 1, de um germe f , definindo uma família de curvas planas

Xt = /t _ 1(0). 5e / define um germe de codimensão finita na origem, então (Xt, 0)t

é semi-algebricamente bi-Lipschitz trivial para t pequeno.

Prova. Se ai = a2, nada temos afazer. Então, podemos supor ai > a2. Suponhamos,

primeiro, que Xq não contenha o y-eixo. Nesse caso, para t pequeno, XT não intersecta

o y-eixo fora da origem. Portanto, para cada t pequeno, vale: X\, XJT possuem a

mesma semi-reta real tangente se, e somente se, Xq, X3Q possuem a mesma semi-reta

real tangente. Assim, diante do lema acima, temos: s h( X \ , X l )ztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDC = S!I(Xq, XJQ).

Agora, suponhamos que X0 contenha o y-eixo. Nesse caso, XT também contém o.

y-eixo, pois o fato de yxa _{€ supp(/) para algum a, implica que x}b _{£ supp(/) para}

todo 6. Assim,

^ = {(5,0) : 0 0 } e ^ = {(5,0) : s < 0}

são semi-ramos reais de Xt para todo t pequeno. Portanto

1 se i e { l , 2 } ou j e { 1,2} sh(Xl,XÍ) =

caso contrário

De qualquer forma, temos sh(X£í,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X{) = const. Por outro lado, segue dos resultados apresentados em [9] que a família acima é

topologicamente trivial. Então, do Teorema 2.3.15, segue-se o resultado.

•

Observação 2.4.7. No capítulo sobre curvas complexas, mostramos que deformações

/^-constantes ft : C2 —» C de / , em que /j é o número de Milnor de / , definem famílias

de curvas bi-Lipschitz triviais.

Relembremos algo a respeito da determinação finita de germes de aplicações

analíticas. De acordo com [31], dado um germe de aplicação analítica F : R" —» Kp_,

temos que E^ D F- 1_{( 0 ) — 0 é uma condição necessária e suficiente para que / seja}

Cl _{— /C-determinado para cada 0 < l < oo.}

A partir do Teorema 2.4.6 surge naturalmente a seguinte pergunta:

Se Ft : M" —• IR"-1 é uma deformação homogênea de uma aplicação

quase-homogênea F : IR" —» IR"-1 _{com respeito aos pesos ai > • • • > an > 1 satisfazendo} Ej? fl F- 1_{( 0 ) = 0, então Ft define uma família de curvas Xt — F}_1_{(0) bi-Lipschitz}

trivial ?

O seguinte exemplo responde negativamente a essa pergunta.

Capítulo 3

Teoria métrica de curvas complexas

Em [8], E. Brieskorn observa que, se esperamos capturar informações a respeito de

propriedades qualitativas locais de curvas analíticas complexas em C2_{, não devemos}

abordá-las de forma abstrata. Essa afirmação é justificada pelo resultado abaixo

Proposição 3.0.9.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Todo ramo de curva analítica em C2 _{é homeomorfo a (C, 0).} Este resultado justifica a seguinte relação de equivalência topológica, entre germes

de subconjuntos analíticos em Cd_.

Definição 3.0.10. Sejam C e D subconjuntos analíticos de Cd _{e sejam x £ C,}

y £ D. O germe (C, x) é topologicamente equivalente a (D, y) quando existe um homeomorfismo F : (C2_{, x) -> (C2yy) tal que F(C) = D.}

Claramente, a abordagem acima é mais fina do que a abordagem abstrata, no

sen-tido que: se (C, x) é topologicamente equivalente a (D, y), então (C, x) é homeomorfo

a (D,y). De fato, essa abordagem é estritamente mais fina do que a abstrata, por

exemplo, temos que o germe de curva complexa (C, 0), definido por C : z2 _{= w}3_{, é}

homeomorfo mas não é topologicamente equivalente à reta (C, 0).

A classificação proposta acima foi essencialmente analisada a partir dos anos 20

do século passado. Os matemáticos K. Brauner, K. Káhler, W. Burau, O. Zaxiski

foram responsáveis pela solução desse problema. Um bom apanhado das técnicas e

resultados obtidos a respeito desse tema pode ser encontrado em [8]. Uma solução

T e o r e m a 3.0.11.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Dois germes de curvas complexas são topologicamente equivalentes se, e somente se, existe uma bijeção entre seus ramos que preserva sequência de expoentes característicos e índices de interseção de pares de ramos.

Aqui, propomo-nos analisar germes de curvas complexas sob o ponto de vista

métrico. Sendo mais específicos, consideramos germes de curvas complexas módulo

homeomorfismos bi-Lipschitz. A princípio, temos bem definidas duas métricas

natu-rais sobre subconjuntos subanalíticos de espaços euclidianos. A saber, temos a métrica

euclidiana induzida e a métrica geodésica que é intrínseca do subconjunto. Por

analo-gia à Proposição 3.0.9, apresentamos a seguinte proposição para justificar a nossa

decisão por estudar tais conjuntos como subespaços métricos de espaços euclidianos.

P r o p o s i ç ã o 3.0.12. Para qualquer ramo de curva analítica complexa (C,x) em C2_,

munido da métrica geodésica intrínseca, existe um germe de aplicação subanalítica bi-Lipschitz F : (C, x) (C, 0).

Em [3], classificamos completamente os germes de conjuntos semi-algébricos de

dimensão real 1, equipados da métrica euclidiana induzida, módulo homeomorfismos

bi-Lipschitz. Em [2], L. Birbrair classifica completamente os germes de conjuntos

semi-algébricos de dimensão real 2, equipados da métrica geodésica intrínseca, módulo

homeomorfismos bi-Lipschitz. L. Birbrair aponta para a dificuldade de se obter uma

classificação dos mesmos germes acima quando vistos como subespaços euclidianos.

Aqui, consideramos a métrica euclidiana induzida e, neste contexto, apresentaremos

uma classificação completa dos germes de curvas (complexas) analíticas planas com

singularidade isolada. De fato, provamos o seguinte

T e o r e m a 3.0.13. Sejam (X, 0) e (X, 0) germes de curvas analíticas complexas planas. Existe um germe de aplicação subanalítica bi-Lipschitz F : (X, 0) —» (X, 0) se, e so-mente se, existe uma bijeção entre os ramos desses germes que preserva sequência de expoentes característicos e índices de interseção de pares de ramos.

Vale observar que a classe de germes que consideramos aqui não é formada por

germes normalmente mergulhados em R4 _{(cf [4]) e, portanto, a classificação que}

Os resultados deste capítulo compõem o artigo [11] que foi submetido para

pu-blicação em'novembro de 2001.

3.1 Arcos de Teste

Nesta seção, relembramos o conceito de semi-complexo de Hõlder de germes de curvas

reais, apresentamos o conceito de arcos de teste e demonstramos um lema de grande

importância para este capítulo.

Dado um germe de subconjunto semi-analíticozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (X, x), em W, de dimensão real 1, equipado com a métrica euclidiana induzida, para cada par de semi-ramos Xl, Xj, de

(X,x), temos o seguinte número:

sh(Xu Xj) = ordr[dist(Xt n Sr(x), Xó n Sr(x))].

As idéias discutidas em [3] são de fundamental importância neste capítulo, pois

estas esclarecem o comportamento métrico de germes de conjuntos semi-analíticos de

dimensão real 1 e o conceito de arco de teste, o qual aparece de forma contundente

aqui.

Definição 3.1.1. Um arco de teste é um germe de conjunto semi-analítico de

di-mensão real 1, munido da métrica induzida, com apenas um semi-ramo real.

Lema 3.1.2. Sejam (Ti, x) e (r2,:c) arcos de teste e F : (r\ U r2,:r) —> W um

germe de aplicação subanalítica tal que sua restrição a cada arco de teste Fj é uma aplicação Lipschitz, i— 1,2. Se

\F{Xl(r)) - F(x2(r))\ < M r ) - x2(r)|,

em que {.Xj(r)} = Sr(x) flTi, então F é um, germe de aplicação Lipschitz.

Prova. Admitamos todas as hipóteses do lema e suponhamos, por absurdo, que a

sua conclusão seja falsa. Então, pelo Lema de Seleção da Curva, existem curvas

analíticas q\, q2\ [0, á) —> T tais que ^(0) = 0, q^s) 6 Tj, Vs, i = 1, 2 e

Podemos supor quezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA \qi(s)\ ^ |<72(<s)|, Vs, pois caso contrário, por analiticidade,

teríamos uma contradição com uma das hipóteses do lema acima. Tomando uma

reparametrização, caso seja necessário, podemos supor que |<7i(s)| e |<72(<s)| são séries ;t>

de potências fracionárias e |<?i(s)| ^ |<72(<s)| = s, para cada s. Assim, usando as

hipóteses do lema, temos

\Qi(s) - q2(s)\ « \F(qi(s)) - F(xi(3))| + 1^X1(3)) - F(q2{s))\

< \qi{s)-x1(s)\ + \x1(s)-q2(s)\

Pelo Lema 2.1.1, temos

M«) -92(5)1 < \qi(s) - q2{s)\.

Portanto,

\Qi(s) -q2{s)\ < \qi(s) -Xi(s)|.

E, pela desigualdade triangular, temos a seguinte contradição :

\qi(s) -q2{s)\ ~ \qi{s) - x x ( s ) |

3.2 Caso irredutível

Seja (C, 0) um germe de curva analiticamente irredutível em C2 _{(Ramo), a menos} de uma mudança analítica de coordenadas, podemos supor que (C, 0) tem uma

parametrização do tipo abaixo:

x = tm

y = tn _{+ M"}1 _{+ ... ,}

em que m é a multiplicidade de (C, 0), m não divide o inteiro n e y(t) £ C { í } . A

série de potências fracionárias y ( x ^ ) é conhecida como Parametrização de

são obtidas da parametrizaçao acima via x^. i—• wx™ em que w é raiz m-ésima da

unidade.

Observação 3.2.1. Quando falarmos em aplicação bi-Lipschitz, salvo mencionado

contrário, estaremos considerando os espaços métricos envolvidos na questão munidos

da métrica euclidiana induzida.

E x e m p l o 3.2.2 (Fundamental).zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sejam C : w2 _{= z}3 _{e D : w}2 _{= z}5_{. Então não}

existe um germe de aplicação subanalítica bi-Lipschitz F : (C, 0) —> (D, 0).

Prova. Consideremos E2, S3, E4 os seguintes semi-ramos em D:

Ej = {(r, r i ) : r ^ 0} E2 = {{ri, rh^) : r ^ 0}

e

E3 - {(r,yxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC - r i ) : r ^ 0} S4 = { ( - r i , r i e ^ ) : r ^ 0}

Consideremos agora:

r k t ^ ^ . P ^ l e S r í O j n ^ ) ; A: = 1,2,3,4.

Decorre do Teorema 2.1.3 que

llFiCr-) — r3(r-)|| « r i .

Daí, podemos escolher 71,73 tais que

lim( 7i(r) — 73 (r)) = 4/OT; k = 0 ou 1. r—>0

Suponhamos

lim( 7i(r) - 7 s ( r ) ) = 0.

r—>0

NesseztsronmljiedcbaXWUSRPOLJIHEDC CELSO, temos que ocorre uma das seguintes alternativas

lim(7!(r) - 72(r)) = 0 ou l i m ^ r ) - 74(r)) = 0. r—>0 r—>0

Suponhamos que

lim(7i(r) - 72 (r )) = 0.

Em particular,

l | r i ( r ) - r2( r ) | | « r .

DenotemoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5k(r) = F_ 1(rf c(r)); k = 1,2. Então, temos

*i(r) = (/(0>/(0!_{) e S2(r) = (g(r)i, gir^e^)}

em que

| / ( r ) | « |P( r ) | « r .

E, daí,

\\6i(r) - 52(r)|| > |/(r) - ig(r)\ « r.

Por outro lado, como F é bi-Lipschitz,

ll*i(r)-fc(r)||® lirxCr-) - r2(r-)||,

o que é um absurdo.

Observo que os outros casos são analisados de forma completamente análoga.

•

Observação 3.2.3. A prova exibida acima pode ser adaptada, sem o menor

es-forço para mostrar que não existe homeomorfismo bi-Lipschitz subanalítiço entre os

seguintes germes de curvas complexas planas:

C : w2 _{— z}2k+1 _{e D:w}2 _{= z}2l+1

quando k ^ l.

Teorema 3.2.4. Dados (C, 0) e (C, 0) dois germes de curvas analiticamente

irre-dutíveis em C2_{, temos que existe F : (C, 0) —> (C, 0) germe de aplicação subanalítica}

bi-Lipschitz se, e somente se, P(C) = P(C).

Apresentaremos uma demonstração do teorema acima, que tem seu cerne

comple-tamente explicitado no Exemplo 3.2.2, embora as idéias apresentadas lá não resolvam

A seguir, analisaremos o comportamento métrico de pares de arcos de teste em

um ramo analítico.

Seja, (C, 0) um ramo com multiplicidadezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA n e pares característicos (rrii, n i ) , . . . , (m3, ng).

Sejam Ti, V2 arcos de teste em (C, 0) descritos por

I » = (refa_Wy(riei2_{^)) € Sr{0)nVit j = 1,2}

em que y{xn) é uma parametrização de Newton-Puiseux de (C, 0) e ai,a;2 são

funções ângulo tomando valores no intervalo [0, 2n7rj. Sejam g(r) = | | F i — r2(r)||

e h(r) = r||eÍQl(r) _{- e}iQ2_<r_{)||. Então, vale o seguinte}

Lema 3.2.5. Se

lim(ax(r) - a2(r)) = k € Z, Z7V r—*0

então ordr{g) = min{ordr(h), ^ ^ r} em que j = min{i : 0 Z } .

Prova. É suficiente observarmos a equação (1.3).

•

Observação 3.2.6. E claro que, se

^ U m ( a i ( r ) - a2( r ) ) £ Z,

então ordr(<?) = 1.

Com essas observações, já podemos concluir que se dois ramos (C, 0) e (D, 0)

possuem os mesmos expoentes característicos, então existe um germe de aplicação

subanalítica bi-Lipschitz F : (C, 0) —» (D, 0). Com efeito, decorre imediatamente dos

lemas 3.1.2 e 3.2.5 que

F(tn_{,y(t)) = (t\z(t))}

define um germe de aplicação subanalítica bi-Lipschitz de (C, 0) sobre (D, 0), em

que y{xn) e z(xi) são parametrizações de Newton-Puiseux de (C, 0) e (D, 0)

respec-tivamente.

Reciprocamente, suponhamos que F : (C, 0) —» (D, 0) seja um germe de

apli-cação subanalítica bi-Lipschitz e sejam y(x") e z(xn) parametrizações de

Newton-Puiseux de (C, 0) e (D, 0) respectivamente. Sejam n = multiplicidade(C, 0) e n =

Lema 3.2.7.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sejam Ex, E2 arcos de teste em (C, 0) descritos por

Ej(r) = (re^Mríe^))yxvutsrponmlkjifedcbaZXUTSRQPOMGEC G Sr(0) n E,-, j = 1, 2.

E sejam rx = F(EX), T2 = F(E2) arcos de teste em (D, 0) descritos por

^ • ( r ) = G Sr(0) n E,-, j = 1, 2.

Então

- í - l i m ( ax( r ) - a2( r ) ) G n Z

Z7T r->0

se, e somente se,

^ - l i m ( 7X( r ) - 72( r ) ) G nZ.

ITT r—»0

Prova. Suponhamos que

lim (crx(r) — a2(r)) = kn ; fceZ.

Z7T r-»0

Nesse caso, Ex e E2 definem dois triângulos complementares na superfície subanalítica

real (C, 0) cujos bordos são coincidentes e iguais a Ex U E2, mais ainda, um desses

triângulos somente admite arcos de teste tangentes aos arcos Ex e E2. Por outro lado,

se

- í - lim(7i(r) - 72(r)) - a £ nZ,

Zir r—»o

também temos dois triângulos complementares na superfície subanalítica real (D, 0)

cujos bordos são rxu r2 mas, neste caso, os dois triângulos admitem arcos de teste não

tangentes a Tx e T2 e, portanto, temos uma contradição ao fato de F ser subanalítica

bi-Lipschitz.

•

Proposição 3.2.8. n = h.

Prova. Suponhamos, por absurdo, que n > n e consideremos otj = 2jir, com

j = 0,... ,n — 1. Seja Ej o semi-ramo real em (C, 0) descrito por

Seja EzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj = F(Ej) descrito por

Sj(r) = (re^Mrh^)) E Sr(0) n Ç , j = 0 , . . . , n - 1

com <7o(r) ^ ... ^ a„_i(r) ^ a0(r) + 2wr.

Observemos que, pelo Lema 3.2.7, não é possível termos

- í - lim(o-„_i(r) - ao (r)) € nZ. 27T r—Q

Então, pelo Princípio das Gavetas, temos que existe j tal que

lim(CTj+1(r) - crj(r)) = 0.

r—>u

E, novamente, utilizamos o Lema 3.2.7, para afirmar que isto é um absurdo.

•

Sejam (mi, ni),..., (mg, ng) os pares característicos de (C, 0) e (pi, qi),..., (pg, q-g)

os pares característicos de (D, 0). Vale observar que n\.. .ng = n = q\.. .qg (vide

lema acima).

Proposição 3.2.9. mg = pg

Prova. Suponhamos, por absurdo, que mg > pg. Sejam r0, Ti os semi-ramos

reais em (C, 0) descritos por

1 1 2ni ...ng-1tr

• r0(r) = [r,y(rn)) T^r) = {r,y(r»e » )).

Claramente, temos

ord

||r

(r)

r^rJH

semi-ramos reais em (D, 0) descritos por

Ej ( r ) = (reia_{^\ z ^ e ^ ) ) <E Sr(0 ) n Ey, j = 0 ,1.}

Como F é bi-Lipschitz, temos ordr||E0(r) — Ei(r)|| = Assim, pelo Lema 3.2.5,

temos que

—í— lim(ao(r) - ai (r)) € Z.

2n7T r—>0 Mas, isto contradiz o Lema 3.2.7.