Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 341 Turma 1

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Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática

Exercícios de Análise I - MAT 341 Turma 1

1. Mostre que:

(a) Se α>0, então

+P∞ n=0

1

(α+n) (α+n+ 1) = 1 α. (b)

+P∞ n=1

1

n(n+ 1) (n+ 2) = 1 4. (c)

+P∞ n=3

4n−3

(n−2)n(n+ 3) = 23 15. (d)

+P∞ n=2

2n+ 3

(n−1)n(n+ 2) = 65 36.

2. Demonstre que a série dada é convergente e encontre sua soma.

(a) 1

a(a+b)+ 1

(a+b) (a+ 2b)+...+ 1

(a+ (n−1)b) (a+nb) +..., onde a, b >0.

(b) a+ (a+d)q+ (a+ 2d)q²+...+ (a+nd)qⁿ+..., onde |q|<1.

3. Sejam α e β números reais tais que0<α<β <1. Prove que a série 1

1^α + 1 2^β + 1

3^α + 1 4^β +...

diverge elim u2n

u2n+1

= 0.

4. Sejampeqnúmeros reais tais que0< p < q < 1. Mostre que a sériep+q²+p³+q⁴+...

converge elim u2n

u2n−1

= +∞. 5. (Critério de Kummer) Seja

+P∞ n=1

xn uma série de termos não-nulos. Demonstre que se existem uma sucessão (kn) de termos positivos, um número real h > 0 e um número naturalN tais que

kn−kn+1|xn+1|

|xn| > h para todon≥N, então a série

+P∞ n=1

xn é absolutamente convergente.

(2)

6. (Critério de Raabe¹) Seja(xn) uma seqüência de termos não-nulos. Demonstre que:

(a) Se existem um número real a >1 e um número naturalN tais que

|xn+1|

|xn| ≤1− a n para todon≥N, então a série

+P∞ n=1

(b) Se existem um número real a≤1 e um número naturalN tais que

|xn+1|

|xn| ≥1− a n para todo n ≥ N, então a série

+P∞ n=1

xn não é absolutamente convergente. Em particular, se(xn)é uma seqüência de termos positivos, então

+P∞ n=1

xn é divergente.

7. (Forma limite do critério de Raabe) Seja (xn) uma seqüência de termos não-nulos.

Suponha que exista

α= lim

½ n

µ

1− |xn+1|

|xn|

¶¾ .

Demonstre que:

(a) Se α>1então

+P∞ n=1

(b) Se α<1 então

+P∞ n=1

xn não é absolutamente convergente. Em particular, se (xn)é uma seqüência de termos positivos, então

+P∞ n=1

xn é divergente.

8. (Critério de condensação de Cauchy) Seja(an) uma sucessão não-crescente de termos não-negativos, isto é, a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ an+1 ≥ ... ≥ 0. Prove que a série

+P∞ n=1

an

converge se, e só se, a série

+∞

X

j=0

2^ja₂^j =a1+ 2a2+ 4a4+ 8a8+...

é convergente.

1Joseph L. Raabe (1801-1859) nasceu na Ucrânia e ensinou em Zurique. Trabalhou em geometria e análise.

(3)

9. (Efetividade do critério de Raabe) Mostre que:

(a) Se o critério da razão é conclusivo, então o critério de Raabe também o será.

(b) O critério de Raabe pode ser conclusivo quando o da razão não o é.

10. Prove que:

(a) A série P1.3.5...(2n−1)

2.4.6...(2n) diverge.

(b) Sendo k um número natural, a série

+P∞ n=2

n−1

n^k é convergente quando k > 2 e divergente quandok ≤2.

(c) A série

1 +k+ k(k+ 1)

2! + k(k+ 1) (k+ 2)

3! +...+k(k+ 1)...(k+n−1)

n! +...

é convergente sek <0e divergente se k ≥0.

11. Mostre que as séries abaixo são divergentes:

(a) P

n≥1

logn n . (b) P

n≥2

1 nlogn. (c) P

n≥2

1

(logn)^p onde p >0.

(d) P

n≥3

1

n(logn) (log logn). 12. Mostre que série P

n≥2

1

n(logn)^α diverge, se α≤1, e converge, se α>1.

13. Estude a convergência da série P

n≥3

1

n(logn) (log logn)^α. 14. Mostre que a série P

n≥2

1

(logn)^logⁿ é convergente e P

n≥3

1

(logn)^log(logⁿ⁾ é divergente.

15. (Critério de Du Bois Reymond²) Demonstre que se a série

+P∞ n=1

bn é convergente e

+P∞ n=1

(an−an+1) converge absolutamente, então a série

+P∞ n=1

anbn é convergente.

2P. Du Bois Reymond (1831-1899), matemático alemão.

(4)

16. (Critério de Dedekind) Demonstre que se a série

+P∞ n=1

(an−an+1) converge absolutamente, liman = 0 e as somas parciais da série

+P∞ n=1

bn são limitadas, então a série

+P∞ n=1

anbn é convergente.

17. Mostre que

Xn k=0

cos (a+kb) =

senn+ 1 2 b senb

2 cos

µ

a+ nb 2

¶ ,

Xn k=0

sen (a+kb) =

senn+ 1 2 b senb

2 sen

µ

a+nb 2

¶ .

18. Mostre que:

(a) P

(−1)ⁿcosnθ

n é divergente se θ = (2k−1)π, e convergente seθ 6= (2k−1)π.

(b) P

(−1)ⁿsennθ

logn é convergente para todo número real θ.

19. Sejaθ um número real. Prove que a série

+P∞ n=2

cosnθsen π 2n

nlog (logn) é convergente.

20. Seja k um número natural. Prove que se

+P∞ n=1

un é uma série cujas somas parciais são limitadas, então

+P∞ n=1

un

n^k é convergente.

21. (Teorema de Mertens³) Demonstre que se

+P∞ n=1

anconverge absolutamente para (a soma) A e

+P∞ n=1

bn converge (simplesmente) para B, então o produto de Cauchy dessas duas séries converge e tem somaAB.

22. (Teorema de Abel) Demonstre que se

+P∞ n=1

anconverge para (a soma)A,

+P∞ n=1

bn converge para B e o produto de Cauchy

+P∞ n=1

cn converge para C, então C =AB.

3Frans Mertens (1840-1927) estudou em Berlin e lecionou em Cracóvia e Viena. Contribui principalmente para a geometria, teoria dos números e álgebra.

(5)

23. Prove que se P

an converge absolutamente, então são absolutamente convergentes as séries:

(a) P an

1 +an

. (b) P

an2. (c) P an2

1 +an2. 24. Mostre seP

an2 e P

bn2 convergem, então P

anbn é convergente. Use este resultado para concluir que, para qualquer α> 1

2, X an

n^α, é uma série convergente.

25. Para qualquer x ∈ (0,+∞), o valor da função F, definida por F (x) = Z x

1

1 tdt, no ponto x pode ser interpretado graficamente como a área entre o eixo das abscissas, a curva 1

t, a reta vertical que passa por1e a reta vertical que passa por x.

(a) Prove que, para todo n∈IN, tem-se 1

n+ 1 <ln (n+ 1)−lnn < 1 n.

(b) Seja (an)a sucessão definida por an = 1 +1

2 +1

3 +...+ 1

n−lnn.

Mostre que(an) é decrescente e de termos não-negativos. Conclua que existe γ = lim

µ 1 + 1

2+ 1

3+...+ 1

n−lnn

¶ .

Este limite é chamadonúmero de Euler-Mascheroni.

26. Mostre que o produto de Cauchy da série

+P∞ n=1

(−1)ⁿ

n com ela mesma é a série 2

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1

µ 1 +1

2 +...+ 1 n

¶ .

Essa série converge? Justifique.

(6)

27. Use o exercício 25a para mostrar que, para todo m∈IN, µ

1 + 1 m

¶m

< e <

µ 1 + 1

m

¶m+1

.

Fazendo nessa desigualdade m = 1, 2, ..., n−1 obtenha, por multiplicação das de- sigualdades resultantes, que

nⁿ⁻¹

(n−1)! < eⁿ⁻¹ < nⁿ (n−1)!.

Conclua que o fatorial de npode ser estimado por meio da desigualdade nⁿe⁻ⁿ⁺¹ < n!< nⁿ⁺¹e⁻ⁿ⁺¹.

28. Mostre que a sériePaⁿn!

nⁿ converge sea < e e diverge se a≥e.

29. Por convenção, a soma da série

+P∞ n=0

1

n! é indicada pelo símbolo e. Seja rn o resto de ordem ndessa série. Mostre que 0< rn =e−sn < 1

n!n. Isto significa que ao utilizar sn como uma aproximação para e comete-se um erro (absoluto) não superior a 1

n!n. Assim,s10, por exemplo, é uma aproximação dee, com erro inferior a10⁻⁷.

30. Sejam rn o resto de ordem nda série

+P∞ n=0

1

n! e θn =rnn!n. Prove que e é um número irracional.

31. Dados números inteiros a1, a2, ...tais que 1≤ an ≤n−1, n= 2,3,4, ... Mostre que a soma da série

+P∞ n=1

an

n! é racional se, e somente se, existe um número natural N tal que an =n−1para todo n≥N.

32. Suponha que

+P∞ n=1

un seja uma série alternada, |un+1| ≤ |un| e limun = 0. Mostre que se rn é o resto de ordemn de

+P∞ n=1

un, então|rn| <|un+1|. Isto significa que ao utilizar sn =

Pn j=1

uj como uma aproximação para a somasda série (alternada)

+P∞ n=1

un, comete-se um erro (absoluto) não superior a |un+1|.

33. Prove que a série

+P∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n−1 é convergente. Ao utilizar a reduzida sn como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro. Se desejamos que o erro seja inferior a 10⁻⁴, qual deve ser o valor de n? Compare sua resposta com a informação dada no exercício 29 e conclua que a série

+P∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n−1 converge muito lentamente para sua soma.

(7)

34. SejamN um número natural e(un) uma seqüência tal que |un+1|

|un| ≤ q <1 para todo n ≥ N. Considere s a soma da série

+P∞ n=1

un e rn o seu resto de ordem n. Prove que as somas parciais sn são aproximações da soma s de acordo com a estimativa

|rn| = |s−sn| ≤ q

1−q|un|, para todo n ≥ N. Isto significa que ao utilizar sn como uma aproximação paras comete-se um erro (absoluto) não superior a q

1−q|un|. 35. Nas mesmas condições do exercício 34, prove que |s−sn| ≤ qⁿ⁺¹⁻^N

1−q |uN|, para todo n≥N.

36. Prove que a série

+P∞ n=1

n!

3.5.7...(2n+ 1) é convergente. Ao utilizar a reduzida sn como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro. Se desejamos que o erro seja inferior a10⁻⁴, qual deve ser o valor de n?

37. Dada uma série convergente de termos positivos P

an =S, prove que, se a partir de um certo índice N, √ⁿan ≤ q < 1, então as somas parciais Sn são aproximações da soma S de acordo com a estimativaS−Sn ≤ qⁿ⁺¹

1−q para n≥N.

38. Seja (xn) uma seqüência de termos não-nulos. Suponha que existem um número real a >1 e um número naturalN tais que |xn+1|

|xn| ≤1− a

n para todon≥N. Mostre que as somas parciais sn =

Pn j=1

xj são aproximações da soma s da série

+P∞ n=1

xn de acordo com a estimativa|s−sn|≤ n

a−1|xn+1| para todon≥N. 39. A série

+P∞ n=1

1

n(n+ 1) (n+ 2) é convergente. Ao utilizar a reduzidasncomo uma aproxi- mação para a soma dessa série comete-se um erro. Se desejamos que o erro seja inferior a 10⁻⁵, qual deve ser o valor de n?

(8)

Respostas e Sugestões (para exercícios selecionados).

1. (a) Observe que sk = Pk n=0

1

(α+n) (α+n+ 1) = Pk n=0

½ 1

α+n− 1 α+n+ 1

¾ . Daí, sk = ¡₁

α − _α+1¹ ¢ +¡ ₁

α+1 − _α+2¹ ¢ +¡ ₁

α+2 − _α+3¹ ¢ +¡ ₁

α+3 − _α+4¹ ¢ +¡ ₁

α+4 − _α+5¹ ¢ +...

+¡ ₁

α+k−3 − α+k¹−2

¢+¡ ₁

α+k−2 −α+k¹−1

¢+¡ ₁

α+k−1 − α+k¹

¢+¡ ₁

α+k − α+k+1¹

¢

Simplificando, obtém-se

sk = 1

α − 1

α+k+ 1. Fazendok →+∞, segue quelimsk= 1

α. (b) Inicialmente, note que 1

1.2 + 1 2.3+ 1

3.4 +...=

+P∞ n=1

1

n(n+ 1) = 1 e, por conseguinte, 1

2.3 + 1 3.4 + 1

4.5...=

+P∞ n=1

1

(n+ 1) (n+ 2) = 1

2. Portanto,

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1) (n+ 2) = 1 2

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1) − 1 2

+∞

X

n=1

1

(n+ 1) (n+ 2) = 1 2 − 1

4 = 1 4.

(c) Observe quesk = Pk n=3

4n−3

(n−2)n(n+ 3) = Pk n=3

½ 1

2 (n−2)+ 1

2n − 1 n+ 3

¾ . Daí, sk = ¡ ₁

2.1 +_2.3¹ − ¹6

¢+¡ ₁

2.2 +_2.4¹ − ¹7

¢ +¡ ₁

2.3 + _2.5¹ −¹8

¢+¡ ₁

2.4 +_2.6¹ − ¹9

¢ +¡ ₁

2.5 + _2.7¹ −10¹

¢+¡ ₁

2.6 +_2.8¹ − 11¹

¢ +¡ ₁

2.7 + _2.9¹ −₁₂¹¢ +¡ ₁

2.8 +_2.10¹ −₁₃¹¢ +¡ ₁

2.9 + _2.11¹ − ₁₄¹¢ +¡ ₁

2.10+ _2.12¹ − ₁₅¹ ¢ +¡ ₁

2.11 +_2.13¹ − ₁₆¹ ¢ +¡ ₁

2.12 +_2.14¹ −₁₇¹¢ +¡ ₁

2.13 +_2.15¹ − ₁₈¹ ¢ +¡ ₁

2.14 +_2.16¹ −₁₉¹¢ +¡ ₁

2.15 +_2.17¹ − 20¹

¢+...

+

³ 1

2.(k−13) +_2.(k¹₋₁₁₎− k−¹8

´ +

³ 1

2.(k−12) +_2.(k¹₋₁₀₎− k−¹7

´ +³

1

2.(k−11) +_2.(k¹₋₉₎ − k−¹6

´ +³

1

2.(k−10) +_2.(k¹₋₈₎ −k−¹5

´ +³

1

2.(k−9) + _2.(k¹₋₇₎ −_k₋¹₄´ +³

1

2.(k−8) +_2.(k¹₋₆₎ − _k₋¹₃´ +³

1

2.(k−7) + _2.(k¹₋₅₎ −_k₋¹₂´ +³

1

2.(k−6) +_2.(k¹₋₄₎ − _k₋¹₁´ +

³ 1

2.(k−5) + _2.(k¹₋₃₎ −k¹

´ +

³ 1

2.(k−4) +_2.(k¹₋₂₎ −k+1¹

´ +³

1

2.(k−3) + _2.(k¹₋₁₎ −k+2¹

´ +³

1

2.(k−2) +_2.k¹ − k+3¹

´

(9)

sk = _2.1¹ +_2.3¹ + _2.2¹ +_2.4¹ + _2.3¹ +_2.5¹ + _2.4¹ +_2.5¹

−_k₋¹₁ − ¹_k− _k+1¹ +_2(k¹₋₁₎ −_k+2¹ + _2k¹ −_k+3¹ .

Fazendok →+∞, segue quelimsk= 1 + 1 3 +1

5 = 23 15. (d) Note quesk =

Pk n=2

2n+ 3

(n−1)n(n+ 2) = Pk n=2

½ 10

6 (n−1)− 9

6n− 1 6 (n+ 2)

¾

. Assim, sk = ¡₁₀

6.1 −6.2⁹ − 6.4¹

¢+¡₁₀

6.2 − 6.3⁹ −6.5¹

¢ +¡₁₀

6.3 − 6.4⁹ − 6.6¹

¢+¡₁₀

6.4 −6.5⁹ − 6.7¹

¢ +¡₁₀

6.5 − 6.6⁹ − 6.8¹

¢+¡₁₀

6.6 −6.7⁹ − 6.9¹

¢ +¡₁₀

6.7 − 6.8⁹ − 6.10¹

¢+¡₁₀

6.8 − 6.9⁹ −6.11¹

¢ +¡₁₀

6.9 − _6.10⁹ − _6.12¹ ¢ +¡ ₁₀

6.10 −_6.11⁹ −_6.13¹ ¢ +¡ ₁₀

6.11 −_6.12⁹ −_6.14¹ ¢ +¡ ₁₀

6.12− _6.13⁹ − _6.15¹ ¢ +¡ ₁₀

6.13 −_6.14⁹ −_6.16¹ ¢ +¡ ₁₀

6.14− _6.15⁹ − _6.17¹ ¢ +¡ ₁₀

6.15 −6.16⁹ −6.18¹

¢+¡ ₁₀

6.16− 6.17⁹ − 6.19¹

¢ +¡ ₁₀

6.17 −6.18⁹ −6.20¹

¢+...

+

³ 10

6.(k−12) −6.(k⁹−11) −6.(k¹−9)

´ +

³ 10

6.(k−11) − 6.(k⁹−10) −6.(k¹−8)

´ +³

10

6.(k−10) −6.(k⁹−9) − 6.(k¹−7)

´ +³

10

6.(k−9) − 6.(k⁹−8) −6.(k¹−6)

´ +³

10

6.(k−8) − _6.(k⁹₋₇₎ − _6.(k¹₋₅₎´ +³

10

6.(k−7) − _6.(k⁹₋₆₎ − _6.(k¹₋₄₎´ +³

10

6.(k−6) − _6.(k⁹₋₅₎ − _6.(k¹₋₃₎´ +³

10

6.(k−5) − _6.(k⁹₋₄₎ − _6.(k¹₋₂₎´ +³

10

6.(k−4) − 6.(k⁹−3) − 6.(k¹−1)

´ +³

10

6.(k−3) − 6.(k⁹−2) − 6.k¹

´ +³

10

6.(k−2) − 6.(k⁹−1) − 6.(k+1)¹

´ +³

10

6.(k−1) − 6.k⁹ − 6.(k+2)¹

´

Simplificando, obtém-se sk = 10

6.1 − 9

6.2 + 10 6.2− 9

6.3+ 10 6.3 − 1

6k − 1

6 (k+ 1) − 9

6k − 1 6 (k+ 2). Fazendok →+∞, segue quelimsk= 10

6 + 1 6.2 + 1

6.3 = 65 36. 2. (a) Note que un= 1

(a+ (n−1)b) (a+nb) = 1 b

½ 1

a+ (n−1)b − 1 a+nb

¾

. Assim, bsk = b

Xk n=1

un

= ¡₁

a− a+b¹

¢+¡ ₁

a+b − a+2b¹

¢+¡ ₁

a+2b − a+3b¹

¢ +...

+³

1

a+(k−3)b −a+(k¹−2)b

´ +³

1

a+(k−2)b − a+(k¹−1)b

´ +³

1

a+(k−1)b − a+kb¹

´ .

(10)

sk = 1 b

µ1

a − 1

a+kb

¶ .

Fazendok →+∞, segue quelimsk= 1 ab

(b) A soma parcial de ordem k da série é dada por

sk = a+ (a+d)q+ (a+ 2d)q²+...+ (a+ (k−1)d)q^k⁻¹+ (a+kd)q^k

= a¡

1 +q+q²+...+q^k⁻¹+q^k¢ +d£

q+ 2q²+ 3q³+...+ (k−1)q^k⁻¹+kq^k¤

= a1−q^k+1 1−q +d

· q

1−q.1−q^k 1−q − k

1−qq^k+1

¸

Fazendok →+∞e lembrando que |q|<1, tem-selimsk = a

1−q + dq (1−q)². 3. Como0<α <β <1, para todonnatural, 1

n ≤ 1 n^β ≤ 1

n^α. Logo, 1

1^α + 1 2^β + 1

3^α + 1 4^β + 1

5^α +...≥ 1 1^β + 1

2^β + 1 3^β + 1

4^β + 1

5^β +...≥ Xk n=1

1 n. Ora, a série harmônica é divergente. Portanto, pelo critério de comparação, 1

1^α+ 1 2^β + 1

3^α + 1 4^β + 1

5^α+...é divergente. Além disso, porqueβ =α+k para um número realk,

lim u2n

u2n+1

= lim(2n+ 1)^α

(2n)^β = lim µ

1 + 1 2n

¶α

(2n)^k = 0.

4. Seja sk a soma parcial de ordemk da série p+q²+p³+q⁴+... Então, s2n = p+q² +...+p²ⁿ⁻³+q²ⁿ⁻²+p²ⁿ⁻¹+q²ⁿ

= ¡

p+p³+...+p²ⁿ⁻¹¢ +¡

q²+q⁴ +...+q²ⁿ¢

= p1−(p²)ⁿ

1−p² +q²1−(q²)ⁿ 1−q² , e

s2n−1 = p+q² +...+q²ⁿ⁻⁴+p²ⁿ⁻³+q²ⁿ⁻²+p²ⁿ⁻¹

= ¡

p+p³+...+p²ⁿ⁻¹¢ +¡

q²+q⁴ +...+q²ⁿ⁻²¢

= p1−(p²)ⁿ

1−p² +q²1−(q²)ⁿ⁻¹ 1−q² .

(11)

Como 0 < p < q < 1, segue que lims2n = p

1−p² + q²

1−q² = lims2n−1. Portanto, a série é convergente e tem soma p

1−p² + q²

1−q². Além disso, porque q p >1,

lim u2n

u2n−1

= lim q²ⁿ

p²ⁿ⁻¹ = limp µq

p

¶2n

= +∞.

5. Note que a seqüência(tn)das somas parciais da série

+P∞

k=N|xk|é (monótona) crescente e, portanto, converge se,e só se, for limitada. Por hipótese, para todo n≥N,

kn−kn+1|xn+1|

|xn| > h⇔kn|xn|−kn+1|xn+1|> h|xn|>0.

Deste modo, a seqüência (kn|xn|) é eventualmente (monótona) decrescente (a partir de N). Mais ainda, porque (kn) é uma seqüência de termos positivos, para todo n, 0 < kn|xn| ≤ max{k1|x1|, ..., kN|xN|}. Assim, (kn|xn|) é uma seqüência eventualmente monótona e limitada e, por conseguinte, converge. Considere λ = limkn|xn|= inf{kn|xn|}. Da desigualdade acima, para todon≥N,

kN|xN|−kN+1|xN+1|> h|xN|, kN+1|xN+1|−kN+2|xN+2|> h|xN+1|, kN+2|xN+2|−kN+3|xN+3|> h|xN+2|, kN+3|xN+3|−kN+4|xN+4|> h|xN+3|,

...

kn−2|xn−2|−kn−1|xn−1|> h|xn−2|, kn−1|xn−1|−kn|xn|> h|xn−1|,

kn|xn|−kn+1|xn+1|> h|xn|. Somando membro a membro, kN |xN|− kn+1|xn+1| > h

Pn

k=N|xk| = htn > 0. Por- tanto, tn< 1

h(k1|x1|−λ)ou, equivalentemente,(tn)é limitada. Como a série

+P∞ k=N|xk| converge, segue que

+∞

X

k=1

|xk|=|x1|+|x2|+...+|xN|+|xN+1|+...

também converge.

6. Desenvolva um raciocínio análogo ao do exerc. 5.

7. Ponha a= α+ 1

2 e obtenha as condições do exerc. 6.

8. Considere (sm) a seqüência de reduzidas da série

+P∞ n=1

an e (tn) a seqüência das somas parciais da série

+P∞ j=0

2^ja2^j. Verifique que 1

2tn≤s2ⁿ ≤tn.

(12)

9. (a) Por hipótese, existem0< c <1 e um número natural N tais que, para todo n > N,

|xn+1|

|xn| ≤c. Então,n µ

1−|xn+1|

|xn|

¶

≥n(1−c)≥a >1paransuficientemente grande.

(b) O critério da razão é inconcludente sobre a convergência da série

+P∞ n=1

1

n². Por outro lado, o critério de Raabe permite concluir que essa série é convergente.

10. Use o critério de Raabe (exerc. 6) ou a forma limite do critério de Raabe (exerc. 7).

11. Use o critério de condensação de Cauchy (exerc. 8).

15. SejaBn =b1+b2+...+bn. Quaisquer que sejam os números naturais m > n, tem-se a fórmula (de transformação) de Abel

Xm j=n+1

ajbj = (am+1Bm−an+1Bn) + Xm j=n+1

(aj−aj+1)Bj.

Daí, Xm j=n+1

ajbj =−Bm

Xm j=n+1

(aj −aj+1) +an+1(Bm−Bn) + Xm j=n+1

(aj −aj+1)Bj.

Usaremos essa igualdade para mostrar que (ζ_n), onde ζ_n = Pn j=1

ajbj, é uma seqüência de Cauchy (o que é equivalente a afirmar que a série

+P∞ j=1

ajbj converge). Para isso, observe que por hipótese:

(a) Existe λ = limsn, onde sn = Pn j=1

(aj −aj+1). Ora, sn = a1 −an+1 e, por conseguinte, liman+1 = a1 − λ. Em particular, (an+1) é uma sucessão limitada.

Logo, existeL >0 tal que |an+1|≤L para todon∈IN.

(b) Existe limBn. Deste modo,(Bn) é uma sucessão limitada, ou seja, existe M >0 tal que, para todon∈IN,|Bn|≤M. Além disso,(Bn)é uma sucessão de Cauchy.

Assim , existen1 ∈IN tal que para todos m, n≥n1

|Bm−Bn|=|bn+1+bn+2+...+bm−1+bm|< ε 3L.

(c) Existe limtn, onde tn = Pn

j=1|aj −aj+1|. Em particular, (tn) é uma sucessão (não- decrescente) de Cauchy e, portanto, existen2 ∈IN tal que para todos m, n≥n2

tm−tn =|an+1−an+2|+|an+2−an+3|+...+|am−1−am|+|am−am+1|< ε 3M.

(13)

Sejan0 = max{n1, n2}. Do exposto acima (e da desigualdade triangular), decorre que para todosm, n≥n0,

|ζ_m−ζ_n| =

¯¯

¯ Xm j=n+1

ajbj

¯¯

¯

≤ |Bm| Xm j=n+1

|aj−aj+1| |Bj|

≤ M.(tm−tn) +L.|Bm−Bn|+M(tm−tn)

< M. ε

3M +L. ε

3L +M. ε 3M =ε.

16. Use a fórmula de transformação de Abel e um raciocínio semelhante ao do exerc. 15 para mostrar que a seqüência(ζ_n)das somas parciais da série

+P∞ j=1

ajbj é de Cauchy.

17. Note que

Xn k=0

cos (a+kb) = 1 2 senb

2 Xn

k=0

2 sen b

2cos (a+kb),

e

Xn k=0

sen (a+kb) = 1 2 sen b

2 Xn k=0

2 sen b

2sen (a+kb).

Usando identidades trigonométricas, reduza os somatórios a duas parcelas. Para concluir, uma vez mais, use identidades trigonométricas. Alternativamente, pode-se utilizar números complexos. Neste caso, parta de

Pn k=0

e^i(a+kb). 21. SejamAn =

Pn k=1

ak, Bn= Pn k=1

bk, Cn = Pn k=1

ck,β_n =Bn−B. Então,

Cn = a1b1+ (a1b2+a2b1) +...+ (a1bn+a2bn−1+...+an−1b2+anb1)

= a1Bn+a2Bn−1+...+an−1B2+anB1

= a1(β_n+B) +a2

¡β_n₋₁+B¢

+...+an−1(β₂+B) +an(β₁+B)

= AnB+γ_n

ondeγ_n=a1β_n+a2β_n₋₁+...+an−1β₂+anβ₁. ComolimAnB =AB, basta mostrar que limγ_n = 0. Note que lim

k→+∞ak = 0, lim

k→+∞β_k = 0 e, por hipótese, existe α =

+P∞ k=1|ak|. Ora, α > 0. Assim, para todo ε > 0, existe N ∈ IN, tal que para todo n > N,

(14)

|β_n|< ε

α. Logo, paran > N,

|γ_n| ≤ ¯¯β₁an+β₂an−1+...+β_N₋₁an−N+2+β_Nan−N+1

¯¯ +¯¯β_N+1an−N +β_N+2an−N−1+...+β_n₋₁a2+β_na1

¯¯

≤ ¯¯β₁an+β₂an−1+...+β_N₋₁an−N+2+β_Nan−N+1

¯¯ +ε

α(|an−N|+|an−N−1|+...+|a2|+|a1|)

≤ ¯¯β₁an+β₂an−1+...+β_N₋₁an−N+2+β_Nan−N+1

¯¯+ε

Mantendo N fixo e fazendo n→+∞, obtém-se que 0≤lim|γ_n|≤ε para todoε >0.

Portanto,lim|γ_n|= 0.

22. Parafixar as idéias, considere a tábua de produtos dos termos das séries

+P∞ i=1

ai e

+P∞ j=1

bj: a1b1 · · · a1bn−2 a1bn−1 a1bn a1bn+1 a1bn+2 · · ·

... ... ... ... ... ...

an−2b1 · · · an−2bn−2 an−2bn−1 an−2bn an−2bn+1 an−2bn+2 · · · an−1b1 · · · an−1bn−2 an−1bn−1 an−1bn an−1bn+1 an−1bn+2 · · · anb1 · · · anbn−2 anbn−1 anbn anbn+1 anbn+2 · · · an+1b1 · · · an+1bn−2 an+1bn−1 an+1bn an+1bn+1 an+1bn+2 · · · an+2b1 · · · an+2bn−2 an+2bn−1 an+2bn an+2bn+1 an+2bn+2 · · ·

... ... ... ... ... ...

Sejam tn = Pn i=1

ai · Pn j=1

bj = (a1+...+an) (b1+...+bn) e (Cn) a seqüência das somas parciais do produto de Cauchy

+P∞ n=1

cn. Por hipótese, limtn = AB e, por conseguinte, (tn)é uma seqüência de Cauchy. Daí, existe n1 ∈IN tal que para todosm, n≥n1,

|tn−AB|< ε 2, e

|tm−tn|=

¯¯

¯ Xm

i=1

ai· Xm

j=1

bj − Xn

i=1

ai· Xn

j=1

bj

¯¯

¯=

¯¯

¯ Xm i,j>n

aibj

¯¯

¯< ε 2.

Consideren0 = 2n1+ 1. Observe quen0 > n1 e que para todo número naturalN > n0,

|CN −tn1|=

¯¯

¯ XN n=1

cn−

n1

X

i=1

ai·

n1

X

j=1

bj

¯¯

¯=

¯¯

¯ XN i,j>n1

aibj

¯¯

¯. Deste modo, para todoN > n0,

|CN −AB|≤|tn1 −AB|+|CN −tn1|< ε 2+ ε

2 =ε.

Portanto,limCn =AB.

(15)

23. (a)liman= 0. Logo, existe um número naturaln0 tal que1 +an> 1

2 para todon > n0. Daí,

¯¯

¯¯ an

1 +an

¯¯

¯¯<2|an|. (b)|an|≤M. Logo, an2

≤M|an|. (c) Use os itens anteriores.

24. Use que a desigualdade xy≤ x²+y² 2 . 26. Sim. Com efeito, seja un = 1

n+ 1 µ

1 +1

2+...+ 1 n

¶

. Então, a seqüência (un) é decrescente pois un −un+1 > 0. Além disso, un = an

n+ 1 + 2ln√ n

n+ 1, onde (an) é a seqüência definida no exerc. 25. Daí,limun = 0. Do critério de Leibniz, conclui-se que a série (alternada)

+P∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1

µ 1 +1

2 +...+ 1 n

¶

converge.

33. n= 5001.

36. n= 11.

39. n= 1000.