Aula04 Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Aula04

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Texto

(1)

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA

PROJETO: TECNOLOGIASDEINFORMAÇÃOECOMUNICAÇÃONOPROCESSODEENSINOEAPRENDIZAGEM DEMATEMÁTICA

Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o

Software

Winplot

Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teixeira Barcelos

(2)

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA

PROJETO: TECNOLOGIASDEINFORMAÇÃOECOMUNICAÇÃONOPROCESSODEENSINOEAPRENDIZAGEM DEMATEMÁTICA

Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot

Seção 1

A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a utilização do software Winplot.

Conhecendo o Software Winplot

O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um disquete. É um programa gratuito, disponível em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html .

Para abrir o Winplot, clique duas vezes no ícone . Com isso, se abrirá a janela inicial do software:

Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções:

(3)

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada:

Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintaxe do

software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaixo apresentamos a sintaxe de algumas funções elementares:

Função xn ax x n x logx lnx x senx cosx

Sintaxe x^n a^n sqrt(x) root(n, x) log(x) ln(x) abs(x) sin(x) cos(x)

Para personalizar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível fazer algumas escolhas:

setas Exibe os eixos com setas escala Exibe as escalas nos eixos

rótulos Exibe os rótulos x e y, nos respectivos eixos grade Exibe linhas de grade no plano do gráfico

Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela principal), em seguida deslize o cursor até Cores e, então, selecione Fundo.

Tomemos, como exemplo, a função f(x)= x4 + x2+x−1, para analisarmos outros recursos do Winplot.

Aumentando o valor na caixa “espessura da linha”, obtêm-se gráficos com linhas mais

“grossas”.

É possível visualizar a equação do gráfico construído, na cor do gráfico, e no local desejado. Para visualizar a equação, clique em equação na janela inventário.Para arrastar a equação pela tela

e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no

alto da janela principal) e, em seguida, selecione

Texto. Clique, então, sobre a equação, com o botão

(4)

Para encontrar os zeros ou raízes de uma função entre em Um (no alto da janela principal)e, a seguir, em zeros. Para descobrir outras raízes da função, caso existam, basta clicar em próximo. Considerando a função f(x)= x4 + x2+x−1, temos:

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, caso existam, entre em Um e a seguir em Extremos. Para descobrir um outro ponto extremante, caso exista, basta clicar em próximo extremo de. Considerando a função f(x)= x4 + x2+x−1, temos:

Para encontrar a imagem de um determinado valor de x, clique em Um e, a seguir, em Traço. Digite o valor de x na linha onde se vê “x =” e tecle enter.

Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois (no alto da janela principal)e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto de interseção, caso exista, basta clicar em prox interseção. Considerando as funções

1 )

(x = x4 + x2+x

f e g(x)=3 x2+1, temos:

(5)

È possível ampliar ou reduzir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down, respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:

.

Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique em Equação e, em seguida, em Explícita. No campo “f(x) =”, digite joinx (lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta lei 1 no intervalo xa, lei 2 no intervalo a< xb, e assim sucessivamente, até a última lei lei n no intervalo formado pelos demais valores. Consideremos o seguinte exemplo:

Se desejar limitar um intervalo de x, à esquerda e à direita, para a função

considerada, preencha os campos x mín e x máx e, a seguir, marque travar intervalo. No exemplo abaixo a função foi restrita ao intervalo [-3,3].

> +

≤ < − −

− ≤ +

=

2 se , 7 2

2 1

se , 1

1 se , 1

)

( 2

x x

x x

x x

(6)

Para visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), utiliza-se a opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção 3-dim na coluna de comandos.

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como exemplo, consideremos a função dada por f(x,y) = x2 .

x

y z

(7)

2ª Parte

A 2ª parte deste material é composta de atividades abordando função do 2º grau (transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Função do 2º Grau - Transformações Gráficas

1. Comparação da função y = x2 com as funções da forma y = x2 + p, sendo p IR.

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

1.1 y = x^2 1.4 y = x^2 – 3 1.2 y = x^2 + 2 1.5 y = x^2 – 1 1.3 y = x^2 + 4

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

1.1 __________________________________ 1.4 ________________________________ 1.2 __________________________________ 1.5_________________________________ 1.3 __________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = x2 +

p (p ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções

do tipo y = x2 + p (p IR).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro p, das funções da forma y = x2 + p (p IR), causa sobre o gráfico da

função y = x2 ?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

2. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = (x + h)2 sendo h IR.

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

2.1 y = x^2 2.4 y = (x - 3)^2 2.2 y = (x + 1)^2 2.5 y = (x + 4)^2 2.3 y = (x - 1)^2

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

(8)

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = (x +

h)2 (h ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do

tipo y = (x + h)2 (h IR).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2 (h ∈ IR), causa sobre o gráfico da

função y = x2 ?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y =

ax2 sendo a∈ IR*+

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

3.1 y = x^2 3.3 y = 2 2 3

^

x 3.5 y =

2 1x^2

3.2 y = 2x^2 3.4 y = 3 2

x^2

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

3.1 ________________________________ 3.4 _________________________________ 3.2 ________________________________ 3.5_________________________________ 3.3 ________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2

(a∈ IR*+). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções

do tipo y = ax2 (a∈ IR+*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a IR

+*), causa sobre o gráfico da função y = x2?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

4. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y =

ax2 sendo a∈ IR-*.

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

4.1 y = x^2 4.3 y = - 2x^2

4.2 y = - x^2 4.4 y = - 2 2 1

^

x

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

(9)

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y =

ax2 (a∈ IR-*). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do

tipo y = ax2 (a∈ IR-*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR-*), causa sobre o gráfico da função y = x2?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5. Determine o que se pede em cada item :

a) utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola;

c) determine o conjunto imagem de cada uma das funções;

d) indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2.

5.1 y = (x – 3)2 + 2

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.2 y = (x + 1)2 – 4

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.3 y = 2(x + 1)2 + 1

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.4 y = - 4 1

(x – 2)2 + 3

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

6. A partir das observações feitas nos exercícios anteriores, determine as coordenadas do vértice das parábolas que representam as funções da forma y = a (x + i)2 + p, sabendo que a ∈ IR*, i ∈ IRe p ∈ IR.

(10)

7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR → IR definida por f(x) = (xa)2b , onde a e b são números reais positivos, é:

a) c) e)

b) d)

3ª Parte

A 3ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Sistemas Lineares – Análise Gráfica

1. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas

Seja o sistema linear S1:

= +

= +

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

No qual a1, a2,b1,b2,c1,c2 são números reais.

Consideremos:

) , ( 1 1

1 a b

l = e l2 =(a2,b2);

)

,

,

(

1 1 1

1

a

b

c

L

=

e L2 = (

,

,

)

2 2 2

b

c

a

,

com l1 e l2 não nulos e, conseqüentemente, L1 e L2 também não nulos. As duas

equações do sistema S1 representam retas, que chamaremos

r

1 e

r

2.

(11)

Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas

a) As duas retas coincidem.

r

1

=

r

2

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y) da reta

1

r

(ou

r

2, já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado.

Condição algébrica:

Existe k, real não nulo,tal que:

L2 = kL1

(ou seja, L2 é múltiplo de L1).

b) As duas retas são paralelas.

r

1

r

2

Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível.

Condição algébrica:

Existek, kR*,tal quel2 = kl1mas, L2

kL1.

c) As duas retas são concorrentes.

Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado.

Condição algébrica:

Para todok, k R, l2

kl1(ou seja, l2 não é múltiplo de l1).

1

r

2

(12)

2. Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas

Seja o sistema linear S2:

= + + = + + = + + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a

No qual

a

1

,

a

2

,

a

3

,

b

1

,

b

2

,

b

3

,

c

1

,

c

2

,

c

3

,

d

1

,

d

2

,

d

3 são números reais.

Consideremos:

)

,

,

(

1 1 1

1

a

b

c

l

=

,

(

,

,

)

2 2 2

2

a

b

c

l

=

e

(

,

,

)

3 3 3 3

a

b

c

l

= ;

) , , ,

( 1 1 1 1 1 a b c d

L = , L2 = ( , , , )

2 2 2 2 b c d

a e L3 = (

a

3

,

b

3

,

c

3

,

d

3

)

,

com l1, l2 e l3 não nulos e, conseqüentemente, L1, L2 e L3 também não nulos. As três

equações do sistema S2 representam planos, que chamaremos

π

1,

π

2 e

π

3.

São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.

Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas

a) Os três planos coincidem.

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) do plano

1

π

(ou

2

π

ou

3

π

, já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau 2.

Condição algébrica:

Existem k e p, reais não nulos,tais que:

L2 = kL1 e L3 = pL1

(13)

b) Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

Existe k, kR*,tal que L2 = kL1e existe p, pR*,talquel3= pl1, mas, L3pL1.

c) Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (x, y, z) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.

Condição algébrica:

Existe k, kR*,tal que L2 = kL1e para todo p, pR, l3 pl1.

d) Os três planos são paralelos entre si

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

(14)

e) Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

Existek, k R*,tal quel2 = kl1mas L2kL1 e para todo p, pR,l3 pl1.

f) Os três planos têm exatamente uma reta comum

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.

Condição algébrica:

l1, l2 e l3são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, masL3= kL1 + pL2

(isto é,L3 é uma combinação linear de L1e L2, sendo kR* e pR*).

g)

Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

(15)

h) Os três planos têm exatamente um ponto em comum

Nesse caso, o sistema admite uma única solução.

Condição algébrica:

l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso significa queodeterminante formado pelas componentes de l1, l2 e l3 é diferente de zero:

0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ≠ c b a c b a c b a Bibliografia

LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1992. MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1982.

Atividades

1. Com auxílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaixo, classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou impossível.

Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela 2-dim; de d até l, na janela 3-dim.

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2. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e, utilizando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

a) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas concorrentes;

b) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas paralelas;

c) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano;

d) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos paralelos entre si;

e) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os; f) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja

composta de 2 planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os;

g) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos distintos que possuam uma reta comum.

Imagem

Referências