Aula04 Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Aula04

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA

PROJETO: TECNOLOGIASDEINFORMAÇÃOECOMUNICAÇÃONOPROCESSODEENSINOEAPRENDIZAGEM DEMATEMÁTICA

Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o

Software

Winplot

Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teixeira Barcelos

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA

PROJETO: TECNOLOGIASDEINFORMAÇÃOECOMUNICAÇÃONOPROCESSODEENSINOEAPRENDIZAGEM DEMATEMÁTICA

Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot

Seção 1

A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a utilização do software Winplot.

Conhecendo o Software Winplot

O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um disquete. É um programa gratuito, disponível em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html .

Para abrir o Winplot, clique duas vezes no ícone . Com isso, se abrirá a janela inicial do software:

Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções:

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada:

Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintaxe do

software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaixo apresentamos a sintaxe de algumas funções elementares:

Função xn ax _x n _{x logx lnx x} senx cosx

Sintaxe x^n a^n sqrt(x) root(n, x) log(x) ln(x) abs(x) sin(x) cos(x)

Para personalizar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível fazer algumas escolhas:

setas Exibe os eixos com setas escala Exibe as escalas nos eixos

rótulos Exibe os rótulos x e y, nos _{respectivos eixos} grade Exibe linhas de grade no plano _{do gráfico}

Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela principal), em seguida deslize o cursor até Cores e, então, selecione Fundo.

Tomemos, como exemplo, a função _f(_x)= _x4 + _x2+_x−1, para analisarmos outros recursos do Winplot.

Aumentando o valor na caixa “espessura da linha”, obtêm-se gráficos com linhas mais

“grossas”.

É possível visualizar a equação do gráfico construído, na cor do gráfico, e no local desejado. Para visualizar a equação, clique em equação na janela inventário.Para arrastar a equação pela tela

e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no

alto da janela principal) e, em seguida, selecione

Texto. Clique, então, sobre a equação, com o botão

Para encontrar os zeros ou raízes de uma função entre em Um (no alto da janela principal)e, a seguir, em zeros. Para descobrir outras raízes da função, caso existam, basta clicar em próximo. Considerando a função _f(_x)= _x4 + _x2+_x−1, temos:

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, caso existam, entre em Um e a seguir em Extremos. Para descobrir um outro ponto extremante, caso exista, basta clicar em próximo extremo de. Considerando a função _f(_x)= _x4 + _x2+_x−1, temos:

Para encontrar a imagem de um determinado valor de x, clique em Um e, a seguir, em Traço. Digite o valor de x na linha onde se vê “x =” e tecle enter.

Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois (no alto da janela principal)e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto de interseção, caso exista, basta clicar em prox interseção. Considerando as funções

1 )

(_x = _x4 + _x2+_x−

f e _g(_x)=3 _x2+1, temos:

È possível ampliar ou reduzir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down, respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:

.

Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique em Equação e, em seguida, em Explícita. No campo “f(x) =”, digite joinx (lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta lei 1 no intervalo x≤a, _{lei 2} no intervalo _a< _x≤_b, e assim sucessivamente, até a última lei lei n no intervalo formado pelos demais valores. Consideremos o seguinte exemplo:

Se desejar limitar um intervalo de x, à esquerda e à direita, para a função

considerada, preencha os campos x mín e x máx e, a seguir, marque travar intervalo. No exemplo abaixo a função foi restrita ao intervalo [-3,3].

> +

−

≤ < − −

− ≤ +

=

2 se , 7 2

2 1

se , 1

1 se , 1

)

( 2

x x

x x

x x

Para visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), utiliza-se a opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção 3-dim na coluna de comandos.

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como exemplo, consideremos a função dada por _{f(x,y) = x}2 _.

x

y z

2ª Parte

A 2ª parte deste material é composta de atividades abordando função do 2º grau (transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Função do 2º Grau - Transformações Gráficas

1. Comparação da função y = x2 _{com as funções da forma y = x}2 _{+ p, sendo p∈ IR.}

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

1.1 y = x^2 1.4 y = x^2 – 3 1.2 y = x^2 + 2 1.5 y = x^2 – 1 1.3 y = x^2 + 4

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

1.1 __________________________________ 1.4 ________________________________ 1.2 __________________________________ 1.5_________________________________ 1.3 __________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e da família de funções} y = x2 ₊

p (p ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e anime o gráfico das funções}

do tipo y = x2 _{+ p (p ∈ IR).}

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro p, das funções da forma y = x2 _{+ p (p ∈ IR), causa sobre o gráfico da}

função y = x2 _?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

2. Comparação da função y = x2 _{com as funções do tipo y = (x + h)}2 _{sendo h∈ IR.}

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

2.1 y = x^2 2.4 y = (x - 3)^2 2.2 y = (x + 1)^2 2.5 y = (x + 4)^2 2.3 y = (x - 1)^2

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e da família de funções y = (x +}

h)2 (h ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e anime o gráfico das funções do}

tipo y = (x + h)2 _{(h ∈ IR).}

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2 (h ∈ IR), causa sobre o gráfico da

função y = x2 _?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3. Comparação da função y = x2 _{com as funções do tipo y =}

ax2 sendo a∈ IR*₊

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

3.1 y = x^2 3.3 y = 2 2 3

^

x 3.5 y =

2 1_x^2

3.2 y = 2x^2 3.4 y = 3 2

x^2

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

3.1 ________________________________ 3.4 _________________________________ 3.2 ________________________________ 3.5_________________________________ 3.3 ________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e da família de funções y = ax}2

(a∈ IR*₊). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e anime o gráfico das funções}

do tipo y = ax2 (a∈ IR₊*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 _{(a ∈ IR}

+*), causa sobre o gráfico da função y = x2_?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

4. Comparação da função y = x2 _{com as funções do tipo y =}

ax2 sendo a∈ IR_-*.

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

4.1 y = x^2 4.3 y = - 2x^2

4.2 y = - x^2 4.4 y = - 2 2 1

^

x

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e da família de funções y =}

ax2 (a∈ IR_-*). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 _{e anime o gráfico das funções do}

tipo y = ax2 (a∈ IR_-*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR_-*), causa sobre o gráfico da função y = x2_?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5. Determine o que se pede em cada item :

a) utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola;

c) determine o conjunto imagem de cada uma das funções;

d) indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2_.

5.1 y = (x – 3)2 _{+ 2}

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.2 y = (x + 1)2 _{– 4}

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.3 y = 2(x + 1)2 _{+ 1}

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.4 y = - 4 1

(x – 2)2 _{+ 3}

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

6. A partir das observações feitas nos exercícios anteriores, determine as coordenadas do vértice das parábolas que representam as funções da forma y = a (x + i)2 + p, sabendo que a ∈ IR*, i ∈ IRe p ∈ IR.

7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR → IR definida por f(x) = (x – a)2 _{– b , onde a e b são números reais positivos, é:}

a) c) e)

b) d)

3ª Parte

A 3ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Sistemas Lineares – Análise Gráfica

1. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas

Seja o sistema linear S1:

= +

= +

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

No qual a₁, a₂,b₁,b₂,c₁,c₂ são números reais.

Consideremos:

) , ( _{1 1}

1 a b

l = e _l2 =_(a2,b2);

)

,

,

(

_{1 1 1}

1

a

b

c

L

=

e L₂ = (

_,

_,

₎

2 2 2

b

c

a

,

com l1 e l2 não nulos e, conseqüentemente, L1 e L2 também não nulos. As duas

equações do sistema S1 representam retas, que chamaremos

r

1 e

r

2.

Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas

a) As duas retas coincidem.

r

₁

=

r

₂

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y) da reta

1

r

(ou

r

₂, já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado.

Condição algébrica:

Existe k, real não nulo,tal que:

L2 = kL1

(ou seja, L2 é múltiplo de L1).

b) As duas retas são paralelas.

r

₁

r

₂

Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível.

Condição algébrica:

Existek, k∈R*,tal quel_{2 = k}l_{1mas, L2}

≠

k_L1.

c) As duas retas são concorrentes.

Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado.

Condição algébrica:

Para todok, k ∈ R, l₂

≠

_kl₁(ou seja, _l2 não é múltiplo de _l1).

1

r

2

2. Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas

Seja o sistema linear S2:

= + + = + + = + + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a

No qual

a

₁

,

a

₂

,

a

₃

,

b

₁

,

b

₂

,

b

₃

,

c

₁

,

c

₂

,

c

₃

,

d

₁

,

d

₂

,

d

₃ são números reais.

Consideremos:

)

,

,

(

_{1 1 1}

1

a

b

c

l

=

,

₍

_,

_,

₎

2 2 2

2

a

b

c

l

=

e

₍

_,

_,

₎

3 3 3 3

a

b

c

l

= ;

) , , ,

( _{1 1 1 1} 1 a b c d

L = , L₂ = ( _{, , , )}

2 2 2 2 b c d

a e L3 = (

a

₃

,

b

₃

,

c

₃

,

d

₃

)

,

com l1, l2 e l3 não nulos e, conseqüentemente, L1, L2 e L3 também não nulos. As três

equações do sistema S2 representam planos, que chamaremos

π

₁,

π

₂ e

π

₃.

São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.

Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas

a) Os três planos coincidem.

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) do plano

1

π

(ou

2

π

ou

3

π

, já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau 2.

Condição algébrica:

Existem k e p, reais não nulos,tais que:

L2 = kL1 e L3 = pL1

b) Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

Existe k, k∈R*,tal que _{L2 = kL1}e existe p, p∈R*,talquel_{3= p}l_{1, mas, L3} ≠_pL1.

c) Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (x, y, z) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.

Condição algébrica:

Existe k, k∈R*,tal que _{L2 = kL1}e para todo p, p∈R, l₃ ≠_pl₁.

d) Os três planos são paralelos entre si

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

e) Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

Existek, k ∈ R*,tal quel_{2 = k}l_{1mas L2}≠_kL1 e para todo p, p∈R,l₃ ≠ _pl₁.

f) Os três planos têm exatamente uma reta comum

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.

Condição algébrica:

l1, l2 e l3são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, masL3= kL1 + pL2

(isto é,L3 é uma combinação linear de L1e L2, sendo k∈R* e p∈R*).

g)

Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas

Nesse caso, o sistema não tem solução.

Condição algébrica:

h) Os três planos têm exatamente um ponto em comum

Nesse caso, o sistema admite uma única solução.

Condição algébrica:

l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso significa queodeterminante formado pelas componentes de l1, l2 e l3 é diferente de zero:

0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ≠ c b a c b a c b a Bibliografia

LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1992. MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1982.

Atividades

1. Com auxílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaixo, classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou impossível.

Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela 2-dim; de d até l, na janela 3-dim.

2. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e, utilizando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

a) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas concorrentes;

b) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas paralelas;

c) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano;

d) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos paralelos entre si;

e) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os; f) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja

composta de 2 planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os;

g) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos distintos que possuam uma reta comum.