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Academic year: 2017

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(1)

Introdução às equações diferenciais

ordinárias no contexto das funções

generalizadas temperadas

de Colombeau

Sávio Mendes França

DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PARA

OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM

CIÊNCIAS

Área de concentração: Matemática

Orientador: Profa. Dra. Roseli Fernandez

(2)

Introdução à equações diferenciais

ordinárias no contexto das funções

generalizadas temperadas

de Colombeau

Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Sávio Mendes França

e aprovada pela Comissão Julgadora.

São Paulo, 21 de fevereiro de 2008.

Banca Examinadora:

•Profa. Dra. Roseli Fernandez (orientadora) - IME-USP •Prof. Dr. Jorge Aragona - IME-USP

(3)

à toda minha família,

de modo especial

aos meus pais,

à minha esposa Delma

e aos meus filhos

(4)
(5)

Resumo

O objetivo deste trabalho é estudar, sob que condições, o problema de valor inicial associado a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, admite pelo menos uma (ou somente uma) solução generalizada ou solução generalizada temperada. Para essa finalidade estudamos algumas propriedades das funções generalizadas, das funções generalizadas temperadas e das funções generalizadas temperadas na segunda variável. Além do estudo dessas propriedades, apre-sentamos uma imersão do espaço das distribuições na álgebra das funções generalizadas de Colombeau e uma imersão do espaço das distribuições temperadas na álgebra das funções generalizadas temperadas de Colombeau. Finalizamos o trabalho estudando, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, uma equação de Euler-Lagrange e solução para frente em sistemas autônomos.

(6)
(7)

Abstract

The objective of this work is to study, under which conditions, the initial value problem as-sociated with a first-order ordinary differential equation, in the framework of Colombeau’s tempered generalized functions, it admits at least one (or only one) generalized solution or generalized tempered solution. For this purpose we studied some properties of the gene-ralized functions, of the genegene-ralized tempered functions and the genegene-ralized tempered func-tions in the second variable. Besides the study of these properties, we present an embedding of the space of distributions into the algebra of Colombeau’s generalized functions and an embedding of the space of tempered distributions into the algebra of Colombeau’s tem-pered generalized functions. We end the work studying, in the framework of Colombeau’s tempered generalized functions, an Euler-Lagrange equation and forward solution for au-tonomous system.

(8)
(9)

Agradecimentos

Quero agradecer, em primeiro lugar, à Profa Roseli Fernandez, que me orientou du-rante todo o período de elaboração deste trabalho, com quem tive a honra de conviver e muito aprendi e, pela qual, tenho extrema admiração e respeito.

Agradeço a todo os professores do IME que, de forma direta ou indireta, contribuiram para a minha formação. Em especial, agradeço às professoras Elza Furtado Gomide e Maria Lúcia Sobral Singer, que me orientaram no período no qual fiz a especialização e que, somente agora, pude tornar pública a minha admiração.

Agradeço aos amigos com os quais convivi neste instituto e cuja amizade, por si só, foi um grande incentivo.

Por fim, Agradeço à Deus, pela graça da vida, pela minha família e pela oportunidade de realizar mais um sonho.

(10)
(11)

Sumário

Introdução iii

1 Algumas álgebras de Colombeau e suas propriedades 1

1.1 A álgebra IR . . . 1

1.2 A álgebra G(Ω;IRm). . . 4

1.3 A álgebra Gτ(Ω;IRm) . . . 12

1.4 A álgebra Geτ(Ω1×2;IRm). . . . 30

1.5 As álgebras G([t0,+∞[ ;IRm)e Gτ([t0,+∞[ ;IRm) . . . 42

2 Distribuições e funções generalizadas de Colombeau 51 2.1 Os conjuntos D′(Ω;IR) eS(IRn;IR). . . . 51

2.2 Uma imersão de D′(Ω;IR) em G(Ω;IR) . . . . 68

2.3 Uma imersão de S′(IRn;IR)em Gτ(IRn;IR) . . . 91

3 Equações diferenciais ordinárias 101 3.1 Existência e unicidade de soluções . . . 102

3.2 As equações de Euler-Lagrange - um exemplo . . . 138

3.3 Solução para frente em sistemas autônomos . . . 150

Lista de símbolos e notações 169

(12)
(13)

Introdução

J. F. Colombeau, na década de 80, com a finalidade de resolver o Problema da Mul-tiplicação de Distribuições, introduziu a Teoria das Funções Generalizadas. As primeiras aplicações foram realizadas na área das equações diferenciais. Recentemente, há trabalhos nas áreas de geometria, álgebra e análise funcional.

Dentre as álgebras que existem na Teoria das Funções Generalizadas, iremos trabalhar com a álgebra dos números reais generalizados, com a das funções generalizadas, com a das funções generalizadas temperadas e com algumas variações dessas álgebras. O propósito deste trabalho é apresentar, no contexto das álgebras das funções generalizadas temperadas, o problema de valor inicial associado a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Esta Dissertação foi baseada no estudo do capítulo 1 de [GKOS] e na leitura de [Del].

(14)

optamos por chamá-la de álgebra das aplicações generalizadas temperadas na segunda variável. Finalizamos o capítulo apresentando a álgebra das aplicações generalizadas em

[t0,+∞[a valores emIRm e a álgebra das aplicações generalizadas temperadas em[t0,+∞[ a valores em IRm, onde t0 ∈ IR. Nestas duas últimas seções destacamos o Teorema 1.5.5 e o Teorema 1.5.6 que foram baseados no estudo das provas dos teoremas de nulidade das seções 1.2 e 1.3.

Tendo em vista que a origem da Teoria das Funções Generalizadas de Colombeau foi motivada pelas distribuições, nos pareceu interessante mostrar, no capítulo 2, como as distribuições podem ser interpretadas como funções generalizadas. Para facilitar a leitura para um leitor pouco familiarizado com a Teoria das Distribuições, apresentamos na seção 2.1 um breve estudo das distribuições e das distribuições temperadas. Nas próximas duas seções definimos uma imersão do espaço das distribuições na álgebra das funções gene-ralizadas e uma imersão do espaço das distribuições temperadas na álgebra das funções generalizadas temperadas. Essas imersões foram baseadas nos trabalhos [Dec] e [GKOS].

O capítulo 3 é dedicado ao principal objeto de estudo desta Dissertação, ou seja, às equações diferenciais ordinárias no contexto das funções generalizadas temperadas. Na seção 3.1 apresentamos teoremas de existência e unicidade de solução para o problema de valor inicial. Mais precisamente, dados uma função generalizada temperada F (ou generalizada temperada na segunda variável), um número real t0 e um vetor generalizado

x0, determinamos condições para que exista uma (ou somente uma) aplicação generalizada ou generalizada temperada u satisfazendo:

du

dt =F ◦(id, u) e u(t0) =x0.

Na seção 3.2 comentamos uma específica equação de Euler-Lagrange. Nessa seção além de utilizarmos os resultados da seção anterior, obtivemos outras condições para existência de solução para a referida equação. Finalizamos o capítulo, e por conseguinte o trabalho, com um estudo sobre solução para frente de sistemas autônomos.

(15)

bi-bliográficas. Nessa última, além dos artigos que serviram de apoio para o desenvolvimento do nosso trabalho, listamos outros que mostram algumas aplicações da Teoria das Funções Generalizadas. Convém destacar que sempre que considerarmos um conjunto aberto ficará implícito que ele é não vazio.

São Paulo, fevereiro de 2008.

(16)
(17)

Capítulo 1

Algumas álgebras de Colombeau e suas

propriedades

Neste capítulo, temos por objetivo apresentar algumas das álgebras de Colombeau que, em particular, serão utilizadas nos capítulos que virão a seguir. Dentre essas álgebras destacamos as álgebras das aplicações generalizadas, das aplicações generalizadas tempe-radas e a das aplicações generalizadas tempetempe-radas na segunda variável, pois é com essas álgebras que a parte principal do trabalho é desenvolvida.

1.1

A álgebra

IR

Antes de definirmos a álgebra dos números reais generalizados, iremos fixar algumas notações.

• I:= ] 0,1 ] ;

(18)

• (aε)ε denota um elemento de AI, ondeA é um conjunto não vazio.

Definição 1.1.1 Definimos

EM(IR) :=

n

(rε)ε∈IRI | ∃N ∈IN, ∃c >0e ∃η ∈I, tais que |rε| ≤c ε−N, ∀ε∈Iη

o ;

N(IR) := n(rε)ε∈IRI | ∀m ∈IN, ∃c >0e∃η∈I, tais que |rε| ≤c εm, ∀ε∈Iη

o

.

Um elemento de EM(IR) é chamado elemento moderado e um elemento de N (IR) é

chamadoelemento nulo.

Decorre diretamente da Definição 1.1.1 queEM(IR)é um anel e queN (IR)é um ideal

deEM(IR). Assim podemos apresentar a seguinte definição.

Definição 1.1.2 A álgebra quociente

IR:=EM(IR)/N (IR),

é chamada de álgebra dos números reais generalizados.

Um elemento deIR é chamado número real generalizado.

A todo elemento(rε)ε ∈ EM (IR)está associado um único elemento r∈IR da seguinte

forma

r := [(rε)ε] = (rε)ε+N(IR).

Nesse caso, dizemos que(rε)ε é um representante de r∈IR.

É fácil verificar que a aplicação

iIR:IR −→ IR

(19)

é um homomorfismo injetivo de álgebras. Devido a esse fato podemos identificar IR com iIR(IR), e assim escrever IR⊂IR.

Convém notar o seguinte.

Observação 1.1.3 O anel IR é um anel comutativo com unidade i(1) = [(1)ε] mas não

é um anel de integridade.

De fato, a primeira afirmação é imediata. Para a segunda, considere (rε)ε e (sε)ε definidos

por

rε :=

      

0 seε= 1

n, para algumn ∈IN

,

1 caso contrário

; sε:=

      

1 seε= 1

n, para algumn ∈IN

,

0 caso contrário

.

Então (rε)ε, (sε)ε ∈ EM(IR)\ N (IR) e rε.sε = 0, para todo ε ∈I. Logo, r := [(rε)ε]6= 0,

s:= [(sε)ε]6= 0 er.s= 0.

De modo análogo, substituindo IR por lC na Definição 1.1.1 e na Definição 1.1.2,

define-se a álgebra do números complexos generalizados, denotada por lC.

D. Scarpalezos ([Sca-1] e [Sca-2]) definiu uma ultramétrica sobre IK (onde K = IR

ou lC) de modo que, com a topologia induzida por essa ultramétrica, tem-se que IK é um anel topológico completo. A partir dessa topologia, J. Aragona e S. O. Juriaans ([AJ]) obtiveram propriedades da estrutura algébrica e topológica de IK e estabeleceram

(20)

1.2

A álgebra

G

(Ω;

IR

m

)

O objetivo desta seção é relembrar a construção da álgebraG(Ω;IRm)e estudar algumas de suas propriedades que serão úteis neste trabalho. Em particular, destacamos o Teorema de Nulidade emEM[Ω;IRm](Teorema 1.2.5). Esse teorema foi apresentado por M. Grosser,

M. Kunzinger, M. Oberguggenberger e R. Steinbauer em [GKOS].

Definição 1.2.1 Seja Ω um aberto de IRn. Definimos

E[Ω;IR] := (C∞(Ω;IR))I;

EM[Ω;IR] := {(uε)ε∈ E[Ω;IR]| ∀K ⊂⊂Ω, ∀α∈INn, ∃N ∈IN, ∃c >0e∃η∈I,

tais que |∂αuε(x)| ≤ c ε−N, ∀ (ε, x)∈Iη×K };

N[Ω;IR] := {(uε)ε∈ E[Ω;IR]| ∀K ⊂⊂Ω, ∀α∈INn, ∀r∈IN, ∃c >0e∃η∈I,

tais que |∂αuε(x)| ≤ c εr, ∀ (ε, x)∈Iη ×K }.

Um elemento deEM[Ω;IR]é chamado defunção moderada em Ωa valores em IRe um

elemento de N[Ω;IR]é chamado de função nula em Ω a valores em IR.

O conjunto EM[Ω;IR] munido das operações usuais de soma e produto de funções e

produto de número real por função é uma IR-álgebra. O conjunto N[Ω;IR] é um ideal de EM[Ω;IR]. Assim, pode-se definir a seguinte álgebra.

Definição 1.2.2 Seja Ω um aberto de IRn. A álgebra quociente

G(Ω;IR) := EM[Ω;IR]/N[Ω;IR],

(21)

Um elemento deG(Ω;IR)é chamado função generalizada em Ω a valores em IR.

Definição 1.2.3 Seja Ω um aberto de IRn e m∈IN com m≥2. Definimos

G(Ω;IRm) := (EM[Ω;IR])m/(N[Ω;IR])m.

Um elemento de G(Ω;IRm) é chamadoaplicação generalizada em Ω a valores em IRm

eG(Ω;IRm)é chamada de álgebra das aplicações generalizadas de Colombeau.

Para facilitar a escrita escreveremosEM[Ω;IRm] eN[Ω;IRm] em vez de(EM[Ω;IR])m e

(N[Ω;IR])m, respectivamente.

É fácil verificar que a aplicação

(G(Ω;IR))m −→ G(Ω;IRm)

(u1ε+N[Ω;IR],· · ·, umε +N[Ω;IR]) 7−→ (u1ε,· · ·, umε) +N[Ω;IR

m],

é um isomorfismo de álgebras. Assim, para cada m IN∗, podemos identificar G(Ω;IRm)

com (G(Ω;IR))m. Além disso, convém observar o seguinte.

Observação 1.2.4 Sejam Ω um aberto de IRn e (uε)ε∈(E[Ω;IR]) m

. Tem-se

1. (uε)ε ∈ EM[Ω;IRm] se, e somente se, para quaisquer K ⊂⊂ Ω e α ∈ INn, existem

N ∈IN, c >0 e η ∈Itais que

|∂αuε(x)| ≤ c ε−N, ∀ (ε, x)∈Iη ×K;

2. (uε)ε ∈ N[Ω;IRm] se, e somente se, para quaisquer K ⊂⊂ Ω, α ∈ INn e r ∈ IN,

existem c >0 e η Itais que

(22)

Observe que, seΩé um aberto de IRn, então todo(uε)ε ∈ EM[Ω;IRm]está associado a

um único elementou∈ G(Ω;IRm)da seguinte forma

u:= [(uε)ε] = (uε)ε+N[Ω;IRm].

Nesse caso, dizemos que(uε)ε∈ EM[Ω;IRm] é um representante de u∈ G(Ω;IRm).

Note também que, seΩé um aberto deIRnef C∞(Ω;IRm), então(f)

ε∈ EM[Ω;IR m].

Assim, é fácil verificar que a aplicação

iC∞(Ω;IRm) :C∞(Ω;IRm) −→ G(Ω;IRm)

f 7−→ (f)ε+N[Ω;IRm]

(1.1)

é um homomorfismo injetivo de álgebras. Devido a esse fato podemos identificar

C∞(Ω;IRm)com iC(Ω;IRm)(C∞(Ω;IRm)) e assim escrever C∞(Ω;IRm)⊂ G(Ω;IRm).

A seguir, apresentaremos o Teorema de Nulidade para funções emEM[Ω;IR]encontrado

em [GKOS]. Devido a sua importância, faremos a demonstração na íntegra.

Teorema 1.2.5 (Teorema de Nulidade em EM[Ω;IRm]) Sejam Ω um aberto de IRn e

(uε)ε ∈ EM[Ω;IRm]. São equivalentes as seguintes afirmações:

(a) (uε)ε ∈ N[Ω;IRm];

(b) (uε)ε satisfaz a N-estimativa de ordem zero, isto é,

∀K ⊂⊂Ω, ∀r∈IN, ∃c > 0e∃η ∈Itais que |uε(x)| ≤c εr, ∀ (ε, x)∈Iη×K.

Demonstração: Decorre diretamente da definição de N[Ω;IRm] que(a) implica(b).

Para provarmos que (b) implica (a) notemos que basta termos a implicação no caso

m= 1.

(23)

Provaremos por indução sobre |α|, ondeα INn, que

∀K ⊂⊂Ω, r IN, c >0e∃ηItais que |∂αuε(x)| ≤c εr, ∀ (ε, x)∈Iη×K. (1.2)

É claro que , se|α|= 0, então (1.2), por (b), é verdadeira.

Sejaα= (α1,· · ·, αn)∈INncom|α|>0e suponha (1.2) verdadeira para todoγ ∈INn

com |γ|=|α| −1. Note que existe 1j n tal que αj 6= 0, e assim

∂αuε =

∂ ∂xj

 ∂|

α|−1u

ε

∂xα1

1 · · · ∂x

αj−1

j · · ·∂xnαn

= ∂vε

∂xj

,

ondevε:=

 ∂|

α|−1u

ε

∂xα1

1 · · · ∂x

αj−1

j · · ·∂xnαn

∈ EM[Ω;IR], para todoε I.Logo, pela hipótese de indução,

∀K1 ⊂⊂Ω, ∀s∈IN, ∃c >0e∃η∈Itais que |vε(x)| ≤c εs, ∀ (ε, x)∈Iη×K1. (1.3) Sejam K ⊂⊂Ωe rIN. Para facilitar a escrita utilizaremos as seguintes notações:

∂i :=

∂ ∂xi

; ∂2

i :=

∂2

∂x2

i

,

onde xi é a i-ésima coordenada de um ponto arbitrário deIRn e 1≤i≤n.

Como K ⊂⊂ Ω, existe V aberto de Ω tal que K V V ⊂⊂ Ω. Considere

ν = 1

2min{1, d(K,Ω\V)} e seja

L:=K+Bν(0) =

n

x+y| (x, y)K×Bν(0)

o

.

EntãoK ⊂L⊂⊂Ω.

De (vε)ε ∈ EM[Ω;IR], existem N ∈IN, c1 >0 e η1 ∈I tais que

i2vε(x)

≤c1ε−N, ∀ (ε, x)∈Iη1 ×L. (1.4) De (1.3), para K1 := L e s := 2r+N + 1, existem c2 > c1 e η2 ∈ I com η2 < η1 tais que

(24)

Sejaη :=min{η2, ν}e note que, para todo(ε, x)∈Iη×K, o segmento de extremidades

x e x+εr+N+1e

i está contido em L, onde ei é o i-ésimo elemento da base canônica de

IRn, pois os elementos desse segmento são da forma x+t εr+N+1e

i para t ∈ [0,1]. Dessa

forma, usando o Polinômio de Taylor de ordem 1, temos que, para (ε, x) Iη ×K, existe

y=x+σ εr+N+1e

i ∈L, para algum σ∈ ] 0,1 [, tal que

x+εr+N+1ei

=vε(x) +∂i vε(x)εr+N+1+

1 2 ∂

2

i vε(y)

εr+N+12,

ou seja,

∂i vε(x)εr+N+1 =vε

x+εr+N+1ei

−vε(x)−

1 2 ∂

2

i vε(y)

εr+N+12.

Assim, de (1.4) e (1.5), temos, para(ε, x)Iη×K que

|∂i vε(x)| ≤ vε

x+εr+N+1ei+|vε(x)|

ε−r−N−1+ 1 2

i2 vε(y)

εr+N+1

≤ c2 ε2r+N+1+c2 ε2r+N+1

ε−r−N−1+ 1 2 c1 ε

−N εr+N+1

≤ 2c2 εr+ 1 2 c2 ε

r.

Logo, sec:= 5

2 c2, temos que

|∂i vε(x)| ≤c εr, ∀ (ε, x)∈Iη×K,

e assim (1.2) é verdadeira.

A seguir, apresentaremos a derivada de uma aplicação generalizada. Antes porém, observemos que, seΩé um aberto deIRn,(uε)ε ∈ EM[Ω;IRm],α ∈INne(∂αuε)ε ∈ E[Ω;IRm]

é definida por

∂αuε:x∈Ω7−→(∂αuε) (x)∈IRm,

então (∂αu

ε)ε ∈ EM[Ω;IRm]. Assim, das propriedades lineares das derivadas, decorre que a

aplicação

∂α :E

M[Ω;IRm] −→ EM[Ω;IRm]

(25)

é um homomorfismo deIR-espaços vetoriais. Note ainda que∂α(E

M[Ω;IRm])⊂ EM[Ω;IRm]

e∂α(N[Ω;IRm])⊂ N[Ω;IRm]. Portanto, do Teorema do Homomorfismo, existe uma única

aplicação IR-linear ∂α :G(Ω;IRm)

−→ G(Ω;IRm)tal que o diagrama EM[Ω;IRm]

∂α

−→ EM[Ω;IRm]

j j

G(Ω;IRm) −→ G∂α (Ω;IRm)

comuta, onde j : (uε)ε ∈ EM[Ω;IRm] 7−→ (uε)ε+N[Ω;IRm]. A partir desse fato, temos a

seguinte definição.

Definição 1.2.6 Sejam Ω um aberto de IRn, u := [(uε)ε]∈ G(Ω;IR

m) e α

∈INn.

Chama-mos de derivada parcial de ordem α de u, o elemento ∂αu:= [(αu

ε)ε]∈ G(Ω;IRm).

A Definição 1.2.6 é compatível com a fórmula de Leibniz, ou seja,

se u, v ∈ G(Ω;IR) e α ∈INn, então tem-se

∂α(u v) = X 0≤β≤α

α

β ∂βu ∂α−βv

.

Definição 1.2.7 Sejam Ω um aberto de IRn e u := [(uε)ε] ∈ G(Ω;IR). Chamamos de

gradiente de u e denotamos por u a função generalizada

∇u:= ∂uε

∂x1

,· · ·,∂uε ∂xn

!

+N[Ω;IRn].

onde xi é a i-ésima coordenada de um ponto arbitrário de IRn e 1≤i≤n.

É claro que, seu∈ G(Ω;IR), então ∇u∈ G(Ω;IRn).

(26)

Seja Ω um aberto conexo de IRn e u∈ G(Ω;IR). Tem-se que u0

se, e somente se existe c∈IR tal que u= (x∈Ω7−→c)ε+N[Ω;IR].

Apresentaremos, a seguir, o conceito de função composta no contexto das funções generalizadas de Colombeau. Antes porém, convém observar que, seΩé um aberto de IRn,

Ω′ um aberto de IRp e (u

ε)ε ∈ EM[Ω;IRp] e (vε)ε ∈ EM[Ω′;IRs] são tais que uε(Ω) ⊂ Ω′

para todo ε ∈ I, então a função (vε◦uε)ε pode não pertencer a E[Ω;IRs]. Por exemplo,

se (vε)ε e (uε)ε são definidas por uε(x) =

x2

ε e vε(x) = e

x para (ε, x)

I×IR, então

(vε)ε,(uε)ε ∈ EM[IR;IR]mas (vε◦uε)ε∈ E/ M[IR;IR]. Para contornar esse tipo de problema,

J. Aragona introduziu o conjunto G∗(Ω; Ω′). Mais precisamente,

Definição 1.2.8 Sejam Ω um aberto de IRn e Ω′ um aberto de IRp. Denotamos por

G∗(Ω; Ω′) o conjunto das aplicações generalizadas u ∈ G(Ω;IRp) tais que existe (u ε)ε

representante de u satisfazendo:

∀K ⊂⊂Ω, ∃K′ ⊂⊂Ω′ e∃η∈Itais queuε(K)⊂K′, ∀ε ∈Iη. (1.6)

Note que,G∗(Ω;IR)é umaIR-álgebra. Além disso, prova-se que, seu∈ G∗(Ω; Ω′), então todo representante deusatisfaz (1.6). Mais propriedades do conjuntoG∗(Ω; Ω′) podem ser encontradas em [Fer].

Definição 1.2.9 Seja Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto de IRp, u

∈ G∗(Ω; Ω′) e

v ∈ G(Ω′;IRs). A função composta deue v, denotada porv

◦u, e cuja existência é provada em [Fer], é a função de G(Ω;IRs) que tem a seguinte propriedade:

se (uε)ε é um representante de u, (vε)ε é um representante de v, K= (Kj)jIN

é uma seqüência exaustiva de compactos para Ω, isto é,

[

j∈IN

Kj = Ω, Kj ⊂

(27)

e se (ηj)jIN é uma seqüência em I tal que

ηj > ηj+1, ∀j ∈IN; n

uε(x) : (ε, x)∈Iηj ×Kj

o

⊂⊂Ω′, j IN;

então existe um representante (ΘK,uε,vε)ε de v ◦u de modo que

ΘK,uε,vε

Kj

 

ε

−(hjε)ε∈ N

Kj;IRs

, ∀j ∈IN, onde

hjε(x) =

    

vε(uε(x)) se (ε, x)∈Iηj×

Kj

uηj/2(x)

se (ε, x)∈[ηj,1]×

Kj

.

Finalizamos esta seção com a definição de valor pontual de uma função generalizada. Para tal observe que, se Ω um aberto de IRn, t0 ∈ Ω, u ∈ G(Ω;IR) e se (uε)ε e (vε)ε são

representantes deu, então(uε(t0)−vε(t0))∈ N(IR). A partir desse fato, tem-se a seguinte definição.

Definição 1.2.10 Sejam u ∈ G(Ω;IRm) e t0 ∈ Ω. Definimos o valor pontual de u em t0

por

u(t0) := (uε(t0))ε+N(IR),

onde (uε)ε é um representante qualquer de u

(28)

detalhada de alguns dos resultados apresentados em [AFJ-1] pode ser encontrada em [Vei].

1.3

A álgebra

G

τ

(Ω;

IR

m

)

Nesta seção, apresentaremos a álgebra Gτ(Ω;IRm), isto é, a álgebra das aplicações

ge-neralizadas temperadas de Colombeau. Destacamos o Teorema de Nulidade emEτ[Ω;IRm]

(Teorema 1.3.7) que, além de facilitar a prova de alguns dos resultados, é uma extensão do encontrado em [GKOS].

Definição 1.3.1 Seja Ω um aberto de IRn. Definimos

Eτ[Ω;IR] := {(uε)ε∈ E[Ω;IR]| ∀α ∈INn, ∃N ∈IN, ∃c > 0e∃η ∈Itais que

|∂αuε(x)| ≤c(1 +|x|)Nε−N, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω};

Nτ[Ω;IR] := {(uε)ε∈ E[Ω;IR]| ∀α ∈INn, ∃N ∈IN, ∀r ∈IN, ∃c >0e∃η∈I

tais que |∂αu

ε(x)| ≤c(1 +|x|)Nεr, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω}.

Um elemento de Eτ[Ω;IR] é chamado de função moderada temperada em Ω a valores

em IRe um elemento de Nτ[Ω;IR]é chamado defunção nula temperada em Ωa valores em

IR.

O conjunto Eτ[Ω;IR] munido das operações usuais de soma e produto de funções e

(29)

Definição 1.3.2 SejaΩum aberto deIRn. A álgebra das funções generalizadas temperadas

de Colombeau é definida pelo espaço quociente

Gτ(Ω;IR) := Eτ[Ω;IR]/Nτ[Ω;IR].

Um elemento de Gτ(Ω;IR) é chamado função generalizada temperada em Ω a valores

em IR.

Definição 1.3.3 Sejam Ω um aberto de IRn e m IN com m2. Definimos

Gτ(Ω;IRm) := (Eτ[Ω;IR])m/(Nτ[Ω;IR])m.

Um elemento de Gτ(Ω;IRm) é chamado de aplicação generalizada temperada em Ω a

valores em IRm. A álgebra Gτ(Ω;IRm) é chamada de álgebra das aplicações generalizadas

temperadas de Colombeau.

Para facilitar a escrita escreveremos Eτ[Ω;IRm] e Nτ[Ω;IRm] em vez de (Eτ[Ω;IR])m e

(Nτ[Ω;IR])m, respectivamente.

Note que a aplicação

(Gτ(Ω;IR))m −→ Gτ(Ω;IRm)

(u1ε +Nτ[Ω;IR],· · ·, umε +Nτ[Ω;IR]) 7−→ (u1ε,· · ·, umε) +Nτ[Ω;IR

m],

é um isomorfismo de álgebras. Assim, para cada m ∈IN∗, podemos identificar G

τ(Ω;IRm)

com (Gτ(Ω;IR))m. Além disso, observe o seguinte.

Observação 1.3.4 Sejam Ω um aberto de IRn e (uε)ε∈(E[Ω;IR]) m

. Tem-se

1. (uε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm] se, e somente se, para todo α ∈INn, existem N ∈IN, c >0 e η ∈I

tais que

(30)

2. (uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRm] se, e somente se, para todo α ∈ INn, existe N ∈ IN tal que, para

todo r∈IN, existemc > 0 e η∈I tais que

|∂αuε(x)| ≤ c(1 +|x|)Nεr, ∀ (ε, x)∈Iη×Ω.

Convém notar que, se Ω é um aberto de IRn, então, todo (uε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm] está

associado a um único elemento u∈ Gτ(Ω;IRm)da seguinte forma

u:= [(uε)ε] = (uε)ε+Nτ[Ω;IRm].

Nesse caso, dizemos que(uε)ε∈ Eτ[Ω;IRm] é um representante deu∈ Gτ(Ω;IRm).

Em [GKOS] os autores apresentam um teorema de nulidade para funções moderadas temperadas em abertos "box" de IRn, isto é, abertos da forma J1 ×J2 × · · · ×Jn, onde

Jk é um intervalo aberto de IR, para todo 1 ≤ k ≤ n. Estudando a prova desse teorema

percebemos que o mesmo ainda é verdadeiro para uma classe maior de abertos. O conjunto desses abertos será aqui denotado porA∗(IRn) e é o seguinte:

Definição 1.3.5 Denotaremos por A(IRn) o conjunto de todos os abertos de IRn com

a seguinte propriedade:

existe ν > 0 tal que, para quaisquer x Ω e 1 i n, o segmento de extremidades x e x+νei, ou o segmento de extremidades x e x −νei, está

contido em Ω.

Exemplo 1.3.6 1. Todo aberto "box" de IRn está em A∗(IRn).

2. O interior de um octógono regular com quatro dos seus lados paralelos aos eixos

coor-denados pertence a A∗IR2.

3. ∞S

n=2 #

n 1 nn, n+

1

nn

"

/

(31)

Teorema 1.3.7 (Teorema de Nulidade em Eτ[Ω;IRm]) Sejam Ω um aberto de IRn tal que

Ω∈ A∗(IRn) e (u

ε)ε∈ Eτ[Ω;IRm]. São equivalentes as seguintes afirmações:

(a) (uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRm];

(b) ∃N ∈IN, ∀r∈IN, ∃c >0e∃η∈Itais que

|uε(x)| ≤c(1 +|x|)Nεr, ∀(ε, x)∈Iη ×Ω.

Demonstração: Segue da definição deNτ[Ω;IRm]que (a) implica(b). Para provarmos que

(b) implica(a) observemos que basta termos a implicação param = 1. Suponham = 1.

Provaremos, por indução sobre|α|, ondeα ∈INn, que

∃N IN, r IN, c >0eηItais que|∂αuε(x)| ≤c(1 +|x|)Nεr, ∀ (ε, x)∈Iη×Ω. (1.7)

É claro, por (b), que (1.7) é verdadeira para |α|= 0.

Sejaα= (α1,· · ·, αn)∈INncom|α|>0e suponha (1.7) verdadeira para todoγ ∈INn

com |γ|=|α| −1. Como |α|>0, existe 1≤j ≤n tal que αj 6= 0, e assim

∂αuε=

∂ ∂xj

 ∂|α|−1uε

∂xα1

1 · · · ∂x

αj−1

j · · ·∂xnαn

 = ∂vε

∂xj

,

onde (vε)ε :=

 ∂|

α|−1u

ε

∂xα1

1 · · · ∂x

αj−1

j · · ·∂xnαn

∈ Eτ[Ω;IR], para todo εI.

Para facilitar a escrita denote ∂

∂xi

por ∂i e

∂2

∂x2

i

por ∂2

i , onde xi é a i-ésima

coor-denada de um ponto arbitrário de IRn e 1in.

Como(vε)ε ∈ Eτ[Ω;IR], existem N1 ∈IN, c1 >0e η1 ∈Itais que

i2vε(x)

≤c1(1 +|x|)N1ε−N1, ∀ (ε, x)∈Iη1 ×Ω. (1.8) Da hipótese de indução, existe N2 ∈IN tal que

(32)

Sejam N := max{N1, N2}+ 1 e r ∈ IN. Considere s := 2r+N. Então por (1.9), existem c2 > c1 eη2 ∈Icom η2 < η1 tais que

|vε(x)| ≤c2(1 +|x|)N2ε2r+N, ∀ (ε, x)∈Iη2 ×Ω, e assim

|vε(x)| ≤c2(1 +|x|)Nεs, ∀ (ε, x)∈Iη2 ×Ω. (1.10) ComoΩ∈ A∗(IRn), existe ν >0como na Definição 1.3.5. Considereη:=min{η

2, ν} e note que, para todo (ε, x) ∈ Iη ×Ω, o segmento de extremidades x e x+εr+Nei ou o

segmento de extremidadesx exεr+Ne

i está contido em Ω, ondeei é o i-ésimo elemento

da base canônica de IRn, pois os elementos desse segmento são da forma x+t εr+Ne i ou

x−t εr+Ne

i para t∈[0,1]. Dessa forma, usando o Polinômio de Taylor de ordem 1, temos

que, para(ε, x)Iη ×Ω, existe y=x+µ εr+N ∈Ω, para algum0≤ |µ| ≤1 tal que

x±εr+Nei

=vε(x) +∂ivε(x)εr+N +

1 2∂

2

i vε(y)

εr+N2,

ou seja,

∂ivε(x)εr+N =vε

x±εr+N ei

−vε(x)−

1 2∂

2

i vε(y)

εr+N2.

Assim, de (1.8) e (1.10), temos, para(ε, x)Iη ×Ω, que

|∂i vε(x)| ≤ vε

x±εr+Nei+|vε(x)|

ε−r−N +1 2

∂i2 vε(y)

εr+N

c2

1 +x±εr+Nei

Nε2r+N +c2(1 +|x|)Nε2r+N

ε−r−N +

+1

2c1(1 +|y|)

N1

ε−N1εr+N

≤ c2

1 +|x|+εr+NNεr+c2(1 +|x|)Nεr+ 1 2c2

1 +|x|+|µ|εr+NN1εr

≤ 32c2

1 +|x|+εr+NNεr+c2(1 +|x|)Nεr ≤ 32c2(2 +|x|)Nεr+c2(1 +|x|)N εr

≤ 32c2(2 + 2|x|)Nεr+c2(1 +|x|)Nεr ≤ 3.2N−1c2(1 +|x|)N εr+c2(1 +|x|)Nεr ≤ 3.2N−1+ 1c

(33)

Logo, sec:=3.2N−1+ 1c

2, temos que

|∂i vε(x)| ≤c(1 +|x|)N εr, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω,

e assim (1.7) é verdadeira.

No Teorema 1.3.7 é importante, como veremos no próximo exemplo, a hipótese deΩ

ser um elemento deA(IRn).

Exemplo 1.3.8 SejamΩ := ∞S

n=2Jn, ondeJn := #

n− 1

nn, n+

1

nn

"

e(uε)ε ∈ E[Ω;IR]definida

por

uε(x) =

    

x− ⌈ε−1⌉ sex∈Jε−1 0 sex\Jε−1

,

onde ε−1 denota o menor inteiro maior ou igual a ε−1. Então (u

ε)ε ∈ Eτ[Ω;IR], (uε)ε

satisfaz a afirmação (b) do Teorema 1.3.7 e (uε)ε ∈ N/ τ[Ω;IR]. (Note que Ω ∈ A/ ∗(IR)

(Exemplo 1.3.6 (3.))).

De fato, considereaε:=⌈ε−1⌉, para ε∈I, e note que

|uε(x)| ≤

1

≤εaε

≤ε1/ε, xJaε; (1.11)

duε

dx (x)

= 1 e

d(p)u

ε

dx(p) (x)

= 0, ∀x∈Jaε e∀p∈IN com p≥2. (1.12)

De (1.11) e (1.12) temos que

d(s)u

ε

dx(s) (x)

≤1≤(1 +|x|)ε− 1,

∀ (ε, x)I×ΩesIN,

e assim(uε)ε∈ Eτ[Ω;IR]. Para verificar que(uε)εsatisfaz a afirmação(b)do Teorema1.3.7,

fixer IN e seja η:= 1

r+ 1. Então, de (1.11), temos que

(34)

Finalmente, suponha, por absurdo, que (uε)ε ∈ Nτ[Ω;IR]. Então existe N ∈ IN tal que,

para r1 := 2N, existem c >0e η1 ∈Icom η1 ≤ 1

2 tais que

duε

dx (x)

≤c(1 +|x|)

N

ε2N, (ε, x)Iη1 ×Ω, e assim, como aε ∈Jε, tem-se, para ε ∈Iη1, que

1 = duε

dx (aε)≤c(1 +|aε|)

N

ε2N c1 +ε−1+ 1Nε2N 2Nc ε−Nε2N 2Nc εN,

ou seja

1≤2Nc εN, ∀ε∈Iη1, o que é um absurdo.

O exemplo 1.3.8 é apresentado em [GKOS] como exemplo de um aberto não "box" no qual as afirmações (a) e (b) do Teorema 1.3.7 não são equivalentes. Contudo, vimos que,

não é o fato do aberto não ser um "box" que garante (uε)ε ∈ N/ τ[Ω;IR], mas sim o fato

dele não pertencer ao conjunto A∗(IR).

De modo análogo ao casoG(Ω;IRm), para definir a derivada de aplicações generalizadas

temperadas observamos que, se Ω é um aberto de IRn, (uε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm], α ∈ INn e

(∂αu

ε)ε ∈ E[Ω;IRm] é definida por

(∂αu

ε)ε:x∈Ω7−→(∂αuε) (x)∈IRm,

então (∂αu

ε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm]. Assim, das propriedades lineares das derivadas, decorre que a

aplicação

∂α :E

τ[Ω;IRm] −→ Eτ[Ω;IRm]

(uε)ε 7−→ (∂αuε)ε

é um homomorfismo deIR-espaços vetoriais. Observe ainda que∂α(E

τ[Ω;IRm])⊂ Eτ[Ω;IRm]

e∂α(N

(35)

aplicação IR-linear ∂α :G

τ(Ω;IRm)−→ Gτ(Ω;IRm) tal que o diagrama

Eτ[Ω;IRm] ∂

α

−→ Eτ[Ω;IRm]

j ↓ j ↓

Gτ(Ω;IRm) ∂α

−→ Gτ(Ω;IRm)

comuta, onde j : (uε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm] 7−→ (uε)ε+Nτ[Ω;IRm]. A partir desse fato, temos a

seguinte definição.

Definição 1.3.9 Sejam Ωum aberto de IRn, u:= [(uε)ε]∈ Gτ(Ω;IRm) e α∈INn.

Chama-mos de derivada parcial de ordem α de u, o elemento ∂αu:= [(αu

ε)ε]∈ Gτ(Ω;IRm).

A Definição 1.3.9 é compatível com a fórmula de Leibniz, ou seja,

se u, v ∈ Gτ(Ω;IR) e α∈INn, então tem-se

∂α(u v) = X 0≤β≤α

α

β ∂βu ∂α−βv

.

A seguir definiremos a composta de aplicações generalizadas temperadas. Para isto utilizaremos o seguinte resultado.

Proposição 1.3.10 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo de IRp,

(vε)ε∈ Eτ[Ω′;IRm] e (uε)ε∈ Eτ[Ω;IRp] tal que uε(Ω)⊂Ω′, ∀ε∈I. São verdadeiras

as seguintes afirmações:

1. (vε◦uε)ε ∈ Eτ[Ω;IRm];

2. se (wε)ε ∈ Eτ[Ω;IRp] é tal que (wε−uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRp] e wε(Ω) ⊂Ω′, para todo ε ∈I,

então

(36)

3. se(fε)ε ∈ Eτ[Ω′;IRm] é tal que (fε−vε)ε∈ Nτ[Ω′;IRm], então

(vε◦uε−fε◦uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRm];

4. se(wε)ε é como em 2. e (fε)ε é como em 3., então (vε◦uε−fε◦wε)ε∈ Nτ[Ω;IRm].

Demonstração: Considere (vε)ε := ((v1ε,· · ·, vmε))ε e (fε)ε:= ((f1ε,· · ·, fmε))ε. Então

(vε◦uε)ε:= ((v1ε ◦uε,· · ·, vmε ◦uε))ε;

((vε◦uε−vε◦wε)ε:= (v1ε◦uε−v1ε◦wε,· · ·, vmε ◦uε−vmε ◦wε))ε;

((vε◦uε−fε◦uε)ε := (v1ε ◦uε−f1ε ◦uε,· · ·, vmε ◦uε−fmε ◦uε))ε.

Portanto, se provarmos que o resultado é verdadeiro param = 1 teremos o resultado para o caso geral.

Suponhamos m= 1.

SejaαINn.

Para a prova de 1. note que, ∂α(v

ε◦uε) é um polinômio em

∂βv ε

◦uε e ∂γuε com

|β|,|γ| ≤ |α|. Portanto para obter 1. basta provar que, para β ∈ INp e γ INn com

|,|γ| ≤ |α| existem N IN,c > 0e ηI tais que

|∂γuε(x)| ≤c(1 +|x|)Nε−N, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω; (1.13)

∂βv ε

◦uε(x)

≤c(1 +|x|)Nε−N, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω. (1.14)

Como(uε)ε∈ Eτ[Ω;IRp] e(vε)ε ∈ Eτ[Ω′;IR], existemN1 ∈IN, c1 >1 eη ∈Itais que |∂γu

ε(x)| ≤c1(1 +|x|)N1 ε−N1, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω, ∀γ ∈INn com |γ| ≤ |α|; (1.15)

∂βvε(y)

≤c1(1 +|y|)N1 ε−N1, ∀ (ε, y)∈Iη ×Ω′, ∀β ∈INp com |β| ≤ |α|. (1.16)

(37)

De (1.15) e (1.16) temos, para(ε, x)Iη×Ω, que

∂βvε(uε(x))

≤ c1(1 +|uε(x)|)N1ε−N1

≤ c1

1 +c1(1 +|x|)N1ε−N1 N1

ε−N1

≤ c1

(1 +|x|)N1

ε−N1 +c

1(1 +|x|)N1ε−N1 N1

ε−N1

≤ c1

(1 +c1) (1 +|x|)N1ε−N1 N1

ε−N1

≤ c1(1 +c1)N1 (1 +|x|)N 2

1 ε−N12−N1

≤ c1(1 +c1)N1 (1 +|x|)N 2 1+N1

ε−N12−N1.

Sejac:=c1(1 +c1)N1 eN :=N12+N1, então

|∂γuε(x)| ≤c(1 +|x|)Nε−N, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω;

∂βvε(uε(x))

≤c(1 +|x|)N ε−N, (ε, x)Iη×Ω,

o que prova (1.13) e (1.14).

Para 2. provaremos que, existe N IN tal que, para todo r IN, existem c > 0 e

η∈Isatisfazendo

|vε(uε(x))−vε(wε(x))| ≤c(1 +|x|)N εr, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω,

e assim, do Teorema de Nulidade em Eτ[Ω;IR] (Teorema 1.3.7), seguirá que

(vε◦uε−vε◦wε)ε ∈ Nτ[Ω;IR].

De (vε)ε ∈ Eτ[Ω′;IR] e (uε)ε, (wε)ε ∈ Eτ[Ω;IRp], existem N2 ∈IN, c2 >1 e η2 ∈I tais que

|∂αvε(y)| ≤c2(1 +|y|)N2 ε−N2, ∀ (ε, y)∈Iη2 ×Ω′, ∀α∈IN

p com |α|= 1; (1.17)

(38)

De (nε)ε := (wε−uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRp], existe N3 ∈IN com N3 > N2 tal que, para todo

q∈IN, existemcq > c2 e ηq ∈Icom ηq < η2 satisfazendo

|nε(x)| ≤cq(1 +|x|)N3 εq, ∀ (ε, x)∈Iηq ×Ω. (1.20)

Considere N := N2

2 +N3 e seja r ∈ IN. Então, para q := r+N, existem c3 :=cq e

η3 :=ηq como em (1.20), isto é

|nε(x)| ≤c3(1 +|x|)N3 εq, ∀ (ε, x)∈Iη3 ×Ω. (1.21) Fixemos (ε, x) ∈ Iη3 ×Ω. Usando o fato de Ω′ ser aberto convexo e o Teorema do Valor Médio, existe σ ]0,1[ tal que

|vε(uε(x))−vε(wε(x))| =

uε(x)−wε(x) , ∇vε(wε(x) +σnε(x))

≤ |nε(x)| |∇vε(wε(x) +σnε(x))|,

onde h, idenota o produto interno usual de IRp.

De (1.17), (1.18), (1.19) e (1.21), temos que

|vε(uε(x))−vε(wε(x))| ≤ |nε(x)| |∇vε(wε(x) +σnε(x))|

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2(1 +|wε(x) +σnε(x)|)N2 ε−N2

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2(1 +|wε(x)|+|σnε(x)|)N2 ε−N2

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2(1 +|wε(x)|+|nε(x)|)N2 ε−N2

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2(1 +|wε(x)|+|uε(x)|+|wε(x)|)N2 ε−N2

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2

1 + 3c2(1 +|x|)N2 ε−N2 N2

ε−N2

≤ c3(1 +|x|)N3 εqp c2(1 + 3c2)N2 (1 +|x|)N 2

2 ε−N22−N2

≤ p c32(1 + 3c3)N3(1 +|x|)N 2

2+N3 εq−N22−N2.

Sejac:=p c2

3 (1 + 3c3)N3. Então

(39)

Para 3. provaremos que, existe N IN tal que, para todo s IN, existem c > 0 e

η∈Itais que

|vε(uε(x))−fε(uε(x))| ≤c(1 +|x|)N εs, ∀ (ε, x)∈Iη ×Ω,

e, do Teorema de Nulidade em Eτ[Ω;IR] (Teorema 1.3.7), seguirá que

(vε◦uε−fε◦uε)ε ∈ Nτ[Ω;IR].

Sejam N2, c2 e η2 como em (1.18).

De (mε)ε := (vε−fε)ε ∈ Nτ[Ω′;IR], existe N4 ∈ IN com N4 > N2 tal que, para todo

k∈IN, existem ck > c2 e ηk ∈Icom ηk < η2 satisfazendo

|mε(y)| ≤ck(1 +|y|)N4 εk, ∀ (ε, y)∈Iηk ×Ω

. (1.22)

ConsidereN :=N2

4 e seja s∈IN. Então, parak :=s+N, existemc4 :=ck e η4 :=ηk

como em (1.22), isto é

|mε(y)| ≤c4(1 +|y|)N4 εk, ∀ (ε, y)∈Iη4 ×Ω′. (1.23) De (1.18) e (1.23), temos que

|vε(uε(x))−fε(uε(x))| = |mε(uε(x))|

≤ c4(1 +|uε(x)|)N

4

εk

≤ c4

1 +c2(1 +|x|)N2ε−N2 N4

εk

≤ c4

(1 +|x|)N2

ε−N2 +c

2(1 +|x|)N2ε−N2 N4

εk

≤ c4

(1 +c2) (1 +|x|)N2ε−N2 N4

εk

≤ c4(1 +c2)N4(1 +|x|)N2N4ε−N2N4εk ≤ c4(1 +c2)N4(1 +|x|)N

2

4 εk−N42.

Sejac:=c4(1 +c2)N4. Então

(40)

Finalmente para 4. basta observar que

vε◦uε−fε◦wε = (vε◦uε−vε◦wε) + (vε◦wε−fε◦wε),

usar 2. e observar que 3. é verdadeira se (uε)ε for substituído por (wε)ε.

Se Ω e Ω′ são abertos de IRn e IRp, respectivamente, definimos

Gτ(Ω; Ω′) :={u∈ Gτ(Ω;IRp)| ∃(uε)ε representante deutal queuε(Ω) ⊂Ω′, ∀ε∈I}.

A partir da Proposição 1.3.10 temos a seguinte definição.

Definição 1.3.11 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo de IRp, u∈ G

τ(Ω; Ω′)

e v ∈ Gτ(Ω′;IRm). Chamamos de composta de u e v, e denotamos por v◦u, o elemento de

Gτ(Ω;IRm) definido por

v◦u:= (vε◦uε)ε+Nτ[Ω;IRm],

onde (vε)ε é um representante qualquer de v e (uε)ε é um representante qualquer de u de

modo que uε(Ω)⊂Ω′, para todo ε ∈I.

Nos próximos resultados iremos comparar os conjuntos Eτ[Ω;IRm] e EM[Ω;IRm], e as

álgebras Gτ(Ω;IRm) eG(Ω;IRm).

Proposição 1.3.12 Seja Ω um aberto de IRn. Então

1. Eτ[Ω;IRm]⊂ EM[Ω;IRm];

(41)

Demonstração: Basta observar que, se K ⊂⊂ Ω então, para todo N IN, a função x∈Ω7−→(1 +|x|)N restrita a K é limitada.

A partir da Proposição 1.3.12(1.) podemos definir a aplicação linear

Ψ :Gτ(Ω;IRm) −→ G(Ω;IRm)

(uε)ε+Nτ[Ω;IRm] 7−→(uε)ε+N[Ω;IRm]

.

Convém observar que a aplicação Ψ, como mostra o exemplo a seguir (baseado no

exemplo encontrado em [NPS]), pode não ser injetora.

Exemplo 1.3.13 Seja ϕ C∞(IR;IR) tal que

ϕ≡1 em

1 4 ,

1 4

e ϕ≡0 em IR\ 1

2 , 1 2

.

Se (vε)ε é definida por

vε(x) =ϕ

xε−1, (ε, x)I×IR, então (vε)ε ∈ Eτ[IR;IR], (vε)ε ∈ N[IR;IR] mas (vε)ε∈ N/ τ[IR;IR].

De fato, de ϕ ser limitada e d

pv ε

dxp (x) =

dpϕ

dxp

x−ε−1, para todo (ε, p, x) ∈ I×IN ×IR,

é claro que (vε)ε ∈ Eτ[IR;IR] e (vε)ε ∈ EM[IR;IR]. Para verificar que (vε)ε ∈ N[IR;IR],

considere pIN, K ⊂⊂IR, T >0 tal que K ]T, T[ e η:= 1

T + 1. Então

A:=nx−ε−1 | (ε, x)∈Iη ×]−T, T[

o

⊂]−∞,−1[,

e assim, como ϕ

]−∞,−1[ ≡

0, temos que dpvε

dxp ≡ 0 em ]−T, T[. Logo

dpv ε

dxp ≡ 0 em K, ou

seja (vε)ε ∈ N[IR;IR]. Para finalizar, suponha, por absurdo, que (vε)ε ∈ Nτ[IR;IR]. Então

(42)

isto é,

|vε(x)| ≤c(1 +|x|)NεN+1, ∀ (ε, x)∈Iη1 ×IR. Portanto,

1 =ϕ(0) =vε

1

ε

≤c

1 + 1

ε

N

εN+1 ≤c

1

ε +

1

ε

N

εN+1 ≤2Nc ε, ∀ε∈Iη1, o que é um absurdo. Logo(vε)ε ∈ N/ τ[IR;IR].

Vimos que, se (uε)ε ∈ EM[Ω;IRp] e (vε)ε ∈ EM[IRp;IRm] a função (vε◦uε)ε pode

não pertencer a EM[Ω;IRm]. Contudo, é fácil verificar que, se (vε)ε ∈ Eτ[IRp;IRm], então

(vε◦uε)ε ∈ EM[Ω;IRm]. Portanto é natural compor elemento deG(Ω;IRp)com elemento de

Gτ(IRp;IRm) e obter um elemento de G(Ω;IRm). É isso que faremos a seguir.

Proposição 1.3.14 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo de IRp,

(vε)ε∈ Eτ[Ω′;IRm] e (uε)ε ∈ EM[Ω;IRp] tal que uε(Ω)⊂Ω′, ∀ε ∈I. São verdadeiras

as seguintes afirmações:

1. (vε◦uε)ε ∈ EM[Ω;IRm];

2. se (wε)ε ∈ EM[Ω;IRp] é tal que (wε−uε)ε ∈ N[Ω;IRp] e wε(Ω) ⊂ Ω′, para todo ε ∈I,

então

(vε◦uε−vε◦wε)ε ∈ N[Ω;IRm];

3. se(fε)ε ∈ Eτ[Ω′;IRm] é tal que (fε−vε)ε∈ Nτ[Ω′;IRm], então

(vε◦uε−fε◦uε)ε∈ N[Ω;IR m];

4. se(wε)ε é como em 2. e (fε)ε é como em 3., então

(43)

Demonstração: Sejam αINn e K ⊂⊂.

Para1. proceda como na prova da Proposição 1.3.10 substituindo (1.13) por

|∂γuε(x)| ≤c ε−N, ∀(ε, x)∈Iη×K,

substituindo (1.14) por ∂βvε

◦uε(x)

≤c ε−N, ∀(ε, x)∈Iη×K,

substituindo(uε)ε∈ Eτ[Ω;IRp] por (uε)ε∈ EM[Ω;IRp], substituindo (1.15) por

|∂γuε(x)| ≤c1ε−N1, ∀(ε, x)∈Iη1×K, ∀γ ∈IN

ncom

| ≤ |α|

e mantendo (1.16).

Para 2. basta provarmos, pelo Teorema da Nulidade em EM[Ω;IR] (Teorema 1.2.5)

que, para todo rIN, existemc > 0e ηIsatisfazendo

|vε(uε(x))−vε(wε(x))| ≤c εr, ∀ (ε, x)∈Iη ×K.

Para isso, dador ∈IN, basta procedermos como na prova da Proposição 1.3.10 substituindo

(uε)ε,(wε)ε ∈ Eτ[Ω;IRp]por(uε)ε,(wε)ε ∈ EM[Ω;IRp], mantendo (1.17), substituindo (1.18)

por

|uε(x)| ≤c2ε−N2, ∀ (ε, x)∈Iη2×K, substituindo (1.19) por

|wε(x)| ≤c2ε−N2, ∀ (ε, x)∈Iη2 ×K,

substituindo (nε)ε := (wε−uε)ε ∈ Nτ[Ω;IRp] por (nε)ε := (wε−uε)ε ∈ N[Ω;IR p

],

substi-tuindo (1.20) por

∀q IN, cq > c2, ∃ηq ∈Icomηq < η2 tal que |nε(x)| ≤cqεq, ∀ (ε, x)∈Iηq ×K,

substituindoq :=r+N por q:=r+N2

2 +N2, substituindo (1.21) por |nε(x)| ≤c3εq =c3εr+N

2 2+N2,

(44)

Para 3. e 4. proceda como na prova da Proposição 1.3.10 fazendo as mudanças

realizadas anteriormente e substituindo o Teorema 1.3.7 pelo Teorema 1.2.5.

Se Ω e Ω′ são abertos de IRn e IRp, respectivamente, definimos

G(Ω; Ω′) :={u∈ G(Ω;IRp)| ∃(uε)ε representante deutal queuε(Ω)⊂Ω′, ∀ε∈I}.

A partir da Proposição 1.3.14 temos a seguinte definição.

Definição 1.3.15 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo de IRp, u∈ G(Ω; Ω)

e v ∈ Gτ(Ω′;IRm). A composta de u e v, denotada por v ◦u, é o elemento de G(Ω;IRm)

definido por

v◦u:= (vε◦uε)ε+N[Ω;IRm],

onde (vε)ε é um representante qualquer de v e (uε)ε é um representante qualquer de u tal

que uε(Ω)⊂Ω′, para todo ε∈I.

Finalizamos esta seção apresentando o conjunto OM(Ω;IR). Esse conjunto será

im-portante no capítulo 2.

Definição 1.3.16 Seja Ω um aberto de IRn. Definimos

OM(Ω;IR) := {f ∈C∞(Ω;IR) | ∀α∈INn, ∃p∈IN e∃c >0tais que

|∂αf(x)| ≤c (1 +|x|)−p, ∀x∈Ωo.

É claro queOM(IRn;IR)⊂ Eτ[IRn;IR], e assim, pode-se definir

iOM :OM(IR

n;IR) −→ G

τ(IRn;IR)

f 7−→ (f)ε+Nτ[IRn;IR]

(45)

Note que iOM é injetiva, pois, se (f)ε ∈ Nτ[IR

n;IR], então existem N

∈ IN, c > 0 e

η∈Itais que

|f(x)| ≤c(1 +|x|)Nε, (ε, x)Iη×IRn.

Logo, fixado aIRn, tem-se

|f(a)| ≤c(1 +|a|)N ε, εIη,

e portanto f(a) = 0.

Proposição 1.3.17 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo de IRp,

v ∈ OM(Ω′;IR) e (uε)ε ∈ EM[Ω;IRp] tal que uε(Ω)⊂Ω′, ∀ε∈I. São verdadeiras as

seguintes afirmações:

1. (vuε)ε ∈ EM[Ω;IR];

2. se (wε)ε ∈ EM[Ω;IRp] é tal que (uε−wε)ε ∈ N[Ω;IRp] e wε(Ω) ⊂ Ω′, para todo ε ∈I,

então

(v uε−v◦wε)ε ∈ N[Ω;IR].

Demonstração: Seja (vε)ε := (v)ε. Então (vε)ε ∈ Eτ[Ω′;IR]. Logo o resultado segue da

Proposição 1.3.14 (1.) e (2.).

Do resultado anterior podemos definir a seguinte composta.

Definição 1.3.18 SejamΩum aberto de IRn, Ω′ um aberto convexo deIRp, u

∈ G(Ω; Ω′)e

v ∈ OM(Ω′;IR). A composta deue v, denotada por v◦u, é o elemento de G(Ω;IR)definido

por

vu:= (vuε)ε+N[Ω;IR],

(46)

1.4

A álgebra

G

fτ

(Ω

1

×

2

;

IR

m

)

A álgebra Geτ(Ω1×2;IRm) que estudaremos nesta seção, apresenta características

das duas álgebras apresentadas nas seções 1.2 e 1.3. Por apresentar, na segunda variável, uma condição similar à das aplicações generalizadas temperadas optamos por chamá-la de álgebra das aplicações generalizadas temperadas na segunda variável. Como na seção anterior destacamos o Teorema de Nulidade em Eeτ[Ω1×2;IRm](Teorema 1.4.5).

Definição 1.4.1 Sejam Ω1 e Ω2 abertos, respectivamente, de IRp e IRq . Definimos

e

Eτ[Ω1×Ω2;IR] := {(uε)ε ∈ E[Ω1×Ω2;IR]| ∀K ⊂⊂Ω1, ∀α ∈INp+q, ∃N ∈IN, ∃c >0eηItais que |∂αu

ε(x, y)| ≤c (1 +|y|)N ε−N,

∀ (ε, x, y)∈Iη ×K×Ω2 }; f

Nτ[Ω1×Ω2;IR] := {(uε)ε ∈ E[Ω1×Ω2;IR]| ∀K ⊂⊂Ω1, ∀α ∈INp+q, ∃N ∈IN, ∀r∈IN, ∃c > 0e∃η ∈Itais que

|∂αuε(x, y)| ≤c (1 +|y|)N εr, ∀ (ε, x, y)∈Iη ×K×Ω2 }. Um elemento de Eeτ[Ω1×2;IR] é chamado de elemento moderado temperado na

segunda variável em Ω1×Ω2 a valores em IR e um elemento deNfτ[Ω1×Ω2;IR]é chamado deelemento nulo temperado na segunda variável em Ω1×Ω2 a valores em IR.

Decorre diretamente da Definição 1.4.1 que Eeτ[Ω1×2;IR] é uma IR-álgebra e que f

Nτ[Ω1×Ω2;IR]é um ideal de Eeτ[Ω1×Ω2;IR]. Logo, pode-se definir o seguinte.

Definição 1.4.2 Sejam Ω1 e Ω2 abertos, respectivamente, de IRp e IRq. A álgebra das

(47)

quociente

e

Gτ(Ω1×Ω2;IR) :=Eeτ[Ω1×Ω2;IR]/Nfτ[Ω1×Ω2;IR].

Um elemento de Geτ(Ω1×2;IR) é chamado de função generalizada temperada na

se-gunda variável em Ω1×Ω2 a valores em IR.

Definição 1.4.3 Sejam Ω1 e Ω2 abertos, respectivamente, de IRp e IRq e m ∈ IN com

m≥2. Definimos

e

Gτ(Ω1×Ω2;IRm) :=

e

Eτ[Ω1×Ω2;IR] m

/Nfτ[Ω1×Ω2;IR] m

.

Um elemento de Geτ(Ω1×2;IRm) é chamado de aplicação generalizada temperada na

segunda variável em Ω1×Ω2 e a valores em IRm.

Para facilitar a escrita escreveremos Eeτ[Ω1×2;IRm] e f

Nτ[Ω1×Ω2;IRm] em vez de

e

Eτ[Ω1 ×Ω2;IR] m

e Nfτ[Ω1×2;IR]m, respectivamente.

É fácil verificar que a aplicação

e

Gτ(Ω1×Ω2;IR) m

−→ Geτ(Ω1×Ω2;IRm)

u1ε +Nfτ[Ω1×Ω2;IR],· · ·, umε +Nfτ[Ω1×Ω2;IR]

7−→ (u1ε,· · ·, umε) +Nfτ[Ω1×Ω2;IRm],

é um isomorfismo de álgebras. Portanto, para cada mIN∗, podemos identificar e

Gτ(Ω1×Ω2;IRm)com

e

Gτ(Ω1×Ω2;IR) m

. Note ainda o seguinte.

Observação 1.4.4 Sejam Ω1 e Ω2 abertos, respectivamente, de IRp e IRq e

(uε)ε ∈(E[Ω1×Ω2;IR])m. Tem-se

1. (uε)ε ∈ Eeτ[Ω1×Ω2;IRm] se, e somente se, para quaisquer K ⊂⊂ Ω1 e α ∈ INp+q,

existem N IN, c >0 e ηI tais que

(48)

2. (uε)ε ∈ Nfτ[Ω1×Ω2;IRm] se, e somente se, para quaisquer K ⊂⊂ Ω1 e α ∈ INp+q,

existe N ∈IN tal que, para todo r∈IN, existem c > 0 e η∈I tais que

|∂αuε(x, y)| ≤ c(1 +|y|)N εr, ∀ (ε, x, y)∈Iη ×K×Ω2.

Note que, se Ω1 e Ω2 são abertos, respectivamente, de IRp e IRq, então todo ele-mento (uε)ε∈Eeτ[Ω1×Ω2;IRm] está associado a um único elemento u ∈ Geτ(Ω1×Ω2;IRm) da seguinte forma

u:= [(uε)ε] = (uε)ε+Nfτ[Ω1×Ω2;IRm].

Nesse caso, dizemos que (uε)ε ∈ Eeτ[Ω1×Ω2;IRm] é um representante de

u∈Geτ(Ω1×Ω2;IRm).

A partir do estudo das provas do Teorema de Nulidade emEM[Ω;IRm] e do Teorema

de Nulidade emEτ[Ω;IRm](Teorema 1.2.5 e Teorema 1.3.7) obtivemos o seguinte resultado.

Teorema 1.4.5 (Teorema de Nulidade em Eeτ[Ω1×Ω2;IRm]) Sejam Ω1 um aberto de IRp, Ω2 um aberto de IRq tal que Ω2 ∈ A∗(IRq) e (uε)ε ∈Eeτ[Ω1×Ω2;IRm]. São equivalentes as

seguintes afirmações

(a) (uε)ε ∈Nfτ[Ω1×Ω2;IRm];

(b) ∀K ⊂⊂Ω1, ∃N ∈IN, ∀r∈IN, ∃c >0e∃η∈I tais que

|uε(x, y)| ≤c (1 +|y|)N εr, ∀ (ε, x, y)∈Iη ×K×Ω2.

Demonstração: Segue da definição de Nfτ[Ω1×2;IRm]que(a)implica(b). Para obtermos

a implicação contrária basta que a mesma seja verdadeira no caso em que m= 1.

(49)

Provaremos, por indução sobre|α|, ondeα INp+q, que

∀K ⊂⊂Ω1, ∀α∈INp+q, ∃N ∈IN, ∀r∈IN, ∃c > 0e∃η∈Itais que |∂αu

ε(x, y)| ≤c(1 +|y|)Nεr, ∀ (ε, x, y)∈Iη×K×Ω2.

(1.24)

É claro, por (b), que, se |α|= 0, então (1.24) é verdadeira.

Suponha α = (α1,· · ·, αp+q) ∈ INp+q com |α| > 0 e suponha (1.24) verdadeira para

todoγ ∈INp+q com |γ|=|α| −1. De|α|>0 existe1j p+q tal que α

j 6= 0, e assim

∂αuε=

∂ ∂xj

 ∂|α|−1uε

∂xα1 1 · · ·∂x

αj−1

j · · ·∂x αp+q

p+q

= ∂vε

∂xj

,

onde vε :=

∂|α|−1u

ε

∂xα1 1 · · ·∂x

αj−1

j · · ·∂x αp+q

p+q

∈Eeτ[Ω1 ×Ω2;IR], para todo ε ∈I. Da hipótese de indução, tem-se

∀K1 ⊂⊂Ω1, ∃N ∈IN, ∀s∈IN, ∃c > 0e∃η∈Itais que |vε(x, y)| ≤c(1 +|y|)Nεs, ∀ (ε, x, y)∈Iη×K1×Ω2.

(1.25)

Seja K ⊂⊂ Ω1 e considere V aberto de Ω1 tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂⊂ Ω1. Sejam

b:= 1

2min{1, d(K,Ω1\V)} e L:=K+{x∈IR

p

| |x| ≤b}. Então K L⊂⊂Ω1. Sejar IN e denote ∂

∂wi

e ∂ 2

∂w2

i

por ∂i e ∂i2, respectivamente, onde wi é a i-ésima

coordenada de um ponto arbitrário de IRp+q e1≤i≤p+q.

De (vε)ε ∈Eeτ[Ω1×Ω2;IR], existe N1 ∈IN com N1 >1,c1 >0e η1 ∈Itais que

i2vε(x, y)

≤c1(1 +|y|)N1ε−N1, ∀ (ε, x, y)∈Iη1 ×L×Ω2. (1.26) De (1.25) paraK1 :=Les := 2r+N1, existemN ∈IN comN > N1,c2 > c1 eη2 ∈I com η2 < η1 tais que

|vε(x, y)| ≤c2(1 +|y|)Nε2r+N1, ∀ (ε, x, y)∈Iη2 ×L×Ω2. (1.27) ComoΩ2 ∈ A∗(IRn) existeν >0 como na Definição 1.3.5. substituindoΩ por Ω2. Seja η3 = min{η2, b, ν} e fixemos (ε, x, y) ∈ Iη3 ×K ×Ω2. Note que o segmento de extremidades x e x+εr+N1e

(50)

canônica de IRp, 1 j p, pois os elementos desse segmento são da forma x+t εr+N1e

j

para t ∈ [0,1]. Observe também que o segmento de extremidades y e y+εr+N1f

k ou o

segmento de extremidadesyεr+N1f

k está contido emΩ2, ondefké ok-ésimo elemento da

base canônica deIRq,1k q, pois os elementos desse segmento são da formay+t εr+N1f

k

ouy−t εr+N1f

k para t∈[0,1].

Suponhamos, em primeiro lugar, 1 i p. Como o segmento de extremidades x e

x+εr+N1e

i está contido emL temos, usando o Polinômio de Taylor de ordem 1, que

x+εr+N1e

i, y

=vε(x, y) +∂ivε(x, y)εr+N1+

1 2∂

2

i vε(z, y)

εr+N12,

onde z =x+λ εr+N1e

i para algum λ∈]0,1[, ou seja

∂ivε(x, y)εr+N1 =vε

x+εr+N1e

i, y

−vε(x, y)−

1 2∂

2

i vε(z, y)

εr+N12. (1.28) Suponhamos p+ 1≤ i≤p+q. Como o segmento de extremidades y e y+εr+N1f

i−p

ou o segmento de extremidades y e yεr+N1f

i−p está contido em Ω2 temos, usando o Polinômio de Taylor de ordem 1, que

x, y±εr+N1

fi−p

=vε(x, y) +∂ivε(x, y)εr+N1 +

1 2∂

2

i vε(x, w)

εr+N12

,

onde w=y+θ εr+N1f

i−p para algum θ∈]0,1[, ou seja

∂ivε(x, y)εr+N1 =vε

x, y±εr+N1f

i−p

−vε(x, y)−

1 2∂

2

i vε(x, w)

εr+N12. (1.29) De (1.26), (1.27), (1.28) e (1.29) temos que

|∂ivε(x, y)|εr+N1 ≤ c2

1 +|y|+εr+N1Nε2r+N1 +c

2(1 +|y|)Nε2r+N1 + +1

2c1

1 +|y|+εr+N1N1ε−N1εr+N12 ou seja

|∂ivε(x, y)| ≤ c2

1 +|y|+εr+N1Nεr+c

2(1 +|y|)Nεr+ 1 2c1

1 +|y|+εr+N1N1εr ≤ c2(2 +|y|)Nεr+c2(1 +|y|)Nεr+

1

2c1(2 +|y|)

N1

εr

≤ c2(2 (1 +|y|))Nεr+c2(1 +|y|)Nεr+ 1

2c2(2 (1 +|y|))

N1

εr

≤ c2

2N + 1 + 2N1−1 (1 +

(51)

Sejac:=c2

2N + 1 + 2N1−1

. Então

|∂ivε(x, y)| ≤c(1 +|y|)Nεr, ∀ (ε, x, y)∈Iη3 ×K×Ω2, o que prova (1.24).

Para apresentar a definição de derivada de aplicações moderadas temperadas na se-gunda variável é importante observar que, se Ω1 um aberto deIRp,Ω2 é um aberto deIRq, (uε)ε ∈Eeτ[Ω1×Ω2;IRm], α∈INp+q e(∂αuε)ε∈ E[Ω1×Ω2;IRm]é definida por:

(∂αuε)ε : (x, y)∈Ω1×Ω2 −→∂α(uε) (x, y)∈IRm,

então (∂αu

ε)ε ∈ Eeτ[Ω1×Ω2;IRm]. Assim das propriedades lineares das derivadas, decorre que a aplicação

∂α : Ee

τ[Ω1×Ω2;IRm] −→ Eeτ[Ω1×Ω2;IRm] (uε)ε 7−→ (∂αuε)ε

é um homomorfismo de IR-espaços vetoriais. Note ainda que

∂αEe

τ[Ω1×Ω2;IRm]

⊂ Eeτ[Ω1 ×Ω2;IRm] e ∂α

f

Nτ[Ω1×Ω2;IRm]

⊂ Nfτ[Ω1×Ω2;IRm]. Logo, do Teorema do Homomorfismo, existe uma única aplicação IR-linear ∂α :Ge

τ(Ω1×Ω2;IRm)−→Geτ(Ω1×Ω2;IRm) tal que o diagrama e

Eτ[Ω1×Ω2;IRm] ∂

α

−→ Eeτ[Ω1×Ω2;IRm]

j j

e

Gτ(Ω1×Ω2;IRm) ∂

α

−→ Geτ(Ω1×Ω2;IRm)

comuta, onde j : (uε)ε ∈ Eeτ[Ω1 ×Ω2;IRm] 7−→ (uε)ε +Nfτ[Ω1×Ω2;IRm]. A partir desse fato, temos a seguinte definição.

Definição 1.4.6 Sejam Ω1 um aberto de IRp, Ω2 um aberto de IRq,

u:= [(uε)ε]∈Geτ(Ω1×Ω2;IRm) e α∈INp+q.Chamamos de derivada parcial de ordem α de

u o elemento ∂αu:= [(αu

(52)

A Definição 1.4.6 é compatível com a fórmula de Leibniz, ou seja, se u, v Geτ(Ω1×Ω2;IR)e α∈INp+q, então tem-se

∂α(u v) = X 0≤β≤α

α

β ∂βu ∂α−βv

.

Para apresentar a composta de um elemento de G(Ω;IRp×IRq) com um elemento de e

Gτ(Ω′×IRq;IRm), onde Ωé um aberto de IRn eΩ′ um aberto de IRp utilizaremos, como foi

feito na seção 2, de um conjunto especial. Mais precisamente,

Definição 1.4.7 Sejam Ω um aberto de IRn e Ω′ um aberto de IRp.

Denotamos por G∗e (Ω; Ω′ ×IRq) o conjunto das aplicações generalizadas

u:= (u1,· · ·, up, up+1,· · ·, up+q) ∈ G(Ω;IRp×IRq) tais que (u1,· · ·, up) ∈ G∗(Ω; Ω′).

Proposição 1.4.8 SejamΩum aberto deIRn, Ω′ um aberto deIRp. Seu

∈G∗e (Ω; Ω′×IRq),

então, todo representante (uε)ε de u satisfaz

∀K ⊂⊂Ω, ∃K′ ⊂⊂Ω′ eη ∈Itais quegε(K)⊂K′, ∀ε∈Iη, (1.30)

onde (gε)ε:= ((u1ε,· · ·, upε))ε e (uε)ε :=

u1ε, u2ε,· · ·, upε, u(p+1)ε, u(p+2)ε,· · ·, u(p+q)ε

ε.

Demonstração: Sejam (uε)ε :=

u1ε, u2ε,· · ·, upε, u(p+1)ε, u(p+2)ε,· · ·, u(p+q)ε

ε e

(vε)ε :=

v1ε, v2ε,· · ·, vpε, v(p+1)ε, v(p+2)ε,· · ·, v(p+q)ε

ε representantes de u. Defina

(gε)ε := ((u1ε,· · ·, upε))εe(hε)ε:= ((v1ε,· · ·, vpε))ε. Note que, se(uε)εsatisfaz (1.30), então

(gε)ε satisfaz (1.6), e como (hε)ε é um representante de (gε)ε+N[Ω;IR

p] temos que (h ε)ε

também satisfaz (1.6) ([Fer]). Logo (vε)ε verifica (1.30).

Proposição 1.4.9 Sejam Ω um aberto de IRn, Ω′ um aberto de IRp,

(vε)ε ∈Eeτ[Ω′×IRq;IRm] e (uε)ε :=

u1ε,· · ·, upε, u(p+1)ε,· · ·, u(p+q)ε

ε ∈ EM[Ω;IR

p×IRq]

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