Simulação de transporte de massa de um soluto em meio poroso com auxílio do CFD (Computer...

SIMULAÇÃO DE TRANSPORTE DE MASSA DE UM

SOLUTO EM MEIO POROSO COM AUXÍLIO DO CFD

(

COMPUTER FLUID DYNAMICS

₎

SIMULAÇÃO DE TRANSPORTE DE MASSA DE UM

SOLUTO EM MEIO POROSO COM AUXÍLIO DO CFD

(

COMPUTER FLUID DYNAMICS

₎

Dissertação apresentada à Escola

Politécnica para obtenção de título de

MESTRE na Área de Engenharia

Química

SIMULAÇÃO DE TRANSPORTE DE MASSA DE UM

SOLUTO EM MEIO POROSO COM AUXÍLIO DO CFD

(

COMPUTER FLUID DYNAMICS

₎

Dissertação apresentada à Escola

Politécnica para obtenção de título de

MESTRE na Área de Engenharia

Química

Área de Concentração: Engenharia

Química

Orientador: Prof. Dr. Cláudio

Augusto Oller do Nascimento

À minha esposa Sandra, filhas Milena e Gabriela e minha mãe Frida

pelo carinho, paciência e compreensão que me foi proporcionado ao

A Deus, por permitir que eu chegasse até este momento;

Ao Professor Dr. Cláudio, por sua contribuição técnica valiosa;

À Engenheira Pós Doutoranda Marilda Vianna, por sua paciência e disponibilidade

para discutir todas as questões sobre este trabalho;

À Analista de Tecnologia da Informação Silvia Martins Baeder, por seu suporte

técnico insubstituível;

A todo o Corpo Docente e funcionários do Departamento de Engenharia Química da

Escola Politécnica de São Paulo, que me recebeu de maneira inesquecível;

A todos os colegas que tive a felicidade de reencontrar e de conhecer;

Ao meu irmão Marcelo, por sua preciosa contribuição;

Albert Einstein

“All things are numbers”

Com o avanço dos computadores pessoais, problemas técnicos complexos, antes

restritos aos grandes centros de pesquisas internacionais, passam a ser acessíveis pelas

mais diversas áreas do conhecimento, como as engenharias e em particular a

Engenharia Química. Fenômenos físicos são representados matematicamente por

equações diferenciais, que na maioria das vezes não possuem solução analítica

possível. O CFD (

Computer Fluid Dynamics

) é uma técnica numérica iterativa, que

busca a solução destas equações diferenciais através da discretização do domínio

estudado e das equações que governam o fenômeno envolvido. Neste trabalho, através

de um

software

especialista de CFD, o ANSYS CFX 11.0, foi simulado o transporte

de massa e momento de um soluto traçador, o Cloreto, presente no sal Cloreto de

Sódio, em um meio poroso. Em seguida, os resultados desta simulação foram

comparados e validados por um experimento de transporte de massa numa caixa de

areia.

restricted to the huge centers of international researches, have become more

accessible by many areas of the knowledge, like the engineering and in particular the

Chemical Engineering. Physical phenomena are represented mathematically by

differentials equations, which most of the time do not have possible analytical

solution. CFD (Computer Fluid Dynamics) is an iterative numeric technique, which

search the solution of these differentials equations through both discretization of the

studied domain and the equations that govern the involved phenomenon. In this work,

through a CFD's specialist software, ANSYS CFX 11.0, it was simulated the mass and

momentum transport of a solute tracer, Chloride, present in Sodium Chloride, in a

porous media. After this, the simulation’s results were compared and validated in a

mass transport experiment in a sand box.

LISTA DE TABELAS

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

LISTA DE VARIÁVEIS, CONSTANTES E OPERADORES

1.

INTRODUÇÃO... 1

2.

OBJETIVOS...4

3.

REVISÃO

BIBLIOGRÁFICA...5

3.1.

A QUESTÃO AMBIENTAL... 5

3.2.

A MODELAGEM MATEMÁTICA... 7

3.2.1.

A LEI DE DARCY ... 10

3.2.2.

A EQUAÇÃO GERAL DE TRANSPORTE DE MASSA... 13

3.2.3.

A SOLUÇÃO NUMÉRICA (C.F.D.) ... 14

3.2.3.1.

UM DOS ERROS NUMÉRICOS... 21

3.2.4.

O ANSYS CFX 11.0 ... 22

3.2.4.1.

O GERENCIAMENTO DOS ERROS... 26

3.2.5.

EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO UTILIZADO PELO CFX . 27

3.2.5.1.

ESCOAMENTO NO MEIO POROSO... 27

3.2.5.2.

ESCOAMENTO MULTIFÁSICO E MULTICOMPONENTE ... 29

3.2.5.3.

O USO DE TRAÇADORES ... 32

4.

MATERIAIS E MÉTODOS ...34

4.1.

O ANSYS CFX 11.0 ... 34

4.2.

O CFD (

Computer Fluid Dynamics

)... 34

4.3.

HIDROGEOLOGIA DO SOLO ... 35

4.4.

SIMULAÇÃO PRELIMINAR DO MODELO FÍSICO REAL ... 35

5.

RESULTADOS E DISCUSSÃO ...44

5.1.

SIMULAÇÃO PRELIMINAR ... 44

5.2.

TESTES DE SENSIBILIDADE ... 61

5.3.

SIMULAÇÃO DE UM MODELO REAL... 69

5.4.

A CAIXA DE AREIA... 84

6.

CONCLUSÕES ... 88

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...91

ANEXO

1 ... 96

Figura 4 Fluxograma de modelo clássico matemático de transporte de um soluto ... 14

Figura 5

Grid

gerado pelo ANSYS ICEM CFD ... 16

Figura 6 Criação de nós entre A e B ... 17

Figura 7 Detalhamento da célula em torno do ponto P ... 18

Figura 8 Estrutura do

software

CFX-ANSYS... 22

Figura 9 Geometria gerada dentro do DESIGN MODELER - CFX ... 23

Figura 10 Exemplos de

mesh ou grid

... 23

Figura 11 Condições de contorno de um modelo físico... 24

Figura 12 Regiões principais de um modelo físico ... 24

Figura 13 Monitoramento e acompanhamento da busca de solução de um problema. 25

Figura 14 Simulação utilizando o ANSYS CFX... 25

Figura 15 Solução encontrada para a variável velocidade de um modelo físico ... 26

Figura 16 Diagrama esquemático DTT... 32

Figura 17 Caixa experimental para simulação de pluma ... 35

Figura 18 Contorno de pluma em 2 dimensões... 36

Figura 19 Caixa experimental para simulação elaborado no ANSYS CFX 11.0 ... 36

Figura 20 Detalhe da caixa experimental de simulação... 36

Figura 21

Grid

gerado para a geometria escolhida ... 37

Figura 22 A célula dentro do ANSYS CFX 11.0... 38

Figura 23 Condições de contorno do modelo ... 38

Figura 24 Caixa de areia - perspectiva 1 ... 41

Figura 25 Caixa de areia - perspectiva 2 ... 41

Figura 26 Caixa de areia - perspectiva 3 ... 41

Figura 27 Caixa de areia - perspectiva 4 ... 42

Figura 28 Equações presentes na simulação ... 44

Figura 29 Gradiente de pressão no domínio ... 45

Figura 30 Linhas de velocidade do FLUIDO SALMOURA ... 45

Figura 31 Distribuição de fração mássica do componente água no domínio... 46

Figura 32 Distribuição de fração mássica do NaCl no domínio estudado ... 47

Figura 33 Concentração mássica do componente água em um plano XY... 48

Figura 34 Fração mássica do NaCl nos planos XZ e YZ ... 48

Figura 35 Fração mássica do NaCl nos planos XY... 49

Figura 36 Domínio com 3 planos XY auxiliares ... 50

Figura 37 Vazão mássica total no PLANO 1 ... 50

Figura 38 Vazão mássica total no PLANO 2 ... 51

Figura 39 Vazão mássica total no PLANO 3 ... 51

Figura 40 Vazão mássica total no local ENTRATUBINHO ... 51

Figura 41 Vazão mássica no local ENTRADA... 51

Figura 42 Vazão mássica no local SAÍDA ... 52

Figura 43 Vazão mássica no local SAÍDA (SALMOURA) ... 52

Figura 47 Vazão mássica do componente NaCl nas diversas posições do domínio .... 57

Figura 48 Domínio estudado ... 58

Figura 49 Distribuição de fração volumétrica do FLUIDO SALMOURA... 60

Figura 50 Distribuição de fração volumétrica do FLUIDO ÁGUA ... 60

Figura 51 Aumento da velocidade do FLUIDO ÁGUA (3 ORDENS DE

GRANDEZA) ... 61

Figura 52 Aumento da velocidade do FLUIDO ÁGUA (4 ORDENS DE

GRANDEZA) ... 62

Figura 53 Gradiente de pressão com FLUIDO SALMOURA no domínio estudado .. 62

Figura 54 Distribuição de fração mássica com FLUIDO SALMOURA no domínio

estudado... 63

Figura 55 Escoamento somente na posição ENTRATUBINHO ... 63

Figura 56 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

m

/s) -(a)

... 64

Figura 57 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

_m

_{/s) -(b) 64}

Figura 58 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

m

/s) -(c) 65

Figura 59 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

m

/s) -(d) 65

Figura 60 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

m

/s) -(e) 65

Figura 61 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

_m

_{/s) -(f). 66}

Figura 62 Teste do comportamento da difusividade do NaCl na água (10

_m

_{/s) -(g) 66}

Figura 63 Variação da permeabilidade para mais 3 ordens de grandeza (10

m

)

(pluma) ... 67

Figura 64 Variação da permeabilidade para mais 3 ordens de grandeza (velocidade) 67

Figura 65 Variação da permeabilidade para menos 3 ordens de grandeza (10

_m

₎

(pluma) ... 68

Figura 66 Variação da permeabilidade para menos 3 ordens de grandeza (velocidade)

... 68

Figura 67 Domínio simulado de material poroso (caixa de areia) ... 69

Figura 68

Grid

gerado pelo CFX-MESH para domínio estudado ... 70

Figura 69 Condições de contorno do domínio estudado... 70

Figura 70 Residuais das equações de transporte de massa e momento... 75

Figura 71 Gradiente de pressões ao longo do domínio ... 76

Figura 72 Distribuição do NaCl no FLUIDO SALMOURA ao longo do domínio (a)76

Figura 73 Distribuição do NaCl no FLUIDO SALMOURA ao longo do domínio (b)77

Figura 74 Distribuição das velocidades do FLUIDO SALMOURA no domínio ... 77

Figura 75 Distribuição do componente água no FLUIDO SALMOURA ... 78

Figura 76 Velocidade do FLUIDO ÁGUA no domínio... 78

Figura 77 Distribuição do FLUIDO SALMOURA ao longo do domínio ... 79

Figura 78 Distribuição do FLUIDO ÁGUA ao longo do domínio ... 79

Figura 79 Pontos de coleta de amostras - vista lateral ... 80

Figura 80 Pontos de coleta de amostras - vista superior ... 80

Figura 81 Pontos de coleta de amostras - com gradientes de fração mássica ... 81

Figura 82 Fração mássica do NaCl no ponto injeção... 81

Figura 88 Fração mássica do NaCl no ponto cinco... 82

Figura 89 Fração mássica do NaCl no ponto seis ... 83

Figura 90 Fração mássica do NaCl no ponto sete ... 83

Figura 91 Distribuição dos pontos de coleta na caixa de areia ... 84

Figura 92 Curva de calibração (mg/l de mS/cm) ... 84

Figura 93 Concentração do NaCl em mg/l em cada um dos pontos após 30 horas de

experimento... 86

Tabela 1 Emergências de vazamentos em postos de gasolina de SP ... 6

Tabela 2 Características do

grid

... 37

Tabela 3 Caracterização do modelo virtual... 39

Tabela 4 Condição de contorno ENTRADA ... 39

Tabela 5 Condição de contorno ENTRATUBINHO ... 39

Tabela 6 Condição de contorno SAÍDA ... 39

Tabela 7 Constantes usadas nesta simulação ... 40

Tabela 8 Vazões mássicas em vários locais do domínio... 53

Tabela 9 Relatório do ANSYS CFX 11.0, quantitativo da vazão mássica da água na

ENTRADA... 54

Tabela 10 Vazão mássica do FLUIDO SALMOURA em diversas posições do domínio

... 55

Tabela 11 Perda mássica do FLUIDO ÁGUA em diversas posições do domínio... 55

Tabela 12 Ordem de grandeza - Vazão Mássica do NaCl ... 59

Tabela 13 Dimensões do domínio simulado ... 69

Tabela 14 Dados para simulação... 71

Tabela 15 Caracterização do modelo real ... 73

Tabela 16 Condição de contorno ENTRADA modelo real ... 73

Tabela 17 Condição de contorno ENTRATUBINHO modelo real ... 73

Tabela 18 Condição de contorno SAÍDA modelo real ... 74

Tabela 19 Mínimos e máximos das variáveis estudadas... 74

Tabela 20 Fração mássica do NaCl nos pontos de coleta no modelo computacional

estudado... 83

Tabela 21 Concentração do NaCl em mg/l em cada um dos pontos após 30 horas de

experimento com legenda de tempo... 85

ANSYS CFX 11.0 - ...

Software

para simular CFD, de propriedade da empresa

ANSYS

ANSYS ICEM CFD - ... Módulo gerador de

grid

avançado

AQUIFEM - ... Simulador para fluxos em meios porosos

BHC - ... Hexa Cloro Benzeno,pesticida proibido no Brasil

CAD - ...

Computer-Aided Design

CAE - ...

Computer-Aided Engineering

CETESB - ...Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental

CFD - ...

Computer Fluid Dynamics

CFX-MESH - ………Módulo do CFX para criação automática de

grid

CICPAA - ...Comissão Intermunicipal de Controle da Poluição das

Águas e do Ar

CONAMA - ...Conselho Nacional do Meio Ambiente

DTT - ...

DNAPL tracer test

DNAPLs - ………...

Dense Non-Aqueous Phase Liquid

EPA - ………..…….

U.S. Environmental Protection Agency

FEMWATER - ... Simulador para fluxos em meios porosos

FLOWNET/TRANS - ... Simulador para fluxos em meios porosos

FLUENT - ... Simulador de CFD de propriedade da empresa ANSYS

FORTRAN - ... Linguagem de programação matemática

GMS - ……….. Simulador para fluxos em meios porosos

GTZ - ………….…………..

Deutsche Gesellschaft für Technische Zusammenarbeit

IPCC - ...

Intergovernmental Panel on Climate Change

LES - ………

Large Eddy Simulation

MEF - ... Método dos Elementos Finitos

MDF - ...Método das Diferenças Finitas

MVF - ...Método dos Volumes Finitos

MODFLOW - ...Simulador para fluxos em meios porosos

MODPATH - ...Simulador para fluxos em meios porosos

MT3D - ...Simulador para fluxos em meios porosos

NAPL - ...

Nonaqueous-Phase Liquid

ppm - ... partes por milhão

PHOENICS - ... Simulador de CFD propriedade da empresa CHAN

RMS - ...

Root Mean Square

RT3D - ... Simulador para fluxos em meios porosos

SISNAMA - ... Sistema Nacional do Meio Ambiente

SMC - ...

Second Moment Closure

SUSAM - ...Superintendência de Saneamento Ambiental

USDA - ………....

United States Department Of Agricultural

E

a

coeficiente de equação discretizada difusiva referente ao nó E [L

T

]

P

a

coeficiente de equação discretizada difusiva referente ao nó P [L

T

]

W

a

coeficiente de equação discretizada difusiva referente ao nó W [L

T

]

A

área seccional do tubo [L

]

A

área seccional da face do volume de controle [L

_]

A

área seccional da face do volume de controle na posição

e

[L

]

A

área seccional da face do volume de controle na posição

w

[L

]

A

superfície de controle plana de uma área vetorial [L

]

A´

área vetorial disponível para o fluxo [L

]

A

área de entrada da água [L

]

A

área de entrada da salmoura [L

]

efetiva

A

área efetiva para escoamento [L

_]

A

área livre para escoamento na caixa de areia [L

]

C

concentração do constituinte dissolvido no meio poroso saturado [M L

]

C

.

concentração de amostra diluída [M L

];

C

concentração de amostra concentrada [M L

];

s

C

concentração de fontes e sumidouros internos presentes. [M L

]

D

tensor dispersão no espaço tridimensional [L

T

]

D

diâmetro da entrada da salmoura [L]

água NaCl

D

difusividade cinemática do NaCl na água [L

T

]

D

diâmetro médio das partículas no meio [L]



, A

D

difusividade cinemática do componente A na fase



[L

T

]

e

face leste de uma célula centrada no ponto P

g

aceleração da gravidade constante 9,8 m/s

k

inclinação de uma reta [ - ]



permeabilidade da areia [L

]

x

k

permeabilidade intrínseca [L

]

x

K

condutividade hidráulica na direção x [LT

]

xx

K

componente x do tensor condutividade hidráulica na direção x [LT

]

yy

K

componente y do tensor condutividade hidráulica na direção y [LT

]

zz

K

componente z do tensor condutividade hidráulica na direção z [LT

]

(

K

...

K

) componentes cruzados do tensor condutividade hidráulica [LT

]

K

condutividade hidráulica da areia [LT

]

ij

K

tensor simétrico de segunda ordem área porosidade [-]

L

comprimento da seção com areia [L]



m

vazão mássica [ M T

]

i

m

massa de cada componente na fase



[M]

m

vazão mássica da água [ M T

]



m

vazão mássica total [ M T

]



m

vazão mássica da salmoura [ M T

]



m

vazão mássica do NaCl [ M T

]

C

N

número total de componentes presentes na fase



[-]

F

N

número total de fases presentes [-]

P

pressão [M L

T

]

Q

descarga através da seção de areia [L

T

]

q

vetor velocidade de Darcy no meio tridimensional (velocidade de

percolação) [L T

_]

s

q

termo de fontes e sumidouros de água [L

T

L

]

água

R

raio do tubo de entrada do FLUIDO SALMOURA [L]

R

fator que indica a qualidade de dispersão dos pontos numa regressão linear



r

fração volumétrica da fase



[-]

ij

R

tensor simétrico de segunda ordem resistência no meio poroso [M L

T

]



r

fração volumétrica da fase



[-]

S

valor médio da produção sobre o volume de controle em uma célula [M L

T

]

S

termo de produção [M L

T

]

s

S

coeficiente de armazenamento específico [ L

]



, A

S

termo de produção do componente A na fase



[M L

T

].

S

componente de linearização da expressão

S



V



[M L

_T

_]

S

termo de produção no nó P [M L

T

]

t

tempo [T]

u

velocidade de escoamento do fluido [L T

_]

u

velocidade de escoamento do fluido na direção x [L T

]

U

velocidade do fluido [L T

]

j i

u

velocidade de um ponto na posição (

i,j

) do espaço ortogonal [L T

]

j i

u

velocidade no ponto (

i+1, j

) [L T

]



U

velocidade vetorial da fase



[L T

];

V

volume disponível para o fluxo em célula de controle infinitesimal [L

]

V

volume físico da célula [L

]



V

volume da fase



[L

]

V

volume de amostra diluída [L

];

V

volume de amostra concentrada [L

].

v

velocidade de escoamento do fluido na direção y [L T

]

salm

NaCl

x

fração mássica do NaCl [-]

água

x

fração mássica da água [-]

x

espaço unidimensional, sistema de coordenadas retangulares [L]

XY

plano formado pelos eixos x e y [L

_]

XZ

plano formado pelos eixos x e z [L

]

y

espaço unidimensional, sistema de coordenadas retangulares [L]



i

Y

fração mássica de cada componente do fluido na fase



[-]



A

Y

fração do componente A na fase



[-];

YZ

plano formado pelos eixos y e z [L

_]

w

velocidade de escoamento do fluido na direção z [L T

]

w

face oeste de uma célula centrada no ponto P

z

espaço unidimensional, sistema de coordenadas retangulares [L]

LETRAS GREGAS



fase de fluido



fase de fluido



porosidade volumétrica [-]

WP

x



distância entre os nós W e P [L]

PE

x



distância entre os nós P e E [L]

wP

x



distância entre a face

w

e o ponto P [L]

Pe

x



distância entre a face

e

e o ponto P [L]

we

x



largura do volume de controle do nó P [L]

x



largura do volume de controle do nó P [L]

V



volume de controle do nó P [L

]

W



coeficiente de difusão no nó W [L

_T

_]

w



coeficiente de difusão na posição

w

[L

T

]



escalar não reagente (fração mássica escalar) [-]



propriedade escalar não reagente em uma dimensão (Temperatura,

Concentração, fração mássica, etc.)

A



condição de contorno no ponto A da propriedade



B



condição de contorno no ponto B da propriedade



E



valor da propriedade



no nó E

P



valor da propriedade



no nó P

W



valor da propriedade



no nó W

e



viscosidade efetiva [M L

_T

_]



viscosidade do fluido [M L

_T

_]

salm



viscosidade da salmoura [M L

_T

_]

agua



viscosidade da água [M L

_T

_]



constante ; 3,14...



porosidade do meio [-]



densidade do fluido [M L

_]





densidade do fluido na fase



[M L

_]

i



densidade termodinâmica de cada componente [M L

_]





densidade do fluido na fase



[M L

_]

salm



densidade da salmoura [M L

_]

água



densidade da água [M L

]

NaCl



operador derivada parcial de uma variável



operador del, gradiente



operador somatório



produto escalar



produto diádico



intervalo de alguma variável

dx

d

/

derivada de uma variável em relação à dimensão x

1

1

.

.

I

I

N

N

T

T

R

R

O

O

D

D

U

U

Ç

Ç

Ã

Ã

O

O

O grande desenvolvimento industrial e tecnológico, que começou com a Revolução

Industrial na Inglaterra no século XIX e se aprofunda até os dias de hoje começa a

cobrar o seu preço. Aquela idéia de que os recursos naturais do planeta são

inesgotáveis e que os resíduos gerados pela ação humana podem ser descartados no

meio ambiente sem conseqüências são fatos do passado. O planeta começa mostrar

sinais de esgotamento, com alteração dos mecanismos climáticos e conseqüente

aquecimento global conforme

o Intergovernmental Panel on Climate Change

, (IPCC,

2007). Como conseqüência deste quadro alarmante, a maioria dos países

desenvolvidos e em desenvolvimento adotou leis e regulamentos que passaram a

controlar e restringir todos os tipos de emissões industriais, urbanas e agrícolas. Nos

Estados Unidos, por exemplo, a EPA (

U.S. Environmental Protection Agency

) é o

órgão responsável por este controle. No Brasil, O Conselho Nacional do Meio

Ambiente - CONAMA é o órgão consultivo e deliberativo do Sistema Nacional do

Meio Ambiente-SISNAMA, foi instituído pela

Lei 6.938/81

, que dispõe sobre a

Política Nacional do Meio Ambiente, regulamentada pelo

Decreto 99.274/90

(CONAMA, 2008).

A CETESB - Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental é a agência do

Governo do Estado de São Paulo responsável pelo controle, fiscalização,

monitoramento e licenciamento de atividades geradoras de poluição, com a

preocupação fundamental de preservar e recuperar a qualidade das águas, do ar e do

solo. Criada em 24 de julho de 1968, pelo

Decreto nº 50.079

, a CETESB, com a

denominação inicial de Centro Tecnológico de Saneamento Básico, incorporou a

Superintendência de Saneamento Ambiental - SUSAM, vinculada à Secretaria da

Saúde, que, por sua vez, absorvera a Comissão Intermunicipal de Controle da Poluição

das Águas e do Ar - CICPAA que, desde agosto de 1960, atuava nos municípios de

Santo André, São Bernardo do Campo, São Caetano do Sul e Mauá, na região do ABC

da Grande São Paulo (CETESB, 2008).

A poluição industrial, urbana e agrícola afeta a água, o ar e o solo.

materiais tóxicos e radioativos. O simples descarte de poluição no solo vem, cada vez

mais, tornando-se motivo de preocupação para a sociedade e para as autoridades,

devido não só aos aspectos de proteção à saúde publica e ao meio ambiente, mas

também à publicidade dada aos relatos de episódios críticos de poluição por todo o

mundo (CETESB, 2008). Não existe um consenso entre os pesquisadores sobre qual é

a melhor abordagem sobre esta problemática. Dificuldades técnicas, políticas e

econômicas têm atrasado esta discussão com conseqüências irreversíveis para a

ciclagem de nutrientes (ciclo do carbono, nitrogênio, fósforo) na natureza e ciclo da

água, prejudicando a produção de alimentos de origem vegetal e animal.

O solo, como receptor de poluentes, pode ser através de um depósito de resíduos; por

estocagem ou processamento de produtos químicos; por disposição de resíduos e

efluentes, por algum vazamento ou derramamento; ou ainda regionalmente através de

deposição pela atmosfera, por inundação ou mesmo por práticas agrícolas

indiscriminadas. Uma constante migração descendente de poluentes do solo para a

água subterrânea poderá ocorrer, o que pode se tornar um grande problema para os

usuários locais e até cidades inteiras.

Através de processos convectivos e dispersivos, o contaminante migra no solo, por

suas inúmeras camadas, até alcançar o lençol freático de onde pode se espalhar para

grandes áreas. Entender os mecanismos de transporte de massa dos mais diversos

contaminantes nos mais variados solos, com suas conseqüências nos diferentes níveis

do solo,

justifica

plenamente o estudo aqui proposto.

O solo e as águas subterrâneas interagem de maneira constante. A Hidrogeologia e as

engenharias estudam estas interações através de modelos matemáticos (CLEARY,

1989). A simulação prevê respostas físico-químicas de um aqüífero sujeito à

perturbação, como poços de injeção ou extração ou a migração de um resíduo tóxico.

Analogamente à Lei de Ohm, a Lei de Darcy modela o fluxo de água em meios

porosos. Modelos físicos de caixas de areia são excelentes para ilustrar visualmente o

comportamento das águas subterrâneas, mas se restringe a cursos universitários e as

aplicações ocasionais no estudo de migração complexa de contaminantes, como as

exibidas por DNAPLs (fase líquida densa e não-aquosa, do inglês “

Dense

Non-Aqueous Phase Liquid

”) (SCHWILLE , 1988). MANGOLD e TSANG (1991)

rotineira para a solução de problemas de solos e águas subterrâneas diferentemente do

passado onde era encontrada somente em artigos científicos. O judiciário americano

aceita os modelos matemáticos como ferramenta para auxílio em processos de danos

ambientais.

A CETESB divulga informações sobre a sistemática adotada para o gerenciamento

integrado de áreas contaminadas e articula todos os atores envolvidos. As informações

encontram-se no "Manual de Gerenciamento de Áreas Contaminadas", viabilizado em

cooperação técnica com o governo da Alemanha, por meio de sua Sociedade de

Cooperação Técnica (

Deutsche Gesellschaft für Technische Zusammenarbeit

, GTZ),

disponibilizado na página da CETESB na internet. O manual contava, até então, com

os capítulos I a VII, versando respectivamente sobre Aspectos Gerais, Bases Legais,

Identificação de Áreas Potencialmente Contaminadas, Cadastro de Áreas

Contaminadas, Avaliação Preliminar, Investigação Confirmatória e Priorização. São

disponibilizados agora, em caráter preliminar, os capítulos VIII - Investigação

Detalhada, IX - Avaliação de Risco, X - Investigação para remediação, XI - Projeto de

remediação e XII - Remediação, em que são apresentadas as linhas gerais do que a

CETESB considera necessário que seja abordado nestas etapas do gerenciamento das

áreas contaminadas. Na Investigação Detalhada, para se quantificar o fluxo e o

transporte de poluentes no solo e nas águas subterrâneas, pode-se utilizar medidas de

campo, modelagem física, modelagem elétrica analógica ou modelagem matemática

(CETESB, 2006). Existem muitos modelos computacionais para a simulação

matemática do escoamento na zona saturada no solo poroso e o transporte de massa.

Os mais conhecidos são: Aquifem; 3DFEMFAT; Femwater, Flownet/Trans; GMS;

Micro-Fem; MOC; MOCDense; Modflow; Modpath; MT3D; RT3D; Visual Modflow

(CETESB, 2006). Alguns destes

softwares

são científicos e outros são comerciais. A

maioria deles usa os conceitos de CFD (

Computer Fluid Dynamics

). Onde houver

fluxo de massa, momento ou energia, o CFD pode ser aplicado, desde o fluxo em um

rio até a análise de fluxos em uma aeronave espacial. Cada ponto do domínio estudado

pode ser analisado com grande detalhe.

O

software

de CFD escolhido para o desenvolvimento deste trabalho foi o ANSYS

2

2

.

.

O

O

B

B

J

J

E

E

T

T

I

I

V

V

O

O

S

S

Os principais objetivos deste trabalho são:

1- Simular o escoamento do soluto Cl

em um meio poroso saturado de água através

do programa ANSYS CFX 11.0. O modelo matemático escolhido considera o

escoamento multifásico e multicomponente.

2- Utilizar as técnicas de CFD (

Computer Fluid Dynamics

) para discretizar o domínio

físico e solucionar as equações diferenciais que governam os fenômenos envolvidos.

3

3

.

.

R

R

E

E

V

V

I

I

S

S

Ã

Ã

O

O

B

B

I

I

B

B

L

L

I

I

O

O

G

G

R

R

Á

Á

F

F

I

I

C

C

A

A

3.1.

A QUESTÃO AMBIENTAL

Apesar dos esforços da nação americana para prevenir derramamentos, quase 14.000

derramamentos de óleo são divulgados todos os anos, mobilizando milhares de

pessoas da área de emergência especialmente treinadas, aplicando os melhores planos

de contingenciamento. Embora muitos derramamentos sejam contidos e limpos pelos

próprios responsáveis, o governo às vezes é chamado para solucionar parte destes

derramamentos (EPA, 2008). Muitos são os problemas gerados pelas áreas

contaminadas. Segundo SANCHEZ (1998), quatro são os principais problemas

gerados pelas áreas contaminadas: existência de riscos à segurança das pessoas e das

propriedades, riscos à saúde pública e dos ecossistemas, restrições ao desenvolvimento

urbano e redução do valor imobiliário das propriedades. Um dos principais problemas

causados pela poluição ambiental é a contaminação das águas subterrâneas para

abastecimento público e domiciliar, além do comprometimento dos aqüíferos.

Inúmeros trabalhos científicos no mundo todo mostram casos de contaminação dos

mais variados tipos.

Na década de 80, nos Estados Unidos e no Canadá, novas áreas residenciais,

comerciais e industriais foram criadas em antigas instalações industriais que possuíam

solos contaminados. Os denominados “

brownfields

”, áreas industriais antigas e

Figura 1 Fonte de contaminação do solo e do lençol freático

FONTE: RICARDO HIRIDA (2000) apud CETESB (2008)

A CETESB, através da sua Divisão de Tecnologia de Riscos Ambientais, mantém um

banco de dados no qual estão listados todos os atendimentos a acidentes com produtos

realizados pela empresa. No Estado de São Paulo, foram realizados 586 atendimentos

emergenciais no período de 1984 a 2005, envolvendo vazamentos de combustíveis em

postos de revenda e de prestação de serviços. Para a Divisão de Tecnologia de Riscos

Ambientais, os vazamentos em postos e sistemas retalhistas de combustíveis têm sido

responsáveis por cerca de 9% de todas as emergências atendidas no Estado de São

Paulo, conforme a Tabela 1.

Tabela 1 Emergências de vazamentos em postos de gasolina de SP

FONTE: CETESB (2008)

EMERGÊNCIAS

ANO

33

1997

62

1998

69

1999

54

2000

42

2001

41

2002

42

2003

28

2004

3.2. A MODELAGEM MATEMÁTICA

O fluxo e o transporte de poluentes no solo e nos aqüíferos podem ser quantificados

por medidas de campo, modelagem física ou modelagem elétrica analógica ( com o

uso de componentes elétricos) ou modelagem matemática (CETESB, 2006). As

medidas de campo são pouco utilizadas devido à demora para coleta de dados e aos

altos custos, apesar de ser mais direta e precisa. Os modelos físicos ou modelagem

elétrica foram largamente utilizados na década de 70, nos laboratórios de hidráulica.

Com o barateamento e popularização dos computadores, os modelos matemáticos, que

utilizam uma equação ou uma série de equações através de métodos numéricos

passaram a ser uma opção bastante viável. Consegue-se simular e prever respostas

físico-químicas de um meio poroso sujeito às perturbações, como poços de injeção e

extração e migração de contaminantes.

Os modelos matemáticos permitem:



compreender e prever fenômenos de fluxo e transporte de poluentes em

aqüíferos



delinear áreas de proteção de poços



definir pontos de coleta no campo



selecionar e avaliar alternativas de remediação em locais contaminados

É importante frisar que os modelos matemáticos não produzem respostas definitivas,

visto que fornecem uma versão simplificada de um fenômeno que é bastante

complexo. Todavia, os modelos matemáticos podem ajudar a decidir quando se possui

várias alternativas de solução envolvendo muitas variáveis.

A maioria dos modelos matemáticos é determinística, ou seja, relaciona causa e efeito

de maneira exata.

Os parâmetros determinísticos são:



determinação da distribuição de carga hidráulica;



determinação do fluxo e



determinação do transporte de poluentes.

Muitos modelos matemáticos são específicos e possuem faixas de validade, sendo que

sua utilização implica em:



definição do problema;



coleta de dados;



construção do modelo com base nos dados coletados;



calibração e validação;



análise de sensibilidade;



previsão e visualização.

Existem muitos

softwares

no mercado chamados de “

software

de modelagem visual”,

com uma interface amigável e visual, com fácil entrada e modificação de dados,

calibração integrada e visualização gráfica dos resultados.

As propriedades físicas, químicas e biológicas dos solos (meio poroso) incluindo os

mecanismos de transporte de poluentes dependem dos constituintes, formação,

granulometria, estrutura, teor de umidade do solo e de processos eólicos, regime

pluviométrico, radiação solar e das atividades antropogênicas. Um solo pode ter

imensas variações, mesmo a curtas distâncias. Quando um poluente atinge o solo pode

ser transportado pela ação dos ventos, das águas de escoamento superficial ou

lixiviado pelas águas de infiltração, sofrendo adsorção, transformação química ou

degradação biológica, podendo ou não passar paras as águas subterrâneas. A Figura 2

mostra um sistema de coordenadas cartesianas em um aqüífero.

Figura 2 Esquema com sistema de coordenadas de aqüífero com fontes de poluição

FONTE: PORTO (1991)

líquida aquosa. Portanto, nesta zona podem ocorrer os seguintes processos físicos:

volatilização, advecção, dispersão, adsorção ou decaimento.

A volatilização é o particionamento do contaminante entre as fases líquidas e vapor,

dependendo de sua pressão de vapor e de sua solubilidade dentro da água. Já a

advecção é o escoamento ou percolação do poluente através do solo. O escoamento

será multifásico quando envolver fases líquidas aquosas e não aquosas.

A dispersão é a soma de dois efeitos, a dispersão mecânica e difusão molecular

(medida pela difusividade). A dispersão mecânica ocorre em função da não

uniformidade do campo através dos poros que causa o espalhamento com intensidades

distintas em todas as direções. Segundo CLEARY (1989), os contaminantes se

dispersam devido à difusão molecular, estratificação de velocidades em níveis micro e

macroscópicos. No nível microscópico, surge uma distribuição de velocidades

intersticial parabólica nos grãos sólidos do solo, análoga àquela do escoamento em

tubos uniformes, devido ao efeito das paredes. As espécies químicas movem-se das

áreas de maior concentração para as de menor concentração. Em nível macroscópico,

há grandes heterogeneidades, que normalmente são a causa principal do espalhamento

de um contaminante como SKIBITZKIE E ROBINSON (1963) demonstraram.

A adsorção representa o particionamento dos contaminantes entre as fases dissolvidas

na água intersticial e adsorvidas nos grãos do solo através de mecanismos que ainda

estão sendo pesquisados. Matematicamente, o particionamento pode ser descrito por

expressões chamadas de isotermas, que são obtidas experimentalmente.

O decaimento representa a diminuição do contaminante ao longo do tempo através dos

mecanismos de degradação química e biológica.

Conforme as propriedades do contaminante, como densidade, pressão de vapor,

solubilidade em água, coeficiente de partição de carbono orgânico e meia vida no solo,

pode-se ter os seguintes caminhos: a partir da zona insaturada, o contaminante retorna

para a atmosfera por volatização ou fica retido nesta zona por adsorção ou passa para

as águas subterrâneas na zona saturada.

3.2.1. A LEI DE DARCY

A Lei de Darcy, formulada por Henry Darcy, resultado de seus experimentos sobre

escoamento de água no meio arenoso é a base científica da hidrogeologia. Análoga a

Lei de Fourier no campo da condução de calor, a Lei de Ohm na eletricidade e a Lei

de Fick na teoria da difusão. A Figura 3 mostra uma seção de um duto de areia.

Figura 3 Duto preenchido com areia, com descarga Q

FONTE: BENNETT & ZHENG (2000)

A água de viscosidade e densidade uniforme flui através do cano sobre pressão, sendo

que o cano fica cheio de água e a areia permanece saturada. A descarga, em volume de

água por unidade de tempo é designada por Q. Como explicam BENNETT & ZHENG

(2000), piezômetros em cada extremidade do tubo são usados para medir a carga total

acima de um referencial (

datum

). A área seccional do tubo é designada por A e o

comprimento da seção com areia de L. A descarga através da seção de areia é dada

por:

L

h

h

KA

Q





2



1

(1)

onde K é denominado condutividade hidráulica da areia; h

a carga total na face de

entrada da água e h

na face de saída. A equação 1 é a forma da Lei de Darcy, que

descreve o fluxo no meio poroso.

A

Q

v

.





₍₂₎

onde



é denominado porosidade, que varia de 0 a 1 e que pode ser definida como a

relação do volume de vazios entre os grãos sobre o volume total do meio poroso. A

forma diferencial da equação 1 é mostrada a seguir :

dl

Kdh

v

.







(3)

A velocidade de Darcy q, pode ser definida como Q/A e

v

.



o que leva a equação 3 a

ser escrita como:

dl

dh

K

A

Q

q







₍₄₎

A velocidade de Darcy é na verdade a descarga por unidade de seção de área e é

frequentemente chamada de descarga especifica. Ela representa a velocidade média no

tubo aberto, fora da seção de areia. Nota-se também que:



q

v



₍₅₎

Percebe-se também que o termo (



.

A

) é menor que A, na parte externa da seção da

areia, e como a descarga passa por todas as seções, é de se presumir que a velocidade é

maior dentro da areia do que na parte de fora da areia.

Generalizando, pode-se definir a condutividade hidráulica na direção x como:





g

k

K



.

₍₆₎

x

k

é definido como permeabilidade intrínseca;



é a densidade do fluido e



a

viscosidade. Observando a equação 6, percebe-se que permeabilidade intrínseca é

função apenas do meio poroso enquanto a condutividade hidráulica incorpora as

propriedades do fluido.

Na verdade, a condutividade hidráulica e a permeabilidade são tensores de segunda

ordem. Desta maneira, a equação 4 pode ser escrita da seguinte maneira para o eixo x,

y e z:

z

h

K

y

h

K

x

h

K

q





















₍₇₎

z

h

K

y

h

K

x

h

K

q





















₍₈₎

z

h

K

y

h

K

x

h

K

q





















₍₉₎

onde

K

,

K

e

K

são os principais componentes do tensor condutividade

hidráulica e assumindo que estes principais componentes fiquem alinhados com os

eixos cartesianos faz com que os componentes cruzados do tensor (

K

...

K

) fiquem

zerados.

Desta maneira, a partir do Princípio da Conservação de Massa e da Lei de Darcy

chega-se à equação clássica do escoamento das águas subterrâneas na zona saturada

no meio poroso:











)

(

x

h

K

x











)

(

y

h

K

y











)

(

z

h

K

z

q

=

t

h

S



onde:

x, y e z - direções principais de escoamento, sistema de coordenadas retangulares;

h - carga total [L];

zz yy

xx

K

K

K

,

,

- componentes principais do tensor de condutividade hidráulica [LT

];

t - tempo [T];

s

S

- coeficiente de armazenamento específico [ L

] e

s

q

- termo de fontes e sumidouros de água [L

T

L

= T

]

Para que esta equação possa ser resolvida é necessária a definição das condições de

contorno e de uma condição inicial, senão o problema ficará indeterminado.

As condições de contorno principais são:



do primeiro tipo Dirichlet, onde a carga é especificada no contorno ;



do segundo tipo ou de Neumann, onde o fluxo é especificado no contorno;



do terceiro tipo ou de Cauchy, uma combinação das duas anteriores.

3.2.2. A EQUAÇÃO GERAL DE TRANSPORTE DE MASSA

Através do balanço de massa em um volume de controle infinitesimal e considerando

os fenômenos de advecção e de dispersão segundo BENNET & ZHENG (2002),

chega-se à equação diferencial, parcial, transiente e tridimensional de um constituinte

dissolvido na zona saturada de um meio poroso heterogêneo e anisotrópico, num

sistema de coordenadas cartesianas na sua forma vetorial:

s

s

C

q

C

q

C

D

t

C























)

.

(

)

.

(

)

.

(





(11)

onde:

C - concentração do constituinte dissolvido no meio poroso saturado [M L

_];

D - tensor dispersão no espaço tridimensional [L

T

];

q- o vetor velocidade de Darcy no meio tridimensional (velocidade de

percolação) [L T

_];

s s

C

q

- fontes e sumidouros internos presentes. [M L

T

];

Esta equação pode ser utilizada para modelar sistemas em uma, duas ou três

dimensões, bastando apenas adequar as coordenadas utilizadas.

Apesar de existir solução analítica para este tipo de equação, são particulares e de

difícil solução. O mais sensato é utilizar métodos numéricos para chegar a um tipo de

solução do tipo C= f(x, y, z, t). Resumindo temos:

Figura 4 Fluxograma de modelo clássico matemático de transporte de um soluto

3.2.3. A SOLUÇÃO NUMÉRICA (C.F.D.)

O CFD (

Computacional Fluid Dynamics

) é um estudo computacional matemático de

fluxos (BARROS, 2006). Antes restrito aos grandes centros de informática científicos,

cada vez se populariza mais no mundo da microinformática. Muitos pacotes

comerciais como CFX (CFX, 2008), FLUENT (FLUENT, 2008), PHOENICS

CONDIÇÃO DE

CONTORNO E INICIAL

Modelo Matemático de

Fluxo - equação10

h(x,y,z,t)

i ii i

x

h

K

q







Modelo Matemático de

Transporte - Equação 11

z

y

x

q

q

q

,

,

(CHAM, 2008) cada vez mais, ficam acessíveis ao mundo da pesquisa científica e das

aplicações comerciais. Estes três

softwares

utilizam a linguagem FORTRAN e usam a

técnica dos volumes finitos. Situações

“ what-if

” podem ser simuladas para a solução

de problemas novos ou para a otimização de processos já existentes.

Para resolver os problemas de fluidodinâmica é preciso utilizar as equações dos

fenômenos de transporte (BIRD, 1960). Estas equações, que governam os fenômenos

da fluidodinâmica, também chamadas de equações constitutivas, são aplicadas, por

exemplo, em modelos ou protótipos, para fazer previsões sobre o comportamento das

grandes variáveis termodinâmicas como temperaturas, pressões, concentrações e

também velocidades na região de escoamento. Portanto, utilizar o CFD, implica em

simular e modelar.

O processo de modelagem e simulação considera hipóteses a respeito dos fenômenos

físicos, químicos e comportamentos matemáticos. Estas hipóteses são inseridas nas

equações diferenciais constitutivas fundamentais, que trazem os balanços de massa

( Lei de Lavoisier), quantidade de movimento (segunda Lei de Newton) e de energia

(primeira Lei da Termodinâmica). A solução destas equações gera dados que podem

ser comparados com dados experimentais para sua validação.

Uma vez definida a geometria, as equações constitutivas do fenômeno, e o modelo

físico, é necessário definir as condições de contorno para que o problema tenha uma

solução.

Feito isto, o volume geométrico do modelo e as equações constitutivas são

discretizadas. No caso do volume, subdivide-se seu espaço interno em volumes

menores (uma grande quantidade) chamado de elementos ou células. Este conjunto de

células interconectadas chama-se

mesh

ou

grid

. Cada célula possui células vizinhas e

estão interconectadas por faces comuns e pontos de intersecção chamados de nós.

Estas células podem ter formatos de pirâmides, tetraedros, prismas e hexaedros. Se

forem ordenadas são chamadas de

grid

estruturado, do contrário, são chamados de não

estruturado. Existem hoje, muitos módulos especialistas para somente lidar com a

geração do

grid

. Como exemplo, o ANSYS ICEM CFD (ANSYS, 2008), ferramenta

Figura 5

Grid

gerado pelo ANSYS ICEM CFD

FONTE: ANSYS (2008)

Importante salientar que, por este método, estamos transformando um espaço contínuo

em um espaço discreto. Quanto mais células houver no modelo, mais precisa será a

simulação e mais próxima da solução analítica estará a solução do problema. Um

outro fato importante sobre o

grid

, é que nos locais onde ocorrem grandes gradientes

deve-se aumentar a densidade das células para que estas mudanças sejam bem

“capturadas” pelos modelos matemáticos. Logicamente que a quantidade de células

presentes no modelo esbarra na capacidade do

hardware

e do

software

em processar

tamanha quantidade de informação.

O próximo passo é a discretização das equações diferenciais que governam a

fluidodinâmica. As equações diferenciais e integrais atuam em infinitos pontos do

continuum do domínio. Uma vez discretizadas, somente uma parte de pontos finitos

dentro do domínio serão usados para a busca de uma solução. ROCCA (2000) e

CETESB (2006) trazem uma série de

softwares

comerciais que simulam o

comportamento dos fluidos em meios porosos utilizando os Métodos das Diferenças

Finitas, Elementos Finitos e Volumes Finitos. Na mesma linha, BENNET & ZHENG

(2002) analisam as vantagens e desvantagens de cada um dos modelos de

discretização citados, em

softwares

comerciais e científicos de águas subterrâneas. Um

dos

softwares

especialista bastante consagrado, que utiliza o Método das Diferenças

Finitas, é o

software

MODFLOW (MODFLOW, 2008). É um modelo tridimensional

(

United States Geological Survey

). Todo modular e com extensa documentação, é o

mais utilizado dentre os modelos de diferenças finitas para a simulação no meio

saturado dos solos. É reconhecido e aceito por cortes de justiça, agências ambientais,

universidades, empresas de consultoria e indústrias (CETESB, 2006).

O Método das Diferenças Finitas exige um

grid

estruturado (ordenado). ANDERSON

(1995) faz uma boa explanação do funcionamento deste método. Já para o

grid

não

estruturado (não ordenado), o

Método dos Volumes Finitos (MVF)

é o escolhido por

ser conservativo. A grande maioria dos

softwares

comerciais de CFD utiliza este

método de discretização. VERSTEEG & MALALASEKERA (1995) fazem uma

introdução sobre este método.

Um dos exemplos apresentados pelos mesmos autores é um exemplo genérico de uma

difusão em regime permanente para um escoamento em uma dimensão. Este processo

é governado pela seguinte equação:

0

)

(





S



dx

d

dx

d



(12)

onde



é o coeficiente de difusão , S um termo de fonte e



uma propriedade em um

domínio unidimensional. As condições de contorno



e



da propriedade



são

descritos na fronteira do volume de controle, nos pontos A e B conforme a Figura 6

abaixo.

Figura 6 Criação de nós entre A e B

O primeiro passo do MVF (Método dos Volumes Finitos) é a geração do

grid

, ou a

divisão do domínio em volumes de controle, ou ainda, a discretização do espaço,

conforme se vê na Figura 6. Entre os pontos A e B são criados vários nós como os

pontos W, E e P. A fronteira ou face de cada nó está no ponto médio da distância entre

os nós adjacentes. Ou seja, cada nó está “cercado” por um pequeno volume de

controle ou célula. A célula formada no ponto P é mostrada na Figura 7 que se segue.

Figura 7 Detalhamento da célula em torno do ponto P

FONTE: VERSTEEG & MALALASEKERA (1995)

O nó genérico P tem no seu lado oeste o nó W e no leste o nó E respectivamente. A

face oeste da célula ou do volume de controle de P é definida como

w

e a face leste

como

e

. As distâncias entre os nós W e P, e entre os nós P e E são identificadas como

WP

x



e



x

conforme a Figura 7. Da mesma maneira, as distâncias entre a face

w

e o

ponto P, e entre o ponto P e a face

e

são descritas como



x

e



x

respectivamente.

O largura do volume de controle do ponto P,



x

é igual a



x

. O próximo passo do

MVF é a discretização da equação que governa este fenômeno.

A integração da equação que governa o fenômeno sobre o volume de controle é o

ponto chave do MVF. Deste modo, a integração de equação 12 resulta em:

x





(



)





(



)



(



)







0







V

S

dx

d

A

dx

d

A

SdV

V

d

dx

d

dx

d

w

x

e







A variável A é a área seccional da face do volume de controle,



V

é o volume e

S

é

o valor médio da produção sobre o volume de controle. Uma característica marcante

do MVF é que, por exemplo, esta equação discretizada passa a ter um significado

físico, ou seja, o fluxo difusivo de



que está saindo da face do lado leste,

e

, menos o

fluxo difusivo de



que está entrando na face do lado oeste,

w

, é igual ao termo de

geração de



. Trata-se, portanto de um balanço de



sobre a célula ou o volume de

controle. Através de uma aproximação linear, neste caso chamado de diferenciação

central, os coeficientes de difusão



são calculados e chega-se a:

2











(14)

2











(15)

respectivamente os coeficientes de difusão na face oeste e leste do volume de controle.

O termo

d



/

dx

e o fluxo difusivo passam a ser representados por:

)

(

)

(

x

A

dx

d

A

















(16)

)

(

)

(

x

A

dx

d

A

















(17)

O MVF aproxima o termo de produção através da linearização:

P P

u

S

S

V

S









(18)

Substituindo as equações 16,17 e 18 na equação 13 e rearranjando chega-se à equação

algébrica genérica:

e

_A

_S

x

A

x

S

A

x

A

x



_

