Guia de Onda Dielétrico Planar
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
Este material didático é
planejado para servir de apoio às aulas de SEL-310 E SEL-612:
Ondas Eletromagnéticas, oferecida aos alunos
regularmente matriculados no curso de engenharia de
computação.
Não são permitidas a reprodução e/ou
comercialização do material.
solicitar autorização ao
docente para qualquer tipo de
uso distinto daquele para o
qual foi planejado.
UV-Visível-IR
380-440 440-495 495-558 580-640 640-750 100-280
UV-C
280-315 UV-B
315-380 UV-A
IR-A IR-B IR-C
visível ultra-violeta
infra-vermelho , nm
Janelas de transmissão
0
0,7 1
2 3 4 5 6
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
pe rd a, d B/ km
pico de
absorção OH
-1 a janela
~ 2,5 dB/km; 0,85 mm
2 a janela
~ 0,5 dB/km; 1,3 mm 3 a janela
~ 0,25 dB/km
1,55 m m
Reflexão total em uma interface
z x
y
n 2 < n 1 n 1
incidente
refletida
i c
Onda superficial
z y
x
interface
crítico
k
k r k t
r crítico
E t
Decaimento exponencial da
amplitude do campo na direção z
Propagação ao
longo de x
Reflexão total em duas interfaces
z x
y
n 2 <n 1 n 1
n 3 <n 1
Guia planar
n 2
n 1
n 3
filme cobertura
substrato z t
x y
/ 2 x t
/ 2 x t
Incidência sobre a superfície inferior
z x
y
n 2 n 1
n 2
k k
zk
x( , ) x z A exp( jk x )exp( jk z )
Reflexão desde a superfície inferior
z x
y
n 2 n 1
n 2
k k
zk
x( , ) x z AR exp( jk x x )exp( jk z z )
Superposição de campos-1
( , ) x z A exp( jk x x )exp( jk z z )
( , ) x z AR exp( jk x x )exp( jk z z )
( , ) x z ( , ) x z ( , ) x z
( , ) x z A exp jk x x R exp jk x x exp jk z z
Superposição de campos-2
( ex
, exp p exp exp , p
exp
ara 1
exp , pa
) ra 1
x x
z z
x x
A j
A jk x jk x jk
k x jk x jk z R
x z z R
2 cos exp 2 sen ex
, p
p ,
ar
para 1
( ) a 1
,
x z
x z
j A A
k x jk z
k x jk
x z z
R
R
Perpendicularmente polarizada: mesma fase
z x
y
n 2 n 1
n 2
E
n ˆ
k
Plano de incidência
( , ) x z A exp jk x x exp jk x x exp jk z z ,para R 1
Perpendicularmente polarizada: inversão de fase
z x
y
n 2 n 1
n 2
E
n ˆ
k
Plano de incidência
+
( , ) x z A exp jk x x exp jk x x exp jk z z ,para R 1
Guia planar simétrico
n 2
n 1
n 2
filme cobertura
substrato z t
x y
/ 2 x t
/ 2 x t
Modos TE e TM
2 configurações de campo eletromagnético
T T
M
, ,
E
, ,
y x z
y x z
E H H H E E
Modos TE e TM simétricos: campos proporcionais a
Modos TE e TM antissimétricos: campos proporcionais a cos
sen
x xk x
k x
Equações de Maxwell
Meio isento de fontes e com e de e de
;
z z y x
z x z y
z x
z
z z y x
z x z y
z x
z
z
H jk H j E
j jk
E jk E j H
y E
jk E j H
y H
jk H j E
H H x j
E E x j H
x y
y
t z
H
E E
x
Modos TE (1)
z x z y
z y x
y
z
jk H H j E jk E j H x
E j H
x
ˆ
O guia estende-se indefinidamente na direção , então . ˆ
Como , ent ã E 0 .
0
y
o
x zy
E E y y
E
Modos TE (2)
1
x z y
y z
H k E
H j E
x
2 2 2
2 k E z y 0
x
Modos TE simétrico (1)
2 2
1 1
Região do filme
Região da cobertura
Re 2
e
exp exp 2 gião do substra
2 2
cos ex
to
p p
p
x ex
y z
y
x
x z
t x t
E E x jk z
t x t
E E k x jk
x
E z
z
x jk
Modos TE simétrico (2)
1 1
0 1
1 1
1
2 2
Região do filme
cos exp
sen exp
cos exp
y x z
x z x z
z x x z
H k E k x jk z
H j k E k x jk z
t x t
E E k x jk z
Modos TE simétrico (3)
2 2
0
2 2 2
0
2 2
Região da cobert
ura 2
exp exp
ex
ex e
p
p
e p
xp
y x
x z x z
z x
z
z x
x t
E E x jk z
H k E x jk z
H j E x jk z
Modos TE simétrico (4)
3
2 3
0 2
3
Região do substrato 2
exp exp
exp ex
exp xp
p
y x e z
x z x z
z x x z
H k E x jk z
H j
x t
E x jk
E x jk z
z
Condições de contorno
1 2
1 2
2 t 2 t
y x y x
t t
z x z x
H
E E
H
n
2n
1n
2filme cobertura
substrato z t
x y
/ 2 x t
/ 2 x t
Equação característica dos modos TE simétricos
1 2
2 2
1 2
1
1 2
2 2
2
Equação característica dos modos TE simét
2 exp 2
ricos t
cos ex
g
2 p 2
t t
y x y x
t t
z z
x x
x
x
x
x x
x x
t t
E k
t t
k E sen k E
E E
H
k t
H
E
Relação de dispersão (1)
2 2 1 0 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
1 1
1
Região do filme
0
cos ex
0
2 2
p
z y
y x z
x z y
x k E
E E k x
t x t
k k n k E
k k n
jk z
k
Relação de dispersão (2)
2
2 2
2 2 2
2 0 2
2 2
2 2
Região da cobertura
0 exp
2
p 0 ex
z y
y
y z
x z
x
x k E
E E
k n
t
x jk z
x
k E
Relações de dispersão e equação auxiliar
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2
2 2
0 2 0
0 1
Relações de dispersão
Equação auxiliar
x x
x z
x z
k
k n n k
k k
n k n k
Modos TE antissimétricos
1 1
Equação característica d Região do
os modos TE antissimétrico
film 2 2
sen exp s cotg 2
e
x x
y x z
t x t
E E k x jk
t
z
k k
Resumo: Modos TE
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 0 0
modos TE simétricos
modos TE antissimétricos
Equações características ,
,
Relações de dispersão
Equação auxil cotg 2
t 2
r g
ia
x x x
x
x z
x
z x
x
t
k n n k
k n
k t
k
k n
k
k k
k k
2
Condição de Corte (Perda de Confinamento) (1)
Condição de corte
– A energia eletromagnética deixa de estar
confinada no filme e se transfere para a cobertura e substrato
Confinamento
– Reflexão total da onda incidente na interface dielétrica
– Reflexão total implica na excitação de onda evanescente
Condição de corte
– Campo da onda transmitida (meio 2) deixa de ser
Condição de Corte (Perda de Confinamento) (2)
2 2 2 2
2 2 1 0 2 2 2
2 2
0 1
0
2 2 0
Relações de dispersão
Condição de corte
x 0
x z
x z
x z
k k n k
k n
k n k
k n
k
k n
Condição de Corte (Perda de Confinamento) (3)
2 2 2 2 2
1 2 0
2
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1 2 0
2 2 2
1 2 0
2
2
2 0
Modos TE simétricos tg 2
Substituindo em
R 1 tg
2 sec
esulta em
No cor 2 te
x x
x
x
x
x x
x x
x
k t k t
k n n k
k k t
k n n k
k n n
k
k n n k
t
Condição de Corte (Perda de Confinamento) (4)
2 2
2 2
1 2 0
2
2 2 2 2
1
2 2 2
0
2 2
2
1
Soluções de
, cada raíz uma solução Da condição de no corte,
2
2 2
Comprimento 2 0,
d
sec 1
2 , 2 1 2
x
x x
x
o x
k t
k k
t t
k n n k
k t p p
p
n n
n n t
k
2 2
e onda de corte dos modos TE simétricos , 0,1,2
t n n p
Condição de Corte (Perda de Confinamento) (5)
2 2
0 , 1 2
2 2
0 , 1 2
Comprimento de onda de corte dos modos TE simétricos
,
Comprimento de onda de corte dos modos TE antissimétricos
0,1,2
2 0,1,2
2 1 ,
c p
c p
t n n p p
t n n p p
Diagrama de dispersão (1)
modos TE simétricos
Equações c tg 2 2 tg
aracterísticas
(p
cotg 2 2 cotg 2
2
2
ar) 2
x x x
x
x
x x x
x x
x x
t k k t
t t t
k
k k
t t t
k k
k
modos TE antissimétricos (ímpar)
Diagrama de dispersão (2)
2 2 tg 2
2 2 cotg 2
,
, modos TE simétricos , modos TE antissi tg
cot métricos
2
g 2
x x x
x x x
x x
t k t k t
t k t k t
Y X X
k
Y
t X t
X
Y
X
Diagrama de dispersão (3)
2 2 2
2 2
1 2
2 2 2 2 2
2
1 2
2 2
1 0
2
0
2
2
0
Equaçã
2
o auxiliar
2 2 2 2
, , 2
x x
x
x x
x
n n
t k t n t
t
X
k X t Y
R t n n t t Y
n
k n k
R n
Resumo
2 2
1 2 2
2 2
0
, modos TE simétricos , modos TE ant
2 2
issimétricos , equação aux
tg
cotg
iliar
, ,
x x n
n
Y X X
Y X X
X Y R
t t
k X Y R t n n
t t
Diagrama de dispersão
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0 0.5 1 1.5
2
2 2
1
2 2
1 2
2
2 2 2
2 0
1 2
2
,
1, 2
5 ; 1, cotg
0 tg
2
x x
n n
n ef
n ef
t t
k X Y
R t n n
t t
X t n n
Y t
Y X X
Y X X
n n
n
X R
n Y
2 2 2
cot tg
g
Y X X
Y R X X
Y X
n
0,1 t
n
0,3 t
n
0,5 t
Y TE 0
TE 1
Numeração das soluções
0
A numeração das soluções é feita de acordo com o esquema:
A primeira solução corresponde à curva (modo par)
Esta solução é a , correspondente a A segunda solução corre
t
s
0 po
g
cotg
nde à curva Y X X
TE p
Y X X
1
(modo ímpar)
Esta solução é a , correspondente a E assim por diante
Note que a numeração da solução não corresponde necessariamente ao valor de , mas sim à
0
TE p
p
Diagrama de dispersão (4)
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 0 0
0 2
2 2 2 2
1 0
2 2
0 1 0
1
2
0
2
Relações de dispersão
Analogamente, 2
de 2
x z
x ef
x
x z z
z e
x
x
f
z ef
k n
k
k n k k k k n k
k n k
n n
k k n k k
k n n
Resumo
2 2 2 2
2 2
1 2
0 0
2 2 2
, modos TE simétricos
, modos TE antissimétricos , equação auxiliar
2 , ,
, tg
cot
2 , 2
2
g
x x n
n z ef
k n n n
t t
k X Y R t n n
Y X X
Y X X
X Y R
t t n
k
n k
Diagrama de dispersão (2)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55
Modo ín d ic e e fe tiv o , n
ef= k
z/k
0TE
0TE
1TE
2
2 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2 2
22 0
2 2
, ,
1,5 tg
cotg 2
;
2
1,0
x x
n n z
n ef
n ef
ef
t t
k X Y
R t n n
t k
t n
Y X
n n
X
X
Y X X
X Y
t n R
n Y
k
t n n
Numeração das soluções (1)
0
A numeração das soluções é feita de acordo com o esquema:
A primeira solução corresponde à curva (modo par)
Esta solução é a , correspondente a A segunda solução corre
t
s
0 po
g
cotg
nde à curva Y X X
TE p
Y X X
1
(modo ímpar)
Esta solução é a , correspondente a E assim por diante
Note que a numeração da solução não corresponde necessariamente ao valor de , mas sim à
0
TE p
p
Numeração das soluções (2)
2 2
1 2
1
2 2
0 , 1
1 2
2
Exemplo:
O comprimento normalizado de corte do
modo é 0,447 para 1,5 e 1,0 O comprimento de onda de corte dos modos
ímpares é Reescrevendo,
2 , 0,1
2 1 1 1
2 2
2 1 ,2
n
c p
n
t n n p
p TE t
t n n
n n
p
TE
0
Diagrama de dispersão (3)
2 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2 2
22 0
2 2
, ,
3,2 tg
cotg 2
;
2
1,0
x x
n n z
n ef
n ef
ef
t t
k X Y
R t n n
t k
t n
Y X
n n
X
X
Y X X
X Y
t n R
n Y
k
t n n
0 0.075 0.15 0.22 0.3 0.38 0.45 0.53 0.6 1
1.63 2.25 2.88 3.5
espessura norm., d/lambda0
0
0 1
1
TE TM TE TM
Ín di ce e fe tiv o, k
z/k
0Guia simétrico:campo elétrico do modo principal
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1 1.125 1.25 1.375 1.5
espessura normalizada, t/ λ
0ín di ce e fe tiv o, k
z/k
0TE
0TM
0TE
1TM
1n 2 =1,0 n 2 =1,0
n 1 =1,5 filme
cobertura
substrato
z x
y
( , ) E E x z y y
0
0 0
Modo TE , propagação 2 /
/ 0,32 , / 1,277302 z k
t k k
Guia simétrico: efeito da variação do n da casca
n 2 n 2
n 1 =1,5 filme
cobertura
substrato 2 1
z x
y
( , ) E E x z y y
0
0 0
Modo TE , propagação 2 /
: , / 1,12 , / 1,479445
1 1,45
z k
t k k
n
Guia simétrico: variação do confinamento
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1 1.125 1.25 1.375 1.5
espessura normalizada, t/
0ín di ce e fe ti vo , k
z/ k
0TE
0TM
0TE
1TM
1n 2 =1,0 n 2 =1,0
n 1 =1,5 filme
cobertura
substrato 1
2
z 3
x
y
( , ) E E x z y y
0
0 0
0 0
Modo TE , propagação 2 /
: / 0,12 , / 1,086501 : / 0,32 , / 1,2
1
2
z77302
z k
t k k
t k k
Guia simétrico:campo elétrico dos modos TE 0 e TE 1
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1 1.125 1.25 1.375 1.5
espessura normalizada, d/
0ín di ce e fe tiv o, b/ k
0TE
0TM
0TE
1TM
1n
1=1,0 n
1=1,0
n
2=1,5
filme cobertura
substrato z
x
y
TE
0TE
1operação
( , ) E E x z y y
0 1
0 0
Modo TE e TE , propagação 2 /
: / 1
TE ,12 , / 1,457459
z k
t k k
Guia assimétrico:campo elétrico do modo TE 0
n
3=1,45 n
1=1,0
n
2=1,5
filme
cobertura
substrato z
x
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5
espessura normalizada, d/0 índice efetivo,b/k0
TE
0TM
0TE
1TM
1( , ) E E x z y y
0
0 0
Modo TE , propagação 2 /
/ 0,4 , / 1,405549 z k
t k k
Guia simétrico: relação entre as potências
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1 1.125 1.25 1.375 1.5
