1) Simplifique a fração:
16a
2b
5c 8a
3b
22) Simplificar a fração:
35 5x 7y xy 5 y
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x
3− 2x
2− x 2 x
2− 1
4) Efetuar, simplificando o resultado:
1
a
2− ab 1 ab − b
25) Assinale a resposta certa.
3
1 y − 4
1 − y 8 1 − y
2a)
7
1 − y
b)7
1 y
c)7
1 − y
2 d)− 7 y
2− 1
6) Efetuar:
3a
2b
35a
4x ⋅ 10x
2y
26a
3y
7) Efetuando e simplificando a expressão:
2a − 2b
10 ÷ a
2− b
25a 5b
, obtemos o número:8) efetue a operação:
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1
e marque o resultado correto.a)
2
b
b)− 2
b
c)a
2 d)2
a
9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.
[ 8 x
3⋅ x
2− 4
x
2 4x 4 ⋅ x
2− 2x 4⋅ 4 − 2x ]
5
10) Reduzindo a expressão
a
2⋅ b
3
4⋅a
3⋅ b
2
3 a
4⋅ b
5
2 a sua forma mais simples encontraremos:a)
a
4⋅b
3
2 b) a
4⋅b
2
2 c) a
3⋅ b
4
2 d) a
9⋅b
8
RESPOSTAS
1)
2b
3c a
2)
x 7
3)
x − 2
4)
a b
ab a − b
5)
7
1 y
6)
b
3x
2y a
57)
1
8)
− 2 b
9)
− 32
10)
a
9⋅b
8RESOLUÇÃO
1) Simplifique a fração:
16a
2b
5c 8a
3b
216a
2b
5c 8a
3b
2=
16
8 ⋅ a
2a
3⋅ b
5b
2⋅ c
=2 ⋅a
2−3⋅ b
5−2⋅c
=2 ⋅a
−1⋅ b
3⋅ c
==
2 ⋅ 1
a
1⋅ b
3⋅ c
=2 ⋅ 1⋅ b
3⋅ c
a
=2b
3c a
→16a
2b
5c
8a
3b
2= 2b
3c a
OU
Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c.
Cálculo do m.d.c
Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes
16a
2b
5c
=2
4⋅ a
2⋅ b
5⋅ c 8a
3b
2 =2
3⋅a
3⋅b
2m.d.c (
16a
2b
5c
,8a
3b
2 ) =2
3a
2b
2m.d.c (
16a
2b
5c
,8a
3b
2 ) =8a
2b
216a
2b
5c 8a
3b
2→ Dividir numerador e denominador por
8a
2b
216 / 8⋅ a
2/ a
2⋅b
5/ b
2⋅ c 8 / 8⋅ a
3/ a
2⋅ b
2/b
2 =2⋅ a
2−2⋅ b
5−2⋅c 1 ⋅ a
3−2⋅b
2−2 =2⋅ a
0⋅ b
3⋅ c 1 ⋅a
1⋅b
0 =2 ⋅1 ⋅b
3⋅ c
1 ⋅ a
1⋅ 1
=
2 b
3c a
16a
2b
5c
8a
3b
2= 2b
3c
a
2) Simplificar a fração:
35 5x 7y xy 5 y
A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.
35 5x 7y xy
5 y
→ O macete é observar que o denominador não admite fatoração e portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação.O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
35 5x 7y xy = 5 7 x y 7 x
→ ainda da para fatorar5 7 x y 7 x = 7 x⋅5 y
→ agora sim concluída a fatoração35 5x 7y xy = 7 x ⋅5 y
A fração ficará assim:
35 5x 7y xy 5 y
= 7 x ⋅5 y
5 y
→ agora temos uma multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador) pelo fator comum 5 + y.35 5x 7y xy 5 y
= 7 x ⋅5 y 5 y
= 7 x ⋅5 y / 1
5 y / 1
= 7 + xpor uma questão de elegância
x 7
35 5x 7y xy
5 y = x 7
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x
3− 2x
2− x 2 x
2− 1
Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em multiplicação.
O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos:
Lembrete:
a
2− b
2= a b⋅ a−b
Fatoração do denominador
x
2− 1 = x
2−1
2 , logo:x
2−1
2= x 1 ⋅ x − 1
Fatoração do numerador
Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação.
O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
x
3− 2x
2− x 2
colocando - 1 em evidência →
− 1 ⋅ x − 2
colocando
x
2 em evidência →x
2⋅ x − 2
O numerador fatorado ficará, assim:
x
3− 2x
2− x 2 = x
2⋅ x − 2− 1 ⋅ x − 2
colocando em evidência ( x – 2) →
x − 2⋅ x
2−1
Fatorando
x
2− 1 = x
2−1
2 , logo:x
2−1
2= x 1 ⋅ x − 1
A fração fica assim:
x
3− 2x
2− x 2
x
2− 1 = x − 2⋅ x 1 ⋅x − 1
x 1⋅ x − 1
Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:
x
3− 2x
2− x 2
x
2− 1 = x − 2⋅ x 1 ⋅ x − 1
x 1⋅ x − 1 = x − 2
x
3− 2x
2− x 2
= x − 2
4) Efetuar, simplificando o resultado:
1
a
2− ab 1 ab − b
2Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.
Cálculo do m.m.c
a
2− ab = a⋅ a −b
m.m.c (
a
2− ab
,ab − b
2 ) =ab ⋅a − b
ab − b
2= b ⋅a − b
Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:
1
a
2− ab 1
ab − b
2= 1
a⋅ a −b 1 b ⋅ a − b
Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:
1
a
2− ab 1
ab − b
2= 1
a⋅ a −b/ b 1
b ⋅ a − b / a = 1⋅ b
a ⋅a −b 1 ⋅a b ⋅ a − b
= 1⋅ b
ab ⋅a −b 1 ⋅ a
ab⋅ a − b = b a
ab ⋅ a −b = a b ab ⋅ a −b
1
a2− ab 1
ab −b2 = a b ab⋅a−b
5) Assinale a resposta certa.
3
1 y − 4
1 − y 8 1 − y
2a)
7
1 − y
b)7
1 y
c)7
1 − y
2 d)− 7 y
2− 1
Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.
Cálculo do m.m.c
1 y = 1 y
1 − y = 1 − y
1 − y
2= 1
2− y
2= 1 y ⋅ 1− y
m.m.c 1 y , 1 − y , 1 − y
2 = 1 y ⋅1 − y
Reduzindo ao mesmo denominador
3
1 y − 4
1 − y 8
1 − y
2= 3
1 y /1 − y − 4
1 − y / 1 y 8
1 − y
2/ 1 =
= 3 ⋅1 − y − 4⋅1 y 8 ⋅ 1
1 − y ⋅ 1 y = 3 − 3y − 4 4 y 8
1 − y ⋅1 y =
= 3 − 3y − 4 4 y 8
1 − y⋅1 y = 7 − 7y
1 − y ⋅ 1 y
Fração reduzida ao mesmo denominador: 3
1 y − 4
1− y 8
1− y2 = 7−7y
1− y⋅1 y
Resolvendo a operação:
= 3 − 3y − 4 4 y 8
1 − y⋅1 y = 7 − 7y
1 − y ⋅ 1 y = 7 ⋅1 − y
1 − y⋅1 y =
= 7 ⋅1 − y
1 − y ⋅1 y = 7 ⋅1 − y
1 − y ⋅1 y = 7 1 y 3
1 y − 4
1 − y 8
1 − y
2= 7 1 y
6) Efetuar:
3a
2b
35a
4x ⋅ 10x
3y
26a
3y
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada.
3a
2b
35a
4x ⋅ 10x
3y
26a
3y = 3 a
2b
35 a
2a
2x ⋅ 10 / 5 x
3y y
6/ 3a
3y = 3b
35 a
2x ⋅ 5x
3y 3a
3Agora simplificando cruzado:
3a
2b
35a
4x ⋅ 10x
3y
26a
3y = 3b
35a
3x ⋅ 5x
3y
3a
3y = 3 b
35 a
2x ⋅ 5 x
2x y
3 a
3= b
3a
2⋅ x
2y a
3=
= b
3a
2⋅ x
2y
a
3= b
3x
2y
a
3⋅a
2= b
3x
2y
a
32= b
3x
2y a
53a
2b
35a
4x ⋅ 10x
3y
26a
3y = b
3x
2y a
57) Efetuando e simplificando a expressão:
2a − 2b
10 ÷ a
2− b
25a 5b
, obtemos o número:Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação.
Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação e em seguida invertemos a segunda fração.
2a − 2b
10 ÷ a
2− b
25a 5b = 2a − 2b
10 ⋅ 5a 5b a
2− b
2Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações.
Fatorando:
2a − 2b = 2 a − b
5a 5b = 5 a b
a
2− b
2= a b⋅ a − b
A expressão ficará assim:
2a − 2b
10 ÷ a
2− b
25a 5b = 2 a − b
10 ⋅ 5 a b
a b⋅a − b
Simplificando cada fração separadamente
2 a − b
10 ⋅ 5 a b
a b ⋅a − b = 2 / 1 a − b
10 / 5 ⋅ 5 a b
a b ⋅a − b = a − b
5 ⋅ 5
a − b
Agora simplificando cruzado:
a − b
5 ⋅ 5
a − b = a − b
5 /1 ⋅ 5 / 1
o a − b = 1 2a − 2b
10 ÷ a
2− b
25a 5b = 1
8) efetue a operação:
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1
e marque o resultado correto.a)
2
b
b)− 2
b
c)a
2 d)2
a
Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao mesmo denominador:
Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1 = 1
a b / a − b − 1
a − b /a b ⋅ a
2b
2− 1 1 / b
2 =
= 1⋅a−b
ab a−b− 1⋅ab
aba−b⋅a2
b2 − 1⋅b2
b2 = a −b
ab a−b− ab
aba−b⋅a2 b2 − b2
b2 =
= a−b−a−b
aba−b⋅a2−b2
b2 = a−b−a −b
a ba−b⋅a2−b2
b2 = −b−b
a ba−b⋅a2−b2 b2 =
= −2b
aba−b⋅a2−b2 b2 =
A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1 = − 2b
a ba − b ⋅ a
2− b
2b
2
Resolvendo a operação:
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1 = − 2b
a ba − b ⋅ a
2− b
2b
2 = − 2b
a
2− b
2⋅ a
2− b
2b
2 =
Simplificando cruzado:
= − 2 b
a
2− b
2⋅ a
2− b
2b
2 = − 2 b
1
a b − 1
a − b ⋅ a
2b
2− 1 = − 2 b
9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.
[ 8 x
3⋅ x
2− 4
x
2 4x 4 ⋅ x
2− 2x 4⋅ 4 − 2x ]
−5
Lembrete:
a
2− b
2= a b⋅ a−b
a
3 b
3= a − b ⋅ a
2ab − b
2
a b
2= a
2 2ab b
2Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos, logo:
8 x
3 = 2
3 x
3 = 2 x ⋅ 4 − 2x x
2
x
2− 4 = x
2− 2
2 = x2 ⋅ x −2
x
2 4x 4 = x 2 ⋅ x 2 = x2
2 4 − 2x = 2 2 − x
Substituindo estes valores na expressão teremos:
[ 8 x3⋅x2−4
x24x4⋅x2−2x4⋅4−2x]
−5
= [ 2x⋅4−2xx2⋅x2⋅x−2
x2⋅x2⋅x2−2x4⋅22− x]
−5
= Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:
