M W. Aula 07a Eixos tensão de confronto Cálculo da Tensão de Confronto. Tensão de confronto Tensão ideal Tensão equivalente

6.4.2- Cálculo da Tensão de Confronto Tensão de confronto

Tensão ideal

Tensão equivalente



*



i



eq

a1) Flexão Pura

adm f

fr

W

M 





^*



_max

 

Dimensionamento estático

• Caso estático

• Caso fadiga

Pré-dimensionar como estático

Verificar quanto a fadiga

No caso de secção circular:

adm fr

f

d

d M

W 

 

 _{  }



^{3 *}

32

₃

32

com

M

fr

 M

²fH

 M

²fV

adm

M

fr

d ^  ^ 

3

32  2 . 17

³

adm

M

fr

d ^{ } 

d d  1 . 1 ~ 1 . 3

Pré-dimensionamento :

A) Cálculo da tensão de confronto sob solicitação estática

a2) Torção Pura

adm t

t

W M 





^*



_max

 

Para secção circular: ₁₆ d3

W_{t }

Pré-dimensionamento :

adm t adm

t

M

d d M

 



16

16

₃

3

   1 . 72

₃

adm

M

t

d ^{ } 

d d  1 . 1 ~ 1 . 3

75

] m/s [ ] Kgf ] [

HP [

F v

N v

F

N     

] m [ ] rad/s [ ] m/s

[ r

v   

60 ] rpm [ ] 2

rad/s

[    n



 F r n r

n N F

Mt









 



 716200

1 1000

60 2 75



n M

N

_t

.

716200

1 



[rpm]

:

[Kgf/mm]

:

] HP [ :

n M N

t

15389

3

n

adm

d N



 

 76

] m/s [ ] Kgf ] [

C

[ F v

V

N  

Á partir da potência de entrada (N, em HP; n, em rpm)

3

716200 . .

72 , 1 716200

adm

t

n

d N n

M N

 





d

d  1 . 1 ~ 1 . 3

a3) Flexão e torção combinadas

     



3 1 ²



2 3 2

2 2

2

1

1      



_i

     

Critério Energia Distorção (Von MISES)

0 0













yz xz

torção xy

z y

flexão x

















) 0 ( 

_q



 





Tensões principais

3 2 1

,  , 



xz xy z y x













 ^

 





M

t



z

y x



² 3

* 

²



  

2 2

2 1 2

1

3

4 4

²

²

²      



_i

    

4 ²

² 2 2

4 ²

² 4

² ²

1

     



   



 



 





4 ²

² 2 2

4 ²

² 4

² ²

2

     



   



 



 





4 ²

² 4

² ² 4

² 4

²

2

1

      



    



 



 



 



 











 

   ² 2 ² ² ² 

2

² 1

² 2 ²

1

1 2

2 2 1 1

1 2

2

1

        





_i

        

2 1 2

1

² ²

²    

   



_i

2 ² 2

2

2

1

    





 



 



 

 

 

 x y x y

4 ²

²

2 2

1   



   



0



y





Tensões principais

para 2D (eq.1)

(eq.3) (eq.2)

Da equação 2:

+

Para flexão e torção em eixos temos situação biaxial de solicitação (2D)

Se

σ_i para 2D (σ₃ = 0) é :

f fr

W

 M



²

²

_fv

fh

fr

M M

M  

t t

W

 M



² 3 ²

²

*

²

t t f

fr

W M W

M 

  W

_f

W

_t

2

 1

4 ²

² 3

*

1

t fr

f

M W M 

 

f eq

W

 M

 

^*

adm eq

adm

d

M 

 

    32  ³

*

17

3

, 2

adm

M

eq

d ^ 

No caso de eixos

Tendo-se secção circular :

M

fh

M

fv



^{Dente de} engrenagem

d d  1 , 1 ~ 1 , 3

4 ²

² 3

_t

fr

eq

M M

M  



fa d m f

fr

má x

W

M 





^*

  

f fr

W M S

N 



 

|)

|

|,

(| 

_máx



_min

m

máx

S 

fa d m

S

m





^*

 



má x



min



méd

b1) Flexão Pura

Havendo força normal :

M

f

N

. .n l



m



m





 k 1

f fr

má x W

M S

N 





f fr

W M S

e 

_min

 N 

Por exemplo :

Neste caso e calcular sempre usando

B) Cálculo da tensão de confronto sob solicitação dinâmica (fadiga)

fadm t

t

W M 





^*

  

|)

|

|,

(| 

_máx



_min

m

máx

S 

) 1 (

*





 S

_m

S

_{fad m k}



b2) Torção Pura

 1

 k M

_t

Se não houver flutuações de

Se houver

  ^{² ²}   ^²

*

kt máx kf

máx

 H  



  

F

H

F



 

  ^{² ²   ²}

*

kt máx Fadm

kf

máx

 H  



  

;

Fadm Fadm

H

Fadm



 

5 4 3 2 1

3 2 1 5

4 3 2 1

3 2

1

,











 











 

kt Ftk

Fadm kf

Ffk Fadm

b b S b

b b

S b 



b3) Flexão e Torção Combinadas

b3.1) Flexão e torção tem o mesmo “k”

com



F



F



kf



kt

- limite resistência à fadiga por flexão para valor k - limite resistência à fadiga por torção para valor k

- coeficiente de entalhe dinâmico para fadiga à flexão e valor k - coeficiente de entalhe dinâmico para fadiga à torção e valor k

b3.2) Flexão e torção tem k diferentes

Obs.: Se não dispuser de β_k’s exatos usar β_k para k=

com

 1





_t

f

e k

k

²

²

*

 ² 

 

_máx

 H

kaf e

kt

H

Faf







 

e

e



  0 , 577 .

(estimativa)

máx







min

t



Faf b3.3) Caso particular onde

1

, k 



kt

 k 

kaf

,

Entalhe



M

f

M

_f

N N

M

t

Secção crítica

Goodman

Normalmente não temos β_kt para k = 1. Usamos β_kt para k =  a favor da segurança.

Se existir força normal N recai-se no caso b3.2) porque k_f  

6.5 - Cálculo de Eixos quanto à Rigidez (ou flecha admissível)





 k F

L k EA

L P EA E L

A

E P

_en

k















   



L d d L L d

2 2 . 2





 











L G d

J d M

J d M W

M G

t t

t t t

t

. . 2 2 .

. .

2 . .



















L J k G

L

M G

_et ^t

k t t

.

.  



  

32 ) ,

1 ( 2

J d

G E

_t



 ^

 

F

 : _flecha

F





F



constante de mola (rigidez) 6.5.1 – Eixos de secção constante

• Tração / compressão

• Torção

M

_t

φ

γ

γ

• Flexão

EJ M R1 

dx Q dM 

a) distribuíd carga

( dx q dQ 

dx inclinação    dy

2

² 1

dx y d curvatura R 







^l _EJ^{M dx}  _dx^dy

0

elástica linha

eq.

) (

0 0

x y dx

EJ dx

l l

M

 







 



  

e

Da teoria de flexão :

Curvatura

y ( x )  eq . linha elástica

y(x)

) (x



R

Estudo das curvas planas



4 4

3 3

2 2

1 a distribuíd carga

1

cortante força

1 fletor momento

inclinação

dx y d dx dQ EJ EJ

EJ q

dx y d dx

dM EJ EJ

EJ Q

dx y d R

EJ EJ

M

dx dy



























(1) (2)

De (1) e (2) , partindo-se do diagrama de momento fletor :

EJ PL L

L EJ L P y

vem L x pondo P x

PL x x EJ

y

dx C e dy

C y

C x x C

P PL x

dx x C

Lx P x

y EJ

x C Lx P Mdx x

y dx EJ

d

x C Lx P xdx P dx PL Mdx

x

3

³ 6

³ 2 ) ³

(

, 6 ³ 2

² ) 1

(

0 0

) 0 ( 0 0

) 0 (

3

³ 2 2

² 2

) ² ( .

2 )) ²

( . (

2

²

1 0

2

2 1 1

1 1



 



 



 



 

 

 







 



 



 













 



 



  



 



 





 



 



 





 

 

 























³ 3

³ 3

L k EJ

L

P  EJ  

_f



)

( L x

P

M  

0 0 ) 0 (

0

 



 









dx

x

dy y

Para demais casos simples tabelas.

x P



M

x P



6 solicitações, deformações = 6 graus de liberdade 1 gdl 1 k (coeficiente de mola)

Vários gdl [ K ] Matriz de rigidez

  ^F

_x1

 

_x

 

_x1

_n

K

_{n n}

x

_n

kx

F   

Cálculo dos K_ij Método dos Elementos Finitos

Método numérico para resolver equações diferenciais

Softwares de MEF disponíveis :

• Micro / workstations e Host

• Ansys, COSMOS, ABAQUS, IDEAS

Aplicações do MEF :

• Problemas de elasticidade em sólidos – σ, ε, δ

• Vibrações em sólidos – ω_i, {X}_i

• Escoamento em fluidos – v, p

• Transmissão de calor – T

• Campos elétricos

• etc

z x y



x



z ^y



CAE

MEF

6.5.1. Cálculo de Flechas de Eixos de Secção Variável (escalonados)

x k

k k

x k

x k x

k x

k F

Ft

eq

t



₁



₂



₃



_//

.  (

₁



₂



₃

).







3 2

1

//

k k k

k

_eq

  



 x x

_t

3 2

1

k

F k

F k

F k

x F

eqS

t

   

3 2

1

1 1

1

1

k k

k k_{eq S}











_i

t

F

F

Associação de Rigidezes (molas)

1

k

t

k

_t2

 ^k

¹

k

2

Molas em paralelo

Deslocamento igual para todas.

k1

k2

k3

x

k1 k₂ k₃

x

Molas em série

Força igual para todas.

Aplicação Flecha admissível (f_adm)

Ângulo de inclinação

β [rad]

Eixos de máquinas ferramentas com engrenagens 0.1 m -

Motores assíncronos 0.1 δ -

Construções mecânicas em geral 0.0002 L -

Eixos apoiados em mancais hidrodinâmicos ou de lubrificação mista - 0.001 Eixos apoiados em mancais de rolamento radial fixo de esferas 0.008

Eixos apoiados em mancais autocompensadores 0.05

• m = módulo da engrenagem

• δ = entreferro do motor elétrico

• L = distância entre apoios do eixo

Valores de flecha e ângulo de flexão admissíveis para algumas construções mecânicas

6.6 - Cálculo de Eixos quanto à Rotação Crítica

 f e 

M r

M a

M

F

_ext

   

 . .  ² .  ²

L f F EJ

EJ f FL

K

³ . 48 48

³













 ^  ^







 F

_ext

F k . f M  ² f e

² 0 ²

²

²   

 k M

f Me Me

Mf

kf      

₁

²



 M

k f e

ou

como

!

! ,

² 1 f e

M

k     





rad/s



M k

crit 





M n k

n

_{crit crit}

crit

 

 ³⁰

60

2  



(rpm)

n Amplitude vibrações

N_crítica

quando

e

f e

Modelagem :

• Despreza-se o peso do eixo

• Despreza-se a inércia do eixo

• Despreza-se o momento centrífugo

No caso de viga bi-apoiada :

Passa-se pela crítica com potência suficiente e amortecimento alto.

k Mg k

f G EJ

f

_st

 GL 

_st

  48

³

st crit

st

f

n g f

g M

k



 30







Novamente desprezando-se o peso do eixo, a flecha estática é

, M = massa do disco

OBSERVAÇÕES

1. N_crit  mesmo se e = 0, entretanto desbalanceamento favorece fenômeno.

2. A dedução vale para M_eixo << M_disco !!



 k n

_crit

3. influem

• Elasticidade E

• Forma da secção J

• Tipo de carregamento

• Vínculos 4. N_trabalho fora da faixa : 0,7 ~ 1,3 n_crit.

6. Pode-se trabalhar em “A”

3 , 2 , 1

n

_crit.

5. 

_Amp

A n

crit1

n n_crit2 n_crit3

I

n

_{critto rc}

k

^t



 30

8

² m d I

L k

_t

GJ

^t





2 1

// t t

eq

k k

k  

ROTAÇÃO CRÍTICA TORCIONAL

Da mesma forma que flexional, existe n_crit torcional, especialmente para eixos d<<L

n Amplitude

vibrações

N_crítica

1

k

t

k

_t2

Amplitude K_t I

• K_t : Rigidez torcional

• I : Inércia do disco

• G : Módulo de elasticidade transversal

Neste caso (eixo em balanço) :

engrenagem 1 engrenagem 2

50 200

400

525

575 [mm]

Dimensionar o eixo abaixo pertencente a um redutor utilizado em um sistema de elevação de cargas . A engrenagem 1 recebe 30 [HP] a 80 [rpm] . A engrenagem 2 é montada com interferência sobre o eixo.

Dados: Engrenagem : 1 2 Número de dentes (retos) 57 34 Módulo [mm] 8 8 Ângulo de pressão

Largura [mm] 100 100

- Eixo feito de ABNT 8620, acabamento médio em torno;

- Adotar demais dados que julgar necessários.

Exemplo de cálculo (Lista 06 - Exercício 06 )

35 255 295 30 165 45

60 65

70

65 63

60

250 350 200

35 255 295 30 165 45

60 65

70

65 63

60

250 350 200

b d a c

e

A figura abaixo representa um eixo pertencente a um redutor de velocidades.

Todo o torque recebido pela engrenagem I é integralmente transmitido através da engrenagem II.

Dados:

Diâmetros primitivos (dp ) : Engrenagem I: 180 mm Engrenagem II: 300 mm

Forças atuantes na Engrenagem I (N): Fx = |5000|; Fy = |3000|;

Forças atuantes na Engrenagem II (N):Fx = |8000|; Fy =|3000|; Fz =|4000|

(sentidos conforme indicados na Figura)

Exemplo de cálculo – Dimensionamento de eixos

Dados:

Diâmetros primitivos (d_p ) : Engrenagem I: 180 mm Engrenagem II: 300 mm Forças atuantes na Engrenagem I (N): Fx = |5000|; Fy = |3000|;

Forças atuantes na Engrenagem II (N):Fx = |8000|; Fy =|3000|; Fz =|4000|

(sentidos conforme indicados na Figura)

Dimensionar o eixo estática e dinamicamente e fazer o croquis final com dimensões longitudinais e diâmetros.

Considerar:

• Considerar s=axbxcxd = 3,0);

• Largura das engrenagens: 60 mm; mancais de rolamento: 40 mm

• Eixo feito de ABNT 1050, frágil, de muito boa procedência, temperado e revenido, com 

_rt

= 75 Kgf/mm

²

e 

_e

= 38 Kgf/mm

²

.

• Mecanismo tem funcionamento suave, carga constante aplicada gradualmente, sem choque e sem reversão.

• Eixo com acabamento médio com ferramenta em superfícies não funcionais e retificado em superfícies funcionais.

• Considerar flexo-torção (dada a relação L/d do eixo, desprezar forças cortantes).

• Adotar raios nos escalonamentos (r/d) = 0,1