Testes modais utilizando martelo instrumentado em estruturas de baixas freqüências naturais

(1)

TESTES MODAIS UTILIZANDO MARTELO

INSTRUMENTADO EM ESTRUTURAS DE BAIXAS

FREQÜÊNCIAS NATURAIS

por

Michelline Nery Azevedo Lima

Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da

Paraíba para obtenção do grau de Mestre.

João Pessoa – Paraíba novembro, 2006

Centro de Tecnologia

Programa de pós-graduação em engenharia mecânica

(2)

MICHELLINE NERY AZEVEDO LIMA

TESTES MODAIS UTILIZANDO MARTELO

INSTRUMENTADO EM ESTRUTURAS DE BAIXAS

FREQÜÊNCIAS NATURAIS

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal da Paraíba, em cumprimento às exigências para obtenção do grau de Mestre.

Orientador

:

Prof. Dr. Roberto Leal Pimentel

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L732t

Lima, Michelline Nery Azevedo

Testes modais utilizando martelo instrumentado em estruturas de baixas freqüências naturais / Michelline Nery Azevedo Lima. – João Pessoa, 2006.

80 p.:il.

Orientador: Roberto Leal Pimentel

Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT/PPGEM

1. Engenharia mecânica. 2. Vibração. 3. Análise modal. 4. FRFs (função resposta em freqüência).

(4)

(5)

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, que em todos os momentos de minha vida está presente, guiando-me com sua luz divina.

Aos meus pais, que por amor, investiram em minha educação. À minha filha, pelas horas que lhe foi subtraída, com inefável amor.

À minha irmã Tarsila, ao meu sobrinho Matheus e aos meus familiares pelo constante apoio, compreensão, amor e incentivo.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Roberto Leal Pimentel, pelos ensinamentos, pela confiança e pelo apoio fundamental no decorrer da pesquisa.

Ao amigo Doutorando Cícero Rocha Souto pela “co-orientação”, entusiasmo, dedicação, paciência e companheirismo.

Ao professor Dr. Hiran de Melo pela amizade, disponibilidade e contribuições para a conclusão deste trabalho.

Aos amigos e professores da UFPB, que proporcionaram momentos enriquecedores, durante a minha vida estudantil.

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“Um homem precisa viajar por sua conta,não por meio de histórias, imagens, livros ou TV”.

Precisa Viajar por si. Com seus olhos e pés, para entender o que é seu. Para um dia plantar as suas árvores e dar-lhes valor. Conhecer o frio para desfrutar o calor. E o oposto.

Sentir a distância e o desabrigo para estar bem sob o próprio teto.

Um homem precisa viajar para lugares que não conhece para quebrar essa arrogância que nos faz ver o mundo como o imaginamos, e não simplesmente como é ou pode ser., que nos faz professores e doutores do que não vimos, quando deveríamos ser alunos, e simplesmente ir ver“.

(8)

TESTES MODAIS UTILIZANDO MARTELO INSTRUMENTADO EM

ESTRUTURAS DE BAIXAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS.

RESUMO

Neste trabalho discute-se o aprimoramento do teste modal para obtenção da Função Resposta em Freqüência (FRF) em estruturas de baixas freqüências naturais utilizando como excitador um martelo instrumentado. Há duas necessidades conflitantes neste tipo de teste: de um lado, as baixas freqüências naturais da estrutura, usualmente associadas com baixo amortecimento, requerem um tempo longo de aquisição para haver boa resolução no espectro. Por outro lado, a taxa de amostragem deve ser elevada para captar corretamente o sinal de curta duração do martelo. Isto leva a um número elevado de pontos no sinal a ser adquirido, havendo eventualmente limitação de tal número de pontos ao se utilizar analisadores de espectro na aquisição e obtenção das FRFs. Neste sentido, neste trabalho foi explorada a técnica de decimação seletiva para aprimoramento do teste. O trabalho inclui a construção de um protótipo com dois Graus de Liberdade (S2GL) para servir como objeto de estudo para os testes deste aprimoramento, permitindo assim, comparar as Funções Resposta em Freqüências (FRF) teóricas e experimentais, bem como ajustar os parâmetros do modelo. Utilizou-se da linguagem de programação MATLAB® para a obtenção das FRFs. A eficiência do aprimoramento empregado foi verificada através dos espectros de freqüência, onde observou-se uma significativa similaridade entre a FRF não decimada com a aquisição possuindo um número elevado de pontos e a FRF decimada com menor número de pontos e selecionada de modo a preservar a correta detecção do sinal do martelo.

(9)

MODAL TEST IN LOW NATURAL FREQUENCY STRUCTURES BY

USING AS EXCITER AN INSTRUMENTED HAMMER

ABSTRACT

In this work it is discussed the improvement in the modal test for obtaining the Frequency Response Function (FRF) in low natural frequency structures by using as exciter an instrumented hammer. There are two conflicting needs in this kind of test: on the one hand, the low natural frequencies of the structure, which are usually associated with low damping, demand long acquisition time so that good resolution in the spectrum may exist. On the other hand, the sampling rate must be increased to correctly catch the short duration signal of the hammer. This leads to an elevated number of points in the signal to be acquired, and there may eventually be limitation on such number of points when using spectrum analyzers in the acquisition and obtaining of the FRFs. Thus, in this work, the selective decimation technique explored for the improvement of the test. The work includes the construction of a prototype with two degrees of freedom (S2GL) to serve as case study for the tests enabling the theoretical and experimental Frequency Response Functions (FRF) to be compared, as well as adjusting the parameters of the model. The MATLAB programming language was used for obtaining the FRFs. The efficiency of the improvement applied was verified through the frequency spectra, in which it was observed significant resemblance between the non-decimated FRF with the acquisition having a high number of points, and the decimated FRF with smaller number of points and selected so that it could preserve the correct detection of the hammer signal.

(10)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO... 1

1.1 OBJETIVOS... 3

1.2 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ... 3

2 ANÁLISE MODAL ... 5

2.1 INTRODUÇÃO ... 5

2.2 ANÁLISE TEÓRICA ... 5

2.2.1 O Modelo Modal ... 6

2.2.2 Condições de Ortogonalidade ... 9

2.2.3 O Conceito de FRF... 11

2.3 ANÁLISE EXPERIMENTAL... 12

2.3.1 As Hipóteses Básicas ... 12

2.3.2 Determinação dos Parâmetros Modais... 13

2.4 REALIZAÇÃO DE UM TESTE MODAL ... 13

2.4.1 Fixação da Estrutura... 13

2.4.2 Excitação da Estrutura... 14

(11)

2.4.3 Processamento de Dados ... 15

2.4.3.1 Transformada de Fourier... 16

2.4.3.2 Aspectos Diversos Relacionados à Aquisição de Dados... 16

2.5 IDENTIFICÇÃO DOS PARAMETROS MODAIS... 17

3 ANÁLISE MODAL DO PROTÓTIPO PROPOSTO ... 19

3.1 INTRODUÇÃO... 19

3.2 AJUSTE DO PROTÓTIPO ... 21

3.2.1 Cálculo Teórico das Freqüências Naturais ... 21

3.2.1.1 Dados da Régua ... 21

3.2.2 ParteExperimental... 23

3.2.2.1 Determinação da freqüência para a régua simplesmente engastada... 23

3.2.2.2 Determinação do Módulo de Elasticidade (E) para a régua simplesmente engastada. 24 3.2.2.3 Determinação da freqüência para a régua livre-livre ... 26

3.2.2.4 Determinação do Módulo de Elasticidade (E) para a régua livre-livre ... 28

3.3 DETERMINÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA O SISTEMA DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE ... 29

3.3.1 Modelagem do Protótipo ... 29

3.3.2 Parte Experimental ... 34

(12)

4 OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DA FRF ... 41

4.1 INTRODUÇÃO ... 41

4.2 AQUISIÇÃO DO SINAIS... 41

4.3 DECIMAÇÃO DOS SINAIS... 44

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES ... 54

5.1 CONCLUSÕES... 54

5.2 SUGESTÕES PARA PRÓXIMOS TRABALHOS... 55

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 57

(13)

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Análise teórica das vibrações de um sistema...06

Figura 2.2: Análise experimental das vibrações de um sistema...12

Figura 3.1: Protótipo proposto...20

Figura 3.2: Régua engastada ...23

Figura 3.3 :Espectro do sinal ...24

Figura 3.4: Sinal no domínio do tempo ...24

Figura 3.5:Régua livre-livre ...26

Figura 3.7: Espectro do sinal ...27

Figura 3.8: Modelo do protótipo com 2 graus de liberdade ...30

Figura 3.9: Modelo S2GL de uma estrutura flexível ...30

Figura 3.12:Espectro do sinal ...35

(14)

Figura 3.20:Espectro do sinal ...37

Figura 3.26: Gráficos do sinal e do sinal filtrado(SI) para o 1° modo de vibração ...38

Figura 3.27: Gráfico do amortecimento para o 1° modo de vibração ...38

Figura 3.28: Gráficos do sinal e do sinal filtrado(SI) para o 2° modo de vibração ...39

Figura 3.29: Gráfico do amortecimento para o 2° modo de vibração ...39

Figura 4.1: (a) Sinal e (b) Resposta do martelo em função do tempo e com gatilho...42

Figura 4.2: Sinal do martelo em função do tempo e com gatilho -ampliado...43

Figura 4.3: (a) Sinal e (b) Resposta do martelo em função do tempo e sem atraso de gatilho ...43

Figura 4.4: Amostras decimadas do sinal do martelo em função do tempo...44

Figura 4.5: Espectro do sinal do martelo ...45

Figura 4.6: Amostras decimadas da resposta da estrutura em função do tempo ...46

Figura 4.7: Espectro da resposta da estrutura ... ...46

Figura 4.8: Inertâncias decimadas e experimentais...47

Figura 4.9: Gráfico comparativo entre a FRF teórica e a FRF média não decimada...48

Figura 4.10: Gráfico comparativo entre as FRFs médias decimadas e não-decimadas...48

Figura 4.11: Gráfico comparativo das FRFs em H 11 ... ...49

(15)

Figura 4.13: Gráfico comparativo das FRFs em H 21 ...51

(16)

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Tabela com o número máximo de pontos e canais dos analizadores de canais ...15 Tabela 3.1: Massas dos elementos do protótipo proposto ...20 Tabela 3.2: Frequências teóricas , experimentais e teóricas calibradas... 39 Tabela 4.1: Comparativo entre as FRFs com o acelerômetro de leitura e excitação no

topo da estrutura (H11) ...50

Tabela 4.2: Comparativo entre as FRFs com o acelerômetro de leitura no topo e excitação no meio da estrutura (H12)...51

Tabela 4.3: Comparativo entre as FRFs com o acelerômetro de leitura no meio e excitação no topo da estrutura (H21) ...52

(17)

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

FRF Função Resposta em Freqüência

S2GL Sistema com Dois Graus de Liberdade

H11 Acelerômetro de leitura e excitação no pavimento 1 (topo) da estrutura

H12 Acelerômetro de leitura fixado no pavimento 1 (topo) da estrutura e a

excitação provocada no pavimento 2 (meio) da estrutura

H21 Acelerômetro de leitura fixado no pavimento 2 (meio) da estrutura e ex-

citação provocada no pavimento1 (topo) da estrutura

(18)

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras Romanas Maiúsculas

A constante arbitrária

B constante arbitrária

C matriz de amortecimento

E módulo de elasticidade

Fq amplitude da força senoidal aplicada na q-ésima coordenada

generalizada

H (ω) matriz da Função Resposta em Freqüência

Hij (ω) FRF de transferência

I momento de inércia

I matriz identidade

K rigidez

(19)

L comprimento da barra ou viga

M matriz de massa

M1 e M2 massas das placas com os conectores

M1T e M2T massa final das placas 1 e 2

N número de constantes

Xp vetor independente no tempo e de amplitudes complexas

W freqüência de oscilação (Hz)

Wexp freqüência experimental (Hz)

Wn freqüência natural (Hz)

WT freqüência teórica (Hz)

WTC freqüência teórica calibrada (Hz)

Letras Romanas Minúsculas

b largura da régua

c matriz modal de amortecimento

f vetor das forças externas

(20)

fexp freqüência experimental

fn freqüência natural fundamental para a régua (Hz)

fa freqüência de amostragem

h espessura da régua

h(t) resposta da estrutura ao longo do tempo

k matriz modal de rigidez

l comprimento da régua

l0 comprimento útil da régua

m massa total da régua

m matriz modal de massa

mb massa da placa base

mR1, mR2 massa das réguas 1 e 2 que formam colunas na estrutura

mR3, mR4 massa das réguas 3 e 4 que formam colunas na estrutura

ms massa do sensor e fios

m1 e m2 massas dos pavimentos 1 e 2

t tempo de aquisição

(21)

x

vetor das velocidades nas coordenadas generalizadas

x

vetor das acelerações nas coordenadas generalizadas

1

x

direção do deslocamento em relação ao pavimento 1

2

x

direção do deslocamento em relação ao pavimento 2

Letras Gregas Maiúsculas

Ξ

matriz de termos de amortecimento

Φ

matriz modal

Ω

matriz dos autovalores

t

∆

tempo de aquisição

f

∆

resolução de freqüência

Letras Gregas Minúsculas

1

β

constante que depende da condição de contorno

γ

constante

(22)

ξ

fator de amortecimento modal

φ

vetor modal

r

φ

autovetor

r

φ

ˆ

_{r-ésimo modo de vibração, normalizado em relação à r-ésima} massa modal

ω

freqüência natural do sistema

r

ω

r-ésima freqüência natural do sistema

ρ

Massa da régua por metro

(23)

CAPÍTULO I

1.1 INTRODUÇÃO

A Análise Modal é uma ferramenta muito utilizada para a determinação das características dinâmicas de uma dada estrutura e pode ser realizada através de dois processos (EWINS, 2000). O primeiro é denominado de Análise Modal Teórica e consiste na formulação de um modelo matemático da estrutura em estudo através de uma técnica de discretização, onde o Método dos Elementos Finitos é largamente utilizado na obtenção das matrizes físicas de massa e rigidez da estrutura. Estes resultados constituem o chamado modelo modal teórico e podem ser posteriormente utilizados na obtenção de níveis de resposta a carregamentos dinâmicos conhecidos, na determinação de características de resposta em freqüência e impulsiva e na correlação com dados experimentais.

O segundo processo é denominado de Análise Modal Experimental que, através de dados experimentais, busca determinar as freqüências naturais, fatores de amortecimento modais e modos de vibração. Dentre as aplicações da análise modal experimental, a mais comum é a validação de um modelo teórico para uma dada estrutura. Através de ensaios experimentais são obtidas as características da resposta do sistema, que são geralmente dadas através de Funções de Resposta em Freqüência (FRFs) ou resposta impulsiva (MAIA et al.,1997).

(24)

De acordo com MAIA et al.(1997) uma análise modal experimental foi aplicada pela primeira vez com sucesso em 1940, em um estudo que proporcionou o entendimento do comportamento dinâmico de uma estrutura de uma aeronave. Atualmente, a aplicação da análise modal cobre uma vasta área, como por exemplo, a identificação e avaliação dos fenômenos de vibração, validação e ajuste de modelos dinâmicos computacionais, modificação estrutural e detecção de falhas. Destaca-se também que a análise modal é parte integrante do processo de desenvolvimento de novos produtos bem como na avaliação de seu comportamento dinâmico. A análise modal também possui uma estreita relação com temas de pesquisa em acústica estrutural e análise vibroacústica de sistemas mecânicos (HEYLEN et al., 2000).

Os métodos que utilizam as Funções Resposta em Freqüência (FRFs) relacionam a resposta do sistema geralmente expressa por deslocamentos, velocidades ou acelerações, com as entradas aplicadas ao mesmo, que geralmente são dadas por forças lineares. Essas entradas e saídas podem ser referentes a graus de liberdade de translação, como, por exemplo, força e deslocamento, como também aos graus de liberdade de rotação, por exemplo, ângulo e momento (McCONNELL, 1995).

KOMROWER e PAKSTYS (1984) estimaram as freqüências naturais e as taxas de amortecimento, para os dois primeiros modos de uma viga engastada e livre, submetida a uma excitação por impacto. Foram estimadas FRFs a partir medições de deformações e de acelerações, encontrando-se valores bem próximos para os parâmetros modais estimados. Isto evidencia que as duas abordagens podem ser aplicadas para caracterização modal das estruturas.

As formas mais usuais de excitação em análise modal utilizam atuador (“shaker”) ou martelo instrumentado (impacto). A resposta de uma estrutura à excitação é obtida via sensor que converte vibração mecânica (energia mecânica) em um sinal elétrico (energia elétrica). Este sinal elétrico possui natureza contínua, analógica. Contudo, devido às técnicas de processamento de sinais que fazem uso intensivo de computadores digitais, este sinal contínuo é substituído por um similar discreto, o qual em seguida é digitalizado (MELO et al., 2002).

(25)

(SALAWU, 1997). Ensaios de impacto são susceptíveis a ruídos de entrada visto que a força de entrada é aplicada sobre um curto período de tempo quando comparado à resposta medida.

Neste trabalho foi utilizado o impulso gerado por um martelo de impacto, para obter as funções Resposta em freqüência (FRFs), devido a sua conveniência e simplicidade para o manuseio (RANDALL, 1987). Ao utilizar analisadores de espectro para fazer a aquisição e processamento dos sinais adquiridos, em vários deles, os sinais adquiridos no teste com o martelo de impacto são limitados em termos de números de pontos contidos em cada sinal.

Tendo em vista esta limitação em termos de número de pontos e de que o tempo de aquisição (∆t) para captar o sinal do martelo de impacto é pequeno e, por outro lado, com uma demanda de resolução de freqüência (∆f) alta para estruturas de baixa freqüência e baixo amortecimento, sugere-se utilizar a técnica de decimação, que consiste na redução da taxa de amostragem efetiva de um sinal de tempo (HAYKIN, 2001).Este processo deve preservar a detecção do pico do sinal do martelo, sendo então designado por decimação seletiva.

1.2 OBJETIVOS

Esta dissertação tem como objetivo principal a utilização da técnica de decimação para aprimorar a qualidade das FRFs obtidas a partir de testes modais com martelo instrumentado. Foi utilizado como objeto de estudo para comprovar esta técnica uma estrutura de dois graus de liberdade (S2GL). Para o cumprimento deste objetivo principal definiram-se os seguintes objetivos secundários:

Calibrar o modelo de acordo com as especificações da estrutura;

Confrontar os resultados das técnicas experimentais com os modelos teóricos desenvolvidos;

1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

(26)

O capítulo I corresponde ao capítulo de introdução, onde são apresentados os objetivos desta dissertação, assim como a descrição do problema que motivou este trabalho.

O capítulo II consta de um estudo sobre Análise Modal.

O capítulo III corresponde à análise modal do protótipo em estudo.

Os resultados experimentais para a obtenção da Função Resposta em Freqüência (FRF) estão dispostos no capítulo IV.

A conclusão desse trabalho é apresentada no capítulo V, assim como sugestões para a continuação do mesmo.

(27)

CAPÍTULO II

ANÁLISE MODAL

A análise modal é um conjunto de técnicas teóricas e experimentais que possibilitam a construção de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico de um sistema em estudo, para se determinar as freqüências naturais, modos de vibração e fatores de amortecimento, que são seus parâmetros modais.

Estes parâmetros são freqüentemente determinados por métodos analíticos. Em outras situações, os parâmetros modais podem ser determinados experimentalmente, devido à inexistência de um modelo analítico. Ou, mesmo que ele exista, a abordagem experimental pode servir para a verificação e validação dos resultados do mesmo.

De uma forma geral, pode-se analisar as vibrações de um sistema estrutural segundo dois caminhos distintos: análise teórica e análise experimental. Cada uma destas alternativas pode ser considerada como constituída de três etapas distintas (MAIA et al., 1997; EWINS, 2000).

2.2 ANÁLISE TEÓRICA

A princípio é feito um Modelo Espacial, que representa uma caracterização das propriedades físicas e geométricas da estrutura, geralmente em termos de suas matrizes de massa (M), amortecimento (C) e rigidez (K). Estas matrizes são obtidas usando-se técnicas de discretização, sendo o Método dos Elementos Finitos o mais usado para tal fim.

(28)

correspondentes modos de vibração (Φ) e fatores de amortecimento modal (ξ), que juntos constituem os parâmetros modais do sistema. A grande vantagem de se trabalhar no espaço modal é a possibilidade de desacoplar as diversas equações de movimento do sistema, resultando um conjunto de modelos de um grau de liberdade, um para cada modo do modelo de múltiplos graus de liberdade.

A última etapa é aquela onde se tem interesse em analisar a resposta da estrutura sob a influência de uma excitação. Apesar de que isto depende das propriedades estruturais tanto quanto da natureza e intensidade da excitação, é conveniente apresentar a análise da resposta sob uma excitação normalizada. Assim, a partir desta resposta, a solução de qualquer caso particular pode ser construído. OModelo de Respostacontém o conjunto de soluções em relação às quais as excitações possuem valores unitários, aplicados em determinados pontos da estrutura ( FRF de ponto ou de transferência) e para todas as freqüências de uma faixa específica de interesse ( Hij(

ω

)). O Modelo de Resposta consiste

de um conjunto FRFs da estrutura ao longo do tempo (h(t)). A Figura 2.1 mostra um resumo da análise teórica de um sistema.

Figura 2.1 Análise teórica das vibrações de um sistema (modificado de Nóbrega -2004)

2.2.1 O Modelo Modal

O movimento de um sistema contínuo, considerado linear, já discretizado em N graus de liberdade, pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais de segunda ordem (as equações de movimento) como mostra a Equação 2.1.

) ( ) ( ) ( )

(t Cx t Kx t f t x

M + + = (2.1)

ANÁLISE TEÓRICA

1. MODELO ESPACIAL DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA

[ ]

M ,

[ ]

C ,

[ ]

K

2. MODELO MODAL CÁLCULO DAS FREQÜÊNCIAS

[ ]

ω

,

[ ]

Φ

E MODOS

3. MODELO DE RESPOSTA DETERMINAÇÃO DA Hij (

ω

) , h(t)

(29)

Onde:

M = matriz de massa, de ordem N × N;

C = matriz de amortecimento, de ordem N × N;

K = matriz de rigidez, de ordem N × N;

=

x vetor das acelerações de ordem N × l;

=

x vetor das velocidades de ordem N × l; =

x vetor dos deslocamentos de ordem N × l; f = vetor das forças externas, de ordem N × l;

A partir deste ponto omitir-se-á a indicação da dependência no tempo dos vetores de deslocamento, velocidade, aceleração e força, com a intenção de simplificar a notação. Para a obtenção do modelo modal, considera-se a resposta livre não amortecida do sistema estrutural. Da eq.(2.1) resulta:

0 =

+Kx

x

M (2.2)

A solução geral da eq.(2.3), para condições iniciais não nulas, é dada por uma combinação linear de soluções do tipo:

t

e

x=

φ

λ (2.3)

=

φ

vetor de ordem N × l, chamado de vetor modal, representando um modo de vibração

do sistema; =

λ número complexo.

Destaca-se, neste ponto, a influência da aproximação adotada para o modelo de amortecimento na resposta do sistema estrutural. No caso acima (sem amortecimento), ou em sistemas com amortecimento proporcional, os modos de vibração (

φ

) são reais. O caso

mais geral ocorre em sistemas não-conservativos, quando a matriz de amortecimento do sistema é do tipo não proporcional, resultando os modos de vibração em vetores de números complexos.

(30)

0 )

( 2 ₊ t ₌

e K

M

φ

λ

(2.4)

que resultará em solução não-nula (a nula é a trivial) se e somente se:

det(

_λ

2_M ₊_K)₌0_(2.5)

A eq. (2.5), conhecida como a equação característica do sistema, constitui-se em

um problema de autovalor, existindo N autovalores

λ

_r, que a satisfaz. Os autovalores,

assim determinados, definem as freqüências do sistema não-amortecido:

λr=iωr (2.6)

Em que ωr é a r-ésima freqüência natural do sistema.

A substituição de λr da eq.(2.6) na eq.(2.4) resulta num autovetor (

φ

r ) de

elementos reais correspondente ao r-ésimo modo de vibração do sistema não amortecido. Assim, a cada freqüência natural ωr associa-se a um modo de vibração

φ

r obtido mediante

a solução do sistema homogêneo que satisfaz.

(K-ωr2M )

φ

r=0 (2.7)

Os vetores modais do sistema podem ser agrupados em uma matriz N × N,

denominada matriz modal (Φ), onde cada coluna desta matriz corresponde a um modo de

vibração. Os autovalores, freqüências naturais quadráticas, podem ser agrupados em uma matriz diagonal N × N, chamada de matriz dos autovalores ( ).

φ

11

φ

12 ···

φ

1N

Φ = [

φ

1

φ

2 ...

φ

N ] =

φ

21

φ

22 ···

φ

2N (2.8)

φ

N 1

φ

N 2 ···

φ

N N

(31)

ω₁2 0 _···0

Ω= 0 ω2₂ _··· 0 (2.9)

0 0 _···ω2_N

O modelo da estrutura não amortecida consiste, assim, das freqüências naturais e dos modos de vibração.

2.2.2 Condições de Ortogonalidade

O Modelo Modal da estrutura pode ser estudado empregando-se as propriedades de ortogonalidade (CLOUGH e PENZIEN, 1993; CRAIG, 1981):

ΦTMΦ = m (2.10)

ΦTKΦ = k (2.11)

Onde,

m1 0 ··· 0

m =matriz modal de massa (matriz diagonal), m = 0 m2 ··· 0

0 0 _··· mN

k1 0 ··· 0

k = matriz modal de rigidez (matriz diagonal), k = 0 k2 ··· 0

0 0 ··· kN

Se a matriz de amortecimento C for expressa como uma combinação de M e K

(amortecimento proporcional ou de Rayleigh):

(32)

então a matriz C também pode ser diagonalizada pelo princípio da ortogonalidade.

ΦTCΦ = c (2.13)

c1 0 ··· 0

c = matriz modal de amortecimento (matriz diagonal), c= 0 c2 ··· 0

0 0 ··· cN

Se, por outro lado, os modos de vibração forem normalizados pelas massas

modais:

r r

m

1 =

φ

r (2.14)

onde mr = ΦT_r M Φr e φ_r é o ésimo modo de vibração, normalizado em relação à

r-ésima massa modal mr.

Na forma matricial:

   

  Φ = Φ

r m

1 _(2.15)

finalmente, resulta:

= Φ

ΦTM I (2.16)

ΦTKΦ= (2.17)

2ξ1ω1 0 0

ΦTCΦ= 0 2ξ2ω2 0 = Ξ (2.18)

(33)

Em que,

I= matriz identidade;

= matriz dos autovalores;

Ξ= matriz de termos de amortecimento.

2.2.3 O Conceito de FRF

A Função de Resposta em Freqüência H(ω) é uma matriz que relaciona a saída

(resposta X) do sistema por cada unidade de entrada (excitação F), aplicada como função da freqüência de excitação.

Hpq(ω) =

) (

ω

q p F X

(2.19)

Tem-se uma FRF de transferência quando p ≠ q, ou seja, é obtida a resposta no

ponto p devido a uma excitação num outro ponto q. Quando p = q, tem-se FRF de ponto. Os picos de FRF (considerando a curva de amplitude) estão relacionados aos modos de vibração e indicam as freqüências naturais. Existem três formas de representar a FRF, que dependem da variável utilizada na resposta:

FRF de receptância – quando a variável de resposta é o deslocamento;

FRF de mobilidade – quando a variável de resposta é a velocidade;

FRF de acelerância – quando a variável de resposta é a aceleração.

Os algoritmos mais conhecidos para estimação da FRF denominados de estimadores são: H1, H2, Hv. A diferença principal entre estes estimadores é a suposição

(34)

2.3. ANÁLISE EXPERIMENTAL

A análise experimental tem seu início com a medição da resposta da estrutura na forma de FRF’s e das respostas da estrutura ao longo do tempo, h(t). Métodos para deduzir as freqüências naturais (

ω

), modos de vibração (Φ) e fatores de amortecimento (ξ) são

aplicados na seqüência. Por fim, é possível deduzir as propriedades espaciais (M, C, K) da estrutura através de técnicas de análise apropriadas, ou seja, é feito o caminho inverso na execução das três etapas referidas anteriormente Na figura (2.2) demonstra-se este caminho resumidamente.

Deve ser observado que nesse modelo de resposta normalmente ocorre uma redução significativa dos graus de liberdade do sistema, em face das dificuldades experimentais, e também limitados pelos pontos de medida definidos para o ensaio experimental. Posteriormente, executa-se uma “expansão” do modelo de resposta a fim de se obter o modelo espacial (via de regra, com um maior número de nós).

Neste trabalho, os dois tipos de análise foram empregados. Construiu-se o modelo modal e calculou-se sua resposta quando submetido à excitação. Em paralelo, foram realizados ensaios experimentais e medidas as respostas a fim de se calibrar o modelo modal. Com a determinação dos parâmetros modais, pode-se reanalisar as estruturas e levar a termo o processo de identificação estrutural.

Figura 2.2 Análise experimental das vibrações de um sistema (modificado de Nóbrega

-2004)

2.3.1 As Hipóteses Básicas

A Análise Modal Experimental é fundamentada em quatro hipóteses básicas para

ANÁLISE EXPERIMENTAL

1. MODELO DE RESPOSTA MEDIÇÃO DAS Hij (

ω

), h(t)

RESPOSTAS

2. MODELO MODAL CÁLCULO DAS FREQÜÊNCIAS

[ ]

ω

,

[ ]

Φ ,

[ ]

ξ

MODOS E AMORTECIMENTO

3. MODELO ESPACIAL CARACTERIZAÇÃO DA

[ ]

M ,

[ ]

C ,

[ ]

K .

(35)

o estudo de qualquer sistema estrutural (citado por NÓBREGA, 2004):

Estrutura linear: quando a resposta da estrutura para qualquer combinação de forças, simultaneamente aplicadas, é a soma das respostas individuais de cada uma das forças, atuando sozinha.

Estrutura invariante no tempo: quando os parâmetros modais são constantes no tempo.

Estrutura que obedece ao teorema de reciprocidade de Maxwell: estabelece uma relação direta dos deslocamentos generalizados com as forças generalizadas que os provocaram, atuantes em pontos distintos da estrutura, independente de sua ordem de aplicação.

Estrutura observável: quando as entradas e saídas medidas contém informações suficientes para gerar um modelo de comportamento adequado para a estrutura.

2.3.2 Determinação dos Parâmetros Modais

A determinação dos parâmetros modais a partir dos dados experimentais envolve diversas etapas e o sucesso deste processo depende da correta avaliação dos erros e exatid de cada uma das etapas.

2.4. REALIZAÇÃO DE UM TESTE MODAL

Algumas considerações importantes na análise modal experimental devem ser realizadas para a determinação com exatidão da resposta do sistema (EWINS, 2000). Pode-se citar:

A fixação da estrutura; A excitação da estrutura; O processamento de dados;

A identificação dos parâmetros modais.

2.4.1 Fixação da Estrutura

(36)

são a ser tomada, antes mesmo dos ensaios, a fim verificar a condição do engastamento, para que o apoio, onde a estrutura está fixa, não vibre com a mesma, evitando a degradação das respostas sobre a vinculação real da estrutura, ou seja, não provoquem ruídos.

As condições de contorno possíveis podem ser a “livre” e a engastada. Na verdade, a primeira condição não significa livre, de fato, mas em condições elásticas suficientemente suaves para possibilitar esta aproximação, permitindo a estrutura apresentar modos de corpo rígido. Esta alternativa pode ser muito útil se o interesse reside na determinação da massa e das propriedades de inércia da estrutura.

A outra condição de contorno é o engaste. Embora isto seja muito simples na modelagem analítica, sua aplicação nos ensaios experimentais é difícil. É possível, evidentemente, analisar à parte o sistema de apoio e superpor seu efeito na estrutura. Todavia, EWINS (2000) aponta que as coordenadas que envolvem rotação são de difícil medição neste processo.

O engaste foi a condição de contorno escolhida para desenvolvimento deste trabalho. Sua efetividade pôde ser comprovada através da comparação das freqüências fundamentais em diferentes situações do equipamento de engastamento da estrutura, ou seja, com os elementos do engaste bem apertados, em seguida folgando-o um pouco e depois voltando a apertá-lo, onde foram obtidas as mesmas freqüências para a estrutura testada.

2.4.2 Excitação da Estrutura

2.4.2.1 Equipamento de Excitação

Considerando ensaios de laboratório, os equipamentos mais comuns são os excitadores eletromagnéticos (“shakers”) que são capazes de gerar, entre outras formas de sinais, a excitação senoidal e a aleatória, através do uso de um gerador de sinais apropriado. Como o excitador é fixado à estrutura, algumas precauções tornam-se necessárias. Deve-se minimizar sua influência na resposta do sistema e também garantir que a estrutura seja excitada na direção em que se deseja medir a resposta.

(37)

ponta localizada na cabeça do martelo, onde pode-se variar a sua rigidez de acordo com a faixa de freqüência de interesse a ser excitada. Usa-se uma ponta mais suave (macia) para baixas freqüências e uma mais dura para altas freqüências. Quando se deseja excitar a estrutura em vários pontos, o uso do martelo de impacto facilita significativamente o ensaio, enquanto a utilização do “shaker” promoverá um consumo de tempo considerável pela necessidade de novos ajustes quando da mudança de posição e conexão à estrutura.

Ao se excitar a estrutura com o martelo de impacto, esta é excitada em uma ampla faixa de freqüência. Esta excitação faz com que a estrutura vibre em suas freqüências de ressonância. Através do uso de um sistema de aquisição com pelo menos dois canais de entrada, que meça a resposta de vibração da estrutura (tipicamente medida com um acelerômetro) e a força de impacto de entrada, obtém-se uma função resposta em freqüência (FRF), que identifica as freqüências de ressonância.

2.4.3 Processamento de Dados

O processamento de dados pode ser feito com analisadores de espectro, capazes de fornecer as características de resposta da estrutura no domínio do tempo e da freqüência. Para isto, utilizam as técnicas da transformada de Fourier. As FRFs obtidas nas diversas aquisições de dados são submetidas ao processo de “averaging”, pois este procedimento permite reduzir o nível de ruído presente nos dados (EWINS, 2000).

A tabela 2.1 abaixo, mostra alguns exemplos destes analizadores de espectro com algumas de suas características principais.

Tabela 2.1 Tabela com o número máximo de pontos e canais dos analizadores de sinais

MODELO

Nº MÁX. DE

PONTOS NÚMERO DE _CANAIS

Modal Data Acquisition – LDS (DATA PHYSICS) 8192 20

CATS signal analysis (DATA PHYSICS) 8192 32

Modal CATS dates acquisition (DATA PHYSICS) 8192 32

Abacus (DATA PHYSICS) 4096 32

(38)

2.4.3.1 Transformada de Fourier

O conceito da série e da integral de Fourier afirma que qualquer função contínua, ou que possui um número finito de descontinuidades pode ser decomposto em um somatório de termos em seno e cosseno, com amplitudes, fases e períodos específicos. Se a função for discreta, a DFT (“Discrete Fourier Transform”) calcula estes termos para cada freqüência discreta. Pode-se considerar que o sinal, originalmente no domínio do tempo, sofre uma transformação para o domínio da freqüência.

Os analisadores espectrais, ou analisadores de FFT (“Fast Fourier Transform”) fazem uso dos algoritmos de FFT para determinar os espectros de um sinal. Estes algoritmos são, simplesmente, uma maneira eficiente de calcular a DFT do sinal - a base matemática de qualquer sistema de aquisição de dados. Uma maior discussão sobre a Transformada de Fourier pode ser encontrada em muitas referências, destacando-se o aspecto didático e multimídia de JOAQUIM e SARTORI (2003).

2.4.3.2 Aspectos Diversos Relacionados à Aquisição de Dados

“Averaging” – a consideração de valores médios (várias aquisições do mesmo

sinal) é necessário em processamento de sinais, principalmente quando o sinal é do tipo aleatório. Executar a média também acarreta em trabalhar com um sinal de perfil mais claro e suavizado, além da exclusão de ruídos. Uma desvantagem é que os efeitos não-lineares são “linearizados”;

Janela de aquisição– é uma função de ponderação em relação a qual os dados de aquisição do sinal são multiplicados antes do cálculo da FFT. O uso da janela minimiza os efeitos de descontinuidade do sinal (NÓBREGA, 2004). Existem diversos tipos de janela, que são aplicadas de acordo com o sinal aquisitado. Neste estudo, utilizou-se a janela retangular, de modo a não afetar a obtenção do amortecimento a partir do sinal de decaimento em vibração livre e permitir uma comparação mais direta entre FRFs teóricas e experimentais.

(39)

freqüência apresenta-se como sendo de menor valor de frequência e perfil completamente distorcido.

“Leakage” - o fenômeno de “leakage”, ou vazamento, é um fenômeno que ocorre no cálculo da transformada de Fourier de um dado sinal x(t) devido à violação da

hipótese fundamental da periodicidade requerida pela FFT. Isto ocorre porque no processo de aquisição captura-se o sinal apenas em um intervalo finito de tempo (uma “janela”), embora o sinal original possa ser mais longo. Neste caso, ao assumir-se que os dados do processo de aquisição correspondam a exatamente um período de um sinal periódico, acontece o “leakage”. O espectro calculado apresenta-se distorcido, impreciso, e esse erro depende do que foi efetivamente capturado dentro da janela.

2.5 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS

Etapa posterior ao processamento digital dos dados experimentais, a identificação dos parâmetros modais pode ser realizada tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência . Segundo VAROTO (1991), os parâmetros modais são geralmente obtidos ajustando-se curvas teóricas aos dados medidos, comumente baseado no método dos mínimos quadrados. A identificação modal pode ser do tipo modo-a-modo, onde cada modo é identificado separadamente, ou multi-modos, onde vários modos são identificados simultaneamente em uma faixa de freqüência.

A FRF do sistema é utilizada como dados de entrada para os métodos de identificação no domínio da freqüência.

(40)

Todos os métodos de identificação, tanto no domínio do tempo quanto no da freqüência, apresentam uma dificuldade: a determinação da ordem do modelo matemático para a estrutura em estudo. Esta dificuldade é conseqüência da limitação de modelos discretos usados na análise de sistemas contínuos. Embora as estruturas possuam infinitos graus de liberdade, as aplicações em modelagem de sistemas físicos e os ensaios experimentais requerem apenas alguns modos de vibração contidos em uma determinada faixa.

(41)

CAPÍTULO III

ANÁLISE MODAL DO PROTÓTIPO PROPOSTO

O protótipo em estudo representa um sistema com dois graus de liberdade (2SGL) e encontra-se engastado pela placa-base inferior, através de três fixadores (“grampos”), a uma mesa de madeira fixa na parede por duas cantoneiras. O protótipo foi constituído por quatro réguas de aço inox, formando colunas, com 0,529 m de comprimento cada uma e de massas mR1 = 0,10783 kg, mR2 = 0,10487 kg, mR3 = 0,10683 e mR4 = 0,10954 kg, e por três

placas de aço formando pavimentos e com as respectivas massas: mbase = 2,755 kg, m1 =

2,774 kg e m2 = 2,761 kg, como mostra a tabela (3.1).

A fixação das placas nas réguas é feita através de conectores de aço presos por parafusos Allen n°42 (5”) que facilitam os deslocamentos das placas sobre as réguas, permitindo desta forma um maior dinamismo na variação da rigidez da estrutura e conseqüentemente uma maior facilidade na obtenção dos dados para os testes experimentais. As massas dos conectores são apresentadas na tabela (3.1).

(42)

Portanto, a massa total da placa1 será M1T= 4,906 kg e a massa total da placa2

será M2T = 4,969 kg.

Tabela3.1 Massas dos elementos do protótipo proposto

Conector PLACA-BASE 2,755 kg

Conector PLACA1 2,774 kg

Conector PLACA2 2,761 kg

1 0,463 kg 9 0,476 kg 5 0,476 kg

2 0,480 kg 10 0,479 kg 6 0,477 kg

3 0,477 kg 11 0,476 kg 7 0,474 kg

4 0,476 kg 12 0,479 kg 8 0,452 kg

TOTAL mb= 4,651 kg M1 = 4,684 kg M2 = 4,640 kg

(43)

3.2 AJUSTE DO PROTÓTIPO

O estudo do protótipo iniciou-se pela determinação das propriedades mecânicas das réguas utilizadas como colunas. Para tal, uma régua foi ensaiada em condições de contorno diferentes, visando obtenção do módulo de elasticidade do material da régua. Primeiro foi realizado ensaio com a régua engastada e posteriormente com a régua “livre”. Inicialmente, foi calculada a freqüência natural fundamental para uma régua simplesmente engastada (THOMSON, 1978) pela seguinte expressão:

Wn=(β1*l)2 4

0

* *

l I E

ρ (3.1)

onde: Wn = Freqüência Natural (rad/seg)

E = Módulo de Elasticidade do material (N/m2);

I = Momento de Inércia (m4);

ρ= Massa da régua por metro (kg/m);

l0 = Comprimento útil da régua (m);

β 1= Constante que depende das condições de contorno do problema.

De acordo com THOMSON (1986), para uma viga simplesmente engastada (“cantilever”), tem-se:

(β 1 *l) 2 = 3,52

Em seguida, foi feito um ajuste do módulo de elasticidade para a régua, em função da freqüência natural da mesma.

3.2.1 Cálculo Teórico das Freqüências Naturais

3.2.1.1 Dados da régua

Foi escolhida uma das réguas da estrutura, de massa (mR3) = 0,10683 kg. Para

(44)

colados na régua, cuja massa (ms) é de 5,12 * 10-3 kg. Esta montagem será discutida na

Seção 3.2.2.1.

Dados da régua:

• Comprimento (l) = 0,529 m;

• Comprimento Útil (l0) é a distância da extremidade livre da régua até o início do

engaste na peça de engaste: l0 = 0,385 m;

• Largura (b) = 0,0271 m;

• Espessura (h)= 0,00102 m;

• Massa total da régua (m) = mR3 + ms = 0,11195 kg

1. Cálculo do Momento de Inércia (I):

I = 12 3 bh = 12 ) 00102 , 0 ( * 0271 , 0 3

→ I = 2,3966*10-12 m4

2. Cálculo da massa da régua por metro (ρmín e ρmáx ):

- ρmín = l

m_R₃

= 529 , 0 10683 , 0 _→

ρmín = 0,2019 kg/m

- ρmáx=

0 0 min *

l m l + _s

ρ

₌ 385 , 0 10 * 12 , 5 ) 385 , 0 * 2019 , 0

( ₊ −3

→ ρmáx= 0,2152 kg/m

Desta forma, a freqüência natural fundamental para a régua, utilizando a Equação(3. 1), as massas por metro máxima e mínima e um módulo de elasticidade (E) de 2,0476 * 1011 (este valor será discutido na seção 3.2.2.4) será dada por:

- Para ρmín

fnmáx = 3,52* ₄

12 11 ) 385 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * 10 * 0476 ,

2 − _→

(45)

- Para ρmáx

fnmín = 3,52* ₄

12 11

) 385 , 0 ( * 2152 , 0

10 * 3966 , 2 * 10 * 0476 ,

2 − _→

fnmín = 35,85 rad/s → fnmín = 5,71 Hz

Estas freqüências servirão como uma margem de limitação para a comparação com a freqüência experimental obtida.

3.2.2 Parte Experimental

3.2.2.1 Determinação da freqüência para a régua simplesmente engastada

Inicialmente, colou-se um sensor piezolétrico na régua a uma distância de aproximadamente 0,385 m da extremidade livre, considerada como comprimento útil (l0).

Em seguida, engastou-se a régua até o comprimento útil em uma peça de engaste, sendo esta peça fixada a uma mesa através de um fixador (“garra”). A peça de engaste foi objeto de trabalhos anteriores (RIBEIRO, 2004), onde verificou-se a sua eficiência de condição de engastamento. O sensor foi conectado a um sistema de aquisição VXI Mainframe, modelo E8408A da Agilent, sendo esta conectada a um microcomputador, para onde o sinal foi enviado, e através do programa computacional desenvolvido no Matlab (1998), foi obtido o valor da freqüência fundamental experimental. A excitação de impacto foi realizada manualmente na extremidade livre da régua.

(46)

A aquisição durou 16 segundos. O sinal medido e seu respectivo espectro estão apresentados nas figuras 3.3 e 3.4 e a freqüência experimental (fexp) obtida foi de:

fexp = 5,81 Hz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

frequencia (Hz)

te

n

s

a

o

(

V

)

Figura 3.3 Espectro do sinal Figura 3.4 Sinal no domínio do tempo

3.2.2.2 Determinação do Módulo de Elasticidade (E) para a régua simplesmente engastada.

Na tentativa de minimizar as incertezas dos cálculos, foi utilizado:

fn=fexp

2

f

∆

± (3.2)

Onde ∆f é a resolução de freqüência, ou seja, o espaçamento entre linhas

espectrais, cuja definição formal é dada por:

N f

f = a

∆ (3.3)

onde, fa =

t

∆ 1

é a freqüência de amostragem, ∆té o intervalo de tempo entre duas amostras

sucessivas e N é o numero total de amostras. Como N = fat, onde t é o tempo de aquisição

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

tempo (s)

te

n

s

a

o

(

V

(47)

do sinal, então

t

f =1

∆ .

Como o tempo de aquisição

( )

t foi de 16 seg., logo:

t

f =1

∆ 0,0625

16 1 = ∆ → = ∆

→ f f Hz

Portanto,

fexp1= 5,81 +

2 0625 ,

0

_→

fexp1= 5,84125 Hz

→

fexp1= 36,70 rad/s

fexp2= 5,81 -

2 0625 ,

0 _→

fexp2= 5,77875 Hz → fexp2= 36,31 rad/s

Determinadas as freqüências experimentais, utilizou-se a equação (3.1) para achar os módulos de elasticidade para cada combinação de freqüência experimental e massa por metro da régua:

- _Para

ρmín e fexp1

36,70= 3,52* ₄

12 1 ) 385 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * − E

→ E1 = 2,0120*1011 N/m2 → E1= 201,20 GN/m2

- Para ρmáx e fexp1

36,70= 3,52* ₄

12 2 ) 385 , 0 ( * 2152 , 0 10 * 3966 , 2 * − E

→E2 =2,1445*1011 N/m2→E2 = 214,45 GN/m2

- Para ρmín e fexp2

36,31 = 3,52* ₄

12 3 ) 385 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * − E

(48)

36,31= 3,52* ₄

12 4

) 385 , 0 ( * 2152 , 0

10 * 3966 , 2

* −

E

→ E4 = 2,0992*1011 N/m2 → E4 = 209,92 GN/m2

Fazendo a média com os valores dos módulos de elasticidade (E) obtidos, têm-se:

= + + +

4

4 3 2

1 E E E

E

2,0563*1011 N/m2

Logo, o módulo de elasticidade médio do material da régua adotado neste ensaio foi de:

3.2.2.3 Determinação da freqüência para a régua livre-livre

A régua foi deixada suspensa (livre-livre) em uma estrutura metálica, através de ligas de borracha (fig. 3.5). Foram utilizados os mesmos equipamentos do teste anterior. Aplicou-se um impacto manualmente no centro da régua.

Figura 3.5 Régua livre-livre

(49)

De acordo com THOMSON (1986), para uma régua livre-livre, tem-se: (β 1 *l) 2 = 22,4

Cálculo da massa da régua por metro (ρmín e ρmáx):

- ρmín = 0,2019 kg/m ( idêntico ao anteriormente calculado)

- ρmáx =

l m

l+ _s

*

min

ρ ₌

529 , 0 10 * 12 , 5 ) 529 , 0 * 2019 , 0

( ₊ −3

→ ρmax= 0,2116 kg/m

Desta forma, a freqüência natural principal para a régua, será dada por:

- Para ρmín

fnmín = 22,4* ₄

12 11 ) 529 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * 10 * 0476 ,

2 − _→

fnmín = 124,79 rad/s → fnmín = 19,86 Hz

- Para ρmáx

fnmáx = 22,4* ₄

12 11 ) 529 , 0 ( * 2152 , 0 10 * 3966 , 2 * 10 * 0476 ,

2 − _→

fnmáx = 120,87 rad/s → fnmáx = 19,24 Hz

A aquisição durou 16 segundos. O sinal medido e seu respectivo espectro estão apresentados nas figuras 3.6 e 3.7 e a freqüência experimental (fexp) obtida foi de:

fexp = 19,5 Hz

Figura 3.6 Sinal no domínio do tempo Figura 3.7 Espectro do sinal

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

tempo (s )

te n s a o ( V )

5 10 15 20 25 30

0 2 4 6 8 10

x 10-3

(50)

3.2.2.4 Determinação do Módulo de Elasticidade (E) para a régua livre-livre

Na tentativa de minimizar as incertezas dos cálculos, foi utilizado:

fn = fexp

2

f

∆ ±

Como o tempo de aquisição

( )

t foi de 16 seg., logo:

t

f =1

∆ 0,0625

16

1 _→_∆ ₌ =

∆

→ f f Hz

Portanto,

fexp1= 19,5 +

2 0625 ,

0

_→

fexp1= 19,53 Hz

→

fexp1= 122,72 rad/s

fexp2= 19,5 -

2 0625 ,

0 _→

fexp2= 19,47 Hz → fexp2= 122,33 rad/s

Determinadas as freqüências experimentais para a régua livre-livre , utilizou-se a equação (3.2) para achar os módulos de elasticidade para cada combinação de freqüência experimental e massa por metro da régua:

122,72 = 22,4* ₄

12 1 ) 529 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * − E _→

E1 = 1,9801*1011 N/m2 → E1= 198,01 G N/m2

122,72= 22,4* ₄

12 2 ) 529 , 0 ( 2152 , 0 10 * 3966 , 2 * − E _→

(51)

122,33 = 22,4* ₄

12 3 ) 529 , 0 ( * 2019 , 0 10 * 3966 , 2 * − E

→ E3 = 1,9676*1011 N/m2 → E3= 196,76 GN/m2

122,33= 22,4* ₄

12 4 ) 529 , 0 ( * 2152 , 0 10 * 3966 , 2 * − E

→ E4 = 2,0972*1011 N/m2 → E4 =209,72 G N/m2

Fazendo a média com os valores dos módulos de elasticidade (E) obtidos, temos:

= + + + 4 4 3 2

1 E E E

E

2, 038875*1011 N/m2

Logo, o módulo de elasticidade médio para o material da régua neste ensaio, será:

A literatura utiliza um módulo de elasticidade (E) para o aço inox em torno de 190 GN/m2 (DI BLASI, 1982) a 210 GN/m2 (THOMSON, 1986), porém observa-se que a partir de dois ensaios diferentes, obtiveram-se módulos de elasticidade para o material da régua com uma diferença menor do que 0,01 %, o que dá confiabilidade ao resultado obtido. Nos cálculos seguintes, adotou-se a média entre estes valores para o citado módulo.

Portanto, E = 2,0476 x 1011 N/m2

3.3 DETERMINAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA O SISTEMA DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (S2GL)

3.3.1 Modelagem do Protótipo

O modelo adotado foi o de dois graus de liberdade (S2GL), podendo se deslocar em duas direções, x1e x2 , e a cada direção é associado um grau de liberdade, apresentando

(52)

duas freqüências naturais. Na Figura (3.9) este modelo foi transformado em um sistema massa-mola de dois graus de liberdade para identificar melhor suas massas e rigidez para os cálculos da freqüência natural.

Figura 3.8 Modelo do protótipo com 2 graus de liberdade

Sendo: K1 = rigidez equivalente (N/m) para o primeiro grau de liberdade

K2 = rigidez equivalente (N/m) para o segundo grau de liberdade

L1 = 0,260 m e L2 = 0,253 m.

Figura 3.9Modelo S2GL de uma estrutura flexível.

A estrutura da Figura 3.9 apresenta-se sobre uma superfície livre de atrito com os seguintes elementos: massas (M1T, M2T), molas (K1 e K2) e amortecedores (c1 e c2).

(53)

eliminam o atrito entre a massa e a plataforma). A cada direção de deslocamento é associado um grau de liberdade. À semelhança do modelo S1GL, os elementos mola e amortecedor são representados por forças que se opõem a força externa aplicada sobre a massa.

No modelamento considerando-se que as forças externas são nulas e negligenciando o amortecimento da estrutura para a determinação das freqüências naturais e os modos de vibração, tem-se:

(3.5) 0 2 1 1 1 1

1x +K x −K x =

m (3.6)

Estas equações podem ser expressas na forma matricial como:

[ ]

M

{ }

x +

[ ]

k

{ } { }

x = 0 (3.7)

   0 1 m    2 0

m _

 − +       1 1 2 1 K K x x       =          + − 0 0 2 1 2 1 1 x x K K K (3.8)

onde as matrizes de massa e rigidez são expressas da seguinte forma:

M =    0 1 m    2 0

m =   0 906 , 4    969 , 4 0

Para determinar as rigidezes foi utilizado k = 12₃

L EI

(THOMSON, 1978) para

cada régua.

K =    21 11 k k    22 12 k k = 3 1 3 1 48 48 L EI L EI − ₃ 2 3 1 3 1 48 48 48 L EI L EI L EI + −

= 48EI

3 1 3 1 1 1 L L − 3 2 3 1 3 1 1 1 1 L L L + − (3.8) 0 )

( ₁ ₂ ₂

1 1 2

2x −K x + K +K x =

(54)

Os comprimentos das réguas foram medidos de eixo a eixo dos conectores das placas, com os seguintes comprimentos L1= 0,260 m e L2= 0,253 m. Logo,

K = _

 

−1340,18

18 , 1340    − 70 , 2794 18 , 1340

Considerando que o movimento é periódico e composto de movimentos harmônicos de várias amplitudes e freqüências, tem-se as seguintes representações para os deslocamentos:

) sen(

1 = A Wt+

ϕ

x e x₂ =Bsen(Wt+

ϕ

)

onde A, B e ϕ são constantes arbitrárias e W a freqüência de oscilação do sistema.

Substituindo estes componentes nas equações do movimento (3.4) e (3.5), tem-se que:

. (3.9)

0 ) sen( ) sen( )

sen( ₁ ₁

2

1 + + + − + =

−m AW Wt ϕ K A Wt ϕ K B Wt ϕ

Cancelando sen(Wt+ϕ),as equações do movimento transformam-se em:

(3.10)

Essas são equações algébricas lineares homogêneas em A e B. A solução A=B=0 define uma condição de equilíbrio do sistema. A outra solução é obtida igualando a zero o determinante dos coeficientes de A e B, isto é:

   − − ) ( 2 1 1 1 W m K K

( ) 0

1 2 2 2 1 ₌    − − + K W m K K (3.11)

Desenvolvendo o determinante, tem-se que:

0 ) sen( ) sen( ) ( )

sen( ₁ ₂ ₂

2

2 + + + + − + =

−m BW Wt ϕ K K B Wt ϕ K A Wt ϕ

(55)

0 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

4 ₊ ₌

      + + − m m K K W m K m K K

W (3.12)

Resolvendo a equação acima, obtêm-se as freqüências naturais do sistema de 2 graus de liberdade [THOMSON, 1978]:

(3.13)

Substituindo os valores das massas e rigidezes na Equação (3.13), obtêm-se os valores das freqüências naturais do sistema.

W12= 110,24 (rad/seg)2 e W2 2= 725,36 (rad/seg)2

W1 =10,50 rad/seg e W2= 26,93 rad/seg ou,

W1 = 1,67 Hz e W2= 4,29 Hz

A substituição destes valores na Equação (3.10) permite achar a razão das amplitudes ou a forma do modo de vibração associado a cada freqüência natural. Para o primeiro caso, tem-se W12 =110,24 (rad/seg)2, onde:

( ) 68 , 1 24 , 110 * 906 , 4 ) 52 , 1454 24 , 110 * 969 , 4 ( ) ( 2 1 1 2 2 1 2 1 = − − = − − =       W m K W m B A

que corresponde ao

primeiro modo.

Repetindo, para W22 = 725,36 (rad/seg)2, obteu-se:

( ) 60 , 0 725,36 * 906 , 4 ) 52 , 1454 725,36 * 969 , 4 ( ) ( 2 2 1 2 2 2 2 2 − = − − = − − =       W m K W m B A

, para a forma do

segundo modo. 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 4 1 2

2 m m

K K m K m K K m K m K K

W  −

(56)

3.3.2 Parte Experimental

De acordo com McCONNELL (1995), a localização do transdutor (acelerômetro) é um fator muito importante que necessita ser monitorado. Caso contrário, o seu movimento sobre a estrutura pode vir alterar não só as freqüências naturais como os modos de vibrar, bem como as respostas de vibração da estrutura. Por este motivo, utilizou-se dois acelerômetros colocados nos conectores de ambos os pavimentos da estrutura, sendo o sinal de um deles medido por vez. Inicialmente com o acelerômetro para leitura do sinal no conector do pavimento superior (topo) e depois a leitura foi realizada com o acelerômetro no conector do pavimento do meio. Os sinais foram captados e processados com a mesma montagem utilizada nos testes com a régua. A estrutura foi excitada aplicando manualmente uma deformação à mesma e liberando a estrutura em seguida.

3.3.3 Obtenção dos Resultados

Inicialmente, a mesa onde encontrava-se a estrutura engastada não estava fixa na parede, mas para evitar qualquer influência de vibração na estrutura, no momento da obtenção dos dados, optou-se em fixar a mesa na parede através de duas cantoneiras conforme já descrito, e a estrutura foi engastada à mesa pela placa-base inferior através de fixadores (“garras”). Foi utilizado o acelerômetro para a leitura do sinal em um dos conectores do pavimento superior da estrutura e em seguida, deformou-se manualmente o primeiro pavimento e posteriormente o segundo pavimento da estrutura. Em seguida, utilizou-se para medir o sinal o acelerômetro que estava em um dos conectores do pavimento do meio e foram feitos os mesmos procedimentos anteriores de deformação. Todas as aquisições foram feitas com um tempo de aquisição de 20,48 segundos.

Testes realizados:

(57)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 frequencia (Hz) te n s a o ( V )

0 5 10 15 20 25

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 tempo (s) te n s a o ( V )

2. Com o acelerômetro para a leitura do sinal posicionado em um dos conectores no pavimento superior (topo) da estrutura e a excitação ocorreu aplicando uma deformação no segundo pavimento (meio) da estrutura (Figuras 3.12 e 3.13).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x 10-3

frequencia (Hz) te n s a o ( V )

0 5 10 15 20 25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 tempo (s) te n s a o ( V )

3. O acelerômetro para a leitura do sinal posicionado em um dos conectores do pavimento superior (topo) da estrutura e a excitação ocorreu aplicando-se uma deformação referente ao segundo modo de vibração da estrutura (Figuras 3.14 e 3.15).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 frequencia (Hz) te n s a o ( V )

0 5 10 15 20 25 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 tempo (s) te n s a o ( V )