LOCALIZAÇÃO TEMPO-FREQUÊNCIA: UMA DESCRIÇÃO DA ANÁLISE WAVELET EM TEMPO CONTÍNUO

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XXII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica, XVIII Encontro Latino Americano de Pós-Graduação e VIII Encontro de Iniciação à Docência - Universidade do Vale do Paraíba. 1

LOCALIZAÇÃO TEMPO-FREQUÊNCIA: UMA DESCRIÇÃO DA ANÁLISE

WAVELET EM TEMPO CONTÍNUO

Humberto Gimenes Macedo, Virginia Klausner de Oliveira, Francisco Carlos

Rocha Fernandes, Carlos Henrique Netto Lahoz

Universidade do Vale do Paraíba/Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento, Avenida Shishima Hifumi, 2911, Urbanova - 12244-000- São José dos Campos-SP, Brasil, gimeneshumberto@outlook.com,

viklausner@gmail.com, guga@univap.br, carloslahoz@univap.br.

Resumo– A análise de Fourier se apresenta como um ferramental muito útil para a análise espectral, pois permite decompor um sinal em suas frequências fundamentais de forma que possam ser analisadas individualmente. Suas origens remontam às ideias propostas por Fourier em seus estudos de propagação do calor, porém teve a contribuição de muitos matemáticos até chegar à sua estrutura atual. Apesar de seus benefícios, ela não permite a localização em tempo-frequência, assim, a fim de resolver esse problema, surgiu no século XX uma nova teoria denominada análise wavelet, com muitas aplicações em ciência e engenharia. No presente trabalho, é demonstrado como a análise tempo-frequência funciona por meio da transformada wavelet contínua (TWC), utilizando sinais senoidais de frequência conhecida.

Palavras-chave: wavelet, Fourier, sinal, tempo, frequência. Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra, Matemática. Introdução

A análise de Fourier tem suas origens na segunda metade do século XVIII e início do século XIX, quando Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) em seus estudos de condução de calor propôs o que se conhece por série de Fourier, ao afirmar que qualquer função periódica pode ser expandida em termos de uma série trigonométrica envolvendo uma soma de senos e cossenos. Essa afirmação não foi bem recebida pelos matemáticos da época, como Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), que argumentavam ser impossível representar funções descontínuas e com bordas por meio de funções contínuas e suaves como senos e cossenos (OPPENHEIM et al., 1996). Além disso, diziam que havia ausência de rigor no tratamento matemático utilizado por Fourier. Durante muito tempo, o cenário permaneceu dessa forma, cabendo a Peter Gustav Lejeune Dirichlet’s (1805-1859), em 1829, estabelecer as condições suficientes para a convergência da série de Fourier referente a funções contínuas por partes. Fourier também considerou a expansão em série de funções aperiódicas, que o conduziu à ideia da transformada de Fourier (TF), muito útil em análises no domínio da frequência.

Apesar dos benefícios trazidos pela TF, em sua forma convencional ela não permite efetuar o que se denomina por localização tempo-frequência, isto é, não é possível determinar as componentes de frequência de um sinal ao longo do tempo. Nesse contexto, tem-se o desenvolvimento da análise

wavelet que recebeu bastante atenção no final do século XX, considerando que poderia ser aplicada

em muitos ramos da ciência e da engenharia. A título de exemplo, ela pode ser utilizada no processamento de sinais biológicos para auxiliar no diagnóstico de patologias envolvendo o coração (ADDISON, 2002). Além disso, é extensivamente utilizada pelo escritório federal de investigação dos EUA, o FBI, para efetuar compressão de arquivos contendo impressões digitais (FRAZIER, 2001). Intuitivamente, a teoria de wavelets permite analisar regiões de um sinal de forma individual, localizando as componentes de frequência ao longo do tempo.

Dessa forma, considerando a sua importância, o objetivo do presente trabalho é demonstrar o funcionamento da transformada wavelet contínua, doravante TWC, no que se refere à localização tempo-frequência, por meio de exemplos que utilizam sinais senoidais de frequência conhecida. Tais sinais serão aplicados em um algoritmo desenvolvido em MATLAB, que calcula tanto a TF quanto a TWC. Escolheu-se como wavelet-mãe a wavelet Marr, por ser uma função real a valores reais, que é fácil de se manipular matematicamente e que se encaixa bem para o propósito do trabalho. Além disso, será demonstrado com todo rigor matemático que ela de fato satisfaz às condições que uma

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Metodologia

A análise de sinais no domínio do tempo não é conveniente na maioria dos casos, uma vez que ela não permite obter informações relevantes sobre o funcionamento dos fenômenos físicos responsáveis pela geração desses sinais. Muitas vezes essas informações se encontram no domínio da frequência, por exemplo, ao analisar o conteúdo em frequência de um áudio gravado por uma pessoa, é possível determinar se a voz é provavelmente de uma criança (alta frequência) ou de um adulto (baixa frequência). Assim sendo, é necessário buscar um ferramental matemático que torne possível passar do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. É quase imediato, principalmente para aqueles familiarizados com processamento de sinais, pensar na análise de Fourier, pois ela tem como objetivo decompor um sinal 𝑓, seja ele periódico ou não, em suas componentes de frequência fundamentais. Em particular, para sinais não periódicos, 𝑓, tem-se a TF, denotada por 𝑓̂ como indicado pela Equação (1), que mensura o quanto uma frequência 𝜔 está presente em 𝑓 (MALLAT, 2008)

𝑓̂(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡_𝑑𝑡 ∞

−∞

, 𝑗 = √−1

Utilizando termos da álgebra linear, basicamente a TF determina a projeção de 𝑓 sobre exponenciais complexas de frequência 𝜔, sendo conveniente pensar que elas constituem uma base de um espaço vetorial cujos vetores são funções. Dessa forma, a Equação (1) estabelece o espectro de frequências de 𝑓, tornando possível dizer quais são as frequências que o compõe e qual a relevância de cada uma delas. De acordo com Daubechies (1992), assim como um músico ao ler as partituras sabe o instante de tempo em que deve tocar uma nota de frequência conhecida, no contexto de processamentos de sinais, alguém pode desejar saber quais as componentes de frequência de um sinal e os intervalos de tempo no qual elas ocorrem, sendo que esse processo é denominado localização tempo-frequência e não pode ser determinado por meio da Equação (1). Para resolver esse problema, diversas teorias matemáticas foram desenvolvidas, como a transformada de Fourier janelada, porém a que vem ganhando maior destaque nos últimos anos é a TWC, definida pela Equação (2),

𝑊𝑓(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡) 1 √𝑎𝜓 ∗₍𝑡 − 𝑏 𝑎 ) 𝑑𝑡 ∞ −∞ = ∫ 𝑓(𝑡)𝜓𝑎,𝑏∗ (𝑡)𝑑𝑡 ∞ −∞ , 𝑎 > 0 𝑏 ∈ ℝ em que 𝜓𝑎,𝑏(𝑡) = 1 √𝑎𝜓 ( 𝑡−𝑏

𝑎 ), sendo que a função 𝜓 é denominada wavelet-mãe e deve satisfazer

certas condições matemáticas conforme será apresentado na próxima seção. Ao comparar as Equações (1) e (2), nota-se que elas são bastante similares, porém em (2) tem-se a projeção do sinal 𝑓 sobre uma família de funções 𝜓𝑎,𝑏(𝑡), denominadas de wavelets-filhas, concebidas ao variar os

parâmetros de escala 𝑎 e translação 𝑏. Uma vez que 𝑎 dilata/comprime a forma de onda da wavelet-mãe e 𝑏 efetua o seu deslocamento, torna-se então possível analisar todo o sinal com janelas de largura variável, sendo essa a principal característica da TWC, que a torna tão útil para localização tempo-frequência e o motivo principal que explica o fato dela ser frequentemente denominada de “microscópio” matemático (ADDISON, 2002).

Resultados

As funções 𝑓que apresentam energia finita, isto é, que satisfazem ∫ |𝑓(𝑡)|∞ 2_𝑑𝑡

−∞ < ∞, pertencem

ao espaço de Hilbert 𝐿2_{(ℝ), denominado espaço das funções quadraticamente integráveis ou de}

energia finita. Assim, tem-se bem definido a noção de produto interno entre os elementos desse espaço. Dessa forma, se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2_{(ℝ), então o produto interno é definido como}

〈𝑓, 𝑔〉 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑔∗_(𝑡) ∞

−∞

𝑑𝑡 ,

onde 𝑔∗ denota o conjugado complexo da função 𝑔. Uma vez que o espaço 𝐿2(ℝ) é munido de produto interno, pode-se definir então o conceito de norma ‖∙‖: 𝐿2_{(ℝ) ⟶ ℝ de uma função 𝑓 ∈ 𝐿}2_(ℝ)

por meio da noção de produto interno, conforme a Equação (4), ‖𝑓‖ = √〈𝑓, 𝑓〉 = (∫ 𝑓(𝑡)𝑓∗_(𝑡) ∞ −∞ 𝑑𝑡) 1 2 ⁄ = (∫ |𝑓(𝑡)|² ∞ −∞ 𝑑𝑡) 1 2 ⁄ . (3) (4) (1) (2)

(3)

Se 𝐸𝑓 denota a energia da função 𝑓, então ao observar (4) nota-se que 𝐸𝑓= ‖𝑓‖², isto é, a norma ao

quadrado é igual a energia da função 𝑓. Esse resultado é importante e será utilizado posteriormente. Uma vez definido o espaço 𝐿2_{(ℝ), pode-se então definir o que se denomina por wavelet. Uma}

função 𝜓 ∈ 𝐿2_{(ℝ) é denominada wavelet se satisfazer a condição de admissibilidade, isto é, a}

integral ao lado direito da implicação em (5) deve convergir, 𝜓̂(0) = ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∞ −∞ = 0 ⟹ 𝐶𝜓= ∫ |𝜓̂(𝜔)|² 𝜔 𝑑𝜔 ∞ 0 < ∞,

em que 𝜓̂ denota a TF de 𝜓. Note em (5) que, para a condição de admissibilidade ser satisfeita, é necessário que 𝜓̂(0) = 0, ou seja, a função 𝜓 deve ter média nula, apresentar oscilações e ter duração finita de modo que a área sob a curva seja nula. Isso garante que as wavelets sejam bem localizadas em tempo, pois devem ter duração finita. No presente trabalho, utilizou-se a wavelet Marr para a aplicação da TWC em sinais senoidais, a fim de ilustrar como a localização tempo-frequência funciona. Esta wavelet também é conhecida por chapéu mexicano, devido ao seu formato característico conforme ilustrado na Figura 1a.

Figura 1 – Representação da forma de onda (𝜎 = 1): (a) da wavelet Marr no domínio do tempo; e (b) de sua TF (domínio da frequência).

(a) (b)

Fonte: Os Autores.

A rigor, a wavelet Marr, denotada aqui por 𝜓, corresponde à segunda derivada de uma função gaussiana e em sua forma mais geral é definida conforme a Equação (6),

𝜓(𝑡) = 2 𝜋1⁄4_√3𝜎(1 − 𝑡2 𝜎2) 𝑒 −𝑡2 2𝜎2_.

Assim sendo, será demonstrado que a wavelet Marr, conforme sua lei de formação em (6), de fato satisfaz todas as condições necessárias que uma função deve satisfazer para ser uma wavelet. Inicialmente, será determinada a sua TF, 𝜓̂, cuja forma de onda está representada na Figura 1b, de forma a verificar a condição de admissibilidade. Por definição, se 𝑓 ∈ 𝐿2_{(ℝ) então sua TF, 𝑓̂, é}

definida como indicado na Equação (1). Aplicando tal definição na lei de formação da wavelet Marr em (6), tem-se então a TF 𝜓̂, 𝜓̂(𝜔) = 2 𝜋1⁄4√3𝜎∫ (1 − 𝑡2 𝜎2) 𝑒 −𝑡2 2𝜎2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ = 2 𝜋1⁄4√3𝜎[∫ 𝑒 −𝑡2 2𝜎2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ + 1 𝜎2∫ −𝑡 2_𝑒−𝑡2 2𝜎2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ ].

Ao definir as funções 𝑓, 𝑔: ℝ ⟶ ℝ como 𝑓(𝑡) = 𝑒− 𝑡2

2𝜎2_e𝑔(𝑡) = −𝑡2𝑒− 𝑡2

2𝜎2= −𝑡2𝑓(𝑡), nota-se que as integrais dentro dos colchetes em (7) representam a TF 𝑓̂ e 𝑔̂. Assim, se 𝑓(𝑡)↔ 𝑓̂(𝜔), então pela ℱ propriedade da derivada em frequência (−𝑗𝑡)𝑝_𝑓(𝑡)_{↔ 𝑓̂}ℱ (𝑝)_{(𝜔), onde 𝑓̂}(𝑝)_{denota a p-ésima derivada da}

função 𝑓̂, vem que

𝑔(𝑡) = −𝑡2_{𝑓(𝑡) = (−𝑗𝑡)}2_𝑓(𝑡)_{↔ 𝑓̂}ℱ (2)_{(𝜔) = 𝑔̂(𝜔) ⟹ 𝑔̂(𝜔) = 𝑓̂}(2)_(𝜔).

Logo, utilizando do resultado obtido em (8), pode-se reescrever a Equação (7) em termos apenas de 𝑓̂ e 𝑓̂(2)_{como segue,} 𝜓̂(𝜔) = 2 𝜋1⁄4√3𝜎[𝑓̂(𝜔) + 1 𝜎2𝑔̂(𝜔)] = 2 𝜋1⁄4√3𝜎[𝑓̂(𝜔) + 1 𝜎2𝑓̂(2)(𝜔)].

Dessa forma, é necessário calcular a TF de 𝑓 e suas derivadas para que a Equação (9) fique determinada. Assim, aplicando a definição (1) na lei de formação de 𝑓 e derivando ambos os lados em relação a 𝜔 obtém-se (7) (8) (5) (6) (9)

(4)

𝑓̂(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ = ∫ 𝑒− 𝑡2 2𝜎2_𝑒−𝑗𝜔𝑡_𝑑𝑡 ∞ −∞ ⇒ 𝑓̂′_{(𝜔) = ∫ 𝑒}−𝑡2 2𝜎2 𝑑 𝑑𝜔(𝑒 −𝑗𝜔𝑡_)𝑑𝑡 ∞ −∞ = ∫ (−𝑗𝑡)𝑒− 𝑡2 2𝜎2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ = 𝑗 ∫ 𝑒_⏟−𝑗𝜔𝑡 𝑢 (−𝑡𝑒− 𝑡2 2𝜎2 ⏟ 𝑑𝑣 ) 𝑑𝑡 ∞ −∞

Utilizando o método de integração por partes escolhendo 𝑢 e 𝑑𝑣 como indicado em (10), tem-se então 𝑑𝑢 = −𝑗𝜔𝑒−𝑗𝜔𝑡_{𝑑𝑡,𝑣 = 𝜎}2_𝑒−𝑡2 2𝜎2_{. Logo,} 𝑓̂′_{(𝜔) = 𝑗 [𝜎}2_𝑒−𝑗𝜔𝑡_𝑒−_2𝜎2𝑡2_| −∞ ∞ + 𝑗𝜔𝜎2_{∫ 𝑒}−_2𝜎2𝑡2 ∞ −∞ 𝑒−𝑗𝜔𝑡_{𝑑𝑡] = −𝜔𝜎}2_{∫ 𝑒}−_2𝜎2𝑡2 ∞ −∞ 𝑒−𝑗𝜔𝑡_{𝑑𝑡 = −𝜔𝜎}2_{𝑓̂(𝜔).}

A Equação em (11) é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja solução pode ser encontrada efetuando os seguintes passos,

𝑓̂′_(𝜔) 𝑓̂(𝜔) = −𝜔𝜎 2_{⇒ ∫} 𝑓̂ ′_(𝜔) 𝑓̂(𝜔) 𝜔 0 𝑑𝜔 = −𝜎2_{∫ 𝜔𝑑𝜔} 𝜔 0 ⇒ ln𝑓̂(𝜔) 𝑓̂(0) = − 𝜔2 2 𝜎 2_{⇔ 𝑓̂(𝜔) = 𝑓̂(0)𝑒}−𝜔2₂𝜎2_.

Mas pode-se verificar que 𝑓̂(0) = ∫_−∞∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒− 𝑡2 2𝜎2𝑑𝑡

∞

−∞ = 𝜎√2𝜋, 𝜎 > 0

.

Substituindo esse

resultado em (12) tem-se finalmente que

𝑓̂(𝜔) = 𝜎√2𝜋𝑒−𝜔22𝜎2 . Derivando (13) duas vezes, vem que,

𝑓̂(1)_{(𝜔) = −𝜎}3_{√2𝜋𝜔𝑒}−𝜔2 2𝜎 2 ⟹ 𝑓̂(2)_{(𝜔) = 𝜎}3_{√2𝜋(𝜔}2_𝜎2_{− 1)𝑒}−𝜔2 2𝜎 2 . Substituindo as Equações (13) e (14) em (9), tem-se a TF de 𝜓

,

𝜓̂(𝜔) = 2 𝜋1⁄4_√3𝜎 [𝜔2_𝜎3_√2𝜋𝑒−𝜔2₂𝜎2_{] =}√8𝜎 5 2 ⁄ _𝜋1⁄₄ √3 𝜔²𝑒 −𝜔2₂𝜎2_.

Com a Equação (15), é possível verificar que 𝜓̂(0) = 0, assim a condição de admissibilidade é satisfeita e o valor de 𝐶𝜓 é finito. Para determiná-lo, é necessário calcular o valor absoluto de 𝜓̂ e

elevar ao quadrado, o que vem facilmente de (15), 𝜓̂(𝜔) =√8𝜎 5 2 ⁄ _𝜋1⁄₄ √3 𝜔²𝑒 −𝜔2₂𝜎2_{⟹ |𝜓̂(𝜔)|² =}8𝜎5√𝜋 3 𝜔 4_𝑒−𝜔²𝜎²_.

Assim, aplicando (16) na definição de 𝐶𝜓 tem-se

𝐶𝜓= ∫ |𝜓̂(𝜔)|2 𝜔 𝑑𝜔 ∞ 0 = 8𝜎 5 √𝜋 3 ∫ 𝜔 3_𝑒−𝜔2𝜎2_𝑑𝜔 ∞ 0 = 4√𝜋𝜎 3 ∫ 𝜔 2_𝜎2 ⏟ 𝑢 𝑒−𝜔2𝜎2_2𝜔𝜎_⏟2_𝑑𝜔 𝑑𝑢 ∞ 0 ⟹ 𝐶𝜓 = 4√𝜋𝜎 3 ∫ 𝑢 2 − 1_𝑒−𝑢_𝑑𝑢 ∞ 0 ⏟ Γ(2) =4√𝜋𝜎 3 Γ(2) = 4√𝜋𝜎 3 ,

em que Γ(2) = 1, sendo que Γ denota a função gama que será utilizada nas deduções.

Para demonstrar que a energia 𝐸𝜓 de 𝜓 é finita, uma vez que 𝜓 ∈ 𝐿2(ℝ), utiliza-se a fórmula de Plancherel, para calcular a energia de 𝜓 no domínio da frequência, conforme a Equação (18),

𝐸𝜓= ‖𝜓‖2= ∫ |𝜓(𝑡)|²𝑑𝑡 ∞ −∞ = 1 2𝜋∫ |𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 ∞ −∞ .

Utilizando a Equação (16) em (18) e observando que |𝜓̂(𝜔)|² é uma função par vem que, ‖𝜓‖2_{= 𝐸} 𝜓= 1 2𝜋∫ |𝜓̂(𝜔)| 2 𝑑𝜔 ∞ −∞ = ⏞ 𝑝𝑎𝑟₁ 𝜋∫ |𝜓̂(𝜔)| 2 𝑑𝜔 ∞ 0 = 8𝜎 5 √𝜋 3𝜋 ∫ 𝜔 4_𝑒−𝜔2𝜎2_𝑑𝜔 ∞ 0 ⟹ ‖𝜓‖2_{= 𝐸} 𝜓= 4𝜎√𝜋 3𝜋 ∫ 𝜔 2_𝜎2 ⏟ 𝑢 𝜔𝑒−𝜔2𝜎2_2𝜔𝜎_⏟2_𝑑𝜔 𝑑𝑢 ∞ 0 = 4𝜎 3√𝜋∫ 𝑢 𝑢1⁄2 𝜎 𝑒 −𝑢_𝑑𝑢 ∞ 0 = 4 3√𝜋∫ 𝑢 5 2−1𝑒−𝑢𝑑𝑢 ∞ 0 ⏟ Γ(5₂) ⟹ ‖𝜓‖2_{= 𝐸} 𝜓= 4 3√𝜋 3 4√𝜋 = 1 ⟹ ‖𝜓‖ = 1 , em que Γ (5 2) = 3

4√𝜋 e o fato de ‖𝜓‖ = 1 quer dizer que a wavelet 𝜓 está normalizada.

(10) (11) (13) (14) (15) (18) (12) (16) (17) (19)

(5)

Apesar de ser possível obter o valor médio 𝑀 da wavelet 𝜓 avaliando a Equação (15) em 𝜔 = 0, que a propósito dever ser nulo uma vez que 𝜓 é uma wavelet, pode-se chegar no mesmo resultado efetuando os seguintes cálculos,

𝑀 = ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∞ −∞ = 2 𝜋1⁄4_√3𝜎 ∫ (1 −𝑡 2 𝜎2) 𝑒 −𝑡2 2𝜎2𝑑𝑡 ∞ −∞ = 2 𝜋1⁄4_√3𝜎 [ ∫ 𝑒−2𝜎2𝑡2𝑑𝑡 ∞ −∞ ⏟ 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓 − 1 𝜎²∫ 𝑡²𝑒 −𝑡2 2𝜎2 ∞ −∞ 𝑑𝑡 ⏟ 𝐼 ] . A primeira integral dentro dos colchetes da Equação (20) é o valor médio da função 𝑓, que vale 𝜎√2𝜋, 𝜎 > 0 como determinado anteriormente. Utilizando o método de substituição no cálculo da segunda integral dentro dos colchetes, denotada por 𝐼, com 𝑢 = 𝑡

2

2𝜎2, 𝑑𝑢 = 𝑡

𝜎2 𝑑𝑡 e observando que

a função integrando é par, tem-se que 𝐼 = ∫ 𝑡2𝑒− 𝑡2 2𝜎2 ∞ −∞ 𝑑𝑡 =⏞ 𝑝𝑎𝑟 2 ∫ 𝑡2𝑒− 𝑡2 2𝜎2 ∞ 0 𝑑𝑡 = 2𝜎2_{∫ 𝑡𝑒}−_2𝜎2𝑡2 ∞ 0 𝑡𝑑𝑡 𝜎2 = 2𝜎 2_{∫ √2} ∞ 0 𝜎𝑢1⁄2_𝑒−𝑢_{𝑑𝑢 ⟹} 𝐼 = 2√2𝜎3_{∫ 𝑢}3₂−1 𝑒−𝑢_𝑑𝑢 ∞ 0 ⏟ Γ(3 2) = 2√2𝜎3_{Γ (}3 2) = 2√2𝜎 3 √𝜋 2 = 𝜎 3_√2𝜋, onde Γ (3 2) = √𝜋

2. Substituindo a média de 𝑓 e (21) em (20) tem-se então a média 𝑀 de 𝜓, como se

queria demonstrar, 𝑀 = 2 𝜋1⁄4_√3𝜎[𝜎√2𝜋 − 1 𝜎²𝜎 3_{√2𝜋] = 0 .}

Um parâmetro importante associado à 𝜓 é a sua frequência central 𝑓𝑐, utilizada para a conversão

de escalas em frequências e vice-versa. Ela é definida por 𝑓𝑐 =

1 2𝜋√

∫ 𝜔²|𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔₀∞ ∫ |𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔₀∞ .

A integral no denominador pode ser facilmente determinada utilizando os resultados anteriores. Especificamente, uma vez que 𝐸𝜓 = 1 e |𝜓̂(𝜔)|² é par, vem pela fórmula de Plancherel que

𝐸𝜓= 1 2𝜋∫ |𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 ∞ −∞ =⏞ 𝑝𝑎𝑟₁ 𝜋∫ |𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 ∞ 0 = 1 ⟹ ∫ |𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 ∞ 0 = 𝜋 .

Por outro lado, utilizando (16), a integral no numerador pode ser determinada da seguinte forma, ∫ 𝜔²|𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 = 8𝜎 5 √𝜋 3 ∫ 𝜔 6_𝑒−𝜔²𝜎²_𝑑𝜔 ∞ 0 = 4𝜎√𝜋 3 ∫ 𝜔²𝜎²⏟_𝑢 𝜔³𝑒 −𝜔²𝜎²_{2𝜔𝜎²𝑑𝜔}_⏟ 𝑑𝑢 ∞ 0 ∞ 0 ⟹ ∫ 𝜔²|𝜓̂(𝜔)|²𝑑𝜔 ∞ 0 = 4𝜎√𝜋 3 ∫ 𝑢 𝑢3⁄2 𝜎³ ∞ 0 𝑒−𝑢_{𝑑𝑢 =}4√𝜋 3𝜎²∫ 𝑢 7 2−1 ∞ 0 𝑒−𝑢_𝑑𝑢 ⏟ Γ(7 2) = 4√𝜋 3𝜎² 15√𝜋 8 = 5𝜋 2𝜎² , sendo Γ (7 2) = 15√𝜋

8 . Substituindo as equações (23) e (24) na Equação (22) vem que

𝑓𝑐= 1 2𝜋√ 5𝜋 2𝜋𝜎²= 1 2𝜋𝜎√ 5 2 .

Apesar de utilizar apenas a wavelet Marr nas deduções realizadas nessa seção, o processo é bastante análogo para outras funções wavelet. Convém ressaltar que os resultados obtidos com a

wavelet Marr corroboram a teoria, sendo que para as outras funções wavelet o mesmo deve ocorrer.

Discussão

Para ilustrar a diferença entre a TF e a TWC com relação à localização tempo-frequência, utilizou-se um sinal utilizou-senoidal com duração de 60 utilizou-segundos, que apreutilizou-senta uma frequência de 0,1 Hz durante os 30 segundos iniciais e 0,2 Hz no restante do tempo. Conforme ilustrado na Figura 2, o espectro de amplitude obtido por meio da TF apresenta amplitudes em torno de 0,1 Hz e 0,2 Hz, indicando que essas frequências compõem o sinal, porém não indica quando tais frequências ocorrem no tempo. Por outro lado, o espectro de potência wavelet (parte inferior da Figura 2) mostra tanto essas

(20) (21) (22) (23) (24) (25)

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componentes de frequência (apesar do eixo das ordenadas representar o período) quanto os intervalos de tempo que elas ocorrem, i.e., evidencia que nos 30 segundos iniciais tem-se um período de 10 segundos e no restante um período de 5 segundos. Assim sendo, é fácil notar que a localização tempo-frequência oferecida pela TWC é a sua principal vantagem em relação a TF.

Figura 2 – Análise de um sinal senoidal com variação abrupta de frequência por meio da TF e da TWC.

Fonte: Os Autores. Conclusão

Durante o desenvolvimento do trabalho, notou-se que na maioria dos casos a teoria envolvendo a TWC encontrada na literatura especializada não é apresentada de forma didática, de maneira que possa contribuir efetivamente no processo de entendimento. Especificamente, é difícil encontrar um guia que apresente de forma simples as deduções matemáticas passo a passo, com exemplos práticos de aplicação envolvendo a TWC que permitam compará-la com outras transformadas. Dessa forma, ao introduzir a análise wavelet no contexto da TWC e justificar de forma didática todos os passos nas demonstrações, atingiu-se o objetivo principal do presente trabalho, sendo esse o seu diferencial, que contribuirá consideravelmente para o entendimento e aprendizagem da teoria. Além disso, os resultados obtidos condizem com a teoria no que se refere as deduções matemáticas realizadas e as diferenças existentes entre a TWC e a TF, que foram apresentadas. Portanto, o presente trabalho irá contribuir principalmente para aqueles que procuram um guia introdutório do ferramental matemático pertinente a análise wavelet e de Fourier.

Agradecimentos

H. G. Macedo agradece a Bolsa de IC do PIBIC (Proc. 165321/2017-2). F. C. R. Fernandes agradece a Bolsa PQ do CNPq (Proc. 311376/2015-0) e o Projeto Regular da FAPESP (Proc. 2017/08206-3). Referências

ADDISON S.P. The Continuous Wavelet Transform: Computation, Boundary Effects and Viewing. Bristol: Institute of Physics Publishing, p.16-74, 2002.

DAUBECHIES, I. Ten lectures on wavelets. SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

FRAZIER, M. W. An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra. Springer, 2001.

MALLAT, S. A wavelet tour of signal processing: The sparse way. 3. ed. Academic Press, 2008. OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; HAMID, S. Signals and systems. 2. ed. Pearson, 1996.