Tabela (Preliminar) de Escores da Prova de Matemática

PROVA UFGRS 2010 COMENTADA

A prova de matemática da UFRGS novamente foi a de média mais baixa. Nos últimos dez anos, isso

ocorreu sete vezes. A média foi menor em relação ao ano passado, fato que possibilita inferir que a prova

estava mais difícil, embora o candidato conseguisse atingir um escore padronizado maior com uma menor

quantidade de acertos.

A análise das questões nos mostra uma prova com a mesma distribuição de conteúdos dos anos anteriores, mas com uma quantidade menor de questões que poderiam ser resolvidas por “intuição de grandeza matemática” através da simples avaliação numérica de alternativas. Assim, o aluno necessitava de um conhecimento (conteúdo teórico) mais aprofundado, em relação ao ano anterior, para atingir um bom resultado.

Tabela (Preliminar) de Escores da Prova de Matemática

Bruto Padronizado Escore Freqüência Histograma

0

305,73

21

1

328,69

133

2

351,65

448

3

374,61

1193

4

397,57

2184

5

420,53

3137

6

443,49

3291

7

466,45

3188

8

489,41

2711

9

512,37

2032

10

535,33

1656

11

558,29

1274

12

581,25

1014

13

604,21

859

14

627,17

673

15

650,13

592

16

673,09

511

17

696,05

434

18

719,01

358

19

741,97

312

20

764,93

221

21

787,89

171

22

810,85

129

23

833,81

104

24

856,77

41

25

879,73

23

Soma Global dos Escores: 226004 Média da Prova: 8,4614

Desvio Padrão da Prova: 4,3554

Número de Candidatos Presentes: 26710

20 , 1 199 , 1 2 , 76 4 , 91 f 4 , 91 f 2 , 76 V f Vo ≈ = = = ⋅ = ⋅

Portanto, o excesso em relação à altura recomendada é de aproximadamente 20%.

QUESTÃO 27 (C) – MATEMÁTICA BÁSICA (POTÊNCIAS DE 10)

12 2 12 12 12 10 12 5 2 12 5 _{9,5 10} 2 10 38 2 10 2 38 2 10 ) 2 ( 38 5 4 38  → ⋅ ⋅ → ⋅ → ⋅      ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅

QUESTÃO 28 (B) – MATEMÁTICA BÁSICA (REGRA DE TRÊS/PORCENTAGEM)

Podemos calcular a inflação anual de 1993 pelo fator de aumento:

lação inf de % 2497 97 , 25 77 2000 f 2000 f 77 V f Vo → = = = ⋅ = ⋅

Podemos determinar o percentual que a inflação acumulada de jul/94 até jul/09 (244,15%) representa da inflação, no ano de 1993 (2497%), pela regra de três:

2497% --- 100% 244,15 --- x%

x ≈ 10%

QUESTÃO 29 (C) – MATEMÁTICA BÁSICA (REGRA DE TRÊS)

A análise da alternativa correta fica facilitada em função da ordem decrescente dos dados nas tabelas. A Austrália e o Canadá possuem a mesma taxa de mortalidade (0,61 mortes por 100.000 habitantes) e, no entanto, a Austrália teve um maior número de óbitos (já que o Paraguai nem aparece na tabela decrescente de óbitos). Dessa forma, a população da AUSTRÁLIA em 27/08/09 era MAIOR que a do PARAGUAI.

QUESTÃO 30 (A) – MATEMÁTICA BÁSICA (REGRA DE TRÊS)

360o _{--- 43 bilhões} 72o --- x bilhões 6 , 8 360 72 43 x= ⋅ =

Como a quantia superava em 200 milhões (0,2 bilhões): 8,6 + 0,2 = 8,8 bilhões.

QUESTÃO 31 (C) – MATEMÁTICA BÁSICA (ÁLGEBRA)

6 3 2 3 4 . 2 3 2 3 2 3 2 . 3 2 . 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 → − + − + + →       ₋ +       ₋       ₊ +       ₊ →       _{+ + −}

QUESTÃO 32 (E) – NÚMEROS COMPLEXOS

O argumento é 22,5o 8 =

π _{. Ao elevar um número complexo, o argumento fica multiplicado pelo expoente e, para}

que a parte imaginária seja negativa, o argumento (ângulo) deve ser maior que 180o_.

Assim, n.22,5o > 180o → n > 8.

Logo, o menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é 9.

QUESTÃO 33 (A) – GEOMETRIA ANALÍTICA

A região sombreada está limitada entre a parábola e a reta: Parábola ≤ y ≤ Reta A parábola ax2 _{+ bx + c possui a > 0, b < 0 , c = 1, ∆ > 0, x}

v = 2 e yv = -3 (gráfico).

A reta ax + b tem a = –1 e b = 1 (gráfico).

Portanto as desigualdades que satisfazem à região são: x2 _{– 4x + 1 ≤ y ≤ 1 – x}

QUESTÃO 34 (E) – PROGRESSÕES ETAPA ÁREA 1 100 2 4 3 100⋅ 3 2 4 3 100       ⋅ ... ... 6 5 4 3 100       ⋅

A tabela acima mostra um padrão – o expoente é uma unidade menor em relação à etapa.

QUESTÃO 35 (E) – PROGRESSÕES TERMO VALOR 1 1 = 21 – 1 2 3 = 22 – 1 3 7 = 23 – 1 4 15 = 24 _{– 1} ... ... 13 213 _{– 1}

A tabela acima mostra-nos um padrão – o expoente é igual à posição do termo.

QUESTÃO 36 (A) – PROGRESSÕES/LOGARITMOS

Se uma sequência de logaritmos forma uma PA, então a sequência de seus respectivos antilogaritmos forma uma PG. A razão r da PA é dada por:

a b 10 a b log 1 r a b log 1 r ) a log( ) b log( 1 r )) a log( 1 ( ) b log( 2 r _→ r 1₌      = − →       + = → − + = → + − + = −

Na sequência a,b,c, a razão q é dada por: ₁₀r 1 a

b q= = −

QUESTÃO 37 (B) – INEQUAÇÕES

I) log(x) ≤ 0 → log(x) ≤ log(1) → x ≤ 1, com C.E. x > 0 , assim o intervalo de valores que satisfaz é (0;1]. II) log(x2) ≤ log(4x) → x2≤ 4x → x2 – 4x ≤ 0 com C.E. x > 0, assim o intervalo de valores que satisfaz é (0;4]. III) x2 _{+ 8 ≤ 6x → x}2 _{– 6x + 8 ≤ 0 → o intervalo de valores que satisfaz essa inequação do segundo grau é}

[2;4].

Assim os intervalos obtidos são:

Portanto, um número real que satisfaça somente um dos intervalos está entre 1 e 2.

QUESTÃO 38 (D) – EQUAÇÃO COM RESOLUÇÃO GRÁFICA

O gráfico da função f(x) = log x está representado abaixo pela curva verde. Devido ao módulo, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (função par).

O gráfico da função g(x) = x(x2 – 4) está representado pela curva azul. Trata-se de uma função polinomial, com raízes –2, 0 e 2 e coeficiente dominante positivo.

O número de soluções é determinado pelos pontos de intersecção = 3.

QUESTÃO 39 (E) – POLINÔMIOS/SISTEMAS

Dado o polinômio do segundo grau: p(x) = ax2 _{+ bx + c , a partir dos valores numéricos, obtemos o sistema, que}

pode ser resolvido por escalonamento:

2 c 8 c 8 b 6 4 b ) 3 ( 2 c 3 b 2 1 c b 3 a 9 2 c b 2 a 4 1 a ) 9 ( ) 4 ( 1 c b a =    = − − − = → − = − −      − = + + − = + + = → − − − = + +

Assim, p(x) = x2 – 4x + 2, e a soma das raízes = – b/a = 4.

QUESTÃO 40 (C) – TRIGONOMETRIA

Como os lados do triângulo são proporcionais a 2, 2 e 1, podemos simplificá-lo da seguinte maneira: Lei dos cossenos: 22 = 22 + 12 – 2.2.1.cos(Â) → cos(Â) = 1/4, logo cos(Bˆ) = 1/4.

Lei dos cossenos:12 = 22 + 22 – 2.2.2.cos(Cˆ) → cos(Cˆ) = 7/8

2 ₄ 0 4 0 1 -2 0 2 _x y 2 2 1 Â Cˆ Bˆ 2

QUESTÃO 41 (B) – TRIGONOMETRIA

Uma função trigonométrica do tipo f(x) = a + b.sen(cx + d) tem seu período dado por:

3 2 c 2 P= π= π

QUESTÃO 42 (C) – GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Observamos que as peças que possuem mesma área são as de número

,

,

8 2 2 2 2 h b Área λ2 λ λ = ⋅ = ⋅ =

QUESTÃO 43 (A) – GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Assim, o lado λdo triângulo é igual a 6 3 e o perímetro 18 3.

QUESTÃO 44 (D) – GEOMETRIA ESPACIAL

Primeira caixa: prisma hexagonal regular com aresta a e altura h. Seu volume é dado por:

h 4 3 a 6 V 2 pc = ⋅

Segunda caixa: prisma triangular regular com aresta 2a e altura h. Seu volume é dado por:

3 a h 4 3 ) a 2 ( V 2 2 sc = ⋅ =

Assim, a razão dos volumes da primeira e da segunda caixa é

2 3 4 6 3 a 4 3 a 6 V V 2 2 sc pc = = = 3 λ

Onde está Wally?

3

6

3 3

QUESTÃO 45 (B) – GEOMETRIA ESPACIAL

Teorema de Pitágoras: Teorema de Pitágoras: y2 _{= 10}2 _{+ 5}2 _x2 _{= y}2 _{+ 5}2

y2 = 125 x2 = 125 + 25 x2 = 150 x=5 6

QUESTÃO 46 (D) – GEOMETRIA ESPACIAL

λ 80 dm 80 3 80 3 32 16 V 3 2 4 4 2 V V V V 3 res 3 2 res esf cil res = ≈ π = π + π = ⋅ π ⋅ + ⋅ ⋅ π = + =

QUESTÃO 47 (A) – GEOMETRIA ANALÍTICA

Os valores das abscissas nos pontos de intersecção com o eixo x são calculados substituindo-se as ordenadas por zero:

x + 2 = 0 → x = –2 2x – 2 = 0 → x = 1

Os pontos de intersecção são calculados através de sistemas: x + 2 = 2x – 2 → x = 4 e y = x + 2 → y = 6

Assim, temos os principais pontos do quadrilátero:

Podemos dividir o quadrilátero em dois triângulos congruentes: 18 2 6 3 2 2 h b 2 A 2 A_quad = ⋅ _tri = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Onde está Wally? _{Onde está Wally?}

Q P 10 x 5 y y x 10 5 -2 ₁ 4 6 - 6

QUESTÃO 48 (B) – GEOMETRIA ANALÍTICA

Pontos de intersecção do círculo com o eixo x (y = 0):

(x – 4)2 + (0 – 3)2 = 25 → x2 – 8x = 0 → x’ = 0 e x” = 8 → (0,0) e (8,0) Pontos de intersecção do círculo com o eixo y (x = 0):

(0 – 4)2 + (y – 3)2 = 25 → y2 – 6y = 0 → y’ = 0 e y” = 6 → (0,0) e (0,6)

Portanto a área do triângulo é dada por:

24 2 8 6 2 h b A = ⋅ = ⋅ = QUESTÃO 49 (D) – PROBABILIDADE

A probabilidade de uma pessoa fazer uma busca pelo Google é dada por:

10 7 000 . 30 000 . 21 ) S ( P = =

A probabilidade de uma pessoa NÃO fazer uma busca pelo Google é, portanto,

10 3 ) N ( P ==

Se duas pessoas fazem uma busca simultânea pela internet, a probabilidade de pelo menos uma ter usado o Google é: % 91 100 91 100 49 100 21 100 21 100 49 10 7 10 7 ) SS ( P 100 21 10 7 10 3 ) NS ( P 100 21 10 3 10 7 ) SN ( P ou ou = = + + →              = ⋅ = = ⋅ = = ⋅ = QUESTÃO 50 (E) – PROBABILIDADE

As bolas são retiradas simultaneamente, então a ORDEM NÃO INTERESSA – trata-se de um problema de combinação.

O espaço amostral é dado por C3₁₅ = 455 possibilidades de grupos de 3 bolas.

O evento SOMA DAS BOLAS É UM NÚMERO PAR ocorre quando há 3 bolas pares ou 2 ímpares e 1 par: 231

C C

C3₇ + 2₈⋅ 1₇ =

Assim, a probabilidade é dada por:

65 33 455 231 P= = 0 8 6 x y