Representações irredutíveis de grau dois da primeira álgebra de Weyl

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(1)Representações Irredutíveis De Grau Dois Da Primeira Álgebra De Weyl. César Augusto Rodríguez Duque. Dissertação/Tese apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Ciências. Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Alexandre Grishkov Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES São Paulo, novembro de 2015.

(2) Representações Irredutíveis De Grau Dois Da Primeira Álgebra De Weyl. Esta é a versão original da dissertação/tese elaborada pelo candidato, César Augusto Rodríguez Duque, tal como submetida à Comissão Julgadora..

(3) Representações Irredutíveis De Grau Dois Da Primeira Álgebra De Weyl. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Alexandre Grishkov (orientador)- IME-USP • Prof. Dr. Alexandre Ananin - ICMC • Prof. Dr. Kostiantyn Iusenko - IME-USP • Prof. Dr. Artem Lopatin - UNICAMP • Prof. Dr. Alexandr Kornev - UFABC.

(4) Agradecimentos Ao professor Doutor Alexandre Grishkov pela sua orientação, compreensão e acompanhamento no desenvolvimento do doutorado. A minha esposa Sandra pelo apoio e a minha família.. i.

(5) ii.

(6) Resumo Duque César A. R. Representações irredutíveis de grau dois da primeira álgebra de Weyl. Tese Doutorado - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, novembro 27 de 2015. Sejam K um corpo comutativo de caraterística zero. Definimos a álgebras associativa sobre K com dois geradores p, q onde pq − qp = 1, como a primeira álgebra de Weyl, denotaremos esta por A1 . As representações irredutíveis de grau um de dimensão infinita de A1 , foram descritos por R. Block em (Block , 1981). Baseados nesta ideia, são descritas as representações irredutíveis de grau dois de dimensão infinita de A1 . No capítulo 1 são estudadas a representações da localização S −1 A1 = B onde S = K[ q ] − {0}, ver (Block , 1981). Também apresentamos algumas definições e resultados relevantes para A1 , os quais estabelecem uma relação entre as representações de álgebras de Lie nilpotente e as representações da enésima álgebra de Weyl An , ver (Dixmier , 1959). No segundo capítulo é abordado o estudo da estrutura para A1 -módulos de grau dois de dimensão infinita, obtendo uma descrição completa destes módulos. Usando esta estrutura é dada uma relação entre uma classe de Sl2 -módulos de dimensão infinita e os A1 -módulos de grau dois. Finalmente, no capítulo 3 são dados alguns fatos importares sobre a estrutura do Ext1 (M, N ), onde M e N são A1 -módulos irredutíveis de dimensão infinita com graus n1 e n2 repectivemente. Palavras-chave: álgebras de Weyl, módulos irredutíveis de grau n, Ext1 , localização de anéis, polinômios irredutíveis, domínios de ideais principais.. iii.

(7) iv.

(8) Abstract Duque César A. R. Irreducible Representations the two deg of the first Weyl algebra. Tese Doutorado - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 27 de novembro de 2015. Let K be a commutative field such of zero characteristic. The associtive algebras from K whit two geradors p, q shuch that pq −qp = 1 is the first Weyl algebra and it algebra going to denoted for A1 . The structure of irreducible representations of degree one of infinite dimensional of A1 , studied by R.Block (Block , 1981) on 1981. Based in this paper, we characterize the structure of degree two of irreducible representations of infinite dimensional of A1 . In the first chapter, we speak of localization rings and defined B, we also give tools and definitions needed over Weyl algebras and nilpotent Lie algebras. In the second chapter we give the review for to the problem of A1 -modules of degree two of infinite dimensional. At the end of the thesis we calculate the Ext1 (M, N ), by M e N irreducibles A1 -modules of degree n. Keywords: Weyl algebras, irreducibles modules of the degree n, Ext1 , localization rings and principal ideal domain.. v.

(9) vi.

(10) Introdução As álgebras de Lie foram introduzidas por Sophus Lie e um dos grandes problemas destas estruturas é a classificação destas álgebras, assim como o estudo das representações das mesmas. Ao longo da história, o estudo das classificações das álgebras de Lie divide-se em três tipos, as álgebras de Lie semisimples, as solúveis e as que não são semisimples e não são solúveis. O teorema de Levi-Malcev que foi demonstrado em 1945 (Maltsev , 1962), (Levi , 1905), nós diz que, toda álgebra de Lie de dimensão finita pode-se escrever como a suma direta entre de uma subálgebra semisimples e seu radical solúvel. Portanto, no estudo das álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de caraterística zero os dois grupos; as álgebras de Lie semisimples e as solúveis, são de grande importância. As primeiras foram classificadas pelo teorema de Cartan: toda álgebra de Lie semisimples de dimensão finita sobre um corpo de caraterística zero, pode-se escrever como soma de ideais simples, assim o problema de classificação de álgebras de Lie semisimples se reduz a classificação das álgebras de Lie simples, as quais foram classificadas na década dos 90 por Killin, Cartan e outros grupos de matemáticos da época (Cartan , 1894). Nas segundas, estão contidas as álgebras de Lie nilpotente. Neste sentido, temos a álgebra de Lie nilpotente de dimensão três h, gerada por x, y, z, chamada álgebra de Heisenberg, com produto de Lie dada por [x, z] = [y, z] = 0 e [x, y] = z. Em 1963, J. Dixmier nos trabalhos (Dixmier , 1963), (Dixmier , 1959), introduz os ideais primitivos das álgebras de Lie nilpotentes, estes ideais estão definidos como o núcleo de uma representação irredutível da álgebra envelopante. No caso da álgebra de Heisenberg, os ideais primitivos são da forma Iλ = U h(z − λ) com quociente da forma U hU h(z − λ), que é gerado por dois elementos x¯, y¯ tais que [¯ x, y¯] = λ. Para λ 6= 0 gera-se á primeira álgebra de Weyl A1 , que tem este nome devido ao matemático Hermann Weyl. A álgebra A1 é gerada por dois elementos p e q tais que [p, q] = 1, assim é possível estabelecer um isomorfismo entre A1 e os quocientes primitivos da álgebra envelopante da álgebra de Heisenberg U hIλ . Em (Dixmier , 1963), J. Dixmier mostrou que existe uma correspondência entre o quociente da álgebra envelopante U g, de uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita g, por um ideal primitivo, chamado de quociente primitivo, e An , para algum n. A álgebra An , é a enésima álgebra de Weyl com 2n geradores; xi , · · · , xn , yi , · · · , yn onde [xi , yj ] = δij , vii.

(11) viii [xi , xj ] = 0 e [yi , yj ] = 0. Isto faz que o estudo das representações da álgebra de Weyl seja importante, dentro da teoria das representações das álgebras de Lie nilpotentes. Anos depois , em 1968 o mesmo matemático J. Dixmier (Dixmier , 1968), estuda a profundidade a estrutura e as propriedades da primeira álgebra de Weyl A1 sobre um corpo de caraterística zero. No final deste trabalho Dixmier deixou uma lista de 6 problemas em aberto. Em 1975, Joseph and Stein dão solução aos problemas 3 e 6, usando ferramentas de McConnell and Robson (McConnell e Robson , 1987), ver (Joseph , 1975), em 2005, V. V. Bavula da solução ao problema 5, ver (Bavula , 2005). Restam ainda três problemas em aberto, a saber os problemas 1, 2 e 4. O problema 1 conhece-se como a conjetura de Dixmier: O conjunto de End(A1 ) coincide com o conjunto de Aut(A1 ). A classificação das representações da primeira álgebra de Weyl A1 foi dada por R. BLock no ano 1981 em (Block , 1981), usando a localização de A1 pelo conjunto S = K[ q ] − {0}, e as propriedades do domínio de ideais principais B = S −1 A1 , ver (Amitsur , 1954), (Ore , 1933). Da localização anterior obtemos B = K(q)[ p ] onde o comutador [f (q), p] = f 0 (q), para f ∈ K(q). Neste mesmo artigo R. Block classifica as representações irredutíveis de dimensão infinita da álgebra das matrizes de 2 ×!2 com traço ! zero. Está é uma!álgebra de 0 1 0 0 1 0 Lie simples gerada por três elementos e = ,f= eh= . 0 0 1 0 0 −1 No caso da álgebra envelopante Us de Sl2 (K) os ideais primitivos estão dados por Iλ = Us (Q−λ), onde Q é o elemento de Casimir. Assim Us Iλ ' A1 , além disso o ideal Us (Q−λ) é um ideal maximal para λ ∈ K, K um corpo algebricamente fechado de caraterística zero. Neste trabalho Block define o grau de um B-módulo irredutível, e dá uma caraterização explicita para os módulos de grau um, esta caraterização encontra-se na parte final do artigo (Block , 1981). Neste ordem, fazemos uma caraterização para os módulos de grau dois. O estudo das representações irredutíveis da primeira álgebra de Weyl é dividida em os A1 -módulos de S-torção e os A1 -módulos livres de S-torção. Os primeiros são da forma M (λ) = (K[p], λ) onde p age como a multiplicação por p e q age como λ − ddp, estes módulos foram classificados por Block em (Block , 1979). Para A1 -módulos livres de SM torção Block em (Block , 1981) mostrou que existe uma bijeção entre AM 1 (irr) e B (irr), a saber: −1 N ] ∈ BM (irr). (1) [N ] ∈ AM 1 (irr) −→ [S [M ] ∈ BM (irr) −→ [SocA1 (M )] ∈ AM 1 (irr).. (2). Onde AM 1 (irr) = {[F ] | F é um A1 − módulo irredutível e livres de S − torção}, e [F ]; é formada por todos os A1 -módulos livres de S-torção isomorfos a F . Da mesma forma é definido.

(12) ix o conjunto BM (irr) = {[F ] | F é um B − módulo irredutível}. No capítulo 2, caraterizamos o SocR (M ) para M um B-módulo irredutível de grau dois como foi feito em (Block , 1981), para módulos de grau um, onde R = A1 ou R = ρλ (Us ). Denotamos por ρλ Us a imagem de ρλ , onde ρλ : Us −→ A1 é dado por ρλ (e) = q, ρλ (f ) = −(qp + λ + 1)p e ρλ (h) = 2qp + λ + 1. O teorema para módulos de grau um enuncia-se como segue: Teorema 1. Suponha N um B-módulo irredutível de grau um e λ ∈ K. Podemos identificar N com K(q) onde p.f = tf + f 0 e q.f = qf . Então SocA1 (N ) = K[q, (q − α1 )−1 , · · · , (q − αl )−1 ] onde αi são os polo de t. Além disso Socρλ Us (N ) = SocA1 (N ) salvo que: vq (t) ≥ 0. λ∈Z. vq (t) = −1. (3). Res0 (t) = −λ. (4). Se temos (3), então Socρλ Us N = q −λ SocA N . De (4) e supondo αl = 0 temos Socρλ Us N = K[q, (q − α1 )−1 , · · · , (q − αl−1 )−1 ].. (5). Se M é um B-módulo irredutível de grau dois e m ∈ M −{0}, então existe F1 = p2 +ap+b ∈ B irredutível, preservado e com uma propriedade descrita no capítulo 2 tal que F1 m = 0. Pode-se identificar a classe de M ([M ]) com a classe de F1 ([F1 ]), a classe dos polinômios irredutíveis em B similares a F1 = p2 + ap + b, onde a, b ∈ K(q). Usando o polinômio F1 damos a K(q) × K(q) estrutura de B-módulos, onde as ações de p e q estão dadas somo segue q(f, g) = (qf, qg), p(f, g) = (f 0 − bg, f + g 0 − ag) =. d dq. 1. −b d dq. −a. !. f g. !!t .. Identificando m ∈ M − {0} como (1, 0) (u = (1, 0)), da ação acima temos o isomorfismo M ' K(q) × K(q). Assim F1 é anulador do elemento (1, 0) ∈ K(q) × K(q), e portanto K(q) × K(q) é um B-módulo irredutível, isomorfo a M . Sejam N um B-módulo irredutível de grau dois, F1 = p2 + ap + b ∈ B, P ol(F1 ) = {α1 , · · · , αm } e λ ∈ K. Definimos D = D+ ∪ D− onde D+(−) = {−θ1 , −θ2 } + Z+(−) e.

(13) x θ1 , θ2 são as raízes do polinômio Q0,F1 (ξ). Do anterior, o principal resultado de tese enuncia-se como segue:. Teorema 2. Usando as notações anteriores temos o isomorfismo N '!K(q) × K(q), ! onde d −b q 0 p e q agem como a multiplicação á esquerda pelas matrizes dq d e respec1 dq − a 0 q tivamente. Então Socρ(λ)U s N = SocA1 N salvo que: 0∈ / P ol(F1 ). λ∈ / Z− ,. e. (6). 0 ∈ P ol(F1 ) e − λ ∈ D, (7) ! ! 1 1 Se temos (6), então ρ(λ)U s = q −λ A1 . Se temos (7) existe t ∈ N tal que o 0 0 módulo quociente ! ! 1 1 q t A1 ρ(λ)U s , 0 0 é isomorfo com um dos seguintes módulos de Verma de Sl2 (K), 1. M (−λ − 1). 2. M (−λ − t), se Q0,γ (−λ − t) = 0 para t ∈ N. ! 1 3. M (−λ + t) e W = q t A1 , se Q0,γ (−λ + t) = 0 para t ∈ N. 0 Sejam ∆(F1 ) = {α ∈ P ol(F1 ) | Qα,F1 (0) = 0}, ∆0 (F1 ) = {α ∈ P ol(α) | Qα,F1 (n) 6= 0, ∀n ∈ Z} e K[ q, (q − α1 )−1 , · · · , (q − αl )−1 ] × K[ q, (q − α1 )−1 , · · · , ! (q − αl )−1 ] = KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) . 1 Logo P ol(F1 ) = ∆0 (F1 )∪∆(F1 ). Para o módulo W = A1 = SocA1 (N ) temos os seguintes 0 resultados: 1. Se ∆(F1 ) = {α1 , · · · , αj }, do lema 23, segue-se W ⊂ W1 ⊂ · · · ⊂ W1···j+t = KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) , Qi sendo W1···i = A1 Qαk ,F1 (ξ).. k=1 (q. − α)−θαk (F1 )−3 0. ! e θαk (F1 ) a menor raiz inteira positiva de.

(14) xi 2. K[q, (q − β)−1 | β ∈ ∆0 (F1 )] × K[q, (q − β)−1 | β ∈ ∆0 (F1 )] ⊂ W . 3. Se ∆0 (F1 ) = ∅, do lema 20, segue-se que Wα W é irredutível e de S-torção isomorfo a M (α). 4. Se ∆0 (F1 ) 6= ∅ para todo α∆0 (F1 ) temos dimK (T (α)) < ∞ e να (a) = −1, να (b) ≥ −1. Do lema 23, Wα W pertence ao Ext1 (M (α), M (α)). 5. Ext1 (M (α), M (α)) = M (α) ⊕ M (α). Afirmação 1. O A1 -módulo W é irredutivel. Teorema 3. ∆(F1 ) 6= ∅ se, e somente se,. ! 1 não gera KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) . Ver (26). 0. Corolario 1. KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) é irredutível se, e somente se, ∆(F1 ) = ∅. Além disso W = KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) . ! (q − α)−θα (F1 )−3 Afirmação 2. Se α ∈ ∆(F1 ), temos Wα = A1 . Portanto, Wα W é 0 irredutível de S-torção e isomorfo a M! (α). Se να (a) = −1, dimK (T (α)) = −Resα (a) e −1 (q − α) να (b) ≥ −1, então Vα = A1 é um A1 -submódulo de Wα e temos a cadeia de 0 ! 1 n comprimento 2, 0 ⊂ W ⊂ Vα ⊂ Wα . O conjunto T (α) = p |n ∈ N . 0 ! Q −θα (F1 )−3 α∈∆(F1 ) (q − α) Corolario 2. KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) é cíclico gerado por A1 e de 0 comprimento finito..

(15) xii.

(16) Sumário Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Preliminares 1.1 Álgebra envelopante . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Álgebra de operadores diferenciáveis . . . . . . . . 1.3 Álgebras de Lie nilpotentes e suas representações 1.4 Polinômios irredutíveis sobre B . . . . . . . . . . 1.5 Módulos de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Sl2 -módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Álgebra envelopante de Sl2 . . . . . . . . . 1.6.2 Ideais primitivos de Sl2 (K) . . . . . . . . 1.7 Representações irredutíveis . . . . . . . . . . . . .. iii vii. . . . . . . . . .. 1 1 2 3 8 9 10 10 11 14. . . . . . .. 19 20 22 23 25 27 31. 3 Módulos irredutíveis de grau dois sobre Sl2 (K) 3.0.1 Se 0 ∈ / P ol(F1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.2 Se 0 ∈ P ol(F1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.3 Estrutura do Socρλ (Us ) (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 38 41 42. 4 Extensões De Módulos irredutíveis 4.1 Análise do caso F ∈ A1 com F redutível em B . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 49. Referências Bibliográficas. 51. . . . . . . . . .. 2 Módulos de grau dois sobre a primeira álgebra de 2.1 Propriedades do polinômio G1 . . . . . . . . . . . 2.2 Estrutura de W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 W é irredutivel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Se ∆(G1 ) = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Se ∆(G1 ) 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Relação entre os módulos W e KP ol(F1 ) × KP ol(F1 ) .. xiii. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . ..

(17) xiv. SUMÁRIO.

(18) Capítulo 1 Preliminares 1.1. Álgebra envelopante. As definições e conceitos apresentados a continuação, podem ser consultadas com mais detalhe nos livros de (Jacobson , 1979) e (Humphreys , 1972). Tudo o apresentado neste capitulo referente as álgebras de Lie nilpotentes pode ser consulta nos trabalhos de Dixmier (Dixmier , 1963) e (Dixmier , 1977b). Definição 1. Seja L uma álgebra de Lie. Dizemos que (U, π) é a álgebra envelopande de L, se são satisfeitas as seguintes condições: 1. U é associativa. 2. π : L −→ U é um homomorfismo de álgebras de Lie, e para cada álgebra associativa V tal que existe um homomorfismo de álgebras de Lie ϕ : L −→ V (−) , então existe um único homomorfismo ψ de álgebras associativas que faz comutar o seguinte diagrama L. π. -. U. ϕ ψ. ?. V (−) Da definição de álgebra envelopante, segue que (U, π) é única. Denotaremos o par (U, π) como U (L). Seja L uma álgebra de Lie, definimos o seguinte produto tensorial T 0 (L) = K, T 1 (L) = L, · · · , T m (L) =. m O. L.. i=1. Então a álgebra tensorial de L é dada por T (L) =. ∞ M. T i (L).. i=0. O produto em T (L), é definido como (x1 ⊗ · · · ⊗ xk )(y1 ⊗ · · · ⊗ yt ) = x1 ⊗ · · · ⊗ xk ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yt ∈ T k+t (L). 1.

(19) 2. 1.2. PRELIMINARES. De T (L), podemos construir duas álgebras clássicas, a álgebra simétrica G(L) e a álgebra envelopante universal U (L). A álgebra G(L) é definida como o quociente entre a álgebra tensorial e o ideal x ⊗ y − y ⊗ x. Se fizemos Im = I ∩ T m (L), L I de T (L), gerado pelos elementos L então I = Im , obteremos os quocientes S i (L) = T i Ii , assim G(L) = S i (L). A álgebra U (L) é definida como o quociente entre T (L) é o ideal J de T (L), gerada pelos elementos [x, y] − x ⊗ y + y ⊗ x, assim temos U (L) = T (L)J. Teorema 4. (teorema de PBW) Seja L uma álgebra de Lie, com base X = {xi |i ∈ N}, então o conjunto {xni11 · · · xnitt |xij ∈ X e ni ∈ N}, é uma base da álgebra envelopante de L, para i1 < · · · < it . Sempre podemos substituir N por um conjunto totalmente ordenado I. Demonstração. ver Jacobson, álgebras de Lie. Teorema 5. Suponha L = L1 ⊕ L2 , então U (L) = U (L1 ) ⊗ U (L2 ). Teorema 6. A álgebra U (L) é Noethreriana.. 1.2. Álgebra de operadores diferenciáveis. Definição 2. Seja R um anel e D : R −→ R uma derivação, D(ab) = D(a)b + aD(b), para todo par a, b ∈ R. Então o par (R, D) é um anel diferenciável. Definição 3. i. Um módulo diferenciável, é um módulo sobre um anel diferenciável R, munido com uma aplicação δ : M −→ M tal que δ(am) = D(a)m + aδ(m) para todo a ∈ R e m ∈ M. ii. A aplicação δ, é chamado operador diferenciável sobre M . iii. Um ideal diferenciável de R, é um ideal de R que tem estrutura de R-módulo diferenciável. Exemplo 1. Sejam K um corpo de característica zero e R = K[ x ][∂x ], onde ∂x a derivação usual de polinômios na variável x. Então R é um anel diferenciável. Definição 4. Um homomorfismo ϕ, entre dois R-módulos diferenciáveis é uma aplicação ϕ : (M1 , D1 ) −→ (M2 , D2 ), tal que ϕ é um homomorfismo de R-módulos e ϕD1 = D2 ϕ. Para An = K[x1 , · · · , xn ] junto com os operadores diferenciáveis ∂1 , · · · , ∂n , onde ∂i xj − xi ∂j = 1, temos a ação sobre o anel de polinômios K[x1 , · · · , xn ], dada pela ação de xi como a multiplicação por xi e ∂j como a derivação com respeito a xj ..

(20) 1.3. ÁLGEBRAS DE LIE NILPOTENTES E SUAS REPRESENTAÇÕES. 3. Pt Pt Seja P = i=1 fi ∂i um operador linear em An , definimos P (f ) = i fi ∂i f para f ∈ K[x1 , · · · , xn ]. Se consideramos o núcleo do operador P obtemos o conjunto X ker(P ) = {f ∈ K[x1 , · · · , xn ]| fα ∂α (f ) = 0}. O anel K[x1 , · · · , xn ] tem estrutura de An -módulo, e portanto definimos o módulo associado ao núcleo de P , como o módulo An An P . De forma geral, para P1 , · · · , Pn operadores em An , o módulo associado ao sistema P1 (f ) = · · · = Pn (f ), P está dado por o módulo cíclico An ( An Pi ). Reciprocamente, para todo An -módulo irredutível M , temos um operador S em An tal que o quociente An An S é isomorfo a M , definindo An S como o An -submódulo de M gerado por S.. 1.3. Álgebras de Lie nilpotentes e suas representações. Neste capitulo, apresentaremos algumas definições e resultados técnicos das álgebras de Weyl, que usaremos nos próximos capítulos. Sempre suporemos que as álgebras sobre K são associativa, onde K um corpo algebricamente fechado de característica zero. Definição 5. Seja K um corpo de característica zero, e g uma álgebra de Lie. Dizemos que g e nilpotente se g n = 0 para algum n ∈ N, onde g 2 = [g, g] e g k = [g k−1 , g]. Definição 6. Seja K um corpo de característica zero, a enésima álgebra de Weyl An , é definida como o anel de polinômios K[ x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ] mundo com a relação xi yj − yj xi = δij . No caso n = 1, temos A1 = K[ q ][ p ], onde pq − qp = 1. Seja A uma álgebra sobre K. Uma S filtração de A é um conjunto {Ai }i∈N de sub-espaços de A tal que Ai .Aj ⊆ Ai+j e A = Ai . Para a primeira álgebra de Weyl temos a filtração X An1 = kq i pj . i+j≤n. Seja A uma álgebra sobre K. Uma graduação de A é um conjunto {Ai }i∈N tal que Ai .Aj ⊆ Ai+j e A = ⊕Ai . Do trabalho de Dixmier (Dixmier , 1963) temos o seguinte lema. Lema 1. Sejam i, j, s, t inteiros não negativos. Então X (q i ps )(q j pt ) = αk q i+j−k ps+t−k Em virtude do lema anterior, para a primeira álgebra de Weyl obtemos a graduação X An1 = kq i pj . i−j=n.

(21) 4. 1.3. PRELIMINARES. Outra forma de definir as álgebras de Weyl, é dada em (McConnell e Robson , 1987). Seja R = K[x1 , · · · , xn ], definimos por indução o anel de polinômios torcidos ∂ R0 = R, Ri = Ri−1 yi , , i = 1, · · · , n. ∂xi Pelo teorema das bases Hilbert Rn é Noetheriano, além disso temos em Rn a relação xi y j = y j xi +. ∂xi = yj xi + δij , ∂xj. então existe um conjunto gerador de Rn , que satisfaz a definição da álgebra de Weyl. Da mesmo forma existe um conjunto de geradores da álgebra de Weyl An , que satisfaz a definição do anel de polinômios torcidos nas variáveis xi , yi . Teorema 7. An é simples (i.e. não tem ideais bilaterais) e Noetheriano. Demonstração. Pela An é Noetheriano. Seja I um ideal não nulo de An . Para Pparte αanterior β 0 6= a ∈ I, a = λαβ x y com α, β ∈ Nn . Suponhamos que α = (α1 , · · · , αn ), β = (β1 , · · · , βn ), α¯i = α = (α1 , · · · , αi−1 , αi+1 , · · · , αn ), então X X ∂y β αi +1 α¯i β α β xi a − axi = λαβ x x y + λαβ x xi y + ∂yi β X ∂y ∂a = λαβ xα = . ∂yi ∂yi Dado que yi a − ayi =. ∂a , ∂xi. então existe 0 6= b ∈ k tal que b ∈ I, então An é simples.. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente e U (g) sua álgebra envelopante. O estudo das representações de g é equivalente ao estudo das representações de U (g). Este fato é valido em geral para qualquer álgebra de Lie. Definimos o centro de U (g) como Z, e C(g) como o comutador de g em U (g), isto é, C(g) é o conjunto dos elementos x ∈ U (g) tais que [g, x] = 0. J. Dixmier em (Dixmier , 1963), da uma relação ente as álgebras de Lie nilpotentes e as álgebras de Weyl. Definição 7. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente. Dizemos que um K-espaço vetorial V é um g-módulo, se existe uma aplicação bilinear τ : g × V −→ V tal que τ ([x, y], v) = τ (xy, v) − τ (yx, v), para cada x, y ∈ g e v ∈ V . Definição 8. Seja g uma álgebra de Lie e V um K-espaço vetorial. Dizemos que ρ : g −→ gl(V ) é uma representação de g, se ρ é uma transformação linear e ρ([x, y])v = [ρ(x), ρ(y)]v, para cada x, y ∈ g e v ∈ V , sendo gl(V ) a álgebra das transformações lineares de V em V . Se V é um g-módulo irreductível a representação ρ diz-se irredutível. Definição 9. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente. Dizemos que um ideal bilateral I não trivial de U (g) e primitivo, se existir um módulo irredutível M tal que IM = 0. Teorema 8. (Dixmier , 1963)) Sejam V um espaço vetorial de dimensão menor o igual que ℵ0 sobre C, A ⊂ End(V ) uma subálgebra irredutível e A0 os elementos que comutam com A em End(V ), então A0 = C..

(22) 1.3. ÁLGEBRAS DE LIE NILPOTENTES E SUAS REPRESENTAÇÕES. 5. Demonstração. Pelo lema de Schur, A0 é um corpo contendo C (ver (Dixmier , 1977b), pág. 133). Se x ∈ A0 e x ∈ / C, então x é transcendente sobre C, portanto A0 contem um corpo isomorfo a C(x). Para cada λ ∈ C, os elementos (x − λ)−1 são linearmente independentes sobre C e consequentemente dimC C(x) > ℵ0 . Por outra parte, segue que (x − λ)−1 são linearmente independentes sobre C, para cada λ ∈ C. Logo dimA0 V ≥ dimC A0 ≥ dimC C(x) > ℵ0 . Lema 2. (Dixmier , 1963) Seja B uma álgebra sobre K, I um ideal bilateral de A1 ⊗ B e J = I ∩ B, então I = A1 ⊗ J. P Demonstração. Para cada c = pi q j ⊗ bij ∈ I, definimos v(c) = max{i + j | bij 6= 0}. (i,j). Se v(c) = 0, então c = 1 ⊗ b ∈ A1 ⊗ J. Suponha que v(c) < n, então bij ∈ J. Por outra parte [p, c] ∈ I e X X X [p, c] = pi+1 q j ⊗ bij + pi q j p ⊗ bij = jpi q j−1 ⊗ bij , logo bij ∈ J, para j 6= 0. P Substituindo p porP q obtemos analogamente que bij ∈ J para i 6= 0. Dado que 1 ⊗ b00 = c − i+j>1 pi q j ⊗ bij e i+j>1 pi q j ⊗ bij ∈ A1 ⊗ J, portanto 1 ⊗ b00 ∈ I e 1 ⊗ b00 ∈ J. Lema 3. (Dixmier , 1963) Sejam A uma K-álgebra, B e C duas subálgebras de A, que geram A e comutam. Se B é isomorfo a A1 , então o morfismo canônico φ de B ⊗ C em A é um isomorfismo. Demonstração. Seja φ a aplicação canónica de B ⊗ C em A determinada por φ(b ⊗ c) = bc, como ker(φ) é um ideal de B ⊗ C, segue-se que ker(φ) = B ⊗ J, onde J é um ideal de C. Note que φ(1 ⊗ c) = c para cada c ∈ C, temos J = 0. Portanto, φ é um isomorfismo. Usando o lema anterior e indução mostra-se que An é isomorfo a ⊗K A1 n-vezes, já que o homomorfismo canônico e de fato um isomorfismo de K-álgebras. Lema 4. (Dixmier , 1963) Seja g uma álgebra de Lie nilpotente, de dimensão maior que 2. Então existe um ideal I ⊂ g com dim I = dim g − 1 tal que dim Z(I) > 1, onde Z(I) denota o centro de I. Demonstração. Seja g0 = g. Como g0 é nilpotente, g 0 ⊂ g0 . Seja g¯1 / gg 0 ideal de g tal que dim gg1 = 1 e [g, g1 ] ⊂ g1 . No seguinte passo, tomamos um ideal g¯2 do cociente g1 [g, g1 ] tal que dim g1 g2 = 1, já que g1 [g, g1 ] resulta abeliano não nulo. Se g1 = [g, g1 ], então g1 = g 0 , por um argumento indutivo g n = g1 , em consequência g não é nilpotente de dimensão finita, assim temos 0 = gn ⊂ gn−1 ⊂ · · · ⊂ g1 ⊂ g0 = g, tal que dim gi gi+1 = 1 e cada gi é ideal de g. Seja {a, b} uma base de gn−2 tal que b ∈ gn−1 , então para cada x ∈ g a representação adjunta adg x|gn−2 é dada por, adg x|gn−2 (a) = λ(x)a e adg x|gn−2 (b) = 0, assim temos a representação matricial 0 0 . λ(x) 0.

(23) 6. 1.3. PRELIMINARES. É claro que λ|gn−1 = 0, e se [a, b] 6= 0 então [a, b] = tb. Logo (gn−2 )n = gn−1 para todo n ∈ N. Se λ = 0, então gn−2 ⊂ Z(g). Se λ 6= 0, então para a representação ρ : g −→ gl(gn−2 ) dada por ρ(x) = adg x|gn−2 , temos dim ρ(g) = 1. Assim ker(ρ) = h é um ideal de g com g2 ⊂ Z(h). Se dim g > 2 e dim Z(g) = 1 então existem dois ideais h, I de g com as seguintes propriedades 1. dim(gh) = 1, dim I = 2. 2. Z(g) ⊂ I ⊂ h ⊂ g. 3. Z(h) = I. Introduziremos algumas notações que precisamos no decorrer do trabalho. Seja x ∈ g − h e y ∈ I − Z(g), então [x, y] ∈ Z(g), de outra forma g não é nilpotente. Então a álgebra N gerada por x, y, z = [x, y] é nilpotente de dimensão 3. Lema 5. (Dixmier , 1963) Sejam U = U (g), U 0 = U (h), V = U (N ), Y = U (y), J o ideal gerado por z + 1 e W = NU 0 (J)( o normalizador de J em U’). Seja ϕ o homomorfismo canônico de U em U J. Então 1. ϕ(V ) ∼ = A1 . 2. ϕ(U ) = ϕ(V ) ⊗ ϕ(W ). 3. ϕ(U 0 ) = ϕ(Y ) ⊗ ϕ(W ). 4. ϕ(Y ) ∼ = K[ y ]. 5. ϕ(W ) é isomorfo a uma álgebra quociente de ϕ(U 0 ). Demonstração. 1. Como [ϕ(x), ϕ(y)] = 1 e ϕ(V ) é gerado por ϕ(x), ϕ(y), e em consequência ϕ(V ) é isomorfo a A1 . 2. Para a demonstração de (2), (3), mostraremos que V, W (Y, W ) geram U (U 0 ) respectivamente. Fixando a ∈ U 0 , a nilpotência de g permite definir v(a) como o inteiro t tal que adt+1 (x)a = 0 e adt (x)a 6= 0, usaremos indução em t. Se t = 0 então a ∈ W . Suponhamos que a afirmação é valida para v(a) < t. Definimos ai = adi (x)a, como ad(x) é uma derivação e z está no centro de g, temos ad(x)[a + a1 y + · · · +. at t y] t!. ad(x)at−1 t−1 at t−1 y + ty z (t − 1)! t! at a t = a1 + a2 y + a1 z + · · · + y t−1 + y t−1 z (t − 1)! (t − 1)! at t−1 = (z + 1) a1 + a2 y + · · · + y . (t − 1)! = ad(x)a + ad(x)a1 y + a1 ad(x)y + · · · +. Pela hipótese, ai está na álgebra gerada por Y e W , pois v(ai ) < t para i > 0. Por outra parte a + a1 y + · · · + at!t y t ∈ W . Logo, a está na álgebra gerada por Y, W , e esta.

(24) 1.3. ÁLGEBRAS DE LIE NILPOTENTES E SUAS REPRESENTAÇÕES. 7. álgebra coincide com U , além disso V, W geram U pois x ∈ V . Do anterior e de (1, 3) temos (2). 3. Por (1), a imagem de ϕ(Y ) ⊗ ϕ(W ) é ϕ(U 0 ). A sobrejectividade segues-se da definição do homomorfismo. 4. Segue-se definição de álgebra envelopante. 5. Considere a aplicação φ : ϕ(y) × ϕ(W ) −→ ϕ(W ), dada por φ(y i , b) = z i b.. Lema 6. (Dixmier , 1963) Com as hipóteses e notações anteriores, seja I um ideal bilateral de U tal que z + 1 ∈ I. 1. Existe um ideal bilateral J de ϕ(W ) tal que ϕ(I) = ϕ(V ) ⊗ J. A álgebra U I é isomorfa a álgebra A1 ⊗ (ϕ(W )J). 2. Seja Y + a coleção dos elementos de Y = K[ y ] que não têm parte constante, e L = ϕ(Y + ) ⊗ ϕ(W ) + ϕ(Y ) ⊗ J, então L é um ideal bilateral de ϕ(U 0 ). Se I 0 é a imagem reciproca de L contida em U 0 então U 0 I 0 ∼ = ϕ(W )J. Demonstração. 1. Pelas considerações feitas anteriormente existe um ideal bilateral I de ϕ(W ) tal que I = ϕ(V ) ⊗ I. Como z + 1 ∈ I temos J ⊂ I, além disso IJ é um ideal bilateral de U J. Via o homomorfismo canônico τ : U −→ ϕ(U )ϕ(I), definido como τ (a) = ϕ(a) + ϕ(I), temos o isomorfismo U I ∼ = ϕ(U )ϕ(I). U I ∼ = ϕ(U )ϕ(I) ∼ = (ϕ(V ) ⊗ ϕ(W ))(ϕ(V ) ⊗ ϕ(K)) ∼ = ϕ(V ) ⊗ ϕ(W K) ∼ = A1 ⊗ ϕ(W K). 2. U 0 I 0 ' ϕ(U 0 )L ' (ϕ(Y )ϕ(Y + )) ⊗ (ϕ(W )K) ' ϕ(W )K.. Teorema 9. (Dixmier , 1963) Sejam K um corpo comutativo de característica zero, g uma álgebra de Lie nilpotente, com álgebra envelopante U (g) e I um ideal bilateral de U (g). Para K algebricamente fechado, as seguintes afirmações são equivalentes 1. Z(U (g)I) = K. 2. U (g)I é isomorfa a uma das álgebras Ap . 3. I é um ideal bilateral maximal de U (g). 4. I é um ideal bilateral primitivo de U (g). Demonstração. Usamos indução na dim(g), no seguinte ordem (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) ⇒ (2). Em qualquer álgebra, independente da dimensão temos (3) ⇒ (4), e (2) ⇒ (3) se segue do fato que, Ap é simples..

(25) 8. 1.5. PRELIMINARES. Seja ρ a representação que induz I, ρ(U (g)) ' U (g)I. Substituindo V por ρ(U (g)) no T eorema 8 concluímos que (4) ⇒ (1). Só resta mostrar (1) ⇒ (2). Se dim(g) = 1 e Z(U I) = K então U I = K, logo (1) ⇒ (2). Suponha a afirmação valida para dim(g) < n. Seja Z0 = I ∩ Z(g). Suponhamos que Z0 6= 0. Sejam L = gZ0 , J o ideal bilateral gerado por Z0 em U (g) e U (L) = U (gK), do homomorfismo que induz τ : g −→ U (L) definido por τ (x) = ¯(x), o ideal IZ0 = IZ0 é um ideal bilateral de U (L). U I ' (U (L)U (Z0 ))(IU (Z0 )) ' U (L)IZ0 Então o centro de U (L)IZ0 é K, da hipótese de indução temos o isomorfismo U (L)IZ0 ' Ap . Suponhamos que Z0 = 0. Como g é nilpotente, dim(Z(g)) ≥ 1. De Z(U I) = K, segue-se que I ∩ K = I ∩ Z(g) = 0 e I ∩ (K + Z) 6= 0. Do lema 6, existe um ideal bilateral I 0 de U 0 tal que U I ' A1 ⊗ (U 0 I 0 ). Como Z(U I) = K, então Z(U 0 I 0 ) = K. Pela hipótese de indução existe Ap tal que U I ' A1 ⊗ Ap ' Ap+1 .. 1.4. Polinômios irredutíveis sobre B. Seja S = K[ q ] − {0}. O domínio B = S −1 A1 = K(q)[ p ], é um dominio de ideais principais, e portanto existe uma correspondência bijetora entre os elementos irredutíveis e os ideais maximais de B. Todo B-módulo irredutível N e isomorfo a B ker(ϕ), onde ker(ϕ) é um ideal máximal de B, portanto existe H ∈ B tal que ker(ϕ) = Hn, para algum 0 6= n ∈ N . Todo os resultados desta seção são do trabalho feito por Block em (Block , 1981). Dado um par de polinômios f, g ∈ B não nulos, definimos o mínimo múltiplo comum à direita como o polinomio mônico não nulo h(x) de menor grau tal que h = f1 f = g1 g. Definição 10. Dois polinômios f, g ∈ B não nulos, são relativamente primos a direita, se para todos os polinômios f1 , g1 , d ∈ B tal que f = f1 d e g = g1 d implica que d é unidade. De forma análoga definimos polinômios relativamente primos à esquerda. Definição 11. Dois polinômios f, g 6= 0, são similares se existem polinomios u, v não nulos tais que f u = vg, onde f, v são relativamente primos á esquerda, e g, u são relativamente primos à direita. Teorema 10. Dois polinômios de grau um p + x0 , p + x1 ∈ B são similares, se e somente se, a diferença dos termos constantes x0 − x1 , é uma derivação logarítmica. Demonstração. Suponhamos que x − a similar com x − b. Então existe c, d ∈ K[ x ] tais que 0 c(x − a) = (x − b)d, logo c = d é a − b = cc ..

(26) 1.5. 1.5. MÓDULOS DE VERMA. 9. Módulos de Verma. Seja L uma álgebra de Lie semisimples de dimensão finita e H uma sub-álgebra de Cartan, então M L=H⊕ Lα . (1.1) α. Onde Lα é o espaço de peso α de L relativos a subálgebra de Cartan de H. Definimos π = {α ∈ H ∗ | Lα 6= 0}, então π é um sistema de raízes, com descomposição φ = φ− ∪ φ+ , onde π + éL o conjunto das raízes positivas e π − é o conjunto das raízes negativas. Escrevendo − + N ( ) = α∈φ− (+ ) Lα , temos a subálgebra de Borel B = H ⊕ N + . Além disso L = N + ⊕ B e U (L) = U (N + )U (B). De (1.1), L tem uma base dada por hα ∈ H, eα P ∈ N + e fα ∈PN − , para cada α ∈ π. Para λ ∈ H ∗ , definimos o ideal Iλ de U (L) como Iλ = U (L)eα + U (L)(hα − λ(hα )). Usando o ideal Iλ obtemos o módulo de Verma M (λ) = U (L)Iλ . Uma construção equivalente para o módulo de Verma é dada por O M (λ) = U (L) Cλ . U (B). O U (B)-módulo, Cλ está determinado pelas ações; h.1 = λ(h) e eα .1 = 0, assim M (λ) tem estrutura de H-módulo. Para cada µ ∈ H ∗ definimos o subespaço M (λ)µ = {x ∈ M (λ) | h(x) = µ(h)x, ∀h ∈ H}. Dizemos que M (λ)µ é um espaço peso com peso µ, se M (λ)µ 6= 0. Teorema 11. M (λ) =. L. µ∈H ∗. M (λ)µ. Demonstração. Sejam φ+ = {β1 , · · · , βn } e mλ = 1 + Iλ , então o conjunto fβr11 · · · fβrnn mλ é uma base para M (λ). Para h ∈ H temos hfβr11 · · · fβrnn mλ = −β1 (h)fβ1 hfβr11 −1 · · · fβrnn mλ + fβ1 hfβr11 −1 · · · fβrnn mλ = (λ − r1 β1 − · · · −. rn βn )(h)fβr11. · · · fβrnn mλ .. (1.2) (1.3). Isto implica que fβr11 · · · fβrnn mλ ∈ Mµ , para µ = λ − r1 β1 − · · · − rn βn e M (λ) =. X. M (λ)µ .. Considere os funcionais µi −µ. Como H não pode ser escrito como a união finita de subespaços de menor dimensão (ker(µi − µ)), então existe h0 ∈ H tal que µ(h0 ) 6= µi (h0 ) para todo i, além disso existem polinômios p(x), q(x), com a propriedade t Y p(x)(x − µ(h0 )) + q(x) (x − µi (h0 )) = 1. i=1. (1.4).

(27) 10. 1.6. PRELIMINARES. P P Se m ∈ M (λ)µ ∩ ( ti=1 M (λ)µi ) e os µi são todos distintos, então m = mi onde (h − Qt µi (h))mi = 0, para cada i e para cada h ∈ H, portanto i=1 (h − µi (h))m = 0 e t Y 0 = p(h0 )(h0 − µ(h0 ))m + q(h0 ) (h0 − µi (h0 ))m = m. i=1. Teorema 12. M (λ) tem um único submódulo maximal. Demonstração. Seja V um P submódulo não nulo de M (λ) tal que V 6= M (λ), então para v ∈ V não nulo, temos v = vµi , onde vµi ∈ M (λ)µi . Se h ∈ H temos Y Y Y (h − µj (h))v = (h − µj (h))vµi = (µi (h) − µj (h))vµi , j,j6=i. então vµi ∈ V e V =. j,j6=i. L. µ. j,j6=i. Vµ , assim todo submódulo é soma de submódulos de peso.. Como Vλ ⊂ M (λ)λ e dim M (λ)λ = 1, então Vλ = M (λ)λP , o que é absurdo pela hipóteses. Portanto, todo submódulo de M (λ) está contido em W = µ, µ6=λ M (λ)µ , assim W é o único submódulo maximal de M (λ).. 1.6. Sl2-módulos. Nesta seção introduzimos os ideais primitivos das álgebras de Lie nilpotentes e de Sl2 (K). Além disso damos uma breve descrição dos quocientes de tipo U (g)I, onde gSl2 (K).. 1.6.1. Álgebra envelopante de Sl2. Seja K um corpo de característica zero. Definimos a álgebra de Lie Sl2 (K) como a álgebra gerada pelos elementos e, f, h, onde o produto de Lie é dado por [e, h] = h, [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f. Denotámos por Z(g), o centro da álgebra envelopante U (g) de g = Sl2 (K). Definimos U (g)2s , como o subespaço de U (g) gerado pelos elemento f k hj ei tal que k − i = s, logo M U (g) = U (g)s s∈Z. Observação 1. U (g)0 é gerado pelos elementos h, Q, onde Q = (h + 1)2 + 4f e, é o elemento de Casimir. Teorema 13. Z(g) = K[ Q ]. Em particular Z(g) é isomorfa ao anel de polinômios na variável x, K[ x ]. Demonstração. Como Q ∈ Z(g) temos K[ Q ] ⊂ Z(g). Por outro lado Z(g) ⊂ U (g)0 e portanto todo elemento a ∈ Z(g) pode-se escrever da forma X a= ai (h)Qi ,.

(28) 1.6. SL2 -MÓDULOS. 11. onde [e, a] = 0 e he = eh + 2e = e(h + 2). De hn−1 e = e(h + 2)n−1 temos hn e = hn−1 (eh + 2e) = hn−1 eh + 2hn−1 e = e(h + 2)n−1 h + 2e(h + 2)n−1 = e(h + 2)n , P P P logo [e, ai (h)Qi ] = Qi (eai (h) − ai (h)e) = e Qi (ai (h) − ai (h + 2)) e X Qi (ai (h) − ai (h + 2)) = 0. Portanto, ai (h) − ai (h + 2) = 0, assim ai (h) é constante e Z(g) = K[ Q ]. No caso g = Sl2 (K), o módulo de Verma de peso λ ∈ C é definido por um vetor v, de peso máximo λ tal que f v = v1 , ev = 0,. f vi = vi+1 , evi = i(λ − i + 1)vi−1 , hvi = (λ − 2i)vi. i ≥ 1,. Proposição 1. O elemento de Casimir Q age sobre M (λ) de forma constante, a saber c = (λ + 1)2 . Teorema 14.. 1. O módulo M (λ) é irredutível, se e somente se, λ ∈ / N − {0}.. 2. Para λ = n ∈ N − {0} o módulo M (λ) é indecomponível. O módulo M (−n − 2) é o único submódulo irredutível de M (n) e temos M (n)M (−n − 2) ∼ = V n+1 , onde V n+1 é o módulo de dimensão n + 1 irredutível. Demonstração. 1. Pela teoria dos módulos de Verma temos λ − i + 1 = 0, se e somente se, λ = i − 1 para i ∈ N0 , i ≥ 1. Portanto, M (λ) é irredutível se e somente se, λ ∈ / N0 . 2. Se λ = n ≥ 1 então evn+1 = 0 e hvn+1 = (n − 2n − 2)vn . Assim o módulo gerado por vn , M (−n − 2) é o único submódulo irredutível de M (n) e além disso M (n)M (−n − 2) ' V n+1 .. Para um g-módulo M , definimos o anulador de um g-módulo M como Anng (M ) = {a ∈ g | am = 0 ∀m ∈ M }.. 1.6.2. Ideais primitivos de Sl2 (K). Definição 12. Seja I um ideal de g. Dizemos que I é um ideal primitivo de g, se I = Anng (M ), para algum g-módulo irredutível M . Teorema 15. Seja λ ∈ C. O anulador AnnU (g) (M (λ)) do módulo de Verma M (λ) em U (g) é um ideal bilateral de U (g), gerado pelo elemento c − (λ + 1)2 ..

(29) 12. 1.6. PRELIMINARES. Demonstração. Ver (Mazorchuk , 2009). Teorema 16. Seja M um U (g)-módulo irredutível. 1. O elemento de Casimir Q, age como escalar no módulo M . 2. Existe λ ∈ C tal que Iλ ⊂ AnnU (g) (M ), onde Iλ é o ideal primitivo associado a λ. Demonstração.. 1. Lema de Schur.. 2. Se µ é a ação do elemento de Casimir sobre M , e λ é raiz do polinômio (x + 1)2 − µ, então Q − (λ + 1)2 gera o módulo Iλ ⊂ AnnU (g) (M ).. Para a álgebra nilpotente h de dimensão 3, gerada por x, y, z com [x, z] = [y, z] = 0 e [x, y] = z, temos o ideal primitivo I = U (h)(z − λ), de U (h). Da seção anterior, U I é isomorfo a A1 . Seja K um corpo algebricamente fechado de característica zero. Definimos os quocientes primitivos da álgebra envelopante Us = U (Sl2 ) de Sl2 (K), por Bλ = U sUs (Q−λ) como em (Jacques , 1973), onde Iλ = Us (Q−λ) é um ideal primitivo. É claro que Iλ = Us (Q−λ) é um ideal bilateral de Us . Definimos também P rimf (Us ) como o conjunto dos ideais primitivos de Us , assim temos a aplicação bijetora K −→ P rimf (Us ), dada por λ −→ Iλ . Dixmier prova em (Jacques , 1973), que Iλ é maximal se λ não é da forma n2 + 2n. Nos outros casos Iλ ⊂ Iλ0 onde Iλ 6= Iλ0 e Iλ0 é de codimensão (n + 1)2 . Os ideais Iλ0 são os ideais primitivos de Us de codimensão finita. Note que Bλ é Noetheriano à direita, à esquerdaLe seu centro é K. Para cada α ∈ K temos Bλα , onde Bλα = {b ∈ Bλ |hb = αb}. A álgebra Bλα é uma graduação de Bλ isomorfa a K[X, Y, Z](4XY + Y 2 ). Lema 7. Bλ ∼ = Bµ , se e somente se, λ = µ. Em (Block , 1981), é feita a classificação para uma parte das representações irredutíveis de Sl2 (K). Estas representações são divididas em representações de S-torção e representações livres de S-torção. Ilustraremos o mostrado por R. Block em (Block , 1981). A ação do elemento do Casimir Q = 4f e + h2 + 2h sobre o módulo M (λ − 1) é dada por γ = λ2 − 1, assim temos o isomorfismo M (λ − 1) ∼ = Us (Us (Q − γ)). Por outra parte K[ ξ ], pode ser visto como um Us -módulo com a ação determinada por d e q como a multiplicação por ξ. Definimos a aplicação bijetora entre os módulos p = dξ K[ ξ ] e M (λ − 1) como segue X X ai ξ i −→ f i ⊗ ai . Como h(f i ⊗ 1) = (λ − 2i − 1)f i ⊗ 1 existe uma representação ϕ de Us que faz possível identificar h com o elemento h ≡ −2qp + λ − 1..

(30) 1.7. SL2 -MÓDULOS. 13. De forma análoga, identificamos f ≡ q e e ≡ −(qp − λ + 1)p. Tomando τ ∈ Aut(Us ) como o automorfismo de álgebras que troca e com f e τ (h) = −h podemos definir o homomorfismo ρ−λ = ρλ τ . A álgebra Us pode-se ver como uma subálgebra da primeira álgebra de Weyl A1 através do homomorfismo ρλ , dado por ρλ (e) = q,. ρλ (f ) = −(qp + λ + 1)p,. ρλ (h) = 2qp + λ + 1.. Da definição de ρλ temos ρλ (4f e + h2 + 2h) = −4(qp + λ + 1)pq + (2qp + λ + 1)2 + 2(2qp + λ + 1), = −4(qp + λ + 1)qp − 4(qp + λ + 1) + (2qp + λ + 1)2 + 2(2qp + λ + 1), = λ2 − 1 Assim vemos que ρλ tem por núcleo o ideal Us (Q − λ2 + 1) denotado por Bγ , onde γ = λ2 − 1. Considere a família de homomorfismos, denotada por σγ e definida como σγ (e) = q,. σγ (h) = 2qp,. 1 σγ (f ) = ( γq −1 − qp2 ). 4. Cada um dos homomorfismos anteriores pode ser estendido a álgebra envelopante Us . Esta extensão é denotada da mesma forma. Para o caso γ = λ2 − 1 temos o isomorfismo entre as álgebras σγ Us = Usγ e ρλ Us . Pela definição de ρλ temos o homomorfismo induzido de ρλ Us em B, além disso K[ q, p ] ⊂ ρλ Us . Portanto, S = K[ q ] − {0} ⊂ ρλ Us e B é a localização de ρλ Us por S. Lema 8. Suponha λ ∈ K e γ = λ2 − 1. Então a aplicação ρλ ρ−1 −λ : ρλ Us −→ ρ−λ Us pode-se estender para um único homomorfismo de B que fixa q e envia p para p − λq −1 . Para um conjunto de representações irredutíveis de Sl2 (K), existe uma relação entre os elemento irredutíveis de B e os Us -módulos irredutíveis, descrita no seguinte lema, demonstrado em (Block , 1981). Além disso estabelece quando um elemento pertence ao Socρλ Us (N ), para N um B-módulo irredutível. ¯ e λ2 = γ + 1. Seja G o conjunto dos Lema 9. Suponhamos que u ∈ U s, γ ∈ K, λ ∈ K polinômios irredutíveis em K[ q ]. As seguintes afirmações são equivalentes. ρλ u, ρ−λ u são preservados em q, e σγ u preservado para cada g ∈ G − q. ρλ u é preservados, e ρλ u é preservados em q. ρλ u, ρ−λ u são preservados.. (1.5) (1.6) (1.7). Para a ∈ B as seguintes afirmações são equivalentes ρ¯λ σ¯γ −1 a, ρ−λ ¯ σ¯γ −1 a, são preservados em q, e σγ u preservado para cada g ∈ G − q. (1.8) ¯ λ −1 a é preservados em q. a é preservados, e ρ¯λ −ρ (1.9) −1 ¯ λ a são preservados. a, ρ¯λ −ρ (1.10).

(31) 14. 1.7. PRELIMINARES. 1.7. Representações irredutíveis da primeira álgebras de Weyl. Lema 10. B é um domínio de ideais principais. Demonstração. Sejam J / B um ideal á esquerda e b ∈ J de grau mínimo em p. Usando o algoritmo da divisão para a ∈ J existem x < y ∈ B tais que a = xb + y onde grau(b) > grau(y). Como y ∈ J então y = 0. Ver (Ore , 1933). Suponhamos que N é um B módulo irredutível com representação irredutível ρ tal que B(ker(ρ)) ' N , assim N ' BBF , onde ker(ρ) = BF . O fato que BBF é irredutível, implica que F é um elemento de grau mínimo e irredutível em B. Lema 11. Sejam N1 ' BBF , N2 ' BBG dois B-módulo irredutíveis, com F, G ∈ B. N1 ' N2 , se e somente se, G e F são similares. Demonstração. Sejam F, G ∈ B tais que BBF ' BBG e ϕ o isomorfismo que existe entre os B-módulos BBG, BBF . É claro que o isomorfismo ϕ está definido pela imagem de 1 + BF , assim ϕ(1 + BF ) = u + BG e 0 = Gϕ(1 + BF ) em consequência F u = vG. De forma análoga existem x, y ∈ B tais que xF = Gy. Mais ainda se F é irredutível, F e v são relativamente primos a esquerda e G, y são relativamente primos a direita. Se F, G ∈ B são irredutíveis e similares, existem v, u ∈ B tais que F u = vG. Seja φ : B −→ BBG o homomorfismo definido por φ(f ) = f u + BG. É claro que BF ⊂ ker(φ), como BF é um ideal maximal e φ não é trivial, temos BF = ker(φ). Definição 13. Seja N um B-módulo irredutível, definimos M nnAnn(N ) = {F ∈ B | F é irredutível e ∃x ∈ N − {0} : F x = 0}. A classe dos B-módulos irredutíveis isomorfos está em correspondência bijetora com a classe dos polinômios b ∈ B irredutíveis que são similares. P Seja N um B-módulo irredutível é F ∈ M nnAnn(N ) com F = ki=1 fi (q)pi , fi (q) ∈ K(q) e x ∈ N −{0} tal que F x = 0. Então {x, px, · · · , pk−1 x} é um conjunto l.i. sobre K(q) gerador de N como K(q)-espaço vetorial. Se F1 , F2 ∈ M nnAnn(N ), então existem n1 , n2 ∈ N − {0} tais que Fi ni = 0, como N é um K(q)-espaço vetorial temos graup (F1 ) = graup (F2 ). Definição 14. Dizemos que um B módulo irredutível N é de grau k, se existe F ∈ M nnAnn(N ) tal que k = graup F . Do anterior k é independente da escolha de F . Sejam M um B-módulo irredutível não nulo e F ∈ A1 ∩ AnnB (M ) irredutível e preservado, de (Block , 1981), A1 ∩ BF é um ideal maximal de A1 , logo N = (A1 + BF )BF é um A1 -módulo irredutível, livre de S-torção e S −1 N = M . Além disso o SocA1 (M ) resulta irredutível e SocA1 (M ) ' N . Se F s−1 é preservado para s ∈ S, e F m = 0 para algum m ∈ M ,.

(32) 1.7. REPRESENTAÇÕES IRREDUTÍVEIS. 15. então sm ∈ SocA1 (M ). No conjunto dos A1 -módulos irredutíveis, definimos a relação de equivalência ∼, onde N1 ∼ N2 , se e somente se, N1 e N2 são isomorfos. Denotares por AM 1 (irr) ao conjunto das classes de equivalência geradas pela relação de equivalência ∼. Definimos a mesma relação de equivalência no conjunto dos B-módulos irredutíveis, e denotamos por BM (irr) ao conjunto das classes de equivalência geradas por esta relação de equivalência. Por outro lado, no conjunto dos polinômios irredutíveis de B definimos a relação de equivalência ∼, onde F1 ∼ F2 para F1 , F2 ∈ B, se e somente se, F1 , F2 são similares, denotamos BM (Irr(B)) o conjunto das clases de equivalência gerado por ∼. Assim temos uma bijeção entre os conjuntos BM (irr) e BM (Irr(B)). Para cada A1 -módulo irredutível livre de S-torção M , temos o B-módulo irredutível S −1 M , onde S = K[ q ] − {0}. Sejam N um B-módulo irredutível e irrA1 (NP ) o conjunto dos A1 -submódulo irredutíveis de N livres de S-torção, assim SocA1 (N ) = M ∈IrrA (N ) M . Como S − M1 = S − M2 para 1 M1 , M2 ∈ IrrA1 (N ), então M1 ∩ M2 6= ∅, portanto SocA1 (N ) é um A1 -módulo irredutível. Teorema 17. Existe uma bijeção entre a classe dos A1 -módulos irredutíveis e os B-módulos irredutíveis. Demonstração. Suponhamos que S −1 M1 ∼ = S −1 M2 , onde M1 , M2 são A1 -submódulos irredutíveis. Então M1 ' M2 como A1 -módulos e consequentemente S −1 é injetor. Por outro lado temos o isomorfismo entre S −1 SocA1 (N ) e N , para N um B-módulo simples, obtido pela extensão do homomorfismo inclusão de SocA1 (N ) → N e pela propriedade universal. Seja I um ideal primo de K[ q ]. Para f ∈ K[ q ] definimos vI (f ) = r, onde r é o inteiro tal que f ∈ I r − I r−1 . A extensão da avaliação vI ao corpo T = S −1 K[ q ], onde S = K[ q ] − {0} é denotada por νI . Onde νI ( fg ) = vI (f ) − vI (g) para f, g ∈ K[ q ]. A avaliação νI pode-se estender para uma avaliação de B, denotada também por νI e definida para cada F = Pn i b p ∈ B por i−0 i vI (F ) = min{vI (bi ) − i | i ≥ 0}.. (1.11). P Definição 15. Seja F = ki=0 bi pi ∈ B onde bi ∈ K(q). Dizemos que α é um polo de F , se α é polo de algum quociente bj bk . Denotamos o conjunto dos polos de F por P ol(F ). Lema 12. Para cada ideal primo I de K[ q ], vI é uma avaliação sobre B. Demonstração. Ver demonstração em (Block , 1981). Para o ideal primo P = K[ q ](q − α) de K[ q ] e F ∈ P B, definimos o polinômios Qα,F (ξ), que chamamos de polinômios principal de F , para F = bi pi ∈ B, como X Qα,F (ξ) = ηP {g −vP (b)−j bj (∂g)j }ξ(ξ − 1) · · · (ξ − (j − 1))..

(33) 16. PRELIMINARES. 1.7. Onde ηP é o homomorfismo canônico de K[ q ]P em KP = K[ q ]P P K[ q ]p ∼ = K[ q ]P . j Para g = q − α temos vP (bj (∂g) ) = vP (vj ) + jvP (∂g). Como ∂g ∈ / P então vP (∂g) = 0, segue-se vP (bj (∂g)j ) = vP (bj ) ≥ vP (b)+j. Portanto, ηP {g −vP (F )−j bj (∂g)j } está bem definida. Definição 16. Dizemos que F ∈ B não nulo é preservado respeito a α, se o polinômio Qα,F (ξ) não possui raízes inteiras negativas. O polinômio F ∈ B é preservado se ele é preservado respeito a cada um de seus polos. Para o polinômio principal temos as seguintes propriedades, ver (Block , 1981). Lema 13. Suponhamos que G, F ∈ B e α ∈ K então Qα,GF (ξ) = Qα,G (ξ + να (F ))Qα,F (ξ). P i Seja F = bi p ∈ B de grau k > 0. Definimos o especial primo de B, como o ideal primo P de K[ q ], tal que vP (F ) = vP (bi ) − i para algum i < k. Notemos que os primos especiais de F são K[ q ](q − α) onde α é um polo de F . Se α não é polo de F , então vP (bk ) < vP (bi ) para todo i < k. Assim vP (F ) = vP (bk ) − k e portanto os primos especiais de F são finitos e estão caracterizados pelos α tais que vP (bk ) > vP (bi ) para algum i < k, isto é pelos polos de F . Doravante denotaremos a avaliação vP por να . Definição 17. Sejam F ∈ B e α ∈ P ol(F ), então as raízes do polinômio Qα,F (ξ) são chamadas raízes principais de F relativas a α. Lema 14. Sejam 0 6= G1 , · · · , Gj ∈ B, então existe s ∈ K[ q ] tal que Gi s−1 é preservado para todo i = 1, · · · , j. Ver (Block , 1981). P Teorema 18. Seja F = bi pi ∈ B irredutível e preservado. Então o A1 -módulo A1 (A1 ∩ BF ) é simples. Teorema 19. Todo A1 -módulo irredutível de S-torção M é isomorfo a K[ p ], onde p age d −α, para algum α ∈ K. Este módulo será denotado por M (α). pela multiplicação e q como dp Demonstração. Seja M um A1 -módulo irredutível de S-torção não nulo. Então existe m ∈ M não nulo tal que (q − α)m = 0, para algum α ∈ K. Se pk m = pt m para k < t, então (q − α)t pk m = (q − α)t pt m = 0. Logo m = 0 e M = 0. Portanto, pk m 6= pt m para k 6= t e em consequência M é isomorfo a M (α). Lema 15. Seja L é um ideal maximal de B. Então A1 ∩ L é um ideal maximal de A1 , se e somente se, para todo A1 -módulo não nulo de S-torção irredutível M , existe um elemento em A1 ∩ L que age de forma injetiva sobre o módulo M . Demonstração. Ver (Block , 1981), Teorema 4.3. Suponhamos que L0 age injetivamente sobre M . Suponha L0 ⊂ J um ideal máximal de A1 . Se A1 J é livre de s-torção, então S −1 J é um ideal máximal a esquerda de B, J = S −1 A1 ∩J ⊃ L0 , dado que L é maximal deve-se ter L = J. Se A1 J é de S-torção, então existe a ∈ L0 tal que af¯ 6= 0 para todo f¯ ∈ A1 J, isto é absurdo pois L0 ⊂ J..

(34) 1.7. REPRESENTAÇÕES IRREDUTÍVEIS. 17. Lema 16. Se (q − α)−vα (F ) F age de forma injeta sobre M (α), então F ∈ B é preservado em α. Lema 17. Seja N um B-módulo irredutível. Então SocA1 (N ) 6= 0. Para todo A1 -módulo irredutível e livre de S-torção M , existe F ∈ B irredutível e preservado tal que M ' A1 (A1 ∩ BF ). Sejam N um B-módulo irredutível e F ∈ B irredutível e preservado tal que F n = 0, para algum 0 6= n ∈ N . Do isomorfismo N ∼ = BBF o módulo N 0 = (A1 s + BF )BF é um A1 -submódulo de N , onde N 0 ∼ = A1 s(A1 s ∩ BF ) ∼ = A1 (A1 ∩ BF s−1 ), assim N 0 é irredutível, se e somente se, F s−1 é preservado. Do anterior e usando o fato que SocA1 (N ) é irredutível segue-se que sn ∈ SocA1 (N ) = Asn. Do anterior, para cada polo α de F tal que Qα,F (ξ) possui uma raiz inteira, existe um t ∈ Z tal que (q − α)−t n ∈ / SocA1 (N ). O seguinte teorema demonstrado por Block em (Block , 1981), estabelece condições necessárias e suficientes para decidir quando um elemento estão no SocA1 (N ). Teorema 20. Seja N um B-modulo irredutível, então SocA1 N 6= 0. Exemplo 2. Para p − t ∈ B irredutível, de (Block , 1981) temos SocA1 (N ) = K[q, (q − α1 )−1 , · · · , (q − αl )−1 ], onde N ' B(B(p − t1 )), l é o número de polos de t1 e p − t1 é similar a p − t. 0. De (Ore , 1933), dois polinômios p − t1 e p − t2 são similares, se e somente se, t1 − t2 = cc P j são similares, assim p−t e p−t− α Resα (t)(q −α)−1 para c ∈ K(q). Logo p−t e p−t− q−α sempre que Resα (t) ∈ Z. Portanto existe d = p − t1 similar a p − t, onde Resα (t1 ) ∈ / Z, para cada polo α de d. Damos estrutura a K(q) de B-módulo irredutível baixo a ação de p definida como; p.f = f 0 + t1 f . Seja {α1 , · · · , αl } o conjunto dos polos de d e W = SocA1 (N ). Se mj é o maior inteiro tal que (q − αj )−mj ∈ W temos p(q − αj )−mj = t1 (q − αj )−mj + mj (q − αj )−mj −1 , então (Resαj (t1 )+mj )(q−αj )−mj −1 ∈ W . Como Resαi (t1 )+mi 6= 0 temos (q−αi )−mi −1 ∈ W . Note que (q − αj )−n ∈ W para todo n ∈ N, sempre que vαj (t) < −1..

(35) 18. PRELIMINARES. 1.7.

(36) Capítulo 2 Módulos de grau dois sobre a primeira álgebra de Weyl Seja N um B-módulo irredutível de grau dois. Para x ∈ N − {0} existe um polonòmio F = p2 + c1 p + c0 ∈ B irredutível tal que F x = 0, e portanto N ' BBF . Para o polinômio F , definimos ∆(F ) = {α ∈ P ol(F ) | ∃n ∈ Z : Qα,F (n) = 0} e −nα como a menor raiz inteira negativa. Pelo trabalho de R. Block (Block , 1981), existe um polinômio G1 = p2 + a1 p + a0 ∈ B irredutível, preservado e similar a F tal que N ' BBG 1 e 1 ∆(G1 ) = {α ∈ P ol(G1 ) | Qα,F (0) = 0}. Damos uma relação entre o módulo A1 e o 0 polinômio F1 = p2 + ap + b. O polinômio F1 é um polinômio similar a F preservado e com umas características que nós permitem dar uma melhor descrição de W = SocA1 (N ). Além disso Determinaremos a relação que existe entre os A1 -módulos W e KP ol(F1 ) ×KP ol(F1 ) , onde KP ol(F1 ) = K[q, (q − α1 )−1 , · · · , (q − αm )−1 ] e P ol(F ) = {α1 , · · · , αm }, usando o polinômio F1 e o módulo quociente destes módulos. Os principais resultados destas seções são: Teorema 21. Seja F ∈ M nnAnn(N ), então o módulo W = SocA1 (N ) é irredutível e da seguinte forma 1 1. W = A1 se, e somente se, F é preservado. 0 Q nα α∈∆(F ) (q − α) 2. W = A1 se, e somente se, Qα,F (−nα ) = 0 para 0 < n ∈ N e 0 α ∈ ∆(F ). Teorema 22. W = KP ol(F ) × KP ol(F ) se, e somente se, ∆(F1 ) = ∅. Para cada α ∈ P ol(F1 ) existe hα ∈ K[ q ] degrau mínimo hα a, hα b ∈ tal que os polinômios n 1 K(q) só tem polo em α. O conjunto T (α) = hn−1 | 2 ≤ n ∈ N gera um sub-espaço α p 0 1 1 de W . Usando T (α) temos ∆0 (F ) = α ∈ ∆(F ) | dimK T (α) ∪ ,p <∞ . 0 0 Teorema 23. Suponhamos que ∆(F1 ) 6= ∅, então L 1. KP ol(F ) × KP ol(F ) W é um A1 -módulo de S-torção isomorfo a α∈∆(F1 ) M (α), onde M (α) é o A1 -módulo irredutível de S-torção descrito no capitulo anterior. 2. O A1 -módulo KP ol(F ) × KP ol(F ) é de comprimento finito |∆(F1 )| + |∆0 (F1 )| e cíclico. 19.

(37) 20. MÓDULOS DE GRAU DOIS SOBRE A PRIMEIRA ÁLGEBRA DE WEYL. 2.1. 1 Onde o módulo W é módulo SocA1 (N ) = A1 . 0. 2.1. Propriedades do polinômio G1. A continuação daremos uma construção do polinômio G1 . Seja F = p2 + a1 p + a2 ∈ M nnAnn(N ) e α ∈ P ol(F ), então do capítulo anterior temos vα (F ) = min {−2, να (a1 ) − 1, να (a2 )} . Como o polinômio principal associado a F em α ∈ P ol(F1 ) é dado por Qα,F (ξ) = ηα ((q − α)−vα (F )−j )ξ(ξ − 1) + ηα ((q − α)−vα (F )−j a1 )ξ + ηα ((q − α)−vα (F )−j a2 ), então o polinômio Qα,F (ξ) tem uma das seguintes formas:   (ξ − 1)ξ να (a1 ) ≥ 0, να (a2 ) = −1.      (ξ − 1)ξ + Resα (a2 ) να (a1 ) ≥ 0, να (a2 ) = −2.      να (a1 ) = −1, να (a2 ) ≥ −1. ξ(ξ − 1 + Resα (a1 )) (2.1) Qα,F (ξ) = (ξ − 1)ξ + Resα (a1 )ξ + Resα (a2 ) να (a1 ) = −1, να (a2 ) = −2.    Resα (a1 )ξ να (a1 ) ≤ −2, να (a2 ) ≥ να (a1 ).      Resα (a1 )ξ + Resα (a2 ) να (a1 ) ≤ −2, να (a2 ) = −1 + να (a1 ).    Res (a ) να (a2 ) ≤ −3, να (a2 ) < να (a1 ) − 1. α 2 Para cada α ∈ P ol(F ), os polinômios H = (q − α)−n F (q − α)n e F são similares. Assim para n ∈ N segue-se Qα,H (0) = 0 ⇔ Qα,F (n) = 0. Definimos o conjunto, ∆(F ) = {α ∈ P ol(F ) | Qα,F (n) = 0, para algum, n ∈ N}. Para cada α ∈ ∆(F ), definimos %α (F ) como a menor raiz inteira de Qα,F (ξ). Então o polinômio Y G1 = F (q − α)%α (F ) , (2.2) α∈∆(F ). Q é preservada, e ∆(G1 ) = {α ∈ P ol(G1 ) | Qα,G1 (0) = 0}. Para y = α∈∆(F ) (q − α)−%α (F ) x temos G1 y = 0. Logo, a classe dos B-módulos irredutíveis isomorfos a N , está em correspondência com a classe dos polinômios irredutíveis de grau dois similares a G1 . Definimos ∆0 (G1 ) como o conjunto dos polos de G1 tal que Qα,G1 (0) 6= 0, então ∆0 (G1 ) = {α ∈ P ol(G1 ) | Qα,G1 (n) 6= 0, ∀n ∈ N}. ∆(G1 ) = {α ∈ P ol(G1 ) | Qα,G1 (0) = 0}, e P ol(G1 ) = ∆(G1 ) ∪ ∆0 (G1 )..