a 11 a m1 A ou [ A] ou A ou A A = a ij para i = 1 m e j = 1 n A=[ Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.1. Definição

Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene)

linha = rows coluna = columns 2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n Matriz unitária Matriz diagonal

Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. A=

[

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n a₂₁ a_2n ⋮ ⋮ a_m1 a_m2 ⋯ a_mn

]

A ou [ A] ou  A ou ∥A∥

a_ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j

A = a_ij para i = 1m e j = 1 n

m = 1 n = 1

m = n

Os elementos da diagonal principal são: aij para i = j

Os elementos da diagonal secundária são: aij para i + j = n + 1

m = n = 1

Os elementos são: aij=0 para i≠ j A=

[

1 2 3

]

A=

[

12 3

]

A=

[

1 2 34 5 6 7 8 9

]

[

1 5 9

]

[

3 5 7

]

A=

[

3

]

A=

[

1 0 00 5 0 0 0 9

]

2.2. Tipos(cont.) Matriz identidade Matriz triangular superior (U) (“upper”) Matriz triangular inferior (L) (“lower”) Matriz nula Matriz oposta A = -B Matriz idêntica A = B Matriz cheia Matriz esparsa Matriz de banda Matriz tridiagonal

É a matriz diagonal onde: aij=1 para i= j

a_ij=0 _{para i≠ j}

Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

Os elementos acima da diagonal principal são nulos.

Todos os elementos são nulos: a_ij=0 V i e j

A é oposta de B se: aij= −bij V i e j

A é idêntica a B se: a_ij= b_ij V i e j

São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos. São matrizes com a maior parte dos elementos nulos

São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos.

[

1 1 0 0 1 2 2 0 0 2 3 3 0 0 3 4

]

U =

[

1 2 30 8 5 0 0 2

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

I₃=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

N =

[

0 0 0 0

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

A=

[

1 −3 7



2

]

B=

[

−1 3 −7 −



2

]

[

a b c d

]

=

[

1 2 5 7

]

a=1 ;b=2 ;c=5 ; d =7

2.3. Operações Adição C = A + B Propriedades Subtração C = A - B Multiplicação por um número k C = k B Propriedades

Obs: a e b podem ser

números complexos

Multiplicação

C = A.B

Definição indicial

Obs: matrizes

quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas

As matrizes são do mesmo tamanho m x n.

c_ij=a_ijb_ij V i e j A + B = B + A comutativa A + (B + C) = (A + B) +C associativa A + 0 = A A+(-A) = 0 C = A - B = A + (-B) c_ij=k b_ij V i e j a (b A) = (a b) A a (A + B) = a A + a B (a +b) A = a A + b A 1.A = A A = a_ij m× p B = b_jk p×n C = c_ik m×n onde c_ik = a_i1 b_1k  a_i2 b_2k  a_i3 b_3k   a_ip b_pk c_ik =

∑

j=1 p a_ijb_jk

[

1 2 1 3

]



[

4 7 5 8

]

=

[

5 9 6 11

]

[

2 3 0 1

]



[

7 2 5 3

]

=

[

9 5 5 4

]

[

4 7 2 3 0 5

]

−

[

7 1 3 2 7 0

]

=

[

−3 6 −1 1 −7 5

]

3

[

2 3 1 −4

]

=

[

6 9 3 −12

]

2

[

2 3 5

]

4

[

11 −2

]

=

[

8 10 2

]

2.3. Operações (cont.) Multiplicação C = A.B Definição esquemática Wikipédia, 2009 Propriedades Matriz Transposta At Propriedades Matriz simétrica Matriz anti-simétrica c_ik =

∑

j=1 p a_ijb_jk

A.B ≠ B.A não é comutativa

A.B = 0 ≠ > A = 0 ou B = 0

(A.B).C = A.(B.C) associativa

(A+B).C = A.C+B.C distributiva a direita

C.(A+B) = C.A+C.B distributiva a esquerda

(k.A).B = A.(k.B) = k.(A.B) k = constante real ou imaginária

A.In = Im.A = A A é uma matriz m x n

At _{= (b}

ji) , tipo m x n, é a matriz transposta de A = (aij), tipo m x n onde, bij = aij V i e j

(A+B)t _{= A}t _{+ B}t (kA)t _{= kA}t (A.B)t _{= B}t_.At

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original:

At _{= A ou seja, a}

ij = aji V i e j

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original:

At _{= -A ou seja, a} ij = -aji V i e j a_i1 a_i2 a_i3  a_ip ⋅ b1k b_2k b3k ... b_pk  c_ik

i−ésima linha de A k −ésima linha de B elementoik de C

[

1 1 2 2 3 1

]

.

[

4 0 5

]

=

[

14 13

]

2 x 3 3 x 1 2 x 1 A.B=

[

1 2 3 5

]

.

[

4 6 7 8

]

=

[

−18 22 47 58

]

B.A=

[

4 6 7 8

]

.

[

1 2 3 5

]

=

[

22 38 31 54

]

[

1 0 1 0

]

.

[

0 0 1 1

]

=

[

0 0 0 0

]

2.4. Determinantes

2.5. Matrizes inversíveis Gabriel Cramer 1704-1752 Matriz Inversa (A-1₎ Matriz de Cofatores (A') Matriz Adjunta (Ᾱ) 2.6. Matrizes no SciLab A−1 = 1 D A pois, A A=A A=D I_n D A−1 = A D A A−1 = A A D In= A A D A−1 = A D A−1 _{A = A A} D In= A A

2.7. Resolução de Sistemas Lineares 2.7.1. Representação 2.7.2. Solução 2.7.3. Classificação Solução única Sem solução (eq. inconsistente) Infinitas soluções (eq. redundante) Solução trivial 2.7.4. Operações com Sistemas Lineares a₁₁x₁a₁₂x₂=b₁ a₂₁x₁a₂₂x₂=b₂ x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂

2.7.5. Aplicações

Diagrama de corpo livre

Força de uma mola K é a constante da mola Força da gravidade g é aceleração da gravidade A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica.

Modelo de um sistema mecânico

2a _{Lei de Newton no equilíbrio}

∑

_F ext=0 Massa 1:

∑

F_x=2F₁−P₁−2F₂−W₁ Massa 2:

∑

F_x=2F₂−P₂−2F₃−W₃ Massa 3:

∑

F_x=2F₃−P₃−W₃ F₁=K₁x₁ F₂=K₂x₂−x₁ F₃=K₃x₃−x₂ W₁=m₁g W₂=m₂g W3=m3g

O sistema de equações lineares que modelam o problema é: 2  K₁K₂x₁−2K₂x₂=P₁m₁g −2K2x12 K2K3x2−2K3x3=P2m2g −2K₃x₂2K₃X₃=P₃m₃g 2

[

K₁K₂ −K₂ 0 −K₂ K₂K₃ −K₃ 0 −K3 K3

][

x₁ x₂ x3

]

=

[

P₁ P₂ P3

]



[

m₁g m₂g m3g

]

2 K X =P W

● para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio;

● para uma dada carga P os decolamentos X são únicos;

2.7.5. Aplicações (cont.) Ponte de Wheatstone Ao longo de qualquer circuito envolvendo a fonte. Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura Nó D Nó B Circuito ADC Circuito ABC Circuito ADBC Usar substituição progressiva! Instrumentação:

Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência Rg, fica entre os terminais D e B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito.

Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos:

I_g=0 ⇒ R4

R3

=R1 R2

As leis que regem o fenômeno físico são:

Lei de Ohm V =R.I

Lei de Kirchhoff

∑

I_nó=0

O sistema de equações lineares que modelam o sistema é: I₁−I₂−I_g=0 I₃−I₄I_g=0 R₁I₁R₂I₂=E R3I3R4I4=E R₁I₁R₃I₃R_gI_g=E Na notação matricial:

[

1 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 1 R1 R2 0 0 0 0 0 R₃ R₄ 0 R1 0 R3 0 Rg

]

[

I₁ I2 I₃ I4 I_g

]

=

[

0 0 E E E

]

ou seja, A X =B

Resolvendo o sistema para Ig = 0 , obtemos, R₄

R3

=R1 R2

2.7.6. Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Exemplos de métodos diretos Métodos Indiretos Exemplos de métodos indiretos (SOR = successive over relaxation) 2.7.6.1.. Métodos Diretos

A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata.

Recomendados para:

• Sistemas lineares pequenos (n<=1000).

• Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos elementos são não nulos (aij ≠ 0).

• Método da Eliminação de Gauss

• Método da Eliminação de Gauss-Jordan

• Método da Inversão da Matriz de Coeficientes

• Método da Decomposição LU

A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada.

Recomendados para:

• Sistemas lineares grandes (n>1000).

• Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa , onde a maioria dos elementos são nulos (aij =0).

• Método de Iteração de Jacobi

• Método de Iteração de Gauss-Siedel

• Método da Relaxação

• Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR)

2.7.6.11.. Método de Gauss Método da Eliminação de Gauss Método da Triangularização de Gauss

Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Fórmula generalizada de transformação: L_ik_=m ikk−1Lkk −1Lik −1 k = índice de iteração; i = índice da linha. Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo.

É um método direto de solução de sistemas lineares.

Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa.

[

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n b₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ ⋯ ann bn

]



[

1 c₁₂ ⋯ c_1n d₁ 0 1 ⋯ c_2n d₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 dn

]

Etapas:

1) Escrever a matriz aumentada C0_{= [A : B]}

2) Pivotamento

• Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) a0₁₁

• Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos a021 e a031 m₂₁0 =−a₂₁/a₁₁

m31 0

=−a31/a11

3) Transformar as linhas para obter a nova matriz aumentada C1 L₁1=L₁0 L2 1 =m21 0 L1 0 L2 0 L1₃=m₃₁0 L₁0L₃0

4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada.

L₁2=L₁1 L2 2 =L2 1 m₃₂1 =−a₃₂/a₂₂ L2₃=m₃₂1 L₂1L₃1

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) Exemplo A X = B C0 = [A : B] L1 2 = -2*[ 2 3 -1 : 5] + [ 4 4 -3 : 3 ] = [ 0 -2 -1 : -7] Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa Solução Final Sistema de ordem 3 2x₁3x₂−x₃=5 4x₁4x₂−3x₃=3 2x1−3x2x3=−1 C0₌

[

2 3 −1 ⋮ 5 4 4 −3 ⋮ 3 2 −3 1 ⋮ −1

]

L₁1_=L 1 0 m₂₁0_=−a 21/a11=−2 L2 1_=m 21 0 _L 1 0_L 2 0 m₃₁0 =−a₃₁/a₁₁=−1 L₃1 =m₃₁0 _L 1 0 L₃0 C1₌

[

2 3 −1 ⋮ 5 0 −2 −1 ⋮ −7 0 −6 2 ⋮ −6

]

L₁2 =L₁1 L₂2_=L 2 1 m321=−a32/a22=−3 L23=m132L21L31 C2 =

[

2 3 −1 ⋮ 5 0 −2 −1 ⋮ −7 0 0 5 ⋮ 15

]

5x₃=15 −2x₂−x₃=−7 2x13x2−x3=5 X =

[

12 3

]

ou Xt =

[

1 2 3

]

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) Exemplo Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa Sistema de ordem 4 C0=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 9 8 −3 4 ⋮ 6 −6 4 −8 0 ⋮ −16 3 −8 3 −4 ⋮ 18

]

L₁1_=L 1 0 m₂₁0_=−a 21/a11=−3 L2 1_=m 21 0 _L 1 0_L 2 0 m₃₁0 =−a₃₁/a₁₁= 2 L₃1 =m₃₁0 _L 1 0 L₃0 m₄₁0=−a₄₁/a₁₁=−1 L1₄=m₄₁0 L₁0L₄0 C1=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 8 −8 2 ⋮ 10 0 −10 3 −5 ⋮ 15

]

L₁2_=L 1 1 L₂2 =L₂1 m321 =−a32/a22=−4 L32=m132L21L31 m42 1 =−a42/a22= 5 L4 2 =m42 1 L2 1 L4 1 C2=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 0 4 −2 ⋮ 2 0 0 −12 0 ⋮ 0

]

L₁3_=L 1 2 L₂3_=L 2 2 L₃3 =L₃2 m₄₃0=−a₄₃/a₃₃= 3 L3₄=m₄₃2 L₃2L₄2 C3=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 0 4 −2 ⋮ 2 0 0 0 −6 ⋮ 6

]

X =

[

2 −1 0 −1

]

ou Xt=

[

2 −1 0 −1

]

Obs.: n = 4 exige 76 operações aritméticas

n = 5 exige 145 operações aritméticas

Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss.

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) No SciLab: function x = GaussElim(n,a,b) // Matriz aumentada c = [a b]; // Triangularização da matriz // aumentada for k=1:n-1 for i=k+1:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+1:n+1 c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); end end end // Substituição retroativa x=zeros(n,1); x(n)=c(n,n+1)/c(n,n); for i=n-1:-1:1 soma = 0; for j=i+1:n

soma = soma +c(i,j)*x(j); end

x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); end

endfunction

Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares Entradas:

Ordem do sistema linear n

Matriz de coeficientes a[n,n]

Matriz de termos independentes b[n,1]

Saída:

Matriz de incógnitas x[n,1]

Início

// Definir os termos da matriz aumentada c[n,n+1]= a[n,n]:b[n,1];

// Triangularização da Matriz aumentada Para k=1 até n-1 faça

início

Para i=k+1 até n faça início

mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0;

Para j = k+1 até n+1 faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim; // Substituição retroativa x(n)=c(n,n+1)/c(n,n); Para i=n-1 até 1 faça início

soma = 0;

Para j=i+1 até n faça início

soma = soma +c(i,j)*x(j); fim;

x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); fim;

Mostre a matriz x[n,1]; fim.

2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU A matriz U é única! Método de solução l_ij=1 se i= j l_ij=0 se i j u_ij=0 se i j Decomposição usando a igualdade LU = A Forma indicial Substituição progressiva Substituição retroativa Solução AX =B A=

[

21 3 −10 2 0 3 −1

]

X =

[

x1 x2 x₃

]

B=

[

34 2

]

A=LU LUX =B LY =B UX =Y LY =B Y  UX =Y  X A=LU L=

[

1 0 0 l21 1 0 l₃₁ l₃₂ 1

]

U =

[

u₁₁ u₁₂ u₁₃ 0 u₂₂ u₂₃ 0 0 u₃₃

]

A=

[

21 3 −10 2 0 3 −1

]

u₁₁=a₁₁ u₁₂=a₁₂ u₁₃=a₁₃ l₂₁u₁₁=a₂₁ ⇒ l₂₁=a₂₁/u₁₁ l₂₁u₁₂u₂₂=a₂₂ ⇒ u₂₂=a₂₂−l₂₁u₁₂ l₂₁u₁₃u₂₃=a₂₃ ⇒ u₂₃=a₂₃−l₂₁u₁₃ l31u11=a31 ⇒ l31=a31/u11 l31u12l32u22=a32 ⇒ l32=a32−l31u12/u22 l₃₁u₁₃l₃₂u₂₃u₃₃=a₃₃ ⇒ u₃₃=a₃₃−l₃₁u₁₃−l₃₂u₂₃ para i j u_ij=a_ij se j=1 e u_ij=a_ij−

∑

k=1 j −1 l_iku_kj se j1 para i j lij= a_ij ujj se j=1 e lij=aij−

∑

k=1 j−1 likukj/ujj se j1 LY =B L=

[

11/2 01 00 0 −2 1

]

Y =

[

y₁ y₂ y₃

]

B=

[

43 2

]

UX =Y U =

[

0 −3/2 5/22 3 −1 0 0 4

]

X =

[

x₁ x₂ x₃

]

Y =

[

41 4

]

Xt=

[

1 1 1

]

2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU (cont.) Rotina de Decomposição LU em código do SciLab

//Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares //entrada Ordem do sistema linear n // Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos independentes b[n,1] //saída Matriz de incógnitas x[n,1] function x = DecoLU(n,a,b)

// Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior) // LU=A

l = zeros(n,n); // zerar matrizes L e U u = zeros(n,n);

for i=1:n // diagonal de L igual a 1 l(i,i)=1;

end

j=1; // cálculo dos elementos de L e U para j=1 for i=1:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); end end

for i=1:n // cálculo dos elementos de L e U para j>1 for j=2:n SumLU=0; for k=1:j-1 SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); end if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-SumLU; else l(i,j)=(a(i,j)-SumLU)/u(j,j); end end end

// Substituição progressiva LY=B y=zeros(n,1);

y(1)=b(1); for i=2:n SumLY=0; for j=1:i-1

SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); end

y(i)=b(i)-SumLY; end

// Substituição retroativa UX=Y x=zeros(n,1);

x(n)=y(n)/u(n,n); for i=n-1:-1:1 SumUX = 0; for j=i+1:n

SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); end

x(i)=(y(i)-SumUX)/u(i,i); end

endfunction

2.7.6.2. Métodos Iterativos Exemplo: AX =B AX −B=0 AX IX −B= IX X = AI  X −B 2.7.6.2.1. Método de Jacobi

Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851 Obs: aii ≠ 0 V i

Senão é necessário reagrupar as equações do sistema original.

Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X.

A X =B

para

X =F X D

A partir de uma aproximação inicial:

X0 t_=[x 1 0  _x 2 0 _x 3 0  _{... x} n 0 _]

obtemos a nova estimativa ,

X1_{=F X}0_D

e repete-se até que,

máx∣xi k 1 −xi k ∣≤ ou kM

onde, ε = tolerância na solução

M = número máximo de iterações Seja o sistema de equações lineares (LES),

a11x1a12x2a13x3...a1nxn=b1

a₂₁x₁a₂₂x₂a₂₃x₃...a_2nx_n=b₂ ...

a_n1x₁a_n2x₂a_n3x₃...a_nnx_n=b_n explicita-se as incógnitas x da seguinte forma:

x₁=b1−a12x2a13x3...a1nxn a₁₁ x₂=b2−a21x1a23x3...a2nxn a₂₂ ... x_n=bn−an1x1an2x2...an n−1xn −1 ann

2.7.6.2.1. Método de Jacobi (cont.)

Método do Resíduo Ri(k)

É mais atual!

O método iterativo de Jacobi consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X0_=x 1 0_{, x} 2 0_{, x} 3 0_{,, x} n 0_t

b) Calcula-se a sequência de aproximações X1_,X2_{, X}3_{, ..., X}k utilizando as equações: x1 k1 = 1 a₁₁b1−a12x2 k −a13x3 k −a14x4 k −−a1nxn k  x2 k1 = 1 a₂₂b2−a21x1 k −a23x3 k −a2x4 k −−a2nxn k  x₃k1 = 1 a₃₃b3−a31x1 k −a₃₂x₂k−a₃₄x₄k−−a_3nx_nk            xnk1=_a1 nn bn−an1x1k−an2x2k−−an n −1 xn −1k 

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: máx∣xik 1−xik∣≤ ou kM onde, ε = tolerância

M = número máximo de iterações

x_ik1 =x_ik Ri k  a_ii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 n a_ijx_jk i=1..n

2.7.6.2.2. Método de Gauss-Siedel Método do Resíduo Ri(k) É mais atual! Seja o sistema: A X = B

O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X0=x10, x02, x30, , xn0t

b) Calcula-se a sequência de aproximações X1_,X2_{, X}3_{, ..., X}k utilizando as equações: x₁k1 = 1 a₁₁b1−a12x2 k −a₁₃x₃k −a₁₄x₄k −−a_1nx_nk  x₂k1 = 1 a₂₂b2−a21x1 k 1 −a₂₃x₃k −a₂x₄k −−a_2nx_nk  x₃k1 = 1 a₃₃b3−a31x1 k 1 −a₃₂x₂k1 −a₃₄x₄k −−a_3nx_nk             xn k1 = 1 ann bn−an1x1 k1 −an2x2 k1 −−ann−1xn−1 k 1 

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: máx∣xik 1−xik∣≤ ou kM onde, ε = tolerância

M = número máximo de iterações

x_ik1 =x_ik Ri k  a_ii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 i −1 a_ijx_jk1 −

∑

j =i n a_ijx_jk i=1..n

2.7.6.2.3. Super-relaxação Sucessiva (SOR) SOR = successive over-relaxation Método do Resíduo Ri(k) w< 1 sub-relaxado w> 1 super-relaxado

Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência.

x_ik1 =x_ik _Ri k aii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 i −1 a_ijx_jk1 −

∑

j =i n a_ijx_jk _i=1..n Fator de relaxação (ω) 0 < w < 2

2.8. Problemas de Autovalor Exemplo ϖ = freqüência natural ϕ = ângulo de fase Xi = amplitude da oscilação da massa i

Seja o sistema de equações lineares:

A X = B

● Se det A ≠ 0

○ Ele admite solução única

● Se: det A = 0

○ Ele pode não admitir solução

○ Ele pode admitir um número infinito de soluções

○ Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o sistema for homogêneo, A X= 0

Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes aij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de

uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares.

O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo,

Md 2 x1 d t2 =K  x2−x1−K x1=K x2−2 K x1 Md 2 x₂ d t2 =−K  x2−x1=K x1−K x2 As solução isoladas dos sistemas massa-mola são:

x1=X1sen t ˙ x₁=X₁cos t ¨ x₁=−X₁2sen t x₂=X₂sen t  ˙ x₂=X₂ cos t  ¨ x₂=−X₂2sen t  K K M x x₁ x2 M x₁ x₂ x₁ x₂

2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Definição arbitrária Problema de Autovalor Equação característica Solução Numérica do Exemplo Autovalores

Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos, 2− X₁−X₂=0

−X₁1− X₂=0 onde, lambda foi definido como,

= 2 M K Na forma matricial,

[

2− −1 −1 1−

]

[

X₁ X2

]

=0 ou, A− I  X =0

Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor.

A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares.

det  A− I =0

A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo.

∣

2− −1 −1 1−

∣

=0 2−1−−1=0 2−31=0 Assim, ₁=2,6180 ₂=0,3820

2.8. Problemas de Autovalor (cont.)

Autovetores

Significado físico

Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores, Para λ1 = 2,6180

[

−0,6180 −1 −1 −1,6180

]

[

X₁ X₂

]

=0 X₂=−0,6180 X₁ Para λ2 = 0,3820

[

1,6180 −1 −1 0,6180

]

[

X₁ X₂

]

=0 X₂=1,6180 X₁ Considerando X1 = 1 , temos, X1 = 1 e X2 = -0,6180 para λ1 X1= 1 e X2 = 1,6180 para λ2

● Para λ1 as massas estão se movendo em direções opostas e a

amplitude da oscilação da segunda massa é 61,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

₁=



1K M

● Para λ2 as massas estão se movendo na mesma direção e a

amplitude da oscilação da segunda massa é 161,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

₂=



2K M

Métodos de solução Solução do problema de autovalor em programas simbólicos Matlab Scilab Obs

O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes. A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos:

● Diretos – solução pela definição ou usando uma modificação da

equação característica;

● Indiretos – solução iterativa ou outro método de busca de raízes, tais como,

○ Método da potência

○ Método do inverso da potência

○ Método do deslocamento de autovalores.

eig(A,X)

[erots,X] = spec(A)

Existem problemas de autovalor que não são lineares: [A−B ] X =0