Matemática elementar/Conjuntos
Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.
Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.
Representação
O conjunto A e seus 4 elementos
Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:
Especificando conjuntos
A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:
Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:
Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:
P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro
O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .
Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.
Terminologia
Conjunto unitário
Um conjunto unitário possui um único elemento.
Conjunto vazio
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por , , ou . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
Conjuntos numéricos
Existem também os conjuntos numéricos, que em consideração especial em matemática. Os principais conjuntos númericos são listados a seguir.
Conjunto dos números naturais
Os números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. O capítulo sobre números naturais oferece informações detalhadas sobre os seguintes assuntos: Tópicos: • Definição
• Divisão em
• Critérios de divisibilidade • Números primos
• Decomposição em fatores primos (fatoração) • Máximo Divisor Comum (MDC)
• Fatoração disjunta
• Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides) • Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• Propriedade do MDC e do MMC
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Tópicos
• Definições • Decimais • Tipos de frações • Operações
Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo
p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a
pontos numa reta, a reta real. O símbolo usualmente representa este conjunto.
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.
Tópicos • Potenciação • Definição • Propriedades da potenciação • Radiciação • Propriedades da radiciação • Racionalização de denominadores • Intervalos reais • Exercícios
Conjunto dos números complexos
O conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo usualmente representa este conjunto.
Cada número complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos.
Tópicos
• Introdução
• O número imáginario
• Formas de representar os complexos • Operações com os complexos
• Soma e subtração • Multiplicação • Divisão
Conjunto dos números imaginários
O conjunto dos números imaginários puros inclui os números que aparecem como soluções de equações como x 2
+ r = 0 onde r > 0.
Outros conjuntos numéricos
Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo.
Exemplo: O conjunto dos números algébricos inclui os números, que aparecem como soluções de equações
polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
Subconjuntos
A é um subconjunto de B
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.
Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.
Conjunto das partes ou potência
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 3 }, então = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto terá 2n elementos. Ou seja: .
Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.
Se A = → P(A) = { } → n(P(A)) = 2^0 = 1 Se A = {a} → P(A) = { ,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2
Se A = {a,b} → P(A) = { ,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4
Se A = {a,b,c} → P(A) = { ,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8 ...
P(A) é formado por somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A). Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por ). n(P(A)) =
→ n(P(A)) = Mas, → n(P(A))
Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.
Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
O Teorema de Cantor estabelece que .
Conjunto Universo
Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.
Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.
Relações entre conjuntos
Relação de pertinência
Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever . Exemplos: • • • •
Subconjuntos próprios e impróprios
Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que e
possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( ). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo .
Simetria de conjuntos
Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.
Operações com conjuntos
União
União de A e B (em azul mais escuro)
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A
com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
• A união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto , .
• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, .
Intersecção
Intersecção de A e B (em azul mais escuro)
A intersecção de dois conjuntos e , é o conjunto de elementos que
pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao
conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a .
Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.
Diferença
Diferença A menos B (em azul mais escuro)
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se
diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e
não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z
-(números inteiros não-positivos):
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} N = {1,2,3,4,5,...}
Complementar
Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se
complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a
A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se
o símbolo . Matematicamente:
Exemplo:
A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} } D = { {10,12} }
Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é
Exemplos:
Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3 Se A = { }, então A = 0.
Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um
conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph zero), . Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por ou por . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então .
Problemas matemáticos sobre cardinalidade
Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:
• É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
• É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.
Um problema típico simples do primeiro caso é:
• Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem
Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?
Um problema típico simples do segundo caso é:
• Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?
A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.
Exercícios
• Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é . Matematicamente:
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto .
• O produto cartesiano é não-comutativo: .
• Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.
Par ordenado
Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou
primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um
par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.
Relações
Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)
Ligações externas
• Números Naturais: Primeira parte [1]
• Números Naturais: Segunda parte [2]
• Critérios de Divisibilidade [3]
• Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores [4]
• Números Inteiros [5]
• Frações [6]
• Frações e Números Decimais [7]
• Números Racionais [8]
• Frações e Números decimais (Exercícios) [9]
Referências
[1] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm [2] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais2.htm [3] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm [4] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais2-a.htm [5] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/inteiros/inteiros.htm [6] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm [7] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm [8] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm [9] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes-a.htm
Fontes e Editores da Página
Matemática elementar/Conjuntos Fonte: http://pt.wikibooks.org/w/index.php?oldid=225412 Contribuidores: Albmont, Dante Cardoso Pinto de Almeida, Edudobay, Fredmaranhao,
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