Prof. Lorí Viali, Dr.
viali@pucrs.br
http://www.pucrs.br/famat/viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Beta
Cauchy
Erlang
Exponencial
F (Snedekor)
Gama
Gumbel
Laplace
Logística
Lognormal
Normal
Pareto
Qui-quadrado - χ
2
Student - t
Uniforme
Weibull
A
distribuição
Beta apresenta
normalmente duas expressões. Uma
denominada de fórmula geral e outra de
forma padrão. A forma padrão definida
no em [0; 1] é mais utilizada.
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A expressão geral da fdp Beta é dada
por:
>
β
α
≤
≤
−
β
α
=
α
+
β
+
β
−
α
c.c.
0
0
,
e
b
x
a
se
)
a
b
(
)
,
(
B
x)
-(b
a)
-(x
)
x
(
f
1
1
-1
∫
=
β
α
1
α
−
β
0
1
-1
(1
-
x)
dx
x
)
,
(
B
Onde:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A função Beta foi
introduzida pela primeira
vez por Euler.
∫
=
β
α
1
α
−
β
0
1
-1
(1
-
x)
dx
x
)
,
(
B
Leonhard
Euler
(1707 - 1783)
)
,
(
B
)
,
(
B
α
β
=
β
α
B
(
α
,
1
)
=
1
/
α
)
(
)
(
)
(
)
,
(
B
β
+
α
Γ
β
Γ
α
Γ
=
β
α
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A função densidade de probabilidade
da Beta padrão é dada por:
>
β
α
≤
≤
β
α
=
β
−
α
c.c.
0
0
,
e
1
x
0
se
)
,
(
B
x)
-(1
x
)
x
(
f
1
-1
)
(
)
(
).
(
dx
x)
-(1
x
)
,
(
B
1
0
1
-1
β
+
α
Γ
β
Γ
α
Γ
=
∫
=
β
α
α
−
β
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Os parâmetros de α > 0 e β > 0 são
os de forma. Os valores a e b
representam
os
extremos
da
distribuição. No formato padrão a = 0
e b = 1.
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Para a descrição de tempos para
completar tarefas no planejamento e
projeto de sistemas. Usada extensivamente
em PERT/CPM.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,00 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
B(0; 0)
B(1; 1)
B(2;2)
B(1; 2)
B(2: 1)
B(5; 2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS 0,00 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
B(0; 1)
B(1; 0)
B(0; 2)
B(2; 0)
B(3; 1)
B(1; 3)
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Determinar a representação gráfica da
B(0,5; 0,5).
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Não
existe
uma
expressão
analítica para F(x) genérica. Se a e b
são inteiros, uma expansão Binomial
pode ser utilizada para obter F(x).
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
)
X
(
E
β
+
α
α
=
=
µ
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Beta é dada por:
A Variância da Distribuição da Beta
é dada por:
)
(
)
1
(
V(X)
2
2
β
+
α
+
β
+
α
αβ
=
=
σ
Considerando
uma
B(α;
β),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
1
se
modal
A
1
e
1
1
e
1
1
1
e
1
1
e
1
0
1
e
1
se
1
e
0
1
e
1
se
2
1
o
o
o
o
=
β
=
α
=
β
>
α
<
β
≥
α
=
µ
>
β
=
α
≥
β
<
α
=
µ
<
β
<
α
=
µ
>
β
>
α
−
β
+
α
−
α
=
µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
αβ
+
β
+
α
+
β
+
α
α
−
β
=
µ
1
)
2
(
)
(
2
3
)
3
)(
2
(
]
)
(
2
)
6
(
)[
1
(
3
2
4
=
α
+
β
αβ
+
α
αβ
+
β
α
+
+
β
α
−
+
β
+
+
α
+
β
µ
)
1
(
α
+
β
+
α
β
=
γ
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
B(0,5; 0,5). Apresentar os resultados
de forma tabular e gráfica, calculando
todas as principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A geração de uma distribuição Beta
de parâmetros α = a e β = b, inteiros é
dada por:
)
b
,
1
(
G
)
a
,
1
(
G
)
a
,
1
(
G
~
)
b
,
a
(
B
+
)
U
ln(
~
)
a
,
1
(
G
a
1
i
∏
=
i
)
U
ln(
~
)
b
,
1
(
G
b
1
j
∏
=
j
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A
distribuição
de
Cauchy
apresenta
normalmente
duas
expressões.
Uma
denominada
de
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A distribuição de Cauchy
também
denominada
de
Lorentziana é a distribuição do
quociente de variáveis normais
padrão independentes.
Baron
Augustin
Louis
Cauchy
(1789
-1857)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Entre os físicos ela é conhecida
como distribuição de Lorentz ou de
Breit-Wigner. Ela é importante por que
é a solução de uma equação diferencial
que descreve a ressonância forçada.
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A expressão geral da distribuição de
Cauchy é:
0
,
x
1
1
)
x
(
f
2
β
>
β
α
−
+
βπ
=
ou
0
,
]
)
x
(
[
)
x
(
f
2
2
+
−
α
β
>
β
π
β
=
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
Se α = 0 e β = 1, então tem-se a
distribuição de Cauchy Padrão.
A
função
densidade
de
probabilidade da Cauchy Padrão é
dada por:
R
x
para
)
e
1
(
1
)
x
(
f
x
2
∈
+
π
=
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C(-1; 0,5)
C(0; 1)
C(1,5; 1)
C(2; 2)
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A FD da Cauchy é:
0
R,
x
para
-x
arctg
1
2
1
)
x
(
F
∈
β
>
β
α
π
+
=
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS 0,0
0,5 1,0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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A distribuição de Cauchy não tem
valor esperado, i.e. média.
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A distribuição de Cauchy não
apresenta variância.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Considerando
uma
C(α;
β),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
α
=
µ
=
µ
o
o
Essa distribuição não apresenta
momentos finitos. A média e o desvio
padrão podem ser assumidos como
sendo α e β respectivamente.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
C(1; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
α
)]}
5
,
0
u
(
π
[
tg
{
β
)
β
;
α
(
C
≈
−
+
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
<
≥
λ
=
λ
0
t
se
0
0
t
se
e
.
)
t
(
f
t
Uma variável aleatória T tem uma
distribuição
exponencial
se sua fdp for
do tipo:
Considere um servidor da WWW com
uma taxa de acesso de λ = 0,1 requisições por
segundo. Assuma que o número de chegadas
por unidade de tempo é Poisson e que a taxa
interchegadas, X, é uma Exponencial de
parâmetro λ. Determine a probabilidade de
não se tenha acessos durante um intervalo de
10 segundos.
[
]
%
79
,
36
3679
,
0
e
)
e
(
e
lim
dt
e
1
,
0
)
10
X
(
P
1
1
t
1
,
0
t
10
t
1
,
0
=
=
=
=
−
−
=
=
∫
=
≥
−
−
−
∞
→
∞
−
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
Fdp
s
-
E(2,0) -
E(1,0) -
E(0,5)
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A função F(t) é dada por:
0
t
se
-1
0
<
t
se
0
)
t
(
F
e
-
t
≥
=
λ
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
FD
s
-
E(2,0) -
E(1,0) -
E(0,5)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
λ
=
=
+
=
=
λ
=
=
λ
−
−
∫
−
∫
∫
λ
−
λ
−
∞
∞
−
λ
λ
−
∞
∞
−
λ
+∞
∞
−
1
dt
dt
.
t
dt
)
t
(
f
.
t
)
T
(
E
e
e
t
e
]
e
t
[
e
t
t
0
0
t
t
0
0
t
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σ
2
= V(T) = E(T
2
) – E(T)
2
λ
∫
λ
∫
−
∫
∫
=
λ
λ
=
λ
=
=
+
=
=
λ
=
=
∞
−
λ
∞
−
λ
λ
−
∞
∞
−
λ
+∞
∞
−
2
0
t
0
t
t
2
0
0
2
t
2
2
2
1
.
2
dt
2
dt
dt
.
dt
)
t
(
f
.
)
(
E
e
t
te
2
]
e
t
[
e
t
t
T
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A variância será então:
λ
λ
λ
λ
λ
σ
=
−
=
−
=
=
−
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
)
(
E
)
T
(
V
1
)
T
(
E
T
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Seja T uma VAC com distribuição
exponencial
de
parâmetro
λ.
Determinar
o
valor
mediano
da
distribuição.
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Gerador
ln(u)
µ
x
ou
)
u
1
ln(
µ
λ
)
u
1
ln(
x
)
u
1
ln(
x
λ
1
u
1
)
x
(
F
e
e
x
λ
x
λ
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
Para gerar uma VAC Exponencial
basta fazer:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição “F” ou de Snedecor se sua
fdp for do tipo:
(
)
0
x
se
0
0
x
se
2
n
2
m
mx
n
x
n
m
2
n
m
)
x
(
f
2
n
m
1
2
m
2
n
2
m
≤
>
Γ
Γ
+
+
Γ
=
+
−
−
Expectância ou Valor esperado
Variância
2
n
,
2
n
n
)
X
(
E
>
−
=
)
4
-
)(n
2
-
m(n
)
2
-
n
(m
n
2
=
Var(X)
2
+
m
é o grau de
liberdade
do
numerador e
n
do
denominador
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
3
6
9
12
15
F(1, 3) -
F(2, 5) -
F(5, 10)
- F(20, 20)
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O que é tabelado é a percentil 95%
ou 99% - área à direita de cada curva
(
uma para cada par de valores –
numerador, denominador
) igual a 5% e
1%, isto é,
“
x
” tal que
P[F(m, n)
≥ x] = 5%
ou
P[F(m, n)
≥ x] = 1%.
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Gerar
1000
valores
de
uma
F(3; 2). Apresentar os resultados de
forma tabular e gráfica, calculando
todas as principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A geração de uma F(m, n) é feita
através da relação com a distribuição
Qui-Quadrado.
χ
χ
=
χ
χ
=
∑
∑
=
=
2
n
2
m
2
n
2
m
n
1
i
2
i
m
1
i
2
i
m
n
n
m
Z
n
1
Z
m
1
~
)
n
,
m
(
F
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
dx
e
x
)
n
(
=
∫
0
∞
n
−
1
−
x
Γ
Para se definir a
Distribuição
Gama é necessário definir inicialmente
a
Função
Gama.
para n > 0
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Se n é um inteiro positivo, então:
Γ(n) = (n - 1)Γ(n - 1)
A função Gama é recursiva, isto é:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
1
dx
e
)
1
(
=
∫
0
x
=
Γ
∞ −
E uma vez que :
A
função
gama
é
uma
generalização do Fatorial
.
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π
2
1
=
Γ
Verificar, ainda, que:
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c.c.
0
0
x
se
e
)
x
λ
(
)
r
(
λ
)
x
(
f
r
1
λ
x
=
>
Γ
=
−
−
Uma vez definida a
Função
Gama,
pode-se definir, então, a
Distribuição
Gama:
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Onde os parâmetros r > 0 e
λ > 0 são denominados de
parâmetro
de
forma (r)
e
parâmetro de escala (λ).
Se r for inteiro então a
distribuição Gama é denominada
de distribuição de Erlang.
Agner
Krarup
Erlang
(1878 –
1929)
Existe uma relação bastante
próxima entre a Gama e a
Exponencial.
Se
r
=
1,
a
distribuição gama se reduz a uma
exponencial.
Se uma variável aleatória X é a soma
de
r
variáveis
independentes
e
exponencialmente distribuídas cada uma
com parâmetro
λ
λ
λ
λ
, então X tem uma
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0
2, 0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
G(1; 1) G(1; 2) G(1; 3)Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
G(2; 1) G(3; 1) G(5; 1)Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A função F(x) é dada por:
0
x
se
0
0
x
se
du
e
u)
λ
(
(r)
λ
-1
)
x
(
F
-
λ
u
1
-r
x
≤
>
∫
Γ
=
∞
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Se r é um inteiro positivo a FDA pode
ser integrada por partes fornecendo:
0
x
se
/k!
x)
λ
(
e
1
)
x
(
F
r
1
k
0
k
x
λ
>
∑
−
=
−
=
−
que é a soma dos termos de uma Poisson
com média λx. Assim a FDA da Poisson
pode ser usada para avaliar a Gama.
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A vida de equipamento eletrônico é dada
por Y = X
1
+ X
2
+ X
3
+ X
4
, a soma das vidas
de seus componentes. Os componentes são
independentes, cada um tendo tempo de falha
exponencial com média entre falhas de 4
horas. Qual é a probabilidade de que o
sistema opere pelo menos 24 horas sem
falhas?
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Como
r = 4, então a FDA da Gama é
dada por:
0
x
se
/k!
(x/4)
e
1
)
x
(
F
3
k
0
k
4
/
x
>
∑
−
=
=
−
que é a soma dos termos de uma Poisson
com média λx = 24/4 = 6.
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%
12
,
15
)/k!
6
e
(
)
24
(
F
1
)
24
Y
(
P
k
3
0
k
6
=
=
∑
=
=
−
=
>
=
−
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0 2, 0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 G(2; 1) G(3; 1) G(5; 1)Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
λ
r
dx
)
x
(
f
.
x
)
X
(
E
µ
=
=
∫
−
+
∞
∞
=
A expectância ou valor esperado de
uma Distribuição Gama é dada por:
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A Variância da Distribuição Gama
é dada por:
λ
r
V(X)
σ
2
=
=
2
Gerador
Para gerar valores de uma VAC
Gama, uma possibilidade é utilizar o
seguinte algoritmo:
(i) Gerar “r” números aleatórios:
u
1
, u
2
, ..., u
r
.
(ii) Calcular L
i
= -ln(1- u
i
) para i = 1,
2, ..., r.
(iii) Somar todos os L
i
, isto é, fazer S
= Soma dos L
i
;
(iv) Determinar S/λ como um valor da
distribuição G(r, λ).
Esse algoritmo vale para valores
de r inteiros e não é muito eficiente
para r grande, mas é o mais simples.
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)
ln(
1
)
,
(
1
∏
=
−
≈
r
i
i
U
r
E
λ
λ
Resumindo: uma maneira de gerar
valores de uma G(λ, r) é dado por:
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A distribuição de Gumbel
é também conhecida como
distribuição
de
Valores
Extremos,
log-Weibull
ou
Fisher-Tippet. Seu nome é
uma homenagem a Emil J.
Gumbel.
Leonard
Henry
Caleb
Tippett
(1902
-1985)
Emil Julius
Gumbel
(1891 - 1966)
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A distribuição tem duas formas.
Uma é baseada no menor extremo e a
outra no maior. Elas são denominadas
de
casos
mínimo
e
máximo
respectivamente.
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A
distribuição
é
utilizada
na
Indústria em aplicações de Controle de
Qualidade. Nas ciências ambientais é
utilizada para modelar valores extremos
associados
com
enchentes
e
precipitações pluviométricas.
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A expressão da distribuição de
Gumbel (caso mínimo) é:
0
e
-exp
-x
exp
1
)
x
(
f
x
-
β
>
β
α
β
=
β
α
A expressão da distribuição de
Gumbel (caso mínimo) é:
0
e
-exp
-x
exp
1
)
x
(
f
x
-
β
>
β
α
−
β
=
−
β
α
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Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
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Se α = 0 e β = 1 então a distribuição
de Gumbel assume a forma:
β
α
=
∈
=
e
e
para
y
R
onde
y
x
-)
y
(
f
y
-
e
y
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1: 2)
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-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1: 2)
A FD da Distribuição de Gumbel é:
0
para
e
exp
1
)
x
(
F
x
β
>
−
−
=
β
α
−
β
α
=
−
=
1
e
−
onde
y
x
-)
x
(
F
e
y
ou
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
G(-1; 01,)
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1; 2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
G(-1; 01,)
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1; 2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
γβ
−
α
=
Γ
β
+
α
=
=
µ
E(X)
'
(
1
)
onde Γ’(1) é a derivada de Γ(n) quando
n = 1, isto é, Γ(1) = -0,577216 = γ =
constante de Euler.
A expectância ou valor esperado da
distribuição de Gumbel é dado por:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A Variância da Distribuição de
Gumbel é dada por:
6
)
(
V(X)
2
2
=
=
πβ
σ
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Considerando
uma
G(α;
β),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação
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β
−
α
=
β
+
α
=
µ
e
[ln(ln(
2
))]
0
,
3665
1395
,
1
6
.
6
)
(
404114
,
2
2
3
3
2
3
1
=
−
πβ
πβ
β
−
=
µ
µ
=
γ
β
−
α
πβ
=
γ
4632
,
3
6
α
=
µ
o
4
,
5
6
)
(
20
)
(
3
2 2
4
4
2
4
2
=
πβ
πβ
=
µ
µ
=
γ
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Gerar 10000 valores de uma
G(-2; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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−
+
≈
u
1
1
ln
ln
β
α
)
β
;
α
(
G
Valores da distribuição de Gumbel
podem ser gerados através do método
da inversão:
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Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A distribuição de Laplace
se origina da diferença entre
duas VA exponenciais IID. É
um movimento Browniano
avaliado
em
um
tempo
aleatório
exponencialmente
distribuído.
Pierre
Simon
Marquis
de Laplace
(1749
-1827)
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A distribuição é conhecida também
pelo nome de Exponencial Dupla,
embora
esse
nome
também
seja
aplicado a distribuição de valores
extremos. É conhecida ainda por
Exponencial
de
Dupla
Cauda
e
Exponencial Bilateral.
A expressão da distribuição de
Laplace é:
0
2
e
-x
exp
2
1
)
x
(
f
x
>
β
β
=
β
α
−
β
=
β
α
−
−
Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
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Se α = 0 e β = 1 então a distribuição
de Laplace assume a forma
R
x
para
2
e
)
x
(
f
=
−
x
∈
Essa distribuição
é, às
vezes,
denominada de primeira lei do Erro de
Poisson.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
La(-1; 0,5)
La(0; 1)
La(1,5; 1)
La(2; 2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A FD da Distribuição de Laplace é:
x
se
-x
exp
2
1
1
x
se
-x
exp
2
1
)
x
(
F
α
>
β
α
−
−
α
≤
β
α
−
=
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
La(-1; 0,5)
La(0; 1)
La(1,5; 1)
La(2; 2)
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E(X)
=
α
=
µ
A Expectância da distribuição de
Laplace é dada por:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A variância da distribuição de
Laplace é dada por:
2
V(X)
2
2
=
=
β
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Considerando
uma
Lp(α;
β),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação
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α
µ
=
µ
e
=
µ
o
=
0
3
=
µ
6
4
=
µ
α
β
=
α
β
=
γ
2
2
2
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
La(-2; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
|)
u
|
2
1
ln(
)
U
sgn(
)
;
(
L
α
β
≈
α
−
β
−
Onde U é uma uniforme no
intervalo [-0,5; 0,5]
A expressão da fdp da
Log-Normal é dada por:
(
)
se
x
0,
0
2
x
ln
exp
2
x
1
)
x
(
f
2
2
>
σ
≥
σ
µ
−
−
π
σ
=
0
0,
x
se
x
ln
2
1
exp
x
2
1
)
x
(
f
2
2
2
≥
σ
>
σ
µ
−
−
σ
π
=
Ou
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
O modelo apresenta um parâmetro
de localização µ e um de escala σ.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
LN(0; 1/8)
LN(0, 1/4)
LN(0; 1/2)
LN(0; 1)
LN(0; 3/2)
LN(0; 10)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A FD de Distribuição Log-Normal é:
0
0,
x
se
)
x
ln(
G
)
x
(
F
≥
σ
>
σ
µ
−
=
Onde G é a FD da N(µ; σ)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
R(0,5)
R(1)
R(1,5)
R(2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
)
2
/
exp(
E(X)
=
µ
+
σ
2
=
µ
A expectância ou valor esperada da
Distribuição da Log-Normal é dada
por:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A variância da distribuição
Log-Normal é dada por:
)
2
exp(
)
2
2
exp(
V(X)
2
2
2
=
=
µ
+
σ
−
µ
+
σ
σ
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Considerando uma LN(µ, σ),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
)
1
)
exp(
)
2
exp(
2
2
1
=
σ
+
σ
−
γ
1
)
exp(
σ
2
−
=
γ
)
exp(
2
o
=
µ
−
σ
µ
3
)
2
exp(
3
)
3
exp(
2
)
4
exp(
2
2
2
2
=
σ
+
σ
=
σ
−
γ
)
exp(
e
=
µ
µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
LN(0, 1). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A geração
de
valores
dessa
distribuição é feito através do método
da convolução:
−
∑
σ
µ
≈
σ
µ
=
6
U
exp
)
exp(
)
,
(
LN
12
1
i
i
2
A
distribuição
Logística apresenta
normalmente duas expressões. Uma
denominada de fórmula geral e outra de
forma padrão.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A distribuição Logística é
derivada do trabalho de Verhulst,
Professor
de
Análise
na
Faculdade Militar Belga. Ele a
utilizou
para
modelar
o
crescimento da população na
Bélgica no início de 1800.
Pierre
François
Verhulst
(1804 - 1849)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A expressão geral da fdp Logística é
dada por:
0
β
R,
x
para
]
e
1
[
e
β
)
x
(
f
β
/
)
α
x
(
2
β
/
)
α
x
(
1
>
∈
+
=
−
−
−
β
α
−
=
∈
+
β
=
para
x
R,
y
x
]
e
1
[
e
)
/
1
(
)
y
(
f
y
2
y
ou
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A função densidade de probabilidade
da Logística padrão é dada por:
R
x
para
]
e
1
[
e
)
x
(
f
x
2
x
∈
+
=
R
x
para
]
e
1
[
1
)
x
(
f
x
2
∈
+
=
−
Ou
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
L(0;1)
L(-1; 2)
L(-1; 0,5)
L(2; 2)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Suponha
que
X
tem
uma
distribuição
de
Pareto
com
α
=
1.
Mostre
que
Y = ln(X - 1) tem uma distribuição
Logística Padrão.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A FD da Logística é:
0
R,
x
para
e
1
e
)
x
(
F
(x
(x
-
-
)/
)/
∈
β
>
+
=
β
α
β
α
0
R,
x
para
e
1
1
)
x
(
F
-
(x
-
)/
∈
β
>
+
=
β
α
ou
-x
y
R,
y
para
e
1
1
)
y
(
F
-
y
β
α
=
∈
+
=
ou ainda:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS 0,0
0,5 1,0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
)
X
(
E
=
α
=
µ
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Logística é dada por:
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A
Variância
da
Distribuição
Logística é dada por:
3
V(X)
2
2
2
=
=
β
π
σ
Considerando
uma
L(α;
β),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação
α
µ
=
µ
e
=
µ
o
=
0
3
=
µ
2
,
4
5
/
6
4
=
=
µ
α
βπ
=
α
β
π
=
γ
3
3
2
2
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
L(-2; 5). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
−
+
≈
u
1
u
ln
β
α
)
β
;
α
(
L
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
A
distribuição
foi
introduzida por De Moivre em
um artigo em 1733. O seu
resultado
foi estendido
por
Laplace no seu livro “Teoria
Analítica das Probabilidades” de
1812.
Abraham DE
MOIVRE
(1667 - 1754)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Laplace
utilizou
a
normal na análise de erros
de
experimentos.
O
“método
dos
mínimos
quadrados” foi introduzido
por Legendre em 1805.
Pierre-Simon,
Marquis de
LAPLACE
(1749 - 1827)
Adrien Marie
LEGENDRE
(1752 - 1833)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Ele foi justificado por
Gauss,
supondo
uma
distribuição normal
dos
erros, em 1809 que alegou
que já utilizava o método
desde 1794. Hoje ela é
também conhecida como
distribuição
de
Gauss-Moivre-Laplace.
Carl Friedrich
GAUSS
(1777 - 1855)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
ℜ
∈
σ
π
=
σ
µ
−
−
x
,
e
.
.
2
1
)
x
(
f
2
x
.
2
1
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição
normal
se sua fdp for do
tipo:
0
e
com
∞
<
µ
<
∞
σ
>
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A
distribuição
Normal apresenta
dois parâmetros. Uma de localização µ
e outro de forma σ > 0. Neste caso os
parâmetros representam a média e a
variabilidade do modelo.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 -6 -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
N(0; 1)
N(0; 0,5)
N(0; 2)
N(2; 1)
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?
du
e
.
.
2
1
)
x
X
(
P
x
2
u
.
2
1
=
σ
π
=
≤
∫
∞
−
σ
µ
−
−
A normal não é integrável
através do TFC, isto é, não existe
F(x) tal que F’(x) = f(x).
Utilizar integração numérica.
Como não é possível fazer isto com
todas as curvas, escolheu-se uma
para
ser
tabelada
(integrada
numericamente).
σ
µ
−
=
X
Z
A
curva
escolhida
é
a
N(0, 1), isto é, com µ = 0 e σ = 1.
Se X é uma N(µ, σ), então:
Se X é uma N(µ, σ), então:
Será uma N(0; 1)
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ℜ
∈
π
=
ϕ
.
e
−
,
z
2
1
)
z
(
2
.
z2
A fdp da variável Z é dada por:
uma vez que µ = 0 e σ = 1.
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2 ,0
3 ,0
4 ,0
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O que é tabelado é a FDA da
variável Z, isto é:
)
z
(
du
e
.
2
1
du
)
u
(
)
z
Z
(
P
z
-.
2
u2
z
-Φ
=
π
=
=
ϕ
=
≤
∫
∫
∞
−
∞
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
z
)
z
(
Φ
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µ
=
=
µ
E
(
X
)
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Beta é dada por:
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A Variância da Distribuição Normal
é dada por:
σ
=
2
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Considerando
uma
N(µ;
σ),
determinar:
(1)
A moda;
(2)
A mediana;
(3)
A assimetria;
(4)
A curtose;
(5)
O coeficiente de variação.
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µ
=
µ
=
µ
o
e
0
1
=
γ
0
ou
3
γ
2
=
σ
µ
=
γ
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Gerar 10000 valores de uma
N(10, 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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Um dos possíveis métodos de
geração de valores da normal é pela
convolução:
12
k
2
k
U
)
1
,
0
(
N
k
1
i
i
−
∑
≈
=
Fazendo
k = 12,
tem-se:
6
U
)
1
,
0
(
N
12
1
i
i
−
∑
≈
=
A
Distribuição
de
Pareto é também conhecida
como Exponencial Dupla,
Hiperbólica ou Lei do Poder.
É usada para modelar tempo
de CPU e tamanho de
arquivos na Internet.
Vilfredo
Federigo
Samaso
PARETO
(1848 - 1923)
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Distribuições
sócio-econômicas
com grandes caudas à direita. Tamanho
de populações, ocorrência de fenômenos
naturais, preços de ações, renda pessoal,
etc.
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A função densidade de probabilidade
de
Pareto
é dada por:
α
β
≥
β
α
β
>
=
α
+
α
c.c.
0
0
,
,
x
se
x
)
x
(
f
-
(
1)
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Os parâmetros de
locação
, β > 0
representa o menor valor possível da
variável.
O parâmetro
α
>
0
representa a forma da distribuição.
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0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
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Suponha
que
a
renda
de
uma
determinada
população
tenha
uma
distribuição de Pareto com parâmetro de
forma igual a 3 e parâmetro de escala igual a
1000. Determine o percentual da população
que tem renda entre 2000 e 4000.
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