Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV)
Macroeconomia I / 2015
Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 6
Crescimento com Inovações Verticais (Modelo Schumpeteriano) Economia Descentralizada
11) Uma economia apresenta um grande número de …rmas com função de
produção: Yi = AL1 ai N X j=1 ( ~Xij)a; 0 < a < 1 ˜
Xij representa a quantidade de insumo j usado na produção do produto i,
agora corrigido pela qualidade do mesmo. N é …xo. A qualidade de cada um dos n insumos Xj varia com potências de q (onde q>1): 1, 1, q2; :::qkj: Tais
variações se dão como resultado de esforços de pesquisa. O tempo entre cada aumento de qualidade é incerto. Para simpli…car, considere a mão de obra total da economia medida em unidades tal que L = 1.
Cada inventor de uma nova qualidade do insumo é um empresário difer-ente (e não o líder, ou seja, aquele responsável pela produção atual). Em função desta hipótese a competição entre os inovadores gera, neste modelo, a "destruição criativa" à qual se referiu Schumpeter: quando kj se eleva, o
provedor do insumo j, estágio kj; sai do mercado e perde a posição de
mo-nopolista e os lucros para o novo provedor do insumo j, no estágio kj + 1.
Isto porque, por hipótese, apenas a melhor qualidade ˜Xj :=qkjXj de cada
insumo é usada na produção.
Segue daí que a produção pode ser dada por:
Yi = AL1 ai N X j=1 (qkjX ij)a (1)
1Este primeiro exercício, tal como na lista passada com relação ao modelo de inovações
horizontais, deduz o modelo de inovações verticais da forma como apresentado pelo livro texto de Barro e Sala-i-Martin.
a) Mostre que a otimização de lucro de cada …rma i leva à função de demanda agregada pelo input Xj :
Xj = L(Aaqakj=Pj)1=(1 a) (2)
O produto …nal é usado para consumo, para a produção de bens inter-mediários X e para a produção de pesquisa e desenvolvimento (setor respon-sável pelo aumento da qualidade de N). Admite-se que o custo para produzir um insumo, uma vez descoberto, seja uma unidade de produto (que tem o preço igual a 1). Logo, o lucro na produção de Xj;função de Pj;é dado por:
(kj) = (Pj 1)Xj (3)
onde Xj é dado por (2).
b) Escolha Pj de tal forma a maximizar este lucro da …rma produtora do
insumo j em cada ponto do tempo. Mostre que
Pj = 1=a (4)
Observe também que o preço de venda de Xj; 1=a, supera o seu custo
marginal (em unidades de produto) 1. Isto implica uma oferta de Xj inferior
àquela socialmente ótima. A solução do planejador central, desta forma, deverá diferir desta solução descentralizada.
c)Substitua (4) e (2) em (3) para calcular (kj) := (kj; L;parâmetros):Faça
:= (0): Conclua que: (kj) = A1=(1 a)( 1 a a )a 2=(1 a)Lqkja=(1 a) = qkja=(1 a) (5) onde = A1=(1 a)(1 a a )a 2=(1 a)L (6)
d)Faça tkj representar o instante do tempo no qual surge a inovação kj:
A inovação kj sobrevive entre tkj e tkj+1: Conclua que a receita do inventor
da inovação kj em valor atual do instante tkj será (em função da variável
estocástica tkj+1):
Vkj =
Z tkj +1 tkj
onde (Rtkj;v = exp(
Rv
tkjrxdx)): Mostre que para um taxa de juros r
con-stante tem-se:
Vkj = (kj)(1 e
rT (kj))=r (7)
onde (kj) é dado por (5) e T (kj) = tkj+1 tkj.
e) De…na o índice de inovações Q: Q :=XN
j=1q
kja=(1 a) (8)
Faça L = Li em (2) e use (4) para obter Xi;j: Substitua esta expressão em
(1) para obter Yi:Em seguida, some em i para mostrar a proporcionalidade
entre Y e Q.
Y = Aa=(1 a)a2a=(1 a)LQ
Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de Y é igual à taxa de crescmento de Q.
f )Use (4) em (2) e agregue em j para obter:
X = A1=(1 a)a2(1 a)LQ
Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de X é igual à taxa de crescimento de Q.
g) De…na por p(kj)a probabilidade de se criar um novo design quando o
estado da arte (último design disponível) é kj:Calcule, em função de p(kj);o
valor esperado de Vkj;EVkj;assumindo que as inovações sigam um processo
de Poisson. Use (5) para obter:
E(Vkj) =
qkja=(1 a)
r + p(kj)
(9)
h)Tome um empresário que, quando o estado da arte é kj; decide se vale
a pena ou não investir recursos para lançar um novo design, kj+ 1: Observe
que tal novo design, se obtido, lhe permitirá obter lucros apenas entre tkj+1
e tkj+2; quando por de…nição outro empresário deverá tomar o seu lugar
(lançando a inovação kj + 2). O tempo tkj+2 no qual outra invenção surgirá
Admite-se que o empresário consegue alterar a probabilidade de criar um novo design kj + 1 (tal probabilidade denota-se, como vimos, por p(kj)2)se
ele investir recursos Z(kj); de acordo com a função:
p(kj) = Z(kj)h(kj) (10)
onde Z0 > 0 e h0 pode ter qualquer sinal (inclusive ser zero). A função h
traduz a possibilidade de novas inovações …carem mais fáceis (h0 > 0) ou mais difíceis (h0 < 0) à medida em que avança o estado da arte k
j. Assumindo-se
livre entrada e um esforço de pesquisa de inúmeros potenciais entrantes no mercado, o lucro esperado deste empresário deve ir para zero de acordo com: Lucro Esperado = p(kj)E(Vkj+1) Z(kj) = 0 (11)
Observe que na equação acima usamos E(Vkj+1) ao invés de E(Vkj): Isto
porque a probabilidade p(kj) re‡ete a entrada no mercado no tempo tkj+1
e a saída do mercado no tempo tkj+2: Ou seja, o primeiro termo em (11),
p(kj)(E(Vkj+1); traduz a probabilidade de o empresário conseguir, na data
tkj+1;criar uma inovação e auferir as receitas esperadas (E(Vkj+1);em moeda
da data tkj+1); pela operação entre tkj+1 e tkj+2: O segundo termo, Z(kj);
re‡ete o custo incorrido, também em moeda da data tkj+1; para majorar a
probabilidade de obter a inovação kj+1 na data tkj+1:
Reescreva (9) trocando kj por kj+1:Em seguida, use esta nova expressão,
(10) e o fato de estarmos considerando Z(kj) > 0; para concluir que:
r + p(kj+ 1) = h(kj) q(kj+1)a=(1 a)
i)De…na h(kj) de tal forma que
h(kj) =
1
dq(kj+1)a=(1 a) (12)
Nesta expressão3, a constante positiva d traduz uma medida do custo da inovação. Obtenha:
r + p(kj+ 1) = r + p = =d (13)
e observe que decorre das hipóteses efetuadas que p é igual para todos os setores. Conclua também, do fato de p(kj+ 1)ser constante (e igual a p) em
2Uma forma alternativa de escrever tal probabilidade seria p(kj; kj+ 1):
3De…nindo-se h desta forma implica assumir que quanto mais elevado o design, mais
(13), e da equação (10), que sob tal especi…cação os gastos de pesquisa Z(kj)
são mais elevados nos setores com maior kj.
j) Use (10) para mostrar, agregando em j, que o gasto total de desen-volvimento de novos produtos se dá por:
Z = qa=(1 a)( rd)Q
Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que a taxa de crescimento dos gastos em pesquisa Z é igual à taxa de crescmento de Q.
k)Neste modelo o PIB é igual a Y-X e este termo igual a C+Z. Conclua, em função do que vimos anteriormente que, em um BGP no qual Q cresce à taxa constante ; então Y, X, Z e C devem crescer a esta mesma taxa. Em particular:
_
C=C = _Q=Q (14)
Dada a usual otimização intertemporal do consumidor _
C=C = (1= )(r ) (15)
Logo, neste BGP r também deve ser constante ao longo do tempo. Resta agora (assumingo crescimento constante e igual a de Q), apenas determi-narmos p, r e em função dos parâmetros do modelo.
Para determinarmos estas três incógnitas, precisamos de apenas uma equação adicional: a equação de determinação de E( _Q=Q):
Usando (8), como p é constante ao longo dos setores: E( Q) =XN
j=1p(q
(kj+1)a=(1 a) qkja=(1 a)) = p((qa=(1 a) 1)Q
Assumindo N grande o su…ciente aproxima-se _Q=Q por E( Q=Q): Usando (13):
_
Q=Q = ( =d r)(qa=(1 a) 1) (16)
Use (15), (14) e (16) para mostrar que:
r = + d(q a=(1 a) 1) 1 + (qa=(1 a) 1) = (q a=(1 a) 1)( =d ) 1 + (qa=(1 a) 1)
p = =d
1 + (qa=(1 a) 1)
l)Interprete economicamente estes três resultados em relação a cada um dos parâmetros. Este modelo apresenta uma dinâmica de transição?
Economia Centralizada
2- Analisemos agora o ótimo de Pareto do problema anterior, para isto considerando uma economia centralizada. O consumidor, como de costume, resolve: max c Z 1 0 ( c 1 1 )e tdt (17)
onde c = C=L, L …xo. Para simpli…car, podemos medir L de tal forma que L=1, quando então c=C. As mesmas hipóteses feitas anteriormente valem aqui: Assume-se a validade de (10) e (12). A equação que iguala a oferta …nal de produtos à demanda agregada lê-se:
AL1 a N X j=1 (qkjX j)a XN j=1Xj = C + XN j=1Z(kj) := C + Z (18)
a) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, a escolhe de cada Xj pelo planejador central é superior à escolha descentralizada,
o mesmo valendo para X =PNj=1Xj.
Sugestão: a otimização intertemporal do consumo exige que, a cada ponto no tempo, a escolha de Xj (cujo custo marginal de produção em unidades de
produto é igual a 1) seja feita de forma a maximizar a produção. Conclua que Xj = LA1=(1 a)a1=(1 a)qkja=(1 a) (19) e que X =XN j=1Xj = LA 1=(1 a)a1=(1 a)Q (20)
Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista.
b) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, o produto Y determinado pelo planejador central é superior à escolha descentralizada.
Sugestão: Após obter a escolha ótima de Xj do planejador central em (a),
substitua em (1) e calcule o produto Y determinado pelo planejador central. Mostre que:
Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista. c) Usando-se a de…nição de Q, tem-se que:
E( Q) =XN
j=1p(q
(kj+1)a=(1 a) qkja=(1 a))
Calcule a esperança de Q usando a de…nição de Q, (10) e (12). Aproxime _
Q por tal esperança para mostrar que: _
Q = Z(1 q a=(1 a))=d (22)
d) Resolva o problema de maximizar (17) sujeito a (18) e (22).
Sugestão: (18) lê-se como Y = X + C + Z. Use os valores de Y e X disponíveis em (21) e (20), bem como o valor de Z disponível em (22) para escrever (dado que c = C):
c = LA1=(1 a)aa=(1 a)(1 a)Q
_ Q
(1 q a=(1 a))=d (23)
Substitua (23) em (17) e use cálculo de variações para obter a taxa de cresci-mento de Q, X, Y, Z e C determinada pelo planejador central )( pl):
pl =
1 dLA
1=(1 a)aa=(1 a)(1 q a=(1 a))
A despeito do que você mostrou nos itens a e b acima, neste modelo a taxa de crescimento determinada pelo mercado pode ser superior à taxa de crescimento determinada pelo planejador central. Isto ocorre porque o empresário privado tem um incentivo para inovar superior ao incentivo social. Por exemplo, aquele que inova em tkj+1 visualiza apenas os seus ganhos da
inovação. O planejador central, entretanto, subtrai de tais ganhos as perdas do incumbente em tkj+1 (ou seja, daquele que produzia anteriormente até a
data tkj+1)
4.
4Na verdade, o simétrico deste argumento se dará em tk
j+2; quando aquele que inovou
em tkj+1 perder seu negócio. Ele visualizará uma perda total. O planejador central,
entretanto, visualizará um ganho líquido para a economia. Tal ganho se calcula pela
soma da perda do empresário que invou em tkj+1 com o ganho do empresário que estará
entrando no negócio em tkj+2. Ocorre que tal simétrico se dá, temporalmente, após o
excesso do ganho do empresário privado sobre o ganho social descrito no corpo deste exercício. Como a condição de transversalidade do problema privado implica r > ; o que prevalece liquidadmente em valor atual, é o excesso do ganho privado sobre o social. A economia pode então crescer mais na solução privada porque tal ganho pode superar a perda decorrente da provisão de X no caso privado ser inferior à provisão de X no caso do planejador central.
3) Como você mediria inovações em uma economia? O número de patentes por ano seria uma proxy adequada?
4) Considere a Figura 1 a seguir: Figura 1
Crescimento Médio do PIB Real (% de 1995 a 2008)
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 Chi na Índ ia BR IC Sud . As ia Rús sia Am . Lat . OC DE Bra sil US Alem . Jap ão
Fonte: FMI, World Economic Outlook Database, April 2009
9,6 6,9 6,0 4,6 3,7 1,2 1,5 2,9 3,0 3,2
Fato: A Figura mostra um crescimento do PIB (produto) real brasileiro de 1995 a 2008 inferior a vários países e inferior à média da América Latina. Pergunta-se: O modelo de inovação vertical visto neste lista pode lhe ser útil na explicação do fato acima? De que forma? Justi…que a sua resposta.
