plano tangente derivadas direcionais gradiente

ISCTEM

Análise Matemática II Curso de Engenharia Informática

_____________________________________________________________________________________ Funções de várias variáveis: plano tangente a uma superfície,

derivadas direccionais e gradiente.

1. Plano tangente a uma superfície e recta normal ao plano.

Seja

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

um ponto numa superfície S. Considerem-se todas as curvas diferenciáveis que passam por

P

₀ e para cada uma delas a recta tangente em

P

₀. Todas essas rectas pertencem a um mesmo plano, que é o plano tangente à

superfície em

P

₀.

Teorema: Seja

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

um ponto na superfície

F

(

x

,

y

,

z

)

=

0

. Se

F

é diferenciável em

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

e com derivadas parciais não simultaneamente nulas nesse ponto, então existe um plano tangente à superfície em

P

₀ de equação

+

− )

)(

,

,

(

_{0 0 0 0} x

x

y

z

x

x

F

F

_y

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)(

y

−

y

₀

)

+

F

_z

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)(

z

− )

z

₀

=

0

.

Demonstração:

Para provar a existência de um plano tangente em

P

₀, precisamos de mostrar que

todas as curvas diferenciáveis na superfície

F

(

x

,

y

,

z

)

=

0

que passam por

P

₀, possuem tangentes num plano comum. Vamos fazer isso, mostrando que a recta tangente em

P

₀ a qualquer uma dessas curvas é perpendicular ao vector

=

n

(

F

_x

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

),

F

_y

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

),

F

_z

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

))

.

Isto obriga a que todas as rectas tangentes em

P

₀, estejam contidas num plano que passa por

P

₀ e que possui n como normal. Se assim for, a equação desse plano é dada pela equação

+

− )

)(

,

,

(

_{0 0 0 0} x

x

y

z

x

x

F

F

_y

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)(

y

− )

y

₀

+

F

_z

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)(

z

− )

z

₀

=

0

.

Seja então C uma curva diferenciável na superfície

F

(

x

,

y

,

z

)

=

0

que passa por

)

z

,

y

,

x

(

P

_{0 0 0 0} .

Vamos supor que as equações paramétricas dessa curva são:

( )

t x

x= ,

y

=

y

(

t

)

,

z

=

z

(

t

)

onde

t

é um parâmetro auxiliar real e que

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

é o ponto correspondente a

0

t

t

=

. Assim,

)

t

(

x

x

₀

=

₀ ,

y

₀

=

y

(

t

₀

)

,

z

₀

=

z

(

t

₀

)

.

Como a curva C está contida na superfície

F

(

x

,

y

,

z

)

=

0

, todo o ponto

(

x

( ) ( ) ( )

t ,yt ,z t

)

da curva satisfaz essa equação para todo o

t

, isto é,

( ) ( ) ( )

(

xt yt z t

)

0

F , , = .

Derivando ambos os membros desta equação em ordem a

t

, com o auxílio da regra

da cadeia, obtém-se

0

dt

dz

z

F

dt

dy

y

F

dt

dx

x

F

₌

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

.

O primeiro membro desta equação pode ser escrito como o produto interno de dois vectores, i.e.,

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

t 0 dt dz t dt dy t dt dx z y x z F z y x y F z y x x F ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , . , , , , , , , ,

ou, numa notação alternativa

0

t

z

t

y

t

x

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

_x

(

,

,

),

_y

(

,

,

),

_z

(

,

,

)

.

′

(

),

′

(

),

′

(

)

=

. Em particular, se

t

=

t

₀, tem-se

0

t

z

t

y

t

x

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

_x

(

₀

,

₀

,

₀

),

_y

(

₀

,

₀

,

₀

),

_z

(

₀

,

₀

,

₀

)

.

′

(

₀

),

′

(

₀

),

′

(

₀

)

=

.

Note que o segundo vector no produto interno é o vector tangente à curva no ponto

)

z

,

y

,

x

(

P

_{0 0 0 0} , que, pela igualdade anterior, é perpendicular ao vector

=

Definição: Considere a superfície de equação F

(

x,y,z

)

=0. Se

F

é diferenciável em

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

, então o vector n=

(

F

_x

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

),

F

_y

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

),

F

_z

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

))

é chamado vector normal à superfície F

(

x,y,z

)

=0 no ponto

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

e a recta que passa por

P

₀ e é paralela a n é chamada recta normal à superfície em

P

₀.

As equações paramétricas desta recta são

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

+

=

t

z

y

x

F

z

z

t

z

y

x

F

y

y

t

z

y

x

F

x

x

0 0 0 z 0 0 0 0 y 0 0 0 0 x 0

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

Exemplo:

Encontre as equações do plano tangente e da recta normal à superfície de equação

y

x

z

₌

2 no ponto

(

2

,

1

,

4

)

. Solução: Como

F

(

x

,

y

,

z

)

=

x

2

y

−

z

, segue-se

F

_x

(

x

,

y

,

z

)

=

2

xy

e F_y(x,y,z)= x2 e 1 z y x F_z( , , )=− . No ponto

(

2

,

1

,

4

)

temos

F

_x

(

2

,

1

,

4

)

=

4

e

F

_y

(

2

,

1

,

4

)

=

4

e 1 4 1 2

F_z( , , )=− . Assim, um vector normal à superfície no ponto

(

2

,

1

,

4

)

é

=

n

(

F

_x

(

2

,

1

,

4

) (

,

F

_y

2

,

1

,

4

) (

,

F

_z

2

,

1

,

4

)

)

=

4

i

r

+

4

r

j

−

k

r

.

Logo a equação do plano tangente à superfície no ponto considerado é

0

4

z

1

y

4

2

x

4

(

−

)

+

(

−

)

−

(

−

)

=

e as equações paramétricas da recta normal são

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = + = t 4 z t 4 1 y t 4 2 x

Nota: todas as definições e teoremas apresentados seguidamente podem ser

estendidos a funções de várias variáveis.

2. Derivadas

Direccionais.

Dada uma superfície definida pelo gráfico de uma função,

z

=

f

(

x

,

y

)

, já vimos como calcular o declive num ponto

P

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

da superfície, na direcção

X

, que é dado pela derivada parcial em ordem a x,

f

_x

(

x

₀

,

y

₀

)

, e na direcção

Y

, que é dado pela derivada parcial em ordem a

y

,

f

_y

(

x

₀

,

y

₀

).

Vamos agora ver como estas derivadas parciais podem ser usadas para calcular o declive da superfície num ponto numa direcção qualquer, isto é, para calcular a

derivada direccional.

Seja

z

=

f

(

x

,

y

)

uma superfície e

P

(

x

₀

,

y

₀

)

um ponto do domínio de

f

. A "direcção" da derivada direccional é dada pelo vector unitário

j

sen

i

θ

cos

u

=

r

+

θ

r

onde

θ

é o ângulo que o vector faz com o eixo positivo do

X

.

Para encontrar o declive desejado vamos reduzir o problema a duas dimensões, intersectando a superfície com um plano vertical que passa pelo ponto

P

e é paralelo a u. Este plano vertical intersecta a superfície segundo uma curva C. O declive da

superfície no ponto

(

x

₀

,

y

₀

,

f

(

x

₀

,

y

₀

))

na direcção u é definido como o declive da curva nesse ponto.

Definição: Derivada Direccional

Seja

f

uma função de duas variáveis x e

y

e seja

u

=

cos

θ

i

r

+

sen

θ

r

j

um vector unitário. Então a derivada direccional de

f

na direcção de u, denotada por

D

_u

f

,

é

t

)

y

,

x

(

f

)

tsen

y

,

cos

t

x

(

f

lim

)

y

,

x

(

f

D

0 t u

−

+

+

=

→

θ

θ

desde que o limite exista.

Teorema: Derivadas Direccionais.

Se

f

é uma função diferenciável de x e

y

, então a derivada direccional de

f

na direcção do vector

u

=

cos

θ

i

r

+

sen

θ

r

j

é

θ

θ

f

(

x

,

y

)

sen

cos

)

y

,

x

(

f

)

y

,

x

(

f

D

_u

=

_x

+

_y . Exemplo:

Encontre a derivada direccional de

f

(

x

,

y

)

=

x

2

sen

2

y

no ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

,

1

π

segundo a direcção do vector

v

=

3

i

r

−

4

r

j

. Solução:

Cálculo das derivadas parciais:

( )

x

,

y

2

x

sen

( )

2

y

f

_x

=

( )

x,y 2x cos

( )

2y

f 2

y =

Como as derivadas parciais são contínuas,

f

é diferenciável e podemos aplicar o

teorema anterior, começando por encontrar um vector unitário com a direcção de

j

4

i

3

j 5 4 i 5 3 v v u= = r− r

=

cos

θ

i

r

+

senθ

r

j

Note que v = (v₁)2 +(v₂)2 = 32 +42 =5. Usando este vector, tem-se:

( )

(

2

x sen

2

y

)

cos

θ

(

2

x

cos

( )

2

y

)

senθ

f(x,y)

D

2 u

=

+

( )

(

)

(

( )

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

5

4

y

2

cos

x

2

5

3

y

2

x sen

2

f(x,y)

D

2 u

(

)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

5

4

π

cos

2

5

3

senπ

2

2

π

,

1

f

D

_u

5

8

−

=

.

3. Gradiente

Definição: Gradiente de uma função de duas variáveis

Seja

z

=

f

(

x

,

y

)

uma função de x e

y

tal que

f

_x e f_y existem. Então o gradiente de

f

, denotado por

∇

f

(

x

,

y

)

, é o vector

j

(x,y)

f

i

(x,y)

f

f(x,y)

=

_x

r

+

_x

r

∇

. Exemplo:

Encontre o gradiente de

f

(

x

,

y

)

=

y

ln

x

+

xy

2 no ponto

(

1

,

2

)

.

Solução Calculando _x

y

2

x

y

)

y

,

x

(

f

=

+

e

f

_y

(

x

,

y

)

=

ln

x

+

2

xy

, vem

(

ln

x

2

xy

)

j

i

y

x

y

f(x,y)

2

_⎟

r

₊

₊

r

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

∇

No ponto

( )

1,2 , o gradiente é

j

4

i

6

f(x,y)

=

r

+

r

∇

.

Teorema: Forma alternativa para a Derivada Direccional

Se

f

é uma função diferenciável de x e

y

, então a derivada direccional de

f

na direcção do vector u é

f(x,y). u

f(x,y)

D

_u

=

∇

Exemplo: Encontre a derivada direccional da função

f

(

x

,

y

)

=

3

x

2

−

2

y

2 em

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛− 0,

4

3

na direcção de

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

,

0

4

3

P

para

Q

(

0

,

1

)

. Solução

Como as derivadas parciais

f

_x

(

x

,

y

)

=

6

x

e

f

_y

(

x

,

y

)

=

−

4

y

são contínuas,

f

é diferenciável e podemos aplicar o teorema anterior.

Um vector na direcção indicada é

j

)

0

1

(

i

4

3

0

v

P

Q

PQ

⎟

r

+

−

r

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

=

−

=

→ =

i

j

4

3

r

₊

r

e um vector unitário nesta direcção é

j 5 4 i 5 3 v v u= = r+ r.

Como

∇

f(x,y)

=

f

_x

(x,y)

i

r

+

f

_x

(x,y)

r

j

=

6

x

i

r

−

4

y

r

j

, o gradiente em

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

,

0

4

3

P

é

j

0

i

2

9

0

,

4

3

f

⎟

=

−

r

+

r

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

∇

. Consequentemente, em

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

,

0

4

3

P

a derivada direccional é 2 2 _2y x 3 ) y , x ( f = −

. u

0

,

4

3

f

0

,

4

3

f

D

_u

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

∇

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

=

j

5

4

i

5

3

.

j

0

i

2

9

r

r

r

r

10

27

−

=

. Propriedades do Gradiente

Seja

f

uma função diferenciável no ponto

(

x

,

y

)

.

1. Se

∇

f

(

x

,

y

)

=

0

então

D

_u

f(x,y)

=

0

para todo o u.

2. A direcção e sentido do crescimento máximo de

f

é dada por

∇

f

(

x

,

y

)

. O valor máximo de

D

_u

f(x,y)

é ∇f(x,y) .

3. A direcção e sentido do decrescimento máximo de

f

é dada por

−

∇

f

(

x

,

y

)

. O valor mínimo de

D

_u

f(x,y)

é − ∇f(x,y) .

Demonstração:

1.

Resulta directamente da definição de derivada direccional

D

_u

f(x,y)

=

∇

f(x,y). u

.

2.

A derivada direccional de

f

na direcção de u é dada pelo produto interno dos dois vectores:

∇

f

(

x

,

y

)

e u, tal que u =1.

Seja

α

o ângulo entre estes dois vectores. Pela definição de produto interno,

α

α

cos cos .u f(x,y) f(x,y) f(x,y). u= ∇ = ∇ ∇ .

Sabendo que −1≤cos

α

≤1, a derivada

D

_u

f(x,y)

é máxima (o crescimento da função é máximo) quando cos

α

=1, isto é

α

=0. Daqui se conclui que os vectores

∇

f

(

x

,

y

)

e u têm a mesma direcção e sentido. O valor máximo da derivada é ∇f(x,y) .

3.

Analogamente ao demonstrado acima, podemos concluir neste caso que

f(x,y)

D

_u

≥

−

∇f(x,y) . A igualdade verifica-se quando

α

=

π

, isto é, os vectores