• Nenhum resultado encontrado

Lógica Boolena. Aula 05. Prof. Msc. Arthur G. Bartsch

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Lógica Boolena. Aula 05. Prof. Msc. Arthur G. Bartsch"

Copied!
64
0
0

Texto

(1)

ogica Boolena

Aula 05

Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia el´etrica – DEE

Centro de ciˆencias tecnol´ogicas – CCT Universidade do estado de Santa Catarina – UDESC

´

Algebra de Boole – ALB0001 arthur.bartsch@udesc.br

2017/02

(2)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Algebra de Boole´

3 Fun¸c˜oes l´ogicas b´asicas

4 Opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas

5 Opera¸c˜oes l´ogicas derivativas

6 Postulados da ´Algebra de Boole

(3)

Introdu¸

ao

(4)

Introdu¸

ao

Nesta aula, iremos tratar da l´ogica booleana.

Assim, utilizaremos outro tipo de opera¸c˜ao sobre c´odigos bin´arios: at´e agora trabalhamos as opera¸c˜oes aritm´eticas, a partir daqui, iremos trabalhar com as opera¸c˜oes l´ogicas.

(5)

Introdu¸

ao

Nesta aula, iremos tratar da l´ogica booleana.

Assim, utilizaremos outro tipo de opera¸c˜ao sobre c´odigos bin´arios: at´e agora trabalhamos as opera¸c˜oes aritm´eticas, a partir daqui, iremos trabalhar com as opera¸c˜oes l´ogicas.

(6)

´

(7)

´

Algebra de Boole (Hist´

orico)

Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,

apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.

Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.

Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.

(8)

´

Algebra de Boole (Hist´

orico)

Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,

apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.

Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.

Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.

(9)

´

Algebra de Boole (Hist´

orico)

Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,

apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.

Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.

Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.

(10)
(11)

Vari´

aveis e fun¸

oes l´

ogicas e tabela verdade

Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.

Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao

multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.

Exemplo:

Y (A, B) = Y = A + B

O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}

A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.

(12)

Vari´

aveis e fun¸

oes l´

ogicas e tabela verdade

Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.

Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao

multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.

Exemplo:

Y (A, B) = Y = A + B

O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}

A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.

(13)

Vari´

aveis e fun¸

oes l´

ogicas e tabela verdade

Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.

Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao

multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.

Exemplo:

Y (A, B) = Y = A + B

O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}

A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.

(14)

Vari´

aveis e fun¸

oes l´

ogicas e tabela verdade

Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.

Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao

multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.

Exemplo:

Y (A, B) = Y = A + B

O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}

(15)

Opera¸

oes l´

ogicas b´

asicas

(16)

Opera¸

ao SIM (TRUE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1

(17)

Opera¸

ao SIM (TRUE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1 6/25

(18)

Opera¸

ao SIM (TRUE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1

(19)

Opera¸

ao OU (OR) – Soma l´

ogica

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B

(20)

Opera¸

ao OU (OR) – Soma l´

ogica

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B

(21)

Opera¸

ao OU (OR) – Soma l´

ogica

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B

(22)

Opera¸

ao OU (OR) – Soma l´

ogica

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1

(23)

Opera¸

ao E (AND) – Produto l´

ogico

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B

(24)

Opera¸

ao E (AND) – Produto l´

ogico

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B

(25)

Opera¸

ao E (AND) – Produto l´

ogico

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B

(26)

Opera¸

ao E (AND) – Produto l´

ogico

Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0

(27)

Opera¸

ao N ˜

AO (NOT ou FALSE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0

A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A

(28)

Opera¸

ao N ˜

AO (NOT ou FALSE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0

A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A

(29)

Opera¸

ao N ˜

AO (NOT ou FALSE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0

A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A

(30)

Opera¸

ao N ˜

AO (NOT ou FALSE)

Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0

(31)

Simbologia em portas l´

ogicas

Existem muitas formas de representar graficamente as opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas. As representa¸c˜oes mais comuns s˜ao o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de rel´es e as portas l´ogicas.

Essa ´ultima forma de representa¸c˜ao ´e a mais utilizada em eletrˆonica digital e ser´a adotada ao longo da disciplina. A Figura abaixo exp˜oe a simbologia das portas l´ogicas b´asicas.

Fonte: site nova eletrˆonica.

(32)

Simbologia em portas l´

ogicas

Existem muitas formas de representar graficamente as opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas. As representa¸c˜oes mais comuns s˜ao o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de rel´es e as portas l´ogicas.

Essa ´ultima forma de representa¸c˜ao ´e a mais utilizada em eletrˆonica digital e ser´a adotada ao longo da disciplina. A Figura abaixo exp˜oe a simbologia das portas l´ogicas b´asicas.

(33)

Exemplos/Exerc´ıcios

1- Obtenha a tabela verdade e a representa¸c˜ao em portas l´ogicas das

seguintes fun¸c˜oes l´ogicas:

a) Y = A · B

b) Y = (A · B) + A

c) Y = B + (A · B)

2- Considere o circuito l´ogico abaixo. Obtenha uma fun¸c˜ao l´ogica que

descreva o circuito.

(34)
(35)

Opera¸

ao N ˜

AO OU (NOR)

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 12/25

(36)

Opera¸

ao N ˜

AO OU (NOR)

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

(37)

Opera¸

ao N ˜

AO E (NAND)

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 13/25

(38)

Opera¸

ao N ˜

AO E (NAND)

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

(39)

Opera¸

ao OU EXCLUSIVO (XOR) –

Exclusividade L´

ogica

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 14/25

(40)

Opera¸

ao OU EXCLUSIVO (XOR) –

Exclusividade L´

ogica

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1

(41)

Opera¸

ao N ˜

AO OU EXCLUSIVO (XNOR) –

Coincidˆ

encia l´

ogica

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B = A B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 15/25

(42)

Opera¸

ao N ˜

AO OU EXCLUSIVO (XNOR) –

Coincidˆ

encia l´

ogica

Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B = A B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0

(43)

Simbologia

A seguinte simbologia ´e adotada para as portas l´ogicas das l´ogicas derivativas:

Fonte: site nova eletrˆonica.

Como deve ser o s´ımbolo da porta XNOR?

(44)

Exemplos/Exerc´ıcios

1- Construa a tabela verdade e os circuitos l´ogicos para as seguintes

fun¸c˜oes l´ogicas:

a) Y = (A + B) · A

b) Y = (A ⊕ B) · A

c) Y = (A B) + C

d) Y = C ⊕ A + B

2- Encontre uma fun¸c˜ao l´ogica que apresente a seguinte tabela

verdade:

A B Y

(45)

Postulados da ´

Algebra de Boole

(46)

Postulados da ´

Algebra de Boole

1- Associativa das opera¸c˜oes:

(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )

2- Comutativa das opera¸c˜oes:

A · B =B · A A + B =B + A

3- Elemento neutro:

1 · A = A 0 + A = A

(47)

Postulados da ´

Algebra de Boole

1- Associativa das opera¸c˜oes:

(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )

2- Comutativa das opera¸c˜oes:

A · B =B · A A + B =B + A 3- Elemento neutro: 1 · A = A 0 + A = A 18/25

(48)

Postulados da ´

Algebra de Boole

1- Associativa das opera¸c˜oes:

(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )

2- Comutativa das opera¸c˜oes:

A · B =B · A A + B =B + A

(49)

Postulados da ´

Algebra de Boole

4 Elemento nulo:

0 · A = 0 1 + A = 1

5 Distributiva das opera¸c˜oes:

A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )

6 Existˆencia de elemento complementar:

A · A =0 A + A =1

(50)

Postulados da ´

Algebra de Boole

4 Elemento nulo:

0 · A = 0 1 + A = 1

5 Distributiva das opera¸c˜oes:

A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )

6 Existˆencia de elemento complementar:

A · A =0 A + A =1

(51)

Postulados da ´

Algebra de Boole

4 Elemento nulo:

0 · A = 0 1 + A = 1

5 Distributiva das opera¸c˜oes:

A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )

6 Existˆencia de elemento complementar:

A · A =0 A + A =1

(52)
(53)

Teoremas da Dualidade e Teorema da

Convolu¸

ao

Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A

Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A

Teoremas da exclus˜ao:

A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B

(54)

Teoremas da Dualidade e Teorema da

Convolu¸

ao

Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A

Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A

Teoremas da exclus˜ao:

A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B

(55)

Teoremas da Dualidade e Teorema da

Convolu¸

ao

Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A

Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A

Teoremas da exclus˜ao:

A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B

(56)

Teoremas de De Morgan

Primeiro teorema de De Morgan: “o complemento da soma l´ogica ´e igual ao produto l´ogico dos seus complementos”. Portanto:

X0+ X1+ X1+ ... + Xn= X0· X1· X2· ... · Xn

Segundo teorema de De Morgan: “o complemento do produto l´ogico ´e igual `a soma l´ogica dos seus complementos”. Portanto:

(57)

Teoremas de De Morgan

Primeiro teorema de De Morgan: “o complemento da soma l´ogica ´e igual ao produto l´ogico dos seus complementos”. Portanto:

X0+ X1+ X1+ ... + Xn= X0· X1· X2· ... · Xn

Segundo teorema de De Morgan: “o complemento do produto l´ogico ´e igual `a soma l´ogica dos seus complementos”. Portanto:

X0· X1· X2· ... · Xn= X0+ X1+ X2+ ... + Xn

(58)

Exemplos/Exerc´ıcios

1- Simplifique as seguintes fun¸c˜oes l´ogicas, aplicando os postulados e

os teoremas e escreva o circuito l´ogico obtido:

a) Y = (A + B) · A b) Y = (A · B)B c) Y = B + (A · B) d) Y = C ⊕ (A · (A + C )) e) Y = A · (B + B) + A · B f) Y = A · B · C + A · B + A · C g) Y = (A + B) · C + D · (C + B) h) Y = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C

(59)

Mapa de Karnaugh

(60)

Mapa de Karnaugh

Os mapas de Karnaugh s˜ao diagramas utilizados para a simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes booleanas, especialmente se a Tabela verdade ´e conhecida (Obs: a explica¸c˜ao da t´ecnica ser´a feita utilizando o quadro).

Quando uma fun¸c˜ao n˜ao apresenta o valor da sa´ıda para uma determinada combina¸c˜ao das vari´aveis de entrada, ´e poss´ıvel utilizar o X, e aplicar o mapa considerando que X pode ser 0 ou 1, dependendo da conveniˆencia.

(61)

Mapa de Karnaugh

Os mapas de Karnaugh s˜ao diagramas utilizados para a simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes booleanas, especialmente se a Tabela verdade ´e conhecida (Obs: a explica¸c˜ao da t´ecnica ser´a feita utilizando o quadro).

Quando uma fun¸c˜ao n˜ao apresenta o valor da sa´ıda para uma determinada combina¸c˜ao das vari´aveis de entrada, ´e poss´ıvel utilizar o X, e aplicar o mapa considerando que X pode ser 0 ou 1, dependendo da conveniˆencia.

(62)

Exemplos/Exerc´ıcios

1- Aplique o mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes fun¸c˜oes

l´ogicas:

a) Y = A · (B + B) + A · B

b) Y = AB(B + A) + C D(C + A + D)

2- Aplique o Mapa de Karnaugh para obter uma express˜ao para a

seguinte tabela verdade:

A B C D Y

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

0 0 1 0 0

(63)

Exerc´ıcios

(64)

Exerc´ıcios

Obtenha a fun¸c˜ao l´ogica de quatro vari´aveis mais simples o poss´ıvel para que a sa´ıda seja igual a 1 se o n´umero de 0 for igual ao de 1 e para que a sa´ıda seja zero caso contr´ario.

Obtenha uma fun¸c˜ao l´ogica que a sa´ıda seja 1 se uma palavra bin´aria de quatro bits lida na entrada estiver no intervalo [4,14) e zero para os demais valores.

Em uma determinada empresa, os membros do conselho administrativo detˆem todo o capital que est´a assim distribu´ıdo: Aur´elia det´em 40%, Basti˜ao det´em 35%, Celina det´em 20% e Duarte 5%. Cada membro tem um poder de voto igual a sua participa¸c˜ao no capital. Para que uma proposta seja aprovada, ´e necess´ario que o total de votos seja superior a 50%. Foi decidido que haveria um sistema eletrˆonico de vota¸c˜ao. Cada membro acionaria uma chave de sua

Referências

Documentos relacionados

Giro de tronco e quadril e leva o peso do corpo para a frente 5 anos Padrão horizontal maduro utilizando bola estacionária 6-7 anos Tabela 3 – Média de idade no desenvolvimento

O objecto da promessa de constituição do direito de superfície é indicado no contrato como sendo “uma parcela de terreno identificada na planta anexa, de 89,35m2 do logradouro

Um conjunto X dotado de uma rela¸c˜ ao de ordem parcial ´e dito ser um conjunto bem-ordenado se todo subconjunto A n˜ ao vazio de X tem um elemento m´ınimo em A.. Mostre que

Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma rela¸c˜ ao parcial de ordem ´e tamb´em totalmente ordenado.. segundo a mesma

O responsável pela elaboração deste relatório certifica que as opiniões expressas nele refletem, de forma precisa, única e exclusiva, suas visões e opiniões pessoais, e

Assim, produtos expelidos ou extraídos sem vida do corpo da mãe, com período de gestação de 28 ou mais semanas, peso mínimo de 1.000 gramas ou comprimento de, pelo menos,

Por exemplo, no caso do circuto acima, a sa´ıda pode ser expressa como f (A, B) para indicar que o valor da sa´ıda depende das duas entradas A e B que podem ser vistas como

a) no caso de descumprimento do prazo de solução dos chamados técnicos, de acordo com o item 3.7, fica a EMPRESA a ser contratada sujeita à multa no valor de 2% (dois por cento)