L´
ogica Boolena
Aula 05
Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia el´etrica – DEE
Centro de ciˆencias tecnol´ogicas – CCT Universidade do estado de Santa Catarina – UDESC
´
Algebra de Boole – ALB0001 arthur.bartsch@udesc.br
2017/02
Sum´
ario
1 Introdu¸c˜ao
2 Algebra de Boole´
3 Fun¸c˜oes l´ogicas b´asicas
4 Opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas
5 Opera¸c˜oes l´ogicas derivativas
6 Postulados da ´Algebra de Boole
Introdu¸
c˜
ao
Introdu¸
c˜
ao
Nesta aula, iremos tratar da l´ogica booleana.
Assim, utilizaremos outro tipo de opera¸c˜ao sobre c´odigos bin´arios: at´e agora trabalhamos as opera¸c˜oes aritm´eticas, a partir daqui, iremos trabalhar com as opera¸c˜oes l´ogicas.
Introdu¸
c˜
ao
Nesta aula, iremos tratar da l´ogica booleana.
Assim, utilizaremos outro tipo de opera¸c˜ao sobre c´odigos bin´arios: at´e agora trabalhamos as opera¸c˜oes aritm´eticas, a partir daqui, iremos trabalhar com as opera¸c˜oes l´ogicas.
´
´
Algebra de Boole (Hist´
orico)
Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,
apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.
Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.
Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.
´
Algebra de Boole (Hist´
orico)
Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,
apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.
Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.
Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.
´
Algebra de Boole (Hist´
orico)
Em 1854, George Boole, matem´atico e pensador inglˆes,
apresentou o trabalho “An investigation of the law of thought”, que serviu como base para a teoria matem´atica das proposi¸c˜oes l´ogicas.
Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes usadas em telefonia, al´em de mostrar a aplicabilidade dessa ´algebra em circuitos baseados em circuitos l´ogicos de rel´es.
Como a ´algebra tradicional, a ´algebra de Boole apresenta postulados e teoremas, ´uteis para a an´alise e simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes l´ogicas.
Vari´
aveis e fun¸
c˜
oes l´
ogicas e tabela verdade
Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.
Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao
multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.
Exemplo:
Y (A, B) = Y = A + B
O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}
A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.
Vari´
aveis e fun¸
c˜
oes l´
ogicas e tabela verdade
Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.
Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao
multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.
Exemplo:
Y (A, B) = Y = A + B
O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}
A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.
Vari´
aveis e fun¸
c˜
oes l´
ogicas e tabela verdade
Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.
Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao
multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.
Exemplo:
Y (A, B) = Y = A + B
O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}
A tabela verdade ´e uma tabela que descreve todos os poss´ıveis resultados da fun¸c˜ao l´ogica, em fun¸c˜ao de suas vari´aveis de entrada.
Vari´
aveis e fun¸
c˜
oes l´
ogicas e tabela verdade
Uma dada vari´avel l´ogica A ∈ {0, 1} ´e uma vari´avel que possui apenas valores l´ogicos em seu dom´ınio.
Uma fun¸c˜ao l´ogica Y : {0, 1}n→ {0, 1} ´e uma fun¸c˜ao
multivari´avel que, para n vari´aveis l´ogicas apresenta uma sa´ıda relativa a essa fun¸c˜ao.
Exemplo:
Y (A, B) = Y = A + B
O dom´ınio D de Y ´e D = {0, 1}2. O contradom´ınio CD de Y ´e CD = {0, 1}
Opera¸
c˜
oes l´
ogicas b´
asicas
Opera¸
c˜
ao SIM (TRUE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1
Opera¸
c˜
ao SIM (TRUE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1 6/25
Opera¸
c˜
ao SIM (TRUE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e falsa”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A Tabela verdade: A Y 0 0 1 1
Opera¸
c˜
ao OU (OR) – Soma l´
ogica
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B
Opera¸
c˜
ao OU (OR) – Soma l´
ogica
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B
Opera¸
c˜
ao OU (OR) – Soma l´
ogica
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A opera¸c˜ao OU tamb´em ´e conhecida como disjun¸c˜ao e simbolizada por A ∨ B
Opera¸
c˜
ao OU (OR) – Soma l´
ogica
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e verdadeira, a sa´ıda ´e verdadeira. Se todas as entradas s˜ao falsas a sa´ıda ´e falsa”. Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1
Opera¸
c˜
ao E (AND) – Produto l´
ogico
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B
Opera¸
c˜
ao E (AND) – Produto l´
ogico
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B
Opera¸
c˜
ao E (AND) – Produto l´
ogico
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A opera¸c˜ao E tamb´em ´e conhecida como conjun¸c˜ao e simbolizada por A ∧ B
Opera¸
c˜
ao E (AND) – Produto l´
ogico
Ideia: “Se ao menos uma das entradas ´e falsa, a sa´ıda ´e falsa. Se todas as entradas s˜ao verdadeiras a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO (NOT ou FALSE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0
A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO (NOT ou FALSE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0
A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO (NOT ou FALSE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0
A opera¸c˜ao N˜AO tamb´em ´e conhecida como nega¸c˜ao e simbolizada por¬A
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO (NOT ou FALSE)
Ideia: “Se a entrada ´e verdadeira, a sa´ıda ´e falsa. Se a entrada ´e falsa a sa´ıda ´e verdadeira”.
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A = A0 = A∗ Tabela verdade: A Y 0 1 1 0
Simbologia em portas l´
ogicas
Existem muitas formas de representar graficamente as opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas. As representa¸c˜oes mais comuns s˜ao o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de rel´es e as portas l´ogicas.
Essa ´ultima forma de representa¸c˜ao ´e a mais utilizada em eletrˆonica digital e ser´a adotada ao longo da disciplina. A Figura abaixo exp˜oe a simbologia das portas l´ogicas b´asicas.
Fonte: site nova eletrˆonica.
Simbologia em portas l´
ogicas
Existem muitas formas de representar graficamente as opera¸c˜oes l´ogicas b´asicas. As representa¸c˜oes mais comuns s˜ao o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de rel´es e as portas l´ogicas.
Essa ´ultima forma de representa¸c˜ao ´e a mais utilizada em eletrˆonica digital e ser´a adotada ao longo da disciplina. A Figura abaixo exp˜oe a simbologia das portas l´ogicas b´asicas.
Exemplos/Exerc´ıcios
1- Obtenha a tabela verdade e a representa¸c˜ao em portas l´ogicas das
seguintes fun¸c˜oes l´ogicas:
a) Y = A · B
b) Y = (A · B) + A
c) Y = B + (A · B)
2- Considere o circuito l´ogico abaixo. Obtenha uma fun¸c˜ao l´ogica que
descreva o circuito.
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO OU (NOR)
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 12/25Opera¸
c˜
ao N ˜
AO OU (NOR)
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0Opera¸
c˜
ao N ˜
AO E (NAND)
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 13/25Opera¸
c˜
ao N ˜
AO E (NAND)
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0Opera¸
c˜
ao OU EXCLUSIVO (XOR) –
Exclusividade L´
ogica
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 14/25Opera¸
c˜
ao OU EXCLUSIVO (XOR) –
Exclusividade L´
ogica
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B Tabela verdade: A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1Opera¸
c˜
ao N ˜
AO OU EXCLUSIVO (XNOR) –
Coincidˆ
encia l´
ogica
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B = A B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 15/25
Opera¸
c˜
ao N ˜
AO OU EXCLUSIVO (XNOR) –
Coincidˆ
encia l´
ogica
Fun¸c˜ao l´ogica: Y = A · B + A · B = A ⊕ B = A B Tabela verdade: A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0
Simbologia
A seguinte simbologia ´e adotada para as portas l´ogicas das l´ogicas derivativas:
Fonte: site nova eletrˆonica.
Como deve ser o s´ımbolo da porta XNOR?
Exemplos/Exerc´ıcios
1- Construa a tabela verdade e os circuitos l´ogicos para as seguintes
fun¸c˜oes l´ogicas:
a) Y = (A + B) · A
b) Y = (A ⊕ B) · A
c) Y = (A B) + C
d) Y = C ⊕ A + B
2- Encontre uma fun¸c˜ao l´ogica que apresente a seguinte tabela
verdade:
A B Y
Postulados da ´
Algebra de Boole
Postulados da ´
Algebra de Boole
1- Associativa das opera¸c˜oes:
(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )
2- Comutativa das opera¸c˜oes:
A · B =B · A A + B =B + A
3- Elemento neutro:
1 · A = A 0 + A = A
Postulados da ´
Algebra de Boole
1- Associativa das opera¸c˜oes:
(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )
2- Comutativa das opera¸c˜oes:
A · B =B · A A + B =B + A 3- Elemento neutro: 1 · A = A 0 + A = A 18/25
Postulados da ´
Algebra de Boole
1- Associativa das opera¸c˜oes:
(A · B) · C =A · (B · C ) (A + B) + C =A + (B + C )
2- Comutativa das opera¸c˜oes:
A · B =B · A A + B =B + A
Postulados da ´
Algebra de Boole
4 Elemento nulo:
0 · A = 0 1 + A = 1
5 Distributiva das opera¸c˜oes:
A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )
6 Existˆencia de elemento complementar:
A · A =0 A + A =1
Postulados da ´
Algebra de Boole
4 Elemento nulo:
0 · A = 0 1 + A = 1
5 Distributiva das opera¸c˜oes:
A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )
6 Existˆencia de elemento complementar:
A · A =0 A + A =1
Postulados da ´
Algebra de Boole
4 Elemento nulo:
0 · A = 0 1 + A = 1
5 Distributiva das opera¸c˜oes:
A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) A + (B · C ) = (A + B) · (A + C )
6 Existˆencia de elemento complementar:
A · A =0 A + A =1
Teoremas da Dualidade e Teorema da
Convolu¸
c˜
ao
Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A
Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A
Teoremas da exclus˜ao:
A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B
Teoremas da Dualidade e Teorema da
Convolu¸
c˜
ao
Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A
Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A
Teoremas da exclus˜ao:
A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B
Teoremas da Dualidade e Teorema da
Convolu¸
c˜
ao
Teoremas da dualidade (ou idempotˆencia): A · A =A A + A =A
Teorema da convolu¸c˜ao (ou complemento do complemento): A = A
Teoremas da exclus˜ao:
A · B + B = A + B (A + B) · B = A · B
Teoremas de De Morgan
Primeiro teorema de De Morgan: “o complemento da soma l´ogica ´e igual ao produto l´ogico dos seus complementos”. Portanto:
X0+ X1+ X1+ ... + Xn= X0· X1· X2· ... · Xn
Segundo teorema de De Morgan: “o complemento do produto l´ogico ´e igual `a soma l´ogica dos seus complementos”. Portanto:
Teoremas de De Morgan
Primeiro teorema de De Morgan: “o complemento da soma l´ogica ´e igual ao produto l´ogico dos seus complementos”. Portanto:
X0+ X1+ X1+ ... + Xn= X0· X1· X2· ... · Xn
Segundo teorema de De Morgan: “o complemento do produto l´ogico ´e igual `a soma l´ogica dos seus complementos”. Portanto:
X0· X1· X2· ... · Xn= X0+ X1+ X2+ ... + Xn
Exemplos/Exerc´ıcios
1- Simplifique as seguintes fun¸c˜oes l´ogicas, aplicando os postulados e
os teoremas e escreva o circuito l´ogico obtido:
a) Y = (A + B) · A b) Y = (A · B)B c) Y = B + (A · B) d) Y = C ⊕ (A · (A + C )) e) Y = A · (B + B) + A · B f) Y = A · B · C + A · B + A · C g) Y = (A + B) · C + D · (C + B) h) Y = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
Mapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh
Os mapas de Karnaugh s˜ao diagramas utilizados para a simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes booleanas, especialmente se a Tabela verdade ´e conhecida (Obs: a explica¸c˜ao da t´ecnica ser´a feita utilizando o quadro).
Quando uma fun¸c˜ao n˜ao apresenta o valor da sa´ıda para uma determinada combina¸c˜ao das vari´aveis de entrada, ´e poss´ıvel utilizar o X, e aplicar o mapa considerando que X pode ser 0 ou 1, dependendo da conveniˆencia.
Mapa de Karnaugh
Os mapas de Karnaugh s˜ao diagramas utilizados para a simplifica¸c˜ao de fun¸c˜oes booleanas, especialmente se a Tabela verdade ´e conhecida (Obs: a explica¸c˜ao da t´ecnica ser´a feita utilizando o quadro).
Quando uma fun¸c˜ao n˜ao apresenta o valor da sa´ıda para uma determinada combina¸c˜ao das vari´aveis de entrada, ´e poss´ıvel utilizar o X, e aplicar o mapa considerando que X pode ser 0 ou 1, dependendo da conveniˆencia.
Exemplos/Exerc´ıcios
1- Aplique o mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes fun¸c˜oes
l´ogicas:
a) Y = A · (B + B) + A · B
b) Y = AB(B + A) + C D(C + A + D)
2- Aplique o Mapa de Karnaugh para obter uma express˜ao para a
seguinte tabela verdade:
A B C D Y
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
0 0 1 0 0
Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Obtenha a fun¸c˜ao l´ogica de quatro vari´aveis mais simples o poss´ıvel para que a sa´ıda seja igual a 1 se o n´umero de 0 for igual ao de 1 e para que a sa´ıda seja zero caso contr´ario.
Obtenha uma fun¸c˜ao l´ogica que a sa´ıda seja 1 se uma palavra bin´aria de quatro bits lida na entrada estiver no intervalo [4,14) e zero para os demais valores.
Em uma determinada empresa, os membros do conselho administrativo detˆem todo o capital que est´a assim distribu´ıdo: Aur´elia det´em 40%, Basti˜ao det´em 35%, Celina det´em 20% e Duarte 5%. Cada membro tem um poder de voto igual a sua participa¸c˜ao no capital. Para que uma proposta seja aprovada, ´e necess´ario que o total de votos seja superior a 50%. Foi decidido que haveria um sistema eletrˆonico de vota¸c˜ao. Cada membro acionaria uma chave de sua