PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I

Bruno Baierle Maurício Furigo

Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)

Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PARTE I

Variável Aleatória

Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de

fatores aleatórios.

Exemplos:

 número de coroas obtidos no lançamento de moedas;

 número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção;

 tempo de resposta de um sistema computacional;

Variável Aleatória

Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.

Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o

espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.

A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a

seguir.

Variável Aleatória

Uma variável aleatória pode ser:

Discreta: onde os possíveis resultados estão

contidos em um conjunto finito ou enumerável.

Variável Aleatória

Uma variável aleatória pode ser:

Contínua: onde os possíveis resultados abrangem

todo um intervalo de números reais.

Variáveis Aleatórias Independentes

Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o conhecimento de uma variável não altera as distribuições de probabilidade das demais variáveis (𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛).

Para variáveis aleatórias independentes:

V X + Y = V X + V(Y)

V X − Y = V X + V(Y)

Variáveis Aleatórias Independentes

Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois

dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja

dada por

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆

−(𝒙+𝒚)

, 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎,

por fatoração temos

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆

−𝒙

𝒆

−𝒚

,

Variáveis Aleatórias Independentes

Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias

independentes se, e somente se:

𝑃 𝑥

_𝑖

, 𝑦

_𝑗

= 𝑝(𝑥

_𝑖

)𝑞(𝑦

_𝑗

) para quaisquer 𝑖 e 𝑗.

Portanto,

Variáveis Aleatórias Independentes

Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua

bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias

independentes se, e somente se:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦,

onde

𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e ℎ são as fdp marginais

de X e Y, respectivamente.

Variável Aleatória Discreta

Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com

distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋 a transformação um a um entre os valores de X e Y, então a equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 .

Então a distribuição de probabilidade de Y é

Variável Aleatória Discreta

Teorema 2: Supondo que 𝑋₁ e 𝑋₂ são variáveis aleatórias

discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ , definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥₁, 𝑥₂ e

𝑦₁, 𝑦₂ , então as equações

𝑦

₁

= 𝑢

₁

𝑥

₁

, 𝑥

₂

e 𝑦

₂

= 𝑢

₂

𝑥

₁

, 𝑥

₂

,

podem ser unicamente solucionadas para 𝑥₁ e 𝑥₂ em função de 𝑦₁ e 𝑦₂.

Variável Aleatória Discreta

Onde:

𝑥

₁

= 𝑤

₁

(𝑦

₁

, 𝑦

₂

) e 𝑥

₂

= 𝑤

₂

(𝑦

₁

, 𝑦

₂

)

Portanto a distribuição de probabilidade conjunta

𝑌

₁

e

𝑌

₂

é:

Variável Aleatória Discreta – Função de

Probabilidade

Se X for discreta, com valores {𝑋₁, 𝑋₂, … }, então a distribuição de probabilidade de

X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada

valor possível 𝑋_𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋_𝑖).

Ou seja 𝒑 𝒙_𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙_𝒊) Satisfazendo: 𝑝 𝑥_𝑖 ≥ 0 𝑖 . 𝑝 𝑥_𝑖 = 1

Variável Aleatória Discreta – Função

de Probabilidade

Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de um dado comum.

Variável Aleatória Discreta – Função

de Distribuição Acumulada

Por definição:

𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 , ∀𝒙 ∊ ℜ

Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙.

Variável Aleatória Discreta – Função

de Distribuição Acumulada

X = número obtido no lançamento de um dado comum.

𝐹 𝑥 0 𝑠𝑒 𝑥 < 1 1 6 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2 2 6 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3 3 6 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4 4 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5 5 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Valor esperado: μ = 𝑬 𝑿 = 𝒋=𝟏 𝒌 𝒙_𝒋𝒑_𝒋 Variância: σ𝟐 _{= 𝑽 𝑿 =} 𝒋=𝟏 𝒌 (𝒙_𝒋 − μ)𝟐𝒑_𝒋 Ou 𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Propriedades:

a) 𝐸 𝑐 = 𝑐 b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐 c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋) d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌 e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌) f) V 𝑐 = 0 g) V 𝑋 + 𝑐 = 𝑉 𝑋 h) V 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋) i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋)

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

A

distribuição

de

Bernoulli

tem

somente

2

resultados possíveis: sucesso e fracasso.

Onde:

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

Função da probabilidade p(x)

X

𝑝 𝑥

0

1

1 − 𝑝

𝑝

total

1

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

Função acumulada F(x)

𝑭 𝑿 =

𝟎

𝟏 − 𝒑

𝟏

𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎

𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

Esperança E(X)

𝑬 𝑿 = 𝒑

Variância V(X)

𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

Exemplos.

Lançamento de uma moeda:

 Caso obtenha-se uma cara: sucesso

 Caso obtenha-se uma coroa: fracasso

A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B):

 Se segue o caminho A: sucesso

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma

bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X).

Solução

X = {1 → p = 20 ₅₀ = 2 ₅

E X = p = 𝟐 _{𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬}

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos, cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p.

Onde:

n é o número de ensaios independentes;

Modelos de Distribuição Discreta

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Função da probabilidade p(x)

𝒑 𝒙 =

𝒏

𝒙

∙ 𝒑

𝒙

∙ (𝟏 − 𝒑)

𝒏−𝒙

x = 0,1, 2, … , n

Onde:

𝑛

𝑥

=

𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Função acumulada F(x)

𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙

_𝒊

=

𝒊=𝟏 𝒏_𝒊

𝒇(𝒙

_𝒊

)

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Esperança E(x)

𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑)

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Exemplos.



Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de

caras;



Verificar o número de bits que não estão afetados por

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um

colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas apresentem um resultado positivo?

Dados: P E = 0,1 𝑃(𝑇+|𝐸) = 0,8 𝑃(𝑇−|𝐸) = 0,75

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Solução:

Pelo Teorema da Probabilidade Total

𝑃(𝑇+) = 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305

seja 𝑋₁ a v.a que contabiliza o número de resultados positivos , e chamando 𝑝₁ = 𝑃(𝑇+), então X segue uma distribuição binomial.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Portanto

𝑋

₁

𝑛

₁

= 10, 𝑝

₁

= 0,305 ↔ 𝑃 𝑋

₁

= 𝑥 =

𝑛

_𝑥

1

𝑝

₁𝑥

(1 − 𝑝)

𝑛1−𝑥

Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4 pessoas é de:

𝑃(𝑋

₁

= 4) =

10

4

0,305

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se

recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas contraíram essa doença, calcule:

a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam. b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam.

c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam. d) A esperança.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão

a)

P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 + ⋯ + P X = 15

Onde:

𝑝 𝑥 =

𝑛

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Portanto P x = 10 → 15₁₀ ∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245 P x = 11 → 15 11 ∙ 0,4 11 _{∙ (0,6)}4 _{= 7,42X10}−3 P x = 12 → 15₁₂ ∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10−3 P x = 13 → 15₁₃ ∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10−3 P x = 14 → 15₁₄ ∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10−5 P x = 15 → 15₁₅ ∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10−6

𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏%

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão

b)

𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) →

P X = 8 + P X = 7 + ⋯ + P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 +P X = 0 − [P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 ]

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Portanto

𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = P X = 8 + P X = 7 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 4 Onde: P x = 8 → 15 8 ∙ 0,4 8 _{∙ (0,6)}7 _{= 0,12 P x = 7 →} 15 7 ∙ 0,4 7 _{∙ (0,6)}8 _{= 0,18} P x = 6 → 15 6 ∙ 0,4 6 _{∙ (0,6)}9 _{= 0,21 P x = 5 →} 15 5 ∙ 0,4 5 _{∙ (0,6)}10 _{= 0,19} P x = 4 → 15 4 ∙ 0,4 4 _{∙ (0,6)}11 _{= 0,13} 𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑%

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão

c)

p x = P X = 5 →

15

5

0,4

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Binomial

d)

𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas

e)

𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬

𝟐

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia na amostragem feita sem reposição.

O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é chamado de variável aleatória hipergeométrica.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são denotados por (x, N, n, r).

Onde:

N: O número de itens na população.

r: O número de itens na população que são classificados como sucessos. n: O número de itens na amostra.

Modelos de Distribuição Discreta

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Função da probabilidade p(x)

𝒑 𝒙 =

𝒓

𝒙

∙

𝑵 − 𝒓

𝒏 − 𝒙

𝑵

𝒏

[𝑥 = 0,1, … , min 𝑟, 𝑛 ]

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Função acumulada F(x)

𝑭 𝒙 =

𝒊=𝟎 𝒙

𝒓

𝒙

𝑵 − 𝒓

𝒏 − 𝒙

𝑵

𝒏

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica Esperança E(x) 𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 Variância V(X) 𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙ 𝑵 − 𝒏 𝑵 − 𝟏 Onde: 𝒑 = 𝒓 𝑵

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes

de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote:

a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total?

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra.

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0),

então:

a)

p X = p 0 →

3 0 ∙ 30−3 5−0 30 5

=

80,730 142,506

= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓

Logo,

P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓%

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

b)

E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬 V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙ N−n N−1 → 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬 𝟐

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto?

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição Hipergeométrica

Solução:

N = 20; r = 5; n = 3; x = 2

p X =

5

2

∙

20 − 5

3 − 2

20

3

=

150

1140

= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏%

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Propriedades

1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo ou em uma região específica é independente do número de resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Propriedades

2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é

proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho da região, e não depende do número de resultados que ocorrem

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Propriedades

3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é desprezível.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é empregada quando se está interessado no número de sucessos ocorridos durante um

intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos:

 Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia;

 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano;

 Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:

1.

X = 0, 1, 2, … (não tem limites)

2.

P X = x =

e−

λλ

x

x!

, x = 0, 1, 2, … n.

3.

E X = μ

_{= λ}

4.

V X = σ

2

= λ

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson – Uma justificativa

X= número de ocorrência em [t, t+1]

n = intervalos de amplitude 1/n

p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo

𝑷 𝑿 = 𝒙 ≈ 𝒏

𝒙 ∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙

𝒏 → ∞ 𝒑 → 𝟎 𝒏 𝒑 → λ >0

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Função da probabilidade p(x)

𝒑 𝒙 =

𝒆

−

λ λ

𝒙

𝒙!

𝑥 = 0, 1, 2 …

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Função acumulada F(x)

𝑭 𝒙 =

𝒊=𝟎 𝒙

λ

𝒊

𝒆λ

𝒊!

para x = 0,1,2 …

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Esperança E(x)

𝑬 X = λ

Variância V(X)

𝑽 X = λ

Onde:

𝑬 X = 𝑽 X = λ

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em

um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias, com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3 consultas.

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Solução:

Seja X o número de consultas por minuto.

p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) →

𝑒

−3

3

0

0!

+

𝑒

−3

3

1

1!

+

𝑒

−3

3

2

2!

= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐%

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Exemplo 9. (BARBETTA, pg. 136) Mensagens chegam a um

servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa média de cinco chegadas por minuto.

a) Qual é a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um minuto?

b) Qual é a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos?

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Poisson

Solução

a)

𝑝 𝑥 =

𝑒−5 52 2!

= 𝟎, 𝟎𝟖𝟒 ≡ 𝟖, 𝟒%

b)

𝑝 𝑥

𝑒

−2,5

_2,5

1

1!

= 𝟎, 𝟐𝟎𝟓𝟐 ≡ 𝟐𝟎, 𝟓𝟐%

Referências

BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de

Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.

COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em:

<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/0 7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.

DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007. MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro – RJ, 2012.

WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e