Álgebras train

Texto

(1)´ Algebras train. Bruno Leonardo Macedo Ferreira. ˜ o apresentada Dissertac ¸a ao ´ tica e Estat´ıstica Instituto de Matema da ˜ o Paulo Universidade de Sa para ˜ o do t´ıtulo obtenc ¸a de ˆncias Mestre em Cie. Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Henrique Guzzo Júnior. São Paulo, outubro de 2010.

(2) ii.

(3) ´ Algebras train. Esta versão definitiva da disserta¸caõ contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Bruno Leonardo Macedo Ferreira em 10/12/2010.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Henrique Guzzo J´ unior (orientador) - IME-USP. • Prof. Dr. Luiz Antonio Peresi - IME-USP. • Prof. Dr. João Carlos da Motta Ferreira - UFABC..

(4) iv.

(5) Resumo Estudamos a estrutura de álgebras de potências associativas que são álgebras train. Primeiramente, mostramos a existência de idempotentes, que são todos principais e absolutamente primitivos. Em seguida, vemos as equa¸cões train envolvendo a decomposi¸caõ de Peirce. Quando a álgebra é de dimensão finita, resulta que a dimensão das componentes de Peirce são invariantes e o limite superior para seus nil´ındices são estudados para alguns idempotentes. Além disso, mostramos que as álgebras localmente train são álgebras train. Damos então uma descri¸caõ completa para o conjunto dos ´ voltada uma aten¸cão para o caso de idempotentes para obter suas fórmulas expl´ıcitas. E álgebras de Jordan, onde discutimos condi¸co˜es para que álgebras train de potências associativas sejam álgebras de Jordan. Também mostramos que álgebras train de Jordan são de dimensão finita. Para álgebras de Bernstein de ordem n e per´ıodo p, provamos que para termos associatividade nas potências necessitamos p = 1. Neste caso, existem 2n−1 possibilidades de equa¸co˜es train, que são explicitamente descritas.. v.

(6) vi.

(7) Abstract We study the structure of power associative algebras which are train algebras. First we show the existence of idempotents, which are all principal and absolutely primitive. Then consider the train equations involving the Peirce decomposition. When the algebra is finite dimensional, it follows that the size of the Pierce components are invariant and the upper limit for its nil-indexes are studied for some idempotent. Furthermore, we show that locally train algebras are train algebras. Then we get a complete description for the set of idempotents to obtain their explicit formulas. We give attention to the case of Jordan algebras, where we discuss conditions for train power associative algebras be Jordan algebras. We also show that Jordan train algebras are finite dimensional. For Bernstein algebras of order n and period p, we prove that to have associativity in the powers we need p = 1. In this case, there are 2n−1 possibilities of train equations, which are explicitly described.. vii.

(8) viii.

(9) Sum´ ario Introdu¸c˜ ao. xi. 1 Preliminares 1.1. 1. 1.4. Resultados básicos . . . . . . . . ´ Algebras báricas . . . . . . . . . . ´ Algebras train . . . . . . . . . . . ´ Algebras de potências associativas. 1.5. A álgebra A(+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.6. 15. 1.7. Identidades envolvendo Lx e Rx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Algebra alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.8. Idempotente em álgebra de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.9. Idempotente em álgebras comutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. ´ 2 Algebras train ´ 2.1 Algebras associativas nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Algebras báricas associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.3 Algebras train de potências associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 1.2 1.3. 2.4 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Representa¸caõ (s, t) de uma álgebra train de potências associativas . . ´ Algebra bárica localmente train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Conjunto de idempotentes em uma ´ algebra train. 30 33 34 39 41 43. 3.1. Parte A: Cálculo de idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.2. Processo de unitiza¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.3. Parte B: Caracteriza¸cão do conjunto dos idempotentes . . . . . . . . .. 50. ix.

(10) ´ 4 Algebras train de Jordan. 56. ´ 5 Algebras train e de Bernstein de ordem arbitr´ aria ´ 5.1 Algebras de Bernstein de ordem n e per´ıodo p . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.2. Decomposi¸caõ de Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 62 62 72. x.

(11) Introdu¸c˜ ao. O estudo de álgebras de potências associativas assume um importante lugar na teoria das álgebras quase associativas, incluindo as álgebras de Jordan cuja origem vem da formula¸caõ algébrica da mecânica quântica. Outro grupo de álgebras não associativas consiste das álgebras train, que foram introduzidas por Etherington [7]. As álgebras train tem sido estudadas de diversos pontos de vista, particulamente para aquelas de posto pequeno. Contudo, devido sua complexidade, pouco sabe-se sobre as álgebras train de posto arbitrário. Em [28], Schafer descobriu a presen¸ca de algumas álgebras de Jordan entre as álgebras train. Motivados por estes resultados, Ouattara subsequentemente apresentou um estudo sobre as álgebras train de Jordan em um contexto mais geral [23]. Depois Guzzo e Vicente [12] criaram os coeficientes das equa¸cões train de uma álgebra de potências associativas. Mallol e Varro [19] usaram a decomposi¸cão de Peirce para analizar a equa¸cão train de uma álgebra train que é de potências associativas ou alternativa. A existência de idempotentes em álgebras de potências associativas, tão bem quanto em álgebras train, é muito importante, já que os idempotentes produzem as decomposi¸co˜es de Peirce delas [1, 10, 13, 29]. A principal meta da presente disserta¸cão é desenvolver uma estrutura teórica para as álgebras de potências associativas que são álgebras train. Esta disserta¸caõ está organizada como segue. O primeiro cap´ıtulo são as preliminares, onde resumimos nota¸co˜es, terminologia e propriedades clássicas, das álgebras train e álgebras de potências associativas. xi.

(12) No cap´ıtulo 2, provamos a existência de idempotentes, que são principais e absolutamente primitivos. Em particular, para as álgebras de dimensão finita, estabelecemos o limite superior para os nil´ındices das componentes de Peirce, que são independentes dos idempotentes. Mostramos também que toda álgebra localmente train é uma álgebra train. No cap´ıtulo 3, estudamos dois métodos diferentes na a¸caõ do conjunto dos idempotentes, fornecendo suas expressões espec´ıficas. No cap´ıtulo 4, damos uma aten¸caõ para o caso de álgebras de Jordan dando condi¸cões para as álgebras train de potências associativas serem álgebras de Jordan e também que as álgebras train de Jordan finitamente geradas são de dimensão finita. No cap´ıtulo 5, dedicamos ao estudo de álgebras de Bernstein de ordem n, onde estabelecemos que alguma álgebra de Bernstein de potências associativas de ordem n e per´ıodo p é necessariamente uma álgebra de Bernstein de ordem n. Além disso, 2n−1 possibilidades de equa¸cões train são criadas para álgebras de Bernstein de ordem n que são de potências associativas.. xii.

(13) Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Resultados b´ asicos. Neste cap´ıtulo resumiremos nota¸co˜es, terminologia e propriedades clássicas das álgebras train e das álgebras de potências associativas. Ao longo desse trabalho, a menos que mencionado o contr´ ario, A será uma álgebra comutativa de dimensão arbitrária sobre um corpo F infinito de caracter´ıstica diferente de 2 , 3 e 5 mesmo que alguns resultados funcionem apenas com a caracter´ıstica diferente de 2. Defini¸c˜ ao 1.1. Uma ´ algebra A é um espa¸co vetorial sobre um corpo F , onde está definida uma opera¸cão de multiplica¸ c˜ ao que associa todo par de elementos x, y ∈ A ao produto xy ∈ A, que verifica as seguintes propriedades: α (xy) = (αx) y = x (αy) ; x (y + z) = xy + xz; (y + z) x = yx + zx; quaisquer que sejam os elementos x, y, z ∈ A e α ∈ F . Defini¸c˜ ao 1.2. Uma sub´ algebra S da álgebra A é um subespa¸co vetorial de A tal que ax ∈ S, para quaisquer a, x ∈ S. Seja S um subespa¸co vetorial de A. Se ax ∈ S, para quaisquer a ∈ A e x ∈ S, então S é chamado ideal ` a esquerda de A. Se xa ∈ S, para quaisquer a ∈ A e x ∈ S, então S é chamado ideal ` a direita de A. Quando S é ideal à esquerda e à direita de A, dizemos que S é ideal de A. 1.

(14) ´ 1.2 Algebras báricas. 2. Defini¸c˜ ao 1.3. Uma álgebra A é denominada uma ´ algebra comutativa se xy = yx, para quaisquer x, y ∈ A e associativa se (xy) z = x (yz), para quaisquer x, y, z ∈ A.. ´ Algebras b´ aricas. 1.2. Defini¸c˜ ao 1.4. Seja F um corpo. Se A é uma álgebra sobre F e ω : A −→ F um homomorfismo não nulo de álgebras, o par ordenado (A, ω) ser´ a chamado de uma ´ algebra b´ arica ou uma b-´ algebra sobre F e ω de sua fun¸c˜ ao peso. Denotamos por H o hiperplano H = {x ∈ A | ω(x) = 1}, notemos que H 6= ∅, pois existe x0 ∈ A, tal que ω(x0 ) 6= 0, logo y0 = ω(x0 )−1 x0 ∈ H. Observa¸ c˜ ao 1.1. Sejam (A, ω) uma b-álgebra e a ∈ A um elemento de peso não ω(x) nulo. Então A = F a ⊕ ker(ω). De fato, para todo x ∈ A, temos que x = a+ ω(a) ¶ µ ¶ µ ω(x) ω(x) ω(x) ω(x) a . Como ω x − a = ω(x) − ω(a) = 0, temos que x − a∈ x− ω(a) ω(a) ω(a) ω(a) ker(ω). Além disso, se x ∈ F a ∩ ker(ω), então x = αa, para algum α ∈ F e ω(x) = 0. Logo, 0 = ω(αa) = αω(a). Assim, α = 0, pois ω(a) 6= 0. Logo, F a ∩ ker(ω) = {0}. Defini¸c˜ ao 1.5. Sejam A uma álgebra, B um subconjunto não vazio de A e x ∈ A. Definimos: (i) Potˆ encia principal ` a esquerda e ` a direita de x, respectivamente: 1. x=x. x1 = x. n+1. x = x(n x), para todo n ≥ 1;. xn+1 = (xn )x, para todo n ≥ 1.. (ii) Potˆ encia plena de x: x[1] = x. x[n] = x[n−1] x[n−1] , para todo n > 1.. (iii) Potˆ encia principal ` a esquerda e ` a direita de B, respectivamente: 1. B=B. B1 = B. n+1. B = B(n B), para todo n ≥ 1;. B n+1 = (B n )B, para todo n ≥ 1.. (iv) Potˆ encia plena de B: B [1] = B. B [n] = B [n−1] B [n−1] , para todo n > 1..

(15) ´ 1.3 Algebras train. 3. (v) Potˆ encia produto de B: B (1) = B. B (n) = B (n−1) B + B (n−2) B (2) + · · · + BB (n−1) , para todo n > 1.. Defini¸c˜ ao 1.6. Seja (A, ω) uma b-álgebra. Se e ∈ A, é tal que e2 = e e w(e) = 1 então e é chamado de idempotente de A de peso 1. Observemos que se e2 = e, 2 e = e ou e[2] = e2 = e, então en = e, n e = e ou e[n] = e, respectivamente, para qualquer n ≥ 1. Além disso, w(e) = 0 ou w(e) = 1. Proposi¸c˜ ao 1.1. Seja (A, ω) uma álgebra bárica, tal que para cada x ∈ ker(ω), existe n ∈ N, onde xn = 0 ou n x = 0 ou x[n] = 0. Então a fun¸c˜ ao peso é u ńica. Demonstra¸c˜ ao: Seja (A, ω) uma álgebra bárica e suponhamos que ω 0 seja outra fun¸caõ peso de A. Considere x ∈ ker(ω), tal que xn = 0. Logo ω 0 (x) = 0 e portanto x ∈ ker(ω 0 ), segue que ker(ω) ⊂ ker(ω 0 ). Agora tome x0 ∈ A, tal que ω 0 (x0 ) = 1. Como ker(ω) ⊂ ker(ω 0 ), segue que, x0 ∈ / ker(ω). Logo ω(x0 ) 6= 0. Então A = F x0 + ker(ω). Como x20 ∈ A, então x20 = αx0 + y, onde α ∈ F e y ∈ ker(ω). Aplicando ω 0 em x20 , obtemos ω 0 (x20 ) = αω 0 (x0 ), portanto α = 1. Da´ı x20 = x0 + y, aplicando ω, temos ω(x0 )2 = ω(x0 ), o que implica ω(x0 )(ω(x0 ) − 1) = 0, como ω(x0 ) 6= 0, então ω(x0 ) = 1. Portanto, para todo x ∈ A, temos que x = αx0 + y, onde α ∈ F e y ∈ ker(ω), o que implica ω 0 (x) = α = ω(x).. 1.3. ¤. ´ Algebras train. Neste parágrafo A será uma F −álgebra de dimensão finita. Defini¸c˜ ao 1.7. Sejam A uma álgebra, F um corpo e x ∈ A. Definimos (i) O operador multiplicativo ` a direita de A, determinado por x Rx :. A −→. A. a 7−→ ax (ii) O operador multiplicativo ` a esquerda de A, determinado por x Lx :. A −→. A. a 7−→ xa.

(16) ´ 1.3 Algebras train. 4. Defini¸c˜ ao 1.8. A álgebra bárica comutativa (A, ω) é chamada álgebra train se para cada x ∈ A, o polinˆ omio caracter´ıstico do operador linear Lx sobre A depende somente da fun¸c˜ ao peso, isto é, existe γ1 , ..., γk em F (não depende de x) tal que PLx (X) = X k + γ1 ω(x)X k−1 + ... + γk ω(x)k. (1.1). onde Lx é o operador multiplicativo a esquerda e PLx é o polinˆ omio caracter´ıstico de Lx . Proposi¸c˜ ao 1.2. Uma álgebra bárica (A, ω) é uma álgebra train se, e somente se, existe um polinˆ omio p(X) tal que para todo x ∈ A com ω(x) = 1, temos que p(Lx ) ≡ 0. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos que A seja uma álgebra train. Então o polinômio caracter´ıstico de Lx é o mesmo para todo x ∈ H e consequentemente pelo Teorema de Cayley-Hamilton segue o resultado. Agora, suponha que existe um polinômio não nulo p(X) em F [X] tal que p(Lx ) ≡ 0, para todo x ∈ H. Sejam e ∈ H e {u1 , · · · , un−1 } base do ker(ω). Então, cada x ∈ H é dado por x = e + λ1 u1 + · · · + λn−1 un−1 com λ1 , · · · , λn−1 ∈ F . O polinômio caracter´ıstico de Lx tem a seguinte forma pLx (X) = X n − f1 (λ1 , · · · , λn−1 )X n−1 + · · · + (−1)n fn (λ1 , · · · , λn−1 ), onde fi (λ1 , · · · , λn−1 ) são polinômios de grau igual a i ou a zero. A condi¸caõ p(Lx ) ≡ 0 implica que o conjunto dos autovalores de Lx está contido entre as ra´ızes de p(X). Como existe somente um n´ umero finito de polinômios de grau n cujas ra´ızes são os autovalores de Lx , temos que Im(fi ) é finito. Logo, como um polinômio sobre um corpo infinito é constante ou sua imagem é infinita, segue que os polinômios fi são constantes. ¤ Proposi¸c˜ ao 1.3. Seja (A, ω) uma álgebra bárica, γ1 , · · · , γn−1 ∈ F e P (X) = X n + γ1 ω(x)X n−1 + · · · + γn−1 ω(x)n−1 X. Se P (x) = 0, para todo x ∈ H, então P (x) = 0 para todo x ∈ A. Demonstra¸c˜ ao: Ver em [18]. ¤. Observa¸ c˜ ao 1.2. Seja (A, ω) uma álgebra train e considere m(X) = X n−1 + γ1 X n−2 + · · · + γn−2 X + γn−1 o polinˆ omio de menor grau tal que m(Lx ) ≡ 0, para todo x ∈ H..

(17) ´ 1.3 Algebras train. 5. Temos que para todo x ∈ H, m(Lx )(x) = 0 o que implica em xn + γ1 xn−1 + · · · + γn−1 x = 0.. (1.2). Assim, se x ∈ A, com w(x) 6= 0, então para w(x)−1 x temos xn + γ1 ω(x)xn−1 + · · · + γn−1 ω(x)n−1 x = 0.. (1.3). Como (1.3) vale para todo x ∈ H, então pela Proposi¸c˜ ao 1.3 temos que (1.3) vale para todo x ∈ A. Defini¸c˜ ao 1.9. A equa¸c˜ ao (1.3) ser´ a chamada a equa¸ c˜ ao train de A, onde n ≥ 2 é o posto de A, que é o menor inteiro para que tal equa¸c˜ ao seja verdadeira. Observa¸ c˜ ao 1.3. Seja (A, ω) uma álgebra train com equa¸c˜ ao train (1.3). Então, 1 + γ1 + · · · + γn−1 = 0 e y n = 0, para todo y ∈ ker(ω). De fato, notemos que aplicando ω em (1.3) e usando que ω é um homomorfismo, obtemos que ω(xn + γ1 ω(x)xn−1 + · · · + γn−1 ω(x)n−1 x) = 0; ω(xn ) + γ1 ω(x)ω(xn−1 ) + · · · + γn−1 (ω(x))n−1 ω(x) = 0; ω(xn ) + γ1 ω(xn ) + γn−1 ω(xn ) = 0; (ω(x))n (1 + γ1 + · · · + γn−1 ) = 0, para todo x ∈ A. Para x ∈ H, concluimos que 1 + γ1 + · · · + γn−1 = 0. Por outro lado, se y ∈ ker(ω), então de (1.3), claramente y n = 0. Observa¸ c˜ ao 1.4. Se (A, ω) é uma álgebra train, então para todo x ∈ ker(ω), xn = 0 e segue da Proposi¸cão 1.1 que a fun¸c˜ ao peso ω é u ńica. Defini¸c˜ ao 1.10. Seja (A, ω) uma álgebra train com equa¸c˜ ao train (1.3), então o polinˆ omio p (X) = X n + γ1 X n−1 + · · · + γn−1 X. (1.4).

(18) ´ 1.3 Algebras train. 6. é chamado o polinˆ omio train de A. Para todo x ∈ H temos que p(x) = 0, notemos que 0 e 1 são ra´ızes de p(X). Em uma extensão apropriada de F, (1.4) é decomposto em fatores lineares p(X) = X(X − 1)(X − λ1 ) · · · (X − λn−2 ),. (1.5). onde λ0 = 1, λ1 , · · · , λn−2 são chamadas as ra´ızes principais train de A. De (1.5), conclu´ımos que, (Lx − ω(x)IA )(Lx − λ1 ω(x)IA ) · · · (Lx − λn−2 ω(x)IA )(x) = xn + γ1 ω(x)xn−1 + · · · + γn−1 ω(x)n−1 x = 0 para todo x ∈ A, onde Lx é o operador multiplicativo à esquerda de A determinado por x e IA é a transforma¸caõ identidade. Proposi¸c˜ ao 1.4. Sejam (A, ω) uma álgebra train de posto n com equa¸c˜ ao train (1.3). Então I = {q(X) ∈ F [X] | q(0) = 0 e q(a) = 0 ∀a ∈ H} é um ideal de F [X] gerado pelo polinˆ omio train de A. ´ fácil ver que I é um ideal de F [X]. Como F [X] é um dom´ınio de Demonstra¸c˜ ao: E ideais principais, temos que I = hq(X)i. Como A é uma álgebra train, temos xn + γ1 ω(x)xn−1 + · · · + γn−1 ω(x)n−1 x = 0, ∀x ∈ A. Em particular, an + γ1 an−1 + · · · + γn−1 a = 0, ∀a ∈ H. Então p(a) = 0 para todo a ∈ H, onde p(X) = X n + γ1 X n−1 + ... + γn−1 X. Da´ı p(X) ∈ I. Agora p(X) é o polinômio mônico de menor grau que está em I, logo I = hp(X)i.. ¤. ´ importante notar que todo e ∈ A tal que e2 = e e e 6= 0, em uma Observa¸ c˜ ao 1.5. E álgebra train A, tem peso 1. De fato, seja e ∈ A um idempotente. Então, como e = e2 ,.

(19) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 7. temos que ω(e) = ω(e2 ) = ω(e)ω(e), ou seja, ω(e)(ω(e) − 1) = 0 e portanto ω(e) = 0 ou ω(e) = 1. Por outro lado, en + γ1 ω(e)en−1 + · · · + γn−1 ω(e)n−1 e = 0; e + γ1 ω(e)e + · · · + γn−1 ω(e)n−1 e = 0; Se ω(e) = 0, então e = 0, que é uma contradi¸c˜ ao. Denotaremos por hx1 , x2 , · · · , xn i ao subespa¸co vetorial de A gerado por {x1 , x2 , · · · , xn }. Defini¸c˜ ao 1.11. Dados x, y ∈ A, define-se o comutador de x com y pela fórmula [x, y] = xy − yx. Observemos que o comutador é bilinear e anti-simétrico, isto é, dados x, y, z ∈ A, tem-se, respectivamente, que [x, y + z] = [x, y] + [x, z] e [x, y] = −[y, x]. Defini¸c˜ ao 1.12. Dados x, y, z ∈ A, define-se o associador de x, y e z por (x, y, z) = (xy)z − x(yz).. 1.4. ´ Algebras de potˆ encias associativas. Defini¸c˜ ao 1.13. Uma álgebra A é uma ´ algebra de potˆ encias associativas se para todo x ∈ A a subálgebra A(x) gerada por x é associativa. De modo equivalente, podemos afirmar que uma álgebra A é de potências associativas se, e somente se, xi xj = xi+j , para quaisquer x ∈ A e i, j ≥ 1 Defini¸c˜ ao 1.14. Dizemos que um elemento x ∈ A é nilpotente se existe um inteiro r tal que xr = 0. O menor inteiro positivo r para o qual xr = 0 é denominado nil´ındice ou ´ındice de nilpotˆ encia de x. Defini¸c˜ ao 1.15. Diz-se que A é uma nil´ algebra se todos os elementos de A s˜ ao nilpotentes. O nil´ındice da álgebra A é definido como sendo o menor inteiro positivo n tal que an = 0, para todo a ∈ A, caso exista..

(20) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 8. Defini¸c˜ ao 1.16. Se todos os elementos de um ideal B da álgebra A forem nilpotentes, então B é denominado um nilideal. Nosso objetivo agora é provar que A é uma F −álgebra de potências associativas se, e somente se, x2 x2 = x4 para todo x ∈ A, onde a caracter´ıstica de F é diferente de 2, 3 e 5 e A é uma F -álgebra comutativa. Primeiramente provaremos alguns resultados. Proposi¸c˜ ao 1.5. Seja A uma álgebra sobre um corpo F , cuja caracter´ıstica é diferente de 2. Se xx2 = x2 x, para todo x ∈ A, então para quaisquer x, y, z ∈ A, tem-se que [xy + yx, z] + [yz + zy, x] + [zx + xz, y] = 0.. (1.6). Demonstra¸c˜ ao: Por hipótese, temos que [x2 , x] = 0. Em particular, substituindo x por x + λy, onde λ ∈ F , temos 0 = [x2 , x] = [(x + λy)2 , x + λy] = [x2 + λxy + λyx + λ2 y 2 , x + λy] = [x2 , x] + λ([x2 , y] + [xy + yx, x]) + λ2 ([y 2 , x] + [yx + xy, y]) + λ3 [y 2 , y] = λT (x, y) + λ2 U (x, y), em que, T (x, y) = [x2 , y] + [xy + yx, x] e U (x, y) = [y 2 , x] + [yx + xy, y]. Tomando λ = 1, obtemos T (x, y) + U (x, y) = 0 e λ = −1, fornece −T (x, y) + U (x, y) = 0. Então 2T (x, y) = 0, ou seja, T (x, y) = 0. O próximo passo é substituir x por x + µz, onde µ ∈ F e z ∈ A, em T (x, y) = 0. 0 = T (x + µz, y) = [(x + µz)2 , y] + [(x + µz)y + y(x + µz), x + µz] = [x2 + µxz + µzx + µ2 z 2 , y] + [xy + µzy + yx + µyz, x + µz] = [x2 , y] + [xy + yx, x] + µ([xz + zx, y] + [zy + yz, x] + [xy + yx, z]) +µ2 ([z 2 , y] + [zy + yz, z]) = T (x, y) + µW (x, y, z) + µ2 T (z, y), em que W (x, y, z) = [xz + zx, y] + [zy + yz, x] + [xy + yx, z]. Como T = 0, obtemos a igualdade fazendo µ = 1.. ¤.

(21) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 9. Notemos que se a caracter´ıstica de F for diferente de 2 e de 3, então fazendo x = y = z em (1.6), temos 3[2x2 , x] = 0. Logo, 6[x2 , x] = 0. Assim x2 x = xx2 . Proposi¸c˜ ao 1.6. Seja A uma álgebra sobre um corpo F , cuja caracter´ıstica é diferente de 2. Se xi xj = xi+j para todo x ∈ A para todos os inteiros positivos i e j tais que i + j < n e n ≥ 4, então n[xn−1 , x] = 0,. [xn−α , xα ] = α[xn−1 , x],. α = 1, 2, · · · , n − 1.. (1.7). Demonstra¸c˜ ao: Sejam α e β inteiros positivos com α + β < n. Substituindo x, y e z por xα , xβ e xn−(α+β) , respectivamente, na identidade (1.6), temos que [xα xβ + xβ xα , xn−(α+β) ] + [xβ xn−(α+β) +xn−(α+β) xβ , xα ]+[xn−(α+β) xα +xα xn−(α+β) , xβ ] = 0. Logo [xα+β , xn−(α+β) ]+ [xn−α , xα ] + [xn−β , xβ ] = 0, então [xn−(α+β) , xα+β ] = [xn−α , xα ] + [xn−β , xβ ]. Usaremos esta u ´ltima igualdade para provar a proposi¸cão. Fazendo α = 1, 2, · · · , n − 1 e β = 1, temos, respectivamente [xn−2 , x2 ] = [xn−1 , x] + [xn−1 , x], [xn−3 , x3 ] = [xn−2 , x2 ] + [xn−1 , x], ································· [xn−(k−1) , xk−1 ] = [xn−(k−2) , xk−2 ] + [xn−1 , x], [xn−k , xk ] = [xn−(k−1) , xk−1 ] + [xn−1 , x]. Somando membro a membro as igualdades acima, obtemos [xn−k , xk ] = k[xn−1 , x]. Para k = n − 1, segue da identidade anterior que n[xn−1 , x] = 0. ¤ Corol´ ario 1.7. Com as mesmas hipóteses da Proposi¸c˜ ao 1.6. Se carF = p > 0 e p não divide n, então [xn−α , xα ] = 0..

(22) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 10. Proposi¸c˜ ao 1.8. Seja A uma álgebra sobre um corpo F , cuja a caracter´ıstica é diferente de 2. Se x2 x2 = (x2 x)x, para todo x ∈ A, então (xy + yx)(zw + wz) + (xz + zx)(yw + wy) + (xw + wx)(zy + yz) +(zy + yz)(xw + wx) + (yw + wy)(xz + zx) + (zw + wz)(xy + yx) = [(zw + wz)y + (wy + yw)z + (yz + zy)w]x + [(zw + wz)x + (wx + xw)z +(xz + xz)w]y + [(xw + wx)y + (wy + yw)x + (yx + xy)w]z +[(zx + xz)y + (xy + yx)z + (yz + zy)x]ω.. (1.8). Demonstra¸c˜ ao: Substituindo x por x + λy na hipótese, para x, y ∈ A e λ ∈ F , tem-se que (x + λy)2 (x + λy)2 − [(x + λy)2 (x + λy)](x + λy) = 0. Efetuando os cálculos, chegamos à K + λL + λ2 M + λ3 N + λ4 P = 0, onde K = K(x) = x2 x2 − x3 x = 0, P. = K(y) = y 2 y 2 − y 3 y = 0,. L. = L(x, y) = x2 (xy) + x2 (yx) + (xy)x2 + (yx)x2 −x3 y − ((xy)x)x − ((yx)x)x − (x2 y)x,. M = M (x, y) = x2 y 2 + (xy)2 + (xy)(yx) + (yx)(xy) + (yx)2 + y 2 x2 − ((xy)y)x −((yx)x)y − (y 2 x)x − (x2 y)y − ((xy)x)y − ((yx)y)x, N. = L(y, x) = y 2 (yx) + y 2 (xy) + (yx)y 2 + (xy)y 2 − y 3 x − ((yx)y)y − ((xy)y)y −(y 2 x)y.. Segue que λL + λ2 M + λ3 N = 0. Quando λ = 1, temos que L + M + N = 0 e quando λ = −1, temos que −L + M − N = 0. Logo, M (x, y) = 0 e substituindo x por x + µz, onde µ ∈ F e z ∈ A obtemos M (x + µz, y). =. (x + µz)2 y 2 + [(x + µz)y]2 + [(x + µz)y][y(x + µz)] + [y(x + µz)][(x + µz)y] + [y(x + µz)]2 + y 2 (x + µz)2 − [y 2 (x + µz)](x + µz) − [((x + µz)y)y](x + µz) − [(y(x + µz))y](x + µz) − [((x + µz)y)(x + µz)]y − [(y(x + µz))(x + µz)]y − [(x + µz)2 y]y..

(23) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 11. Isto fornece a equa¸caõ M (x + µz, y) = M (x, y) + µQ(x, y, z) + µ2 M (z, y), onde Q(x, y, z) = y 2 (xz + zx) + (xz + zx)y 2 + (xy + yx)(zy + yz) + (zy + yz)(xy + yx) − (y 2 x)z − z(y 2 x) − [(xy + yx)y]z − [(zy + yz)y]x − [(xy + yx)z]y − [(zy + yz)x]y − [(xz + zx)y]y. Mas, com vimos acima, M = 0 e, assim, Q(x, y, z) = 0. Agora, substituindo y por y + αw, encontramos a igualdade Q(x, y, z)+αR(x, y, z, w)+α2 Q(x, w, z) = 0. Lembrando que Q é nula e fazendo α = 1, obtemos o resultado, ou seja (xy + yx)(zw + wz) + (xz + zx)(yw + wy) + (xw + wx)(zy + yz) +(zy + yz)(xw + wx) + (yw + wy)(xz + zx) + (zw + wz)(xy + yx) = [(zw + wz)y + (wy + yw)z + (yz + zy)w]x + [(zw + wz)x + (wx + xw)z +(xz + xz)w]y + [(xw + wx)y + (wy + yw)x + (yx + xy)w]z +[(zx + xz)y + (xy + yx)z + (yz + zy)x]w. Assim fica provada a equa¸caõ (1.8). ¤. Observemos que se a caracter´ıstica de F for diferente de 2 e de 3, então fazendo x = y = z = ω em (1.8), obtemos x2 x2 = x3 x. Proposi¸c˜ ao 1.9. Seja A uma álgebra sobre um corpo F de caracter´ıstica diferente de 2, de 3 e de 5. Se n ≥ 5 e xλ xµ = xλ+µ , quaisquer que sejam os inteiros positivos λ e µ, com λ + µ < n, então xn−α xα = xn−1 x +. α − 1 n−1 [x , x], 2. α = 1, 2, · · · , n − 1.. (1.9). Demonstra¸c˜ ao: Consideremos os inteiros positivos α, β, γ, δ tais que α +β +γ +δ = n. Substituindo x por xα , y por xβ , z por xγ e w por xδ em (1.8) obtemos 4xα+β xγ+δ + 4xα+γ xβ+δ + 4xα+δ xβ+γ + 4xβ+γ xα+δ + 4xβ+δ xα+γ + 4xγ+δ xα+β = 6xβ+γ+δ xα + 6xα+γ+δ xβ + 6xα+β+δ xγ + 6xα+β+γ xδ , de onde segue que 2(xα+β xγ+δ + xγ+δ xα+β + xα+γ xβ+δ + xβ+δ xα+γ + xα+δ xβ+γ + xβ+γ xα+δ ) = 3(xn−α xα + xn−β xβ + xn−γ xγ + xn−δ xδ ). (1.10).

(24) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 12. Aplicando a Proposi¸caõ 1.9, substituindo xn−δ xδ , xα+β xγ+δ , xα+γ xβ+δ , xβ+γ xα+δ pelos correspondentes termos com os dois fatores trocados, obtemos 3(xn−α xα + xn−β xβ + xn−γ xγ + xn−(α+β+γ) xα+β+γ ) = 4(xn−(α+β) xα+β + xn−(α+γ) xα+γ + xn−(β+γ) xβ+γ ) − (α + β + γ)[xn−1 , x]. (1.11) Vamos discutir os casos em que α + β + γ = 3, 4 e 5. No primeiro caso, obrigatoriamente α = β = γ = 1 e aplicando acima, temos que 3(xn−1 x + xn−1 x + xn−1 x + xn−3 x3 ) = 4(xn−2 x2 + xn−2 x2 + xn−2 x2 ) − 3[xn−1 , x], xn−3 x3 = 4xn−2 x2 − 3xn − [xn−1 , x].. (1.12). Se α + β + γ = 4, pode ser que α = 2 e β = γ = 1. Aplicamos na equa¸caõ (1.11) e usando (1.12), fornecem 3(xn−2 x2 + xn−1 x + xn−1 x + xn−4 x4 ) = 4(xn−3 x3 + xn−3 x3 + xn−2 x2 ) − 4[xn−1 , x], 3xn−2 x2 + 6xn−1 x + 3xn−4 x4 = 8xn−3 x3 + 4xn−2 x2 − 4[xn−1 , x], xn−4 x4 = 11xn−2 x2 − 10xn − 4[xn−1 , x].. (1.13). Os casos em que α = γ = 1 e β = 2 e em que α = β = 1 e γ = 2 fornecem uma igualdade semelhante a (1.13) pela simetria em rela¸cão à α, β e γ. Agora, vejamos o que ocorre quando α + β + γ = 5. Então n > 6 e se α = β = 2 e γ = 1, segue de (1.11) que 3(xn−2 x2 + xn−2 x2 + xn−1 x + xn−5 x5 ) = 4(xn−4 x4 + xn−3 x3 + xn−3 x3 ) − 5[xn−1 , x], 6xn−2 x2 + 3xn + 3xn−5 x5 = 4xn−4 x4 + 8xn−3 x3 − 5[xn−1 , x].. (1.14). Se α = 3 e β = γ = 1, então 3(xn−3 x3 + xn−1 x + xn−1 x + xn−5 x5 ) = 4(xn−4 x4 + xn−4 x4 + xn−2 x2 ) − 5[xn−1 , x], 3xn−3 x3 + 6xn + 3xn−5 x5 = 8xn−4 x4 + 4xn−2 x2 − 5[xn−1 , x]. Subtraindo (1.15) de (1.14), obtemos 3xn−3 x3 + 3xn − 6xn−2 x2 = 4xn−4 x4 + 4xn−2 x2 − 8xn−3 x3 ,. (1.15).

(25) ´ 1.4 Algebras de potências associativas. 13. 3xn + 11xn−3 x3 − 10xn−2 x2 = 4xn−4 x4 .. (1.16). Usando (1.12) e (1.13) em (1.16) 3xn + 11(4xn−2 x2 − 3xn − [xn−1 , x]) − 10xn−2 x2 = 4(11xn−2 x2 − 10xn − 4[xn−1 , x]), 1 xn−2 x2 = xn + [xn−1 , x], 2 que é o resultado da Proposi¸caõ para α = 2. Agora vamos proceder por indu¸cão. Suponhamos que (1.9) seja válida para α = 1, 2, · · · , k + 1, onde k ≥ 1. Substituindo β = γ = 1 e α = k em (1.11), obtemos 3(xn−(k+2) xk+2 + 2xn−1 x + xn−k xk ) = 4(2xn−(k+1) x(k+1) + xn−2 x2 ) − (k + 2)[xn−1 , x], 3xn−(k+2) xk+2 + 6xn−1 x + 3xn−k xk = 8xn−(k+1) xk+1 + 4xn−2 x2 − (k + 2)[xn−1 , x], 3xn−(k+2) xk+2 = 8xn−(k+1) xk+1 + 4xn−2 x2 − 3xn−k xk − 6xn−1 x − (k + 2)[xn−1 , x].. (1.17). Fazendo α = k e α = k + 1 na hipótese de indu¸caõ, obtemos respectivamente xn−k xk = xn−1 x +. k − 1 n−1 [x , x], 2. k xn−(k+1) xk+1 = xn−1 x + [xn−1 , x]. 2 Levando esses resultados em (1.17), concluimos que. 3xn−(k+2) xk+2 = 3xn−1 x+[4k+2−3. k−1 3 −(k+2)][xn−1 , x] = 3xn−1 x+ (k+1)[xn−1 , x], 2 2 (1.18). da´ı, obtemos k + 1 n−1 [x , x]. 2 Portanto, o resultado também é válido para α = k+2 e isso encerra a demonstra¸caõ. xn−(k+2) xk+2 = xn−1 x +. ¤ Proposi¸c˜ ao 1.10. Seja A uma F -´ algebra comutativa. A é de potências associativas se e somente se x2 x2 = x4 , para todo x ∈ A, onde a caracter´ıstica de F é diferente de 2, 3 e 5..

(26) 1.5 A álgebra A(+). 14. Demonstra¸c˜ ao: Se A é de potências associativas, então xi xj = xi+j , para quaisquer x ∈ A e i, j ≥ 1. Segue que x2 x2 = x4 . Suponhamos que x2 x2 = x4 para todo x ∈ A. Como A é uma álgebra comutativa, então [xn−1 , x] = 0, isto é, xn−1 x = xxn−1 e de (1.9) conclui-se que as n-ésimas potências são associativas bem como vale para as k-ésimas potências, com k < n e n ≥ 5. ¤. 1.5. A´ algebra A(+). Veremos agora que, a partir de uma F -álgebra A dada com caracter´ıstica de F diferente de 2, podemos contruir uma nova álgebra, apenas modificando o produto. Esta nova álgebra será u ´til no estudo das álgebras de potências associativas não comutativas. Definiremos uma álgebra associada A(+) que como F -espa¸co vetorial é a mesma de A, mas com produto denotado por x · y e defnido em fun¸caõ do produto xy em A da seguinte maneira :. 1 x · y = (xy + yx) 2. 1 1 Temos que a álgebra A(+) é comutativa, pois x·y = (xy +yx) = (yx+xy) = y ·x. 2 2 Definimos as potências de A(+) por x·1 = x e x·n = x·(n−1) x, onde n > 1 é inteiro. Essas potências coincidem com as de A. De fato, suponhamos por indu¸caõ que isso seja verdade para o inteiro positivo k, ou seja, x·k = xk , então x·(k+1) = x·k · x = xk · x = xk+1 . Logo A(+) é uma álgebra de potências associativas, se A for de potências associativas. Porém, é possivel construir uma álgebra A(+) de potências associativas, sem que A seja de potências associativas. Exemplo 1.1. Seja A um F -espa¸co vetorial de dimensão 4 com base {u1 , u2 , u3 , u4 }. Em A definimos a seguinte multiplica¸c˜ ao: u21 = u2 , u1 u2 = u3 , u2 u1 = u4 e os outros produtos são zero. Assim, para a = u1 , temos a2 = u2 , aa2 = u3 e a2 a = u4 . Como x·α · x·β = x·(α+β) , para todos os inteiros positivos α + β ≥ 4, então A(+) é de potências associativas. No entanto, A não o é, pois aa2 6= a2 a..

(27) 1.6 Identidades envolvendo Lx e Rx. 1.6. 15. Identidades envolvendo Lx e Rx. Com as nota¸co˜es de Lx e Rx a multiplica¸caõ por y em A(+) é unicamente representada pela aplica¸caõ:. 1 Tx = (Rx + Lx ). 2 Reescrevendo a identidade (1.6) em termos de multiplica¸cão à direta e à esquerda, temos Lxy+yx − Rxy+yx + (Ly + Ry )x − x(Ly + Ry ) + (Lx + Rx )y − y(Lx + Rx ) = 0, que ainda pode ser reescrita como segue (Rx + Lx )(Ry − Ly ) + (Ry + Ly )(Rx − Lx ) = Rxy+yx − Lxy+yx .. (1.19). Reescrevendo a identidade (1.8) em termos de multiplica¸cão à esquerda e à direita temos que: (xy + yx)(Rz + Lz ) + (xz + zx)(Ry + Ly ) + (Rx + Lx )(zy + yz) + (zy + yz)(Rx + Lx ) + (Ry + Ly )(xz + zx) + (Rz + Lz )(xy + yx) = [(Rz + Lz )y + (Ry + Ly )z + Lyz+zy ]x + [(Rx + Lx )y + (Ry + Ly )x + Lxy+yx ]z +[(Rz + Lz )x + (Rx + Lx )z + Lxz+zx ]y + L(xz+zx)y + L(xy+yx)z + L(yz+zy)x . Portanto,. L(xz+zx)y + L(xy+yx)z + L(yz+zy)x = (Rx + Lx )(Ryz+zy + Lyz+zy − Ry Rz − Rz Ry )+ (Ry + Ly )(Rxz+zx + Lxz+zx − Rx Rz − Rz Rx )+ (Rz + Lz )(Rxy+yx + Lxy+yx − Rx Ry − Ry Rx )− (Lxy+yx Rz + Lxz+zx Ry + Lyz+zy Rx ). (1.20). Fazendo x = y em (1.19), temos que R2xx − L2xx = 2(Rx + Lx )(Rx − Lx ), ou ainda Rxx − Lxx = (Rx + Lx )(Rx − Lx ) e quanto x = y = z, segue de (1.20), temos que 3L2(xx)x = 3(Rx + Lx )(R2xx + L2xx − 2Rx2 ) − 3L2xx Rx ,. (1.21).

(28) 1.6 Identidades envolvendo Lx e Rx. 16. L(xx)x = (Rx + Lx )(Rxx + Lxx − Rx2 ) − Lxx Rx .. (1.22). No caso particular em que x = e = e2 , a fórmula (1.21) se transforma em Ree − Lee = (Re + Le )(Re − Le ), de onde segue que (Re + Le )(Re − Le ) − (Re − Le ) = 0. Logo, (Re + Le − I)(Re − Le ) = 0.. (1.23). Fazendo x = e = e2 também em (1.22), obtemos L(ee)e = (Re +Le )(Re +Le −Re2 )−Le Re , ou ainda, Re2 + Re Le − Re Re2 + Le Re + L2e − Le Re2 − Le Re − Le = 0. Assim, temos (Re + Le )2 − (Re + Le )Re2 − Le (Re + I) = 0. (1.24). onde I é o operador identidade em A. Não é possivel deduzir a partir de (1.23) e (1.24) equa¸cões que só contenham Re e Le . Quando A é comutativa, segue de (1.20) que 2Rx(yz) + 2Ry(zx) + 2Rz(xy) =. (Rx + Ly )(4Ryz − Ry Rz − Rz Ry ) (Ry + Ry )(4Rzx − Rz Rx − Rx Rz ) + (Rz + Rz )(4Rxy − Rx Ry − Ry Rx ) − 2(Rxy Rz + Rzx Ry + Ryz Rx ).. portanto, temos Rx(yz) + Ry(zx) + Rz(xy) = 4(Rx Ryz + Ry Rzx + Rz Rxy ) − (Ryz Rx + Rzx Ry + Rxy Rz )− [Rx (Ry Rz + Rz Ry ) + Ry (Rz Rx + Rx Rz ) + Rz (Rx Ry + Ry Rx )]. (1.25) Além disso, (1.19) e (1.21) se anulam, pois Lx = Rx , para todo x ∈ A. A igualdade (1.22) se torna R(xx)x = 2Rx (Rx x − Rx2 ) − Rx xRx , ou seja, R(xx)x = 4Rx Rx x − 2Rx3 − Rx xRx .. (1.26). Finalmente, usando a expressão (1.25) com y = x e z = x2 e a expressão (1.26), chegamos à identidade 2 R(xx)(xx) = Rxx + 10Rx2 Rxx − 6Rx Rxx Rx − 4Rx4 .. (1.27).

(29) ´ 1.7 Algebra alternativa. 1.7. 17. ´ Algebra alternativa. Defini¸c˜ ao 1.17. Uma álgebra A sobre F é dita alternativa se x2 y = x(xy),. yx2 = (yx)x. (1.28). para todo x, y ∈ A, onde (1.28) são ditas leis alternativas à esquerda e à direita, respectivamente. ´ fac´ıl ver que as leis alternativas implicam nas identidades E (x, y, z) + (y, x, z) = 0,. (x, y, z) + (x, z, y) = 0.. Equivalentemente, em termos do associador, temos (x, x, y) = (y, x, x) = 0, para todo x, y ∈ A ou, em termos de Lx e Rx Lx2 = L2x ,. Rx2 = Rx2. (1.29). para todo x ∈ A. Defini¸c˜ ao 1.18. Dizemos que a álgebra A é flex´ıvel se (xy)x = x(yx),. (1.30). quaiquer que sejam x, y ∈ A. Substituindo x por x + z em (1.30), onde z ∈ A, ficamos com (xy + zy)(x + z) = (x + z)(yx + yz), implicando (xy)z + (zy)x = x(yz) + z(yx).. (1.31). Reciprocamente, se uma álgebra A sobre um corpo F de caracter´ıstica diferente de 2 cumpre a condi¸caõ (1.31), então A é flex´ıvel. Em particular a igualdade x2 x = xx2 é ´ fácil ver que se A é alternativa, então válida para todo x em uma álgebra flex´ıvel. E A é flex´ıvel. Proposi¸c˜ ao 1.11 (Identidades de Moufang). Seja A uma álgebra alternativa então.

(30) ´ 1.7 Algebra alternativa. 18. (i) (xax)y = x[a(xy)], (ii) y(xax) = [(yx)a]x, (iii) (xy)(ax) = x(ya)x, para todo x, y, a ∈ A. Demonstra¸c˜ ao: (i) (xax)y − x[a(xy)] = (xa, x, y) + (x, a, xy) = −(x, xa, y) − (x, xy, a) = −[x(xa)]y + x[(xa)y] − [x(xy)]a + x[(xy)a] = −(x2 a)y − (x2 y)a + x[(xa)y + (xy)a] = −(x2 , a, y) − (x2 , y, a) − x2 (ay) − x2 (ya) +x[(xa)y + (xy)a] = x[−x(ay) − x(ya) + (xa)y + (xy)a] = x[(x, a, y) + (x, y, a)] = 0. ´ a rela¸caõ rec´ıproca de (i). Note que (ii) é equivalente à (ii) E (y, xa, x) = −(y, x, a)x, para todo x, y, a ∈ A. De fato, (y, xa, x) = [y(xa)]x − y(xax) = [y(xa)]x − [(yx)a]x = −(y, x, a)x. Substituindo x por x + λz, onde z ∈ A e λ ∈ F , temos (y, xa, z) + (y, za, x) = −(y, x, a)z − (y, z, a)x.. (iii) (xy)(ax) − x(ya)x = (x, y, ax) + x[y(ax) − (ya)x] = −(x, ax, y) − x(y, a, x) = −(xax)y + x[(ax)y − (y, a, x)] = −x[a(xy) − (ax)y + (y, a, x)] = −x[−(a, x, y) + (y, a, x)] = 0.. (1.32).

(31) 1.8 Idempotente em álgebra de Jordan. 19 ¤. Defini¸c˜ ao 1.19. Uma álgebra comutativa A é uma ´ algebra de Jordan se x2 (yx) = (x2 y)x, para quaisquer x, y ∈ A. Proposi¸c˜ ao 1.12. Se A é uma álgebra de Jordan então A é de potências associativas. Demonstra¸c˜ ao: Se A é uma álgebra de Jordan, então x2 (yx) = (x2 y)x, para quaisquer x, y ∈ A. Fazendo x = y, temos x2 x2 = x4 . Segue da Proposi¸cão 1.10 que A é de potências associativas. ¤. 1.8. Idempotente em ´ algebra de Jordan. Seja A uma álgebra de Jordan que possui um idempotente e. Sabemos que A satisfaz a identidade de Jordan x2 (yx) = (x2 y)x. (1.33). Linearizando (1.33), substituindo x por x + λz, onde z ∈ A e λ ∈ F , obtemos x2 (yz) + 2(xz)(yx) = (x2 y)z + 2((xz)y)x. (1.34). e linearizando (1.34), substituindo x por x + γw, onde w ∈ A e γ ∈ F , obtemos (xw)(yz) + (xz)(yw) + (wz)(yx) = ((xw)y)z + ((wz)y)x + ((xz)y)w.. (1.35). Usando o operador multiplicativo à esquerda de A temos que (1.35) é equivalente L(yz) Lx − Lz Ly Lx + L(xz) Ly − Lx Ly Lz + L(yx) Lz − L((xz)y) = 0.. (1.36). Tomemos y = x e z = xi−1 para i ≥ 2 então temos, Lxi+1 = Lx2 Lxi−1 − Lxi−1 L2x − L2x Lxi−1 + 2Lxi Lx .. (1.37). Agora em (1.37) tomemos i = 2 e x = e. Da´ı obtemos, 2L3e − 3L2e + Le = 0,. (1.38).

(32) 1.8 Idempotente em álgebra de Jordan. 20. 1 ou seja, f (Le ) = 0 , onde f (x) = (x − 1)(x − )x. Portanto o polinômio minimal do 2 1 operador Le divide f (x). As u ńicas possibilidades para os autovalores de Le são 1 , 2 e 0. Segue que pelo Teorema da decomposi¸caõ primária temos, A = A1 ⊕ A1/2 ⊕ A0 ,. (1.39). 1 onde Ai = {xi ∈ A | exi = ixi } , i = 1, , 0. 2 Defini¸c˜ ao 1.20. Dizemos que (1.39) é a decomposi¸ c˜ ao de Peirce da álgebra de Jordan A relativa ao idempotente e. Defini¸c˜ ao 1.21. Diz-se que os subespa¸cos B e C da álgebra A são ortogonais quando xy = 0, para quaisquer x ∈ B e y ∈ C. Os subespa¸cos Ai em (1.39) estão relacionadas da seguinte maneira 1 1. Ai Ai ⊆ Ai se i 6= . 2 De fato, tomemos x = e, z = xi ∈ Ai , y = yi ∈ Ai em (1.34). Segue que e(yi xi ) + 2(exi )(eyi ) − (eyi )xi − 2e((exi )yi ) = 0.. (1.40). Se i = 0, obtemos e(y0 x0 ) = 0 o que implica em y0 x0 ∈ A0 . Se i = 1, obtemos e(y1 x1 ) = y1 x1 o que implica em y1 x1 ∈ A1 . 2. A1 A0 = A0 A1 ⊆ A0 ∩ A1 = 0. De fato, tomemos x = e, y = x0 e z = y1 em (1.34). Da´ı obtemos, e(x0 y1 ) = 0. Portanto A0 A1 ⊆ A0 . Agora, tomando x = e, y = x1 e z = y0 em (1.34), temos e(y0 x1 ) = y0 x1 . Segue que A0 A1 ⊆ A1 . Logo, A0 A1 = A1 A0 ⊆ A0 ∩ A1 = 0. Portanto A1 e A0 são ortogonais. 3. A1/2 A1/2 ⊂ A1 ⊕ A0 . De fato, tomemos y = w = e, x = x1/2 , z = z1/2 em (1.35). Segue que e(x1/2 z1/2 ) = e(e(x1/2 z1/2 )). (1.41). Escrevamos x1/2 z1/2 = a1 + a1/2 + a0 . Segue que e(a1 + a1/2 + a0 ) − e(e(a1 + a1/2 + 1 a0 )) = 0. Então a1/2 = 0. Logo a1/2 = 0, ou seja, x1/2 z1/2 = a1 + a0 . 4.

(33) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas 4. A1 A1/2 ⊆ A1/2. 21. e A0 A1/2 ⊆ A1/2 .. 1 De fato, tomemos x = e, y = x 1 e z = y1 em (1.34). Obtemos e(y1 x 1 ) = (y1 x 1 ). 2 2 2 2 Logo A1 A1/2 ⊆ A1/2 . 1 Agora tomemos x = e, y = y 1 e z = x0 em (1.34). Temos e(x0 y 1 ) = (x0 y 1 ). 2 2 2 2 Segue que A0 A1/2 ⊆ A1/2 . Observa¸ c˜ ao 1.6. Notemos que A0 e A1 s˜ ao subálgebras ortogonais de A.. 1.9. Idempotente em ´ algebras comutativas. Seja A uma álgebra comutativa de potências associativas, então x2 x = xx2 ,. (1.42). x2 x2 = (x2 x)x,. (1.43). para todo x ∈ A e também. para todo x ∈ A. Em termos de associadores (1.43) pode ser escrito como (x2 , x, x) = 0, para todo x ∈ A. Linearizando (1.43), substituindo x por x + λy, onde y ∈ A e λ ∈ F , temos (x + λy)2 (x + λy)2 − [(x + λy)2 (x + λy)](x + λy) = 0.. (1.44).

(34) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 22. Efetuando os cálculos, chegamos à K + λL + λ2 M + λ3 N + λ4 P = 0, onde K = K(x) = x2 x2 − x3 x = 0, P. = K(y) = y 2 y 2 − y 3 y = 0,. L. = L(x, y) = x2 (xy) + x2 (yx) + (xy)x2 + (yx)x2 −x3 y − ((xy)x)x − ((yx)x)x − (x2 y)x,. M = M (x, y) = x2 y 2 + (xy)2 + (xy)(yx) + (yx)(xy) + (yx)2 + y 2 x2 − ((xy)y)x −((yx)x)y − (y 2 x)x − (x2 y)y − ((xy)x)y − ((yx)y)x, N. = L(y, x) = y 2 (yx) + y 2 (xy) + (yx)y 2 + (xy)y 2 − y 3 x − ((yx)y)y − ((xy)y)y −(y 2 x)y.. Portanto, L = L(x, y) = x2 (xy)+x2 (yx)+(xy)x2 +(yx)x2 −x3 y−((xy)x)x−((yx)x)x−(x2 y)x = 0, (1.45) onde podemos escrever (1.45) em termos de associadores como (xy + yx, x, x) + (x2 , y, x) + (x2 , x, y) = 0,. (1.46). para todo x, y ∈ A. Analogamente, substituindo x por x + βz em (1.46), onde z ∈ A e β ∈ F obtemos (xz + zx, y, x) + (xy + yx, z, x) + (xz + zx, x, y) + (yz + zy, x, x) +(xy + yx, x, z) + (x2 , z, y) + (x2 , y, z) = 0,. (1.47). para todo x, y, z ∈ A. Por outro lado, se e é um idempotente da álgebra A, então a identidade (1.24) se torna 2L3e −3L2e +Le = 0, pois A é comutativa. E como no caso das álgebras de Jordan, temos uma decomposi¸cão de Peirce A = A1 ⊕ A1/2 ⊕ A0 , 1 onde Ai = {xi ∈ A | exi = ixi } , i = 1, , 0. 2. (1.48).

(35) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 23. Proposi¸c˜ ao 1.13. Seja A uma álgebra comutativa de potências associativas com decomposi¸c˜ ao de Peirce (1.48), relativa ao idempotente e. Então A1 e A0 são subálgebras ortogonais de A e são válidas as seguintes inclusões: A1/2 A1/2 ⊆ A1 + A0 , A1 A1/2 ⊆ A1/2 + A0 , A0 A1/2 ⊆ A1 + A1/2 . Demonstra¸c˜ ao: Como A é uma álgebra de potências associativas segue que (1.43), vale para todo x ∈ A, portanto da Proposi¸caõ (1.8), temos 4[(xy)(wz) + (xz)(yw) + (xw)(yz)] = x[y(zw) + z(wy) + w(yz)] +y[x(zw) + z(wx) + w(xz)] +z[x(yw) + y(wx) + w(xy)] +w[x(yz) + y(xz) + z(xy)].. (1.49). Em particular, quando z = w = e, obtemos a seguinte identidade 4[(xy)e+2(xe)(ye)] = x[ye+2(ye)e]+y[xe+2(xe)e]+2e[x(ye)+y(xe)+(xy)e]. (1.50) Sejam x, y ∈ A1 , então x = ex = xe e y = ey = ye. Fazendo essas substitui¸co˜es em (1.50) temos 4(xy)e + 8xy = 6xy + 4e(xy) + 2((xy)e)e. Logo, ((xy)e)e − xy = 0, da´ı 0 = ((xy)e)e − xy = (Re2 − I)(xy). Segue que (Re2 − I)(xy) = 0, como Re + I é injetor, pois seja x = x1 + x 1 + x0 ∈ A tal que (Re + I)(x) = 0. Então 0 = 2x1 + 32 x 1 + x0 , 2. 2. logo x1 = 0, x 1 = 0 e x0 = 0. Então, (Re − I)(xy) = 0, assim e(xy) = (xy)e = xy, 2. portanto xy ∈ A1 . Então A1 é uma subálgebra. Agora consideremos x, y ∈ A0 , de modo que ex = xe = 0 = ey = ye. Com isto, a equa¸cão (1.50) se reduz à 4(xy)e = 2((xy)e)e, que pode ser reescrita como ((xy)e)e − 2(xy)e = 0. Logo (Re2 − 2Re )(xy) = (Re − 2I)Re (xy) = 0. Assim, Re (xy) = 0, pois (Re − 2I) é injetor, ou seja e(xy) = (xy)e = 0. Portanto, xy ∈ A0 e fica provado que A0 também é subálgebra. Vamos provar que elas são ortogonais. Dados x ∈ A1 e y ∈ A0 . Segue de (1.50) que 4(xy)e = 3xy + 2(xy)e + 2((xy)e)e. Portanto, (2Re2 − 2Re + 3I)(xy) = 0, usando a decomposi¸caõ de Peirce e fazendo xy = a1 + a 1 + a0 , temos 0 = (2Re2 − 2Re + 3I)(xy) = 2.

(36) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 24. 5 (2Re2 − 2Re + 3I)(a1 + a 1 + a0 ) = 3a1 + a 1 + 3a0 , como a soma é direta, a1 = 0, a 1 = 0 2 2 2 2 e a0 = 0, segue que xy = 0. Logo, as subálgebras A1 e A2 são ortogonais. Resta provar as inclusões. Fazendo x = e, y = y1/2 e z = z1/2 , em (1.47), onde y1/2 , z1/2 ∈ A1/2 obtemos e(e(y1/2 z1/2 )) = e(y1/2 z1/2 ).. (1.51). Agora, usando a decomposi¸caõ de Peirce, substituindo y1/2 z1/2 = a1 + a1/2 + a0 , onde a1 ∈ A1 , a1/2 ∈ A1/2 e a0 ∈ A0 , em (1.51), temos a1/2 = 0. Logo y1/2 z1/2 = a1 + a0 . Portanto A1/2 A1/2 ⊆ A1 + A0 . Analogamente, substituindo x = e, y = y1/2 e z = z1 , em (1.47), onde y1/2 ∈ A1/2 e z1 ∈ A1 , obtemos A1 A1/2 ⊆ A1/2 + A0 e fazendo x = e, y = y1/2 e z = z0 , em (1.47), onde y1/2 ∈ A1/2 e z0 ∈ A0 , temos A0 A1/2 ⊆ A1 + A1/2 . ¤ Para cada x1 ∈ A1 definimos as transforma¸co˜es lineares S 1 (x1 ) : A 1 → A 1 , tal que 2. 2. 2. x 1 7−→ (x1 x 1 ) 1 e S0 (x1 ) : A 1 → A0 , tal que x 1 7−→ (x1 x 1 )0 . Similarmente, para cada 2. 2. 2. 2. 2. 2. x0 ∈ A0 defina as transforma¸cões lineares T 1 (x0 ) : A 1 → A 1 , tal que x 1 7−→ (x0 x 1 ) 1 e 2. 2. 2. 2. 2. 2. T1 (x0 ) : A 1 → A1 , tal que x 1 7−→ (x0 x 1 )1 . Temos as seguintes identidades de Peirce. 2. 2. 2. Lema 1.14. Para todo x0 , y0 , w0 ∈ A0 , x1 , y1 , w1 ∈ A1 e w 1 , a 1 ∈ A 1 , temos: 2. 2. 2. (i) S 1 (x1 y1 ) = S 1 (x1 )S 1 (y1 ) + S 1 (y1 )S 1 (x1 ), 2. 2. 1 S (x y ) 2 0 1 1. 2. 2. 2. = S0 (x1 )S 1 (y1 ) + S0 (y1 )S 1 (x1 ); 2. 2. (ii) T 1 (x0 y0 ) = T 1 (x0 )T 1 (y0 ) + T 1 (y0 )T 1 (x0 ), 2. 2. 1 T (x y ) 2 1 0 0. 2. 2. 2. = T1 (x0 )T 1 (y0 ) + T1 (y0 )T 1 (x0 ); 2. 2. (iii) T 1 (x0 )S 1 (y1 ) = S 1 (y1 )T 1 (x0 ); 2. 2. 2. 2. (iv) [T1 (x0 )w 1 ]y1 = 2T1 (x0 )S 1 (y1 )w 1 , [S0 (y1 )w 1 ]x0 = 2S0 (y1 )T 1 (x0 )w 1 ; 2. 2. 2. 2. 2. 2. 1 1 (v) xλ (x 1 y 1 ) = [x 1 (xλ y 1 ) 1 + y 1 (xλ x 1 ) 1 ]λ + [x 1 (xλ y 1 )1−λ + y 1 (xλ x 1 )1−λ ]λ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 (λ = 0, 1); (vi) S 1 (w1 )a 1 = T 1 (w0 )a 1 , onde a21 = w1 + w0 . 2. 2. 2. 2. 2.

(37) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 25. Demonstra¸c˜ ao: (i) Substituindo x = x1 ∈ A1 , z = e, y = w ∈ A 1 em (1.47) e usando o fato que 2 1 e(x1 w) = (x1 w), pois x1 w ∈ A1 A 1 ⊆ A 1 + A0 obtemos, 2 2 2 e[2(wx1 )x1 + wx21 ] + wx21 − 4(wx1 )x1 = 0.. (1.52). Tomando a componente A 1 em (1.52), temos 2. e[2(wx1 )x1 + wx21 ] + wx21 − 4(wx1 )x1 = 0, 1 ((x1 w) 1 x1 ) 1 + (wx21 ) 1 + (x21 w) 1 − 4((wx1 )x1 ) 1 = 0, 2 2 2 2 2 2 3 2 (x w) 1 = 3((x1 w) 1 x1 ) 1 , 2 2 2 1 2 2 (x1 w) 1 = 2((x1 w) 1 x1 ) 1 , 2. 2. 2. S 1 (x21 ) = 2S 21 (x1 ). 2. (1.53). 2. Substituindo x1 por x1 + y1 em (1.53), temos S 1 ((x1 + y1 )2 ) = 2S 21 (x1 + y1 ), 2. 2. S 1 (x21 + 2x1 y1 + y12 ) = 2(S 1 (x1 ) + S 1 (y1 ))2 , 2. 2. 2. S 1 (x21 ) + S 1 (2x1 y1 ) + S 1 (y12 ) = 2(S 21 (x1 ) + S 1 (x1 )S 1 (y1 ) + S 1 (y1 )S 1 (x1 ) + S 21 (y1 )), 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2S 1 (x1 y1 ) = 2(S 1 (x1 )S 1 (y1 ) + S 1 (y1 )S 1 (x1 )), 2. 2. 2. 2. 2. S 1 (x1 y1 ) = S 1 (x1 )S 1 (y1 ) + S 1 (y1 )S 1 (x1 ). 2. 2. 2. 2. 2. Agora, tomando a componente A0 em (1.52), temos (wx21 )0 = 4((wx1 )x1 )0 , S0 (x21 ) = 4S0 (x1 )S 1 (x1 ). 2. Substituindo x1 por x1 + y1 em (1.53), temos 1 S0 (x1 y1 ) = S0 (x1 )S 1 (y1 ) + S0 (y1 )S 1 (x1 ). 2 2 2 (ii) Análogo ao (i). (1.54).

(38) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 26. (iii) Substituindo x = x0 , y = y1 , z = e, w = w 1 , em (1.49), onde x0 ∈ A0 , y1 ∈ A1 , 2. w 1 ∈ A 1 , obtemos 2. 2. ·. 4(x0 w 1 )y1 2. 1 = x0 y1 w 1 + e(w 1 y1 ) + w 1 y1 2 2 2 2 · ¸ 1 + y1 e(w 1 x0 ) + w 1 x0 2 2 2 h i + e x0 (y1 w 1 ) + y1 (w 1 x0 ) . 2. ¸. 2. (1.55). Usando as rela¸cões de inclusão da Proposi¸caõ (1.13) temos, 4(x0 w 1 )y1 = 4y1 [T1 (x0 )(w 1 )] + 4S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) + 4S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ), 2 2 2 2 2 2 2 · ¸ h i 3 h i 1 x0 y1 w 1 + e(w 1 y1 ) + w 1 y1 = 2 T1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) + T 1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) + x0 S0 (y1 )(w 1 ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 · ¸ i 1 3 h y1 e(w 1 x0 ) + w 1 x0 = y1 T1 (x0 )(w 1 ) + S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) + S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i h 1 1 e x0 (y1 w ) + y1 (w x0 ) = 2. 2. h i 1 1 1 1 1 T1 (x0 )S (y1 )(w ) + T (x0 )S (y1 )(w ) + y1 T1 (x0 )(w ) 2 2 2 2 2 1 + S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ). 2 2 2 2 1 2. 1 2. Portanto, (1.55) pode ser visto como 4y1 [T1 (x0 )(w 1 )] + 4S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) + 4S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = 3T1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 i 3 h i 5 3 5 h + T 1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) + S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) + y1 T1 (x0 )(w 1 ) + x0 S0 (y1 )(w 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ). 2. (1.56). 2. Comparando as componentes de A 1 , em (1.56), obtemos 2. 5 3 4S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = T 1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) + S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = T 1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ), 2 2 2 2 2 2 2 2 S 1 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = T 1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ). 2. 2. 2. 2. 2. 2. (iv) Comparando as componentes de A1 , em (1.56), obtemos i 5 h 4y1 [T1 (x0 )(w 1 )] = 3T1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ) + y1 T1 (x0 )(w 1 ) , 2 2 2 2 2.

(39) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 27. 3 y1 [T1 (x0 )(w 1 )] = 3T1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ), 2 2 2 2 y1 [T1 (x0 )(w 1 )] = 2T1 (x0 )S 1 (y1 )(w 1 ). 2. 2. 2. Agora, comparando as componentes de A0 , em (1.56), temos i 3 h 4S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = x0 S0 (y1 )(w 1 ) + S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ), 2 2 2 2 2 2 i 3 h 3S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = x0 S0 (y1 )(w 1 ) , 2 2 2 2 h i 2S0 (y1 )T 1 (x0 )(w 1 ) = x0 S0 (y1 )(w 1 ) . 2. 2. 2. (v) Em (1.49) fa¸ca x = x 1 , y = y 1 , z = e, w = x0 , onde x 1 , y 1 ∈ A 1 , x0 ∈ A0 e 2. 2. 2. 2. 2. obtenha 4[(xy)(wz) + (xz)(yw) + (xw)(yz)] = 2[(x 1 (y 1 x0 ) 1 + y 1 (x0 x 1 ) 1 )1 2. 2. 2. 2. 2. 2. +(x 1 (y 1 x0 )1 + y 1 (x0 x 1 )1 ) 1 2. 2. 2. 2. 2. +(x 1 ((y 1 x0 )1 + (y 1 x0 ) 1 ) 2. 2. 2. 2. +y 1 ((x0 x 1 )1 + (x0 x 1 ) 1 ))0 ], 2. 2. 2. 2. 3 3 x[y(zw) + z(wy) + w(yz)] = (x 1 (x0 y 1 ) 1 )1 + (x 1 (x0 y 1 )1 ) 1 + [x 1 ( (x0 y 1 )1 + (x0 y 1 ) 1 )]0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 y[x(zw)+z(wx)+w(xz)] = (y 1 (x0 x 1 ) 1 )1 + (y 1 (x0 x 1 )1 ) 1 +[y 1 ( (x0 x 1 )1 +(x0 x 1 ) 1 )]0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 z[x(yw) + y(wx) + w(xy)] = [(x 1 (y 1 x0 )1 ) + (y 1 (x0 x 1 )1 )] 1 + [x 1 (y 1 x0 ) 1 + y 1 (x0 x 1 ) 1 ]1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 w[x(yz) + y(xz) + z(xy)] = 2(x0 (x 1 y 1 )0 ). 2. 2. Comparando as componentes de A0 , temos 2(x 1 ((y 1 x0 )1 + (y 1 x0 ) 1 ) + y 1 ((x0 x 1 )1 + (x0 x 1 ) 1 ))0 = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3 [x 1 ( (x0 y 1 )1 + (x0 y 1 ) 1 )]0 2 2 2 2 2 3 +[y 1 ( (x0 x 1 )1 + (x0 x 1 ) 1 )]0 2 2 2 2 2 +2(x0 (x 1 y 1 )0 ). 2. 2. (1.57). Segue de (1.57) que 1 1 x0 (x 1 y 1 ) = x0 (x 1 y 1 )0 = [x 1 (x0 y 1 ) 1 + y 1 (x0 x 1 ) 1 ]0 + [x 1 (x0 y 1 )1 + y 1 (x0 x 1 )1 ]0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2.

(40) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 28. Análogo para λ = 1. (vi) Fazendo x = y = z, w = e, onde e é um idempotente, em (1.49), obtemos 4x2 (ex) = 2x(x(ex)) + (ex2 )x + ex3 .. (1.58). Substituindo x por a 1 , onde a 1 ∈ A 1 , a equa¸caõ (1.58) se torna 2. 2. 2. a31 = (ea21 )a 1 + ea31 . 2. 2. 2. (1.59). 2. Usando as rela¸cões de inclusão da Proposi¸cão (1.13), temos que a 1 = w1 + w0 , onde 2. w1 ∈ A1 e w0 ∈ A0 . Então, segue de (1.59) que a31 = a 1 (w1 + w0 ) = (a 1 w1 ) + (a 1 w0 ) = (a 1 w1 ) 1 + 2. 2. 2. 2. 2. 2. (a 1 w1 )0 + (a 1 w0 ) 1 + (a 1 w0 )1 = S 1 (w1 )(a 1 )+ 2. 2. 2. 2. 2. 2. S0 (w1 )(a 1 ) + T 1 (w0 )(a 1 ) + T1 (w0 )(a 1 ). 2. 2. 2. (1.60). 2. Mas, por outro lado temos que a31 = ea31 + (ea21 )a 1 = ea31 + w1 a 1 = e[a21 a 1 ] + w1 a 1 = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. e[(w1 + w0 )a 1 ] + w1 a 1 = e[w1 a 1 + w0 a 1 ] + w1 a 1 = 2. 2. 2. 2. 2. e[(w1 a 1 ) 1 + (w1 a 1 )0 + (w0 a 1 ) 1 + (w0 a 1 )1 ] + w1 a 1 = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (w1 a 1 ) 1 + (w0 a 1 ) 1 + (w0 a 1 )1 + (w1 a 1 ) 1 + (w1 a 1 )0 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i h 1 S 1 (w1 )(a 1 + T 1 (w0 )(a 1 )) + T1 (w0 )(a 1 ) + S 1 (w1 )(a 1 ) + S0 (w1 )(a 1 ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Portanto, segue de (1.60) e (1.61). (1.61). S 1 (w1 )(a 1 ) + S0 (w1 )(a 1 ) + T 1 (w0 )(a 1 ) + T1 (w0 )(a 1 ) = 2 2 2 2 2 2 i 1h S 1 (w1 )(a 1 + T 1 (w0 )(a 1 )) + T1 (w0 )(a 1 ) + S 1 (w1 )(a 1 ) + S0 (w1 )(a 1 ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Da´ı obtemos,. 1 1 T 1 (w0 )(a 1 ) = S 1 (w1 )(a 1 ) + T 1 (w1 )(a 1 ), 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 T 1 (w0 )(a 1 ) = S 1 (w1 )(a 1 ), 2 2 2 2 2 2 T 1 (w0 )(a 1 ) = S 1 (w1 )(a 1 ), 2. onde a21 = w1 + w0 .. 2. 2. 2. ¤. 2. Considere A = A1 ⊕A 1 ⊕A0 uma decomposi¸caõ de Peirce da álgebra A de potências 2. associativas, relativa ao idempotente e..

(41) 1.9 Idempotente em álgebras comutativas. 29. Defini¸c˜ ao 1.22. Dizemos que dois idempotentes u, v ∈ A s˜ ao ortogonais se uv = vu = 0. Defini¸c˜ ao 1.23. Um idempotente e de uma álgebra A é denominado idempotente principal de A se não existir outro idempotente não nulo u ∈ A que seja ortogonal a e. Proposi¸c˜ ao 1.15. Seja A uma álgebra de potências associativas com um idempotente e, se u ∈ A é um idempotente ortogonal a e, então u ∈ A0 . Demonstra¸c˜ ao: Seja u = u1 + u 1 + u0 , como e é ortogonal a u, segue que 2. 1 0 = eu = e(u1 + u 1 + u0 ) = u1 + u 1 . 2 2 2 Portanto, u1 = u 1 = 0. Logo u = u0 ∈ A0 . 2. Corol´ ario 1.16. Seja e ∈ A um idempotente. Então e é principal, se e somente se, A0 n˜ ao tem idempotentes não nulos. Demonstra¸c˜ ao: Seja e um idempotente principal, seja u ∈ A0 , segue que u não é idempotente. Portanto A0 não possui idempotentes. Agora considere que A0 não tem idempotentes. Mostremos que e é principal. Seja u ∈ A um idempotente tal que u = u1 + u 1 + u0 . Se eu = u1 + 12 u 1 = 0, então u1 = u 1 = 0. Segue que u = u0 ∈ A0 , 2. 2. 2. logo u não é idempotente.. ¤. Defini¸c˜ ao 1.24. Um idempotente e de uma álgebra A é dito primitivo se é o u ńico idempotente em A1 . Um idempotente e é chamado absolutamente primitivo se cada elemento de A1 tem a forma αe + x, onde α ∈ F e x é um elemento nilpotente. Observa¸ c˜ ao 1.7. No caso em que e é um idempotente absolutamente primitivo e se A é uma álgebra bárica, então A1 = F e ⊕ A1 , onde A1 é uma nil-subálgebra de A. Defini¸c˜ ao 1.25. Uma álgebra A é dita e-est´ avel se A é uma álgebra de potências ¡ ¢ ao os subespa¸cos de associativas tal que Ai A 1 ⊆ A 1 (i = 0, 1), onde Ai i = 0, 12 , 1 s˜ 2. 2. A obtidos da decomposi¸c˜ ao de Peirce de A relativo ao idempotente e. A é est´ avel se é estável para todo idempotente e. Em particular, álgebras de Jordan são estáveis..

(42) Cap´ıtulo 2 ´ Algebras train Nesta se¸caõ discutiremos as estruturas de álgebras train de potências associativas envolvendo as suas decomposi¸co˜es de Peirce. No decorrer dos nossos resultados o idempotente e ∈ H.. 2.1. ´ Algebras associativas nilpotentes. Defini¸c˜ ao 2.1. Uma álgebra A sobre F é chamada uma ´ algebra zero se ab = 0 para todo a, b ∈ A. Proposi¸c˜ ao 2.1. Uma álgebra A associativa sobre F de dimensão 1 é isomorfo à F ou é uma álgebra zero sobre F . Demonstra¸c˜ ao: Como A é uma álgebra de dimensão 1, temos que A = hai sobre F , onde a ∈ A. Seja a2 = γa, onde γ ∈ F . Se γ = 0, temos que A é uma álgebra zero. De fato, sejam x = αa, y = βa ∈ A então xy = αaβa = αβa2 = αβγa = 0, onde α, β ∈ F . Se γ 6= 0, temos que A é um isomorfo à F . De fato, A = hai = hei, onde e = γ −1 a é um idempotente. Considere ϕ : A → F tal que ϕ(αe) = α, com α ∈ F . Temos que ϕ : A → F é um isomorfismo de A em F .. ¤. Proposi¸c˜ ao 2.2. Seja A uma álgebra associativa, g ∈ A e B uma subálgebra de A. A dimensão de Bg (ou gB) é igual a dimensão de B se, e somente se, bg 6= 0 (gb 6= 0) para todo b 6= 0 de B. 30.

(43) ´ 2.1 Algebras associativas nilpotentes. 31. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos que a dimensão de B é igual a dimensão de Bg. Seja {u1 , · · · , um } uma base de B. Como {u1 g, · · · , um g} é um conjunto gerador de Bg, segue que {u1 g, · · · , um g} é base de Bg. Seja b ∈ B tal que b 6= 0. Afirmamos que bg 6= 0. De fato, bg =. Ã m X i=1. ! αi ui. g=. m X. αi (ui g).. (2.1). i=1. Se bg = 0, teriamos αi = 0, em (2.1), para i = 1, ..., m, mas isso não ocorre, pois b 6= 0. Agora suponhamos que bg 6= 0, para todo b 6= 0 ∈ B. Seja {u1 , · · · , um } uma base de B. Sabemos que {u1 g, · · · , um g} é um conjunto gerador de Bg. Resta provarmos que m X {u1 g, · · · , um g} é linearmente independente. Seja αi (ui g) = 0, onde αi ∈ F . Então, i=1. m m X X ( αi ui )g = 0, da´ı αi ui = 0, segue que αi = 0, i = 1, ..., m. Logo, {u1 g, · · · , um g} i=1. i=1. é linearmente indempendente. Portanto, dimensão de B é igual a dimensão de Bg. ¤ Defini¸c˜ ao 2.2. Uma álgebra A associativa é dita nilpotente se Ap = 0, para algum inteiro positivo p. O menor inteiro positivo p, tal que Ap = 0 é chamado ´ındice de nilpotˆ encia de A. Portanto A é uma algebra nilpotente de ´ındice α se, e somente se, y1 · · · yα = 0, para todo yi ∈ A e existem elementos xi ∈ A (i = 1, · · · , α − 1) tais que x1 · · · xα−1 6= 0. Proposi¸c˜ ao 2.3. Toda álgebra finitamente gerada nilpotente é de dimensão finita. Demonstra¸c˜ ao: Seja {a1 , a2 , · · · , ak } um conjunto de geradores de uma álgebra A. Suponhamos que A tenha ´ındice de nilpotência n. Seja u ∈ A então u = f (a1 , · · · , ak ), onde f é um polinômio não associativo, não comutativo com grau menor que n e © ª sem termo constante. Considere S = ai11 , · · · , aikk | 1 ≤ ij ≤ n − 1 , e T o conjunto formado por todos os produtos com no máximo n − 1 elementos de S. Temos que T gera A como F -espa¸co vetorial e T é finito. Logo, A tem dimensão finita. ¤ Proposi¸c˜ ao 2.4. Sejam B e C dois ideais à esquerda (direita) de uma álgebra associativa A. Então B +C é um ideal à esquerda (direita) de A. Se B e C são nilpotentes, então B + C também o é..

(44) ´ 2.1 Algebras associativas nilpotentes. 32. Demonstra¸c˜ ao: Primeiramente, observemos que é de fácil verifica¸cão que a soma de ideais à esquerda (direita) é um ideal à esquerda (direita). Agora vamos verificar que B + C é nilpotente. De fato, observe que os elementos de (B + C)α são somas de elementos da forma a = a1 · · · aα ,. (2.2). onde ai pertence ou a B ou a C, e α é um inteiro positivo. Seja β o n´ umero de fatores de B que aparecem em (2.2), agrupados de maneira que, a = b1 · · · bβ a0 , com bi ∈ B e a0 ∈ C. De modo semelhante a = c1 · · · cγ a00 , com ci ∈ C, a00 ∈ B onde, α = β + γ. Considere α = α1 + α2 − 1, onde α1 é o ´ındice de nilpotência B e α2 o de C. Se β ≥ α1 , então a = 0. Por outro lado se β < α1 , então γ = α1 + α2 − 1 − β > α2 , o que implica a = 0. Portanto B + C é nilpotente de ´ındice no máximo α1 + α2 − 1. De modo análogo, podemos provar que a soma de dois ideais nilpotentes à direita de A é um ideal nilpotente à direita de A.. ¤. Proposi¸c˜ ao 2.5. Se S é um ideal à esquerda nilpotente da álgebra associativa A, então a soma S + SA é um ideal nilpotente de A. Demonstra¸c˜ ao: Seja α o ´ındice de nilpotência de S, segue que (SA)α = S(AS)α−1 A ⊆ SS α−1 A = 0 e portanto SA é um ideal à esquerda nilpotente de A. Pela Proposi¸caõ (2.4), S + SA é um ideal à esquerda nilpotente de A. Mas (S + SA)A ⊆ SA + SA ⊆ S + SA. Logo, S + SA é um ideal nilpotente de A.. ¤. Proposi¸c˜ ao 2.6. Todo ideal nilpotente à esquerda, à direita ou ideal de uma álgebra associativa A de dimensão finita está contido em um u ńico ideal nilpotente maximal de A, este ideal é chamado radical ou nil-radical de A. Demonstra¸c˜ ao: Seja R um ideal nilpotente de A de dimensão máxima. Se R0 é também um ideal nilpotente, pela Proposi¸caõ (2.4) temos que R + R0 é um ideal à esquerda nilpotente de A. Com isso, R + R0 é um ideal nilpotente de A, cuja dimensão é maior ou igual a de R. Mas como R tem dimensão maximal, R ⊇ R + R0 , segue que R ⊇ R0 . Agora se S é um ideal nilpotente à esquerda de A, temos pela Proposi¸caõ (2.5) que S + SA é um ideal nilpotente de A, portanto como R tem dimensão máxima S + SA ⊆ R, logo S ⊆ R. De modo semelhante R também contém todos os ideais nilpotentes à direita de A.. ¤.

(45) ´ 2.2 Algebras báricas associativas. 2.2. 33. ´ Algebras b´ aricas associativas. Proposi¸c˜ ao 2.7. Se (A, ω) é uma álgebra bárica associativa e a ∈ A, com ω(a) = 1, então Aa é uma subálgebra bárica de (A, ω). Demonstra¸c˜ ao: Temos que Aa 6= ker(ω), pois a2 ∈ Aa e ω(a2 ) = ω(a)ω(a) = 1. Então, se b, c ∈ A, temos que (ba)(ca) = (bac)a ∈ Aa. ¤. Proposi¸c˜ ao 2.8. Se (A, ω) é uma álgebra bárica de dimensão finita tal que para algum a ∈ A, temos Aa = A, com ω(a) = 1, então (A, ω) contém um elemento idempotente de peso 1. Demonstra¸c˜ ao: De acordo com a Proposi¸caõ (2.2) tem-se dimAa = dimA se, e só se, para todo b ∈ A com b 6= 0, entao ba 6= 0. Consequentemente, ba = 0 se, e só se, b = 0. Além disso, como a ∈ A, existe e ∈ A, e 6= 0 tal que a = ea. Então, a = ea = e2 a, da´ı (e − e2 )a = 0 e e = e2 . Como 1 = ω(a) = ω(e)ω(a), segue que ω(e) = 1.. ¤. Teorema 2.9. Seja A uma álgebra associativa de dimensão finita que não é nilpotente, então A contém um elemento idempotente não nulo. Demonstra¸c˜ ao: Faremos a prova deste Teorema por indu¸caõ na dimensão n da álgebra A. Para álgebras de dimensão 1 o resultado é consequencia da Proposi¸cão (2.1). Assumiremos o resultado verdadeiro para álgebras de dimensão menor que n. Se Aa = A, para algum elemento a ∈ A, então pela Proposi¸caõ (2.2) obtemos o resultado desejado. Agora, suponhamos que Aa ⊂ A, para todo a ∈ A. Então o ideal à esquerda Aa tem dimensão menor que A e dois casos serão considerados. Se Aa é não nilpotente, então por hipótese de indu¸caõ Aa contém um elemento idempotente, o que implica que A contém um elemento idempotente. No caso em que Aa seja nilpotente, temos (AaA)k ⊆ (Aa)k A = 0, onde k é o ´ındice de nilpotência de Aa. Segue que todos os ideais AaA são nilpotentes para todo a ∈ A. Pela Proposi¸caõ (2.6) todos os ideais AaA estão contidos no radical R de A. Mas A3 pode ser visto como uma soma de um n´ umero finito de ideais Aai A, onde A = ha1 , · · · , an i sobre F . Logo A3 está no radical R de A e portanto é nilpotente, o que implica A ser nilpotente, o que contradiz a hipótese. Da´ı temos que Aa não é nilpotente.. ¤. Corol´ ario 2.10. Seja A uma álgebra de potências associativas de dimensão finita que não é uma nilálgebra. Então A tem um elemento idempotente..