Numerical solution of elastic line differential equation
Solução numérica da equação diferencial da linha elástica
Solución numérica de la línea elástica ecuación diferencial
ABSTRACT
Objectives: To determine the reflections along the axis of the girder arbitrated through the numerical
method of Runge-Kutta, purchasing it and demonstrating that this applies to engineering problems governed by differential equations. Methodology: Data of previously studied beams were used, defined by taking into consideration their structural practical use, applying the method and subsequently performing the comparative analysis of the results obtained. Results: Performing a comparative evaluation between the results achieved by analytical and numerical means, it was observed that the results obtained through the method of Runge-Kutta demonstrated to be satisfactory and precise, since the calculated absolute error varied from the order of 10-5 to 10-6, it is therefore noted that the Runge-Kutta method has applicability to the proposed problem. Conclusion: Finally, through the calculations and analysis conducted, it was proved that the method of Runge-Kutta reflected what was obtained analytically and that, therefore, can be employed to resolve the differential equation of the elastic line.
RESUMO
Objetivos: Determinar as deflexões ao longo do eixo da viga arbitrada através do método numérico de
Runge-Kutta, comprando-o e demonstrando que este é aplicável a problemas de engenharia regidos por equações diferenciais. Métodologia: Foram utilizados dados de vigas previamente estudados, definidos levando em consideração o seu uso prático estrutural, aplicando-se o método e posteriormente realizando a análise comparativa dos resultados obtidos. Resultados: Realizando-se uma avaliação comparativa entre os resultados alcançados por meio analítico e numérico, observou-se que os resultados obtidos por meio do método de Runge-Kutta, demonstraram ser satisfatórios e precisos, já que o erro absoluto apurado variou da ordem de 10-5 a 10-6, constatando-se, portanto, que o método de
Runge-Kutta tem aplicabilidade ao problema proposto. Conclusão: Por fim, através dos cálculos e análises comparativas realizadas, comprovou-se que o método de Runge-Kutta refletiu o que fora obtido analiticamente e que, portanto, pode ser empregado para solucionar a equação diferencial da linha elástica.
RESUMEN
Objetivos: Determinar las deflexiones a lo largo del eje de la viga arbitrada a través del método
numérico de Runge-Kutta, adquiriendo el mismo y demostrando que esto se aplica a los problemas de ingeniería regidos por ecuaciones diferenciales. Métodologia: Se utilizaron datos de vigas previamente estudiadas, definidos tomando en consideración su uso práctico estructural, aplicando el método y posteriormente realizando el análisis comparativo de los resultados obtenidos. Resultados: Realización de una evaluación comparativa entre los resultados obtenidos por medios analíticos y numéricos, se observó que los resultados obtenidos a través del método de Runge-Kutta demostraron ser satisfactorios y precisos, ya que el error absoluto calculado varió de la orden de 10-5 a 10-6, por lo tanto, se observa
que el método de Runge-Kutta tiene aplicabilidad al problema propuesto. Conclusión: Finalmente, através de los cálculos y análisis realizados, se probó que el método de Runge-Kutta reflejaba lo que se obtenía analíticamente y que, por lo tanto, se puede emplear para resolver la ecuación diferencial de la línea elástica.
ORIGINAL / ORIGINAL ARTICLE / ORIGINALE
Paulo Ricardo Alves dos Reis Santos¹
Jefferson de Brito Sousa²
Descriptors
Runge-Kutta. Deflexión. Precisión.
Descritores
Runge-Kutta. Deflexão. Precisão.
Descriptores
Runge-Kutta. Deflexión. Precisión.
Sources of funding: No Conflict of interest: No
Date of first submission: 2017-05-12 Accepted: 2017-06-21
Publishing: 2017-07-28
Corresponding Address
Paulo Ricardo Alves dos Reis Santos Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão. Rua Sesostre Pereira, 2066. Bairro Siriema CEP 65606-350 - Caxias (MA), Brazil
Mobile Phone: (99) 98849-2921
¹Acadêmico do Curso de Engenharia Civil. Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão – Facema. Caxias, Maranhão – Brasil. paulinho.ars@hotmail.com;
²Mestre em Matemática- UFPI. Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão – Facema. Caxias, Maranhão – Brasil. jeffersonbrito2@gmail.com
INTRODUÇÃO
Segundo Beer&Johnston(1995), a determinação da deflexão máxima sofrida por uma viga quando submetida a um determinado carregamento é de suma importância, uma vez que esta é tomada como um valor máximo admissível no momento da realização do protejo de uma viga.
Em diversas normas aplicadas à construção, por exemplo, a deflexão máxima permitida de uma viga não deve exceder 1/300 de seu comprimento (NASH, 2014).
Para a determinação das deflexões sofridas por uma viga, devemos antes determinar a equação diferencial que rege a linha elástica e que descreve a configuração deformada da mesma, para assim então, determinar mais precisamente como ocorre a deflexão e a inclinação em diversos pontos ao longo de sua seção.
A solução para tal equação, para a obtenção das deflexões a que a viga está sujeita, pode ser encontrada através de diversos métodos, dentre os quais está o método de Runge-Kutta, o qual foi eleito para ser aplicado neste trabalho.
O mesmo tem por intuito, verificar a precisão do método de Runge-Kutta quando aplicado à equação diferencial da linha elástica, determinando analiticamente as deflexões ocorridas em um modelo de viga pré-elaborado e por meio de uma análise comparativa dos resultados obtidos numericamente, concluir o quanto o método de Runge-Kutta pode ser exato quando aplicado para solucionar problemas práticos que trabalham em função de equações diferenciais.
DESENVOLVIMENTO Linha elástica
Segundo Hibbler (2010), a linha elástica é “o diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga”, sendo assim, esta representa a configuração do eixo deformado da barra após ser solicitado por um determinado carregamento.
Pode-se perceber então, que a definição do formato da linha elástica é de fundamental importância
para a determinação das máximas deformações sofridas pela viga.
Botelho (2015) relata que o traçado da linha elástica depende das características dos apoios da estrutura, os quais forneceram as condições de contorno do problema. No entanto, além dos apoios, outros fatores a regem, a exemplo do vão, do formato ou seção da viga, do material que a compõe e dos carregamentos que solicitam a mesma.
Equação da Linha Elástica
Antes mesmo de definirmos a equação diferencial da linha elástica, devemos antes, sabermos a relação momento-curvatura de uma viga, a qual é também denominada de lei de Euler-Bernoulli, dada por:
𝑀 = 𝐸𝐼 𝜌
Onde nesta expressão, M refere-se ao momento fletor que atua em uma seção transversal particular da viga, 𝜌 é o raio de curvatura da curva produzida pelo carregamento ao qual a viga fora submetida, 𝐸 é o módulo de elasticidade do material que compõe a viga, e 𝐼 é o momento de inércia da seção transversal em relação a linha neutra que passa pela pelo centro de gravidade da peça.
A figura 1 abaixo, mostra o comportamento de uma viga e sua elástica quando submetida a um carregamento qualquer.
Figura 1 – Viga deformada devido a ação do carregamento
Fonte direta
Hibbler(2010), afirma que a curva da linha da linha elástica pode ser expressa matematicamente como 𝜎 = 𝑓(𝑥), todavia, para obter esta equação devemos antes expressar a curvatura (1 𝜌⁄ ) em termos
Eq.1
Eq.3
Eq.6 de 𝑣 e 𝑥. Onde em coordenadas retangulares esta relação
é dada por
1 𝜌 =
𝑑2𝑣/𝑑𝑥²
[1+(𝑑𝑣𝑑𝑥)²]3/2
Na qual 𝑣 refere-se ao deslocamento, definido como deflexão da viga e 𝑥 representa todos os pontos a serem estudados na seção da viga. Substituindo na eq. 1 esta expressão, obtemos:
𝑀 𝐸𝐼 =
𝑑2𝑣/𝑑𝑥²
[1+(𝑑𝑣𝑑𝑥)²]3/2
A equação obtida acima representa uma equação diferencial não linear de segunda ordem, cuja solução é denominada elástica, a qual define a forma exata da linha elástica considerando-se que, os efeitos de deflexão ao longo da seção da viga ocorram apenas por flexão.
Porém, a solução exata para essas equações ainda se encontra um pouco limitada, sendo capaz solucionar a elástica somente para casos de geometria e carregamentos simples de vigas (HIBBLER,2010). Faz-se necessário então a linearização da mesma, para que se possa estender sua aplicabilidade nos mais diversos casos. Hibbler (2010) faz a seguinte ponderação acerca deste aspecto:
A maioria dos códigos e manuais de engenharia especifica limitações para as deflexões visando as questões de tolerância ou estética, e o resultado é que as deflexões elásticas para a maioria das vigas e eixos formam uma curva rasa. Por consequência, a inclinação da linha elástica determinada por 𝑑𝑣𝑑𝑥 será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível em comparação com a unidade.
Diante disso, a Eq.3 pode ser reescrita como 𝑀
𝐸𝐼 = 𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
A obtenção da inclinação e da deflexão ao longo da seção da viga pode ser obtida através de diversos métodos para a solução de equações diferenciais, dentre os quais está o método de Runge-Kutta, o qual será abordado no referido trabalho.
Equações diferenciais
As equações diferenciais possuem larga aplicação na modelagem de diversos problemas
matemáticos, dentre os quais estão: fenômeno dos transportes, mecânica das vibrações, fluxo de calor, além de outras. Estas segundo ZAMBONI (2002), são equações que buscam relacionar uma função que tem sua expressão desconhecida e suas respectivas derivadas ordinárias, tendo por objetivo:
Determinar a equação diferencial associada ao fenômeno físico ao qual está relacionada.
Encontrar a solução apropriada para esta equação.
Para este fim, há uma infinidade de métodos matemáticos que resolvem de forma analítica uma EDO, “o leitor, entretanto, não deve ser levado a crer que seja sempre possível obter a solução analítica de uma EDO. Neste caso, os métodos numéricos são a saída para se encontrar uma solução aproximada”. (BARROSO,1987)
O prezado trabalho delimitara-se a apresentar o método de Runge-Kutta para a solução da problemática aqui tratada.
Métodos de Runge-Kutta
Os métodos de Runge-Kutta foram formulados por dois exímios pensadores matemáticos alemães: Carl Runge (1856-1927) e Wilhelm Kutta (1867-1944).
A ideia básica destes métodos é fazer proveito das vantagens dos métodos de série de Taylor, e, concomitantemente, eliminar a desvantagem dos mesmos, o qual consiste no cálculo de derivadas de f (x, y) que, torna os métodos de série de Taylor computacionalmente inviáveis. (RUGGIERO & LOPES, 1997) apud. (GONÇALVES, 2005).
As fórmulas mais usuais para a resolução de problemas utilizando estes métodos são:
a) Método de Runge-Kutta de 2ª ordem: 𝑘1= 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑘2= 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + ℎ. 𝑘1) 𝑦𝑙+1≅ 𝑦1+ℎ2(𝑘1+ 𝑘2), com 𝑙=
1,2,..., 𝑛 − 1
b) Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: 𝑘1= ℎ. 𝑓(𝑥, 𝑦)
Eq.4
Eq.6 𝑘2= ℎ. 𝑓 (𝑥 + 1 2ℎ, 𝑦 + 1 2𝑘1) 𝑘3= ℎ. 𝑓 (𝑥 + 1 2ℎ, 𝑦 + 1 2𝑘2) 𝑘4= ℎ. 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3) 𝑦𝑙+1≅ 𝑦1+16(𝑘1+ 2𝑘2+ 2𝑘3+ 𝑘4), com 𝑙= 1,2,..., 𝑛 − 1
MATERIAIS E MÉTODOS
1) Inicialmente, foi determinado o modelo de viga a ser tomado por base, com condições de carga e apoio previamente definidos.
2) De posse de todas as condições iniciais definidas previamente, determina-se a equação diferencial da linha elástica correspondente ao modelo de viga optado.
3) Foi realizada sua análise matemática e posterior solução analítica, obtendo-se os valores de deflexão e declividade em pontos da viga adotada.
4) Posteriormente, o método de Runge-Kutta foi aplicado na equação diferencial, considerando o tamanho do passo “h” igual a 0,15 e 0,10, para as vigas de aço e madeira, respectivamente, adotando um número de 20 iterações, obtendo-se valores de deflexão correspondentes.
5) Realiza-se então a análise comparativa entre os dados obtidos analiticamente e os resultados encontrados numericamente quando aplicado o método de Runge-Kutta na equação diferencial.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados obtidos através dos cálculos realizados serão aqui discutidos. Foram estudados dois modelos de vigas pré-definidos, sendo uma em aço e a outra de madeira.
A primeira em condição bi-apoiada, submetida a um carregamento distribuído, e a segunda, engastada em balanço, sujeita à carga pontual na extremidade livre. Vale ressaltar, que nos cálculos realizados, utilizou-se aproximação de 6 casas decimais.
VIGA DE AÇO
A Figura 2 abaixo ilustra as condições de apoio e carregamento definidas para a análise da viga em aço.
Figura 2 – Viga bi-apoiada submetida a carregamento distribuído.
Fonte Direta
Considerou-se que esta seja feita em aço estrutural A-36, perfil W 150X13,0, possuindo momento de inércia igual a 635cm4 e módulo de elasticidade 200GPa, adotando-se para efeito de cálculo um carregamento q= 10kN/m e vão L=3m.
Solução Analítica
Para as condições supracitadas, a solução analítica da elástica para a viga dada é:
𝐸𝐼 𝑦′′= 𝑞𝐿 2𝑥 − 𝑞𝑥² 2 𝐸𝐼 𝑦′= 𝑞𝐿 4𝑥² − 𝑞𝑥3 6 + 𝑐1 𝐸𝐼 𝑦 = 𝑞𝐿 12𝑥³ − 𝑞𝑥4 24 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
De posse das condições de contorno fornecidas pela vinculação da viga temos:
p/ x=0 y=0, logo 𝑐2 = 0.
p/ x=L/2 y’=0, logo 𝑐1 = −𝑞𝑙243
Obtemos desta forma, a equação que define a deflexão da viga ao longo de seu eixo e também de suas rotações, reproduzidas abaixo,
𝑦′= 𝑞 𝐸𝐼 ( 𝐿 4𝑥² − 𝑥3 6 − 𝐿³ 24) Eq. 8 Eq. 7
𝑦 = 𝐸𝐼𝑞 (12𝐿 𝑥³ − 𝑥244 −24𝐿3 𝑥)
Aplicando-se os valores de x (pontos ao longo do eixo da viga), na Eq. 8, obtem-se os valores de deslocamento vertical “y”, resumidos a seguir na Tabela 1.
Solução pelo Método de Runge-Kutta
A fim de obter os valores de deflexão sofridos no eixo longitudinal da viga, por meio do método de Runge-Kutta, foi utilizada a Equação da Declividade, descrita abaixo, para a aplicação da rotina de cálculo.
𝑦′= 𝑞 𝐸𝐼 ( 𝐿 4𝑥 2− 𝑥3 6− 𝐿3 24) 𝑦 ′= 0,005905𝑥2− 0,001312𝑥3− 0,00885
As condições iniciais estabelecidas foram, 𝑦0= 0 e 𝑥0= 0, adotando-se o número n de subintervalos igual a 20, ou seja, dividindo a vão L da viga em 20 partes iguais para os cálculos, obtemos o passo ℎ = 3,0−020 = 0,15 e os resultados obtidos são expressos a seguir e resumidos na Tabela 1. Para n = 0: 𝑦1≅ 𝑦0+ ℎ 2(𝑘1+ 𝑘2) 𝑘1= 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(0,0) = - 0,008858 𝑘2= 𝑓(𝑥0+ ℎ, 𝑦0+ ℎ. 𝑘1) = 𝑓(0 + 0,15,0 + 0,15. 𝑓(0,0)) = -0,008730 𝑦1≅ 0 + 0,15 2 (−0,008858 − 0,008730) ≅ −0,001319 Prosseguindo desta forma até n = 19, têm-se os valores na Tabela 1 descrita a seguir.
Tabela 1 – Resumo dos valores de deflexões obtidos analiticamente e através do método de Runge-Kutta na
viga em aço A-36. n x SOLUÇÃO ANALÍTICA y(mm) SOLUÇÃO MÉTODO DE RUNGE y(mm) 0 0 0 0 0 1 0,15 0,001322 0,001319 0,000003 2 0,30 0,002607 0,002601 0,000006 3 0,45 0,003820 0,003812 0,000008 4 0,60 0,004932 0,004922 0,000010 5 0,75 0,005917 0,005905 0,000012 6 0,90 0,006753 0,006739 0,000014 7 1,05 0,007421 0,007406 0,000015 8 1,20 0,007909 0,007893 0,000016 9 1,35 0,008206 0,008189 0,000017 10 1,50 0,008305 0,008288 0,000017 11 1,65 0,008206 0,008189 0,000017 12 1,80 0,007910 0,007893 0,000017 13 1,95 0,007423 0,007406 0,000017 14 2,10 0,006755 0,006738 0,000017 15 2,25 0,005920 0,005904 0,000016 16 2,40 0,004936 0,004921 0,000015 17 2,55 0,003824 0,003811 0,000013 18 2,70 0,002612 0,002600 0,000012 19 2,85 0,001328 0,001318 0,000010 20 3,00 0 0,000002 0,000002 VIGA DE MADEIRA
A Figura 3 , a seguir, representa as condições de vinculação e carregamento adotadas para o estudo da deflexão da viga de madeira.
Foi considerado que esta seja confeccionada madeira Angelim-pedra, b=20 cm e h=40 cm, com carregamento pontual de 10kN na extremidade livre da viga, com vão de 2 metros, sendo seu módulo de elasticidade igual a 11572MPa e inércia calculada para seção igual a 0,001066 𝑐𝑚4, portanto o módulo de rigidez axial 𝐸𝐼 = 12335,752 𝑘𝑁. 𝑚².
Figura 3 – Viga engastada em balanço submetida a carregamento pontual
.
Fonte Direta
Solução Analítica
Solucionando-se analiticamente a equação da linha elástica da viga acima ilustrada temos:
𝐸𝐼𝑦′′= −𝑀 = 𝑃𝐿 − 𝑃𝑥 𝐸𝐼𝑦′= ∫ 𝐸𝐼𝑦′′= 𝑃𝐿𝑥 − 𝑃𝑥² + 𝑐1 𝐸𝐼𝑦 = ∫ 𝐸𝐼𝑦′= 𝑃𝐿 2 𝑥2− 𝑃𝑥3 6 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
As condições iniciais fornecidas pela situação de apoio da viga nos dão:
p/ x=0 y’=0, logo 𝑐1 = 0
Assim, definem-se as equações de deflexão e declividade para a viga em estudo:
𝐸𝐼𝑦′= 𝑃𝐿𝑥 − 𝑃𝑥2 𝑦′ = 𝑃 𝐸𝐼 (𝐿𝑥 − 𝑥2 2) 𝐸𝐼𝑦 =𝑃𝐿 2 𝑥2− 𝑃𝑥3 6 𝑦 = 𝑃 2𝐸𝐼 (𝐿𝑥² − 𝑥³ 3)
Por fim, aplica-se os valores de x (pontos ao longo da seção viga), na Eq. 14,obtendo-se os valores de deflexão sintetizados na Tabela 2.
Solução pelo Método de Runge-Kutta
Objetivando obter os valores de deflexão sofridos pela viga aplicando-se o método de Runge-Kutta, seguiu-se utilizando a Equação da Declividade, para a aplicação do algoritmo. 𝑦′= 𝑃 𝐸𝐼 (𝐿𝑥 − 𝑥2 2) 𝑦 ′= 0,001620𝑥 − 0,000405𝑥2
Ciente das condições iniciais estabelecidas, sendo 𝑦0= 0 e 𝑥0= 0, prossegue-se com o número n de subintervalos igual a 20, consequentemente obtemos um passo h igual a 0,10 e os resultados encontrados discriminados a seguir e sintetizados na Tabela 2. Para n = 0: 𝑦1≅ 𝑦0+ ℎ 2(𝑘1+ 𝑘2) 𝑘1= 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(0,0) = 0 𝑘2= 𝑓(𝑥0+ ℎ, 𝑦0+ ℎ. 𝑘1) = 𝑓(0 + 0,1,0 + 0,1. 𝑓(0,0)) = 0,000158 𝑦1≅ 0 + 0,10 2 (0 + 0,000158) ≅ 0,000008
Conduzindo-se os cálculos até n=19, temos os valores de deflexão expressos na tabela a seguir:
Tabela 2 - Resumo dos valores de deflexões obtidos analiticamente e através do método de Runge-Kutta na
viga em madeira. n x SOLUÇÃO ANALÍTICA y(mm) SOLUÇÃO MÉTODO DE RUNGE y(mm) 0 0 0 0 0 1 0,1 0,000008 0,000008 0 2 0,2 0,000031 0,000031 0 3 0,3 0,000069 0,000069 0 4 0,4 0,000121 0,000121 0 5 0,5 0,000186 0,000186 0 6 0,6 0,000262 0,000263 0,000001 7 0,7 0,000351 0,000351 0 8 0,8 0,000449 0,00045 0,000001 9 0,9 0,000558 0,000558 0 10 1 0,000675 0,000675 0 11 1,1 0,0008 0,0008 0 12 1,2 0,000933 0,000933 0 13 1,3 0,001072 0,001072 0 14 1,4 0,001217 0,001217 0 15 1,5 0,001367 0,001367 0 16 1,6 0,001521 0,001521 0 17 1,7 0,001678 0,001678 0 18 1,8 0,001837 0,001837 0 19 1,9 0,001998 0,001998 0 20 2,0 0,00216 0,00216 0
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Desta forma, por meio das comparações entre as soluções obtidas através da aplicação do método analítico e de Runge-Kutta, e a respectiva obtenção do erro absoluto entre os resultados de ambos, tendo este variado da ordem de 10-5 a 10-6, conclui-se que o método de Runge-Kutta convergiu, obtendo-se resultados com precisão bastante satisfatória.
Através do estudo aqui realizado pôde-se constatar a aplicabilidade do método de Runge-Kutta em problemas que envolvem a obtenção das deflexões em vigas através da Equação Diferencial da linha elástica, pois os valores de deslocamentos verticais (y) obtidos apresentaram variações muito pequenas, na ordem de milímetros, e que em uma posterior aplicação prática estrutural não seriam muito significativas.
Eq. 13
Eq. 14
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON E. R. Resistência dos Materiais. 3. Ed. São Paulo: McGraw Hill,1995.
NASH, William A.; Resistência dos materiais; Porto Alegre: Bookman, 2014.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
BOTELHO, Manoel Henrique Campos; Resistência dos materiais: para entender e gostar; 3.ed., São Paulo: Blucher, 2015
ZAMBONI, Lincoln César; MONEZZI JR., Orlando; Cálculo numérico para universitários; São Paulo: Páginas & Letras, 2002.
BARROSO, Leônidas Conceição et. al.; Cálculo numérico: com aplicações; 2 ed. São Paulo: Harbra ltda., 1987. GONÇALVES, I. H., Análise de Deformações em Vigas com Comportamento Geometricamente Não-Linear, Itajubá, 171p. Dissertação (Mestrado em Projeto e Fabricação) - Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá, 2005.
