Solução dos Problemas de CMQ 1 Semestre 2009/2010

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Solu¸cão dos Problemas de CMQ 1◦ _{Semestre 2009/2010} 1. a) Uma regra emp´ırica diz que um sólido funde quando a amplitude de oscila¸cão dos

núcleos excede 1/4 da distância interatómica. Fa¸ca uma estimativa das frequências de fonões num sólido.

A distância interatómica é da ordem de alguns (poucos) ˚A. A regra indica-nos que a amplitude das vibra¸cões dos átomos num sólido atinge essa ordem de grandeza. A incerteza na posi¸cão pode então ser estimada grosseiramente como ∆x ' 1 ˚A. Da incerteza de Heisenberg obtemos que ∆p ' ~/∆x. Como é uma oscila¸cão < p >= 0 e temos que a ordem de grandeza de p 'p< p2 _{> ' ~/∆x, e a energia cinética á}

Ek ' ~ 2 2M ∆x2 ' ~2 2M ∆x2 ' 1 A ~2 2mp∆x2

onde A é o número de nucleões e mp a massa do protão. A energia total é da mesma ordem de grandeza pelo que

ω ' 1 A ~ 2mp∆x2 ' 1 A3 × 10 12 _Hz

o que dá uma ordem de grandeza do Terahertz que está perto dos valores observados. Este racioc´ınio não é muito preciso porque o limite da incerteza de Heisenberg corre-sponde ao estado fundamental, e a fusão ocorre quando já há muitos fonões excita-dos, sem falar que ignora as rela¸cões de dispersão com os seus fonões acústicos. De

ω = pk/M e usando o facto que a constante de mola ´e da ordem de 1 em unidades

at´omicas ter´ıamos uma estimativa mais precisa, em particular na dependˆencia de ω em

A.

b) Uma massa de 10 kg está pendurada de um fio de a¸co com 0.4 mm de diâmetro e comprimento de 2 m. Não tem uma tabela de módulos de Young mas tem à mão uma tabela das constantes da natureza. Obtenha uma ordem de grandeza para o elongamento do fio. Procure uma tabela e compare com a estimativa feita.

A tensão no fio é τ = mg/A ' 8 × 108 _{Pa. O alongamento relativo do fio é dado por}

∆l/l = τ /E, onde o módulo de Young tem as mesmas dimensões que a tensão. A unidade atómica de tensão pode ser determinada pelo método geral de análise dimen-sional, mas neste caso vamos usar um atalho usendo o que foi feito na aula. A unidade atómica de comprimento é o bohr, e a de energia é o Hartree. Como uma pressão é uma densidade de energia temos que

1 u.a.press˜ao ' 27.2 eV × 1.6 × 10 −19 _J/eV (0.529 × 10−10 _m)3 ' 2.9 × 10 13 _Pa. Assim ∆l/l ' 8 × 108 _{Pa/2.9 × 10}13 _{Pa ' 2.7 × 10}−5_{, e} ∆l = 5.4 × 10−5 _m.

O módulo de Young do a¸co é da ordem E ∼ 200 GPa, cerca de 100 vezes inferior à nossa estimativa. Este valor pode ser ligado ao facto que as liga¸cões qu´ımicas têm energias

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menores que 27.2 eV, e as distâncias interatómicas no a¸co são maiores que 0.5 ˚A. Se considerarmos que a energia de coesão do ferro é da ordem de 4 eV por átomo e a distância interatómica é da ordem de 2.5 ˚A, vemos de onde vem o relativo falhan¸co da estimativa.

2. Obtenha a unidade atómica de densidade de corrente eléctrica. Fa¸ca uma estimativa da densidade de corrente eléctrica no fio de um candeeiro em sua casa. Porque é que pode usar a lei de Ohm nesse fio?

A densidade de corrente eleéctrica tem a unidade de carga por unidade de área e por unidade de tempo. A unidade de carga em u.a. é e, a unidade de distância em u.a. é

a0 = ~ 2 me e 2 4πε0 ' 5.291772 × 10−11 m

e a unidade de tempo em u.a. ´e ~ EH = ~ 3 me µ e2 4πε0 ¶2 ' 2.418884 × 10 −17 _s

pelo que a unidade de densidade de corrente el´ectrica ´e

j0 = eEH ~a2 0 = e m3 e µ e2 4πε0 ¶4 ~7 ' 2.38 × 10 18 _Am−2_.

Vamos agora estimar as densidades de corrente num fio de candeeiro. Para uma potˆencia de 100 W vamos ter uma corrente da ordem de 0.5 A. Para um fio com um diˆametro um pouco inferior ao mm, vamor ter uma densidade de corrente da ordem de jfio '

106 _Am−2 _{o que é muito pequeno em unidades atómicas. Se a densidade de corrente é} pequena podemos supor ela é linear no campo eléctrico (lei de Ohm).

3. É poss´ıvel integrar numericamente a equa¸cão de Schrödinger a uma dimensão usando “Mathematica”. O objectivo deste problema é a familiariza¸cão com este software no contexto da mecânica quântica. Vamos considerar o po¸co de potencial V (x) =

−1.5 exp(−x2_{/12) em unidades at´omicas de energia. Primeiro vamos encontrar os}

esta-dos ligaesta-dos de V . Para tal come¸camos por escolher uma energia eig = -0.8 e pedir a solu¸cão simétrica da equa¸cão de Schrödinger para esta energia,

NDSolve[{ (-1/2) y’’[x] - 1.5 Exp[-x^2 / 12] y[x] == eig y[x], y[0]==1,y’[0]==0},y,{x,-10,10}]

podemos depois observar esta solu¸c˜ao no ecran com o comando Plot[{eig+Evaluate[y[x]/. %],eig,-1.5 Exp[-x^2 / 12]},

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{x,-10,10},PlotRange->{-5,5}]

onde desenhamos a fun¸cão de onda, a energia e o potencial. Note que o zero da fun¸cão de onda está deslocado de eig. Como eig não é um valor próprio, a fun¸cão de onda diverge para grandes valores de x. Variando o valor de eig e repetindo os cálculos podemos obter um valor numérico aproximado para os valores próprios.

a) Obtenha a fun¸cão de onda para o estado não ligado simétrico com energia 0.1.

-40 -20 20 40

-2 -1 1 2

Vemos que a fun¸cão de onda fora do po¸co de potencial é sinusoidal. por uma razão “misteriosa” a part´ıcula não gosta de estar onde o potencial é atractivo.

b) Obtenha todos os estados ligados do potencial V , apresentando os valores próprios e o gráfico correspondente. Verificar no gráfico a posi¸cão dos pontos de infleçcão e as regiões de comportamento oscilatório.

Os valores pr´oprios s˜ao -1.265712, -0.46899, -0.0215 para os estados pares,

-10 -5 5 10 -2 -1 1 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -1 1 2 -20 -10 10 20 -2 -1 1 2

e -0.83118 e -0.1908 para os estados ´ımpares.

-10 -5 5 10 -2 -1 1 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -1 1 2

podemos verificar nos gráficos que os pontos de infleçcão correspondem à diferen¸ca nula entre o potencial e a energia, e que as regiões oscilatórias correspondem às regiões classicamente permitidas.

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4. A figura 1 mostra um interferómetro de neutrões que tem a particularidade de poder ser rodado em torno do eixo incidente. As dimensões são a = 2 mm, d = 35 mm. Com uma radia¸cão de neutrões com um comprimento de onda de λ = 1.445 ˚A o ângulo de Bragg é θ = 22.1◦_.

a) Qual ´e a energia e a velocidade dos neutr˜oes?

p = h λ '

2π × 1.055 × 10−34 _Js

1.445 × 10−10 _m ' 4.58 × 10

−24 _{J s m}−1 pelo que a velocidade ´e

v = p m ' 4.58 × 10−24 _{kg m s}−1 ×1.67 × 10−27 _kg ' 2.7 × 10 3 _{m s}−1 e a energia ´e E = p 2 2m = h2 2mλ2 ' (4.58 × 10−24 _{kg m s}−1₎2 2 × 1.67 × 10−27 _kg ' 6.3 × 10 −21 _{J ' 39 meV.}

b) Verifique que os dados são consistentes com um interferómetro constru´ıdo em sil´ıcio. De nλ = 2dBsin θ temos que dB = n1.92 ˚A. A constante de rede do Si é al = 5.43 ˚A.

Temos que al '√8dB/n o que corresponde à difraçcão (2, 2, 0), ou seja de ordem 2 dos

planos de Miller (1, 1, 0).

c) Qual é a separa¸cão máxima entre as duas partes do pacote de ondas?

Pela geometria vemos que é de 2d sin θ ' 26 mm. Notar que é uma distância bem macroscópica!

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d) A figura 2 mostra o contraste na intensidade de neutrões entre os detectores 2 e 3. Mostre que o ângulo entre extremos do contraste é o esperado pelo efeito da gravi-dade. (Há algum erro sistemático nesta experiência de 1975 devido à deforma¸cão do interferómetro. Medidas recentes reduziram esse erro.)

O comprimento do bra¸co do interferómetro é l = d/ cos θ ' 38 mm. A distância entre dois percursos paralelos é l sin 2θ. A diferen¸ca de alturas entre os dois bra¸cos horizontais do interferómetro é l sin 2θ sin φ, pelo que a diferen¸ca de energia do neutrão entre os dois bra¸cos é

∆E = −mgl sin 2θ sin φ.

No bra¸co inferior do interferómetro a fun¸cão de onda oscilou l/λ vezes. O contraste completa uma oscila¸cão quando no bra¸co superior do interferómetro a fun¸cão de onda oscilar l/λ − 1, ou seja quando o comprimento de onda satisfizer a condi¸cão

λ0 ₌ l l λ− 1 = λ(1 + _l 1 λ − 1 ) = λ + ∆λ com ∆λ ' λ2_/l. De E = _2mλh22 temos que ∆E ' −2h 2_∆λ 2mλ3 = −2E ∆λ λ ' −2E λ l o que d´a

−mgl sin 2θ sin φ ' −2Eλ l

O que resolvendo em ordem a φ dá sin φ ' 2 sin 2θ E mgl λ l ' 2.87× 6.3 × 10−21 _J 6.35 × 10−28 _J× 1.445 × 10−10 _m 3.8 × 10−2 _m ' 2.87×10 7_×3.8×10−9_, pelo que sin φ ' 0.11 e o ângulo é φ ' 6.3◦_{, perto do valor da figura de aproximadamente}

φexp' 7◦_{. Note o agrupamento dos factores na expressão que derivámos, em que entra a} “resolu¸cão” do interferómetro, e a precisão na diferen¸ca de energias que se quer detectar.

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5. Um spin 1/2 ´e um dos sistemas f´ısicos cujos estados s˜ao descritos pelo espa¸co de Hilbert

H = IC2_{. Pode usar o Mathematica desde que pense sobre o resultado.}

a) Mostre que todos os observ´aveis podem ser escritos como uma combina¸c˜ao linear com coeficientes reais das matrizes

I 1 = ~ 2 µ 1 0 0 1 ¶ σx = ~ 2 µ 0 1 1 0 ¶ σy = ~ 2 µ 0 −i i 0 ¶ σz = ~ 2 µ 1 0 0 −1 ¶ .

A forma mais geral de uma matriz 2 por 2 herm´ıtica ´e ~ 2 µ a b + ic b − ic d ¶ = a + d 2 1 + bσxI + dσy + a − d 2 σz, com a, b, c, d reais.

b) Calcule os valores e vectores pr´oprios das matrizes σx, σy e σz.

Todas têm os valores próprios ~/2 e −~/2. Os vectores próprios de σx são √1

2(1, 1) e 1

√

2(−1, 1), os vectores pr´oprios de σy s˜ao 1

√

2(−i, 1) e 1

√

2(i, 1), e os vectores pr´oprios de σz s˜ao (1, 0) e (0, 1).

c) Calcule os valores e vectores pr´oprios da matriz σ2 _{= σ}2

x+ σ2y+ σz2. σ2 = σ2x+ σy2+ σ2z.

σ2 = 3 4~ I1

pelo que só tem um valor próprio degenerado, e todos os vectores são vectores próprios. s2 = sx.sx + sy.sy + sz.sz

d) Calcule os comutadores [σx, σy], [σy, σz], e [σz, σx].

[σx, σy] = i~σz, [σy, σz] = i~σx, [σz, σx] = i~σy, que são as rela¸cões de comuta¸cão do momento angular.

sx.sy - sy.sx

e) Calcule as matrizes σ+ = σx+ iσy e σ− = σx− iσy, mostre que não correspondem a observáveis e calcule a sua açcão nos estados próprios de σz.

σ+ = ~ µ 0 1 0 0 ¶ e σ− = ~ µ 0 0 1 0 ¶ .

Como não são matrizes herm´ıticas, não correspondem a observáveis. σ+(1, 0) = 0, σ+(0, 1) = (1, 0), σ−(1, 0) = (0, 1), σ−(0, 1) = 0, pelo que σ+ aplicado ao vector de

valor próprio +~/2 dá o vector nulo, e aplicado ao vector de valor próprio −~/2 dá o vector de valor próprio +~/2. Estes operadores permitem a partir de um estado próprio obter os outros.

sp = sx + I sy sp.{1, 0}

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f) O vector ~u = (ux, uy, uz) tem m´odulo 1, (|~u| = 1). Calcule os valores e vectores pr´oprios de ~u · ~σ.

Os valores próprios são −1/2 e 1/2 e os vectores próprios (não normalizados) são (uz−

1, ux+ iuy) e (uz + 1, ux+ iuy)

Eigensystem[ux sx + uy sy + uz sz] /. ux^2 + uy^2 + uz^2 -> 1

Este operador corresponde a um spin 1/2 quantificado na direçcão ~u. Temos assim o operador de projeçcão do spin 1/2 numa direçcão arbitrária, e os respectivos estados próprios.

6. Considere um sistema quântico a 2 n´ıveis. O Hamiltoniano não perturbado é diagoanal,

H(0) = µ E + ∆E 0 0 E − ∆E ¶ .

Vamos considerar o caso mais geral para uma perturba¸c˜ao,

H(1) = µ a + d b + ic b − ic a − d ¶ .

onde todos os coeficientes s˜ao reais.

Vamos entrar as matrizes no Mathematica. h0 = en + delen, 0, 0, en - delen

h1 = a + d, b + I c, b - I c, a - d sol = Eigenvalues[h0 + h1] vec = Eigenvectors[h0 + h1]

a) Calcule exactamente os valores pr´oprios e vectores pr´oprios de

H = H(0)_{+ H}(1)_.

Os valores pr´oprios s˜ao

E + a ±pb2_{+ c}2_{+ d}2_{+ 2d∆E + ∆E}2

e os vectores pr´oprios s˜ao

(d + ∆E ±pb2_{+ c}2_{+ d}2_{+ 2d∆E + ∆E}2_{, b − ic)}

Note que E + a e d + ∆E vêm sempre juntos, e que E + a não aparece na expressão dos vectores próprios.

b) O qua acontece no caso particular ∆E = 0? Os valores pr´oprios s˜ao

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c) Obtenha para o caso geral uma aproxima¸c˜ao para os dois casos limites ∆E ¿pb2_{+ c}2_{+ d}2 _{e ∆E À}p_b2_{+ c}2_{+ d}2_.

Temos que apenas aproximar o que est´a dentro da ra´ız quadrada. No primeiro caso temos p b2_{+ c}2_{+ d}2_{+ 2d∆E + ∆E}2 ₌p_b2_{+ c}2_{+ d}2 r 1 + 2d∆E b2_{+ c}2_{+ d}2 + ∆E2 b2_{+ c}2_{+ d}2 'pb2_{+ c}2_{+ d}2_{(1 +} d∆E b2_{+ c}2_{+ d}2) =pb2_{+ c}2_{+ d}2₊ _√ d b2_{+ c}2_{+ d}2∆E

No segundo caso temos que p

b2_{+ c}2_{+ d}2_{+ 2d∆E + ∆E}2 _{= ∆E}

r 1 + 2d ∆E + b2_{+ c}2_{+ d}2 ∆E2 ' ∆E(1 + d ∆E) = ∆E + d

d) Compare o resultado da al´ınea anterior com teoria das perturba¸c˜oes.

No primeiro caso temos que usar a teoria das perturba¸cões para o caso quase degener-ado, o que corresponde ao que fizemos. Tratando ∆E como a perturba¸cão obtemos a expressão da al´ınea anterior. Para o segundo caso a teoria de perturba¸cões em primeira ordem dá o resultado anterior.

e) Encontre uma rela¸c˜ao entre H(1) _{e o problema anterior?}

Tirando o parâmetro a que é apenas uma constante adicional para a energia, e portanto não muda a física, H(1) _{= ~}_{B · ~}_{S em que B = (b, c, d)/~. Note que este é o hamiltoniano}

da interaçcão entre um campo magnético e um spin 1/2. Todos os sistemas a dois n´ıveis acabam por ter a mesma F´ısica.

O caso ∆E À √b2_{+ c}2_{+ d}2 _{corresponde a um sistema que tem um campo magn´etico}

forte segundo z ao qual é adicionado um campo magnético arbitrário. A perturba¸cão é dada pelo componente do campo na direçcão z ou seja d.

O caso ∆E ¿√b2_{+ c}2_{+ d}2 _{corresponde a um sistema que tem um campo forte numa}

direçcão arbitrária, ao adicionar um campo fraco na direçcão z vamos ter uma per-turba¸cão proporcional à projeçcão de z nessa direçcão, da´ı o termo d/√b2_{+ c}2_{+ d}2_.

7. Resolva o problema do efeito Stark (campo eléctrico uniforme) no n´ıvel n=3 do hidro-génio não relativista. Não é preciso calcular os integrais, mas deverá ser poss´ıvel obter as fun¸cões de onda perturbadas e explicar o padrão dos deslocamentos dos n´ıveis de energia.

a) Escolha a representa¸cão das fun¸cões angulares e direçcão do campo que facilitam a resolu¸cão do problema.

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Vamos ter 1 fun¸cão de onda 3s, 3 fun¸cões de onda 3p e cinco fun¸cões de onda 3d, no total 9 fun¸cões de onda. Todas têm a mesma energia. (Estamos a desprezar o spin.) Há várias escolhas. O campo elćtrico na direçcão z é uma escolha óbvia, mas para a parte angular das fun¸cões de onda pode-se escolher a conven¸cão dos f´ısicos Y`m ou a dos qu´ımicos px, py, pz.

Vamos fazer a escolha qu´ımica das fun¸c˜oes de onda: s, px, py, pz, dxy, dyz, dzx, dx2_−y2

e d2z2_−x2_−y2.

b) Qual ´e o padr˜ao da matriz a diagonalizar?

Segundo a teoria de perturba¸c˜oes degeneradas vamos ter que diagonalizar a matriz da perturba¸c˜ao no subespa¸co degenerado. Usando a base escolhida anteriormente vamos ter VStark =              0 0 0 Vsp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vpd 0 0 0 0 0 0 0 Vpd 0 0 0 Vsp 0 0 0 0 0 0 0 V2pd 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vpd 0 0 0 0 0 0 0 Vpd 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V2pd 0 0 0 0 0             

c) O que pode dizer sobre as fun¸c˜oes de onda perturbadas?

As fun¸cões perturbadas vão ser dx2_−y2, p_x + dzx, p_x − d_zx, p_y + dyz, p_y − dyz, e três

combina¸c˜oes lineares de s, pz, d2z2_−x2_−y2.

d) O que pode dizer sobre as energias perturbadas?

A fun¸c˜ao dx2_−y2 fica com a mesma energia, os pares px+dzx, p_x−d_zx e py+dyz, p_y−d_yz

abrem um hiato en energia com ∆E = ±Vpd. Do grupo s, pz, d2z2_−x2_−y2 uma fun¸c˜ao

fica com a mesma energia, as outras duas abrem um hiato ∆E = ± q

V2