Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Bacharelado em Ciências e Humanidades
BC 0005 – Bases Computacionais da Ciência
Representação Gráfica de Funções
Slides da Profª. Maria das Graças B. Marietto e Jesus Mena, adaptados por
Motivação
Em diferentes áreas da Ciência busca-se modelar
fenômenos por médio de funções matemáticas a fim de reproduzir os comportamentos observados na natureza. Dado um modelo, muitas vezes, temos a necessidade de
visualizar o comportamento do mesmo.
Gráficos de funções auxiliam o entendimento dos
Motivação
Motivação
Crescimento de população, ciencia, ...
Wikipedia:
Função
O estudo de funções decorre da necessidade de:
Analisar fenômenos, visualizando o comportamento de
um sistema.
Interpretar interdependências, entendendo como uma
variável comporta-se com relação à outra.
Encontrar soluções de problemas.
Descrever regularidades. Generalizar.
Encontrar Soluções de Problemas
Definição de uma função
Uma função é uma regra segundo a qual, para cada
elemento x em um conjunto A corresponde um único
elemento y em um conjunto B.
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto
B é o contra-domínio, ou imagem. y = f(x)
Definição de uma função
Considere a variação de espaço em relação ao tempo,
durante a trajetória de um trem por uma ferrovia
O que se deseja saber é como varia o espaço percorrido pelo
trem de acordo com o tempo gasto
Foram feitas medidas do espaço
percorrido pelo trem em intervalos
de tempo iguais, por exemplo, de hora em hora,
com os seguintes resultados:
Tempo (h) Espaço (Km) 0 0 1 20 2 40 3 60 4 80
Definição de uma função
Podemos afirmar que entre dois conjuntos há uma
correspondência quando existe uma “regra” tal que, ao se
Existe uma regra de
formação, que relaciona
estes dois conjuntos
Definição de uma função
Dados os conjuntos T (tempo) e E (espaço).
Qual a regra que associa um elemento de T a um elemento de E?
Definição de uma função
A correspondência entre os mesmos pode ser representada pela seguinte frase:
Dados os conjuntos T (tempo) e E (espaço).
Qual a regra que associa um elemento de T a um elemento de E?
Definição de uma função
Espaço = 20 * Tempo E = 20*t
y = f(t) = 20*t
Domínio da função = conjunto do tempo
Imagem da função = conjunto dos valores do espaço percorrido
y = f(0) = 20*0 = 0 y = f(1) = 20*1 = 20 y = f(2) = 20*2 = 40
Exercício
Determine:
a) Variáveis envolvidas b) Domínio da função c) Conjunto imagem
d) A variação da dívida entre
os anos de 1985 e 1987 e) A dívida permaneceu
constante em algum período?
A dívida pública dos EUA (em bilhões de dólares) para alguns anos encontra-se no gráfico a seguir:
Representação de uma função
Uma função pode ser representada das seguintes formas:
Verbalmente (descrevendo-a com palavras) Numericamente (através de tabela de valores) Visualmente (através de gráficos)
Representação gráfica (exemplo 1)
Suponha que deseja-se prever a taxa de crescimento de
uma faixa sócio econômica da população em um período
de anos não abordado na pesquisa.
Seria necessário fazer um modelo matemático em cima
do gráfico obtido com os dados disponíveis para se conseguir a informação desejada através de uma
Considere os dados da tabela que mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias
Populações, em geral, crescem muito rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir
Dividindo a população de cada geração pela da geração
anterior, obtém-se:
Efetuando os mesmos
cálculos para os outros dados, teremos também o valor 1,3
Esta é uma função exponencial com base 1,3, assim
chamada porque a variável x está no expoente
A base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração.
Considerando r a taxa
percentual, diz-se neste caso
que a taxa de
crescimento
Ferramentas de visualização
Existem diversas ferramentas para utilizadas em calculos matemáticos avançados. - Matlab - Maple - Octave - Scilab - Rlab (r-project) - SciPy (python) - Fortran
Scilab
É um software utilizado para resolução de problemas
numéricos. É gratuito e distribuído com código fonte.
Permite trabalhar com diversos objetos matemáticos
(matrizes, polinômios, equações, etc.)
Ambiente de programação que permite a criação de novas
funções/bibliotecas do usuário
A interação do usuário com o Scilab pode ocorrer de duas formas distintas:
Na primeira forma, os comando são digitados diretamente no
prompt do Scilab:
Ao ser pressionada a tecla Enter, os comandos digitados são
interpretados e imediatamente executados
O Scilab funciona como uma sofisticada calculadora
Na segunda forma, um conjunto de comandos é digitado em um arquivo texto:
Este arquivo, em seguida, é levado para o ambiente Scilab e
Digitando o comando:
estaremos criando uma variável real chamada x cujo valor é
igual a 2.
O ponto-e-vírgula ao final da instrução não é obrigatório.
Caso ele não seja colocado, a variável será apresentada na tela:
Em programas computacionais precisamos armazenar informações para utilizarmos durante a execução do programa Armário Memória do computador 3000:B712 2000:12EC
Variáveis
As linguagens de programação permitem que os usuário
atribuam nomes para as posições de memória da máquina
Armário Memória do computador nome idade nacionalidade profissao
Variáveis
Uma variável é um endereço da
memória de acesso randômico (RAM), representada por um nome (rótulo),
criado pelo usuário, cujo conteúdo pode se alterar no decorrer do programa.
nome
Uma variável é composta por dois elementos:
• Identificador: nome dado pelo programador à variável
nome idade nacionalidade profissao Maria Carla nome Identificador 17 idade Identificador brasileira nacionalidade Identificador estudante profissao Identificador
Variáveis
Uma variável assume apenas
Vetor
•
Tipo especial de variável
•
Pode ser utilizado par armazenar o valor de
uma sequência de variáveis do mesmo tipo
•
Rótulo
• Endereço da primeira variável da sequência
•
Número de dimensões
• Unidimensional
Veremos agora como, cada vez que mencionarmos o
nome de uma variável, estaremos na verdade utilizando o
seu conteúdo
Esta operação define y como sendo uma variável
com valor igual ao valor de x mais cinco, ou seja,
y terá um valor igual a 7
Neste caso, z será igual à multiplicação dos
valores guardados em x e y, ou seja, z será igual
a 14
Aqui, w será igual à divisão dos valores
guardados em z e x, ou seja, w
Além dos operadores acima, o Scilab possui várias funções matemáticas que podem ser facilmente utilizadas, como por exemplo:
Scilab
Vamos considerar a função:
Existem duas formas para se definir estes valores:
Definindo diretamente os pontos x nos quais queremos
Scilab – Passo 1
No intervalo x [0;2]
Sempre que desejamos produzir um gráfico de uma função,
precisamos definir em quais pontos gostaríamos de visualizar a função, ou seja, para quais valores de x.
Iremos definir para a função sin(x) um intervalo de valores
de x no qual queremos plotar a função: [0;2 ].
Tal instrução criará um vetor x cujo primeiro valor será igual
ao primeiro valor do intervalo.
O segundo valor será dado pelo valor anterior somado ao valor do passo.
Por exemplo, considere o seguinte comando:
Que irá resultar no vetor:
x=[0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 ... 6.28]
Tendo criado um vetor x, precisamos agora encontrar os
valores de f (x) nestes pontos. Para tanto, utilizamos o
seguinte comando:
Gera um vetor f cujos elementos
Finalmente, podemos fazer o gráfico utilizando o comando:
O primeiro parâmetro se
refere ao eixo das abscissas e o
segundo ao eixo das ordenadas
Resumindo o que foi visto até aqui, produzimos o gráfico
utilizando a seguinte sequência de instruções:
Para colocar nomes nos eixos dos gráficos podemos usar os comandos:
Para colocar as linhas de grade no gráfico, podemos usar o comando:
--> a=gca();
--> a.grid = [1 1]
Para alterar a cor da curva no gráfico, podemos adicionar um parâmetro ao comando plot, dado pela primeira letra da cor desejada em Inglês. Por exemplo:
Cuidados adicionais
Multiplicação/divisão entre vetores:
--> z = x.*y; --> w = x./y; --> p = x.^2; x = -10 : 0.01 : 10; y1 = x.^2; plot(x,y1); y2 = x.* exp(x); plot(x,y2);
x = 1:0.01:4; y = x.^2-5.*x+6; plot(x,y) a=gca(); a.data_bounds=[1,-1;4,1]; a.grid = [1 1];
Construção de gráficos em 2D
Raizes: x=2 e x=3x = -5*%pi : 1 : 5*%pi ; y = sin(x) ; plot ( x, y, 'bo-') ; x = -5*%pi : 0.5 : 5*%pi ; plot ( x, cos(x), 'r*-') ; x = -5*%pi : 0.1 : 5*%pi ; plot(x, cos(x+0.5)) ;
Construção de gráficos em 2D
no intervalo x = [0; 40]
Gráficos tridimensionais
Comandos usados para a criação de gráficos em 3D: o meshgrid: cria matrizes ou vetores 3D
o plot3d: cria um gráfico 3D
Vamos criar o gráfico 3D da seguinte função:
Para o gráfico deste exercício, agora diminua o intervalo de variação dos valores da variável d, para 1
z=9-(x
2+y
2)
Atividade em aula
A empresa COLKS é a uma indústria automobilística em um pais,
onde a moeda oficial é o dubila. O lucro mensal da COLKS é função
do número de carros produzidos no mês.
Ela tem um custo fixo de 50 dubilas e um custo variável em função
do número de carros produzidos no mês (NC) dado por 48(NC)0,9.
Vamos dizer que ela venda cada carro por 50 dubilas. Assim, o seu lucro L mensal é dado por
1. Determine o lucro L da COLKS ao produzir NC=1, NC=4 e
NC=10 carros. Interprete os resultados que você obteve.
2. Agora faça um gráfico de L em função de NC para 0≤NC≤ 20. A partir de quantos carros mensalmente vendidos a COLKS começa