1 Erat ostenes de Cirene, com os p es na Terra, medindo seu raio

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TR^

ES EVENTOS

DA HIST ¶

ORIA DA GEOMETRIA

Prof. Jo~ao C.V. Sampaio DM-UFSCar

1 Erat¶

ostenes de Cirene, com os p¶

es na Terra, medindo

seu raio

Erat¶ostenes de Cirene, que viveu no per¶³odo 275 a.C. a 195 a.C., foi bibliotec¶ario chefe da grande Biblioteca (Museum) de Alexandria. Ele ¶e conhecido pelo seu crivo de Erat¶ostenes, um procedimento tabular para detectar n¶umeros primos.

Al¶em de Matem¶atica, Erat¶ostenes estudava astronomia, geogra¯a, hist¶oria, ¯loso¯a, tendo ainda interesse em poesia.

Sua maior realiza»c~ao foi a medi»c~ao da circunfer^encia da Terra, a primeira de que se tem not¶³cia na Hist¶oria.

1.1 A estrat¶

egia \global" de Erat¶

ostenes

No Egito, as cidades de Siena (hoje Assu~a) e Alexandria situam-se quase num mesmo meridiano do globo terrestre, estando interligadas pelo trajeto do rio Nilo, que °ui do sul para o norte.

Em outras palavras, um arco semi-circular, na superf¶³cie terrestre, ligando o Polo Norte ao Polo Sul (um meridiano terrestre), passando por Alexandria, desvia-se relativa-mente pouco de Assu~a (con¯ra isto examinando um bom mapa do Egito). Isto quer dizer que, em cada instante do dia, a hora observada num rel¶ogio em Alexandria ¶e a mesma observada em Assu~a.

Erat¶ostenes descobrira que, em Siena, ao meio-dia do dia mais longo do ver~ao (o solst¶³cio do ver~ao), o sol ¯cava totalmente a pino, notando que, naquele dia e hora, o sol re°etia-se na superf¶³cie da ¶agua do fundo de um po»co.

Tendo viajado para Alexandria, 515 milhas (824 quil^ometros) ao norte de Siena, Erat¶ostenes observou que l¶a, ao meio-dia do referido dia, os raios do sol incidiam na

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Figura 1: Esquema de Erat¶ostenes.

Figura 2: Sombra do sol atrav¶es de um gn^omon.

superf¶³cie do solo, formando em rela»c~ao a ela um ^angulo µ de medida 90± _{¡ 7; 2}± ₌

90±¡ 360±_=50.

Observe agora a Figura 1 para acompanhar o racioc¶³nio de Erat¶ostenes. Em O temos o centro da Terra, e em A e S temos os pontos observados em Alexandria e Siena. O segmento AG ¶e um gnômon, consistindo de um bast~ao na vertical, ¯ncado na superf¶³cie da Terra, utilizado para medir a sombra do Sol, atrav¶es do qual, por compara»c~ao da altura do gnômon com sua sombra (veja Figura 2), ¶e calculado o ângulo de incidência dos raios solares.

Erat¶ostenes ent~ao ponderou:

1. os raios de sol chegam µa Terra praticamente paralelos entre si;

2. o gn^omon, posicionado na vertical, se prolongado inde¯nidamente para baixo, passar¶a pelo centro (O) da Terra;

3. duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ^angulos correspon-dentes congruentes (Figura 3)

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Figura 3: Retas paralelas cortadas por uma transversal.

Erat¶ostenes sabia tamb¶em que o comprimento de um arco circular ¶e diretamente proporcional ao ^angulo central que ele subtende. Assim, pensou, sendo c a circunfer^encia da Terra (comprimento da linha do Equador),

c 360± = arco AS

_

360±₌₅₀ e ent~ao c = 50£ arco AS

_

= 50£ 515 milhas = 25 750 milhas = 41 200 km

Nos dias de hoje, ¶e sabido que a circunfer^encia da Terra ¶e aproximadamente 40 000 km.

Longe dali, em Siracusa, Arquimedes, que viveu de 287 a.C. a 212 a.C., descobriu que o comprimento de uma circunfer^encia de raio r ¶e dado pela f¶ormula

c = 2¼_{¢ r} sendo ¼ _{¼ 3; 1416}

(Aproximando o comprimento da circunfer^encia por pol¶³gonos regulares inscritos e circunscritos na circunfer^encia, Arquimedes deduziu que 310

71 < ¼ < 3 1 7.) Tomando c = 40 000 km, temos r = raio da Terra = c 2¼ ¼ 40; 000 2_{¢ 3; 1416} ¼ 6 366 km como medida do raio da Terra.

O di^ametro da Terra ¯ca ent~ao d_{¼ 12 732 km.}

Hoje se sabe que a Terra ¶e mais achatada nos polos, sendo os grandes c¶³rculos, que passam pelos dois polos, 13 km mais curtos que o c¶³rculo do Equador.

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Problema 1 A bordo de um avi~ao, num ponto A situado a 3 milhas acima do n¶³vel do

mar, um observador olha o horizonte. Sua linha de vis~ao, AC na Figura 4, ¶e tangente µa superf¶³cie da Terra. O raio OC ¶e perpendicular a essa reta tangente em C. De posse das informa»c~oes do diagrama da Figura 4, calcule o raio da Terra.

Figura 4: Um Erat¶ostenes moderno.

1.2 Proposta de uma experi^

encia

Propomos aqui um experimento que talvez possa ser levado a termo por duas turmas de alunos, estudantes de duas cidades, distantes entre si algo como 500 km ou mais, de escolas situadas em um mesmo meridiano terrestre.

Considere a situa»c~ao descrita na Figura 5.

Figura 5: Um Erat¶ostenes a qualquer dia.

Duas cidades A e B s~ao consideradas, de modo que B esteja ao norte de A, ou seja, ambas encontrem-se quase em um mesmo meridiano terrestre.

Duas hastes verticais s~ao montadas, uma em cada local, e a dist^ancia d, entre os locais A e B, ¶e conhecida.

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Pela proje»c~ao dos raios do sol, ao meio dia, os ^angulos ¯ e °, em graus, s~ao calculados. Ocorre ent~ao que ® = °_{¡ ¯.}

Assim, sendo c a circunfer^encia da Terra, temos ®

d = 360

c

Acertada a hora e o dia da experi^encia, os alunos de duas escolas, uma em A e outra em B, podem realizar as medi»c~oes e, trocando informa»c~oes, repetir o experimento de Erat¶ostenes.

Problema 2 Deduza que, na situa»c~ao geom¶etrica da Figura 5, que ® = ° ¡ ¯.

2 Aristarco de Samos no mundo da Lua

Um outro brilhante matem¶atico que estudou na Escola de Alexandria, no s¶eculo III a.C., foi Aristarco de Samos, nascido em Samos, a mesma ilha grega onde nascera Pit¶agoras cerca de tr^es s¶eculos antes de Aristarco.

Conta-se que Aristarco, mediante o uso de princ¶³pios elementares de geometria, de-terminou, dentre outras coisas,

1. uma estimativa da raz~ao entre os di^ametros da Lua e da Terra;

2. e uma estimativa da raz~ao entre as dist^ancias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol. Juntando-se as estimativas (corrigidas) de Erat¶ostenes e Aristarco, podemos calcular (a) o di^ametro da Lua;

(b) a distância da Terra µa Lua; (c) a distância da Terra ao Sol; (d) o diâmetro do Sol.

2.1 A raz~

ao entre os di^

ametros da Terra e da Lua

Relata-se que Aristarco, observando cuidadosamente um eclipse lunar, que ocorre quando a Terra p~oe-se entre o Sol e a Lua, observando a sombra da Terra projetada no \disco" lunar, deduziu que a raz~ao entre os di^ametros da Terra e da Lua ¶e dado por

dT

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Figura 6: Sombra da Terra vista na Lua, durante um eclipse lunar.

Figura 7: Como resgatar o centro deste arco de cincunfer^encia?

Aristarco supunha, corretamente, que o Sol est¶a t~ao distante da Terra, que os seus raios de luz s~ao projetadors na Lua paralelos entre si, e assim o contorno circular que vemos da sombra da Terra na Lua revela parte de um c¶³rculo m¶aximo da Terra. Veja Figura 6.

Aristarco n~ao fez medi»c~oes muito precisas. Hoje ¶e sabido que dT=dL¼ 3; 67.

Problema 3 Como podemos determinar, atrav¶es de uma constru»c~ao geom¶etrica, o

di^ame-tro de um c¶³rculo, sendo dado apenas uma parte de seu contorno circular (Figura 7)?

Problema 4 Admitindo que

dT

dL ¼ 3; 67;

qual ¶e o valor aproximado do di^ametro da Lua? Resposta: 3 476 km.

Problema 5 Observa»c~oes astron^omicas acuradas, em noites de lua cheia, revelam o

dia-grama geom¶etrico da Figura 8. Com base nas informa»c~oes do diadia-grama, conhecendo-se o di^ametro da Lua, calcule a dist^ancia da Terra µa Lua.

2.2 A raz~

ao entre as dist^

ancias da Terra µ

a Lua e da Terra ao Sol

Historiadores da Matem¶atica relatam ainda que, observando simultaneamente o Sol e a Lua, durante o dia, estando ambos vis¶³veis, no in¶³cio da fase da Lua quarto crescente,

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Figura 8: Um problema de trigonometria.

Figura 9: O tri^angulo ret^angulo Terra-Lua-Sol.

quando exatamente metade do disco lunar vis¶³vel aparece iluminado, como na Figura 9, num momento em que a Lua situava-se verticalmente acima de sua cabe»ca, Aristarco notou que os planetas Terra, Lua e Sol, posicionavam-se como os v¶ertices T , L e S de um tri^angulo ret^angulo em L.

Medindo o ^angulo LT S, ele inferiu que este era aproximadamenteb 29

30 de 90

±

(um valor mais preciso, conhecido atualmente, ¶e 0; 9981_{£ 90}±_).

Aristarco ent~ao construiu, com r¶egua e compasso, um triângulo retângulo LT S, modelando as posi»c~oes relativas entre Lua, Terra e Sol e, por semelhan»ca de triângulos, deduziu que a distância da Terra ao Sol ¶e aproximadamente 19 vezes a distância da Terra µa Lua.

Em realidade, a dist^ancia da Terra ao Sol ¶e 400 vezes a dist^ancia da Terra µa Lua.

Problema 6 Sabendo que a dist^ancia da Terra ao Sol ¶e aproximadamente 400 vezes a

dist^ancia da Terra µa Lua, proponha um procedimento que nos permitiria avaliar o di^ametro do Sol.

3 Hip¶

ocrates de Quios no mundo das l¶

unulas

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de Quios, viajou para Atenas no prov¶avel ano de 430 a.C., com a ¯nalidade de recuperar terras suas atrav¶es de um processo judicial.

O caso tomou-lhe meses e ent~ao Hip¶ocrates aproveitou seu tempo estudando coisas de que gostava muito, tais como ¯loso¯a e geometria. Nessa ¶epoca, a cidade de Atenas tinha atingido grande desenvolvimento cultural e isto provavelmente estimulou Hip¶ocrates em seus estudos.

Hip¶ocrates foi o primeiro matem¶atico a calcular precisamente a ¶area de uma regi~ao plana delimitada por arcos circulares.

Dentro da geometria plana, as descobertas de Hip¶ocrates constituem-se em interes-santes resultados de \quadraturas".

3.1 A quadratura das l¶

unulas

Uma das descobertas de Hip¶ocrates ¶e a seguinte.

Na Figura 10, num c¶³rculo de diâmetro AB, inscreve-se um triângulo ABC. Con-forme uma descoberta de Tales, um tal triângulo ser¶a um triângulo retângulo, sendo AC e CB seus catetos e o AB sua hipotenusa.

Figura 10: A soma das ¶areas das l¶unulas ¶e igual µa ¶area do tri^angulo.

Sobre os catetos AC e CB s~ao constru¶³dos dois outros semi-c¶³rculos, tendo os catetos como di^ametros. As regi~oes planas da Figura 10, delimitadas por arcos de circunfer^encias, lembrando fases da lua, s~ao chamadas de l¶unulas.

Chamemos de L1 e L2 as l¶unulas constru¶³das sobre os catetos AC e CB,

respecti-vamente, e seja T o tri^angulo ABC. Ent~ao tem-se o seguinte interessante resultado:

Teorema 1 (Hip¶ocrates)

¶

area _L1+ ¶area L2 = ¶area T

Diz-se ent~ao que, atrav¶es deste resultado, Hip¶ocrates quadrou as l¶unulas, trans-formando, atrav¶es de uma constru»c~ao geom¶etrica, a soma de suas ¶areas na ¶area de um

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tri^angulo. Em geral, o problema de quadrar uma regi~ao plana consiste em obter, por uma constru»c~ao de r¶egua e compasso, uma regi~ao poligonal de mesma ¶area, o que permite ent~ao obter um quadrado de mesma ¶area.

Problema 7 Tente demonstrar o teorema de Hip¶ocrates por voc^e mesmo. Caso n~ao o

consiga, leia a demonstra»c~ao que ¶e dada abaixo. Dica: Voc^e pode fazer uso do teorema de Pit¶agoras e da f¶ormula de Arquimedes para ¶area de um c¶³rculo de raio r: (¶area de um c¶³rculo de raio r) = ¼r2_.

Demonstra»c~ao do teorema de Hip¶ocrates:

Sendo ABC um triângulo retângulo, de hipotenusa AB, sejam S1, S2 e S3 os três

semic¶³rculos fora do tri^angulo, constru¶³dos sobre os lados AC, CB e AB, respectivamente. Ent~ao

¶

area S1+ ¶area S2 = ¶area S3

Figura 11: Um teorema de Pit¶agoras \diferente".

Isto pode ser demonstrado (como um exerc¶³cio µa parte) usando-se a f¶ormula da ¶area de um c¶³rculo de raio r, aplicando-a aos tr^es semi-c¶³rculos da Figura 11, e usando o teorema de Pit¶agoras. (Hip¶ocrates, no entanto, n~ao conhecia tal f¶ormula, pois ela s¶o seria descoberta dois s¶eculos depois por Arquimedes).

µ

A ¶epoca de Hip¶ocrates, j¶a era conhecido o fato, descoberto pelos Pitag¶oricos, de que a raz~ao entre as ¶areas de dois c¶³rculos (ou semi-c¶³rculos) ¶e igual µa raz~ao entre os quadrados de seus di^ametros.

Assim, raciocinando como Hip¶ocrates, temos: ¶ area S1 ¶ area _S3 = AC 2 AB2 e ¶ areaS2 ¶ area_S3 = CB 2 AB2

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Sendo, pelo teorema de Pit¶agoras, AB2 = AC2+ CB2, teremos ¶ area _S1 + ¶area S2 ¶ areaS3 = ¶area S1 ¶ area S3 +¶area S2 ¶ area S3 = AC 2 AB2 + CB2 AB2 = AC2+ CB2 AB2 = AB 2 AB2 = 1 e ent~ao ¶area S1+ ¶areaS2 = ¶areaS3.

Voltando µa Figura 10, considerando-se as ¶areas como l¶a designadas, temos: ¶

area L1+ ¶area R1 + ¶area L2+ ¶area R2

= ¶area S1+ ¶area S2

= ¶area S3

= ¶area R1+ ¶area R2+ ¶area T

e portanto, comparando as linhas primeira e ¶ultima, cancelando os termos repetidos, ¶

area _L1+ ¶area L2 = ¶area T

Problema 8 Sendo ABC um tri^angulo is¶osceles como na Figura 12, veri¯que que as duas

regi~oes hachuradas tem ¶areas iguais, ou seja, a ¶area da l¶unula ¶e igual µa ¶area do triângulo. Os dois arcos que delimitam a l¶unula s~ao, respectivamente, 1=4 da circunferência de centro A e raio AC e a semi-circunferência de diâmetro CB.

Figura 12: As regi~oes hachuradas tem mesma ¶area.

Problema 9 Considere a ¯gura 13, em que o di^ametro do c¶³rculo menor ¶e igual ao lado

do hex¶agono regular. Sejam c a ¶area da regi~ao circular sombreada, C a ¶area do c¶³rculo circunscrito ao hex¶agono, L a ¶area de cada l¶unula externa a este c¶³rculo e H a ¶area do hex¶agono. Demonstre que c = H_{¡ 6L.}

Problema 10 O resultado do problema 9 pode nos induzir a acreditar que ¶e poss¶³vel

quadrar o c¶³rculo, bastando para isso quadrar as seis l¶unulas da ¯gura 13. Tendo em visto que Lindemann, em 1882, demonstrou que ¶e imposs¶³vel quadrar um c¶³rculo, explique porque o resultado do problema acima n~ao contradiz o teorema de Lindemann.

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Figura 13: (\Quadrando" o c¶³rculo) Se o c¶³rculo maior tem o dobro do di^ametro do menor, temos

¶

Area do c¶³rculo menor = (¶area do hex¶agono)¡ (¶area das 6 l¶unulas)

Refer^

encias bibliogr¶

a¯cas que serviram de base para o

presente texto

[1] Anglin, W.S.,

Mathematics: A Concise History and Philosophy. Springer-Verlag, New York, 1994.

[2] Anglin, W.S.,

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Springer-Verlag, New York, 1995. [3] Boyer, C.B.,

Hist¶oria da Matem¶atica.

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Journey Through Genius. The Great Theorems of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.

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Introdu»c~ao µa Hist¶oria da Matem¶atica. Trad. de H.H. Domingues. Editora da Unicamp, Campinas, 1995.