1
f : R R / f (x) = p ou y = pp
f : R R / f (x) = a x + b ou y = a x + b (a,b IR)p
FUNÇÕES E GRÁFICOS
Introdução Par ordenadoPar ordenado dentro das funções será o par formado pelo representante do conjunto domínio com seu respectivo elemento do conjunto imagem. Veja no exemplo.
f : R em R
Temos os seguintes pares ordenados:
(3 , 4) (7 , -6) (-1 , 2) (0,2 , 3)
Ao conjunto de todos os pares ordenados de um conjunto X em Y damos o nome de produto cartesiano de X em Y. Exemplo:
A quantidade de demanda de um determinado produto (q) está relacionada com seu preço (p). Na economia, surgem muitos casos em que a quantidade de demanda de um certo produto e seu preço são relacionados por uma função do 1º grau (também chamada de função afim) , ou seja , a relação é graficamente representada por uma reta, obedecidas certas condições.
Como por exemplo, a quantidade de chapéus fabricada por uma certa industria a quantidade de demanda é dada pela equação q = 8 – 2p.
Vamos representar graficamente q em função de q em função de p. Observe que tanto p quanto q terão somente valores maiores que zero.
Função constante
Repare que no gráfico acima (f(x) = 5) , a função fica paralela ao eixo x ( das abscissas). A essa função que independente do valor x, o valor de y ou f(x) não se altera damos o nome de função constante.
Podemos definir uma função constante como sendo :
Exemplos
f (x) = 5 f (x) = 0 f ( x) = - 63 Função do 1º grau.
Observe que nos gráficos anteriores todos formam uma reta. Sempre quando a função apresentar esse comportamento a ela damos o nome de função de 1º grau ou afim.
Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º grau se for definida por
Confira alguns exemplos:
f (x) = 2x -1 a = 2 b = -1
1
5
2
)
(
x
x
f
5
2
a
b
1
f (x) = x + 6 a = 1 b = 6 Exercícios resolvidos:01. Dada a função f: R em R definida por y = f(x) = 2x + 9 obtenha: a) f(0) b) f(-1) c) f(3) d) f(1/2) e) o valor de x quando f(x) = -1
Basta substituir o valor de x na função dada e encontra y. a) f(0) = 2.0 +9 = 9
b) f(-1) = 2.-1+9= -2 + 9= 7 c) f(3) = 2.3 + 9 = 6 + 9 = 15 d) f(1/2)= 2. ½ + 9 =1 + 9= 10
Na letra e substitui f(x) por -1, isola-se x e encontra o seu valor. -1 = 2x + 9 -9-1 =2x -10 = x 2 x=-5
02. Se uma função passa pelos pontos A (4 , -2) e B ( 12, 6). Determine os valores de a e b na função que obedece a lei de formação y= a x + b.
1º Passo substitui os valores de de x e y na lei de formação y = a. x + b
Logo temos. -2 = a. 4 + b e
6 = a. 12+b Agora resolve o sistema
-2 = a. 4 + b 6 = a. 12+b Isola uma incógnita
b = -4a – 2
E substitui na outra equação 6 = 12 a -4a -2
Então temos a = 1
Voltando a equação inicial temos. -2 = 4a + b
Agora
-2 = 4.1 + b Logo b = - 6
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Todo gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma reta inclinada. Porque temos
f
(
x
)
ax
b
, com a ≠ 0.È importante ressaltar que a reta formada pela função é infinita, e por ela ser obliqua em relação aos eixos das abscissas e das coordenadas, sempre ela vai cortar o eixo x e o eixo y.
Construção
Conforme um dos postulados de Euclides basta traçar dois pontos distintos, que por eles passarão uma única reta. Porém para maior garantia sugere-se que encontre no mínimo três pontos da reta para que possamos traçar a reta com absoluta certeza.
Exemplo 1:
Vamos construí o Gráfico da função
y
3
x
1
ou1
3
)
(
x
x
f
Usa-se uma tabela para auxiliar nos pares ordenados Para cada elemento de x escolhido aleatoriamente. Calcula-se o Calcula-seu f(x).
x y 0 -1 1 2 -1 -4
Traçando no Plano cartesiano
Função Crescente e Função decrescente
Toda função Polinomial do 1º grau será ou crescente ou decrescente. Pois ela nunca será paralela ao eixo x.
Para uma função ser denominada crescente a medida que o x aumenta o f(x) ou y tende a assumir valores cada vez maiores. E a função decrescente pelo contrario a medida que o seu x se aumenta o y tende a assumir valores menores.
Observe o gráfico das duas funções a seguir. f(x) = 2x +1
f(x)= -2x+1
Note que a única diferença entre as duas funções é o sinal de a, enquanto na primeira o a assume valor de +2 na segunda o a passa a valer -2. E a diferença gráfica entre as funções é que a primeira é crescente e a segunda é decrescente.
Com isso podemos concluir uma importante ferramenta, não só para a representação do gráfico de determinadas funções como a sua compressão. Observe.
Se a > 0 então a função polinomial do 1º será crescente. Se a < 0 então a função polinomial do 1º será decrescente.
Raiz de uma função do 1º grau
Em uma cidade do interior do Rio Grande do Sul todo dia a partir das 21h a temperatura cai drasticamente até as 5
3
Após vários dias alguns moradores que a temperaturadiminuía de acordo com o passar das horas. Usando T(x) como sendo a temperatura representada em graus Celsius e x como sendo as horas a partir das 21 horas.
A função que eles acharam é: T(x)=-2x+8
Assim ficou fácil de perceber à que horas a temperatura ultrapassava a casa do zero grau. È só substituir o T(x) por zero (temperatura a ser investigada).
4
2
8
8
2
8
2
0
8
2
)
(
x
x
x
x
x
T
Ou seja a temperatura fica igual a zero graus 4 horas depois das 21 horas, ou seja 1 hora da madrugada do outro dia. Analisando isso graficamente.
A esse ponto onde y ou f(x) quando se igual a zero, é que denominamos de raiz da função. Portando raiz de uma função é o valor de x que torna o valor da função nula. Importante observar também que a raiz de uma função é exatamente quando o eixo das abscissas é interceptado pelo gráfico da função.
Podemos encontrar a raiz de uma função: f(x) = 0 ax + b = 0
Observe alguns exemplos.
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x – 5 f(x) = 0 2x - 5 = 0
2
5
x
COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR Conforme visto anteriormente o sinal do a na função polinomial de 1º determina se a mesma é crescente ou decrescente. Pois bem, agora veremos o que define a inclinação da reta e a sua posição em relação ao eixo x.
Observe o gráfico das seguintes funções
Note que a única diferença entre as funções e o valor que a assume. E graficamente as funções tem inclinação diferente. Por isso denominamos a coeficiente angular. Que também pode ser calculado como tangente do ângulo.
Tg α = Cateto Oposto Cateto Adjacente
Agora vamos observar outras funções f(x)= x - 2
h(x)= x + 1
Note que o que difere as funções é o valor de b, e isso faz com que o gráfico da função tenha a mesma inclinação, porém em “alturas” distintas. Por isso chamamos b de coeficiente linear.
Quando temos um feixe de funções variando apenas o seu coeficiente linear. Dizemos que temo uma função linear. Exercícios resolvidos.
01. Determine os valores de m de modo que a função real f(x)= (2 – m)x + 7 seja crescente.
Lembrar que para ser crescente temos q ter a > 0. Logo 2-m >0
m>2
Então se, e somente se, m for maior que 2 teremos uma função crescente, com m R.
RESUMO:
SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Dentro do estudo das funções as vezes será necessário observar não somente o que ocorre no primeiro quadrante. È sim no que ocorre na função como um todo.
Observe o seguinte exemplo.
Um dono de materiais para construção adquiriu um rolo de fio por R$ 480,00 para vender em sua loja. Sabendo que o preço a ser vendido é de R$ 8,00. O proprietário deseja saber após quantos metros vendidos ele começara a obter lucro.
Note que o isso recai num calculo que é (receita – despesa), isso em função vira
f(x)= 8.x - 480
Graficamente temos
Tendo r como raiz da função. Calculando r se obtém: 0=8x – 480
x = 60
Ou seja, 60 metros é onde a função se anula.
Mas o que é realmente importante destacar é que somente após 60 metros de fio vendido que o comerciante passou a ter lucro.
De uma maneira geral podemos dividir o estudo de sinais em duas partes:
1º) a > 0 (a função é crescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Exercício resolvido
01. Estude o sinal da função f(x)= -x -3
Primeiro vamos descobrir qual o zero da função: f(x) = -x -3
0 = -x - 3 x = -3
Em um esboço podemos afirmar que:
Logo:
Se x = -3 temos f(x) =0 Se x < -3 temos f(x) >0 Se x > -3 temos f(x) < 0 Matematicamente podemos afirmar que:
y = 0 quando x = 60 y < 0 quando x < 60 y > 0 quando x > 60.
5
TESTES EM SALA:01. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
a) a = 0 ; b = 0 b) a > 0 ; b > 0 c) a < 0 ; b > 0 d) a > 0 ; b = 0 e) a > 0 ; b < 0
02. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico:
a) f(x)= -x+2 b) f(x) = -x/2 + 1 c) f(x)= -x/2 + 2 d) f(x)=4x e) f(x)= -x
04. (Unificado-RJ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de –10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico acima representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC. 5 30 -10 Temperatura (ºC) Tempo (minutos) a) 1 min b) 1 min 5 seg c) 1 min 10 seg d) 1 min 15 seg e) 1 min 20 seg TESTES:
01. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando : a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 2
02. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ? a) y = 2x - 3 b) y = - 2x + 3 c) y = 1,5 x + 3 d) 3y = - 2x e) y = - 1,5x + 3
03. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é : a) 13/5 b) 22/5 c) 7/5 d) 13/5 e) 2,4
04. (ESPCEX) O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12° dia são, respectivamente:
x
y
0
3
- 2
x
y
0
x
y
0
x
y
2
4
0
a)
h t
( )
1
t
cm
2
5
e
h =
12
15
b)h t
( )
1
t
cm
3
5
3
e
h =
12
5
c)h t
( )
1
t
cm
5
1
e
h =
17
5
d)h t
( )
1
t
cm
4
+ 1
e
h =
17
5
e)h t
( )
t
5
cm
5
e
h =
12
15
05. (VUNESP) O valor de um determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico.
Esse carro não terá valor algum, decorridos a) 12 anos.
b) 13 anos. c) 15 anos. d) 16 anos. e) 17 anos.
06. (UFPB-PB) O gráfico abaixo indica o crescimento linear de uma planta. Se a relação apresentada na figura se mantém, então, no 30o (trigésimo) dia, o comprimento da planta, em cm, é:
5
10
tempo (dias)C
om
pr
im
en
to
(
cm
)
1
2
6
30
a) 4 b) 5 c) 150 d) 6 e) 3007. (Acafe-SC) Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi: a) 22
b) 11 c) 33 d) 26 e) 32
08. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a função h definida por h(t) =
,
10
t
com t
0, relaciona a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação.I) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola.
II) h(80) = 80
III) São necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite.
IV) A altura da estalagmite é diretamente proporcional ao tempo t.
Assim é correto afirmar: a) FFVV
b) VVVV c) FFFF d) VVFF e) FVFV
09. Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$1.200,00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$2,00. Atualmente são comercializadas 1.000 unidades mensalmente, a um preço unitário de R$5,00.
Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 30% no preço unitário de venda.
Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida?
a) 500 unidades b) 1000 unidades c) 2000 unidades d) 800 unidades e) n.d.a. tempo (anos) preço (milhares de reais)
0 8
25,5
7
10. (BOMB-2004) Qual das histórias melhor se adapta aográfico abaixo?
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.
b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei para procurálas na minha mala, mas não as encontrei. Voltei para buscá-las e depois pude seguir para o escritório.
c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem.
d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritório.
e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi não sair mais de casa.
GABARITO:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 B C B C E B A D B
