1. Variáveis aleatórias
1. Introdução
As distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Agora, trataremos das distribuições de probabilidades de populações. A distribuição de freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, espera-se que a distribuição de freqüências da amostra tenha uma boa aproximação da distribuição de probabilidade da população.
No estudo de pesquisas empíricas e análises de situações reais, a Estatística Descritiva (tabelas de freqüências, média, moda, mediana, desvio padrão, etc) são bastante úteis. Porém, no estudo de uma população, as distribuições de probabilidades, como veremos mais adiante, são preferidas, pois possibilitam a construção de modelos matemáticos que nos auxiliam na compreensão dos fenômenos do mundo real.
2. Variáveis aleatórias
Como já vimos no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, o número de filhos de um casal é um exemplo de conjunto numérico. Porém, o grau de escolaridade de um indivíduo é algo não numérico. Dessa forma, em muitas vezes, para podermos trabalhar probabilisticamente com uma variável não numérica, atribuímos valores para cada elemento do espaço amostral.
O resultado de um experimento de probabilidade geralmente é uma contagem ou uma medida. Quando isso ocorre, o resultado é chamado de variável aleatória.
Definição: uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a
cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatória indica que os valores assumidos por X são obtidos ao acaso.
Notação: geralmente, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas (X), enquanto que os valores assumidos por essas variáveis
aleatórias são representadas por letras minúsculas (x). Dessa forma, se escrevermos X=x queremos dizer que a variável aleatória X assume um valor numérico igual a x.
As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas.
2.1. Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é discreta se ela assume um número finito de valores ou assume um número infinito de valores numeráveis (contáveis). Podemos dizer que uma variável é discreta quando seus valores puderem ser listados.
3 Por exemplo: o número de ligações recebidas por dia em um escritório pode ser um valor igual a 0, 1, 2, 3, 4, ... Assim, definimos a variável aleatória X:
X: número de ligações recebidas pelo escritório.
Os valores que essa variável pode assumir são x=0, 1, 2, 3, ... Dessa forma, se escrevermos X=3 estamos dizendo que “o número de ligações recebidas pelo escritório (X) é igual a 3 ligações (x)”.
2.2. Variáveis aleatórias contínuas
Uma variável aleatória é contínua se ela possui um número incontável de possíveis resultados. Ou seja, uma variável é dita contínua quando os valores que ela pode assumir puderem ser representados como um intervalo na reta dos números reais. Neste caso, os valores assumidos por uma variável contínua, não podem ser listados, visto que são infinitos os possíveis valores dessa variável. Por exemplo: consideremos o tempo de duração de uma ligação recebida em minutos (incluindo frações de minutos). Neste caso, podemos definir uma variável aleatória Y da seguinte forma:
Y: tempo de duração de uma ligação em minutos.
Perceba que os valores de Y podem assumir qualquer valor em um intervalo real. Suponhamos, para facilitar, que o tempo máximo de uma ligação seja de 120 minutos. Neste caso, os valores y pertencem ao intervalo [0, 120].
3. Distribuições de probabilidades discretas
Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode-se determinar uma probabilidade correspondente a esse valor. Ao listar cada valor de uma variável aleatória juntamente à sua probabilidade, você estará formando uma distribuição
de probabilidade.
Uma distribuição de probabilidades deve satisfazer as seguintes condições:
I. A probabilidade de cada valor da variável é um número de 0 à 1. Ou seja:
1 ) x X ( P 0≤ = ≤ ou, ainda, 0≤P(x)≤1.
II. A soma de todas as probabilidades é igual a 1:
∑
= = i i) 1 x X ( P , ou ainda,∑
= i i) 1 x ( P .Perceba que podemos trabalhar com dois tipos de notação: P(X=x) ou simplesmente P(x). Por exemplo, a probabilidade de a variável X assumir o valor igual a 3 pode ser escrita como P(X=3) ou apenas P(3).
Exemplo 1: um psicólogo aplicou um teste para classificar o nível de estresse dos
150 funcionários de uma empresa. Para isso, ele atribuiu cinco possibilidades: muito calmo, calmo, moderado, irritado, muito irritado. Essas características foram pontuadas com valores de 1 à 5, onde 1 indica a qualidade “muito calmo” e 5 indica “muito irritado”. Definindo a variável aleatória X: nível de estresse, podemos dizer que x=1,2,3,4,5. Os resultados da pesquisa estão na tabela a seguir:
x frequência 1 24 2 33 3 42 4 30 5 21 total 150
Construir uma distribuição de probabilidade para a variável X.
Resolução
Utilizando a tabela, podemos calcular as probabilidades: P(X=1) = 24/150 = 0,16
P(X=2) = 33/150 = 0,22 P(X=3) = 42/150 = 0,28 P(X=4) = 30/150 = 0,20 P(X=5) = 21/150 = 0,14
A distribuição de probabilidades está apresentada na tabela a seguir:
x 1 2 3 4 5
P(X=x)
ou P(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14
5 Níveis de estresse 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 1 2 3 4 5 escore p ro b a b il id a d e
Exemplo 2: em uma cidade, a distribuição de probabilidade da variável que
representa o número de dias de chuva ao longo de uma determinada semana é dada pela tabela:
Dias de chuva Probabilidade
0 0,216
1 0,432
2 m
3 0,064
a) defina a variável aleatória X;
b) calcule o valor m apresentado na tabela; c) determine P(X=3);
d) calcule P(X<2); e) calcule P(X≥2).
Resolução
a) X: número de dias da semana que chove em certa cidade. b) A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Logo: 0,216 + 0,432 + m + 0,064 = 1
E, portanto, m=0,288. c) P(X=3) = P(3) = 0,064
d) P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0,216 + 0,432 = 0,648
e) Sabendo que P(X<2) + P(X≥2) = 1, temos que P(X≥2) = 1 – 0,648 = 0,352.
Exemplo 3: em uma caixa há 5 peças boas e 3 defeituosas. Duas peças são
retiradas ao acaso e sem reposição. Definindo a variável aleatória X como sendo o número de peças boas retiradas, obtenha a distribuição de probabilidades.
Resolução
Vamos construir a árvore de probabilidades:
Definindo:
X: número de peças boas retiradas.
Note que X poderá assumir valores iguais a 0, 1, ou 2. Logo, a distribuição de probabilidades será dada pela tabela:
x 0 1 2 P(X=x) 56 6 56 30 56 20
4. Valor Esperado ou Média de uma variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x1, x2, ..., xk. O valor esperado de X (ou esperança matemática de X), ou simplesmente a média de X é definida
como:
∑
= = = µ k 1 i i i.P(x) x ) X ( EJá vimos que a média amostral é dada por
∑
= = n 1 i i i.x f
x . A média teórica (ou populacional) µ é semelhante à média amostral x . À medida que o tamanho da amostra aumenta, a freqüência relativa fi aproxima-se de p(xi), ou seja, a média amostral aproxima-se da média populacional.
B D B B D D 5 /8 3/ 8 4 /7 3/ 7 5 /7 2 /7 20 / 56 15 / 56 15 / 56 6 / 56
7
Observação: embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma variável aleatória pode ser negativo.
Exemplo 4: considere um jogo no qual se lançam três moedas não viciadas e se
recebe R$ 2,00 caso apareça 1 cara, R$ 4,00 se aparecerem 2 caras e R$ 8,00 caso apareçam 3 caras. Se nenhuma cara ocorrem, nada se recebe. Quanto se esperaria ganhar caso fizesse esse jogo uma vez? Em outras palavras: qual é o valor esperado de uma jogada?
Inicialmente, fazendo o estudo das probabilidades (como a construção de uma árvore de probabilidades, por exemplo), verificamos que a probabilidade de ocorrer uma certo número de caras é dada pela tabela:
N° caras Probabilidade
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Se definirmos a variável aleatória X: valor a ser recebido, podemos construir a distribuição de probabilidades de X, conforme tabela a seguir:
N° caras 0 1 2 3
xi: valor a ser recebido (R$) 0 2 4 8 Probabilidade: P(X=xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 A esperança (ou valor esperado) será:
25 , 3 $ R 8 26 8 1 . 8 8 3 . 4 8 3 . 2 8 1 . 0 ) X ( E = + + + = = .
O valor esperado é uma média a longo prazo. No caso, após várias jogadas, se
esperaria ganhar R$ 3,25.
Exemplo 5: em um sorteio, 1500 bilhetes são vendidos a R$ 2,00 cada. Serão 4
prêmios sorteados nos valores de R$ 500, R$ 250, R$ 150 e R$ 75. Você compra um bilhete. Qual o valor esperado do seu lucro?
Resolução
Para encontrar o lucro para cada prêmio, devemos subtrair o valor do prêmio do valor pago pelo bilhete. Assim, para o prêmio de R$ 500, temos um lucro igual a R$ 500 – R$ 2 = R$ 498. E assim por diante para os demais prêmios. Definindo a variável aleatória discreta X: lucro em reais, construímos a distribuição de probabilidades:
Lucro em reais(x) 498 248 148 73 –2 P(X=x) 1500 1 1500 1 1500 1 1500 1 1500 1496
Agora, calculamos o valor esperado:
35 , 1 1500 1496 ). 2 ( 1500 1 . 73 1500 1 . 148 1500 1 . 248 1500 1 . 408 ) X ( E = + + + + − =−
Logo, como o valor esperado é negativo, você espera perder uma média de R$1,35 por cada bilhete que comprar.
5. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta
Como já estudamos, a variância é uma medida de dispersão que avalia o grau de homogeneidade dos valores da variável em torno da média. A definição da variância de uma variável aleatória discreta X é dada por:
[
2]
2)
x
(
E
)
X
(
Var
=
−
µ
=
σ
Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos uma fórmula prática para o cálculo da variância: ) X ( E ) X ( E ) X ( Var ) X ( 2 2 2 = = − σ onde:
∑
= = k 1 i i i.P(x ) x ) X ( E e∑
= = k 1 i i 2 i 2 ) x ( P . x ) X ( ECuidado: E2(X) = [E(X)]2 que é diferente do valor de E(X2).
O desvio padrão da variável X corresponde à raiz quadrada da variância: ) X ( ) X ( = σ2 σ ou ainda DP(X)= Var(X).
9
Exemplo 6: uma loja possui a seguinte distribuição de vendas de geladeiras por semana:
xi (vendas) 0 1 2 3 4 P(X=xi) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05
Calcular o valor esperado de X: número de vendas por semana e o desvio padrão de X.
Utilizando a fórmula para a esperança:
E(X) = 0.0,20 + 1.0 ,30 + 2.0,30 + 3.0,15 + 4.0,05 = 1,55 geladeiras.
Vamos calcular a variância. Para isto, precisamos determinar, antes, o valor de E(X2):
E(X2) = 02.0,20 + 12.0,30 + 22.0,30 + 32.0,15 + 42.0,05 = 3,65. Utilizando a fórmula da variância:
25 , 1 ) 55 , 1 ( 65 , 3 ) X ( E ) X ( E ) X ( Var = 2 − 2 = − 2 =
O desvio padrão será: 12 , 1 25 , 1 ) X ( DP = = fogões.
6. Exercícios
1) Seja X a variável aleatória correspondente à soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine:
a) a distribuição de probabilidades de X; b) P(3 ≤ X ≤ 10)
c) P(X > 7) d) P(X ≤ 5)
2) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula:
P(xi) = K/x para x = 1, 3, 5, 7. a) Determinar K.
b) Calcular P(2 ≤ X ≤ 6).
3) Um vendedor calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%. Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. Construa a tabela de distribuição de probabilidade para a variável Y: número de clientes que assinam um contrato de venda.
4) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade:
xi 1 2 3 4 5
P(xi) 0,20 0,25 ? 0,30 0,10 a) Encontre o valor de P(3).
b) Calcule a média da distribuição.
c) Calcule a variância e o desvio padrão de X.
5) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada pela fórmula: P(x) = (0,8).(0,2)x–1 para x=1,2,3,...
a) Calcular P(x) para x=1, x=2, x=3, x=4 e x=5.
b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que você pode dizer a respeito das probabilidades para valores de x maiores que 5?
6) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são:
N° de chamadas 0 1 2 3 4 5
Probabilidades 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 a) Determinar P(1 ≤ X ≤ 4) e P(X > 1).
b) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto?
c) Lembrando que o coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média, calcule o coeficiente de variação de X.
7) De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que
trabalham em escritórios utilizam computadores da IBM. Se dois indivíduos que trabalham em escritórios são selecionados ao acaso, encontrar a distribuição de probabilidades da variável X: número de usuários dos computadores da IBM. Calcule a média e o desvio padrão dessa variável.
8) O gráfico mostra a distribuição de furacões que atingiram o território dos EUA divididos por categorias, sendo 1 o nível mais fraco e 5 o mais forte.
11 Para essa variável, calcule:
a) a esperança; b) a variância; c) o desvio padrão.
9) O gráfico mostra a distribuição de probabilidades do número de pessoas que moram em cada casa nos EUA:
Para essa variável, calcule: a) a esperança;
b) a variância; c) o desvio padrão.
10) Em um jogo de roleta americana, há 38 números: 00, 0, 1, 2, 3, ..., 36 marcados em espaços igualmente divididos. Se um jogador aposta $ 1 em um número e ganha, ele continua apostando com o $ 1 e recebe $ 35 adicionais. Caso contrário, ele perde $ 1. Definindo a variável X: lucro obtido em uma rodada, determine a quantidade média de dinheiro, por jogo, que esse jogador pode esperar perder (e não ganhar, visto que se trata de um jogo de azar).
Respostas 1) a) xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 b) 8/9 c) 5/12 d) 5/18 2) a) K = 105/176 b) 7/22 3) yi 0 1 2 P(yi) 0,64 0,32 0,04 4) a) 0,15 b) 2,85 c) 1,7275 e 1,31 5) a) xi 1 2 3 4 5 P(xi) 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,00128
b) A soma das probabilidades é 0,99968. logo, as probabilidades para valores maiores que 5 são próximas de zero. 6) a) 0,43 e 0,20 b) 0,83 d) CV = 145,8% 7) xi 0 1 2 P(xi) 0,09 0,42 0,49 µ(X) = 1,40 σ(X) = 0,65 8) a) 2,0 b) 1,0 c) 1,0 9) a) 2,5 b) 1,9 c) 1,4 10) $ 0,05
13
2. Modelos Discretos de Distribuições de Probabilidades
2.1. Lei binomial da probabilidade - Ensaios de Bernoulli
Consideremos um experimento que consiste em uma seqüência de ensaios ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e
outro que chamaremos de fracasso (F). À probabilidade de ocorrer sucesso em
cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q,
de tal modo que q=1–p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de Bernoulli.
Exemplos de ensaio de Bernoulli
1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o evento sair uma cara e de fracasso o evento sair uma coroa. Em cada ensaio, p=0,5 e
q=0,5.
2) Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada extração é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. Chamemos de sucesso o evento sair bola vermelha.
Conseqüentemente, fracasso corresponde ao evento sair bola branca. Neste
caso, 10 4 p= e 10 6 q= .
2.2. Distribuição Binomial
Antes de apresentarmos a fórmula e suposições da distribuição Binomial de probabilidades, vamos analisar um exemplo e deduzir a fórmula a partir dele.
Exemplo 1: uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo
apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 6 testes?
A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente é 0,2 5 1 = . Logo, a de errar esse teste é de 0,8 5 4 5 1 1− = = .
Vamos considerar uma situação bastante específica: o aluno acerta os testes de 1 à 6 e erra os testes de 7 à 10. A probabilidade de isso acontecer é obtida utilizando–se o Princípio Fundamental da Contagem:
= (0,2)6 . (0,8)4 ≅ 0,000026 ou 0,0026%.
Porém, essa é apenas uma situação de acertos / erros possível. O número total de maneiras que esse aluno pode acertar 6 testes de um total de 10 testes é calculada utilizando–se combinação (visto que a ordem dos acertos NÃO importa):
210 )! 6 10 !.( 6 ! 10 C10,6 = − = maneiras.
Para cada uma dessas 210 formas, temos uma probabilidade de acerto igual a calculada anteriormente. Logo, a probabilidade de esse aluno acertar 6 testes qualquer é:
210 . (0,2)6 . (0,8)4 ≅ 0,0055 ou 0,55%.
Vamos definir a variável aleatória X que representa sucesso como sendo: X: número de testes que o aluno acerta (sucesso).
Associada a X, temos a probabilidade de sucesso p=0,2 e, conseqüentemente, a probabilidade de fracasso q=1–0,2=0,8 (probabilidade de errar o teste).
Lembrando que = 6 10
C10,6 , podemos escrever que a probabilidade do aluno acertar 6 testes é: P(X=6) = 6 10 . (0,2)6 . (0,8)4
Generalizando, se em cada uma das n repetições de Ensaios de Bernoulli a
probabilidade de ocorrer um evento definido como sucesso é sempre p, a
probabilidade de que esse evento ocorra em apenas k das n repetições é dada
por: k n k
)
p
1
.(
p
.
k
n
)
k
X
(
P
−
−
=
=
Resumindo: um experimento binomial deve satisfazer os seguintes critérios: 1) O experimento é repetido n vezes, onde cada tentativa é independente das
demais.
2) Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse,
associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o fracasso.
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3) A probabilidade de sucesso será denotada por p e é a mesma em cada
tentativa (entenda Ensaio de Bernoulli). Logo, a probabilidade de fracasso será
denotada por q = 1 – p.
Observações importantes: é comum àqueles que estão iniciando os estudos da
distribuição Binomial acharem que a variável definida como sucesso precisa ser algo “bom”. Porém, isso não está correto. A variável X, ou seja, o sucesso, deverá ser algo que nos interesse. Por exemplo, poderíamos definir como sucesso:
– alunos reprovados em determinado ano; – número de óbitos em uma UTI;
– número de fumantes presentes em uma reunião; – acertar um alvo num torneio de tiro;
– entrevistados serem do sexo masculino; – sair cara no lançamento de uma moeda; – sair face 5 ou 6 no lançamento de um dado.
Ou seja, a variável sucesso pode ser ou pode não ser algo bom! Às vezes,
pode ser algo imparcial, como face de uma moeda ou dado, ou sexo de uma pessoa.
Exemplo 2: para entender melhor a fórmula, vamos recapitular o cálculo de
probabilidades com base em um exemplo. Responda rapidamente a pergunta: um casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a probabilidade de tal fato acontecer?
Muitas pessoas respondem 50%. Se você foi uma delas, a pergunta seguinte possivelmente será “por quê? Não é???”. A resposta é não! O que mostra que muitas vezes a intuição nos engana, enfatizando a importância da probabilidade (veja, por exemplo, o caso de um médico obstetra ou um laboratório que muitas vezes precisa conhecer cálculos de probabilidades como este).
Faremos, inicialmente, um método mais trabalhoso, mas que certamente convencerá o leitor de que tal probabilidade não é 50%. Depois, faremos o cálculo utilizando um modelo probabilístico.
Listemos todas as possibilidades de nascimentos:
HHHH HHHM HHMH HMHH MHHH HHMM HMHM MHHM HMMH MHMH
MMHH HMMM MHMM MMHM MMMH MMMM
Das 16 possibilidades listadas, note que em 6 delas ocorrem o nascimento de 2 homens e 2 mulheres. Logo, a probabilidade disso ocorrer é:
37,5% ou 375 , 0 16 6 P= = .
Ou seja, a probabilidade é inferior a 50%, mais precisamente, vale 37,5%, o que contradiz a intuição da maioria das pessoas.
Uma outra forma de resolver esse mesmo problema é utilizando a Binomial. Agora, para resolvermos essa situação apresentada através da Binomial, vamos determinar que nosso interesse seja o número de homens que nascem. Essa ocorrência será chamada de sucesso. Assim:
X: número de homens que nascem (sucesso)
Logo, nascer mulher indicaria fracasso. Não é nenhum tipo de preconceito, mas sim, uma questão Estatística. Poderíamos, sem problemas, ter trocado homem por mulher e vice-versa.
A probabilidade de sucesso é a probabilidade de em um nascimento qualquer ocorrer um homem, ou seja,
5 , 0 2 1 p= = .
Temos interesse que, em 4 nascimentos, 2 sejam homens e 2 sejam mulheres. Como chamamos de sucesso nascer homem, temos interesse no nascimento de 2 homens ou, em linguagem matemática, X=2. Logo, o valor de k é 2 (basta comparar a fórmula X=k com o que acabamos de escrever X=2).
Obtemos, portanto: 375 , 0 8 3 4 1 . 4 1 . 6 2 1 1 . 2 1 . 2 4 ) 2 X ( P 2 4 2 = = = − = = − ,
que é o mesmo valor obtido utilizando o método anterior.
Cabe ressaltar que a fórmula apresentada não tem caráter místico algum. É possível fazer a sua dedução e, para isso, basta utilizarmos a lógica desenvolvida no método anterior. Vejamos:
17 Suponhamos 4 caixas numeradas, e que iremos colocar em cada uma delas um cartão que possui uma letra H ou um cartão que possui uma letra M. Suponhamos que temos um par de cartões “mestre” que serão utilizados na escolha de uma das letras e que tenhamos uma outra pilha de cartões que serão colocados nas caixas. Inicialmente, escolheremos duas delas para colocarmos um cartão que possui a letra H. O número de maneiras que podemos fazer tal escolha não depende da ordem, ou seja, escolher a caixa 1 e 3 é indiferente de escolher a 3 e 1, visto que colocaremos cartas iguais dentro de cada uma delas. Utilizamos a combinação:
6 2 4 C4,2 = =
Logo, há 6 maneiras de se fazer tal escolha.
Fixemos uma das escolhas, como por exemplo, H nas caixas 1 e 3. Nas caixas 2 e 4 colocaremos cartas com a letra M. A probabilidade de tal fato ocorrer pode ser expressa através do princípio multiplicativo. A probabilidade de ocorrer cada H é de 0,5 (pois sorteamos as letras a partir dos cartões-mestre) e de ocorrer M também é 0,5.
Assim, a probabilidade de sortearmos H na primeira vez, M na segunda, H na terceira e M na quarta é dada por
0,5.0,5.0,5.0,5 = (0,5)4 = 0,0625.
Como tal fato (2 H e 2 M) pode ocorrer de 6 maneiras diferentes temos que a probabilidade final fica
P = 6 . 0,0625 = 0,375.
Note que 0,5 = 1 – 0,5 = 1 – p. O raciocínio aqui desenvolvido é o mesmo que se faz para deduzir a fórmula da Distribuição Binomial.
Exemplo 3: uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?
Inicialmente, vamos definir a variável aleatória de interesse:
X: número de bolas vermelhas observadas (sucesso).
1 2 3 4
H H M
H Cartões mestre
Logo, a probabilidade de sucesso será p=4/10=0,4. Utilizando a fórmula apresentada, em que n=5 (número de retiradas) e k=3 (número de bolas vermelhas que temos interesse em observar), temos:
2304 , 0 6 , 0 . 4 , 0 . 3 5 ) 4 , 0 1 .( 4 , 0 . 3 5 ) 3 X ( P 3 5 3 3 2 = = − = = − ou 23,04%.
Exemplo 4: numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
Definindo X: número de pessoas que possuem o carro da marca A (sucesso), temos associada uma probabilidade de sucesso p=0,10. Sendo n=30 e k=5, temos: 1023 , 0 9 , 0 . 1 , 0 . 5 30 ) 1 , 0 1 .( 1 , 0 . 5 30 ) 5 X ( P 5 30 5 5 25 ≅ = − = = − ou 10,23%.
Exemplo 5: admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando–se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas?
Seja X: número de válvulas que permanecem funcionando após 600 horas. Temos que a probabilidade de sucesso é p=0,3. Perceba que estamos realizando 10 Ensaios de Bernoulli (n=10). Logo, queremos calcular:
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... + P(X=9) + P(X=10).
Note que teríamos que calcular cada uma das probabilidades envolvidas nessa soma utilizando a fórmula apresentada, ou seja, teríamos que aplicar a fórmula 8 vezes para, em seguida, somar todos os resultados. Neste caso, vamos utilizar uma propriedade, já vista, de eventos complementares:
P(X≥3) = 1 – P(X<3) = = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = = − + − + − − 0 10−0 1 10−1 2 10−2 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 2 10 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 1 10 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 0 10 1 = = + + − 0 10 1 9 2 8 7 , 0 . 3 , 0 . 2 10 7 , 0 . 3 , 0 . 1 10 7 , 0 . 3 , 0 . 0 10 1 = = 1 – 0,3828 = 0,6172 ou 61,72%.
19
Exemplo 6: em uma grande pesquisa com 6000 respondentes, determinou–se que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV. Se 20 pessoas são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que ao menos 19 assistam a esse programa?
Definindo a variável aleatória que indica sucesso: X: número de pessoas que assistem ao programa.
Perceba que a probabilidade de sucesso (p) pode ser calculada a partir do enunciado: 25 , 0 6000 1500 p= = .
Logo, queremos calcular:
P(X≥19) = P(X=19) + P(X=20) = = 19 1 20 0 75 , 0 . 25 , 0 . 20 20 75 , 0 . 25 , 0 . 19 20 + =
≅5,5.10–11, ou seja, a probabilidade de 19 ou 20 pessoas assistirem ao programa é muito pequena, quase zero, visto que vale 0,0000000055%.
Exemplo 7: vamos supor o lançamento de uma moeda honesta (ou seja,
P(cara)=P(coroa)=0,5). Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos.
A probabilidade de você ganhar ocorre quando saírem 4 ou 5 ou 6 ou 7 caras. Utilizando o modelo Binomial onde:
X: número de caras (sucesso) n = 7 lançamentos k = 4,5,6,7 p = 0,5 temos: P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 5 , 0 2 1 . 1 2 1 . 7 2 1 . 21 2 1 . 35 2 1 1 2 1 7 7 2 1 1 2 1 6 7 2 1 1 2 1 5 7 2 1 1 2 1 4 7 7 7 7 7 7 7 7 6 7 6 5 7 5 4 7 4 = + + + = = − + − + − + − = − − − −
Resultado interessante, não? Ou seja, ao invés de fazer essa aposta, poderiam ter feito a tradicional aposta de cara x coroa.
Exemplo 8: Suponhamos a mesma situação do exemplo anterior, mas agora, você pega, sem seu amigo perceber, uma moeda viciada em que a probabilidade
de ocorrer uma cara é de 0,75 ou 4 3
. Neste caso, p=0,75 e a probabilidade de você ganhar é: P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 9294 , 0 4 3 1 4 3 7 7 4 3 1 4 3 6 7 4 3 1 4 3 5 7 4 3 1 4 3 4 7 4 7 4 5 7 5 6 7 6 7 7 7 ≅ − + − + − + − = − − − − ou 92,94%.
Logo, é muito provável que você ganhe a aposta usando essa moeda viciada.
Exemplo 9: Overbooking é prática realizada na aviação do mundo todo. Consiste
na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no vôo com base na média de desistência dos vôos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares. Se para um certo vôo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro não comparecer para embarque é de 1%, qual a probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar?
Este é um problema clássico resolvido utilizando a Binomial. Aqui, é muito comum haver uma certa confusão na elaboração do que é o sucesso bem como do que se deseja calcular. Assim, vamos definir:
X: número de passageiros que comparecem ao embarque (sucesso).
Neste caso, p=0,99. Temos, ainda, que n=103, visto que cada um dos 103 passageiros pode comparecer ao embarque (sucesso) ou não comparecer (fracasso). Queremos calcular a probabilidade de que algum passageiro não consiga embarcar, ou seja, de que compareçam ao embarque mais de 100 passageiros: P(X>100) = P(X=101) + P(X=102) + P(X=103) = = 101 2 102 1 103 0 01 , 0 . 99 , 0 . 103 103 01 , 0 . 99 , 0 . 102 103 01 , 0 . 99 , 0 . 101 103 + + = =5253.0,99101.0,012 +103.0,99102.0,011+1.0,99103.0,010= = 0,9150 ou 91,50%.
Espantoso? Pois é, a probabilidade de haver problemas devido ao excesso de passageiros para esse vôo é bastante elevada e igual a 91,5%.
2.2.1. Média ou Valor Esperado de uma distribuição Binomial
Seja uma variável X com distribuição Binomial de parâmetros n (número de ensaios de Bernoulli) e p (probabilidade de sucesso). A média ou valor esperado de X é dado por:
21 p . n ) X ( E = = µ
2.2.2. Variância e Desvio Padrão de uma distribuição Binomial
Nas mesmas suposições da média, temos: Variância: q . p . n ) X ( Var 2 = = σ ou σ2 =Var(X)=n.p.(1−p) Desvio padrão: q . p . n ) X ( DP = = σ ou σ=DP(X)= n.p.(1−p)
Exemplo 10: consideremos o exemplo anterior que trata sobre o Overbooking.
Determine a média, variância e desvio padrão para a variável X definida anteriormente. Interprete os resultados.
Lembrando que: n=103 p=0,99 q=1–0,99=0,01 Então: E(X) = 103 . 0,99 = 101,97 Var(X) = 103 . 0,99 . 0,01 = 1,0197 DP(X) = 1,0197=1,0098
Logo, em média comparecem ao embarque aproximadamente 102 (101,97) passageiros com um desvio padrão de 1 passageiro.
2.2.3. Exercícios
1) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras?
2) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes?
3) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
4) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?
5) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?
6) Um time de futebol tem probabilidade p = 0,6 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 7) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas casa um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno:
a) acertar os 5 testes? b) acertar apenas 4 testes? c) acertar apenas 3 testes? d) acertar apenas 2 testes? e) acertar apenas 1 teste?
f) errar todos os testes propostos?
g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno?
8) Foi realizada uma pesquisa com 500 pessoas para verificar se assistiam determinado programa de televisão. Duzentas pessoas afirmaram assistir. Se, a partir da população, retirarmos 8 indivíduos, qual é a probabilidade de que no máximo 6 assistam o programa?
9) Um aluno tem o domínio de 70% do conteúdo que será cobrado em uma prova. Sabendo–se que essa prova é composta por 10 questões, qual a probabilidade de ele acertar, ao menos, 7 questões para ser aprovado?
10) Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não sobrevivem. Se, atualmente, há 40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que no máximo 5% dos bebês não sobrevivam?
11) Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, quantas famílias seria esperado que tivessem:
a) nenhuma menina? b) três meninos? c) quatro meninos? 12) Um time X tem 3 2
de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de:
a) X vencer exatamente três partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas.
13) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 3 1
. Se ele atirar seis vezes, qual a probabilidade de:
a) acertar exatamente dois tiros? b) não acertar o alvo?
23 14) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa; b) três defeituosas; c) mais do que uma boa.
15) Em determinada cidade, 56% dos dias são nublados. Encontre a média, a variância e o desvio padrão para o número de dias nublados durante o mês de junho.
16) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da distribuição binomial cujos parâmetros são: a) n=80 e p=0,3; b) n=124 e p=0,26. Respostas 1) 0,2344 2) 0,03215 3) 0,4588 4) 0,2592 5) 0,98439 6) 0,9898 7) a) 1/1024 b) 15/1024 c) 90/1024 d) 270/1024 e) 405/1024 f) 243/1024 g) O resultado mais provável é que o aluno acerte apenas 1 teste.
8) 0,9915 9) 0,6496 10) 0,6767 11) a) 20 b) 80 c) 20 12) a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 13) a) 80/243 b) 64/729 14) a) (0,95)100 b) 3 100 (0,05)3.(0,95)97 c) 1–(0,05)100 – 100.(0,95).(0,05)99 15) E(X)=16,8 Var(X)=7,4 DP(X)=2,7
2.3. Distribuição Geométrica
Muitas situações reais podem ser repetidas até atingir–se o sucesso. Um candidato pode prestar uma prova de vestibular até ser aprovado, ou você pode digitar um número de telefone várias vezes até conseguir completar a ligação. Situações como essas podem ser representadas por uma distribuição Geométrica. Uma distribuição pode ser considerada Geométrica se satisfizer as seguintes condições:
1) Uma tentativa (correspondente a um Ensaio de Bernoulli) é repetida até que o sucesso ocorra, ou seja, ocorrem k–1 fracassos até que ocorra o primeiro sucesso na k–ésima tentativa.
2) As tentativas são independentes umas das outras.
3) A probabilidade de sucesso p é constante em todos os Ensaios de Bernoulli. Logo, a probabilidade de que ocorra sucesso na tentativa k é:
P(X=k) = p.(1–p)k–1 com k=1,2,3,4...
Ou seja, ocorrem k–1 fracassos com probabilidade 1–p até que ocorra um
sucesso na tentativa k com probabilidade p.
Exemplo 1: uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle
da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa na 1ª peça produzida, na 2ª, na 5ª, na 10ª, na 20ª e na 40ª.
Vamos admitir que cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, independentemente da qualidade das demais. Sendo a ocorrência de peça defeituosa um sucesso, podemos aplicar o modelo Geométrico. Definindo a variável aleatória com distribuição geométrica X: número total de peças observadas até que ocorra a primeira defeituosa, podemos escrever nosso modelo:
P(X=k) = 0,01 . 0,99k–1
Assim, podemos aplicar nosso modelo para calcular as probabilidades pedidas: P(X=1) = 0,01 . 0,990 = 0,01 P(X=2) = 0,01 . 0,991 = 0,0099 P(X=5) = 0,01 . 0,994 = 0,0096 P(X=10) = 0,01 . 0,999 = 0,0091 P(X=20) = 0,01 . 0,9919 = 0,0083 P(X=40) = 0,01 . 0,9939 = 0,0068
25
Exemplo 2: por experiência, você sabe que a probabilidade de que você fará uma venda em qualquer telefone dado é 0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira venda ocorra na quarta ou na quinta ligação.
X: número da primeira ligação em que ocorre a venda (sucesso). P(X=4) = 0,23 . 0,773 ≅ 0,105003
P(X=5) = 0,23 . 0,774 ≅ 0,080852 Logo, a probabilidade desejada é:
P(venda na 4ª ou 5ª ligação) = P(X=4) + P(X=5) = 0,105003 + 0,080852 ≅ 0,186. Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade discreta porque os valores de x podem ser listados – 1,2,3.... Perceba que conforme x se torna maior, P(X=x) se aproxima de zero. Por exemplo:
P(X=50) = 0,23 . 0,7749 ≅0,0000006306.
2.3.1. Esperança (ou média) da Distribuição Geométrica
Seja X uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p (probabilidade de sucesso). A média ou esperança de X é dada por:
p 1 ) X ( E = = µ
2.3.2. Variância da Distribuição Geométrica
Nas mesmas condições que as apresentadas para a média, temos que a variância é dada por 2 2 p p 1 ) X ( Var = − = σ
Observação: o desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da variância, assim como já estudamos anteriormente.
2.3.3. Exercícios
1) Considere uma variável aleatória X com distribuição Geométrica com parâmetro p=0,4. Calcule:
a) P(X = 4). b) P(3 ≤ X < 5). c) P(X ≥ 2).
2) Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Determine:
a) P(X ≤ 2). b) P(X > 1). c) P(3 < X ≤ 5).
3) Suponha que a probabilidade de que você faça uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos é 0,19. Encontre a probabilidade de que você:
a) faça sua primeira venda durante a quinta ligação;
b) faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação; c) não faça uma venda durante as três primeiras ligações.
4) Um produtor de vidro descobre que 1 em cada 500 itens de vidro está torcido. Encontre a probabilidade de:
a) o primeiro item de vidro torcido ser o décimo item produzido;
b) o primeiro item de vidro torcido ser o segundo ou terceiro item produzido; c) nenhum dos dez primeiros itens de vidro estar imperfeito.
Respostas
1) a) 0,0864 b) 0,2304 c) 0,6000 2) a) 0,875 b) 0,250 c) 0,047 3) a) 0,082 b) 0,469 c) 0,531 4) a) 0,002 b) 0,004 c) 0,980
27
2.4. Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson (fala–se: “Poassom”) é uma distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X que satisfaz às seguintes condições:
1) O experimento consiste em calcular o número de vezes, k, que um evento ocorre em um dado intervalo. O intervalo pode ser de tempo, área, volume, etc. 2) A probabilidade de o evento acontecer é a mesmas para cada intervalo.
3) O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo.
A distribuição de Poisson possui um parâmetro
λ
(leia–se: “lâmbda”) que chamamos de taxa de ocorrência, que corresponde à freqüência média ou esperada de ocorrências em um determinado intervalo. Além disso, sempre temos que λ>0.A probabilidade é calculada da seguinte forma:
! k . e ) k X ( P k λ = = −λ onde: k=0,1,2,3,...
e é o número irracional que vale aproximadamente 2,71828;
λ
é a taxa de ocorrência (que é igual à média da distribuição).2.4.1. Esperança e Variância da distribuição de Poisson
Sendo X uma variável que segue o modelo Poisson com parâmetro
λ
, temos que:Média ou esperança: E(X) = λ. Variância: Var(X) = λ.
Desvio padrão: DP(X) = λ.
Importante: a Poisson, assim como a Geométrica, é uma distribuição que pode assumir infinitos valores. Dessa forma, k assume valores em todo o conjunto dos números naturais.
Exemplo 1: a emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrências é de 5 emissões a cada minuto. Calcular a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto.
Resolução
Pelo enunciado, temos que
X: número de emissões em um minuto; λ = 5 emissões/minuto
Neste caso, queremos calcular P(X > 2), que é uma soma infinita de valores, pois podemos ter X=3,4,5,6,7,8,... Assim, devemos, obrigatoriamente, trabalhar com o complementar: P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] = = + + − − − − ! 2 5 . e ! 1 5 . e ! 0 5 . e 1 2 5 1 5 0 5 = 0,875.
Logo, há uma probabilidade de 87,5% de haver mais que 2 emissões ao longo de um minuto.
Exemplo 2: você é o gerente de uma loja e sabe que, fora do horário de pico, entram, em média, 6 clientes a cada 10 minutos. Qual a probabilidade de entrarem:
a) 6 clientes na loja em um período qualquer de 10 minutos fora do horário de pico?
b) até 2 clientes num período de 10 minutos fora do horário de pico? c) entrarem 3 clientes ou mais fora do horário de pico?
Resolução
Inicialmente, percebemos que se trata de uma variável com distribuição de Poisson:
X: número de clientes que entram num período de 10 minutos; λ=6 clientes a cada 10 minutos
a) P(X=6) = ! 6 6 . e−6 6 = 0,1606. b) ≤ = = + = + = = + + = − − − ! 2 6 . e ! 1 6 . e ! 0 6 . e ) 2 X ( P ) 1 X ( P ) 0 X ( P ) 2 X ( P 2 6 1 6 0 6 0620 , 0 25 . e ! 2 6 ! 1 6 ! 0 6 . e 6 2 1 0 6 = = + + = − −
Perceba que o cálculo ficou bastante simplificado quando colocamos o termo e–6 em evidência (fator comum).
c) Vamos utilizar o resultado do item anterior na resolução: 9380 , 0 0620 , 0 1 ) 2 X ( P 1 ) 3 X ( P 1 ) 3 X ( P ≥ = − < = − ≤ = − = .
29
Exemplo 3: no pedágio da rodovia dos Imigrantes passam, em média, 3600 carros por hora em vésperas de feriado. Qual a probabilidade de:
a) passarem dois carros em um segundo? b) passarem 30 carros em 15 segundos? c) passarem até 5 carros em 10 segundos?
Resolução
Pelo enunciado, temos que λ=3600 carros/hora. Porém, se você observar as perguntas, poderá perceber que as unidades não correspondem a 1 hora. Assim, devemos recalcular o valor do nosso parâmetro a cada item, de modo a trabalharmos sempre na mesma unidade. Esse cálculo pode ser direto ou através de uma regra de três simples.
a) X: número de carros que passam no pedágio por segundo.
Nosso parâmetro será recalculado. Lembrando que 1 hora possui 3600 segundos,
temos: 1
3600 3600
= =
λ carro por segundo. Agora, podemos calcular a probabilidade desejada: 1839 , 0 ! 2 1 . e ) 2 X ( P 2 1 = = = − .
b) X: número de carros que passam no pedágio a cada 15 segundos. Vamos trabalhar, agora, com uma regra de três:
3600 carros ––––– 3600 segundos (1h) λ –––––- 15 segundos
λ= 15 carros a cada 15 segundos. Assim:
00022 , 0 ! 30 15 . e ) 30 X ( P 30 15 = = = − .
c) X: número de carros que passam no pedágio a cada 10 segundos.
Da mesma forma que no item anterior, temos que λ= 10 carros a cada 10 segundos. Portanto: = = + + = + = = ≤5) P(X 0) P(X 1) ... P(X 5) X ( P 0671 , 0 6667 , 1477 . e ! 5 10 ! 4 10 ! 3 10 ! 2 10 ! 1 10 ! 0 10 . e ! 5 10 . e ! 4 10 . e ! 3 10 . e ! 2 10 . e ! 1 10 . e ! 0 10 . e 10 5 4 3 2 1 0 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 = = + + + + + = = + + + + + = − − − − − − − −
Ou seja, há uma probabilidade de 6,71% de passarem 5 carros ou menos ao longo de 10 segundos.
Exemplo 4: suponha que 360 erros de impressão estejam distribuídos aleatoriamente, segundo uma Poisson, em um livro de 180 páginas. Calcule a probabilidade de encontrar uma página com:
a) nenhum erro; b) mais de um erro.
Resolução
Sendo X: número de erros encontrados em 1 página, devemos calcular o valor do nosso parâmetro: 2 180 360 = = λ erros / página. a) 0,1353 ! 0 2 . e ) 0 X ( P 0 2 = = = − . b)
[
]
0,5940 ! 1 2 . e ! 0 2 . e 1 ) 1 X ( P ) 0 X ( P 1 ) 1 X ( P 1 ) 1 X ( P 1 2 0 2 = + − = = + = − = ≤ − = > − − .Exemplo 5: experiências passadas indicam que o número de ligações recebidas,
no período noturno, em uma central telefônica segue uma distribuição de Poisson. As probabilidades de receber um certo número de chamadas por hora estão apresentadas na tabela a seguir:
N° chamadas Probabilidade 0 0,0111 1 0,0500 2 0,1125 3 0,1687 4 0,1898 5 0,1708
Calcule a probabilidade de que essa central receba 3 ou mais chamadas ao longo de uma hora.
Resolução
Cuidado! Perceba que queremos calcular P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... que é uma soma infinita. Muitas vezes, essa tabela nos leva a um erro na hora do cálculo caso você não se lembre que a Poisson é válida para infinitos valores, no caso, do número de chamadas. Devemos, portanto, trabalhar com o complementar:
P(X≥3) = 1–P(X<3) = 1- – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = = 1 – [0,0111 + 0,0500 + 0,1125] = 0,8264 ou 82,64%.
31
2.4.2. Exercícios
1) A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleatória Poisson de parâmetro λ = 1 defeitos por m2. Uma chapa é sorteada ao acaso para ser inspecionada. Qual a probabilidade de:
a) encontrarmos pelo menos 1 defeito? b) no máximo 2 defeitos serem encontrados? c) encontrar entre 2 e 4 defeitos?
d) não mais de 1 defeito ser encontrado?
2) Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e Internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio, durante o horário comercial, é uma variável aleatória discreta com distribuição Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
a) Calcule a probabilidade de haver mais de 2 pedidos por hora.
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
c) Qual a probabilidade de não haver nenhum pedido em um dia de trabalho? Você diria que isso é um evento raro?
3) O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os orlos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas é dada pela Poisson, calcule a probabilidade de encontrar:
a) nenhuma emenda em um rolo de 125 metros;
b) no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros. c) pelo menos uma emenda num rolo de 100 metros.
4) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade de receber, em um dia:
a) 4 chamadas;
b) 3 ou mais chamadas.
5) A média de chamadas telefônicas numa hora é igual a 3. Qual a probabilidade de:
a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora? b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?
6) Na pintura de paredes, aparecem defeitos em média na proporção de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2m?
7) Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50000 habitantes distribuídos segundo uma Poisson. Em certa cidade com 100 000 habitantes, qual a probabilidade de que o número de suicídios em determinado ano seja:
a) igual a 0? b) igual a 1? c) igual a 2?
d) igual a 2 ou mais?
8) Suponha que ocorram 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
a) nenhum erro;
b) exatamente dois erros.
9) Certa loja recebe, em média, 5 clientes por hora, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de:
a) receber dois clientes em 24 minutos?
b) receber pelo menos três clientes em 18 minutos?
10) A média de chamadas telefônicas em uma hora é três, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de receber:
a) três chamadas em 20 minutos?
b) no máximo duas chamadas em meia hora?
11) Em uma estrada passam, em média, 1,7 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? Admita válido o modelo Poisson.
12) Uma fábrica produz tecidos com 2,2 defeitos, em média, por peça, segundo o modelo Poisson. Determine a probabilidade de haver ao menos dois defeitos em duas peças.
Respostas
1) a) 0,632 b) 0,920 c) 0,261 d) 0,736
2) a) 0,875 b) 0,018 c) Sim, pois a probabilidade é de e–40. 3) a) 0,0821 b) 0,5440 c) 0,8647 4) a) 0,1680 b) 0,5767 5) a) 0,2241 b) 0,6580 6) 0,1954 7) a) 0,0183 b) 0,0732 c) 0,1464 d) 0,9085 8) a) 0,449 b) 0,1438 9) a) 0,2707 b) 0,1912 10) a) 0,0613 b) 0,8088 11) 0,1929 12) 0,9337
33
3. Modelos Contínuos de Distribuições de Probabilidades
Como já vimos, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Quando a variável é contínua, ou seja, assume valores em intervalos da reta dos números reais, a distribuição de freqüência de uma amostra de observações pode ser representada através de um histograma.
Agora, porém, queremos analisar a população de onde foi retirada essa amostra. Como não temos acesso ao histograma de freqüências relativo à população, não conseguimos determinar, diretamente, o cálculo de qualquer probabilidade. Para o cálculo exato, necessitamos de um modelo para a distribuição de freqüências da população. Estudaremos, aqui, dois dos principais modelos contínuos: a Normal e a Exponencial.
Os modelos que serão analisado representam comportamentos de uma extensa série de variáveis do mundo dos negócios e também distribuições teóricas de probabilidades que são fundamentais para os métodos de inferência estatística. Tais modelos são expressos por funções matemáticas denominadas funções
densidade de probabilidade.
A área sob a curva que expressa a função densidade de probabilidade é igual a
1 (total das probabilidades), sendo que a probabilidade de uma particular observação pertencer a um intervalo é dado pela área sob a curva, correspondente ao intervalo, conforme podemos observar na figura seguinte:
3.1. Distribuição Uniforme
A Distribuição Uniforme Contínua é uma das distribuições contínuas mais simples de toda a Estatística. Ela se caracteriza por ter uma função densidade contínua em um intervalo fechado [a,b]. Ou seja, a probabilidade de ocorrência de um certo valor é sempre o mesmo. Embora as aplicações desta distribuição não sejam tão abundantes quanto as demais distribuições que discutiremos mais adiante, utilizaremos a Distribuição Uniforme para introduzirmos as funções contínuas e darmos uma noção de como se utiliza a função densidade para determinarmos probabilidades, esperanças e variâncias.
3.1.1. Função densidade de probabilidade
A variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a,b] se sua densidade de probabilidade for dada por:
≤ ≤ − = contrário. caso 0, b; x a , a b 1 ) x ( f
Usaremos a notação X ~ U[a,b] para indicar que X segue o modelo Uniforme Contínuo no intervalo considerado.
Graficamente:
Note que a área compreendida entre a função densidade e o eixo é:
Área = base x altura = (b–a) . a b
1
− = 1.
Ou seja, de modo simples, podemos dizer que ÁREA = PROBABILIDADE.
3.1.2. Esperança
Já vimos que a esperança para variáveis discretas é calculada através da fórmula
∑
= = i i i.P(X x ) x ) X (E . Quando trabalhamos com variáveis contínuas, utilizamos a função densidade. Além disso, não podemos trabalhar com o “somatório” visto que se trata de uma função contínua, ou seja, se trata do cálculo de uma área. Logo, utilizaremos integral. f(x) x a b a b 1 −
35 Vamos deduzir a fórmula da esperança da distribuição Uniforme contínua:
2 b a ) a b ( 2 a b 2 x . a b 1 dx a b 1 . x dx ) x ( f . x ) X ( E 2 2 b a 2 b a b a + = − − = − = − = = = µ
∫
∫
. Logo, 2 b a ) X ( E = + .3.1.3. Variância
Assim como já vimos, a variância de uma variável aleatória é obtida através da expressão: 2 2 2 2 2 ) X ( E ) X ( E ) X ( E ) X ( Var = − = −µ = σ .
Já calculamos o valor de E(X). Vamos calcular, agora, E(X2):
3 a ab b ) a b ( 3 a b 3 x . a b 1 dx a b 1 . x dx ) x ( f . x ) X ( E 2 2 3 3 b a 3 b a 2 b a 2 2 = + + − − = − = − = =
∫
∫
.Agora, podemos obter a variância:
( )
( )
(
)
12 a b 2 b a 3 a ab b X E X E ) X ( Var 2 2 2 2 2 2 2 = − + − + + = − = = σ . Logo,(
)
12 a b ) X ( Var 2 − = .Exemplo: com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos
de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados tem 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma das extermidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Denote por X a variável aleatória que indica a distância correspondente ao vazamento. Assuma que X tem uma distribuição Uniforme Contínua.
a) Determine a função densidade de probabilidade. b) Construa o gráfico da função densidade.
c) Utilizando apenas a função, determine a probabilidade de que o vazamento
d) Utilizando apenas o gráfico construído no item b, determine a probabilidade de
que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.
Resolução
a) Temos, a partir do enunciado, que X ~ U[0,6]. Logo:
≤ ≤ = contrário. caso 0, 6; x 0 , 6 1 ) x ( f b)
c) Utilizando a função densidade:
3 1 6 5 6 6 0 6 1 6 x 6 x dx 6 1 dx 6 1 ) 6 X 5 ( P ) 1 X 0 ( P 6 5 1 0 6 5 1 0 = − + − = + = + = ≤ ≤ + ≤ ≤
∫
∫
.Portanto, a probabilidade desejada vale 3 1
.
d) usando apenas o gráfico construído, basta lembrarmos que probabilidade é equivalente a área sob o gráfico da função densidade:
f(x)
x
0 6
6 1
37 A área hachurada é igual a probabilidade procurada:
3 1 6 1 . 1 6 1 . 1 ) 6 X 5 ( P ) 1 X 0 ( P ≤ ≤ + ≤ ≤ = + = ,
que é igual ao resultado obtido no cálculo do item c.
3.1.4. Exercícios
1) Sendo X ~ U[0,4], calcule: a) P(X > 2).
b) P(X ≥ 2). c) P(1 < X < 2).
2) Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 km.
a) Qual é a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 km centrais da rede?
b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de R$ 200 para distâncias até 3 km, de R$ 400 entre 3 e 8 km e de R$ 1000 para as distâncias acima de 8 km. Qual é o custo médio do conserto?
3) O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado, qual a probabilidade da dor:
a) cessar em até 10 minutos?
b) demorar pelo menos 12 minutos até cessar? f(x) x 0 6 6 1 1 5
4) Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição Uniforme contínua é 1 e a variância é igual a 1/12. Encontre a probabilidade da variável assumir valores menores que 3/4.
Respostas
1) a) ½ b) ½ c) ¼
2) X ~ U[0,10] a) 1/20 e 3/10 b) 460 3) X ~U[5,15] a) ½ b) 3/10
4) Resolva um sistema com os valores da média e da variância para determinar quanto valem os parâmetros a e b. P(X < ¾) = ¼ .
39
3.2. Distribuição Exponencial
Há uma estreita relação entre a distribuição Exponencial e a distribuição de Poisson. O modelo de distribuição de probabilidade que descreve o tempo, ou espaço, entre dois sucessos consecutivos de uma variável de Poisson é a distribuição exponencial. Assim, por exemplo, o tempo entre falhas de equipamentos, o tempo entre chegadas de clientes a um shopping, a área entre dois defeitos consecutivos de uma peça de tecido, etc., são descritos pela distribuição Exponencial.
Uma variável aleatória contínua X, que assuma todos os valores reais não negativos, terá uma distribuição Exponencial com parâmetro λ>0 se a sua função densidade de probabilidade for dada por:
λ ≥ = −λ contrário. caso , 0 0; t se , e . ) x ( f x .
3.2.1. Média e Variância da Distribuição Exponencial
Se uma variável X possui distribuição Exponencial com parâmetro λ, então:
Média ou Esperança: λ = 1 ) X ( E . Variância: Var(X) 12 λ = . Conseqüentemente: Desvio padrão: λ = 1 ) X ( DP .
3.2.2. Cálculo de Probabilidades
Lembrando que a probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do gráfico da função densidade de probabilidade, podemos calcular as probabilidades da distribuição Exponencial utilizando a função densidade juntamente com uma integral definida.
Porém, podemos, também, utilizar as seguintes fórmulas para o cálculo:
t . e ) t X ( P > = −λ . Logo:
t . e 1 ) t X ( P ≤ = − −λ .
Fazendo um esboço gráfico temos:
Exemplo 1: suponha que, em determinado período do dia, o tempo médio de
atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de um cliente:
a) esperar mais do que 5 minutos; b) esperar menos do que 4 minutos; c) esperar entre 3 e 8 minutos.
Resolução
Seja a variável aleatória X: tempo de atendimento. Foi dado que o tempo médio de atendimento é de 5 minutos. Vimos que a média, ou esperança, de uma variável com distribuição exponencial é
λ = 1 ) X ( E . Logo: 0,2 5 1 5 1 = = λ ⇒ = λ , que é o parâmetro da distribuição. a) Vimos que: .t e ) t X ( P > = −λ . Então: P(X>5) = e-0,2.5 = 0,3679 ou 36,79%. b) Vimos que .t e ) t X ( P > = −λ . Logo: 5507 , 0 e 1 ) 4 X ( P ≤ = − −0,2.4 = ou 55,07%.
41 Essa área (probabilidade) pode ser calculada da seguinte forma:
P(3 < X < 8) = P(X > 3) – P(X > 8) = e–0,2.3 – e–0,2.8 = 0,5488 – 0,2019 = 0,3469.
3.2.3. Distribuição Exponencial aplicada à Teoria da Confiabilidade
Na teoria da confiabilidade de componentes, ou sistemas, calculam-se as probabilidades de que o componente, ou sistema, não venha a falhar durante um intervalo [O, t0], ou seja: a probabilidade de que o componente ainda esteja funcionando na época t0. Uma das mais importantes leis de falhas é aquela cuja duração até falhar é descrita pela distribuição exponencial. Admite-se que a taxa de falhas é constante, isto é, depois que a peça (equipamento, sistema etc.) esteja em uso, sua probabilidade de falha não se altera. Logo, não se considera o efeito do desgaste quando o modelo exponencial é admitido. Por exemplo, considerando-se uma taxa de falhas constante, o funcionamento de um rolamento, a qualquer momento, é tão bom quanto novo, e nestes casos o modelo de distribuição de tempo até falhar é exponencial.
Exemplo 2: Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja
exponencialmente distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas. a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso?
b) Qual o número de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto é, 90% de probabilidade de não falhar)?
Resolução Como λ = 1 ) X ( E , então 0,01 100 1 1 100 ⇒λ= = λ = . a) P(X>150) = e–0,01.150 = 0,2231 ou 22,31%. b) Queremos encontrar um valor t de modo que:
P(X > t) = 0,90 e–0,01.t = 0,90
ln e–0,01.t = ln 0,90 –0,01.t = ln 0,90 01 , 0 90 , 0 ln t=− t = 10,54 horas.
Ou seja, há 90% de confiabilidade de o dispositivo não falhar antes de 10,54 horas.
Exemplo 3: uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação
continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através da distribuição exponencial e possui, para t ≥ 0, a seguinte função densidade de probabilidade: 8000.t 1 e . 8000 1 ) t (
f = − . Qual a porcentagem de lâmpadas que essa indústria deverá repor a seus clientes, a título de garantia?
Comparando com a função densidade da distribuição Exponencial
λ ≥ = −λ contrário. caso , 0 0; t se , e . ) x ( f x .
, percebemos que o nosso parâmetro vale
8000 1 =
λ . Queremos calcula a seguinte probabilidade:
006 , 0 e 1 ) 50 T ( P 8000.50 1 = − = < − .
Ou seja, a proporção de trocas por defeito de fabricação será de aproximadamente 0,6%. Esse número é relativamente pequeno, algo natural, visto que como o parâmetro vale
8000 1 = λ , a média da distribuição é 8000 8000 1 1 1 = = λ = µ horas.
3.2.4. Exercícios
1) Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir: ≥ < = − 0 t , e . 1000 1 0 t , 0 ) t ( f 1000 t . Determine:
