Admita-se que o eixo de uma peça prismática coincide com o eixo z do referencial ortonormado (x,y,z), como representado na figura 1.

1.1 Estados de tensão e de deformação

Admita-se que o eixo de uma peça prismática coincide com o eixo z do referencial ortonormado (x,y,z), como representado na figura 1.

x z

y

Figura 1 - Sistema de eixos de referência para uma peça prismática

Seja σ o vector em que se reúnem as componentes do tensor das tensões e ε o vector em que se listam as correspondentes componentes do tensor das deformações:

                σ σ σσ σ σ = xy xz yz z y x σ                 γ γ γε ε ε = xy xz yz z y x ε

No caso das peças prismáticas é usual admitir que: 0 0; 0; _{y xy} x ≈ σ ≈ σ ≈ σ

Dependendo da geometria da peça e do carregamento a que está sujeita, outras componentes de tensão poderão ser consideradas nulas.

Exemplo: no caso da flexão no plano (y,z):

      σσ = yz z σ ou σ=

{ }

σ_z ;

      γε = yz z ε ou ε=

{ }

ε_z .

1.2 Relações constitutivas

Admite-se que o material estrutural tem um comportamento elástico linear, tomando a relação tensões-extensões a seguinte expressão:

ε

σ k= (1)

em que a matriz k é a matriz em que se reúnem os coeficientes elásticos. A matriz de rigidez

k é simétrica e positiva-definida.

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

    = E _G k

1.3 Aproximação das deformações

Para geometrias e carregamentos gerais, não se conhecem soluções exactas para os estados de tensão e de deformação. Torna-se necessário aproximar um desses campos, ficando o outro automaticamente determinado pelas relações constitutivas.

Na teoria das peças prismáticas é usual aproximar o campo de deformações. Suponha-se que, numa secção de abcissa z, se aproximam as deformações pela fórmula,

e E

=

ε , (2)

em que E é a matriz em que se reúnem as funções de aproximação, estando os pesos correspondentes reunidos no vector e.

Uma hipótese usual é a de se admitir que secções planas se mantêm planas após deformação, hipótese de Bernoulli (figura 2). Neste caso tem-se:

) z ( e e= ;

{

1 x y

}

) y , x ( E = .

x z y x z y x z y x z y

=

+

+

Figura 2 - Deformação axial correspondente à hipótese de Bernoulli

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

          κ χ       =       γ ε y x z yz z e 1 0 0 0 y 1 .

Exercício 1: Explicite a relação (2) para o caso da torção plana.

Exercício 2: Explicite a relação (2) para o caso da tridimensional, combinando flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.4 Critério geral de aproximação

De acordo com a expressão (2), o campo de deformações ε(x,y,z) passa a ser caracterizado por um número finito de graus de liberdade, as deformações e, as quais dependem apenas da coordenada da secção, e = e(z). Se se conhecerem as componentes de deformação, a expressão (2) permite calcular o campo de deformações (aproximado) em qualquer ponto da peça.

Pretende-se agora determinar as variáveis auxiliares s(z), correspondentes às deformações e, que sejam (estaticamente) equivalentes ao campo de tensões na peça, σ(x,y,z). Tal permitirá que, no processo de cálculo da secção, se trabalhe apenas com um conjunto finito de variáveis discretas, {s,e}, em vez dos campos contínuos correspondentes, {σ,ε}.

A identificação das variáveis s(z) é feita obrigando as variáveis discretas a dissipar a mesma energia que os campos contínuos que representam:

∫

Ω = (x,y,z) (x,y,z)d ) z ( ) z ( t t _{s ε σ} e .

Substituindo nesta condição a hipótese (2) para o campo de deformações, encontra-se a seguinte definição,

∫

Ω = (x,y) (x,y,z)d ) z ( üt σ s , (3)

a qual demonstra que o vector s reúne resultantes de tensões (esforços) na secção de abcissa z. Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

∫

Ω       σσ         =         d 1 0 0 y 0 1 V M N yz z y x .

Exercício 3: Explicite a relação (3) para o caso da torção plana.

Exercício 4: Explicite a relação (3) para o caso da tridimensional, combinando flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

Exercício 5: Altere as expressões encontradas no Exercício 3 para representar torção com empenamento. Interprete os esforços encontrados.

1.5 Relações esforços-deformações

Para obter a expressão que relaciona os esforços, s, com as deformações, e, basta substituir na definição (3) a relação de elasticidade (1), eliminando em seguida o campo de deformações pela aproximação (2), ficando,

e K

em que K representa a matriz de rigidez da secção:

∫

Ω

= üt küd

K . (5)

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

∫

Ω           = d G 0 0 0 E y yE 0 yE E 2 K .

Para o caso de uma secção rectangular (b,h), homogénea, em que os eixos x e y sejam eixos baricêntricos, encontra-se: 12 bh I , bh A com GA 0 0 0 EI 0 0 0 EA 3 = =         = K .

Exercício 6: Determine a matriz de rigidez para uma secção rectangular (b,h), homogénea, sujeita à acção conjunta de flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.6 Discretização da secção

Quando a geometria de uma secção é irregular ou quando é composta por diferentes materiais estruturais, a integração presente na definição (5) pode não ter solução analítica.

Nestas situações, é usual discretizar a secção em elementos homogéneos , de geometria regular que permita a integração analítica da matriz de rigidez de cada elemento.

Para cada um dos n elementos em que é discretizada a secção, as relações (4,5) mantêm-se válidas: ; n ,... 2 , 1 j , j j j =K e = s (7)

∫

Ω = t_{j j j}d j ü k ü K . (8)

Para garantir a continuidade da secção, é agora necessário estabelecer uma relação entre as componentes de deformação de cada elemento com as componentes de deformação da secção:

e J

e_j = _j . (9)

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

          κ χ           =           κ χ y x z j yj xj zj e 1 0 0 0 1 0 0 y 1 e . x y z e x χ 1 2 1 2 x′ y′ 1 z e 1 x χ x′′ 2 z e 2 x χ x 1 x =χ χ χx2 =χx 1 G 2 G G y′′ x 1 z 1 z e y e = + χ e_z2=e_z +y₂χ_x 1 y 2 y

Figura 3 - Relação entre as deformações da secção e as deformações dos elementos. A cada elemento está agora associado um conjunto de esforços, s , que se torna necessário _j

relacionar com os esforços na secção, s.

O critério que se adopta para determinar essa relação é análogo ao anteriormente descrito: as variáveis (s,e) devem dissipar a mesma energia que os campos elementares que representam:

∑

= = n 1 j j t j t _{s e s} e .

Substituindo nesta condição a hipótese (9) para o campo de deformações, encontra-se a seguinte definição:

∑

= = n 1 j j t j s J s . (10)

Verifica-se que a expressão (10) define as resultantes de esforços que, a nível da secção, são estaticamente equivalentes aos esforços instalados nos elementos em que a secção foi decomposta.

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

∑

= _                =         n 1 j yj xj j j y x V M N 1 0 0 0 1 y 0 0 1 V M N . x y 1 2 1 2 x′ y′ 1 x M 1 N x′′ 2 1 N N N = + 1 G 2 G G y′′ 2 2 1 1 2 x 1 x x M M y N y N M = + + + 1 y 2 y 2 x M 2 N x M N

Figura 4 - Relação entre os esforços da secção e a os esforços dos elementos.

Para recuperar a expressão (4), que relaciona os esforços s com as deformações e, basta substituir na definição (10) a relação de elasticidade (7), e eliminar em seguida o campo de deformações em cada elemento pela incorporação da definição (9). É a seguinte a expressão que assim se encontra para a matriz de rigidez da secção por combinação das matrizes de rigidez elementares:

∑

= = n 1 j j j t j K J J K . (11)

Exercício 7: Determine a matriz de rigidez para uma secção em T mista (aço-betão), sujeita à acção conjunta de flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.7 Problemas

fundamentais

Dois tipos de problemas podem ser postos ao analisar o comportamento de uma secção:

− Problema directo: dado um campo de deformações, calcular os esforços instalados na secção;

− Problema indirecto: dado um campo de esforços, determinar as deformações instaladas na secção.

A resolução do problema directo pode ser resumida nos seguintes passos:

Problema Directo: calcular s, sabendo e. 1. Definir o vector das deformações, e;

2. Definir a lei de aproximação do campo de deformações;

3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento; 4. Inicializar o vector dos esforços, s=0;

5. Determinar o campo de deformações ε, recorrendo à aproximação (2);

6. Para cada elemento:

a) Determinar o campo de tensões σj, recorrendo às relações de elasticidade (1);

b) Determinar os esforços sj, recorrendo à definição (3);

c) Atribuir ao vector dos esforços s a participação do elemento, recorrendo à definição (10).

Exercício 8: Estabeleça um procedimento alternativo para o problema directo, baseado na utilização das matrizes de rigidez elementares.

Para a resolução do problema indirecto pode-se recorrer ao seguinte procedimento:

Problema Indirecto: sabendo s, calcular e. 1. Definir o vector dos esforços, s;

3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento; 4. Inicializar a matriz de rigidez da secção, K=0;

5. Para cada elemento:

a) Definir a matriz de compatibilidade das deformações, Jj,;

b) Calcular a matriz de rigidez elementar Kj, recorrendo à definição (8);

c) Atribuir à matriz de rigidez da secção a contribuição do elemento, recorrendo à expressão

(11);

6. Resolver o sistema (4).

Pode ainda considerar-se o problema misto, em que numa secção é dado um conjunto de esforços e de deformações não correspondentes, pretendendo-se determinar as restantes componentes de deformação e de esforço. É imediata a adaptação dos procedimentos acima descritos para a resolução de problemas mistos.

1.8 Secções de betão armado: comportamento linear

Se se admitir um comportamento elástico linear, tanto à tracção como à compressão, do aço e do betão, os resultados acima obtidos são directamente aplicáveis à análise de secções de betão armado.

Na discretização da secção, além de elementos (rectangulares) de betão, passa-se agora a incluir elementos (pontuais) para representar as armaduras longitudinais, como indicado na figura 5. b1 b2 x y x y b3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

É corrente considerar apenas a contribuição das armaduras longitudinais para o modo de deformação axial. Assim, o vector que caracteriza o estado de deformação em cada elemento de aço, e , tem apenas uma componente, a deformação axial. _j

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

{ }

[ ]

      χ = x z j j e y 1 e .

Exercício 9: Generalize o resultado anterior para a acção conjunta de flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.9

Integração numérica

Em algumas situações pode deixar de ser possível, ou ser desvantajoso do ponto de vista de processamento numérico, procurar soluções analíticas para a matriz de rigidez elementar (8); nessas situações recorre-se a algoritmos de integração numérica.

Tal sucede quando a geometria do elemento é irregular ou descrita por funções não lineares, quando o material estrutural tem um comportamento não linear e ainda quando se pretende simular o empenamento da secção.

Existem diversas regras de integração numérica, as quais são desenvolvidas atendendo ao tipo da função integranda, f(t).

Em qualquer dos casos, o integral é aproximado por um produto interno entre dois vectores, reunindo-se num os pesos de integração e no outro os valores da função em determinados pontos de amostragem da função:

∫

∑

− ≈ = 1 1 i i f(t ) A dt ) t ( f I . (12)

Na integração de Gauss, os pesos de integração são calculados admitindo que a função a integrar é polinomial, quando se recorre a n pontos de amostragem, a quadratura de Gauss integra exactamente polinómios de ordem igual ou inferior a (2n-1).

Tabela 1: Quadratura de Gauss n ti AI 2 ± 0.5773502691 1.0000000000 3 ± 0.7745966692 0.5555555555 0.000000000 0.8888888888 4 ± 0.8611363115 0.3478548451 ± 0.3399810435 0.6521451548 5 ± 0.9061798459 0.2369268850 ± 0.5384693101 0.4786286704 0.000000000 0.5688888888

A aplicação repetida do resultado (12) permite a generalização imediata para a fórmula de integração sobre um domínio rectangular:

∑∑

∫ ∫

≈ = − − i j j i j i 1 1 1 1 ) t , s ( f A A dt ds ) t , s ( f I . (13)

Para recorrer a estes resultados na análise de secções, realiza-se uma mudança de coordenadas de modo a exprimir a definição (8) para a matriz de rigidez na forma (13),

∫ ∫

∫

− = Ω = 1 1 1 1 -j j t j j j t j j ü k ü d ü k ü J dsdt K ,

em que J representa o determinante do Jacobiano da transformação de coordenadas. Se o domínio for rectangular, esse determinante coincide com um quarto da área do domínio.

A quadratura de Lobatto é análoga à de Gauss, sendo modificada de modo a controlar sempre os pontos extremos do intervalo de integração, o que, no caso da análise de secções, permite a verificação directa dos valores limites das extensões e das tensões. A quadratura de Lobatto integra exactamente polinómios de ordem igual ou inferior a (2n-3) quando se recorre a n pontos de amostragem.

Na tabela 2 resumem-se os pesos e pontos de Lobatto, desde dois até cinco pontos.

Tabela 2: Quadratura de Lobatto

n ti Ai 2 ± 1.0000000000 1.0000000000 3 ± 1.0000000000 0.3333333333 0.000000000 1.3333333333 4 ± 1.0000000000 0.1666666666 ± 0.4472135955 0.8333333333 5 ± 1.0000000000 0.1000000000 ± 0.6546536707 0.5444444444 0.000000000 0.7111111111

1.10 Secções de betão armado: comportamento não linear

Uma caracterização realística do comportamento de secções de betão armado obriga à simulação do comportamento não linear, frágil, do betão e do comportamento elastoplástico, linear ou não, do aço.

A formulação acima descrita é ainda aplicável, mas o problema torna-se não linear: os coeficientes da matriz de rigidez da secção deixam de ser constantes, passando a ser funções não lineares do estado de tensão em cada ponto da secção.

A resolução do problema directo não põe dificuldades especiais, tornando-se agora necessário recorrer a métodos de integração numérica para determinar os esforços nos elementos de betão, quer pela definição (3), quer através da definição (7) para a matriz de rigidez do elemento.

A resolução do problema indirecto é mais trabalhosa, por não se conhecer nem o estado de deformação nem os esforços em cada elemento de discretização da secção. Torna-se necessário recorrer a métodos iterativos ou incrementais na resolução do sistema (4).

O método iterativo pode ser resumido nos seguintes passos:

Problema Indirecto: método iterativo. 1. Definir o vector dos esforços, s;

2. Definir a lei de aproximação do campo de deformações;

3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento

e a matriz de compatibilidade das deformações, Jj;

4. Arbitrar um campo de deformações, e, para a secção; 5. Inicializar a matriz de rigidez da secção, K=0;

6. Para cada elemento:

a) Calcular o coeficiente de rigidez para cada ponto de integração, recorrendo ao campo de deformações arbitrado.

b) Calcular a matriz de rigidez elementar Kj, recorrendo à definição (8), por integração numérica;

c) Atribuir à matriz de rigidez da secção a contribuição do elemento, recorrendo à expressão (11);

7. Resolver o sistema (4);

8. Comparar a solução obtida com o campo arbitrado no passo 4; 9. Repetir os passos 4 a 8 até à convergência da solução.

Nos processos incrementais, os esforços aplicados à secção são progressivamente aumentados (em geral, proporcionalmente a um parâmetro de carga) até se verificar a rotura da secção ou se atingir o nível de esforços pretendido.

Recorre-se, em geral, a uma de duas técnicas de linearização do problema: aproximação das relações constitutivas por diagramas lineares por troços ou aproximação assimptótica da matriz de rigidez da secção.

2 ANÁLISE DE PEÇAS LINEARES

2.1 Caracterização das variáveis

Admitindo que o eixo de uma peça prismática, de eixo recto, coincide com o eixo z do referencial ortonormado (x,y,z), seja s o vector em que se reúnem as componentes dos esforços na secção de abcissa z e e o vector em que se listam as correspondentes componentes de deformação.

Estes vectores têm apenas uma componente para o caso das peças de treliças, três para estruturas planas - pórticos e grelhas - e seis no caso geral de uma peça de uma estrutura reticulada tridimensional.

Exemplo: Peça de pórtico plano (y,z)

        = y x V M N s .           κ χ = y x z e e .

Seja f o vector em que se reúnem as componentes das forças aplicadas no vão da peça e d o vector em que se listam as correspondentes componentes de deslocamento.

Exemplo: Peça de pórtico plano (y,z)

        = x z y m f f f .         = x z y r d d d .

Seja Q o vector em que se reúnem as forças aplicadas aos nós de extremidade da peça, quando desligada do resto da estrutura, e q o vector em que se listam as correspondentes componentes de deslocamento.

Estes vectores têm duas componentes para o caso das peças de treliças, seis para estruturas reticuladas planas - pórticos e grelhas - e doze no caso geral de uma peça de uma estrutura reticulada tridimensional.

Exemplo: Se a peça plana for limitada pelos nós i e j, tem-se:         = 3 2 1 i Q Q Q Q ;         = 3 2 1 i q q q q .         = 6 5 4 j Q Q Q Q ;         = 6 5 4 j q q q q .                 =       = 6 5 4 3 2 1 j i Q Q Q Q Q Q Q Q Q ;                 =       = 6 5 4 3 2 1 j i q q q q q q q q q . z y

[ ]

1 1 q Q

[ ]

2 2 q Q

[ ]

3 3 q Q Q5

[ ]

q5

[ ]

6 6 q Q

[ ]

4 4 q Q

Figura 6 - Forças [Deslocamentos] nodais na barra de pórtico plano.

As forças f e os deslocamentos d de vão, assim como as forças e os deslocamentos nodais são, usualmente medidos no referencial local da peça (x,y,z).

2.2 Estática

O estudo da Estática do elemento incide sobre as relações que devem existir entre os esforços numa peça e as forças que lhe estão aplicadas, as cargas de vão e as forças nodais.

É, pois, necessário estabelecer dois tipos de condições. Um conjunto de condições irá impor o equilíbrio entre esforços, numa secção genérica, e as cargas aplicadas no vão da peça. O outro conjunto de condições irá impor o equilíbrio entre os esforços nas secções extremas da peça e as forças aplicadas nos nós adjacentes a essas secções.

Considere-se um elemento infinitesimal destacado da peça, sujeito às cargas de vão e aos esforços libertados nas secções de corte.

Ao impor a condição de equilíbrio do elemento infinitesimal encontram-se relações entre a variação do campo de esforços e as cargas aplicadas, da forma,

0 f s

D + = , (14)

em que D é o operador diferencial de equilíbrio.

Se se admitir que os deslocamentos e as deformações são infinitesimais, as condições de equilíbrio podem ser impostas sobre o elemento na sua posição inicial. Verifica-se então que o operador diferencial de equilíbrio, D, é linear.

Exemplo:Para o caso das peças de pórtico plano, de eixo recto, a condição de equilíbrio (14) toma o seguinte aspecto,

0 =         +                 − ∂ ∂ ∂ x z y y x z z z m f f V M N 1 0 0 0 0 0

em que ∂ representa o operador diferencial em ordem a z. _z

Exercício10: Defina o operador diferencial de equilíbrio para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 11: Defina o operador diferencial de equilíbrio para uma peça linear, plana, de eixo curvo.

A condição de fronteira, que relaciona as forças nodais com os esforços instalados nas secções adjacentes, pode ser escrita na forma,

( )

( )

. ; L z j 0 z i = = = = s N Q s N Q (15)

em que N é a imagem do operador diferencial D no espaço das normais, unitárias e exteriores, à fronteira da peça: . te tan cons se 0 ; se n ij ij t ij t ij = = ∂ = = D N D N

Exemplo: Para a peça de pórtico plano encontra-se a seguinte expressão para a condição de fronteira (15): 0 z y x 3 2 1 i V M N 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Q Q Q =                 − − − =         = Q L z y z 6 5 4 j V M N 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Q Q Q =                 =         = Q

Exercício 12: Defina as condições de fronteira (15) para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 13: Defina as condições de fronteira (15) para uma peça linear, plana, de eixo curvo.

2.3 Cinemática

O estudo da Cinemática do elemento incide sobre as relações que devem existir entre os deslocamentos numa peça e as deformações que nela se desenvolvem.

Tal como na Estática, também agora é necessário estabelecer dois tipos de condições, uma de campo e outra de fronteira. As condições de campo irão impor a compatibilidade entre as deformações, numa secção genérica, e os deslocamentos sofridos pela peça. As condições de fronteira irão impor a compatibilidade entre os deslocamentos nas secções extremas da peça e os deslocamentos que se verificam nos nós adjacentes a essas secções.

Considere-se um elemento infinitesimal destacado da peça e apliquem-se, nas extremidades, deslocamentos d. Se se admitir que são infinitesimais tanto os deslocamentos impostos como as deformações que provocam, recorrendo exclusivamente a considerações de natureza geométrica encontram-se relações entre as deformações e a variação do campo de deslocamentos do elemento infinitesimal, que podem ser expressas na forma,

d D

em que D é o operador diferencial de compatibilidade. Quando a hipótese de linearidade *

geométrica é aplicada, verifica-se que o operador diferencial de compatibilidade é o adjunto do operador diferencial de equilíbrio:

par. ordem de for derivada a se impar; ordem de for derivada a se ji * ij ji * ij D D D D − = =

Exercício 14: Verifique que, para o caso de peças de pórtico plano, de eixo recto, a condição de compatibilidade (16) toma o seguinte aspecto:

                  ∂ ∂ ∂ =           τ χ x z y z z z y x z r d d 1 0 0 0 0 0 e

Exercício 15: Defina o operador diferencial de compatibilidade para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 16: Defina o operador diferencial de compatibilidade para uma peça linear, plana, de eixo curvo.

A condição de fronteira, que relaciona os deslocamentos nodais com os deslocamentos das secções adjacentes, pode ser escrita na forma:

. ; L z j 0 z i = = = = d q d q (17)

Exemplo: Para a peça de pórtico plano encontra-se a seguinte expressão para a condição de fronteira (17), se se admitir que as componentes (1 e 4) correspondem aos deslocamentos segundo y, (2 e 5) aos deslocamentos segundo z e (3 e 6) às rotações segundo x:

0 z x z y 3 2 1 i r d d 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q q q =                 =         = q L z x z y 6 5 4 j r d d 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q q q =                 =         = q

Exercício 17: Defina as condições de fronteira (17) para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 18: Defina as condições de fronteira (17) para uma peça linear, plana, de eixo curvo.

2.4 Relações constitutivas

As relações constitutivas associam, em cada secção da peça, os esforços com as deformações instaladas.

Essas relações podem ser expressas por duas formas alternativas, de rigidez (4), ou de flexibilidade: e K s= , (18) s F e= , (19)

Os coeficientes das matrizes de rigidez e de flexibilidade dependem das propriedades mecânicas do material estrutural e da geometria da secção. Como qualquer dessas características pode variar ao longo do eixo da peça, esses coeficientes dependem, em geral, da abcissa da secção no eixo da peça.

2.5 Esforços independentes

Pretende-se agora abordar o problema de definir os esforços numa qualquer secção transversal da peça, isto é, encontrar soluções gerais para a condição de equilíbrio (14).

Considere-se uma peça desligada da estrutura pelas secções de extremidade. A peça fica sujeita a dois sistemas de cargas: as cargas de vão e os esforços libertados nas secções de corte, cujo valor é a priori desconhecido.

Os esforços de extremidade são dois no caso das treliças, seis no caso dos pórticos planos e das grelhas e doze no caso dos pórticos tridimensionais. Em cada um destes casos, o equilíbrio global da peça desligada obriga que os dois sistemas de carga satisfaçam um, três ou seis equações de equilíbrio, respectivamente.

Por outras palavras, só metade dos esforços de extremidade são indeterminados. Tais esforços dizem-se independentes, em oposição aos restantes que podem ser calculados por simples considerações de equilíbrio.

Exemplo: No caso de uma peça, de eixo recto, limitada pelas secções extremas i e j, pertencente a um pórtico plano, encontra-se:

0 R a R L V M M 0 R N N 0 R V V x i y j i j z i j y i j = + − − − = + − = + −

em que R , _x R e _y R representam as resultantes das cargas de vão, L é o vão da peça e _z a é _i a distância da resultante R à secção i. _y

Escolhe-se para esforços independentes os que, para além de o serem, estejam associados aos modos de deformação predominantes da peça: o esforço axial nas treliças; os dois momentos flectores e um dos esforços axiais nos pórticos planos; os dois momentos flectores e um dos momentos torsores nas grelhas; e os quatro momentos flectores, um dos momentos torsores e um dos esforços axiais nos pórticos tridimensionais.

Pretende-se agora abordar o problema de definir os esforços numa qualquer secção transversal da peça, isto é encontrar soluções gerais para a equação de equilíbrio (14).

O processo mais simples para determinar soluções gerais para a equação diferencial de equilíbrio (14) consiste em procurar um sistema isostático que seja estaticamente equivalente à peça em estudo, isto é, que equilibre os dois sistemas de carga, os esforços extremidade e a solicitação de vão. Se assim se fizer, basta recorrer às equações fundamentais da estática para determinar a expressão geral do campo de esforços em qualquer uma das secções da peça. Uma solução corresponde, por exemplo, a equilibrar as cargas sobre a peça considerada simplesmente apoiada: a viga fica sujeita às cargas de vão e aos esforços independentes, aplicados nas extremidades, passando os esforços de extremidade dependentes da peça desligada a serem simulados pelas reacções de apoio da viga. É este o processo que vai ser aqui adoptado, apesar de ser possível utilizar qualquer outro, com um significado físico preciso, como por exemplo o da viga em consola.

Se assim se proceder, encontram-se resultados que podem ser reduzidos à seguinte expressão geral, 0 s X S s= + , (20)

em que X é o vector dos esforços tomados para independentes, S a matriz que reúne os esforços devidos aos esforços independentes e s o vector dos esforços que equilibram as ₀

cargas de vão.

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se a seguinte expressão geral,

0 y x j j i y x V M N N M M 0 L 1 L 1 0 L z L z 1 1 0 0 V M N         +                 −− =         = s

Como os coeficientes do vector s são obtidos impondo o equilíbrio da peça, devem ₀

representar uma solução da condição diferencial de equilíbrio (14):

0 f s

D ₀ + = . (21)

Exercício 19: Verifique se a solução seguinte satisfaz a condição de equilíbrio (21), escrita para uma peça de eixo recto, de vão L, de um pórtico plano, sujeita ao carregamento f_y = : f

(

)

(

)

_        −− =         z 2 L f 2 1 z z L f 2 1 0 V M N 0 y x

De modo análogo, como os coeficientes da matriz S foram obtidos equilibrando os esforços independentes X na ausência de cargas de vão, a matriz de interpolação dos esforços deve ser solução da equação diferencial de equilíbrio homogénea:

0 S

D = . (22)

Por outras palavras, para alcançar o objectivo inicial, de encontrar uma solução geral para a condição de equilíbrio (14), recorreu-se ao processo tradicional de solução de equações diferenciais de decompor a solução em duas parcelas:

c

0 s

s

s= + , (23)

em que s representa uma solução particular do sistema (14), como em (21), sendo a solução ₀

complementar,

X S

s_c = , (24)

uma solução da equação homogénea,

0 s D _c = .

A parcela s é utilizada para representar um qualquer campo de esforços que equilibre as ₀

cargas de vão, f. Por outras palavras, para definir a solução particular s é necessário e ₀

suficiente satisfazer a condição de equilíbrio (21).

A possibilidade de equilibrar as forças de vão f recorrendo a diferentes definições para a solução particular s sugere imediatamente qual deve ser a função da solução complementar ₀

c

s : cabe à solução complementar corrigir a solução particular de modo que da sua

combinação (23) resulta a definição do campo de esforços que está realmente instalado na peça.

Para definir a solução complementar s é necessário e suficiente utilizar campos de esforços _c

autoequilibrados (22), representados por tantas funções linearmente independentes quantas as equações diferenciais de equilíbrio do elemento.

Estas conclusões permitem ultrapassar a necessidade, aparente, de se ter de atribuir um significado físico preciso às variáveis em jogo, abrindo a possibilidade a uma generalização de conceitos que pode ser vantajosamente explorada ao nível da automatização do cálculo das estruturas. Em particular, cada carga de vão e cada esforço independente pode ser equilibrado num sistema base diferente, cujo próprio significado físico é desnecessário identificar.

Exercício 21: Defina uma solução alternativa para a matriz de aproximação dos esforços para peças de eixo recto de pórticos planos e identifique o significado físico dos coeficientes encontrados.

Exercício 22: Defina uma matriz de aproximação de esforços para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 23: Defina uma matriz de aproximação de esforços para uma peça linear, de eixo curvo, de pórtico plano.

Substituindo a definição (20) na condição de fronteira (15) encontra-se a seguinte expressão para as forças nodais da barra:

j i, k k0 k k =C X+Q = Q . (25)

( )

z 0,L k = NS ₌ C ; (26)

(

0

)

z 0,L k0 = Ns ₌ Q . (27)

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se:

          − − − = 0 0 1 1 0 0 0 L 1 L 1 i C          − = 0 1 0 1 0 0 0 L 1 L 1 j C

A interpretação do resultado (25) mostra que:

− A coluna i da matriz de equilíbrio C representa as forças nodais que equilibram o i-ésimo esforço independente unitário, quando todos os restantes são nulos, assim como as cargas de vão.

− O vector Q representa as forças nodais que equilibram as cargas de vão quando são 0

nulos todos os esforços independentes.

Exercício 24: Defina a matriz de equilíbrio C para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional e indique o significado físico dos seus coeficientes.

Exercício 25: Defina a matriz de equilíbrio C para uma peça linear, de eixo curvo, de pórtico plano e indique o significado físico dos seus coeficientes.

Resumindo, a aproximação do campo de esforços permitiu:

a) Estabelecer uma expressão geral, exacta, para os esforços numa secção genérica de uma peça linear;

b) Reduzir, para um dado carregamento, a indeterminação do campo de esforços a um conjunto finito de varáveis discretas, os esforços independentes, X;

c) Satisfazer localmente as condições diferenciais de equilíbrio;

d) Reduzir as equações diferenciais da Estática a um conjunto finito de equações algébricas (25), caracterizando a condição de equilíbrio dos nós de extremidade da peça.

2.6 Deformações independentes

De acordo com a expressão (20), o campo de esforços s(z) passa a ser caracterizado por um número finito de graus de liberdade, os esforços independentes X, cujo conhecimento permite calcular os esforços em qualquer secção da peça.

Pretende-se agora determinar as variáveis auxiliares u, correspondentes aos esforços independentes X, que sejam (cinematicamente) equivalentes ao campo de deformações na peça, e(z). Tal permitirá que, no processo de cálculo, se trabalhe apenas com um conjunto finito de variáveis discretas, {X, u}, em vez dos campos contínuos correspondentes, {s_c(z),

e(z)}.

A identificação dos parâmetros de deformação u é feita obrigando as variáveis discretas a dissipar a mesma energia que os campos contínuos que representam:

∫

=L 0 t c t _{u s (z)e(z)dz} X .

Substituindo nesta condição a hipótese (24) para o campo de esforços, encontra-se a seguinte definição,

∫

=L 0 t_(z)e(z)dz S u , (28)

a qual demonstra que o vector u reúne resultantes de deformação correspondentes aos esforços independentes X.

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se:

∫

          κ χ           − − =           θ θ = L 0 y x z j j i dz e 0 0 1 L 1 L z 0 L 1 L z 1 0 e u .

Estas definições demonstram que θ e _i θ representam, respectivamente, as rotações das _j secções extremas da peça medidas em relação à corda, isto é, o segmento que as une; e _j representa a deformação axial da corda.

Exercício 26: Defina e represente graficamente as deformações independentes u para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 27: Defina e represente graficamente as deformações independentes u para uma peça linear, de eixo curvo, de pórtico plano.

Para garantir que as deformações independentes u são compatíveis com os deslocamentos d na peça, basta impor na definição (28) a condição diferencial de compatibilidade (16):

∫

=L 0 * t _{D ddz} S u .

Integrando por partes, encontra-se o seguinte resultado:

(

)

[

]

−

_∫

(

)

= L 0 t L 0 t _{d DS ddz} S N u .

Atendendo à condição (22) e à condição de fronteira (17), esta definição reduz-se à seguinte forma, j j i i q A q A u= + ; (29)

em que, de acordo com os resultados (26):

j i, k t k k = C = A ; (30)

A interpretação da definição (29) mostra que a coluna i da matriz de compatibilidade A representa as deformações independentes devidas ao i-ésimo deslocamento nodal unitário quando todos os restantes são nulos.

Exercício 28: Verifique a afirmação anterior para o caso da peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico plano.

Resumindo:

a) As deformações independentes representam resultantes do campo de deformações na peça;

b) As deformações independentes são determinadas impondo as condições diferenciais de compatibilidade (16) e satisfazendo as condições de fronteira (17);

c) As deformações independentes são determinadas sem ser necessário arbitrar o campo de deslocamentos na peça.

2.7 Relações esforços-deformações

Para obter a relação entre os esforços independentes X e as deformações independentes u, basta substituir as relações constitutivas (19) na definição (28) e eliminar aí o campo de esforços usando a aproximação (20), encontrando-se a expressão seguinte:

0 b X u F u= + ; (31)

∫

=L 0 t b S FSddz F ; (32)

∫

=L 0 0 t 0 S Fs dz u . (33)

A definição (32) mostra que a matriz de flexibilidade F é simétrica, sendo positiva definida _b

A interpretação da definição (31) mostra que:

− A coluna i da matriz de flexibilidade F representa as deformações independentes b

devidas ao i-ésimo esforço independente unitário, quando todos os restantes são nulos, assim como as cargas de vão;

− O vector u representa as deformações independentes devidas às cargas de vão 0

quando são nulos os esforços independentes.

Quando a matriz de flexibilidade F for positiva definida, as relações esforços-deformações _b

podem ser expressas na forma alternativa,

0

b u X

K

X= + , (34)

em que a matriz de rigidez K é a inversa da matriz de flexibilidade _b F , e _b

0 b

0 K u

X =− . (35)

A interpretação da definição (34) mostra que:

− A coluna i da matriz de flexibilidade K representa os esforços independentes devidos à b

i-ésima deformação independente unitária, quando todas as restantes são nulas, assim como as cargas de vão;

− O vector X representa os esforços independentes devidos às cargas de vão quando são 0

nulas as deformações independentes.

Exercício 29: Verifique que, para o caso da peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico plano se tem:

        = ) EA ( L 0 0 0 ) EI 3 ( L ) EI 6 ( L 0 ) EI 6 ( L ) EI 3 ( L b F         − − = L EA 0 0 0 L EI 4 L EI 2 0 L EI 2 L EI 4 b K

quando se considera nula a deformabilidade por corte.

Exercício 30: Represente graficamente os resultados do exercício anterior.

Exercício 31: Defina as matrizes de flexibilidade e de rigidez para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 32: Defina a expressão geral do vector u para uma peça linear, de eixo recto, ₀

pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 33: Defina as matrizes de flexibilidade e de rigidez para uma peça linear, de eixo curvo, pertencente a um pórtico plano.

Exercício 34: Defina a expressão geral do vector u para uma peça linear, de eixo curvo, ₀

pertencente a um pórtico plano.

2.8 Equação fundamental do método dos deslocamentos

De acordo com os resultados anteriores, são as seguintes as equações que caracterizam o comportamento das peças lineares:

0 t _{X Q} A Q= + ; (36) q A u = ; (37) 0 bu X K X= + . (38)

Para obter a equação fundamental do método dos deslocamentos, basta agora eliminar as deformações nas relações constitutivas (38) recorrendo à condição de compatibilidade (37),

0

b Aq X

K

X= + , (39)

e utilizar este resultado para eliminar os esforços independentes na condição de equilíbrio nodal (36), ficando: Q q K Q= + ′; (38) A K A K= t _b ; (39) 0 t 0 A X Q Q′= + . (40)

A interpretação da definição (38) mostra que:

− A coluna i da matriz de rigidez da barra, K , representa as forças nodais devidas ao i-ésimo deslocamento nodal unitário, quando todos os restantes são nulos, assim como as cargas de vão;

− O vector Q′ , representa as forças nodais devidas às cargas de vão quando são nulos todos os deslocamentos nodais.

Interessa generalizar o resultado (38) pra o caso em que os deslocamentos e as forças nodais não são medidos no referencial local da peça mas num qualquer referencial, por exemplo o da estrutura a que a barra pertence.

Sejam {q , _* Q } os deslocamentos e as forças nodais medidos no referencial ortogonal _* x . _*

Por considerações de natureza geométrica e estática, respectivamente, encontram-se as seguintes relações: * q T q= ; (41) Q T Q_*= t . (42)

Exercício 35: Defina a matriz de transformação de coordenadas T para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico plano.

Exercício 36: Defina a matriz de transformação de coordenadas T para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a uma grelha.

Exercício 37: Defina a matriz de transformação de coordenadas T para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Recorrendo aos resultados (41) e (42), encontram-se as seguintes expressões para as equações fundamentais das peças lineares escritas em termos de um referencial global:

0 * t * X Q A Q_* = + ; (43) * *q A u = ; (44) 0 b A q X K X= _* + , (45)

* * * K q Q Q = + ′ * ; (46) * A K A K _*t _b *= ; (47) 0 t 0 * A X Q Q_*′ = + _* ; (48) T A A_* = . (49)

Exercício 38: Defina e represente graficamente a matriz de rigidez nodal para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico plano.

Exercício 39: Defina e represente graficamente a matriz de rigidez nodal para uma peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.