Determinante de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
A =
22 21 12 11a
a
a
a
. Definimos det(A) = a11 a22 - a12 a21Ex.: Seja A a matriz
A =
3
1
2
1
Então, det(A) = 1x3 – 1x2 = 3 – 2 = 1Determinante de uma matriz 3 x 3 – Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3
A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
. Regra de Sarrus
32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
– a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33Ex.: Seja A a matriz
A =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
5
4
2
1
Então, det(A) = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 3x5x7 – 1x6x8 – 2x4x9 = = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0Permutações de dois inteiros
Definimos det(A) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Existem 2 = 2! permutações distintas do conjunto {1, 2} {1, 2} {2, 1}
O número de inversões na permutação {1, 2} é igual a 0 O número de inversões na permutação {2, 1} é igual a 1
Uma permutação é chamada par se o número total de inversões é um inteiro par.
Uma permutação é chamada ímpar se o número total de inversões é um inteiro ímpar.
{1, 2} é uma permutação par {2, 1} é uma permutação ímpar Permutações de três inteiros
Existem 6 = 3! permutações distintas do conjunto {1, 2, 3}
{1, 2, 3} {1, 3, 2} {2, 1, 3} {2, 3, 1} {3, 1, 2} {3, 2, 1} O número de inversões na permutação {1, 2, 3} é igual a 0
O número de inversões na permutação {1, 3, 2} é igual a 1
O número de inversões na permutação {2, 1, 3} é igual a 1 + 0 = 1 O número de inversões na permutação {2, 3, 1} é igual a 1 + 1 = 2 O número de inversões na permutação {3, 1, 2} é igual a 2 + 0 = 2 O número de inversões na permutação {3, 2, 1} é igual a 2 + 1 = 3 {1, 2, 3} é uma permutação par
{1, 3, 2} é uma permutação ímpar {2, 1, 3} é uma permutação ímpar {2, 3, 1} é uma permutação par {3, 1, 2} é uma permutação par {3, 2, 1} é uma permutação ímpar Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
A =
22 21 12 11a
a
a
a
. Definimos det(A) = a11 a22 - a12 a21Observe que as ordens das linhas nos elementos da definição de det(A) permanecem fixas e igual a {1, 2}, enquanto que as ordens das colunas variam em cada parcela, correspondendo a uma permutação de {1, 2}. O sinal de cada parcela é dado pela classificação da permutação corresponde (par ou ímpar).
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3
A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
.O mesmo acontece com det(A), as ordens das linhas nos elementos da definição de det(A) permanecem fixas e igual a {1, 2, 3}, enquanto que as ordens das colunas variam em cada parcela, correspondendo a uma permutação de {1, 2, 3}.
O sinal de cada parcela é dado pela classificação da permutação corresponde (par ou ímpar).
Estas definições podem ser aplicadas para matrizes de ordem n x n, onde n é um inteiro maior ou igual a 2.
Calculando determinante através de redução por linhas Teorema: Seja A uma matriz quadrada.
(a) Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então det(A) = 0 (b) det(A) = det(AT)
Teorema: Se A é uma matriz quadrada triangular n x n, então det(A) = a11 a22 a33 ... ann
Teorema: Seja A uma matriz n x n.
(a) Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou uma única coluna de A é multiplicada por um escalar k, então det(B) = k det(A)
(b) Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A são permutadas, então det(B) = – det(A)
(c) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a outra linha, então det(B) = det(A)
Definimos det(A) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
(d) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a outra coluna, então det(B) = det(A)
Teorema: Se A é uma matriz quadrada n x n com duas linhas ou duas colunas proporcionais, então det(A) = 0.
Notação: Seja A a matriz
A =
3
1
2
1
, então det(A) =3
1
2
1
Ex.:3
1
0
0
0
3
0
0
0
1
=
;3
1
0
0
0
3
0
0
0
1
0
0
1
0
3
0
1
0
0
−
=
−
=
as colunas 1 e 3 foram permutadas;3
1
0
0
0
3
0
0
0
1
1
0
0
0
3
0
7
0
1
=
=
7 vezes a última linha foi somada a primeiraEx.:
0
8
2
4
1
=
;0
3
4
2
5
8
4
7
2
1
=
−
−
−
.Calculando determinante através de redução por linhas
Ex.: Calcule det(A), onde A =
−
1
6
2
9
6
3
5
1
0
det(A) =
1
6
2
9
6
3
5
1
0
−
=1
6
2
5
1
0
9
6
3
−
= – 31
6
2
5
1
0
3
2
1
−
= – 35
-0
1
0
5
1
0
3
2
1
−
= – 355
0
0
5
1
0
3
2
1
−
−
= – 3 x 1 x 1 x (– 55) = 165Propriedades básicas dos determinantes:
(a) Se A é uma matriz n x n e k um escalar, então det(kA) = kn det(A) (b) Se A e B são matrizes quadradas n x n, então det(AB) =
det(A)det(B)
(c) Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A) ≠ 0
(d) Se A é invertível, então
)
det(
1
)
det(
1A
A
−=
Sistemas lineares da forma AX = λX
AX = λX <=> (A – λI)X = 0
Os valores de λ para os quais o sistema tem uma solução não trivial (X = 0) são chamados de autovalores.
Se λ é um autovalor de A,então cada solução não trivial de (A – λI)X = 0 é chamada um autovetor de A associado ao autovalor λ.
Ex.: Considere o sistema
=
+
=
+
y
y
x
x
y
x
λ
λ
2
4
3
<=>
=
y
x
y
x
λ
λ
2
4
3
1
<=>
=
y
x
y
x
λ
λ
0
0
2
4
3
1
<=>
=
y
x
y
x
1
0
0
1
2
4
3
1
λ
<=>
=
−
0
0
1
0
0
1
2
4
3
1
y
x
y
x
λ
<=>
=
−
0
0
1
0
0
1
2
4
3
1
y
x
λ
<=>
=
−
−
0
0
2
4
3
1
y
x
λ
λ
<=> (A – λI)X = 0 onde A – λI =
−
−
λ
λ
2
4
3
1
A equação característica de A é det(A – λI) =λ
λ
−
−
2
4
3
1
= 0 ou0
10
3
2−
λ
−
=
λ
<=>(
λ
+
2
)(
λ
−
5
)
=
0
de modo que os autovalores de A sãoλ
=
−
2
e
λ
=
5
Por definição X =
y
x
é um autovetor de A se, e somente se, X é uma solução não trivial de (A – λI)X = 0
2
−
=
λ
=>
=
0
0
4
4
3
3
y
x
=> X =
−
t
t
5
=
λ
=>
=
−
−
0
0
3
4
3
4
y
x
=> X =
−
t
t
3
4
Expansão em co-fatores; Regra de Cramer
Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor do elemento aij, denotado por Mij
,
é definido pela pelo determinante da submatriz quesobra quando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
O número (-1)i+j Mij, denotado por Cij, é chamado de co-fator de aij.
Seja
−
=
8
4
1
6
5
2
4
1
3
A
Então,40
24
16
8
4
6
5
11
=
−
=
=
M
,(
1
)
16
16
8
4
6
5
)
1
(
11 2 11
=
−
=
−
=
+C
18
8
26
6
2
4
3
32
=
+
=
−
=
M
,26
26
)
1
(
6
2
4
3
)
1
(
3 2 5 32
=
−
=
−
−
−
=
+C
Calculando um determinante segundo os seus co-fatores: Seja A = (aij) uma matriz n x n. Então
n n
C
a
C
a
C
a
A
)
11 11 12 12...
1 1det(
=
+
+
+
ou 1 1 21 21 11 11...
)
det(
A
=
a
C
+
a
C
+
+
a
nC
n Ex.: Seja A =
−
−
−
2
4
5
3
4
2
0
1
3
. Então
=
−
−
−
=
2
4
5
3
4
2
0
1
3
)
det(A
−
−
+
−
−
−
−
−
=
4
5
4
2
0
2
5
3
2
1
2
4
3
4
3
1
11
12
)
12
(
0
)
11
(
1
)
4
(
3
−
−
−
+
=
−
+
=
−
=
Ex.: Calcule det(A) onde A =
−
−
3
5
7
3
5
1
4
2
1
1
2
1
6
2
5
3
=
−
−
=
−
−
=
−
−
0
8
1
3
3
0
3
1
1
0
8
1
0
3
3
0
0
1
1
2
1
3
1
1
0
3
5
7
3
5
1
4
2
1
1
2
1
6
2
5
3
18
3
9
3
3
)
1
(
3
9
0
3
3
0
3
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
Matriz adjuntaSe A é uma matriz n x n então a matriz adj(A) = (Cij)T é chamada de
matriz adjunta de A. Ex.: Seja A =
3
1
2
1
. EntãoC
11=
3
,
C
12=
−
1
,
C
21=
−
2
,
C
22=
1
, logo adj(A) =transposta(
−
−
1
2
1
3
)=
−
−
1
1
2
3
Ex.: Seja A =
−
−
0
4
2
3
6
1
1
2
3
. Então12
0
4
3
6
)
1
(
1 1 11=
−
−
=
+C
6
0
2
3
1
)
1
(
1 2 12=
−
+=
C
16
4
2
6
1
)
1
(
1 3 13=
−
−
−
=
+C
4
0
4
1
2
)
1
(
2 1 21=
−
−
−
=
+C
2
0
2
1
3
)
1
(
2 2 22=
−
−
=
+C
16
4
2
2
3
)
1
(
2 3 23=
−
+−
=
C
12
3
6
1
2
)
1
(
3 1 31=
−
−
=
+C
10
3
1
1
3
)
1
(
3 2 32=
−
−
−
=
+C
16
6
1
2
3
)
1
(
3 3 33=
−
+=
C
16
,
10
,
12
,
16
,
2
,
4
,
16
,
6
,
12
33 32 31 23 22 21 13 12 11=
−
=
=
=
=
=
−
=
=
=
C
C
C
C
C
C
C
C
C
,logo adj(A) =transposta(
−
−
6
1
10
12
6
1
2
4
16
6
12
)=
−
−
6
1
16
16
0
1
2
6
12
4
12
Inversa de uma matriz usando a adjunta
Se A é uma matriz invertível, então
(
)
)
det(
1
1adj
A
A
A
−=
Ex.: Seja A =
3
1
2
1
, Então adj(A) =
−
−
1
1
2
3
, logo A-1 =
−
−
1
1
2
3
1
1
=
−
−
1
1
2
3
Ex.: Seja A =
−
−
0
4
2
3
6
1
1
2
3
, Então16
,
10
,
12
,
16
,
2
,
4
,
16
,
6
,
12
33 32 31 23 22 21 13 12 11=
−
=
=
=
=
=
−
=
=
=
C
C
C
C
C
C
C
C
C
logo adj(A) =
−
−
6
1
16
16
0
1
2
6
12
4
12
64
16
12
36
)
16
(
)
1
(
)
6
(
2
12
3
4
2
6
1
)
1
(
0
2
3
1
2
0
4
3
6
3
0
4
2
3
6
1
1
2
3
)
det(
=
+
+
=
−
×
−
+
−
×
−
×
=
=
−
−
+
−
−
=
−
−
=
A
=
=
−(
)
)
det(
1
1adj
A
A
A
−
−
6
1
16
16
0
1
2
6
12
4
12
64
1
Regra de CramerEx.: Considere o sistema
=
−
=
+
1
5
y
x
y
x
A =
1
-1
1
1
A1 =
1
-
1
1
5
A2 =
1
1
5
1
3
2
6
)
det(
)
det(
1=
−
−
=
=
A
A
x
2
2
4
)
det(
)
det(
2=
−
−
=
=
A
A
y
Ex.: Considere o sistema
