HIDRODINÂMICA. Notas sobre o trabalho experimental CAMADA LIMITE TURBULENTA BI-DIMENSIONAL SOBRE PLACA PLANA COM GRADIENTE DE PRESSÃO

HIDRODINÂMICA

Notas sobre o trabalho experimental

CAMADA LIMITE TURBULENTA BI-DIMENSIONAL SOBRE PLACA PLANA COM GRADIENTE DE PRESSÃO

1.

OBJECTIVOS

Pretende-se estudar o desenvolvimento de uma camada limite turbulenta bi-dimensional sobre placa plana para um dado gradiente longitudinal de pressão estática.

O trabalho envolve:

a) Medição, com tubo de pressão total, de um perfil transversal de velocidade média para uma estação ao longo da placa. Cada grupo de alunos mede uma estação seleccionada.

b) Elaboração de um relatório do qual deve constar: (i) Apresentação dos resultados sob forma gráfica

(ii) Análise crítica dos resultados experimentais – i.e. discussão da compatibilidade dos diferentes resultados e interpretação das evoluções obtidas – e comparação do andamento das variáveis definidoras do escoamento com resultados teóricos e/ou semi-empíricos.

Os gráficos pretendidos são:

I. Variação longitudinal do coeficiente de pressão estática

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

x

vs

q

p

p

ref ref s s

II. Variação longitudinal da velocidade exterior

{

Uvsx

}

III. Região da camada da parede de um dos perfis de velocidade nas coordenadas de Clauser

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

υ

Uy

n

vs

U

u

1

IV. Perfil de velocidade em escalas lineares

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 995

δ

y vs U u

V. Perfil semi-logarítmico ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

υ

τ τ y u vs u u

ln e comparação com a lei da

parede.

VI. Comparação de um dos perfis da esteira nas coordenadas

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

∆

δ

τ τ

y

vs

u

u

u

u

max

/

com a função de esteira de Coles

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

π

δ

δ

y

y

w

1

cos

2

1

.

2. DESCRIÇÃO DA INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL

A secção de trabalho do túnel de camada limite está representada esquematicamente na figura abaixo:

(1) Contracção do túnel

(2) Chão da secção de trabalho (placa plana)

(3) Tecto basculante permitindo variar o gradiente longitudinal de pressão (4) Paredes laterais

(5) Obturador para produção de uma perda de carga concentrada à saída (6) Tubo de pressão total de referência

(7) Tomada de pressão estática de referência

(8) Canal para sucção da camada limite à entrada da secção de trabalho (9) Obturador para controle do caudal aspirado

(10) Bordo de ataque da placa (11) Arame de transição

(12) Tomadas de pressão estática (13) Sonda (tubo de pressão total)

(14) Mecanismo de exploração e respectiva estrutura de suporte

(15) Micrómetro acoplado ao mecanismo de atravessamento da sonda

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ₍₈₎ (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

A contracção do túnel (1) está provida, à entrada, de um tubo de pressão total de referência (6) e à saída de duas tomadas de estática de referência (7) ligadas em paralelo. A diferença entre estas duas pressões (pressão dinâmica de referência q_ref = p_ref − p_sref ) é utilizada para monitorar a velocidade do túnel. O tubo de pressão total de referência e as tomadas estáticas de referência estão ligadas aos tubos nos. 9 e 10, respectivamente, de um manómetro de tubos inclinados. q_ref , que deve ser mantido rigorosamente constante ao longo do ensaio e aproximadamente igual a 60mm col. álcool, pode ser controlado pela válvula de borboleta na admissão do ventilador.

A camada limite no chão da secção de trabalho é removida logo à entrada através do canal (8) e uma nova camada limite é formada a partir do bordo de ataque (10) da placa plana (2). Este dispositivo destina-se a eliminar quaisquer irregularidades remanescentes na camada limite à saída da contracção ou provocadas por imperfeições na união da secção de trabalho com a contracção. O caudal de sucção através de (8) deve ser regulado por meio de obturador (9) até que o ângulo de ataque placa seja nulo.

Para evitar a utilização de uma bomba de sucção interessa que a pressão estática perto do bordo de ataque da placa plana não seja muito inferior à pressão atmosférica. Esta condição verifica-se naturalmente para gradientes favorável e nulo de pressão estática ao longo da placa e pode ser conseguida, no caso de fortes gradientes de pressão adversos, introduzindo uma perda de carga localizada à saída por intermédio do obturador (5). A fim de optimizar a uniformidade transversal da camada limite turbulenta, a transição é forçada por um arame (11) de 0,6mm localizado a 50mm a jusante do bordo de ataque da placa. O diâmetro do arame foi escolhido segundo o critério de Gibbings.

A placa plana está dotada de 8 tomadas de pressão estática (12) no plano central ligadas ao multimanómetro. Tabelam-se a seguir as localizações das diversas tomadas de pressão medidas em relação ao bordo de ataque e indicam-se os números de referência dos tubos do manómetro a que estão ligadas:

Distância ao b.a.

da placa (mm) 100 150 274 524 775 1025 1275 1526

Tubo nº _{1 2 3 4 5 6 7 8}

O tecto da secção de trabalho (3) é basculante, de modo a permitir variar o gradiente da pressão. Deve ser mantido fixo durante o ensaio.

A estrutura (14) para suporte do mecanismo de deslocamento vertical da sonda (13) encaixa nas paredes laterais (4) da secção de trabalho e pode ser fixa em qualquer posição ao longo do eixo longitudinal. A distância da sonda à superfície da placa plana é medida com um micromanómetro (15) acoplado ao mecanismo de atravessamento. O tubo de pressão total, com

um diâmetro exterior de 0,80mm, está ligado a um manómetro diferencial digital. À outra entrada deste manómetro encontram-se ligadas as tomadas de pressão estática de referência. O diâmetro da sonda foi ditado por um compromisso entre o tubo ficar totalmente imerso na região da camada da parede de perfis com

δ

₉₉₅

≅

6

mm

que ocorrem aproximadamente a 250mm do bordo de ataque da placa, e a sua dimensão não ser demasiado pequena face à espessura da camada da parede em perfis mais espessos.

3. PROCEDIMENTOS PARA O ENSAIO 3.1. Recomendações gerais

3.1.1. Arranque da instalação Vidé Apêndice I

3.1.2. Acertamento do ângulo de ataque da placa

(i) Abra completamente a válvula da borboleta na admissão do ventilador.

(ii) Verifique, pelo andamento da distribuição de pressão estática ao longo da placa, se o valor da pressão estática na zona do bordo de ataque é da ordem de grandeza da pressão atmosférica. Em caso negativo obstrua parcialmente a saída da secção de trabalho.

(iii) A direcção da corrente incidindo na placa pode ser verificada, embora grosseiramente, com um fio flexível, e.g. de lã, preso à extremidade de uma vareta fina e imerso no seio do escoamento imediatamente a montante do bordo de ataque da placa. Ajuste a posição do obturador à saída do canal de sucção até que o fio de lã esteja paralelo à superfície da placa plana.

3.1.3. Escolha do ângulo de inclinação do multimanómetro Vidé Apêndice II, §1.

Sugere-se uma inclinação da ordem dos 12-15º em relação à horizontal.

3.1.4. Ajustamento da sonda e respectivo mecanismo de deslocamento

Pretende-se seleccionar e medir um de 5 perfis de camada limite que se encontram a 250, 500, 750, 1000 e 1250 mm do bordo de ataque da placa.

Note-se que pequenos erros de medição resultantes de um não muito correcto posicionamento da sonda são tanto menos significativos quanto maior a espessura da camada limite, pelo que a medição de um perfil mais afastado do bordo de ataque será mais simples.

Para uma dada estação:

(i) Coloque a estrutura com o sistema de deslocamento da sonda de modo a que o nariz do tubo do total fique na posição desejada, o que pode fazer verificando o alinhamento da

extremidade anterior do tubo com os traços pretendidos das duas escalas marcadas nas paredes laterais da secção de trabalho.

(ii) Ajuste a inclinação da haste do tubo até esta ficar perpendicular à placa plana.

(iii) Garanta que o contacto do tubo com a placa se verifica no nariz da sonda e não na parte posterior ficando o nariz afastado da superfície. Se isto acontecer não só introduz um ligeiro erro constante nas medições de y - erro tanto mais grave quanto os valores maiores de ∂U ∂y se verificam para y’s pequenos - como falseia completamente o valor de

C

_f obtido com o tubo de total funcionando como tubo de Preston.

(iv) Repita (i).

(v) Fixe a haste da sonda de modo a que a leitura do micrómetro seja aproximadamente zero quando o tubo estiver em contacto com a superfície, a fim de dispor do curso máximo do micrómetro (25mm). Verifique o alinhamento longitudinal.

3.2. Medição dos perfis de pressão total 3.2.1. Medição dos deslocamentos verticais

(i) Escolha para referência dos deslocamentos verticais (

y

=

0

) o

valor indicado no micrómetro quando o tubo deixar a superfície. Faça várias tentativas.

(ii) Aproxime todos os pontos onde vai efectuar medições por valores inferiores de

y

, i.e., deslocando a sonda de baixo para cima, de modo a minimizar erros devidos a folgas no mecanismo de deslizamento.

(iii) Ao utilizar o tubo de pressão total como tubo de Preston force ligeiramente a sonda contra a placa para garantir um bom contacto.

No entanto, ao medir pontos for a da superfície tome para

0

=

y

o valor obtido em (i) e não o valor lido no micrómetro com o tubo forçado contra a superfície.

3.2.2. Escolha dos pontos a medir ao longo do perfil

Obtenha uma média de 30 pontos por perfil mais próximos junto à superfície, digamos 15 pontos até

y

≅

15

%

δ

(na região de validade

Para seguirmos este critério teremos de fazer uma primeira estimativa de

δ

:

(i) Coloque a sonda bem for a da camada limite e registe o valor da pressão total exterior

∆

p

_e.

(ii) Aproxime-a rapidamente da superfície até

∆

p

começar a diminuir.

(iii) Afaste-a de novo, mas agora lentamente, até atingir e

p

p

=

∆

∆

99

%

, valor correspondente ao ponto

y

=

δ

₉₉₅. NOTA:

(I) Idealmente, as variações de

∆

y

devem seguir uma evolução logarítmica na zona da lei da parede.

(II) Meça pelo menos 5 pontos entre u U =0,98 e 1,00 a fim de poder

determinar

δ

₉₉₅ e

δ

′ com precisão.

3.2.3. Medição da temperatura do escoamento

A fim de obter a massa específica

ρ

=

ρ

( )

T e a viscosidade cinemática

υ

=

υ

( )

T do ar, determine a temperatura média do escoamento para cada estação como a média das temperaturas no início e fim das medições relativas a essa estação.

3.2.4. Medição da pressão dinâmica local

Dado que as tomadas de pressão estática na placa não estão localizadas nos pontos onde se pretendem medir os perfis da camada limite:

(i) Meça a pressão local registada pelo tubo de total

p

_local em relação à estática de referência do túnel p_sref .

(ii) Ao analisar os resultados corrija os valores de pressão dinâmica obtidos em (i) com a diferença ∆p_s = p_slocal −p_sref obtida do gráfico de variação longitudinal de pressão estática

x vs p

p_s − _sref , isto é:

(

local sref

) (

slocal sref

)

local s local

local p p p p p p

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS

4.1. Tratamento das leituras do tubo de pressão total

4.1.1. Conversão dos dados manométricos em velocidades Vidé Apêndice II.

O peso específico do fluido manométrico utilizado (álcool desnaturado) é

γ

_f.m.=0,825 3

/ dm

kg

_f .

4.1.2. Correcção das leituras dos deslocamentos verticais

De acordo com as indicações sugeridas no Apêndice III os valores de y obtidos no §3.2.1. (i) devem ser acrescidos de uma quantidade

y

∆

=(0,5+0,15) x (diam. Sonda)=0,65 x 0,80mm=0,52mm. 4.2. Perfis de velocidade nas coordenadas de Clauser

Trace em papel semi-logarítmico os primeiros 20% do perfil de velocidades que for analisar à mão nas coordenadas

υ

Uy

vs

U

u

ln

. Utilize as mesmas

escalas do ábaco de Clauser em anexo.

Para determinar C_f sobreponha o ábaco e o perfil experimental; tente obter, por interpolação, C_f com 3 algarismos significativos. Nesta determinação despreze os pontos experimentais mais próximos da superfície – vidé Apêndice III – e os pontos para os quais

y

>

15

%

δ

₉₉₅.

Utilize o valor de C_f assim obtido em todos os cálculos subsequentes. 4.3. Cálculo dos parâmetros integrais da camada limite

Vidé apêndice IV.

As variações longitudinais de

δ

₉₉₅,

_δ

* _e

_θ

_{podem ser apresentadas num} mesmo gráfico. Se o fizer escolha para

_δ

* _e

_θ

_{uma escala 10 vezes superior} à utilizada para

δ

₉₉₅

4.4. Determinação de C_f com tubo de Preston. 4.4.1. C_f obtido com o tubo de Preston

Utilize a curva de calibração de tubos de Preston em anexo para deduzir o valor do coeficiente de tensão do corte superficial 2

2

1

U

C

_f

=

τ

_w

ρ

a partir da pressão dinâmica local registada pelo tubo de total quando assente na superfície

q

_w i.e. quando funcionando como tubo de Preston. A curva de calibração apresentada é uma forma conveniente de calibração de Patel nas coordenadas 2 2 * 4 log

ρυ

τ

q d vsX q w w w _{≡ ,}

onde d é o diâmetro exterior do tubo (

0

,

80

mm

). Obtenha

ρ

e

υ

da tabela de propriedades do ar.

4.5. Perfis de esteira

Determine graficamente um dos perfis de esteira

δ

τ

′

∆

vs

y

u

u

a partir do perfil semi-logarítmico

υ

τ τ y u vs u u ln ∆ . A componente de esteira τ

u

u

∆

é definida por

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

−

=

∆

u

y

C

k

u

u

u

u

υ

τ τ τ

ln

1

com k=0,41 e C=5,2; δ’ é o valor de y correspondente a τ

u

u

∆

máximo.

Para efectuar a comparação com a função de esteira

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

π

δ

δ

y

y

w

1

cos

2

1

sugerida por Coles, marque só os pontos os pontos experimentais do perfil adimensionalizado

δ

τ τ

⎟⎟

⎠

′

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

∆

vs

y

u

u

u

u

max

/

e trace a

cheio, no mesmo gráfico, a curva

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

=

δ

y

w

w

.

APÊNDICE I

A

RRANQUE DA

I

NSTALAÇÃO

N.B.: Antes de arrancar coloque o multimanómetro perto da vertical e ajuste a posição do depósito até o líquido subir a aproximadamente meia altura nos tubos manométricos.

(i) Rode a alavanca de comando da válvula de borboleta na câmara de pleno para a esquerda/direita, de modo a deflectir o escoamento à saída do ventilador para o túnel aerodinâmico/tubo circular.

(ii) Carregue no botão preto (M) do disjuntor fixado na coluna ao lado do interruptor.

Para desligar:

APÊNDICE II

N

OTAS SOBRE

M

EDIÇÕES

M

ANOMÉTRICAS

1. Escolha do ângulo de inclinação do multimanómetro

Jogue com a inclinação do multimanómetro e com a altura do depósito de líquido manométrico até obter diferenças apreciáveis de comprimento molhado nos diferentes tubos na região central do manómetro, de modo a reduzir o erro relativo na leitura para um mesmo erro absoluto e a minimizar erros resultantes de empeno ou de fixação defeituosa dos tubos de vidro nas extremidades, respectivamente.

2. Tratamento de dados manométricos

A diferença de pressões

∆

p

correspondente a uma diferença de comprimentos molhados, obtida num manómetro com uma inclinação

β

em relação à horizontal e com um fluido manométrico de peso específico . . .m f

γ

será

( )

β

γ

(

/

)

sin

)

/

(

2

=

_{. .} 3

×

∆

×

∆

p

kg

_f

m

_{f m}

kg

_f

m

l

mm

, onde

∆

l

sin

β

=

h

é a diferença de nível entre os dois meniscos.

Supondo que a diferença de pressões

∆

p

representa uma pressão dinâmica

q

, a velocidade u correspondente virá, por definição de 2

2

1

u

q

=

ρ

) / ( / ( 2 ) / ( 2 4 2 q kg m m s kg p s m u _f f =

O valor de

ρ

deve ser obtido da tabela inclusa de propriedades do ar para a temperatura a que a medição é efectuada, temperatura esta que, em geral, não se manterá constante ao longo de todo o ensaio.

VARIAÇÕES DE

ρ

( ) ( )

Τ,

µ

Τ E

υ

( )

Τ ENTRE

10-40ºc PARA AR SECO A 1atm

T

ρ

5

10

×

µ

5

10

×

υ

ºC −3

kgm

kg

_f

s

2

m

−4

Nsm

−2

kg

_f

sm

−2

m

2

s

−1 10 1.247 0.1272 1.765 0.1800 1.415 11 1.243 0.1267 1.770 0.1805 1.424 12 1.238 0.1263 1.775 0.1810 1.433 13 1.234 0.1258 1.780 0.1815 1.442 14 1.230 0.1254 1.785 0.1820 1.451 15 1.226 0.1250 1.790 0.1825 1.460 16 1.221 0.1245 1.795 0.1830 1.469 17 1.217 0.1241 1.799 0.1835 1.478 18 1.213 0.1237 1.804 0.1840 1.488 19 1.209 0.1233 1.809 0.1845 1.497 20 1.205 0.1228 1.814 0.1850 1.506 21 1.201 0.1224 1.819 0.1855 1.515 22 1.197 0.1220 1.824 0.1859 1.524 23 1.192 0.1216 1.828 0.1864 1.533 24 1.188 0.1212 1.833 0.1869 1.542 25 1.184 0.1208 1.838 0.1874 1.552 26 1.181 0.1204 1.843 0.1879 1.561 27 1.177 0.1200 1.847 0.1884 1.570 28 1.173 0.1196 1.852 0.1889 1.580 29 1.169 0.1192 1.857 0.1894 1.589 30 1.165 0.1188 1.862 0.1898 1.598 31 1.161 0.1184 1.866 0.1903 1.608 32 1.157 0.1180 1.871 0.1908 1.617 33 1.154 0.1176 1.876 0.1913 1.626 34 1.150 0.1172 1.881 0.1918 1.636 35 1.146 0.1169 1.885 0.1922 1.645 36 1.142 0.1165 1.890 0.1927 1.655 37 1.139 0.1161 1.895 0.1932 1.664 38 1.135 0.1157 1.899 0.1937 1.674 39 1.131 0.1154 1.904 0.1942 1.683 40 1.128 0.1150 1.909 0.1946 1.693

APÊNDICE III

C

ORRECÇÃO DAS LEITURAS DE UM

T

UBO DE

P

RESSÃO

T

OTAL

I

MERSO NUMA

C

AMADA

L

IMITE

T

URBULENTA

A pressão registada por um tubo de total imerso numa camada limite turbulenta é afectada por três espécies de erros devidos:

(i) ao efeito do gradiente normal de velocidade (ii) à proximidade da parede

(iii) ao efeito do campo de turbulência.

Ignore as duas últimas causas de erro, atendendo a que não existem ainda correcções conclusivas, embora seja geralmente aceite que os efeitos (ii) e (iii) actuam em sentido contrário, sendo portanto o erro global inferior a qualquer dos erros parcelares. Para camadas limites turbulentas longe da separação o efeito do campo de turbulência só é significativo muito próximo da parede, zona onde é parcialmente compensado pela distorção imposta pela presença da parede nas linhas de corrente em torno da sonda, e o erro global pode ser completamente ignorado desprezando pontos do perfil para

u

_τ

y

υ

<

100

, digamos.

O efeito de ∂u ∂y≠0 pode ser expresso como um deslocamento

δ

do

centro efectivo do tubo de total no sentido das velocidades crescentes.

δ

é muito aproximadamente proporcional ao diâmetro exterior do tubo

d

_ext e independente tanto da razão de diâmetros

d

_ext

d

_int como do gradiente normal de velocidades se este for pequeno, de modo que

δ

/

d

_ext≅const. (=0,15 segundo McMillan).

Assim a correcção a introduzir nas leituras reduz-se a incrementar as ordenadas dos pontos do perfil de uma quantidade constante e igual a

y u y u d_ext ∂ ∂ ∂ ∂ 15 , 0 .

APÊNDICE IV

D

ETERMINAÇÃO DAS ESPESSURAS DO DESLOCAMENTO *

δ

E DA

Q

UANTIDADE DE

M

OVIMENTO

θ

DE UMA

C

AMADA

L

IMITE

T

URBULENTA

As espessuras do deslocamento

_δ

* _{e da quantidade de movimento}

_θ

_são definidas, respectivamente, por:

dy

U

u

∫

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

0 *

₁

δ

e

∫

∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 2 dy U u U u

θ

A fim de calcular

_δ

* _e

_θ

_{comece por determinar graficamente, com base} nos pontos exteriores do perfil, o valor da espessura da camada limite

δ

₉₉₅ (valor de

y

para o qual

u

=

99

,

5

%

U

).

Considere a camada limite dividida em duas zonas: a camada interior, de

0

=

y

a

y

=

0

,

15

δ

e a camada exterior para

y

>

0

,

15

δ

: Calcule

separadamente a contribuição de cada uma destas zonas para

_δ

* _e

_θ

_. 1. Cálculo de

_δ

*

Seja * 1

δ

a contribuição da camada interior para

_δ

*_:

dy

U

u

dy

U

u

∫

∫

−

=

−

=

δ

δ

δ

δ

0,15 0 15 , 0 0 * 1

(

1

)

0

,

15

O último integral pode-se escrever:

+ + +

∫

∫

=

u

dy

U

dy

U

u

δ δ

_υ

0,15 0 15 , 0 0

onde

u

+

=

u

u

_τ

,

y

+

=

u

_τ

y

/

υ

e

δ

+

=

u

_τ

δ

υ

, sendo

u

_τ a velocidade de atrito definida por u_τ =

τ

_w

ρ

=U C_f 2.

O valor do integral entre 0 e

y

+

=

50

, determinado por Coles para uma

sub-camada “standard”, é:

6

,

540

50 0

=

+ +

∫

u

dy

O valor entre

y

+

=

50

e

y

+

=

0

,

15

δ

* pode ser obtido por integração analítica da lei da parede

(

)

+ + + + + + + + +

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

₋

₊

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

∫

∫

δ δ δ 15 , 0 50 15 0 50 15 0 50

1

1

1

1

1

y

C

y

n

k

dy

C

y

n

k

dy

u

Tome para as constantes empíricas na lei da parede os valores

k

=

0

,

41

e

2

,

5

=

C

.

A contribuição da camada exterior

) ( ) 1 ( ) 1 ( 15 , 0 15 , 0 * 2

δ

_δ

δ

δ y d U u dy U u

∫

∫

∞ − = ∞ − =

pode ser obtida por integração gráfica como ilustrado na figura no fim deste apêndice.

2. Cálculo de θ

Seguindo um método idêntico ao utilizado para calcular δ∗ virá dy U u dy U u 0,15 2 0 15 , 0 0 1

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = δ δ

θ

.

O primeiro integral foi já calculado. Quanto ao segundo: + +

∫

∫

⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dy u C U dy U u f δ δ

_υ

0,15 0 2 15 , 0 0 2 2

No intervalo

y

+

=

0

a 50 Coles propõe

6546

50 0 2 +

₌

+

∫

u

dy

Para o restante da camada interior

(

)

(

)

+ + + + + + + + + +

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

−

+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

₊

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

∫

∫

δ δ δ 15 , 0 50 2 2 2 2 15 , 0 50 15 , 0 50 2

1

ln

2

1

1

ln

1

ln

1

y

C

y

k

C

y

k

dy

C

y

k

dy

u

A determinação gráfica de

δ

δ

θ

δ y d U u U u

∫

∞ _⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 15 , 0 2 2

está indicada na figura abaixo.

1

1

δ

/ y U u / 2 ) / (u U U u / 2 ) / (u U

δ

δ

*/

δ

θ

/