11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela

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11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela

Luiza Amalia Pinto Cant˜ao

Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP

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Valores Extremos Locais

Defini¸cão: Seja f (x, y) definida em uma região R que contém o ponto (a, b). Então:

1. f (a, b) é um valor máximo local de f se f (a, b) ≥ f (x, y) para todos os ponto do dom´ınio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b). 2. f (a, b) é um valor m´ınimo local de f se f (a, b) ≤ f (x, y) para todos

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Teste da Derivada de Primeira Ordem para Valores

Extremos Locais

Teorema: Se f (x, y) tiver um valor de máximo ou m´ınimo local em um ponto interior (a, b) do seu dom´ınio e se as derivadas parciais de primeira ordem existirem lá, então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.

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Ponto Cr´ıtico e Ponto de Sela

Ponto Cr´ıtico: Um ponto interior do dom´ınio de uma fun¸cão f (x, y) onde f_x = f_y = 0 ou onde f_x =6 ∃ ou f_y =6 ∃ ou ambas não existam é um ponto cr´ıtico de f .

Aten¸c˜ao:

• Os únicos pontos onde uma fun¸cão f (x, y) pode assumir valores extremos são os pontos cr´ıticos ou pontos de fronteira.

• Nem todo ponto cr´ıtico ´e um extremo local.

• No R, uma fun¸c˜ao pode ter um ponto de inflex˜ao, no R2 _{pode ter um}

ponto de sela.

Ponto de Sela: Uma fun¸cão diferenciável f (x, y) tem um ponto de sela em um ponto cr´ıtico (a, b) se em todo disco aberto centrado em (a, b) existem pontos do dom´ınio (x, y) onde f (x, y) > f (a, b) e pontos do dom´ınio (x, y) onde f (x, y) < f (a, b). O ponto correspondente (a, b, f (a, b)) na superf´ıcie z = f (x, y) é chamado de ponto de sela da superf´ıcie.

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Exemplos

Exemplo (1): Determine os pontos cr´ıticos de f (x, y) = x2+y2−2x−6y+14.

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Teste da Segunda Derivada

Teorema: Suponha que f (x, y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam cont´ınuas em um disco centrado em (a, b) e que f_x(a, b) = fy(a, b) = 0. Ent˜ao:

a. f tem um m´aximo local em (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy − f_xy2 > 0 em

(a, b).

b. f tem um m´ınimo local em (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy − f_xy2 > 0 em

(a, b).

c. f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy − f_xy2 < 0 em (a, b).

d. O teste ´e inconclusivo em (a, b) se fxxfyy− f_xy2 = 0 em (a, b). Nesse

caso, devemos encontrar uma outra maneira de determinar o comporta-mento de f em (a, b).

Aten¸cão: A expressão fxxfyy− f_xy2 é chamada de discriminante ou hessiana

de f . Algumas vezes ´e mais f´acil lembrar dela na forma de determinante: f_xxf_yy − f_xy2 = fxx fxy

fxy fyy

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Exemplos

Exemplo (3): Determine os valores de m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela de f (x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1.

Exemplo (4): Determine e classifique os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao f (x, y) = 10x2_{y − 5x}2 _{− 4y}2 _{− x}4 _{− 2y}4_.

Exemplo (5): Determine a distˆancia mais curta entre o ponto (1, 0, −2) e o plano x + y + z = 4.

Exemplo (6): Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 _de

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M´

aximos e M´ınimos Absolutos em Regi˜

oes Fechadas e

Limitadas

1. Relacione os pontos interiores: de R onde f possa ter m´aximos e m´ınimos locais e calcule f nesses pontos. Esses s˜ao os pontos no quais f_x = f_y = 0 ou onde uma ou ambs as derivadas parciais deixam de existir (pontos cr´ıticos de f ).

2. Relacione os pontos da fronteira: de R onde f tem m´aximos e m´ınimos locais e calcule f nesses pontos.

3. Procure na rela¸cão: pelos valores máximos e m´ınimos absolutos (ou glo-bais) de f em R. Como máximos e m´ınimos globais são também máximos e m´ınimos locais, os primeiros aparecem em algum lugar das rela¸cões cons-tru´ıdas nos passos 1 e 2. Analise as rela¸cões para encontrá-las.

Exemplo (7): Determine os valores máximos e m´ınimos absolutos da fun¸cão f (x, y) = x2−2xy+2y no retângulo D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}

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Resumo

Os valores extremos de f (x, y) podem ocorrer apenas em

i. pontos de fronteira: do dom´ınio de f .

ii. pontos cr´ıticos: fx = fy = 0 ou pontos onde fx ou fy n˜ao existam. de R

onde f tem m´aximos e m´ınimos locais e calcule f nesses pontos.

Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f forem cont´ınuas em um disco centrado em um ponto (a, b) e fx(a, b) = fy(a, b) = 0, podemos

classific´a-lo com o teste da derivada segunda:

i. M´aximo local: f_xx < 0 e f_xxf_yy − f2

xy > 0 em (a, b).

ii. M´ınimo local: f_xx > 0 e f_xxf_yy − f2

xy > 0 em (a, b).

iii. Ponto de sela: f_xxf_yy − f2

xy < 0 em (a, b).

iv. Teste inconclusivo: fxxfyy − f_xy2 = 0 em (a, b).

Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2 P´aginas 324 `a 327;