PQI 2530 Controle Digital de Processos. 1. Introdução - Comparação entre Controle Analógico e Controle Digital

PQI 2530 – Controle Digital de Processos

1. Introdução - Comparação entre Controle Analógico e Controle Digital

Para ilustrar as diferenças entre as malhas de controle que tem apenas componentes analógicos e as malhas de controle que tem componentes digitais (e analógicos), vamos considerar o exemplo da malha de controle do nível de líquido em um tambor. Essa malha é representada na Figura 1.1 abaixo.

Figura 1.1 Esquema do controle do nível de líquido em um tambor

Na Figura 1.2, temos a representação dos componentes dessa malha de controle, incluindo obviamente o próprio processo, que é o tambor com líquido, para o caso de um controlador analógico. Na Figura 1.3, temos gráficos típicos do comportamento dos sinais que percorrem a malha de controle, em função do tempo. Conforme pode ser observado nessa figura, os sinais que percorrem a malha são todos contínuos. No caso da malha de nível de líquido temos: set-point do nível (Lset), erro na variável controlada (e), sinal para

a válvula de controle (x), nível real de líquido no tambor (L), medida do nível (Lm)

Figura 1.3 Sinais da malha de controle analógico

No caso da malha com controlador analógico, além dos sinais contínuos, temos algumas outras características típicas desse tipo de malha de controle:

O controlador é um circuito analógico. Esse circuito é normalmente um circuito elétrico, com resistores, capacitores, etc. Nas plantas mais antigas (décadas de 40 a 60), os controladores eram pneumáticos, onde em vez de corrente elétrica nós tínhamos fluxo de ar.

As funções de controle ou operações matemáticas, que podem ser montadas com os circuitos analógicos (pneumáticos ou elétricos) são bastante limitadas e uma vez montadas, é bastante difícil altera-las. Assim os controladores analógicos são normalmente do tipo PID e as funções matemáticas que podem ser usadas correspondem à soma de sinais e multiplicação de um sinal por uma constante.

Na malha de controle digital, o termo “digital” surge devido à presença de um controlador digital que substitui o controlador analógico. Os demais elementos da malha analógica continuam existindo, conforme é mostrado na Figura 1.4. O controlador digital é na verdade um computador que recebe o sinal da medida da variável controlada, convertido para um valor digital (no conversor A/D). Devido à presença desse computador na malha de controle, alguns dos sinais que percorrem a malha, passam a ser discretos no tempo. A Figura 1.5 mostra, para o caso do controle do nível do tambor, alguns sinais da malha digital.

Figura 1.5 Sinais da malha de controle digital

Assim, para o caso da malha digital, temos algumas características que a diferenciam da malha analógica:

 Temos sinais contínuos e discretos, na mesma malha. Como os processos químicos são contínuos por natureza, todas as variáveis relacionadas com o processo continuam sendo continuas, apesar de se usar um controlador digital. Assim, a medida da variável controlada é uma variável contínua conforme mostrado na Figura 1.5 (Lm). Por outro

lado, os sinais que entram ou saém do controlador digital, têm que ser discretos. Associado aos sinais discretos, temos o período de discretização que é chamado de período de amostragem. Todos os sinais amostrados dentro de uma mesma malha de controle usam o mesmo período de amostragem. Na maioria dos casos, admite-se que os sinais amostrados mantenham valores constantes entre os instantes de amostragem.  O algoritmo de controle se traduz em um programa (em linguagem C, Fortran, etc). Consequentemente, não precisamos nos restringir ao PID e, em princípio, podemos implantar (programar) no controlador os algoritmos de controle mais gerais possíveis. Não há mais a limitação de montar fisicamente um circuito elétrico ou pneumático, que reproduza o algoritmo proposto. O controlador é um computador.

 Como o controlador digital é, na verdade, um programa dentro de um computador, esse programa pode ser facilmente alterado. Ou seja, podemos mudar o algoritmo de controle ou a estrutura de controle (por exemplo, controlar outra variável), sem necessidade de alterar fisicamente os circuitos.

2 Amostragem de sinais – Escolha do período de amostragem

Vamos agora descrever e estudar, a forma matemática de representar os elementos da malha de controle digital. Vamos começar pelo conversor A/D (Analógico/Digital), que tem a função de periodicamente coletar o valor na variável que está sendo controlada e transformar essa leitura em um valor digital. O conversor A/D pode ser interpretado como tendo dois elementos: o amostrador que coleta o sinal correspondente à variável e o

retentor de sinal (holder), cuja função é manter o último valor lido, até que um novo valor lhe seja enviado. Esse sistema é esquematicamente representado na Figura 2.1 O amostrador fecha por um tempo desprezível em relação ao período de amostragem T.

Figura 2.1 Conversor A/D de sinais

Na figura acima, f(t) poderia ser uma função contínua qualquer representando o comportamento no tempo de uma variável que está sendo controlada (por ex.: nível de líquido no tambor). Na Figura 2.2 temos um exemplo dessa função. Poderíamos interpretar f*(t) como uma função que só é definida nos instantes de amostragem (T, 2T,

3T,….) e que assume valores iguais aos valores de f(t) nesses instantes. Entretanto,

matematicamente é mais conveniente, interpretar f*(t) como um trem de impulsos, que ocorrem nos instantes de amostragem e têm intensidade igual ao valor da função f(t) nesses instantes. Dizemos que a intensidade de f*(t) no instante nT é f(nT). Isso corresponde a * ( ) ( )   



nT nT f t dt f nT

Figura 2.2 Amostragem de uma função f(t) contínua

O sinal fH(t) na saída do retentor, tem normalmente a forma de uma escada (retentor de

ordem zero), cujos degraus tem altura igual ao valor de f(t) nos instante de amostragem. Vamos estudar agora o efeito da amostragem de um sinal contínuo, sobre a informação que necessitamos sobre o sinal.

Representação Matemática de f*(t)

Consideremos inicialmente a seqüência infinita de impulsos unitários          ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ) (t t t T t T t T I         0 ) ( ) ( n nT t t I  (2.1)

onde (t) é a função delta de Dirac. Essa função é nula para qualquer t exceto para t=0 e além disso ela tem intensidade unitária, ou seja:

₀0( dtt) 1 (2.2)

A função I(t) é representada na Figura 2.3 abaixo.

Figura 2.3 Função trem de impulsos unitários.

Daí, podemos representar a função seqüência de impulsos gerada pelo amostrador como: ) ( ) ( ) ( * t I t f t f         (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ) ( * T t T f T t T f t f t f        0 * ) ( ) ( ) ( n nT t nT f t f  (2.3)

Porém, é óbvio que I(t) é periódica e tem período T ou velocidade angular _s 2/T. Daí podemos representar essa função por uma série de Fourier, ou seja,

    n t in ne s C t I( )  com _n  1_T_T/2_/2 ( ). in t 1_T_T/_/2₂ (t).ein tdt T dt e t I T C s  s T e T C_n 1 in st _t 1 0     _ Assim     n t in _s e T t I( ) 1  (2.4)

Portanto, podemos também representar f*(t) como:

    n t in _s e t f T t f*( ) 1 ( )  (2.5)

Consideremos, por exemplo, a amostragem de uma senóide com velocidade angular 0:

t sin A t

f( ) ₀ ₀

        _   i e e A t f t i t i 2 ) ( 0 0 0  

Passando essa função pelo amostrador obtemos a seguinte f*(t)





           n t in t i t i t in _{s s} e e e i A T e t f T t f  0 0  2 1 ) ( 1 ) ( 0 *





      _  n t n i t n i _{s s} e e iT A t f* 0 ( 0 ) ( 0 ) 2 ) (                    _                  i e e i e e i e e i e e i e e T A t f t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i s s s s s s s s o 2 2 2 2 2 ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0                  



        



 sin t sin t sin t sin t sin t

T A t

f*( ) 0 ₀ (₀ _s) (₀ _s) (₀ 2_s) (₀ 2_s)

Portanto f * t( )é uma composição de infinitas senóides com freqüências 

s

s  

 

₀, ₀  , ₀ 2 e todas com amplitude igual a

T A₀

. Portanto, amostrando uma senóide com velocidade angular ₀, obtemos um conjunto de senóides com velocidades angulares ₀ k_s (k 1,2,,)onde _s 2/T.

Consideremos agora o caso de uma função f(t) que tem componentes ao longo de uma faixa de freqüências, ou seja, f(t) é uma combinação de senóides que tem velocidade

angular dentro de uma certa faixa: _max  _max. A relação entre as amplitudes dessas senóides e as velocidades angulares é representada na Figura 2.4.

Figura 2.4 Distribuição de freqüências de uma função f(t).

Dependendo do período de amostragem T podemos ter _s 2_max ou _s 2_max. Consideremos inicialmente o caso em que o período de amostragem é tal que

max 2

_s  . Nesse caso, a função f*(t) compõe-se de senóides cujas amplitudes estão

distribuídas em função da velocidade angular (ou frequência) conforme representado na Figura 2.5 abaixo. Vemos que se considerarmos a faixa max  max conseguimos

recuperar a forma da distribuição f(t) a partir da distribuição de f*(t). Basta “filtrar” f*(t)

para eliminar os componentes de alta frequência. O mesmo acontece se _s 2_max.

Figura 2.5 Distribuição de freqüências da função amostrada f*(t) com _s 2_max. Consideremos agora o caso em que o período de amostragem é tal que _s 2_max, ou seja, existem componentes (senóides) em f(t) com velocidade angular (freqüência) maior

que a freqüência de amostragem. O resultado está representado na Figura 2.6 e nesse caso o perfil da distribuição das senóides em f(t) não aparece no perfil de distribuição de f*(t)

por causa da sobreposição das curvas. Assim, filtrando f*(t), não conseguimos recuperar f(t). Isso significa que no procedimento de amostragem, nós perdemos informação sobre f(t).

Figura 2.6 Distribuição de freqüências da função amostrada com _s 2_max.

Portanto a escolha do período de amostragem T usado no amostrador deve ser adequada

em função do nível de informação que queremos saber sobre o processo. Devemos ter max

2

2 _

  

T

s onde max corresponde à máxima frequência que queremos observar em f(t) a partir de f*(t). Esse resultado é conhecido como Teorema da Amostragem de Shannon.

Por exemplo, consideremos o caso em que amostramos o sinal de nível de líquido em um tambor pertencente a um processo químico. Pelo conhecimento da dinâmica do sistema, temos uma idéia da faixa de freqüências que podem estar contidas nesse sinal. Normalmente, o tambor é dimensionado para um tempo de residência do líquido da ordem de 10min. Portanto, é claro que no sinal do nível é pouco provável que haja alguma senóide com velocidade angular maior que aquela correspondente a uma senóide com período de 2s. Isso significa adotar _max 2/2 rd/s e, portanto usar

max 2 2 2 1 s s s T  s           

A maioria dos sistemas digitais de controle de processos químicos tem períodos de amostragem dessa ordem de grandeza.

Vamos estudar agora uma forma matemática de trabalhar com sinais do tipo de fH(t)

representada na Fig. 2.2. Essa representação lança mão das transformadas Z que passamos a definir.

3. Transformadas Z

Para uma função f(t) que é amostrada com período T, definimos

 

* _{(0) ( )} 1 _{(2 )} 2 _{(3 )} 3 f t f f T z f T z f T z   _{ }         0 ) ( ) ( n n z nT f z F (3.1)

Para exemplificar o procedimento, vamos mostrar o cálculo da transformada Z de algumas funções simples:

 f(t)ku(t) onde k é uma constante e u(t) é a função degrau unitário:

( ) 0 0 ( ) 1 0 u t para t u t para t     _{ } 

Usando a equação (3.1) temos

     1 2 ) 2 ( ) ( ) 0 ( ) (z f f T z f T z F 1 2 3 ( ) F z  k k z k z k z 



1 2 3



₁ 1 1 ) (    _        z k z z z k z F  para z1 1 ou 1 ) (   z z k z F  f(t)kt (função rampa)

Analogamente usando a equação (3.1) temos       1 2 3 3 2 0 ) (z kTz kTz kTz F 1 2 1 ) 3 2 1 ( ) (z kT  z  z  z F                     1 2  1 1 2  2 1 2  3  ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (z kT z z z z z z z z z F ) ( ) 1 ( ) (z kT z1z2  z1z2 z3 F 2 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) ( _      _  _    z kTz z z z kT z F

2 ) 1 ( ) (   z kTz z F  at ke t f( )       0 ) ( ) ( n n anT z ke z F             1  1 2  1 3  ) ( ) ( ) ( 1 ) (z k e z e z e z F aT aT aT 1 1 1 ) ( _{ }   z e k z F aT aT z k z e   para 1 1 _   _z e aT  f(t)sint 1 1 0 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 in T in T n i T i T n e e F z z i i e z e z     _             _{  }  _  _       1 1 2 1 1 1 2 1 ) ( _{   }          z e z e z z e z e i z F T i T i T i T i     1 1 2 1 1 2 1 2 sin sin ( ) 2 1 (2 cos ) 1 (2 cos ) z i T z T F z i z T z T z z                  2 sin ( ) 1 2(cos ) z T F z T z z       _tp_e at p k t f   ! ) ( ) ( ! ) 1 ( ) ( at p p p _e a p k t f      daí 1 0 ( 1) ( ) ( ) ! p p aT n p n F z k z e p a             _



_ ( 1) ( ) ! p p p aT k z F z p _{a z e}      _{ }    

O procedimento seguido para o cálculo das transformadas das funções acima, pode ser repetido para qualquer função, porém, em controle de processos, as funções mais usadas são em número bastante limitado. A tabela abaixo sintetiza essas funções.

Tabela de transformadas ) (t f f(s) F(z) ) (t  1 1 ) (t u s 1 1 1 1   z t 2 1 s 1 2 1 ) 1 (    z Tz at e a s 1 1 1 1   e aTz 2 t 3 2 s 1 3 1 1 2 ) 1 ( ) 1 (      z z z T t sin 2 2 _   s 1 2 1 cos 2 1      T z z z T sin   t  cos 2 2 _ s s 2 1 1 cos 2 1 ) cos 1 (       z z T z T   at e  1 ) (s a s a  ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 1 1         z e z z e aT aT

A obtenção e manipulação das transformadas Z fica facilitada pelas seguintes propriedades:

 Linearidade

Sejam f1(t) e f2(t) duas funções que são amostradas com o mesmo período de

amostragem. Daí para a1 e a2 duas constantes quaisquer, temos



a₁f₁(t)a₂f₂(t)



a₁F₁(z)a₂F(z)  (3.2) Exemplo 3.1: t e t t f( )3 2 5

 

_          t e t z F( ) 3 2 5 1 1 2 5 1 1 ( ) 3 2 (1 ) 1 T Tz F z z e z        

 Mudança de escala

 

( )1 at e f t F z   _{ } (3.3) onde



( )



) (z f t F  e z₁eaTz

Para demonstrar essa propriedade, aplicamos diretamente a definição de transformada Z (equação 3.1) 0 ( ) ( ) at anT n n e f t e f nt z        _{ }



) 1 0 ( ) ( )( n ( ) ( ) at at n aT n n o e f t f nt ze  f nt z F z e         _{ }     Exemplo 3.2: f t( )t ea t 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( _      z Tz z Tz z F 2 1 1 ) 1 ( ) ( aT aT e z e Tz z F _{ }    

 Efeito do tempo morto (translação no tempo)

Consideremos o caso em que uma função f(t) seja atrasada por um tempo morto que é múltiplo do período de amostragem  kT (k inteiro)

Figura 3.1 Função com tempo morto Novamente, aplicando a definição, temos:





n n z kT nT f t f        ( )  ( ) 0 

definindo mnk e substituindo n na equação acima, temos:





m k k m z mT f t f          ( ) ( )



( )



( ( ) m) k ( ) 0 / 0 m o f t  f mT z z porque f mT p m         Daí



( )



 f t F(z)zk (3.4)

Portanto, o efeito da introdução de um tempo morto em uma função, pode ser representado pela figura abaixo:

Figura 3.2 Efeito do tempo morto na transformada Z  Teorema do valor final

) ( ) 1 ( lim ) ( lim 1 1 z F z t f z t       (3.5) Dem.: ) ( lim ) ( lim ) ( ) 1 ( lim 1 1 1 1 1 z F z z F z F z z z z         ) ) 2 ( ) ( ) 0 ( ( lim 1 2 1         f f T z f T z z -lim( ( ) (0) 1 ( ) 1 ) 1         f T f z f T z z =(f(0) f(T) f(2T) f(nT))-(f(0) f(T) f(2T) f((n1)T)) lim ( ) lim ( ) n f nT t f t   ou ) ( ) 1 ( lim ) ( lim 1 1 z F z t f z t   

   (se o limite existir)  Teorema do valor inicial

) ( lim ) ( lim 0 z F t f z t   (3.6) Dem.: ) ) 2 ( ) ( ) 0 ( ( lim ) ( lim 1 2     F z z f  f T z  f T z z =f(0) tlim0 f(t)  4. Inversão da Transformada Z

Dado F(z), queremos conhecer f(t) nos instantes de amostragem





1 _{( ) ( ) 0,1, 2,}

Z F z  f nT n  (4.1)

valores f(nT)definidos nos pontos de amostragem.

Figura 4.1 Transformadas inversa de uma dada F(z). Na figura acima as funções f(t) e f1(t) têm a mesma transformada Z.

Formas de obter a inversa

Integral complexa (usa teoria de funções complexas)

   F z z dz i nT f ( ) n 1 2 1 ) (  (4.2)

Essa forma é muito complicada e raramente usada Expansão em frações parciais

Se F(z) tem a forma  ) (z F ) ( ) ( z P z Q (4.3) Q(z) - polinômio em z de ordem m P(z) - polinômio em z de ordem n (n>m) P(z) - pode ser fatorado nos pólos p_1,p_2,,p_n

) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 1 z p z pn p z z Q z F      (4.4) n n p z z A p z z A p z z A z F         2 2 1 1 ) ( (4.5) Se _pi _eaiT _{, então (4.5) fica} T a n T a T a _n e z z A e z z A e z z A z F _{  }         1 1 2 1 ) ( Daí





a kT n kT a kT a _{A e A e} n e A kT f z F Z    1   2   2 1 1 ) ( ) ( ou k n n k k p A p A p A kT f( ) _{1 1}  _{2 2}  Exemplo 4.1: 638 . 0 638 . 1 181 . 0 ) ( 2 _{ }  z z z z F 638 . 0 5 . 0 1 5 . 0 ) 638 . 0 )( 1 ( 181 . 0 ) (        z z z z z z z z F Fazendo 0.638eaT aT 0.451 451 . 0 5 . 0 1 5 . 0 ) ( _     e z z z z z F Invertendo: ) 1 ( 5 . 0 ) (kT e 0.451k f   

Substituindo os valores de k temos a seguinte tabela

K f(kT) 0 0 1 0.181 2 0.297 3 0.372 4 0.421 5 0.451  

5. Retentor de Sinal (“holder”) e Função de Transferência

Como já vimos, no conversador A/D temos o amostrador e o retentor de sinais. A idealização matemática do retentor de sinais é a de um elemento que transforma um trem de impulsos, em um sinal tipo escada. Na Fig. 5.1, apresentamos novamente esse sistema, com os sinais envolvidos.

Figura 5.1 Sinais no retentor de sinal. A função de transferência do retentor é

s e s H Ts   1 ) ( (5.1)

Observe que se a entrada do retentor for um impulso unitário (f(s)1) a saída será um pulso unitário, que é representado esquematicamente abaixo. Assim H(s) definido em (5.1), tem a propriedade de converter impulsos nos pulsos que formam a função fH(t).

Figura 5.2 Pulso unitário

Figura 5.3 Controlador digital e o processo.

Função de Transferência de Pulsos

A função de transferência do sistema considerando o tempo discreto pode ser obtida a partir da função de transferência em s (tempo continuo) ou a partir do modelo discretizado do sistema.

1) Partindo da Função de Transferência em s

Consideremos um processo cujos sinais de entrada e saída são amostrados:

Figura 5.4 Processo com entrada e saída amostradas.

Portanto c*(t) é um trem de impulsos com intensidade c(kT). Admitamos então que o processo tenha uma função de transferência: G(s) e uma correspondente resposta ao impulso unitário representada por g(t), ou seja:



( )



)

(t L 1 G s

g   (5.2)

onde L-1 representa a transformada inversa de Laplace.

Consideramos a resposta desse processo ao impulso c*(kT). Essa resposta é representada na figura abaixo

Figura 5.5 Resposta do processo ao impulso Analiticamente essa reposta pode ser obtida por:

) ( ) ( ) (t g t kT c kT y_k   (5.3)

Para o trem de impulsos c*(t), o resultado será a somatória dos efeitos de cada um dos impulsos, resultando na expressão abaixo

         0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( k k k t g t kT c kT y t y (5.4)

Considerando o instante tnT, temos

    0 ) ( ) ( ) ( k kT c kT nT g nT y (5.5)

A função y(t) obtida pela equação (5.5) é amostrada gerando y*(t) para a qual podemos calcular a transformada Z, usando a definição dada pela equação (3.1):





   _  0 ) ( ) ( ) ( * n n z Y z nT y t y Z

Daí usando a equação (5.5), obtemos

             0 0 ). ( ) ( ) ( n n k z kT c kT nT g z Y (5.6)

Definindo p=n-k e considerando que g(t)=0 para t<0, a equação (5.6) fica

         0 0 ) ( ) ( ) ( k k p p z kT c pT g z Y         0 0 ) ) ( ).( ) ( ( ) ( p k k p z kT c z pT g z Y ) ( ) ( ) (z G z C z Y  onde     0 ) ( ) ( p p z pT g z G (5.7)

que é definida como a função de transferência de pulsos do sistema. No caso da malha digital o processo está associado ao retentor H(s).

Portanto, nesse caso ) ( ). ( ) (s H s G s G  _p (5.8)

e assim, a função de transferência de pulsos associada com o sistema constituído do processo + holder é calculada por

         { ( ). ( )} ) (z L1 H s G s G _p

Normalmente essa função de transferência de pulsos é designada por HG_p(z) e assim          { ( ). ( )} ) (z L 1 H s G s HG_{p p} (5.9)

No diagrama de blocos da malha digital, o conjunto holder +processo é representado pelo elemento abaixo

Figura 5.7 Função de transferência de pulsos.

Exemplo 5.1: Determinemos a função de transferência de pulsos do sistema

s K s

G_p( ) p (Nível de líquido em um tambor)

Aplicando a equação (5.9), temos

1 (1 ) ( ) . Ts p p K e HG z L s s                  



( )



1 . ) 1 ( 2 2 1 1 T t t K s e s K L s Kp s e L _p sT p Ts                                 

 





₁ 2₂ 2 1 1 ) 1 ( ) ( ) 1 (            z z T K T t K z z T K t K_p p _p p 1 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( _          z z T K z z z T K z HG_p p p

Exemplo 5.2: Seja o sistema representado por 1 ) (   s K s G_p p  (Sistema de 1a ordem) Daí temos                       1 . ) 1 ( ) ( 1 s K s e L z HG p Ts p _                                      ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 s s e K L Z s s K L Z z HG Ts p p p _{ }                   ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 1 s s L z K z HG_{p p}                    / 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 s s L z K z HG_{p p}



/



1 1 ) 1 ( ) ( _p t p z K z Z e HG                     1 / 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( z e z z K z HG T p p _ ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 / 1 /        z e z e K z HG T T p p _  Portanto ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 / 1 /        z e z e K z C z Y T T p   Se 1 1 1 ) ( _   z z C (degrau unitário) 1 1 / 1 / 1 1 . ) 1 ( ) 1 ( ) ( _{  }       z z e z e K z Y T T p   Daí 1 / 1 1 1 ) ( _{  }     z e K z K z Y T p p  ( ) _p 1 exp( nT) y nT K     _   _  

Figura 5.8 Função de transferência de pulsos para o sistema de 1a ordem. 2) Partindo do sistema discretizado no tempo

Nesse caso conhecemos a relação y k( ) f y k( ( 1), (y k2),..., (u k1),...). Exemplo 5.3: Consideremos o sistema representado pela equação diferencial

( ) ( ) ( ) dy t y t Kc t dt    (5.10)

Admitamos que no instante kT, onde k é inteiro e T é o período de amostragem, y(t) tem valor conhecido y(kT). Admitamos também que no intervalo kT  t (k1)T, c(t) é constante e igual a c(kT). Daí, a integração de (5.10) leva a





( ) / ( ) /

( ) t kT ( ) ( ) 1 t kT

y t e  y kT K c kT e  

que no instante k+1 fica





/



/



( 1) T ( ) ( ) 1 T

y k T e y kT K c kT e 

que pode ser colocada na forma



( 1)



( ) ( )

y k T a y kT b c kT (5.11)

onde a e b são constantes dadas por aeT/ e bK



1eT/



. Daí, considerando as transformadas Z de ambos os membros de (5.11) obtemos

( )z y z a y z( )b c z( ) ou 1 1 1 ) ( ) (     az bz z c z y

Obs.: A equação de diferenças é normalmente obtida diretamente de dados experimentais coletados diretamente do sistema industrial.

6. O Algoritmo de Controle Digital

Normalmente é expresso como uma equação de diferenças que relaciona o sinal de saída )

(nT

c (que vai para a válvula de controle), com o sinal de entrada e(nT) (que é o erro entre o set-point e a variável controlada).

Figura 6.1 Controlador digital

Controlador PID digital

A expressão do PID analógico é:

0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t c D I de t c t K e t e t dt T T dt    _  _  _  

Discretizando a equação acima, obtemos

0 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) k c D I i e k e k c k K e k e i T T T _ T       _   _{ }   



 (6.1)

Esse algoritmo de controle pode ser colocado na forma incremental



( ) ( 1)



( )



( ) 2 ( 1) ( 2)



) 1 ( ) (        e k  e k e k T K T k e T K T k e k e K k c k c D c I c c

Considerando a transformada Z dos elementos da equação acima, obtemos



( ) ( )



( )



( ) 2 ( ) ( )



) ( ) ( 1 1 e z z 1e z z 2e z T K T z e T K T z e z z e K z c z z c D c I c c     _{     }  ) ( ) 2 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 1 1 2 1 _T z z e z T T T z z K z c D I c                  1 1 (1 ) ( ) 1 ( ) (1 ) D c I T T z c z K e z T T z       _   _   

Portanto a função de transferência de pulsos do controlador PID digital é                ₎ (1 ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 1 _T z T z T T K z e z c _D I c

Dentro dessa forma geral, temos então vários casos: Controlador Proporcional

c c z K G

Controlador Proporcional e Integral               ₎ 1 ( 1 ) ( 1 z T T K z G I P I c c (6.3)

Controlador Proporcional e Integral e Derivativo

                _ (1  ) ) 1 ( 1 ) ( 1 1 _T z T z T T K z G D I P D I c c (6.4)

Representação da Malha com Controlador Digital

Na Figura (6.2), temos uma representação simplificada da malha de controle, incluindo apenas o controlador digital e o processo.

Figura 6.2. Malha fechada com controlador digital. Observando o diagrama da malha, vemos que:

) ( ) ( ) (s y₁ s y₂ s y  

daí, é claro que:



1





2



( ) ( ) ( ) y z   y s   y s onde



y₁(s)



HG_p(z).c(z) 



y₂(s)



 y₂(z)d(z)  ( ) _c( ) _sp( ) ( ) c z G z _y z y z _ ( ) _p( ). _c( ) _sp( ) ( ) ( ) y z HG z G z _y z y z _d z

Portanto ) ( . ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ). ( ) ( d z z G z HG z y z G z HG z G z HG z y c p sp c p c p     (6.4) Observações

(*) 1HG_p(z).G_c(z)0Equação característica da malha fechada (*) Problema servo d(z)=0 ) ( . ) ( ). ( 1 ) ( ). ( ) ( y z Z G z HG z c G z HG z y _sp c p c p   (6.5) (*) Problema regulador y_sp(z)0 ) ( ) ( ). ( 1 1 ) ( d z z G z HG z y c p   (6.6)

(*) Incluindo todos os elementos da malha, o diagrama da malha fica

Figura 6.3. Malha fechada com todos os elementos. Nesse caso definindo G~_p(s)G_f(s)G_p(s)G_m(s) temos





) ( ). ( ~ 1 ) ( ) ( ) ( . ) ( ). ( ~ 1 ) ( ). ( ~ ) ( z G z G H s d s G z y z G z G H z G z G H z y c p m sp c p c p     

Exemplo 6.1: Processo de 1a ordem com controlador proporcional onde ) ( ) (z K proporcional puro G_c  _c                       1 . ) 1 ( ) ( 1 s K s e L z HG p p Ts p _ Portanto 1 / 1 / 1 ) 1 ( ) (        z e z e K z HG p p T T p p _  Daí ) ( 1 ) 1 ( 1 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / z d z e z K e K z y z e z K e K z e z K e K z y p p p p p p T c T p sp T c T p t c T p                             Caso servo (d(s)=0) 1 1 1 1 1 2 (1 ) ( ) ( ) . ( ) 1 1 (1 ) p c sp sp c p c p K K b z a z y z y z y z a z K K b K K z           _   _ onde / ; 2 (1 ) p T c p c p be  a  _K K b K K _ Se 1 1 1 ) ( _   z z y_sp (degrau unitário) 1 1 1 1 2 1 ( ) 1 1 a z y z a z z       1 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 a y z a z a z    _  _  _   _

Daí: 1 2 2 ( ) 1 1 n a y n a a    _  _  Se ₂ 1 2 1 ( ) 1 lim n a a y n a      1 2 1 2 2 1 1 1 1 a a a offset a a        Caso regulador / 1 1 1 ( ) ( ) 1 (1 ) T c p c p e z y z d z K K b K K z         _   _ 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 bz y z d z a z      1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 bz d z y z z a z z            1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 lim ( ) lim(1 ) 0 1 1 1 n z bz b y n z a a z z               

Exemplo 6.2: Processo de 1a ordem com controlador P+I

onde 1 10 2 ) (    s e s G s p 5 , 1 , 3 . 0 1 1 1 ) ( 1_            c I I c c com K T T z T T K z G

Solução:                                           1 10 ( 1 ) 1 ( 2 1 10 2 . ) 1 ( ) ( 1 1 1 1 s s L z z s e s e L z HG s s p 1 2 1 2 1 10 / 1 1 10 / 1 1 9048 . 0 1 1903 . 0 9048 . 0 1 ) 9048 . 0 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( _                z z z z z e z e z z HG_p                     _{ } ) 1 ( 5 1 1 3 . 0 1 1 . 1 ) ( 1 1 z z T T K z G I c c 1 1 0.3 6 5 ( ) 5 1 c z G z z       _{ }    Pela equação (6.5) ) ( ). ( 1 ) ( ). ( ) ( ) ( z HG z G z HG z G z y z y p c p c sp  

Substituindo as expressões de Gc(z) e HGp(z), obtemos:

) 1 )( 9048 . 0 1 ( ) 3 . 0 36 . 0 ( 1903 . 0 1 ) 1 ( ) 3 . 0 36 . 0 ( . 9048 . 0 1 1903 . 0 ) ( ) ( 1 1 1 2 1 1 1 2                 z z z z z z z z z y z y sp 3 2 1 3 2 05709 . 0 9733 . 0 9048 . 1 1 050709 . 0 0685 . 0 ) ( ) (           z z z z z z y z y sp (6.7)

Para achar a resposta para um dado y_sp(z), por exemplo, degrau unitário: - Substituímos 1 1 1 ) ( _   z z y_sp ) 1 ( 1 . 05709 . 0 9733 . 0 9048 . 1 1 050709 . 0 06875 . 0 ) ( 1 3 2 1 3 2             z z z z z z z y

- Achamos a inversa de y(z) e determinamos y(nT) para n=0,1,2,….

Esse procedimento é em geral, muito trabalhoso. Uma forma numericamente mais simples, é usar a equação de diferenças correspondente à (6.7):

) ( ) 05709 . 0 0685 . 0 ( ) ( ) 05709 . 0 9733 . 0 9048 . 1 1 (  z1 z2  z3 y z  z2  z3 y_sp z

( ) 1.9048 ( 1) 0.9733 ( 2) 0.05709 ( 3) 0.0685 _sp( 2) 0.05709 _sp( 3) y n y n y n y n y n y n          

Daí, considerando que y_sp(n)1 para n , 0 ysp( )n  para 0 n e ( ) 00 y n  para 0

n , obtemos a seguinte resposta:

n y(n) 0 0 1 0 2 0 3 0.0685 4 0.1419 5 0.2150 10 0.5484 20 0.9508 30 1.0588 100 1.0000

Uma outra forma de simular a malha é escrevendo as equações de diferenças dos elementos individualmente. No caso deste exemplo, temos:

*Controlador 1 1 1 3 . 0 36 . 0 ) ( ) (      z z z e z c ou ) ( ) 3 . 0 36 . 0 ( ) ( ) 1 ( z1 c z   z1 e z que corresponde a: ) 1 ( 3 . 0 ) ( 36 . 0 ) 1 ( ) (n c n  e n  e n c (6.8)

mas como e(n) y_sp(n)y(n) a equação (6.8) fica

( ) ( 1) 0.36 _sp( ) ( ) 0.3 _sp( 1) ( 1) c n c n  _y n y n _ _y n y n _ (6.9) *Processo 1 2 9048 . 0 1 1903 . 0 ) ( ) (     z z z c z y ou ) ( 1903 . 0 ) ( ) 9048 . 0 1 (  z1 y z  z2c z

cuja inversa é: ) 2 ( 1903 . 0 ) 1 ( 9048 . 0 ) (n  y n  c n y (6.10)

Assim, dados y_sp(0),y_sp(1),....podemos usar (6.9)e(6.10) seqüencialmente para calcular ),... 2 ( ), 1 ( y y e c(1),c(2),...

É claro que o resultado deste procedimento deve ser o mesmo que o resultado do procedimento anterior.

7. Estabilidade de Sistemas Discretos

Consideremos a função de transferência:

) ( ) ( ... 1 ... ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 0 z m z y z a z a z a z b z b z b b z G n n m m _          _ _ _

Expandindo em frações parciais:

1 2 1 1 1 1 2 ( ) ... ( ) 1 1 1 n n c c c y z m z p z p z p z     _    _        (7.1)

onde p₁,p₂...,p_n são as raízes de 1+a₁z1a₂z2 ...a_nzn 0 O késimo termo da expansão (36), dá origem à função:





1 1 ( ) exp ln( ) 1 n k k k k k k k c f nT Z c n p c p p z             

A raiz p tem a forma: _k

2 2 _         j _k k k j p e p p Se p_k 1 c_kpn 0 quando n Se p_k  1  c_kp_kn c_k para qualquer n     n k k c p p 1 quando n

Portanto )f_k(nT é limitada quando p se localiza dentro do círculo unitário no plano _k

complexo. Assim:

Um sistema discreto é estável, se todos os seus pólos (raízes da equação característica) estão localizados dentro do círculo unitário no plano complexo.

Estabilidade da Malha Fechada

A equação característica da malha fechada é: 0 ) ( ). ( 1HG_p z G_c z  (7.2)

A malha é estável se todas as raízes dessa equação estão dentro do círculo unitário. Exemplo 7.1 Consideremos a malha de controle onde:

1 10 2 ) ( 5    s e s G s p que corresponde a: 1 10 / 1 10 / / 5 1 ) 1 ( 2 ) ( _{ }       z e z e z z HG T T T p 1 10 / 1 / 5 10 / 1 ) 1 ( 2 ) ( _{ }       z e z e z HG T T T p e          _1 1 1 . 1 ) ( z T T K z G I c c

Portanto a equação (7.2) fica:

0 1 ) 1 ( 2 . 1 1 . 1 1 ) ( ) ( 1 1 10 / 1 / 5 10 / 1 _                    _{e z} z e z T T K z HG z G T T T I c p c Rearranjando temos 1 /10 1 1 /10 5/ 1 (1 )(1 T ) 2. (1 ) (1 T ) T 0 I I T z e z  Kc T_ T z _ e z  

Se, por exemplo T=1, a equação acima fica

0 1903 . 0 ) 1 ( 1903 . 0 9048 . 0 9048 . 1 6 5 7 _{     } I c I c I I Iz T z T z K T z K T T



0.5914 0.3878 0.1297 0.7482 0.9590 0.2846 0.9101



r   i  i  i

onde a terceira raiz tem módulo max(r3)1.0004. Portanto, o sistema está no limite de

estabilidade. Aumentando Kc ou reduzindo TI o sistema instabiliza. Por exemplo, para

1.50; 10

c I

K  T  temos max(r_i )1.0114. Analogamente, para K_c 1.38; T_I 5 temos max(r_i)1.0419

Consideremos agora T=5, que corresponde à seguinte equação característica: 0 7869 . 0 ) 950 . 3 3934 . 1 ( 6065 . 1 2 3_{    } I c c I I Iz T z T K z K T T

Para Kc 1.38; TI 10 temos as seguintes raízes r



0.5133 1.2685 i 0.5799



onde max(r_i)1.3676, ou seja, a malha é instável. Para estabilizar a malha, temos que por .exemplo reduzir o ganho:

0.916; 10 max( ) 1.00

c I i

K  T   r 

Obs.: Pelo exemplo anterior vemos que, para sistemas discretos a estabilidade depende dos parâmetros do controlador e do período de amostragem.

Sintonia do Controlador PID Digital

Podemos usar a mesma sintonia (parâmetros) do PID analógico. Os resultados serão bons se o período de amostragem T é pequeno em relação à constante de tempo dominante do processo.

 Ajustamos os parâmetros do controlador usando um critério de performance integral. No caso geral temos o seguinte procedimento:

1-Identificamos o processo (determinamos a função de transferência de pulsos do processo). Quando a função de transferência contínua é conhecida, acrescentamos o “holder” para obter a função de transferência de pulsos.

Ex.: 2 (1 ) ( ) ( 1)(2 1)(3 1) s p s e G s s s s      

que produz a seguinte a função de transferência de pulsos: 3 2 1 2 3 2 1 160 . 0 921 . 0 691 . 1 1 ) 0319 . 0 0665 . 0 0279 . 0 ( ) ( _{  }            z z z z z z z z HG_p

2-Convertemos a função de transferência de pulsos para a correspondente correlação no tempo.

No caso acima temos:

( ) 1.691 ( 1) 0.921 ( 2) 0.160 ( 3)

y n  y n  y n  y n 

=0.0279 (c n 3) 0.0665 (c n 4) 0.0319 (c n 5) 3-Escolhemos o tipo do algoritmo de controle. Ex.:









( ) ( 1) _c ( ) ( 1) ( ) d ( ) 2 ( 1) ( 2) I T T c n c n K e n e n e n e n e n e n T T      _         _  

onde T é o mesmo escolhido na discretização do processo. 4-Explicitamos o critério integral na forma de somatória.

Por exemplo: 2 1 ( ) ( ) N i ISE  i e i  



onde (i) são pesos convenientes e N é o horizonte de otimização, escolhido em função das constantes de tempo do processo

5-Com um algoritmo de busca determinamos:K , _c I

c T K

e K_cT_d que minimizem o ISE.

8. Outros Controladores Digitais

Seja a malha de controle, com um algoritmo de controle digital designado Gc(z).

Figura 8.1 Malha digital

Já vimos que, em malha fechada, temos

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( y z z HG z G z HG z G z y _sp p c p c  

Dessa expressão podemos explicitar G_c(z)

) ( / ) ( 1 ) ( / ) ( . ) ( 1 ) ( z y z y z y z y z HG z G sp sp p c  _ (8.1)

Controlador “dead-beat”

Nesse caso impomos que a malha tenha a seguinte função de transferência 1 ) ( ) ( _{ z} z y z y sp (8.2)

ou seja, a resposta é exatamente igual ao “set-point”, apenas com um atraso de 1 intervalo de amostragem. Daí, substituindo (8.2) em (8.1), temos:

1 1 1 . ) ( 1 ) ( _    z z z HG z G p c (8.3) Exemplo 8.1: 1 5 / 1 5 / 1 ) 1 ( 10 ) ( 1 5 10 ) ( _{ }         z e z e z HG s s G T T p p

Se adotarmos T=1, ficamos com:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 813 . 1 819 . 0 1 1 . ) ( 1 ) ( 819 . 0 1 813 . 1 ) ( _                z z z z z z z HG z G z z z HG p c p ) ( ) ( ) 1 ( 813 . 1 819 . 0 1 ) ( 1 1 z e z c z z z G_c     _

Cuja equação de diferenças corrrespondente é: ) 1 ( 819 . 0 ) ( ) 1 ( 813 . 1 ) ( 813 . 1 c k  c k e k  e k ) 1 ( 452 . 0 ) ( 552 , 0 ) 1 ( ) 1 ( 813 . 1 819 . 0 ) ( 813 . 1 1 ) 1 ( ) (k c k  e k  e k c k  e k  e k c Observações:

Esse controlador gera ações (c(k)) muito violentas. A malha fechada não tem “off-set”.

) ( ) ( ) (z y z y z e  _sp  ) 1 )( ( ) ( ) ( ) (z  y z z1y z  y z z1 e _{sp sp sp}

1 1 2

1 1

lim ( ) lim (1 ) ( ) lim (1 ) _sp( )

t z z e t z e z z y z        Se 1 1 1 ) ( _   z z y_sp 0 1 1 . ) 1 ( lim ) ( lim 1 2 1 1          et z z _z t

Se HG_p(z) tiver tempo morto, ou seja, podemos escrever

( ) T ( )

p p

HG z z HG z

onde  corresponde ao tempo morto do sistema. Então 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ₁ ( ) ₁ T c p p z z G z HG z _z HG z _z          

Que só é realizável se / T  . Para ilustrar esse caso, consideremos o exemplo abaixo. 1 Exemplo 8.2: 1 2 1 819 . 0 1 813 . 1 ) ( 1 5 10 ) ( _         z z z HG s e s G _p T s p Substituindo na equação (8.3) 1 1 1 2 1 819 . 0 1 819 . 1 1 ) ( _    _   z z z z z G_c ) ( ) ( ) 1 ( 813 . 1 819 . 0 1 . 813 . 1 819 . 0 1 ) ( 1 1 1 2 1 z e z c z z z z z z z G_c        _ _{ } ) ( 452 . 0 ) 1 ( 552 . 0 ) 1 ( ) (k c k e k e k c     

Como e(k+1) não é conhecido no instante k o controlador é dito não realizável.

Para tornar o controlador realizável podemos modificar a especificação da resposta para n sp z z y z y _{ } ) ( ) (

( ) 1 1 ( ) . . ( ) ₁ ( ) ₁ n n c _{n n} p p z z G z HG z _z HG z _z           que é realizável se n  Exemplo 8.3: 1 3 1 2 819 . 0 1 813 . 1 ) ( 1 5 10 ) ( _         z z z HG s e s G _p T s p Se especificarmos 3 ) ( ) ( _{ z} z y z y sp

temos, pela eq. (8.2) o controlador:

) 1 ( 813 . 1 819 . 0 1 1 813 . 1 819 . 0 1 ) ( 3 1 3 3 3 1             z z z z z z z G_c ou ) 1 ( 452 . 0 ) ( 552 . 0 ) 3 ( ) (k c k  e k  e k c que é realizável Controlador de Dahlin

A resposta da malha fechada é admitida como sendo um sistema de 1a ordem com tempo morto. Ou seja, admitimos que

1 ) ( ) (    s e s y s y s sp  

onde  e  são parâmetros do controlador.

Portanto, a correspondente função de transferência de pulsos da malha é:

1 / 1 / 1 ) 1 ( ) ( ) (         z e z e z y z y T m T sp   com m/T (8.4)

Daí, substituindo (8.4) em (8.1), obtemos o controlador:

/ 1 / 1 / 1 ( ) / ( ) 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 ( ) / ( ) _{( ) 1 (1 )} T m sp c _{T T m} p sp p y z y z _{e z} G z HG z y z y z HG z _{e z e z}                _{  } Obs:

Para que esse controlador seja realizável, o tempo morto contido em G_p(s) não pode ser maior que mT.

Figura 8.2 Resposta da malha fechada Exemplo 8.4: 1 1 10 2 ) ( 2     T s e s G s p 1 3 1 10 / 1 3 10 / 1 9048 . 0 1 . 1903 . 0 1 ) 1 .( 2 ) ( _           z z z e z e z HG_p Admitamos que 1 5 ) ( ) ( 3    s e s y s y s sp

(Observe que o ganho deve ser 1) ou 1 4 1 5 / 1 4 5 / 1 8187 . 0 1 1813 . 0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (            z z z e z e z y z y sp Daí )) ( / ) ( 1 ( ) ( / ) ( ) ( 1 ) ( z y z y z y z y z HG z G sp sp p c  _ 1 4 3 1 8187 . 0 1 1813 . 0 1903 . 0 9048 . 0 1 ) ( _       z z z z z G_c 1 1 8187 . 0 1 1813 . 0 1 1     z z ) ( ) ( 1813 . 0 8187 . 0 1 870 . 0 9616 . 0 ) ( 4 1 2 1 z e z c z z z z z G_c      _  _ ) 2 ( 870 . 0 ) 1 ( 9616 . 0 ) 4 ( 1813 . 0 ) 1 ( 8187 . 0 ) (k  c k  c k  e k  e k c

9. Compensação de Tempo Morto e Resposta Inversa

O compensador de tempo morto digital

Para um processo com tempo morto  cuja função de transferência de pulsos assume a forma HG_p( )z zk onde k /T, a inclusão de um compensador pode ser feita conforme mostrado na Fig. 9.1

Figura 9.1 Malha digital com compensador de tempo morto Da figura acima temos as seguintes relações

( ) _c( ) _sp( ) ( ) (1 k) _p( ) ( ) c z G z _y z y z  z HG z c z _ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (1 ) ( ) ( ) 1 (1 ) ( ) ( ) c c sp k k p c p c G z G s c z y z y z z HG z G z z HG z G z       (7.3) ( ) _p( ) k ( ) _d( ) ( ) y z HG z z c z HG z d z (7.4)

Substituindo (7.3) em (7.4) e fazendo as simplificações possíveis, chegamos a

1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) k k p c d c p sp p c p c z HG z G z HG z G z HG z z y z y z d z HG z G z HG z G z   _{   }       (7.5)

A equação característica não depende do tempo morto e o controlador pode ser sintonizado como se o sistema não tivesse o tempo morto.

Incerteza no tempo morto

Seja  _p k_p/T o tempo morto do processo e  _m k_m/T o tempo morto usado no compensador. Nesse caso, a equação (7.5) ficaria

1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )(1 ) 1 ( ) ( )(1 ) m p p m p m k k p c d c p sp k k k k p c p c z HG z G z HG z G z HG z z y z y z d z HG z G z z z HG z G z z z        _{ }           

Compensador de resposta inversa

Consideremos um processo cuja função transferência de pulsos tenha a seguinte forma

1 ( ) (1 ) ( ) ( ) p y z z HG z c z    

onde   . Nesse caso, o processo apresenta resposta inversa. Para que a malha fechada 1 não seja afetada por esse tipo de comportamento, consideremos o diagrama da Fig. 9.2

Figura 9.2 Compensador de resposta inversa Nesse caso o erro na variável controlada fica

1 1 ( ) _sp( ) _p( ) _p( )(1 ) ( ) e z  y z _HG z z HG z z _c z



1



( ) _sp( ) _p( ) 1 ( ) ( ) e z  y z HG z    z c z

Portanto, se    o controlador não verá a resposta inversa. 1

Controle Antecipatório – “Feedforward”

Seja o sistema representado abaixo, onde d(z) é uma perturbação medida e Gff(z) é a

função de transferência de um elemento a ser introduzido na malha.