Álgebra Linear e Geometria Analítica

(1)

Dep. Matem´

atica

FCUP

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´

ALGEBRA LINEAR e

GEOMETRIA ANAL´ITICA

Resumo das aulas te´

oricas e pr´

aticas

1.

o

_{ano da licenciatura em Matem´}

_{atica, F´ısica}

Astronomia

Ano lectivo de 2010/2011

Jo˜

ao Nuno Tavares

(2)

1 Um curso r´apido de ALGA apenas em R2 ₁

1.1 Algebra Linear em R´ 2 _{. . . .} ₃

1.2 Aplica¸c˜oes `a geometria . . . 23

2 Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica em R´ 3 ₂₇ 2.1 Algebra Linear em R´ 3 _{. . . .} ₂₉ 3 Espa¸cos vectoriais 57 3.1 Espa¸cos vectoriais . . . 57 3.2 Exemplos . . . 58 3.3 Subespa¸cos vectoriais . . . 61 3.4 Exerc´ıcios . . . 66

4 ALGA I. Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares 70 4.1 Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares. Operadores lineares. Funcionais lineares. O espa¸co dual V∗ _{. . . .} ₇₀

4.2 Exerc´ıcios . . . 73

5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimens˜ao 74 5.1 Bases, coordenadas e dimens˜ao . . . 74

5.2 C´alculos com coordenadas. Problemas . . . 82

5.3 Mudan¸cas de base e de coordenadas . . . 85

6 ALGA I. Representa¸cão matricial das aplica¸cões lineares 95 6.1 Matriz de uma aplica¸cão linear . . . 95

(3)

6.2 C´alculo do n´ucleo e imagem . . . 96

6.3 Matriz da composta . . . 97

6.4 GL(n). Pontos de vista passivo e activo. . . 98

6.5 Determinantes . . . 99

6.5.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . 99

6.5.2 Determinante de um produto . . . 102

6.5.3 C´alculo da matriz inversa. Matriz adjunta . . . 103

6.6 Regra de Cramer . . . 105

6.7 Determinante de um operador linear . . . 106

7 ALGA I. Espa¸cos vectoriais com produto interno 110 7.1 Espa¸cos Euclideanos reais . . . 110

7.2 Espa¸cos Hermitianos (ou Unit´arios) complexos . . . 113

7.3 Norma . . . 115

7.4 Ortogonalidade . . . 117

7.5 Bases ortonormadas num espa¸co vectorial com produto interno . 119 7.6 M´etodo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . 119

7.7 Decomposi¸cão ortogonal. Teorema da aproxima¸cão óptima . . . 122

7.8 Aplica¸c˜oes. M´ınimos quadrados . . . 129

7.9 M´etodo dos m´ınimos quadrados. Aproxima¸c˜ao de dados por uma recta . . . 132

7.10 Transforma¸c˜oes ortogonais e unit´arias. Exemplos . . . 134

7.11 Transforma¸c˜oes unit´arias em C2. Os grupos U(2) e SU(2) . . . . 135

7.12 Exerc´ıcios . . . 136

8 ALGA I. Subespa¸cos invariantes. Subespa¸cos próprios. Valores próprios 142 8.1 Conjuga¸cão . . . 142

8.2 Subespa¸cos invariantes . . . 145

8.3 Valores e vectores pr´oprios de um operador linear. Operadores diagonaliz´aveis . . . 147

8.4 C´alculo de valores e vectores pr´oprios . . . 148

(4)

8.6 N´umeros de Fibonacci. N´umero de ouro . . . 153

9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos). Teorema espectral 162 9.1 Operadores auto-adjuntos (sim´etricos e hermitianos) . . . 162

9.2 Teorema espectral para operadores auto-adjuntos . . . 165

9.3 Diagonaliza¸c˜ao de formas quadr´aticas reais . . . 167

9.4 Propriedades extremais dos valores pr´oprios . . . 171

9.5 Operadores comutativos . . . 173

10ALGA I. Cónicas e quádricas afins 175 10.1 Parábola, Elipse e Hipérbole . . . 175

10.2 Qu´adricas . . . 179

10.3 C´onicas e qu´adricas afins . . . 183

10.4 Redu¸cão à forma canónica da equa¸cão geral de uma cónica . . . 189

11 Quaterniões e Rota¸cões 197 11.1 Defini¸cões e propriedades . . . 197

11.2 Rota¸c˜oes no espa¸co dos quaterni˜oes puros . . . 200

12 O homomorfismo SU (2) → SO(3). Parˆametros de Cayley-Klein 209 12.1 Transforma¸c˜oes e matrizes hermitianas em C2. . . 209

12.2 Matrizes hermitianas de tra¸co nulo. Matrizes de Pauli . . . 210

12.3 O homomorfismo SU (2) → SO(3). Parâmetros de Cayley-Klein . 213 13 Rota¸cões infinitesimais. Álgebra do momento angular 217 13.1 so(3) e su(2) . . . 217

13.2 ´Algebra doo momento angular . . . 218

13.3 Representa¸c˜oes de sl(2, C). Spin . . . . 219

14 Geometria de Minkowski em R4 1 224 14.1 Produto escalar de Minkowski . . . 224

(5)

14.3 Car´acter causal. Cones de Luz . . . 226

14.4 Cones temporais . . . 227

14.5 Linhas de universo de observadores inerciais . . . 228

14.6 Ortogonalidade . . . 229

14.7 O espa¸co f´ısico de um observador inercial . . . 229

14.8 Desigualdade de Cauchy-Shwartz oposta, ˆangulo hiperb´olico . . . 229

14.9 Sistemas de coordenadas inerciais. O Factor de Lorentz . . . 233

14.10O Factor de Lorentz . . . 233

15 O grupo de Lorentz O(1, 3). O homomorfismo SL(2, C) → SO(1, 3)↑₂₃₆ 15.1 Transforma¸c˜oes de Lorentz no espa¸co de Minkowski R4_{. O grupo de Lorentz O(1, 3) . . . .} ₂₃₆

(6)

GEOMETRIA ANAL´ITICA

Referˆ

encias bibliogr´

aficas

1. T.M. Apostol: “Calculus, vol.1 e vol.2”. Xerox College Publishing Inter-national Textbook series, 1969.

2. Blyth T.S. and Robertson E.F.: “Basic Linear Algebra”. SUMS, Springer-Verlag, New York, 2002.

3. Mansfield L.E.: “Linear Algebra with Geometric Applications”. Marcel Dekker, Inc., 1976.

4. Postnikov M.: “Le¸cons de Géométrie, vol.1 e 2”. Éditions MIR, Moscou,1981.

5. Banchoff T., Wermer J.. “Linear Algebra through Geometry”. UTM, Springer-Verlag, New York, 1983.

6. Smith L.: “Linear Algebra”. UTM, Springer-Verlag, New York, 1978.

7. Curtis C.W.: “Linear Algebra, An Introductory Approach”. UTM, Springer-Verlag, New York, 1974.

8. Lipschutz S.: “Linear Algebra”. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill Book Company,1968.

9. Hern´andez E.: “ ´Algebra y Geometr´ıa”(2.a_{edicion). Addison-Wesley/Universidad} Aut´onoma de Madrid, 1994.

(7)

Um curso r´

apido de ALGA

apenas em R

2

Neste primeiro módulo vamos retomar alguns conceitos ensinados no ensino secundário, e fazer uma ponte para os assuntos mais sofisticados que precisamos de aprender na disciplina de ALGA. Tentamos por agora usar as nota¸cões que são mais familiares ao leitor.

Geometria Euclideana em R2_{. Produto interno (euclideano). Norma} (eu-clideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projeçcão or-togonal. Interpreta¸cão geométrica de det e de det A. Reflexões numa recta. Transforma¸cões ortogonais em R2_{. Os grupos O(2) e SO(2).}

I Nota¸c˜oes

x, y, u, v, w... vectores, em vez de ~x, ~y, ~u, ~v, ...

a, b, c, ..., λ, η, µ, ξ, ... escalares, isto ´e, n´umeros reais (para j´a).

I N´umero de aulas

(8)

2 teóricas e 2 teórico-práticas.

I Objectivos

Um forte intui¸cão geométrica sobre os principais conceitos da ALGA. Re-solver os sistemas que aparecem obrigatoriamente pelométodo de elimina¸cão de Gauss.

I Site de apoio `a disciplina

http://www.fc.up.pt/cmup/alga

I Site de apoio em temas de Matem´atica elementar

(9)

1.1 Algebra Linear em R

´

2

Vectores

I1.1 Umvectorx em R2_{´e por defini¸c˜ao um par ordenado de n´}_{umeros reais,}

representado, ou na forma x = (x1, x2), ou dispostos segundo uma

matriz-colunade duas linhas:

x = µ

x1

x2

¶

Os n´umeros reais xi, i = 1, 2, dizem-se ascomponentesdo vector x ∈ R2_.

Geom`etricamente x = µ

x1

x2

¶

ser´a representado como na figura seguinte:

R2 _{como espa¸co vectorial real}

I1.2 Dados dois vectores x = µ x1 x2 ¶ e y = µ y1 y2 ¶ , em R2_{, define-se a}

respectivasoma vectorial, como sendo o vector x + y, dado por: x + y = µ x1 x2 ¶ + µ y1 y2 ¶ = µ x1+ y1 x2+ y2 ¶

Geomètricamente x+y é obtido através da seguinteregra do paralelogramo:

I1.3 Dado um vector x = µ

x1

x2

¶

em R2_{, e um} _escalar _{(i.e., um n´}_umero

real) λ ∈ R, define-se a multiplica¸c˜ao do escalar λ pelo vector x, como sendo o vector λx dado por:

λx =

µ

λ x1

λ x2

¶

I1.4 E f´acil provar que as duas opera¸c˜oes definidas anteriormente, satisfazem´ as propriedades seguintes: [EV1]. x + y = y + x (1.1.1) [EV2]. (x + y) + z = x + (y + z) (1.1.2) [EV3]. 0 + x = x + 0 = x ∀x ∈ R2 (1.1.3) [EV4]. ∀x, ∃(−x) : x + (−x) = 0 (1.1.4) [EV5]. λ(x + y) = λx + λy (1.1.5) [EV6]. (λ + η)x = λx + ηx (1.1.6) [EV7]. λ(ηx) = (λη)x (1.1.7) [EV8]. 1x = x (1.1.8)

(10)

onde x, y, z ∈ R2_{, λ, η ∈ R, 0 =}

µ 0 0

¶

´e o vector nulo de R2_{, e −x = (−1)x.}

Por isso, diz-se que R2_{´e um} _{espa¸co vectorial real}_.

I Exerc´ıcio1.1 ... Demonstre as 8 propriedades (2.1.1) a (1.1.8).

Subespa¸cos

I1.5 Um subconjunto n˜ao vazio S ⊆ R2 _{diz-se um} _{subespa¸co vectorial}

de R2_{, se S é fechado relativamente às opera¸cões de soma de vectores e de}

multiplica¸c˜ao de escalares por vectores, i.e.:

• Se x, y ∈ S tamb´em x + y ∈ S (1.1.9)

• Se λ ∈ R, e x ∈ S tamb´em λx ∈ S (1.1.10)

Em R2 _{os subespa¸cos s˜ao de dois tipos:}

• triviais: S = {0} e S = R2

• n˜ao triviais: S = {λv : λ ∈ R}, onde v 6= 0, que representa uma recta

que passa na origem, gerada por v 6= 0.

I Exerc´ıcio1.2 ... Diga quais dos seguintes conjuntos s˜ao subespa¸cos vectoriais de R2_:

a) A =©(x, y) ∈ R2_{: x = y}ª_; _{e) E =}©_{(x, y) ∈ R}2 _{: 3x − y = 1}ª_;

b) B =©(a, −a) ∈ R2_{: a ∈ R}ª_; _{f) F =}©_{(x, y) ∈ R}2_{: |x + 2y| = 3}ª_;

c) C =©(x, y) ∈ R2_{: x + y 6= 2}ª_; _{g) G = {(b, 2a + b) : a, b ∈ R} .}

d) D =©(x, y) ∈ R2_{: x + 5y = 0}ª_; _{g) H = {(b, 2a + 1) : a, b ∈ R} .}

Combina¸c˜ao linear

I1.6 Um vector x ∈ R2 _{diz-se uma} _combina¸c˜_{ao linear} _{dos vectores a e b}

de R2 _{se existirem escalares λ, η ∈ R tais que:}

x = λ a + η b (1.1.11)

O conjunto de todas ascombina¸cões lineares dos vectores a e b, isto é, de todos os vectores da forma λ a + η b, onde os escalares λ, η ∈ R são arbitrários, chama-se oespa¸co gerado por a e be representa-se por span{a, b}:

(11)

I Exerc´ıcio1.3 ... Em cada uma das al´ıneas que se seguem, verifique se x ∈ span {a, b}:

a) x = (1, 0), a = (1, 1), e b = (0, 1); b) x = (2, 1), a = (1, −1), e b = (1, 1); c) x = (1, 0), a = (1, 1), e b = (2, 2); d) x = (1, 1), a = (2, 1), e b = (−1, 0); e) x = (4, 3), a = (1, −1), e b = (−2, 2). f) x = (0, 0), a = (2, −1), e b = (−4, 2);

I Exerc´ıcio1.4 ... Em cada um dos casos, calcule o subespa¸co gerado por a e b, onde

a) a = (1, 1), b = (2, 2), em R2_; _{b) a = ((1, 0), b = (5, 0), em R}2_;

c) a = (2, −1), b = (1, 0), em R2_; _{d) a = (2, 1), b = (0, 0), em R}2_;

Dependˆencia e independˆencia linear

I1.7 Dois vectores x e y em R2_{, dizem-se} _{linearmente dependentes}_{, se}

um deles é múltiplo escalar do outro. Se x = 0 (ou y = 0) então x e y são linearmente dependentes. Geomètricamente x e y são linearmente dependentes, sse eles são colineares.

I1.8 Dois vectores x e y em R2_{, dizem-se} _{linearmente independentes}_,

se não são linearmente dependentes (o que implica que x 6= 0 e y 6= 0). Geomètricamente x e y são linearmente independentes, sse eles são não col-ineares.

Simbolicamente:

(x e y s˜ao linearmente independentes) ⇐⇒ (λx + ηy = 0 =⇒ λ = η = 0) I Exerc´ıcio1.5 ... Verifique se os vectores que se seguem s˜ao linearmente depen-dentes ou independepen-dentes:

a) (1, 0), (2, −1) em R2_; _{b) (1, 1), (2, 2) em R}2_;

c) (π, 0), (0, 1) em R2_; _{d) (1, 2), (2, 3), (1, 1) em R}2_;

Base can´onica

I1.9 Os vectores de R2_: e1= i = µ 1 0 ¶ e e2= j = µ 0 1 ¶

s˜ao linearmente independentes, e tˆem a propriedade de que qualquer vector x =

µ

x1

x2

¶

, se pode escrever comocombina¸c˜ao linearde e1 e e2. De facto:

x = µ x1 x2 ¶ = x1 µ 1 0 ¶ + x2 µ 0 1 ¶ = x1e1+ x2e2 (1.1.13)

(12)

Diz-se então que C = {e1, e2} é uma base(ordenada) - a base canónica

de R2_.

Bases, coordenadas, dimens˜ao

I1.10 Qualquer conjunto B = {u1, u2} constitu´ıdo por dois vectores

linear-mente independentes, e que tˆem a propriedade de que qualquer vector x ∈ R, se pode escrever como combina¸c˜ao linear de u1 e u2:

x = x1u1+ x2u2 (1.1.14)

para certos escalares (´unicos) x1, x2∈ R, diz-se umabasede R2.

I1.11 Todas as bases de R2_{tˆem sempre dois elementos, e, por isso, diz-se que}

adimens˜ao(real) de R2 _{´e 2:}

Os escalares x1, x2∈ R, que surgem em (1.1.14), dizem-se ascomponentes

(ou as coordenadas) do vector x, na base B = {u1, u2}. Neste caso

escrevemos: x = (x)B≡ µ x1 x2 ¶ B (1.1.15)

I Exerc´ıcio1.6 ... Verifique se os conjuntos que se seguem, são ou não bases de cada um dos espa¸cos vectoriais indicados em cada al´ınea. Calcule as coordenadas de x = (1, −1) relativamente aos que são bases:

a) {(1, 1), (3, 1)} em R2_; _{b) {(0, 1), (0, −3)} em R}2_;

c) {(2, 1), (1, −1), (0, 2)} em R2_; _{d) {(2, 1), (0, 0), (0, 1)} em R}2_;

I Exerc´ıcio1.7 ... Calcule uma base de cada um dos subespa¸cos que se seguem, e depois as coordenadas do vector u em cada uma das bases:

a) S =©(x, y) ∈ R2_{: x + y = 0}ª_{, u = (3, −3);}

b) S =©(x, y) ∈ R2_{: 2x = −y}ª_{, u = (4, −8);}

Aplica¸c˜oes Lineares

I1.12 Uma aplica¸c˜ao A : R2 _{→ R}2 _{diz-se uma} _aplica¸c˜_{ao linear}_{, se A}

preserva as opera¸c˜oes que definem a estrutura vectorial de R2_{, i.e.:}

A(x + y) = A(x) + A(y) (1.1.16)

A(λ x) = λ A(x) (1.1.17)

(13)

I1.13 Dada uma aplica¸c˜ao linear A : R2_{→ R}2 _define-se:

• on´ucleo de A:

ker A = {x ∈ R2_{: A(x) = 0}} _(1.1.18)

• aimagem de A:

im A = {y : A(x) = y ∈ R2_{, para algum x ∈ R}2_} _(1.1.19)

I Exerc´ıcio1.8 ... Mostre que ker A e im A s˜ao subespa¸cos de R2_.

I Exerc´ıcio1.9 ... Das aplica¸c˜oes A : R2_{−→ R}2 _{que se seguem, indique aquelas}

que são lineares. Relativamente a essas, calcule o respectivo núcleo e diga quais as que são injectivas.

a) A : (x, y) 7−→ (x + y, x − y) b) A : (x, y) 7−→ (|x| , |y|) c) A : (x, y) 7−→ (x + 1, x − y) d) A : (x, y) 7−→ (0, x + y)

I Exerc´ıcio1.10 ... Mostre que uma aplica¸c˜ao linear A : R2 _{−→ R}2 _fica

com-pletamente determinada pelos valores que assume numa base. Mais concretamente, se {e1, e2} ´e uma base e se A(e1) = f1, A(e2) = f2, onde f1, f2 s˜ao fixos de forma

arbitrária, então estes dados determinam de forma única a imagem A(x) de um vector arbitrário.

I Exerc´ıcio1.11 ... Sabendo que A é uma aplica¸cão linear, calcule em cada caso a imagem de um vector genérico:

a) Sendo A : R2 _{−→ R}2 _{e A(1, 0) = (1, 1) e A(0, 1) = (1, −2);}

b) Sendo A : R2_{−→ R}2 _{e A(1, −1) = (1, 2) e A(0, 3) = (2, −2);}

c) Sendo A : R2_{−→ R}2_{e A(2, 1) = (−1, 0) e A(−1, 1) = (3, −2);}

Matriz de uma aplica¸c˜ao linear

I1.14 Se B = {u1, u2} ´e uma base fixa de R2, podemos escrever que:

A(u1) = a u1+ b u2 (1.1.20) A(u2) = c u1+ d u2 (1.1.21) A matriz: A = µ a c b d ¶ (1.1.22)

diz-se amatriz de A na base B, e nota-se por:

(14)

Se as coordenadas de um vector x ∈ R2_{, na base B = {u} 1, u2}, s˜ao x = µ x1 x2 ¶ B , i.e., se: x = x1u1+ x2u2

ent˜ao as coordenadas de A(x) na base B obtˆem-se da seguinte forma: A(x) = A(x1u1+ x2u2)

= x1A(u1) + x2A(u2)

= x1(a u1+ b u2) + x2(c u1+ d u2)

= (ax1+ cx2) u1+ (bx1+ dx2) u2

(1.1.23)

o que significa que as coordenadas de A(x) na base B: (A(x))B= µ y1 y2 ¶ B obtˆem-se matricialmente atrav´es de:

µ y1 y2 ¶ B = µ a c b d ¶ µ x1 x2 ¶ B (1.1.24) ou mais sucintamente: (A(x))B= (A)B(x)B (1.1.25)

I Exerc´ıcio1.12 ... Em cada um dos seguintes casos determine a matriz da aplica¸c˜ao linear A na base indicada e calcule ker A e im A :

a). A : R 2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (3x − y, x + 5y) , na base C = {(1, 0), (0, 1)} b). A : R 2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (3x − y, x + 5y) , na base B = {(1, 1), (1, −1)} c). A : R 2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (3x, x + y) , na base B = {(2, −1), (1, 1)}

Composta de aplica¸c˜oes lineares. Matriz da composta. Produto de matrizes.

I1.15 Sejam

A : IR2→ IR2 e B : IR2→ IR2 (1.1.26) duas aplica¸c˜oes lineares.

A composta A ◦ B : IR2→ IR2(lê-se A composta com B, ou A após B) é a aplica¸cão definida por:

A ◦ B : IR2 −→ IR2

(15)

Esquematicamente:

x7−→ B(x)B 7−→ A(B(x))A

I Exerc´ıcio1.13 ... Mostre que A ◦ B ´e linear.

I1.16 Se B = {u1, u2} ´e uma base fixa de R2, podemos escrever que:

A(u1) = a u1+ b u2 (1.1.28)

A(u2) = c u1+ d u2 (1.1.29)

construindo assim a matriz de A na base B:

A = (A)B = µ a c b d ¶ (1.1.30)

Analogamente, podemos escrever que:

B(u1) = e u1+ f u2 (1.1.31)

B(u2) = g u1+ h u2 (1.1.32)

construindo assim a matriz de B na base B:

B = (B)B = µ e g f h ¶ (1.1.33)

Se as coordenadas de um vector x ∈ R2_{, na base B = {u}

1, u2}, s˜ao x = µ x1 x2 ¶ B , i.e., se: x = x1u1+ x2u2

ent˜ao B(x) ´e igual a (verificar):

B(x) = (ex1+ gx2) u1+ (f x1+ hx2) u2

e portanto as coordenadas de A(B(x)) na base B obtˆem-se da seguinte forma: A(B(x)) = A((ex1+ gx2) u1+ (f x1+ hx2) u2)

= (ex1+ gx2) A(u1) + (f x1+ hx2) A(u2)

= (ex1+ gx2) (a u1+ b u2) + (f x1+ hx2) (c u1+ d u2)

= ((ae + cf )x1+ (ag + ch)x2) u1+ ((be + df )x1+ (bg + dh)x2) u2 (1.1.34)

o que significa que as coordenadas de A(B(x)) na base B: (A(B(x)))B= µ y1 y2 ¶ B

(16)

obtêm-se matricialmente através de: µ y1 y2 ¶ B = µ ae + cf ag + ch be + df bg + dh ¶ µ x1 x2 ¶ B (1.1.35) o que é de facto uma fórmula complicada. Para simplificar os cálculos introduz-imos o conceito deproduto de matrizes- o produto das matrizes A e B (por esta ordem) define-se através de:

AB = µ a c b d ¶ µ e g f h ¶ = µ ae + cf ag + ch be + df bg + dh ¶ (1.1.36) o que nos permite escrever (1.1.35) na forma:

((A ◦ B)(x))B= (A)B(B)B(x)B (1.1.37)

I Exerc´ıcio1.14 ...

1. Mostrar que (A ◦ B)B= (A)B(B)B

2. Mostrar que o produto de matrizes n˜ao ´e, em geral, comutativo, i.e., em geral

AB 6= BA.

3. Mostrar que o produto de matrizes ´e associativo A(BC) = (AB)C.

4. Qual a matriz da aplica¸c˜ao identidade Id : IR2 _{→ IR}2_{, relativamente a uma}

qualquer base de IR2_?

O conjunto de todas as matrizes quadradas 2×2, de entradas reais, representa-se por M2(IR).

I Exerc´ıcio1.15 ... Uma matriz A ∈ M2(IR), diz-seinvers´ıvel se existir uma

matriz B ∈ M2(IR) tal que:

AB = BA = Id Onde Id = µ 1 0 0 1 ¶

´e amatriz identidade. Neste caso escreve-se B = A−1_para

a inversa de A.

1. Calcule explicitamente a inversa da matriz A = µ

a c b d

¶

, supondo que ela existe. Qual a condi¸c˜ao para que exista A−1_?

2. Mostre que (A−1₎−1_{= A}

3. Mostre que se A : IR2_{→ IR}2_{é um isomorfismo e se B é uma base de IR}2_{, então:}

(A−1)B= ((A)B)−1 (1.1.38)

I Exerc´ıcio1.16 ... A transposta de uma matriz A = µ a c b d ¶ ´e a matriz At₌ µ a b c d ¶

(17)

1. Mostrar que (A4)t_{= A}

2. Mostrar que (AB)t_{= B}t_At

I1.17 Um grupo é um conjunto não vazio G munido de uma opera¸cão binária:

G × G −→ G

(g, h) 7−→ g · h

que verifica as propriedades seguintes:

1. associatividade (g · h) · k = g · (h · k), ∀g, h, k ∈ G

2. existe um elemento neutro e ∈ G tal que e · g = g · e = g, ∀g ∈ G

3. cada elemento g tem um inverso, isto ´e, ∀g ∈ G existe h ∈ G tal que

g · h = h · g = e. Este inverso nota-se por g−1_{(em nota¸c˜ao multiplicativa).}

I Exerc´ıcio1.17 ... Mostre que o conjunto das matrizes invers´ıveis:

GL(2) = {A ∈ M2(IR) : A ´e invers´ıvel}

munido da opera¸c˜ao de produto de matrizes, ´e um grupo.

Determinantes

I1.18 Dada uma matriz A = µ

a c b d

¶

, definimos o seu determinante det A, como sendo o n´umero real:

det A = det µ a c b d ¶ = ad − bc (1.1.39) Representemos por c1 = µ a b ¶ e c2= µ c d ¶ as colunas da matriz A, de tal forma que:

det A = det [c1 c2] = ad − bc (1.1.40)

Um c´alculo directo mostra que:

det [c1 c2] 6= 0 sse c1, c2 s˜ao linearmente independentes (1.1.41)

det [c1 c2] = −det [c2 c1] (1.1.42)

det [c1+ c01 c2] = det [c1 c2] + det [c01 c2] (1.1.43)

det [c1 c2+ c02] = det [c1 c2] + det [c1 c02] (1.1.44)

det [λ c1 c2] = λ det [c1 c2]

(18)

e ainda que:

det I = 1 (1.1.46)

det (AB) = det A det B (1.1.47)

det (A−1_{) = (det A)}−1 _{∀A invers´ıvel} _(1.1.48) det (P−1A P ) = det A ∀P invers´ıvel (1.1.49)

det (A) = det (At₎ _(1.1.50)

onde At_{´e a}_transposta_{de A e I =} µ

1 0 0 1

¶

é amatriz identidade. Além disso é poss´ıvel provar que para uma matriz A:

A ´e invers´ıvel se e s´o se det A 6= 0 (1.1.51)

I Exerc´ıcio1.18 ... Demonstre todas as propriedades acima referidas.

I1.19 Se A : R2 _{→ R}2 _{´e uma aplica¸c˜ao linear, define-se o respectivo}

deter-minantedet A, como sendo o determinante da matriz de A, relativamente a uma qualquer base de R2_{. Por (1.1.49) e (1.1.48), esta defini¸c˜ao n˜ao depende}

da base escolhida.

I Exerc´ıcio1.19 ... Calcule o determinante das aplica¸c˜oes lineares descritas no exerc´ıcio 1.13.

Em breve veremos uma interpreta¸cão geométrica da no¸cão de determinante.

Produto interno (euclideano)

I1.20 Dados dois vectores x = µ x1 x2 ¶ e y = µ y1 y2 ¶ , em R2_{, define-se o}

respectivo produto interno (Euclideano), como sendo o escalar x · y ∈ R, dado por: x · y = x1y1+ x2y2 = (x1 x2) µ y1 y2 ¶ = xty (1.1.52)

I1.21 O produto interno (euclideano), que acab´amos de definir, verifica as propriedades seguintes:

(19)

•é bilinear: (x + y) · z = x · z + y · z x · (y + z) = x · y + x · z λx · y = x · λy = λ(x · y) (1.1.53) •é simétrica: x · y = y · x (1.1.54) •é não degenerada: x · y = 0 ∀y ∈ R2 ⇒ x = 0 (1.1.55) •é definida positiva: x · x ≥ 0 e x · x = 0 ⇐⇒ x = 0 (1.1.56) ∀x, y, z ∈ R2_{, ∀λ ∈ R.}

I Exerc´ıcio1.20 ... Verifique que o produto interno (1.1.52) satisfaz as pro-priedades acima referidas.

Norma (euclideana)

I1.22 Define-se a norma euclideanakxk, de um vector x =

µ x1 x2 ¶ ∈ R2_, atrav´es da f´ormula: kxk ≡ √x · x = √xt_x = p(x1)2+ (x2)2 (1.1.57)

I1.23 A norma euclideana verifica as propriedades seguintes:

•´e positiva e n˜ao degenerada:

kxk ≥ 0 e kxk = 0 sse x = 0 (1.1.58)

•´e homog´enea (positiva):

kλ xk = |λ| kxk (1.1.59)

• verifica adesigualdade triangular:

kx + yk ≤ kxk + kyk (1.1.60)

(20)

I1.24 Todas as propriedades são de demonstra¸cão imediata com excep¸cão da desigualdade triangular, que resulta imediatamente de uma outra importante desigualdade que passamos a enunciar:

• Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

|x · y| ≤ kxkkyk (1.1.61)

∀x, y ∈ R2_.

Demonstra¸c˜ao...

Se y = 0 a desigualdade ´e trivial. Se y 6= 0 consideremos o vector:

u = x − x · y kyk2 y de tal forma que u · y = 0. temos ent˜ao que:

0 ≤ kuk2 ₌ ³_{x −} x · y kyk2y ´ ·³x − x · y kyk2y ´ = x · x −(x · y)(y · x) kyk2 = kxk2₋(x · y)2 kyk2 (1.1.62)

o que portanto demonstra a desigualdade, CQD.

Demonstremos agora a desigualdade triangular (7.3.4):

kx + yk2 = (x + y) · (x + y)

= x · x + x · y + y · x + y · y = kxk2_{+ 2(x · y) + kyk}2

≤ kxk2+ 2|x · y| + kyk2

≤ kxk2_{+ 2kxkkyk + kyk}2_{, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (2.1.48)}

= (kxk + kyk)2

e portanto kx + yk ≤ kxk + kyk, como se pretendia.

ˆ

Angulo, ortogonalidade

I1.25 Dados dois vectores n˜ao nulos x, y ∈ R2_{, deduzimos da desigualdade}

de Cauchy-Schwarz que:

−1 ≤ x · y

kxkkyk ≤ 1 (1.1.63)

o que permite definir oˆangulo (n˜ao orientado) θ ∈ [0, π], entre os referidos

vectores n˜ao nulos x, y ∈ R2_{, como sendo o ´}_{unico θ ∈ [0, π], tal que:}

(21)

Portanto:

x · y = kxkkyk cos θ (1.1.65)

Dois vectores x, y ∈ R2 _dizem-se_ortogonais_{se x · y = 0.}

Rectas vectoriais e afins

I1.26 Dado um vector n˜ao nulo a 6= 0, o conjunto dos vectores x que s˜ao da forma:

x = t a, t ∈ R (1.1.66)

diz-se a recta (vectorial) gerada por a. Se a = ·

a1

a2

¸

, então (1.1.66) é equivalente ao sistema de equa¸cões:

½

x1= t a1

x2= t a2 , t ∈ R

que se dizem asequa¸cões paramétricasda referida recta. Eliminando t nestas equa¸cões, obtemos a chamadaequa¸cão cartesianadessa mesma recta:

a2x1− a1x2= 0 (1.1.67)

o que exibe a recta como o conjunto dos vectores x = µ

x1

x2

¶

que s˜ao ortogonais ao vector n =

·

a2

−a1

¸

, isto ´e, tais que: x · n = 0

I1.27 Dado um ponto A ∈ R2 _{e um vector n˜ao nulo v 6= 0, o conjunto dos}

pontos P que s˜ao da forma:

P = A + t v, t ∈ R (1.1.68) diz-se arecta afim que passa em A e ´e gerada por v 6= 0.

Se P = µ x1 x2 ¶ , A = µ a1 a2 ¶ , e v = · v1 v2 ¸

, então (1.1.68) é equivalente ao sistema de equa¸cões:

½

x1= a1+ t v1

x2= a2+ t v2 , t ∈ R

que se dizem asequa¸cões paramétricasda referida recta. Eliminando t nestas equa¸cões, obtemos a chamadaequa¸cão cartesianadessa mesma recta:

(22)

o que exibe a recta como o conjunto dos pontos P = µ

x1

x2

¶

que s˜ao ortogonais ao vector n =

·

v2

−v1

¸

, e que passa em A, i.e., tais que: (P − A) · n = 0

I Exerc´ıcio1.21 ... Calcule a imagem do reticulado formado pelas rectas x = n e y = m, m, n ∈ Z, sob:

(i). a aplica¸c˜ao linear A(x, y) = (2x, x + y). (ii). a aplica¸c˜ao linear B(x, y) = (x − y, x + y).

Valores e vectores pr´oprios

I1.28 Seja A : R2_{→ R}2 _{uma aplica¸c˜ao linear. Um escalar λ ∈ R diz-se um}

valor pr´opriode A se existir um vector n˜ao nulo v ∈ R2_{− {0} tal que:}

A(v) = λ v (1.1.70)

Neste caso, o vector não nulo v, diz-se umvector próprioassociado (ou per-tencente) ao valor próprio λ.

I1.29 O conjunto constitu´ıdo pelo vector nulo 0 e por todos os vectores pr´oprios pertencentes a um certo valor próprio λ, de A, é um subespa¸co de R2_{, chamado o} _{subespa¸co pr´}_oprio _{de A, pertencente ao valor próprio λ, e}

nota-se por:

E(λ) = EA(λ) = {v : A(v) = λ v} (1.1.71)

A restri¸cão de A a EA(λ) é pois umahomotetiade razão λ (eventualmente

λ pode ser 0), i.e.:

A(u) = λ u ∀u ∈ EA(λ)

Em particular, a recta gerada pelo vector próprio v 6= 0 fica invariante por A, isto é, a sua imagem por A está contida nela própria.

I1.30 Em particular, se λ = 0 ´e valor pr´oprio de A, isto significa que o n´ucleo de A;

ker A = EA(0)

não se reduz ao vector nulo 0, e portanto A é não invers´ıvel (ou singular), ou de forma equivalente, det A = 0.

Quando λ 6= 0, dizer que λ é valor próprio de A, é equivalente a dizer que 0 é valor próprio de A − λ Id, o que, pelo parágrafo anterior, é equivalente a dizer que A − λ Id é não invers´ıvel (ou singular), ou ainda que:

(23)

O polinómio p(λ) = det (A − λ Id) diz-se o polinómio caracter´ısticode A. Portanto as ra´ızes reais da chamadaequa¸cão caracter´ısticade A:

p(λ) = det (A − λ Id) = 0 (1.1.73) (se existirem), s˜ao exactamente os valores pr´oprios (reais) de A.

Exemplo...

Calcule os valores e vectores próprios (reais) da aplica¸cão linear A : R2_{→ R}2_{, cuja} matriz na base canónica de R2 _é:

A = µ

3 4

4 −3

¶

A equa¸c˜ao caracter´ıstica de A ´e:

p(λ) = det (A − λ Id) = det µ 3 − λ 4 4 −3 − λ ¶ = λ2− 25 = 0 (1.1.74)

cujas ra´ızes reais (os valores pr´oprios de A) s˜ao λ1= 5 e λ2= −5.

Para calcular os vectores p´oprios v = µ

x1 x2

¶

, pertencentes ao valor pr´oprio λ = 5, devemos resolver o sistema:

µ 3 − 5 4 4 −3 − 5 ¶ µ x1 x2 ¶ = µ 0 0 ¶ isto é: ½ −2x1+ 4x2 = 0 4x1− 8x2 = 0 cuja solu¸cão geral é: _½

x1 = 2t

x2 = t t ∈ R

Portanto os vectores póprios de A, pertencentes ao valor próprio λ1= 5, são da forma:

t µ 2 1 ¶ t ∈ R − {0}

Procedendo da mesma forma relativamente ao outro valor próprio λ2= −5, pode-mos calcular que os vectores póprios de A, pertencentes ao valor próprio λ2= −5, são da forma: s µ 1 −2 ¶ s ∈ R − {0} Note que neste exemplo os vectores próprios u1 =

µ 2 1 ¶ e u2 = µ 1 −2 ¶ formam uma base B = {u1, u2} de R2 _{relativamente `a qual a matriz de A ´e diagonal:}

(A)B=

µ

5 0

0 −5

(24)

I Exerc´ıcio1.22 ... Em cada um dos seguintes casos, determine, se existirem, os valores próprios de A, os subespa¸cos próprios associados e as respectivas dimensões e diga se A é diagonalizável; no caso de o ser, indique uma base do dom´ınio de A composta por vectores próprios e indique a matriz de A relativamente a essa base.

a). A : R 2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (2x − y, y) b). A : R2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (−x, −y) c). A : R 2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (3x + y, 12x + 2y) d). A : R2 _−→ _R2 (x, y) 7−→ (x − y, x + y) Projec¸c˜ao ortogonal

Sejam a 6= 0 e x dois vectores em R2_{. Ent˜ao existe um ´}_{unico vector u, na}

recta gerada por a, e um ´unico vector v, ortogonal a a, tais que x = u+v. O vec-tor u, notado por Pa(x), diz-se a

pro-jeçcão ortogonal de x sobre a recta gerada por a, e é calculado da seguinte forma.

Uma vez que u = Pa(x) pertence `a recta gerada por a, u ´e da forma u = λ a

para um certo λ ∈ R, caracterizado pela condi¸c˜ao de que: (x − λ a) · a = 0

Obtemos ent˜ao que t = x · a

kak2 e portanto: Pa(x) = x · a

kak2a (1.1.75)

I1.31 A aplica¸c˜ao Pa : R2 → R2 definida por (1.1.75), ´e linear e satisfaz a

condi¸c˜ao P2 a= Pa.

´

E claro que Pa(a) = a. Vemos pois que a ´e vector pr´oprio de Pa, pertencente

ao valor pr´oprio 1. Por outro lado, se considerarmos um qualquer vector b 6= 0 ortogonal a a (i.e.: a · b = 0), vemos que Pa(b) = 0 e portanto:

ker Pa= {t b : t ∈ R}

A matriz de Pana base {a, b} ´e pois:

µ 1 0 0 0

(25)

Interpreta¸c˜ao geom´etrica de det e de det A

I1.32 A distância d de um ponto B ∈ R2_{, com vector de posi¸cão b =}−−→_{OP , à}

recta vectorial gerada por a 6= 0, ´e igual `a norma do vector b − Pa(b):

Pelo teorema de Pit´agoras, e uma vez que Pa(x) = _kakx·a2a, tem-se que:

d2= kbk2−(b · a)

2

kak2

e atendendo a (1.1.65):

d = kbk sin θ

onde θ ∈ [0, π] é o ângulo entre a e b. A área do paralelogramo P(a, b), gerado por a e b é portanto igual a:

área(P(a, b)) = kak.d = kakkbk sin θ (1.1.76) Por outro lado um cálculo simples mostra que o quadrado desta área (que é sempre ≥ 0, já que sin θ ≥ 0) é igual ao quadrado do determinante det (a b), donde se deduz que:

|det (a b)| = área(P(a, b)) (1.1.77) I1.33 Quando a e b são linearmente independentes, de tal forma que det [a b] 6= 0, dizemos que a base ordenada {a, b} é:

½

positiva se det (a b) > 0 negativa se det (a b) < 0

I1.34 Consideremos agora uma aplica¸c˜ao linear A : R2_{→ R}2_{. A imagem do}

quadrado Q, gerado pelos vectores da base can´onica (que ´e positiva) {e1, e2}:

Q = {λ e1+ η e2: 0 ≤ λ, η ≤ 1}

´e o paralelogramo A(Q), de lados adjacentes A(e1) e A(e2).

Pondo A(e1) = a e1+ b e2= · a b ¸ e A(e2) = c e1+ d e2= · c d ¸ , sabemos que a ´area deste paralelogramo ´e igual a:

´area(A(Q)) = |det (A(e1) A(e2)|

= |det µ a c b d ¶ | = |det A| (1.1.78) Portanto:

(26)

área(A(Q)) = |det A| (1.1.79) Mais geralmente, se R é o paralelogramo gerado pelos vectores linearmente independentes u e v, então a imagem A(R) é o paralelogramo gerado por A(u) e A(v), e é fácil provar que a área desta imagem é igual a:

´area(A(R)) = |det [A(u) A(v)]|

= |det A| ´area(R) (1.1.80)

isto ´e:

|det A| = ´area(A(R))

´area(R) (1.1.81)

I1.35 Diz-se que a aplica¸c˜ao linear A : R2_{→ R}2_:

½

preserva a orienta¸cão (ou é positiva) se det A > 0 inverte a orienta¸cão (ou é negativa) se det A < 0

I Exerc´ıcio1.23 ... Calcule o determinante das aplica¸c˜oes lineares descritas no exerc´ıcio 1.13, usando a f´ormula (1.1.81).

Reflex˜ao numa recta

Seja a um vector n˜ao nulo em R2_{. A}

simetria relativamente à recta gerada por a, ou reflexão nessa recta, é a aplica¸cão linear Sa: R2→ R2, definida

pela condi¸cão: 1 2 ¡ Sa(x) + x ¢ = Pa(x) ∀x ∈ R2 (1.1.82) isto é, o ponto médio do segmento que une x a Sa(x) deve ser igual à projeçcão

de x sobre a recta gerada por a. I1.36 Atendendo a (1.1.75), vemos que:

Sa(x) = 2Pa(x) − x = 2x · a

kak2a − x, ∀x ∈ R 2

(27)

Sa(x) = 2 x · a

kak2a − x, ∀x ∈ R

2 _(1.1.83)

Note que S2

a = Id. Uma vez que Pa(a) = a vemos que Sa= a, e portanto

a é vector próprio de Sa, pertencente ao valor próprio 1. Se considerarmos um

qualquer vector b 6= 0 ortogonal a a (i.e.: a · b = 0), vemos que Pa(b) = 0 e

portanto Sa(b) = −b.

A matriz de Sana base {a, b} ´e portanto:

µ

1 0

0 −1 ¶

o que mostra que det Sa= −1 < 0, i.e., Sainverte orienta¸c˜ao (embora preserve

o m´odulo da ´area de paralelogramos)

Transforma¸c˜oes ortogonais em R2

I1.37 Uma aplica¸c˜ao linear A : R2_{→ R}2_{diz-se uma transforma¸c˜}_ao

ortog-onal ou uma isometria de R2_{, se A preserva o produto interno (Euclideano)}

usual de R2_{, i.e.:}

A(x) · A(y) = x · y ∀x, y ∈ R2 (1.1.84) Esta condi¸c˜ao ´e equivalente a:

kA(x)k = kxk ∀x ∈ R2 _(1.1.85)

i.e., A preserva os comprimentos dos vectores. Se A ´e a matriz de uma tal trans-forma¸c˜ao ortogonal, relativamente a uma qualquer base ortonormada {e1, e2} de

R2 _{(por exemplo, a base canónica), A é uma matriz ortogonal, isto é, A}t_{A = I.} Portanto A ∈ O(2). Vejamos como é a forma geral de uma tal matriz.

I1.38 Se c1= A(e1), c2= A(e2) s˜ao as colunas de A, ent˜ao:

ci· cj = δij

o que significa que c1 e c2 s˜ao ortonormais. Portanto A transforma bases

ortonormadas em bases ortonormadas, preservando ou invertendo orienta¸cão, conforme det A = +1 ou det A = −1, respectivamente. Por exemplo, a simetria Sa, descrita em (1.1.83), é uma transforma¸cão ortogonal com det igual a −1.

(28)

Como c1 = A(e1) ≡ µ a b ¶ ´e um vec-tor de norma 1, sabemos que a2_+b2_{= 1}

e portanto existe um ´unico ϕ ∈ [0, 2π[ tal que a = cos ϕ e b = sin ϕ (ϕ ∈ [0, 2π[ é o ângulo polar de c1, i.e., o ângulo

ori-entado que c1 faz com a parte positiva

do eixo dos xx): Portanto c1 = · cos ϕ sin ϕ ¸

, e como c2 = A(e2) é também um vector unitário e

ortogonal a c1, dois casos podem ocorrer:

(i). c2= · − sin ϕ cos ϕ ¸ , ou (ii). c2= · sin ϕ − cos ϕ ¸

No primeiro caso, a matriz A tem a forma:

A = · cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ¸ (1.1.86) cujo determinante ´e 1. Neste caso A diz-se uma rota¸c˜ao de ˆangulo ϕ (no sentido positivo), em torno da origem, e nota-se por Rϕ:

No segundo caso, a matriz A tem a forma: A = · cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ ¸ = · cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ¸ · 1 0 0 −1 ¸ = RϕSe1 (1.1.87)

cujo determinante é −1. Neste caso A pode ser interpretada como uma re-flexão relativamente ao eixo dos xx seguida de uma rota¸cão Rϕ.

Essa reflexão fixa e1 e transforma e2 em −e2. Se então rodamos de ângulo

ϕ, temos que:

e1→ e1→ cos ϕe1+ sin ϕe2

e2→ −e2→ −(− sin ϕe1+ cos ϕe2) (1.1.88)

De facto, neste caso A representa uma simetria relativamenta `a recta que faz um ˆangulo ϕ₂ com a parte positiva do eixo dos xx.

(29)

I Exerc´ıcio1.24 ... Classifique as seguintes isometrias de R2_: a) A(x, y) = (1 2x + √ 3 2 y, √ 3 2 x − 1 2y). b) A(x, y) = (1 2x + √ 3 2 y, − √ 3 2 x + 1 2y). c) A(x, y) = (−4 5x + 3 5y, − 3 5x − 4 5y). d) A(x, y) = (x, y). e) A(x, y) = (−y, x).

I Exerc´ıcio1.25 ... Em cada um dos casos que se seguem, determine a simetria S relativamente à recta indicada, a matriz de S relativamente à base canónica de R2

e uma base B de R2 _{relativamente `a qual a matriz de S seja do tipo}

µ

1 0

0 −1

¶

.

a) r é a recta de equa¸cão y = 2x; b) r é a recta de equa¸cão 3x − y = 0; c) r é a recta de equa¸cão y = (tgπ

5)x;

I Exerc´ıcio1.26 ... Em cada um dos seguintes casos, mostre que a transforma¸cão linear A de R2 _{é uma isometria linear e descreva A geomètricamente (isto é, diga se}

A é uma simetria ou uma rota¸cão; no caso de ser uma simetria, diga relativamente a que recta, no caso de ser uma rota¸cão determine o ângulo).

a) A(x, y) = (y, x); b) A(x, y) = (y, −x); c) A(x, y) = (√2x−√2y 2 , √ 2x+√2y 2 ); d) A(x, y) = ((− cosπ 8)x + (sin π 8)y, (sin π 8)x + (cos π 8)y);

Os grupos O(2) e SO(2)

I1.39 O conjunto de todas as transforma¸c˜oes ortogonais de R2_{, constituem}

um grupo que se diz o grupo ortogonal O(2). Este grupo ´e isomorfo ao grupo das matrizes ortogonais, tamb´em notado por O(2).

O subgrupo de O(2) constitu´ıdo por todas as transforma¸cões ortogonais de R2_{, que têm determinante 1 (isto é, constitu´ıdo por todas as rota¸cões Rθ}_{, θ ∈}

[0, 2π[, em R2_{) diz-se o grupo ortogonal especial e nota-se por SO(2). Este}

grupo ´e isomorfo ao grupo das matrizes ortogonais de determinante 1, tamb´em notado por SO(2).

I Exerc´ıcio1.27 ... Demonstre estas afirma¸c˜oes, isto ´e, verifique que O(2) e

SO(2) s˜ao grupos (ambos subgrupos de GL(2)).

1.2 Aplica¸c˜

oes `

a geometria

I1.40 Exemplo ... As diagonais de um losango intersectam-se perpendicu-larmente.

(30)

Dem.: Como OQRP ´e um losango, kuk = kvk. Pretende-se provar que−−→QP ⊥ −−→

OR, isto ´e que, (u − v) · (u + v) = 0. Mas:

(u − v) · (u + v) = kuk2_{− kvk}2_{= 0}

I1.41 Exemplo [Lei dos cossenos] ... Num triˆangulo plano 4(ABC), onde

a = BC, etc. tem-se que:

c2_{= a}2_{+ b}2_{− 2ab cos C}

Dem.: Escolhamos um referencial com origem em C, e ponhamos u =−→CA e

v =−−→CB. Ent˜ao−−→AB = v − u, e da´ı que:

k−−→ABk2_{= kv − uk}2_{= kvk}2_{− 2u · v + kuk}2

ou, com as nota¸c˜oes referidas:

c2_{= a}2_{+ b}2_{− 2ab cos C}

I1.42 Exemplo ... Se R ´e um ponto sobre um c´ırculo de diˆametro P OQ, mostre que P R ⊥ QR.

(31)

Dem.: Seja u =−−→OQ, v =−−→OR. Ent˜ao −→

P R =−−→OR −−−→OP = u + v −−→

QR =−−→OR −−−→OQ = v − u

Sabe-se que kuk = kvk e portanto:

−→

P R ·−−→QR = (u + v) · (v − u) = kvk2_{− kuk}2_{= 0}

I1.43 Exemplo ... As alturas de um triângulo intersectam-se num único ponto (chamado o ortocentro do triângulo).

Dem.: Pretende-se encontrar um ponto X tal que:

−−→

AX ·−−→BC = 0, −−→BX ·−→CA = 0, −−→CX ·−−→AB = 0

Identificando um ponto P com o seu vector de posi¸c˜ao −−→OP , relativamente a

uma origem fixa O no plano, ´e f´acil verificar a identidade seguinte:

(32)

Seja X o ponto de interseçcão de duas das alturas, digamos, das alturas partindo de A e de B. Temos então que, lembrando que−−→AX = X − A, etc:

(X − A) · (C − B) = 0 (1.2.2)

(X − B) · (A − C) = 0 (1.2.3)

Subtraindo (1.2.2) e (1.2.3) de (1.2.1), obtemos: (X − C) · (B − A) = 0 como se pretendia.

I1.44 Exemplo ... Dados dois pontos distintos A 6= B no plano, mostrar que o lugar geométrico dos pontos P cuja distância a A é o dobro da distância a B é um c´ırculo.

(33)

´

Algebra Linear e Geometria

Anal´ıtica em R

3

Neste segundo módulo vamos generalizar os conceitos aprendidos no módulo 1, e também no ensino secundário, estudando Álgebra Linear e Geometria Anal´ıtica no espa¸co R3_{. Do ponto de vista coceptual a generaliza¸cão é imediata - em vez de}

vectores com duas componentes temos agora vectores com três componentes. Há no entanto maior diversidade de conceitos e os cálculos tornam-se um pouco mais trabalhosos. Mas é apenas isso! No in´ıcio tentamos usar as nota¸cões que são mais familiares, análogas às que usámos no módulo 1, mas, quando introduzimos o cálculo matricial, vamos come¸car a usar nota¸cões mais apropriadas que se revelarão muito úteis de futuro.

Geometria Euclideana em R3_{. Produto interno (euclideano). Norma} (eu-clideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Planos vectoriais e afins. Produto vectorial em R3_{. Produto misto em R}3_{. Projeçcão ortogonal.} Interpreta¸cão geométrica de det e de det A. Simetrias relativamente a uma recta e a um plano. Transforma¸cões ortogonais em R3_{. Os grupos O(3) e SO(3).}

Nota¸c˜oes

(34)

x, y, u, v, w... vectores, em vez de ~x, ~y, ~u, ~v, ...

a, b, c, ..., λ, η, µ, ξ, ... escalares, isto ´e, n´umeros reais (para j´a).

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http://www.fc.up.pt/cmup/alga

I Site de apoio em temas de Matem´atica elementar

(35)

2.1 Algebra Linear em R

´

3

Vectores

I2.1 Umvectorem R3_{´e por defini¸c˜ao um terno ordenado de n´}_{umeros reais,}

representado na forma x = (x1, x2, x3), ou dispostos segundo uma

matriz-colunade trˆes linhas:

x =   x_x1₂ x3  

Os n´umeros reais xi, i = 1, 2, 3, dizem-se ascomponentesdo vector x ∈ R3.

R3 _{como espa¸co vectorial real}

I2.2 Dados dois vectores x =   x_x1₂ x3   e y =   y_y1₂ y3  , em R3_{, define-se a}

respectivasoma vectorial, como sendo o vector x + y, dado por:

x + y =   x_x1₂ x3   +   y_y1₂ y3   =   x_x1₂+ y_{+ y}1₂ x3+ y3  

Geomètricamente x + y é novamente obtido através da regra do paralelogramo.

I2.3 Dado um vector x =   x_x1₂

x3



 em R3_{, e um} _escalar _{(i.e., um n´}_umero

real) λ ∈ R, define-se a multiplica¸c˜ao do escalar λ pelo vector x, como sendo o vector λ x dado por:

λ x =   λ x_{λ x}1₂ λ x3  

(36)

mais uma vez as propriedades seguintes: [EV1]. x + y = y + x (2.1.1) [EV2]. (x + y) + z = x + (y + z) (2.1.2) [EV3]. 0 + x = x + 0 = x ∀x ∈ R3 _(2.1.3) [EV4]. ∀x, ∃(−x) : x + (−x) = 0 (2.1.4) [EV5]. λ(x + y) = λx + λy (2.1.5) [EV6]. (λ + η)x = λx + ηx (2.1.6) [EV7]. λ(ηx) = (λη)x (2.1.7) [EV8]. 1x = x (2.1.8) onde x, y, z ∈ R3_{, λ, η ∈ R, 0 =}   0₀ 0 

 ´e o vector nulo de R3_{, e −x = (−1)x.}

Por isso, diz-se que R3 _{´e um}_{espa¸co vectorial real}_.

Subespa¸cos

I2.5 Um subconjunto n˜ao vazio ∅ 6= S ⊆ R3 _{diz-se um}_{subespa¸co vectorial}

de R3_{, se S é fechado relativamente às opera¸cões de soma de vectores e de}

multiplica¸c˜ao de escalares por vectores, i.e.:

• Se x, y ∈ S tamb´em x + y ∈ S (2.1.9)

• Se λ ∈ R, e x ∈ S tamb´em λ x ∈ S (2.1.10)

I2.6 Em R3 _{os subespa¸cos s˜ao de trˆes tipos:}

• triviais: S = {0} e S = R3

• rectas vectoriais: S = {λ v : λ ∈ R}, onde v 6= 0, que representa uma recta que passa na origem, gerada por v 6= 0.

• planos vectoriais: S = {λ u + η v : λ, η ∈ R}, onde u e v s˜ao dois

vectores n˜ao colineares em R3_{, que representa um plano que passa na}

origem, gerado por u e v.

I Exerc´ıcio2.1 ... Diga quais dos seguintes conjuntos s˜ao subespa¸cos vectoriais de R3_:

(37)

Combina¸c˜ao linear

I2.7 Dados n vectores em R3_{, digamos {a}

1, a2, · · · , ak}, um vector x ∈ R3 diz-se umacombina¸c˜ao lineardos vectores {a1, a2, · · · , ak} se existirem escalares

λ1, λ2, · · · , λn∈ R tais que:

x = λ1a1+ λ2a2+ · · · + λkak (2.1.11)

I2.8 O conjunto de todas ascombina¸c˜oes linearesdos vectores a1, a2, · · · , ak,

isto ´e, de todos os vectores da forma λ1a1+ λ2a2+ · · · + λkak, onde os

es-calares λi ∈ R s˜ao arbitr´arios, chama-se o espa¸co gerado pelos vectores a1, a2, · · · , ak e representa-se por span{a1, a2, · · · , ak}:

span{a1, a2, · · · , ak} = {λ1a1+ λ2a2+ · · · + λkak : λ1, · · · , λn∈ R}

(2.1.12)

I Exerc´ıcio2.2 ... Mostre que S = span{a1, a2, · · · , ak} ´e um subespa¸co de R3.

I Exerc´ıcio2.3 ... Em cada uma das al´ıneas que se seguem, verifique se x ∈ span {a, b, c}: a) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 1), b = (−1, 1, 0) e c = (1, 0, −1); b) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 2), b = (−1, 1, 0) e c = (1, 0, 1); c) x = (1, 1, 1), a = (0, 1, −1), b = (1, 1, 0) e c = (1, 0, 2); d) x = (0, 0, 1), a = (1, 1, 1), b = (−1, 1, 0) e c = (1, 0, −1); e) x = (1, 2, 3), a = (1, 1, 1), b = (−2, −2, 0) e c = (0, 0, −1). f) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 0) e c = (1, 0, −1).

I Exerc´ıcio2.4 ... Em cada um dos casos, calcule o subespa¸co gerado por a, b e c, onde

a) a = (1, 1, −1), b = (2, 2, −2), c = (0, 0, 0), em R3_;

b) a = ((1, 0, 1), b = (5, 0, −1), c = (0, 1, 0), em R3_;

c) a = (2, −1, 1), b = (1, 0, 1)c = (1, 0, 1), em R3_;

d) a = (2, 1, 2), b = (0, 0, 0), em R3_;

Dependˆencia e independˆencia linear

I2.9 Dois vectores x e y em R3_{, dizem-se} _{linearmente dependentes}_{, se}

um deles é múltiplo escalar do outro. Se x = 0 (ou y = 0) então x e y são linearmente dependentes. Geomètricamente x e y são linearmente dependentes, sse eles são colineares.

I2.10 Trˆes vectores x, y e z em R3_{, dizem-se}_{linearmente dependentes}_{, se}

um deles é múltiplo escalar dos restantes. Se x = 0 (ou y = 0, ou z = 0) então x, y e z são linearmente dependentes. Geomètricamente x, y e z são linearmente dependentes, sse eles são coplanares.

(38)

I2.11 Dois vectores x e y em R2_{, dizem-se} _{linearmente independentes}_,

sse não são linearmente dependentes (o que implica que x 6= 0 e y 6= 0). Geomètricamente x e y são linearmente independentes, sse eles são não col-ineares. Simbolicamente:

(x e y s˜ao lin. indep.) ⇐⇒ (λx + ηy = 0 =⇒ λ = η = 0)

I2.12 Trˆes vectores x, y e z em R3_{,, dizem-se}_{linearmente independentes}_,

sse não são linearmente dependentes (o que implica que x 6= 0, y 6= 0 e z 6= 0). Geomètricamente x, y e z são linearmente independentes, sse eles são não coplanares. Simbolicamente:

(x, y e z s˜ao lin. indep.) ⇐⇒ (λ x + η y + µ z = 0 =⇒ λ = η = µ = 0) I Exerc´ıcio2.5 ... Verifique se os vectores que se seguem s˜ao linearmente depen-dentes ou independepen-dentes:

a) (1, 0, 1), (2, −1, 1) em R3_; _{b) (1, 0, 1), (2, 2, 0) em R}3_;

c) (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, −1, 2) em R3_; _{d) (1, 1, 2), (2, 3, 0), (1, 1, −1) em R}3_;

Base can´onica

I2.13 Os vectores de R3_: e1= i =   1₀ 0   e2=  =   0₁ 0   e e3= k =   0₀ 1  

s˜ao linearmente independentes, e tˆem a propriedade de que qualquer vector x =

  xx12

x3



, se pode escrever como combina¸c˜ao linear de e1, e2 e e3. De

facto: x =   x_x1₂ x3   = x1   1₀ 0   + x2   0₁ 0   + x3   0₀ 1   = x1e1+ x2e2+ x3e3 (2.1.13)

Diz-se então que C = {e1, e2, e3} é uma base (ordenada): a base canónica

de R3_.

(39)

I2.14 Qualquer conjunto B = {u1, u2, u3} constitu´ıdo por trˆes vectores

lin-earmente independentes, e que tˆem a propriedade de que qualquer vector x ∈ R3_,

se pode escrever como combina¸c˜ao linear de u1, u2e u3:

x = a1u1+ a2u2+ a3u3 (2.1.14)

para certos escalares (´unicos) a1, a2, a3∈ R, diz-se umabasede R3. Os escalares

a1, a2, a3 dizem-se ascoordenadasdo vector x na base B escreve-se:

x =   a_a1₂ a3   B (2.1.15)

Todas as bases de R3 _{tˆem sempre trˆes elementos, e por isso, diz-se que a}

dimens˜ao(real) de R3_{´e 3.}

I Exerc´ıcio2.6 ... Verifique se os conjuntos que se seguem, são ou não bases de cada um dos espa¸cos vectoriais indicados em cada al´ınea. Calcule as coordenadas de x = (1, −1) relativamente aos que são bases:

a) {(1, 1, 1), (1, −1, 5)} em R3_;

b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1)} em R3_;

c) {(1, 2, 3), (1, 0, −1), (3, −1, 0), (2, 1, −2)} em R3_;

d) {(1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)} em R3_;

I Exerc´ıcio2.7 ... Calcule uma base de cada um dos subespa¸cos que se seguem, e depois as coordenadas do vector u em cada uma das bases:

Aplica¸c˜oes Lineares

I2.15 Uma aplica¸c˜ao A : R3 _{→ R}3 _{diz-se uma transforma¸c˜ao linear, se A}

preserva as opera¸c˜oes que definem a estrutura vectorial de R3_{, i.e.,:}

A(x + y) = A(x) + A(y) (2.1.16)

A(λ x) = λ A(x) (2.1.17)

∀x, y ∈ R3_{, e ∀λ ∈ R.}

I2.16 Dada uma aplica¸c˜ao linear A : R3_{→ R}3 _define-se:

• on´ucleo de A:

(40)

• aimagem de A:

im A = {y : A(x) = y ∈ R3_{, para algum x ∈ R}3_} _(2.1.19)

I Exerc´ıcio2.8 ... (i). Mostrar que ker A e Im A s˜ao subespa¸cos de R3_.

(ii). Mostrar que A ´e injectiva se e s´o se ker A = {0}.

I Exerc´ıcio2.9 ... Das aplica¸cões que se seguem, indique aquelas que são lin-eares. Relativamente a essas, calcule o respectivo núcleo e diga quais as que são injectivas.

a) A : R3_{−→ R}3 _{; (x, y, z) 7−→ (x + y, x − y, x + z)}

b) A : R3_{−→ R}3_{; (x, y) 7−→ (|x| , |y| , x − z}2₎

c) A : R3_{−→ R}3 _{; (x, y, z) 7−→ (x + 1, x − y, 3)}

d) A : R3_{−→ R}3_{; (x, y, z) 7−→ (0, x + y, 0)}

I Exerc´ıcio2.10 ... Sabendo que A : R3 _{−→ R}3_{´e uma aplica¸c˜ao linear, calcule}

em cada caso a imagem de um vector gen´erico:

a) sendo que A(1, 0, 0) = (1, 1, −1), A(0, 1, 0) = (1, −2, 0); e A(0, 0, 1) = (1, 1, 1) b) sendo A(1, −1, 1) = (1, 2, 0) e A(0, 3, −1) = (2, −2, 0); e A(1, 0, 0) = (1, 1, 1)

Matriz de uma aplica¸c˜ao linear

I2.17 Vamos nesta seçcão introduzir pela primeira vez as nota¸cões que serão usadas na parte mais avan¸cada do curso. À primeira vista, estas nota¸cões pare-cem muito complicadas mas, após algum treino, veremos que elas facilitam substancialmente os cálculos e as dedu¸cões teóricas que vamos estudar. E não fossem elas usadas intensivamente por Einstein ... As principais diferen¸cas são:

• para as coordenadas dos vectores usamos ´ındices superiores x1_{, x}2_{, x}3_{, ...}

em vez de ´ındices inferiores x1, x2, x3, .... O risco aqui ´e a poss´ıvel confus˜ao

entre ´ındices superiores x1_{, x}2_{, x}3_{, ... e expoentes. Neste contexto, por}

ex-emplo, x2_{n˜ao representa “x ao quadrado”mas sim a segunda componente}

do vector x. N˜ao fa¸ca pois essa confus˜ao e esteja atento ao contexto.

• o uso de ´ındices superiores e inferiores A1

1, A32, A33, ... para as entradas de

uma matriz, de tal forma que na matriz A = (Ai

j), o ´ındice superior i ´e o ´ındice-linha- o que numera as linhas - enquanto que o ´ındice inferior j

´e o´ındice-coluna- o que numera as colunas:

A

i→ ´ındice linha: numera as linhas de A

(41)

I2.18 Se B = {u1, u2u3} ´e uma base fixa de R3, podemos escrever que: A(u1) = A11u1+ A12u2+ A31u3 (2.1.20) A(u2) = A12u1+ A22u2+ A32u3 (2.1.21) A(u3) = A13u1+ A32u2+ A33u3 (2.1.22) A matriz: A =   A 1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A32 A33   _(2.1.23)

diz-se a matriz de A na base B, e nota-se por:

A = (A)B

I2.19 Se as coordenadas de um vector x ∈ R2_{, na base B, s˜ao x =}

  x 1 x2 x3   B , i.e., se: x = x1_u 1+ x2u2+ x3u3

ent˜ao as coordenadas de A(x) na base B obtˆem-se da seguinte forma: A(x) = A(x1_u 1+ x2u2+ x3u3) = x1_A(u 1) + x2A(u2) + x3A(u3) = x1(A11u1+ A21u2+ A31u3) + x2(A12u1+ A22u2+ A32u3) +x3_(A1 3u1+ A23u2+ A33u3) = (A11x1+ A12x2+ A13x3) u1+ (A21x1+ A22x2+ A23x3) u2 +(A3 1x1+ A32x2+ A33x3) u3 (2.1.24)

o que significa que as coordenadas de A(x) na base B:

(A(x))B=   y 1 y2 y3   B se obtˆem matricialmente atrav´es de:

  y 1 y2 y3   B =   A 1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A32 A33     x 1 x2 x3   B (2.1.25) ou mais sucintamente: (A(x))B= (A)B(x)B (2.1.26)

(42)

ou ainda, em“nota¸c˜ao tensorial”, pondo (A)B= (Ai

j) e yi= (Ax)i:

yi₌P3

i=1 Aijxj= Aijxj (2.1.27)

onde, na segunda igualdade adoptamos a chamada“conven¸cão de Einstein” que consiste em omitir o sinal de somatório, ficando subentendido que o facto de surgir o ´ındice j repetido, uma vez em cima e outra em baixo, implica que se fa¸ca esse somatório no ´ındice j.

Determinantes

I2.20 Dada uma matriz A =   A 1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A32 A33 

, definimos o seu determi-nante det A, como sendo o n´umero real:

det A = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A32 A33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = A11 ¯ ¯ ¯ ¯ A 2 2 A23 A3 2 A33 ¯ ¯ ¯ ¯ − A12 ¯ ¯ ¯ ¯ A 2 1 A23 A3 1 A33 ¯ ¯ ¯ ¯ + A13det ¯ ¯ ¯ ¯ A 2 1 A22 A3 1 A32 ¯ ¯ ¯ ¯ (2.1.28)

Veremos en breve uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para det A. I2.21 Representemos por: c1=   A 1 1 A2 1 A3 1   , c2=   A 1 2 A2 2 A3 2   e c3=   A 1 3 A2 3 A3 3  

as colunas da matriz A, de tal forma que:

det A = det (c1 c2 c3) (2.1.29)

´

E poss´ıvel mostrar as seguintes propriedades do det :

(i). det (c1 c2 c3) 6= 0 sse c1, c2, c3s˜ao linearmente independentes.

(ii). det [c1 c2 c3] muda de sinal, sempre que se permuta um par de colunas.

(iii).

det (c1+ c01 c2 c3) = det (c1 c2 c3) + det (c01 c2 c3) (2.1.30)

det (c1 c2+ c02 c3) = det (c1 c2 c3) + det (c1 c02 c3) (2.1.31)

det (c1 c2 c3+ c03) = det (c1 c2 c3) + det (c1 c2 c03) (2.1.32)

det (λ c1 c2 c3) = λ det (c1 c2 c3)

= det (c1 λ c2 c3)

(43)

e ainda que: (iv).

det I = 1 (2.1.34)

det (AB) = det A det B (2.1.35)

det (A−1) = (det A)−1 ∀A ∈ GL(3) (2.1.36)

det (P−1_{A P ) = det A} _{∀P ∈ GL(3)} _(2.1.37)

det (A) = det (At) (2.1.38)

onde At_{´e a transposta de A.}

(v). Al´em disso ´e poss´ıvel provar que para uma matriz A:

A ´e invers´ıvel se e s´o se det A 6= 0

.

I2.22 Finalmente, se A : R3 _{→ R}3 _{´e uma aplica¸c˜ao linear, define-se o}

re-spectivo determinante det A, como sendo o determinante da matriz de A, relativamente a uma qualquer base de R3_{. Veremos, num pr´oximo cap´ıtulo, que}

esta defini¸c˜ao n˜ao depende da base escolhida.

Veremos en breve uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para det A.

I Exerc´ıcio2.11 ... Calcule o determinante das aplica¸c˜oes lineares descritas no exerc´ıcio ??.

Produto interno (euclideano)

I2.23 Dados dois vectores x =   x_x1₂ x3   e y =   y_y1₂ y3  , em R3_{, define-se o}

respectivo produto interno (euclideano), como sendo o escalar x · y ∈ R, dado por: x · y = x1y1+ x2y2+ x3y3 = (x1 x2 x3)   y_y1₂ y3   = xty (2.1.39)

I2.24 O produto interno (euclideano), que acab´amos de definir, verifica as propriedades seguintes:

(44)

•é bilinear: (x + y) · z = x · z + y · z x · (y + z) = x · y + x · z λx · y = x · λy = λ(x · y) (2.1.40) •é simétrica: x · y = y · x (2.1.41) •é não degenerada: x · y = 0 ∀y ∈ R2 _{⇒ x = 0} _(2.1.42) •é definida positiva: x · x ≥ 0 e x · x = 0 ⇐⇒ x = 0 (2.1.43) ∀x, y, z ∈ R3_{, ∀λ ∈ R.}

I Exerc´ıcio2.12 ... Verifique que o produto interno (2.1.39) satisfaz as pro-priedades acima referidas.

Norma (euclideana)

I2.25 Define-se a norma euclideana kxk, de um vector x =   x_x1₂ x3   ∈ R3_, atrav´es da f´ormula: kxk ≡ √x · x = √xt_x = p(x1)2+ (x2)2+ (x3)2 (2.1.44)

I2.26 A norma euclideana verifica as propriedades seguintes:

•´e positiva e n˜ao degenerada:

kxk ≥ 0 e kxk = 0 sse x = 0 (2.1.45)

•´e homog´enea (positiva):

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Dep. Matem´

atica

FCUP

´

ALGEBRA LINEAR e

GEOMETRIA ANAL´ITICA

Resumo das aulas te´

oricas e pr´

aticas

1.

ano da licenciatura em Matem´

atica, F´ısica

Astronomia

Ano lectivo de 2010/2011

Jo˜

ao Nuno Tavares

GEOMETRIA ANAL´ITICA

Referˆ

encias bibliogr´

aficas

Um curso r´

apido de ALGA

apenas em R

2

Contents

1.1

Algebra Linear em R

´

1.2

Aplica¸c˜

oes `

a geometria

´

Algebra Linear e Geometria

Anal´ıtica em R

3

Contents

2.1

Algebra Linear em R

´

A

_{ano da licenciatura em Matem´}

_{atica, F´ısica}