Capítulo 11
Sequências e Séries
Infinitas
Os testes de convergência que estudamos até aqui se aplicam apenas a séries com termos positivos.
11.5
Séries Alternadas
Nesta seção, vamos aprender:
SÉRIES ALTERNADAS
Uma série alternada é aquela cujos termos
são alternadamente positivos e negativos. Aqui estão dois exemplos:
1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ... 2 3 4 5 6 n n n − ∞ = − − + − + − + =
∑
Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma
an = (–1)n – 1bn ou an = (–1)nbn
onde bn é um número positivo.
De fato, b = |a |
O teste a seguir diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, então a série converge.
Se a série alternada satisfazer: bn+1 ≤ bn para todo n 1 1 2 3 4 5 6 1
( 1)
...
0
n n n nb
b
b
b
b
b
b
b
∞ − =−
= − + − + − +
>
∑
lim
b
=
0
SÉRIES ALTERNADASAntes de demonstrar, vamos olhar a figura, que esboça a ideia por trás da demonstração.
Primeiro marcamos s1 = b1 sobre a reta real.
Para encontrar s2 subtraímos b2, assim s2
está à esquerda de s1.
Então, para encontrar s3, adicionamos b3 e
assim s3 está à direita de s2.
Mas, como b3 < b2, s3 está à esquerda de s1.
Continuando dessa maneira, vemos que as
somas parciais oscilam de um lado para outro.
Como bn → 0, continuando dessa maneira, vemos que as somas parciais oscilam de um lado para outro.
As somas parciais pares s2, s4, s6, . . . são crescentes.
As somas parciais ímpares s1, s3, s5, . . .
são decrescentes.
Então, parece plausível que ambas estejam convergindo para algum número s, que é a
soma da série.
Portanto, consideramos as somas parciais pares e ímpares separadamente na demonstração a seguir.
O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO
Primeiro consideramos as somas parciais pares:
s2 = b1 – b2 ≥ 0 já que b2 ≤ b1 s4 = s2 + (b3 – b4) ≥ s2 já que b4 ≤ b3
Em geral
s2n = s2n – 2 + (b2n – 1 – b2n ) ≥ s2n – 2
já que b2n ≤ b2n – 1
Então, 0 ≤ s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ … ≤ s2n ≤ …
Mas podemos escrever também:
s2n = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – …
– (b2n – 2 – b2n – 1) – b2n
Cada termo entre parênteses é positivo, assim,
Dessa forma, a sequência
{s
2n}
de somas parciais pares é crescente e limitadasuperiormente.
É, portanto, convergente pelo Teorema da Sequência Monótona.
Vamos chamar esse limite s, isto é,
Agora, calculamos o limite das somas parciais ímpares:
2
lim n
n→∞ s = s
Como ambas as somas parciais pares e ímpares convergem para s, temos
Assim, a série é convergente.
lim
nn→∞
s
=
s
A série harmônica alternada satisfaz: bn+1 < bn porque EXEMPLO 1 1 1
1 1 1
( 1)
1
...
2 3 4
n nn
− ∞ =−
− + − + =
∑
1 1 1 n + < n 1 lim b = lim = 0 SÉRIES ALTERNADASEssa figura ilustra o Exemplo 1, mostrando os gráficos dos termos an = (–1)n – 1/n e as
somas parciais sn .
Observe como os valores de sn
ziguezagueiam em torno do valor-limite, que parece ser cerca de 0,7.
De fato, a soma exata da série é ln 2 ≈ 0,693 (veja o Exercício 36).
A série é alternada. Mas,
Assim a condição (ii) não é satisfeita.
1 ( 1) 3 4 1 n n n n ∞ = − −
∑
3
3
3
lim
lim
lim
1
4
1
4
4
n n n nn
b
n
n
→∞=
→∞−
=
→∞=
−
EXEMPLO 1 SÉRIES ALTERNADASEm vez disto, olhamos para o limite do n-ésimo termo da série:
O limite não existe, de modo que a série
( 1) 3
lim
lim
4
1
n n n nn
a
n
→∞ →∞−
=
−
Teste
a série
quanto a convergência ou divergência.
A série dada é alternada; assim, tentamos verificar as condições (i) e (ii) do Teste da Série Alternada.
2 1 3 1
( 1)
1
n nn
n
∞ + =−
+
∑
Ao contrário da situação no Exemplo 1, não é óbvio que a sequência dada por
bn = n2/(n3 + 1) seja decrescente.
Contudo, se considerarmos a função
associada f(x) = x2/(x3 + 1), descobriremos
Como estamos apenas considerando x
positivo, vemos que f’(x) < 0 se 2 – x3 < 0,
isto é, x > .
Então, f é decrescente no intervalo ( , ∞). 3 2
3 2
Isso significa que f(n + 1) < f(n) e, portanto, bn+1 < bn quando n ≥ 2.
A desigualdade b2 < b1 pode ser verificada
diretamente, mas o que realmente importa é que a sequência {bn} é decrescente.
A condição (ii) é prontamente verificada:
Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.
2 3
3
1
lim
lim
lim
0
1
1
1
n n n nn
n
b
n
n
→∞=
→∞+
=
→∞=
+
ESTIMANDO SOMAS
Uma soma parcial sn de qualquer série
convergente pode ser usada como uma
aproximação para a soma total s, porém isso não é de muita utilidade, a menos que
possamos estimar a precisão da aproximação.
O próximo teorema diz que, para séries que satisfazem as condições do Teste da Série Alternada, o tamanho do erro é menor que
bn+1, que é o valor absoluto do primeiro termo
negligenciado.
TEOREMA DA ESTIMATIVA DE SÉRIES ALTERNADAS
Se s = Σ (–1)n-1b
n for a soma de uma série alternada que satisfaz 0 ≤ bn+1 ≤ bn
Sabemos pela demonstração do Teste da
Série Alternada que s está entre duas somas
parciais consecutivas quaisquer sn e sn+1.
Segue que:
|s – sn | ≤ |sn+1 – sn | = bn+1
Você pode ver geometricamente por que este
Teorema é verdadeiro olhando a figura (na
página 674).
Observe que s – s4 < b5, |s – s5| < b6, e assim por diante. Observe também que s está entre duas somas parciais consecutivas quaisquer.
ESTIMANDO SOMAS
Encontre a soma da série
com precisão de três casas decimais.
Por definição, 0! = 1. EXEMPLO 4 0
( 1)
!
n nn
∞ =−
∑
Primeiro observamos que a série é
convergente pelo Teste da Série Alternada, porque: i. ii. 1 1 1 (n +1)! = n n!( +1) < n! 1 ESTIMANDO SOMAS 1 1 < < → EXEMPLO 4
Para termos uma ideia de quantos termos precisamos usar em nossa aproximação,
vamos escrever os primeiros termos da série:
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
1 1
...
s
=
− +
− +
− +
−
+
= − + − + −
+
−
+
Observe que 1 1 7 5040 5000
0.0002
b
=
<
=
1 1 1 1 1 1 2 6 24 120 720 50401
1
1
1
1
1
1
1
...
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
1 1
...
s
=
− +
− +
− +
−
+
= − + − + −
+
−
+
Pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que:
| s – s6 | ≤ b7 < 0,0002
Esse erro menor que 0,0002 não afeta a terceira casa decimal.
OBSERVAÇÃO
A regra de que o erro (ao usar sn para
aproximar s) é menor que o primeiro termo
negligenciado é, em geral, válida apenas para séries alternadas que satisfazem as condições do Teorema da Estimativa da Série Alternada.
