calculo aula3.3[1]

Capítulo 3

3.4

Regra da Cadeia

Nesta seção, nós aprenderemos sobre:

Derivadas de Funções Compostas utilizando a

Suponha que você precise derivar a

função

As fórmulas de derivação que você

aprendeu nas seções precedentes deste

capítulo não lhe permitem calcular F’(x).

REGRA DA CADEIA

2

( )

1

Observe que F é uma função composta.

De fato, se tomarmos e

u = g(x) = x2 _{+ 1, então poderemos escrever}

y = F(x) = f (g(x)), isto é, F = f o g.

Sabemos como derivar ambas, ƒ e g.

REGRA DA CADEIA

( )

Então seria útil ter uma regra que nos

dissesse como achar a derivada de F = f o g

em termos das derivadas de ƒ e g.

Resulta que a derivada da função composta

f o g é o produto das derivadas de f e g.

Esse fato é uma das mais importantes regras

de derivação, chamada Regra da Cadeia.

Ela parece plausível se interpretarmos as derivadas como taxas de variação.

Considere:

ƒ du/dx como a taxa de variação de u em relação a x,

ƒ dy/du como a taxa de variação de y em relação a u,

ƒ dy/dx como a taxa de variação de y em relação a x.

Se u variar duas vezes mais rápido que x e

y três vezes mais rápido que u, então

parece razoável que y varia seis vezes mais rápido que x, e assim esperamos que

REGRA DA CADEIA

dy

dy du

dx

=

du dx

Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F = f o g, definida por

F(x) = f (g(x)) será derivável em x e F’ será dada pelo produto

F(x) = f’ (g(x)) . g’(x)

Na notação de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x) forem

funções deriváveis, então

A REGRA DA CADEIA

dy

dy du

dx

=

du dx

Seja Δu a variação de u correspondente à

variação de Δx em x, isto é:

Δu = g(x + Δx) - g(x)

Então, a variação correspondente em y é

Δy = f (u + Δu) - f (u)

É tentador escrever

COMENTÁRIOS SOBRE A DEMONSTRAÇÃO Equação 1

0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x dy y dx x y u u x y u u x y u dy du Δ → Δ → Δ → Δ → Δ = Δ Δ Δ = ⋅ Δ Δ Δ Δ = ⋅ Δ Δ Δ Δ = ⋅ =

A única falha nesse raciocínio é que em (1) pode acontecer que Δu = 0 (mesmo quando x ≠ 0) e, obviamente, não podemos dividir por 0.

Não obstante, esse raciocínio pelo menos sugere que a Regra da Cadeia seja verdadeira.

Uma demonstração completa da Regra da Cadeia será dada no fim desta seção.

A Regra da Cadeia pode ser escrita na notação linha

(f o g)’(x) = f’ (g(x))

.

ou, se y = f (u) e u = g(x), na notação de

Leibniz:

COMENTÁRIOS SOBRE A DEMONSTRAÇÃO Eq. 2 e 3

dy

dy du

A Equação 3 é fácil de ser lembrada, pois se

dy/du e du/dx fossem quocientes, então poderíamos cancelar du.

Lembre-se, entretanto, de que du não está

definida, e du/dx não deve ser interpretado como um quociente de fato.

Encontre F’(x) se

ƒ Solução 1: (usando a Equação 2): No início desta

seção expressamos F como F(x) = ( f o g)(x) = f (g(x)),

onde e g(x) = x2 _{+ 1.}

2

( )

1

F x

=

x

+

REGRA DA CADEIA EXEMPLO 1

( )

ƒ Uma vez que

e

temos

REGRA DA CADEIA EXEMPLO 1

1 / 2 1 2

1

'( )

2

f u

u

u

=

=

ƒ Solução 2: (usando a Equação 3): Se tomarmos

u = x2 _{+ 1 e então}

REGRA DA CADEIA EXEMPLO 1

,

Quando usarmos a Fórmula 3, deveremos ter em mente que:

ƒ dy/dx refere-se à derivada de y quando y é

considerada uma função de x (chamada derivada de

y em relação a x);

ƒ dy/du se refere à derivada de y quando y é

considerada uma função de u (a derivada de y em relação a u).

Assim, no Exemplo 1, y pode ser considerada uma função de

e também uma função de .

Observe que enquanto '( ) 1 2 dy f u du = = _u REGRA DA CADEIA 2 ( y = x +1) (y = u) 2 '( ) 1 dy x F x dx = = _x +

Ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro.

ƒ A Fórmula 2 diz que derivamos a função de fora f

[na função de dentro g(x)] e então multiplicamos pela

derivada da função de dentro.

Derive:

a. y =

sen

(x

₎

b. y = sen

_x.

ƒ Se y sen(x2_{), então a função de fora é a função}

seno, e a função de dentro é a função quadrática; logo, a Regra da Cadeia dá

ƒ Observe que sen2 _{x (sen x)}2_{. Aqui, a função de fora}

é a função quadrado, e a função de dentro é a função seno. Então

ƒ A resposta pode ser deixada como 2 sen x cos x ou

escrita como sen 2x (pela identidade trigonométrica

No Exemplo 2(a) combinamos a Regra

da Cadeia com a regra para derivar a

função seno.

Em geral, se y = sen u, onde u é uma função derivável de x, então, pela Regra da Cadeia,

Assim,

De modo análogo, todas as fórmulas para derivar funções trigonométricas podem ser combinadas com a Regra da Cadeia.

Vamos explicitar o caso especial da Regra

da Cadeia, onde a função de fora ƒ é uma

função potência.

Se y = [g(x)]n_{, então podemos escrever}

y = f (u) = un_{, onde u = g(x).}

Usando a Regra da Cadeia e em seguida a Regra da Potência, obteremos

Se n for qualquer número real e u = g(x)

for derivável, então Alternativamente,

ƒ Observe que a derivada no Exemplo 1 poderia ser

calculada tomando n = ½ na Regra 4.

REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA Regra 4 COM A REGRA DA CADEIA

1 ( n) n d du u nu dx dx − = 1 [ ( )]n [ ( )]n . '( ) d g x n g x g x dx − =

Derive y = (x3 _{- 1)}100_.

ƒ Tomando u = g(x) = x3 _{- 1 e n = 100 em (4), temos:}

REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA EXEMPLO 3 COM A REGRA DA CADEIA

3 100 3 99 3 3 99 2 ( 1) 100( 1) ( 1) 100( 1) 3 dy d x dx dx d x x dx x x = − = − − = − ⋅

Encontre f’ (x) se

ƒ Primeiro reescreva f : f (x) = (x2 _{+ x + 1)}-1/3

ƒ Assim,

REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA EXEMPLO 4 COM A REGRA DA CADEIA

3 2 1 _. ( ) 1 f x x x = + + 2 4 / 3 2 2 4 / 3 1 '( ) ( 1) ( 1) 3 1 ( 1) (2 1) 3 d f x x x x x dx x x x − − = − + + + + = − + + +

Encontre a derivada da função

ƒ Combinando a Regra da Potência, da Cadeia e do

Quociente, obtemos

REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA EXEMPLO 5 COM A REGRA DA CADEIA

9 2 ( ) 2 1 t g t t − ⎛ ⎞ = ⎜_{⎝ +} ⎟_⎠ 8 8 ₈ 2 2 '( ) 9 2 1 2 1 2 (2 1) 1 2( 2) 45( 2) t d t g t t dt t t t t t − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜_{⎝ +} ⎟_⎠ ⎜_{⎝ +} ⎟_⎠ − + ⋅ − − − ⎛ ⎞ = =

Derive y = (2x + 1)5_(x3 _{- x + 1)}4_.

ƒ Neste exemplo devemos usar a Regra do Produto

antes de usar a Regra da Cadeia:

REGRA DA CADEIA EXEMPLO 6

5 3 4 3 4 5 5 3 3 3 3 4 4 5 3 3 2 (2 1) ( 1) ( 1) (2 1) (2 1) 4( 1) ( 1) ( 1) 5(2 1) (2 1) 4(2 1) ( 1) (3 1) dy d d x x x x x x dx dx dx d x x x x x dx d x x x x dx x x x x = + − + + − + + = + ⋅ − + − + + − + ⋅ + + = + − + − 3 4 4 5(x x 1) (2x 1) 2 + − + + ⋅

ƒ Observando que cada termo tem o fator comum

2(2x + 1)4_(x3 _{- x + 1)}3_{, podemos fatorá-lo e escrever}

a resposta como

REGRA DA CADEIA EXEMPLO 6

4 3 3 3 2

2(2 1) ( 1) (17 6 9 3)

dy

x x x x x x

Derive y = esen x_.

ƒ Aqui a função de dentro é g(x) = sen x, e a função de

fora é a função exponencial f (x) = ex_.

ƒ Logo, pela Regra da Cadeia,

ƒ Podemos usar a Regra da Cadeia para derivar uma função exponencial com qualquer base a > 0.

ƒ Lembre-se, da Seção 1.6, de que a = eln a_.

ƒ Logo ax _{= (e}ln a₎x _{= e}(ln a)x _{e a Regra da Cadeia dá}

porque ln a é uma constante.

Portanto, temos a fórmula

Em particular, se a = 2, obtemos

Na Seção 3.1 demos a estimativa

Ela é consistente com a fórmula exata (6),

pois ln 2 ≈ 0,693147.

A razão para o nome “Regra da Cadeia”

fica evidente se fizermos uma cadeia maior adicionando mais um elo.

Suponha que y = f (u), u = g(x) e x = h(t),

onde f, g e h são funções deriváveis.

Então, para calcular a derivada de y em

relação a t, usamos duas vezes a Regra da Cadeia

Se f (x) = sen(cos(tg x)), então

Observe que usamos duas vezes a Regra da Cadeia.

Derive y = esec 3θ_.

ƒ A função de fora é uma exponencial, a do meio

é uma função secante, e a função de dentro é a multiplicação por três. Assim, temos

Lembre-se de que se y = f (x) e x variar de a

a a + Δx, definimos o incremento de y como

Δy = f (a + Δx) - f (a)

De acordo com a definição de derivada, temos

COMO DEMONSTRAR A REGRA DA CADEIA

0

lim

'( )

y

f a

x

Δ

₌

Δ

Dessa forma, se denotarmos por ε a

diferença entre o quociente de diferenças e a derivada, obteremos 0 0

lim

lim

'( )

'( )

'( )

0

y

f a

x

f a

f a

ε

Δ

⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟

Δ

⎝

⎠

=

−

=

Mas

ƒ Se definirmos ε como 0 quando Δx = 0, então

ε se torna uma função contínua de Δx.

COMO DEMONSTRAR A REGRA DA CADEIA

'( )

'( )

y

f a

y

f a

x

x

x

ε

=

Δ

−

⇒ Δ =

Δ + Δ

ε

Δ

Assim, para uma função diferenciável ƒ, podemos escrever

e ε é uma função contínua de Δx.

Essa propriedade de funções diferenciáveis

é que nos possibilita demonstrar a Regra da

Suponha que u = g(x) é diferenciável em a e

y = f (u) é diferenciável em b = g(a).

Se Δx for um incremento em x e Δu e Δy

forem os incrementos correspondentes em

u e y, então poderemos usar a Equação 7

para escrever

Da mesma forma

onde ε₂ → quando Δu → 0.

Se substituirmos agora a expressão para Δu da Equação 8 na Equação 9, obteremos

logo

DEMONSTRAÇÃO DA REGRA DA CADEIA

2 1

[ '( )

][ '( )

]

y

f b

ε

g a

ε

x

Δ =

+

+

Δ

[ '( )

][ '( )

]

y

f b

g a

x

ε

ε

Δ

₌

₊

₊

Δ

Quando Δx → 0, a Equação 8 mostra que

Δu → 0. Assim, ε₁ → 0 e ε₂ → 0 quando

Δx → 0. Portanto,