Controle adaptativo por posicionamento de polos e estrutura variável para supressão do caos no sistema de Lorenz

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE T ECNOLOGIA P ROGRAMA DE P ÓS -G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA E LÉTRICA E DE C OMPUTAÇÃO. Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variável para Supressão do Caos no Sistema de Lorenz. Isaac Dantas Isidório. Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.. Número de ordem PPgEEC: M521 Natal, RN, janeiro de 2018.

(2) Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Isidório, Isaac Dantas. Controle adaptativo por posicionamento de polos e estrutura variável para supressão do caos no sistema de Lorenz / Isaac Dantas Isidório. - 2018. 77 f.: il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2018. Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo. 1. Motor de indução - Dissertação. 2. Controle adaptativo - Dissertação. 3. Posicionamento de polos - Dissertação. 4. Sistemas com estrutura variável Dissertação. 5. Sistema de Lorenz - Dissertação. I. Araújo, Aldayr Dantas de. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 621.313.333.

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(5) Os espíritos crescem e a virtude floresce, à medida que é ferida. Fúrio de Âncio.

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(7) Agradecimentos. Ao meu Deus, onde encontro refúgio e tranquilidade. Ao meu orientador Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo pela honrosa orientação acadêmica. A minha família pelo apoio e incentivo durante esta jornada. Aos colegas Pedro Gushiken e Winnie Torres, por compartilharem comigo seus conhecimentos. A todos os professores do DCA e DEE que me transmitiram seus conhecimentos durante este período, em especial aos membros do LACI. Finalmente, a todos que, contribuíram, direta ou indiretamente, com este trabalho..

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(9) Resumo. Dois métodos principais se destacam no projeto de controladores adaptativos: o controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) e o controle adaptativo por posicionamento de polos (APPC). No MRAC, um modelo de referência é escolhido para gerar uma trajetória, a qual deve ser seguida pela saída da planta a ser controlada. Este tipo de projeto pode envolver o cancelamento dos zeros da planta, não sendo aplicável a plantas de fase não-mínima. O APPC, por sua vez, é considerado o tipo mais geral de controle adaptativo, apresentando uma metodologia de projeto para o controlador e lei de adaptação bastante flexíveis, além de não envolver o cancelamento de zeros e polos da planta. A combinação da estrutura do APPC e as leis chaveadas do VSC permite agregar rapidez no transitório e robustez a distúrbios e variações paramétricas. Nesse contexto, baseado em uma classe de esquemas de controle por posicionamento de polos (PPC), surge o controle adaptativo por posicionamento de polos e estrutura variável (VS-APPC). Aqui, assim como no APPC, a lei de controle é gerada como no caso com parâmetros (coeficientes da função de transferência) conhecidos, substituindo estes por suas estimativas. O processo de estimação identifica o método adaptativo utilizado, de modo que o APPC utiliza leis integrais ao passo que o VS-APPC faz uso de leis chaveadas. Neste trabalho é proposta a aplicação do VS-APPC para o controle do sistema de Lorenz, utilizando apenas as medições das variáveis de saída e entrada da planta no projeto. Os parâmetros do sistema são considerados desconhecidos e é considerada a presença de distúrbio na entrada do sistema. É observado que no sistema em malha fechada a variável de saída segue a trajetória de referência e o vetor de estado converge para o estado de equilíbrio, apresentando um bom comportamento transitório e robustez a incertezas paramétricas, como também, na presença de distúrbios na entrada da planta. Palavras-chave: Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos, Sistemas com Estrutura Variável, Sistema de Lorenz..

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(11) Abstract. Two main methods highlight for the design of adaptive controllers: the model reference adaptive control (MRAC) and the adaptive pole placement control (APPC). In MRAC, a reference model is chosen to generate a trajectory, which must be followed by the output of the plant to be controlled. This type of project may involve cancellation of the plant zeros, not applicable to non-minimum phase plants. APPC, in turn, is considered the most general type of adaptive control, presenting a design methodology for the controller and adaptation law quite flexible, besides not involving plant zero-pole cancellations. The combination of the APPC structure and the VSC switched laws allows aggregation of transient speed and robustness to disturbances and parametric variations. In this context, based on a class of pole placement control schemes (PPC), the variable structure adaptive pole placement control (VS-APPC) arises. Here, such as in APPC, the control law is generated as in the case with known parameters (transfer function coefficients), replacing them by their estimates. The estimation process identifies the adaptive method used, so that APPC uses integral laws while the VS-APPC makes use of switching laws. In this work is proposed the application of VS-APPC for the control of the Lorenz system, using only the measured plant output and input variables in design. The parameters of system are considered unknown and is considered the disturbance presence in system input. It is observed that in closed-loop system, the output tracks the reference trajectory and the state vector converges to the equilibrium state, presenting good transient behavior and robustness to the parametrics uncertainties as also in presence of disturbance in plant input. Keywords: Adaptive Pole Placement Control, Variable Structure Systems, Lorenz System..

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(13) Sumário. Sumário. i. Lista de Figuras. iii. Lista de Tabelas. v. Lista de Símbolos e Abreviaturas. vii. 1. . . . . . . . . . . . .. 1 1 1 2 2 3 4 5 7 8 9 10 10. . . . . . . . . . .. 11 11 13 14 16 16 17 20 20 20 21. 2. Introdução 1.1 Sistemas Lineares e Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas Caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Controle Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Controle Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Controle Adaptativo Direto e Indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Controle Adaptativo por Modelo de Referência . . . . . . . . . . . . 1.9 Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos . . . . . . . . . . . 1.10 Sistemas com Estrutura Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variável 1.12 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VS-APPC 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Descrição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Método Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exemplificação - Planta de Primeira Ordem 2.4 Introdução ao Processo de Adaptação . . . . . . . 2.5 Método Entrada/Saída . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Prova de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Lei Integral de Adaptação . . . . . . . . . 2.6.2 Lei de Adaptação Chaveada . . . . . . . . 2.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..

(14) 3. 4. 5. Sistemas Não Lineares 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Fenômenos Não Lineares . . . . . . . . 3.5 Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Pontos de Equilíbrio . . . . . . 3.5.2 Comportamento do Sistema . . 3.6 Implementação do Controle . . . . . . . 3.7 Dinâmica de Erro Nulo . . . . . . . . . 3.8 Cálculo dos Parâmetros do Controlador 3.9 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. Resultados e Simulações 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Simulação do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Sistema Estável no Intervalo 0 < ρ < 1 . . . . . . 4.2.2 Sistema Estável no Intervalo ρ > 1 . . . . . . . . . 4.2.3 Sistema em Estado Caótico . . . . . . . . . . . . . 4.3 Projeto e Simulação dos Controladores . . . . . . . . . . . 4.3.1 Projeto e Simulação para o Controlador PPC . . . 4.3.2 Projeto e Simulação para o Controlador APPC . . 4.3.3 Projeto e Simulação para o Controlador VS-APPC 4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 23 23 23 24 26 27 27 28 30 31 33 34. . . . . . . . . . .. 37 37 37 38 39 40 41 42 47 55 62. Conclusões e Perspectivas. 63. Referências Bibliográficas. 64. A Conceitos sobre sistemas A.1 Representação de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Polinômios Coprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 69 70 71. B Conceitos sobre Estabilidade B.1 Definição de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Método Direto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Funções Definidas Positivas e Negativas . . . . . . B.2.2 Translação da Origem do Sistema de Coordenadas B.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov). 73 73 74 74 74 74. C Princípio do Modelo Interno. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 77.

(15) Lista de Figuras. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7. Sistema de controle simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de um controlador adaptativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de blocos de um controlador adaptativo na abordagem direta. . Diagrama de blocos de um controlador adaptativo na abordagem indireta. Controle por modelo de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MRAC direto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MRAC indireto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 5 6 6 7 8 8. 2.1 2.2 2.3. Superfície de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de blocos do PPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de blocos de uma realização alternativa do PPC. . . . . . . . .. 12 14 15. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25. Trajetória das variáveis de estado ao longo do tempo (0 < ρ < 1). . . . Trajetória das variáveis de estado (0 < ρ < 1). . . . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado ao longo do tempo. . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado (ρ > 1 que obedece a restrição). . . Trajetória das variáveis de estado ao longo do tempo. . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado (ρ > 1 que não obedece a restrição). Trajetória das variáveis de estado sob controle. . . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado sob controle. . . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Termo g(x,t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado sob controle. . . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parâmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado sob controle. . . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parâmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38 39 39 40 41 41 43 43 44 44 45 45 46 46 47 48 49 49 50 50 51 52 52 53 53. iii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(16) 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39. Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado sob controle. Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . Trajetória das variáveis de estado sob controle. Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . Saída do sistema x sinal de referência. . . . . . Saída z x saída estimada zˆ. . . . . . . . . . . . Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 54 54 55 56 57 57 58 58 59 59 60 60 61 61.

(17) Lista de Tabelas. 4.1. Parâmetros das simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. v. 62.

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(19) Lista de Símbolos e Abreviaturas (.)∗ :. Refere-se ao valor ideal de uma variável ou ao grau relativo da planta. (.)T :. Operador transposição. (.)i :. Dependendo do contexto pode indicar o índice de um vetor ou de algum elemento nele contido. (.)nom :. Refere-se ao valor nominal de uma variável. A∗ (s):. Polinômio característico. C:. Controlador genérico. C(s):. Função de transferência de um controlador genérico. G(s):. Função de transferência de uma planta genérica em malha aberta. Gm f (s): Função de transferência de uma planta genérica em malha fechada M(s):. Dependendo do contexto pode indicar a função de transferência do modelo de referência ou um dos polinômios associados à função de transferência em malha fechada de acordo com o método polinomial. P:. Planta genérica. P(s), L(s): Polinômios associados à função de transferência em malha fechada de acordo com o método polinomial Qm (s):. Polinômio associado ao modelo interno de r. S:. Matriz de Sylvester. T:. Período, em segundos. W (s):. Função de transferência do sistema de Lorenz em malha aberta. Z(s), R(s): Dependendo do contexto podem representar o numerador e o denominador, respectivamente, das funções de transferência G(s) e W (s) ∆(s):. Polinômio associado ao determinante das matrizes J1 e J2. Λ(s):. Polinômio Hurwitz para filtros vii.

(20) ¯ θ:. Vetor de amplitudes das funções de chaveamento do VSC e do VS-APPC. β:. Fator geométrico associado ao sistema de Lorenz. A:. Matriz genérica associada à linearização. Ac , bc , hc : Matriz e vetores, respectivamente, utilizados para a representação em espaço 0 0 de estado da função de transferência W (s)L (s) I:. Matriz identidade. J , J1 , J2 , J3 : Matrizes associadas à linearização do sistema de Lorenz P , Q:. Matrizes definidas positivas associadas à equação de Lyapunov. Y:. Vetor contendo os sinais de entrada u e saída y, e suas derivadas. Γ:. Matriz diagonal de ganhos adaptativos. η:. Vetor da dinâmica de erro nulo. φ, Ψ:. Vetores definidos a partir de Y. θc :. Vetor de parâmetros do controlador. θ:. Vetor de parâmetros da planta. ε:. Vetor do sistema de ordem reduzida. e:. Vetor de estado da representação em espaço de estado da função de transferên0 0 cia W (s)L (s). g(x), f (x): Funções vetoriais cujo domínio é definido por x x:. Dependendo do contexto pode indicar um vetor no Rn ou o vetor de estado. xe1 , xe2 , xe3 : Vetores dos pontos de equilíbrio do sistema de Lorenz z:. Vetor de um ponto genérico sobre um segmento de reta. ˙ (.):. Refere-se à derivada no tempo de uma variável. η:. Dinâmica de erro nulo escalar. d(.) dt :. Operador derivada de uma variável. ∂(.) ∂t :. Operador derivada parcial de uma variável. ˆ (.):. Refere-se ao valor estimado de uma variável. R (.). Operador integral de uma variável. (.) (.):.

(21) λi :. Dependendo do contexto pode indicar os autovalores associados à linearização ou os coeficientes do polinômio Λ(s). ln(.):. Operador logaritmo neperiano de uma variável. φi :. i-ésimo elemento do vetor φ. ρ:. Número de Rayleigh. σ:. Número de Prandtl. (.). ∑(.) (.):. Operador somatório de uma variável. θ:. Parâmetros da planta. θc :. Parâmetros do controlador. ˜ (.):. Refere-se à diferença entre o valor de uma variável e sua estimativa. ε0 :. Sinal e0 normalizado. a, b:. Coeficientes associados ao numerador e ao denominador da função de transferência de uma planta de primeira ordem, respectivamente. a0 ,a1 :. Coeficientes associados ao denominador da função de transferência W (s). b0 :. Coeficiente associado ao numerador da função de transferência W (s). d(t):. Distúrbio de entrada. e:. Erro entre a referência e a saída da planta. e0 :. Dependendo do contexto pode indicar o erro entre a saída da planta y e a saída do modelo ym ou o erro entre a saída filtrada z da planta e sua estimativa zˆ. f r:. Frequência, em Hertz. g(x,t):. Perturbação não linear de entrada. n:. Dependendo do contexto pode indicar a ordem da planta ou a dimensão do espaço real Rn. ns :. Sinal utilizado na normalização de e0. p0 ,p1 ,p2 ,l0 : Parâmetros associados à função de transferência do controlador r:. Sinal de referência. s:. Dependendo do contexto pode indicar a variável complexa no domínio da frequência ou uma superfície deslizante. t:. Variável tempo.

(22) u:. Sinal de controle. x:. Entrada escalar de um sistema. x0 :. Escalar que indica condição inicial. x1 , x2 , x3 : Variáveis de estado. Dependendo do contexto, x1 e x2 são entradas escalares de um sistema linear x10 , x20 , x30 : Condições iniciais das variáveis de estado y:. Sinal de saída de um sistema. y1 , y2 :. Saídas de um sistema linear. z:. Sinal de saída filtrado da planta. APPC:. Adaptive Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos). LTI:. Linear Time Invariant (Linear e Invariante no Tempo). MIMO: Multiple Input Multiple Output (Multivariável) MRAC: Model Reference Adaptive Control (Controle Adaptativo por Modelo de Referência) MRC:. Model Reference Control (Controle por Modelo de Referência). PPC:. Pole Placement Control (Controle por Posicionamento de Polos). SISO:. Single Input Single Output (Monovariável). VS-APPC: Variable Structure Adaptive Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variável) VS-MRAC: Variable Structure Model Reference Adaptive Control (Controle Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável) VSC:. Variable Structure Control (Controle por Estrutura Variável).

(23) Capítulo 1 Introdução. 1.1. Sistemas Lineares e Não Lineares. Duas propriedades são fundamentais para definir a linearidade de um sistema: • Homogeneidade ou escalamento: Essa propriedade implica na proporcionalidade entre a entrada e a saída de um sistema linear. Assim, para um aumento (ou diminuição) no valor da variável de entrada, há uma variação diretamente proporcional da variável de saída; • Aditividade: Se várias entradas estão atuando em um sistema linear, então o efeito total devido às entradas pode ser determinado considerando uma por vez e assumindo as outras iguais a zero. Essas duas podem ser combinadas em uma única propriedade denominada superposição. Os sistemas que não obedecem a essa propriedade são conhecidos como sistemas não lineares.. 1.2. Sistemas Caóticos. Existem fenômenos essencialmente não lineares que podem ocorrer apenas na presença da não linearidade. Consequentemente, não podem ser descritos por modelos lineares. Um desses fenômenos, denominado caos, pode ser definido como um comportamento aperiódico de longa duração em um sistema determinístico que exibe sensível dependência às suas condições iniciais. Três ingredientes são utilizados nesta definição: • Um comportamento aperiódico de longa duração significa que existem trajetórias que não se estabelecem em pontos fixos, órbitas periódicas ou quase-periódicas quando t → ∞. • Determinístico significa que o sistema não possui entradas ou parâmetros aleatórios ou ruidosos. O comportamento irregular é fruto da não linearidade do sistema, e não produto de forças motrizes ruidosas. • Dependência sensível às condições iniciais significa que trajetórias próximas, descritas pelas variáveis de estado, separam-se exponencialmente rápido..

(24) 2. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. Assim, sistemas caóticos são caracterizados por sua natureza imprevisível e alta sensibilidade à variação de suas condições iniciais, apresentando um comportamento dinâmico aleatório, apesar de sua natureza determinística.. 1.3. Sistema de Lorenz. O sistema de Lorenz (LORENZ, 2000), proposto pelo matemático e meteorologista norte-americano Edward Lorenz, descrito de forma simplificada por um conjunto de três equações diferenciais ordinárias, as quais dependem de três parâmetros reais e positivos, é um clássico exemplo de sistemas que apresentam o fenômeno caótico. As equações de Lorenz são derivadas do modelo para convecção de fluido que tenta descrever algumas características da dinâmica atmosférica. O sistema de Lorenz é descrito por x˙1 = σ(x2 − x1 ) x˙2 = ρx1 − x2 − x1 x3 x˙3 = −βx3 + x1 x2. (1.1). onde σ, ρ e β são parâmetros reais positivos que representam, respectivamente, o número de Prandtl, o número de Rayleigh (que é proporcional à diferença de temperatura das superfícies superior e inferior), e um fator geométrico. As variáveis de estado x1 , x2 e x3 representam medidas da velocidade do fluido e distribuição espacial de temperatura na camada do fluido sob ação da gravidade. Este sistema pode exibir comportamentos dinâmicos distintos (inclusive o comportamento caótico), de acordo com o valor do parâmetro ρ. Mais detalhes sobre a dinâmica deste sistema são retratados no capítulo 3.. 1.4. Sistemas de Controle. O controle automático representa um papel fundamental no avanço da engenharia e da ciência de forma geral. Possui inúmeras aplicações, tais como em sistemas de pilotagem de avião, mísseis guiados, veículos espaciais, etc., além de ser parte integrante e muito importante dos processos industriais e de fabricação modernos. Avanços na teoria e na prática do controle automático propiciam maneiras para atingirse desempenho ótimo de sistemas dinâmicos, assim como melhoria na qualidade e diminuição dos custos de produção, substituindo a mão de obra humana por máquinas na realização de processos repetitivos. O objetivo da engenharia de controle é desenvolver projetos de controladores que possibilitem a melhoria do desempenho de um sistema real de acordo com determinadas especificações. O controlador fornece uma resposta ou saída mediante a aplicação de um estímulo ou entrada, conforme ilustrado na Figura 1.1. Em geral, sistemas físicos não podem mudar seus estados (por exemplo, sua posição, velocidade, volume, temperatura, etc.) de maneira instantânea. Cada variável associada a um determinado estado apresenta.

(25) 1.5. CONTROLE CLÁSSICO. 3. uma trajetória que descreve como tal sistema se modifica mediante à variação de algum de seus estados. Essa parte da resposta relacionada ao momento de transição é denominada de resposta transitória. Depois da resposta transitória, o sistema tende à resposta de estado estacionário ou em regime permanente, definido pelo estado em que o sistema se aproxima da resposta desejada. Entrada. Sistema de controle. Saída. Figura 1.1: Sistema de controle simplificado. Os sistemas de controle podem ser classificados como: • Sistema de controle em malha aberta: Utiliza um controlador conectado em série com o processo a ser controlado, de modo que a entrada do processo deve ser tal que sua saída se comportará como desejado. A característica importante é que a ação de controle independe da saída. Observe que um sistema de controle deste tipo fornecerá a saída desejada se não ocorrerem perturbações externas que alterem o valor da saída ou alterações paramétricas internas do sistema. Se alguma destas ocorrer, a saída muda, mas a ação de controle continua exatamente a mesma. • Sistema de controle em malha fechada: Utiliza uma medida adicional da saída (resposta) real a fim de compará-la com a resposta desejada do sistema.. 1.5. Controle Clássico. O primeiro trabalho em controle automático foi realizado por James Watt, que construiu um controlador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotagem de navios e demonstrou como determinar a estabilidade de um sistema a partir das equações diferenciais que o descrevem. Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento para determinar a estabilidade de sistemas em malha fechada com base na reposta do sistema a entradas senoidais de regime permanente da malha aberta. Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismos1 a relé capazes de seguir muito de perto uma entrada variável. Durante a década de 1940, os métodos de resposta em frequência tornaram possível a realização de projetos de sistemas de controle realimentados lineares. Entre a década de 1940 e 1950, o método conhecido como lugar das raízes foi completamente desenvolvido. Ambos os métodos que são a base da teoria de controle clássica, levaram a sistemas que são estáveis e satisfazem um conjunto de requisitos de desempenho. 1 Sistema. de controle automático de realimentação para movimento mecânico. Um braço robótico é um exemplo clássico de servomecanismo. Os motores (parte mecânica) somente se movem conforme o controle (parte elétrica/eletrônica) ordena..

(26) 4. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. A teoria de controle clássica, em sua origem, foi desenvolvida para o tratamento de sistemas com apenas uma entrada e uma saída. Em virtude do surgimento de processos mais complexos, com múltiplas entradas e saídas, a descrição de um sistema de controle implicou em projetos mais sofisticados, envolvendo um número muito mais elevado de equações. Nesse sentido, o controle moderno2 surgia no intuito de tratar essa crescente demanda de sistemas complexos, nas mais diversificadas áreas, tais como a área militar, a aeroespacial e a industrial. Outra limitação da versão clássica do controle decorre do fato de que o projeto de um controlador clássico só é válido em uma certa vizinhança do ponto de operação em que se encontra o sistema3 . Inúmeros fatores são capazes de alterar algum parâmetro que está relacionado com a descrição das equações diferenciais da planta em questão, modificando os cálculos previstos em projeto. Dessa forma, quanto mais longe do ponto de operação especificado inicialmente, mais o controlador se distanciará da resposta ótima, tornando os requisitos do sistema muito díspares dos valores previstos. Uma grande variedade de sistemas físicos apresenta incertezas paramétricas. Assim, seus parâmetros podem apresentar variações constantes, geradas muitas vezes pela imprecisão na medição de determinadas grandezas físicas, ou ainda por variarem lentamente no tempo. Existem inúmeras aplicações para as quais um controle mais sofisticado, que preveja adaptação paramétrica, apresente uma melhor performance do que os controladores clássicos. As aplicações mais comuns são encontradas em veículos espaciais, aviões, automóveis, navios e até em alguns dispositivos eletrônicos de consumo. Assim, a fim de superar essa limitação, foram desenvolvidas novas técnicas capazes de estimar em tempo real esses parâmetros, sendo possível gerar o sinal de controle correto mediante cada situação específica.. 1.6. Controle Adaptativo. Um controlador adaptativo pode ser definido como um controlador com parâmetros ajustáveis (SASTRY e BODSON, 2011). O mecanismo de ajuste, também denominado de lei adaptativa, nada mais é do que um estimador de parâmetros em tempo real. Tais estimativas são realizadas de acordo com medições dos sinais provenientes do sistema, tais como os sinais de entrada u e saída y, por exemplo. O sinal de controle é calculado desta forma em função destas estimativas geradas em tempo real. Se a estimação de parâmetros é recursiva, isto é, o modelo da planta é periodicamente atualizado com base em estimativas anteriores e nos novos dados, a estimação e o controle podem ser executados concorrentemente (SASTRY e BODSON, 2011). Na Figura 1.2 é apresentado o esquema geral de um controlador adaptativo, no qual existem duas malhas bem definidas, uma contendo o controlador e a planta (ou processo), e outra que está relacionada com o ajuste dos parâmetros. 2 Terminologia. utilizada para a descrição dos sistemas de controle que tratam de processos físicos que envolvem variações paramétricas e/ou inúmeras entradas e saídas, datada de 1960. 3 As palavras sistema, planta ou processo são utilizadas como sinônimos durante todo o texto, e se referem a um sistema físico genérico..

(27) 1.7. CONTROLE ADAPTATIVO DIRETO E INDIRETO. 5. Ajuste de parâmetros. Parâmetros do controlador Referência Processo. Controlador. Saída. Sinal de controle Figura 1.2: Esquema de um controlador adaptativo.. 1.7. Controle Adaptativo Direto e Indireto. Um controlador adaptativo é constituído pela combinação de um estimador de parâmetros em tempo real, que fornece as estimativas dos parâmetros desconhecidos, com uma lei de controle oriunda de alguma técnica em que os parâmetros são conhecidos. A diferença básica é que sinal de controle será gerado em função das estimativas paramétricas, uma vez que os parâmetros são desconhecidos ou conhecidos com incertezas. Existem assim, duas abordagens em controle adaptativo, denominadas de controle adaptativo direto e controle adaptativo indireto. Como pode ser observado a partir da Figura 1.3, na abordagem direta os parâmetros do controlador são estimados diretamente, não havendo cálculos prévios envolvendo as estimativas dos parâmetros da planta. O modelo da planta P(θ ∗ ) é parametrizado em função do vetor de parâmetros desconhecidos do controlador θc∗ , com o qual C(θc∗ ) atenda aos requisitos de desempenho para obter o modelo da planta Pc (θc∗ ) com as mesmas características de entrada/saída da planta P(θ ∗ ). O projeto do controlador C(θc ) trata as estimativas θc (t) como se elas fossem os parâmetros verdadeiros. Esta abordagem de projeto é denominada o princípio da equivalência à certeza. A ideia que permeia o princípio da equivalência à certeza é a de que como as estimativas dos parâmetros θc (t) convergem para seus valores verdadeiros θc∗ , então o desempenho do controlador C(θc ) tende a alcançar o desempenho de C(θc∗ ) (IOANNOU e SUN, 2013)..

(28) 6. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. r. Controlador C(θc ). u. Planta. y. Estimação de θc∗. r. P(θ ∗ ) → Pc (θc∗ ). θc. Figura 1.3: Diagrama de blocos de um controlador adaptativo na abordagem direta.. Como pode ser observado a partir da Figura 1.4, na abordagem indireta os parâmetros da planta são estimados inicialmente e suas estimativas são utilizadas no cálculo dos parâmetros do controlador. A planta P(θ ∗ ) é parametrizada em relação ao vetor de parâmetros desconhecidos θ ∗ . Um estimador realiza a estimação em tempo real, produzindo θ(t) em cada instante t. As estimativas θ(t) especificam um modelo para a planta estiˆ mada P(θ(t)) que é tratado como o "modelo verdadeiro para a planta"(de acordo com o princípio da equivalência à certeza, as estimativas θ(t) convergem para seus valores verdadeiros θ ∗ ) e é utilizado para calcular θc (t) com base na solução de uma dada equação algébrica θc (t) = F(θ(t)) em cada instante t.. r. Controlador C(θc ). u. Planta P(θ ∗ ). Estimador de θ ∗. y. r. θ(t) θc. Cálculos θc (t) = F(θ(t)). Figura 1.4: Diagrama de blocos de um controlador adaptativo na abordagem indireta..

(29) 1.8. CONTROLE ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA. 1.8. 7. Controle Adaptativo por Modelo de Referência. Uma das principais abordagens do controle adaptativo, que mescla a estrutura de controle fornecida pelo controle por modelo de referência (MRC) combinada com um mecanismo de ajuste característico de sistemas adaptativos, é denominada de controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) (NARENDRA e ANNASWAMY, 2012). O objetivo do MRC é encontrar uma lei de controle por realimentação que modifique a estrutura e a dinâmica da planta de tal forma que as propriedades de entrada/saída sejam exatamente as mesmas daquelas do modelo de referência. Na Figura 1.5, o modelo de referência M(s) especifica a trajetória de saída desejada ym dado um sinal de referência r. A saída da planta y, consequentemente, deve seguir a trajetória imposta por ym de modo que o erro entre a saída da planta e a saída do modelo seja nulo, e0 = y − ym . O controlador C(θc∗ ) é projetado de modo que todos os sinais sejam uniformemente limitados e a função de transferência da planta, entre os sinais r e y seja igual a M(s). A condição de matching para a função de transferência da planta é obtida pelo cancelamento dos zeros da função de transferência G(s), substituindo-os pelos zeros de M(s) e, finalmente, tornando os polos em malha fechada iguais aos do modelo de referência, através de C(θc∗ ). Esta estratégia de controle é restrita a plantas de fase mínima (todos os zeros devem estar contidos no semi-plano esquerdo), pois o processo de cancelamento não é algo perfeito, podendo haver diferenças numéricas, que mesmo muito pequenas, poderão levar o sistema a se instabilizar.. ym. Modelo de Referência M(s). −. r. e0. + Controlador C(θc∗ ). u. Planta G(s). y. Figura 1.5: Controle por modelo de referência. Quando o vetor de parâmetros da planta θ ∗ é desconhecido o MRC não é capaz de realizar o controle de maneira correta, devido a presença de erros paramétricos. Dessa maneira, pode-se substituir os valores desconhecidos por suas estimativas, utilizando assim a estrutura do MRAC. De acordo com as Figuras 1.6 e 1.7, que são, respectivamente, a abordagem direta e indireta do MRAC, pode-se observar a existência de duas malhas, uma contendo o controlador, a planta e o modelo de referência, e outra que é responsável pelas mudanças dos parâmetros do controlador..

(30) 8. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. ym. Modelo de Referência M(s). −. r. e0. + Controlador C(θc∗ ). u. Planta P(θ ∗ ) → Pc (θc∗ ). Estimação de θc∗. θc. y. r. Figura 1.6: MRAC direto.. ym. Modelo de Referência M(s). −. r. e0. + Controlador C(θc∗ ). u. Planta P(θ ∗ ) → Pc (θc∗ ). Estimador de θ ∗. y. r. θ(t) θc. Cálculos θc (t) = F(θ(t)). Figura 1.7: MRAC indireto.. 1.9. Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos. O controle adaptativo por posicionamento de polos (APPC) também figura entre as principais abordagens trabalhadas em controle adaptativo. Esta estratégia é uma combinação da estrutura do controle por posicionamento de polos (PPC) com um mecanismo de adaptação..

(31) 1.10. SISTEMAS COM ESTRUTURA VARIÁVEL. 9. Inúmeros trabalhos envolvendo o APPC têm sido publicados afim de superar os problemas no que diz respeito à robustez a perturbações limitadas (SUAREZ e LOZANO, 1996), dinâmica não-modelada (PRALY, 1983) e variações paramétricas (DAS e CRISTI, 1990). Os esquemas de controle baseados no PPC podem ser aplicados tanto a plantas de fase mínima como não mínima, pois diferentemente dos controladores derivados do MRC, aqui não são realizados quaisquer cancelamentos de zeros ou polos. Desse modo, os polos de malha fechada são alocados nas posições especificadas pelo projetista do sistema de controle, através de uma lei de controle por realimentação. O controlador C(θc∗ ) e o vetor de parâmetros θc∗ são escolhidos de maneira que os polos em malha fechada da função de transferência da planta de r em relação a y sejam iguais aos polos desejados. O vetor θc∗ é geralmente calculado utilizando uma equação algébrica na forma θc∗ = F(θ ∗ ) (1.2) onde θ ∗ é um vetor com os coeficientes da função de transferência da planta G(s). Se o vetor de parâmetros da planta é conhecido, então o vetor de parâmetros do controlador é calculado sem a necessidade de estimação, a partir da equação (1.2). Para o caso em que os parâmetros da planta são desconhecidos, θc (t) pode ser atualizado, utilizando um estimador de parâmetros em tempo real. θc (t) pode ser calculado, então, a partir da equação θc (t) = F(θ(t)) (1.3) onde θ(t) são as estimativas para θ ∗ geradas por um estimador em tempo real. O esquema proposto acima refere-se à abordagem indireta do APPC. A abordagem direta pode ser obtida caso as estimativas dos parâmetros do controlador θc (t) sejam realizadas a partir da lei adaptativa, sem envolver cálculos prévios das estimativas dos parâmetros da planta. Os esquemas do APPC para o caso direto e indireto, estão mostrados, respectivamente, nas Figuras 1.3 e 1.4.. 1.10. Sistemas com Estrutura Variável. Os sistemas com estrutura variável (VSC) (UTKIN, 1997) possuem como principais características a rapidez no transitório e robustez a variações paramétricas e perturbações limitadas. Em oposição, podem apresentar o sinal de controle com valor inicial de grande amplitude e com uma frequência de chaveamento muito elevada (fenômeno conhecido por chattering), em regime permanente, o que pode ser um problema dependendo do nível de sensibilidade da planta a estes aspectos. Os sistemas que utilizam tal estrutura são baseados no controle a relé e no chaveamento do sinal de controle dentro de um conjunto de funções que envolvem as variáveis de estado da planta, sendo necessário assim o conhecimento de todas estas variáveis. Os sistemas a estrutura variável, em sua forma por modos deslizantes, têm por ideia básica restringir a dinâmica do sistema a uma superfície denominada superfície deslizante. Desse modo, o sinal de controle se torna responsável por guiar as variáveis de estado sobre esta superfície, e mantê-las sobre a mesma..

(32) 10. 1.11. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variável. O controle adaptativo por posicionamento de polos e estrutura variável (VS-APPC) (SILVA JÚNIOR, 2005) e (SILVA JÚNIOR, OLIVEIRA e ARAÚJO, 2017), é um sistema alternativo ao controle adaptativo convencional por posicionamento de polos, que apresenta melhorias no que diz respeito ao transitório e robustez à presença de distúrbios. Os métodos convencionais de controle adaptativo (MRAC e APPC) utilizam leis de adaptação integrais para estimação de seus parâmetros (NARENDRA e VALAVANI, 1980). Em oposição, o VS-APPC apresenta leis chaveadas. Esta técnica de controle visa superar o desempenho transitório inaceitável (ROHRS, YOUNCE e HARVEY, 1990) e os problemas de estabilidade na presença de distúrbios externos (IOANNOU e KOKOTOVIC, 1984) dos sistemas de controle adaptativo convencionais, agregando assim as características do VSC. Este trabalho tem como objetivo aplicar o VS-APPC ao sistema de Lorenz, visando suprimir o fenômeno caótico e simultaneamente regular o vetor de estado do sistema em um ponto de operação definido em projeto. Como forma de avaliar o desempenho desse controlador, serão realizadas simulações do modelo não linear do sistema, submetendo-o a perturbações e incertezas paramétricas.. 1.12. Estrutura do Trabalho. Este trabalho está organizado da seguinte maneira: no capítulo 2 é apresentado o desenvolvimento matemático do PPC utilizando o método polinomial, com exemplo de um projeto para uma planta de primeira ordem, e uma pequena introdução ao processo de estimação paramétrica; adicionalmente, é delineado o desenvolvimento matemático do método entrada/saída para uma planta de grau relativo arbitrário e estritamente própria e, por fim, é demonstrada a estabilidade do algoritmo de estimação baseado em leis chaveadas; no capítulo 3 são apresentadas algumas definições sobre sistemas lineares e não lineares; o modelo matemático do sistema de Lorenz; a implementação do controle deste sistema; a dinâmica de erro nulo, que é um conceito fundamental para a estabilidade do sistema; e, finalmente, o cálculo dos parâmetros e a função de transferência do controlador, bem como a lei de adaptação utilizada pelo VS-APPC. No capítulo 4 são apresentados os resultados das simulações para o controle do sistema de Lorenz. E no capítulo 5 são apresentadas algumas conclusões e perspectivas para pesquisas futuras..

(33) Capítulo 2 VS-APPC. 2.1. Introdução. Como apresentado no capítulo 1, os esquemas de projeto envolvendo o controle por modelo de referência são restritos a plantas lineares e invariantes no tempo (LTI) com zeros estáveis. Esta suposição de que a planta é de fase mínima torna este tipo de estratégia de controle muito restrita, aplicável apenas a plantas com tal característica. Outra classe de esquemas de controle que se baseia na alocação de polos e não envolve cancelamentos de zeros, aplicável tanto a plantas de fase mínima como não mínima, lineares e invariantes no tempo surge como uma alternativa que supera a limitação dos esquemas MRC. Da combinação destes esquemas por alocação de polos com um estimador de parâmetros surge o APPC (também conhecido como regulador autoajustável, do inglês self-tuning), que é aplicável a plantas LTI com parâmetros desconhecidos, de fase mínima e não-mínima. Os esquemas de controle adaptativo, como delineado no capítulo 1, podem ser realizados utilizando a abordagem direta ou indireta. O esquema APPC indireto é aquele onde a lei de adaptação gera estimativas em tempo real dos parâmetros da planta (que são os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência), e estas estimativas são utilizadas para calcular os parâmetros do controlador através da solução de uma equação algébrica. No esquema APPC direto, por sua vez, a adaptação dos parâmetros do controlador é realizada de forma direta, em tempo real, não envolvendo cálculos intermediários das estimativas dos parâmetros da planta. O APPC direto é restrito a plantas monovariáveis (SISO) e a uma classe especial de plantas onde os parâmetros desejados do controlador podem ser expressos na forma de um modelo paramétrico linear ou bilinear (IOANNOU e SUN, 2013). Já o APPC indireto é mais simples de ser projetado e é aplicável a um grande número de plantas LTI que não necessitam ser de fase mínima. Além disso, este tipo de controlador possui um projeto bastante flexível (realimentação de estado, projeto de compensador, linear quadrático, polinomial, etc.), bem como a lei adaptativa (método do gradiente, mínimos quadrados, etc.). Sendo assim é considerada a classe de controlador adaptativo mais generalista, em sua abordagem indireta. O APPC, assim como as demais estratégias de controle adaptativo, se fundamentava, a princípio, na estimação paramétrica baseada em leis de adaptação integrais. Contudo, tais controladores apresentavam instabilidade na presença de distúrbios e dinâmica não-.

(34) 12. CAPÍTULO 2. VS-APPC. modelada, bem como um transitório lento que em muitas aplicações era incapaz de gerar resultados satisfatórios. A fim de sanar esses problemas foram propostas novas estratégias de controle baseadas nos esquemas adaptativos inicialmente formulados e em sistemas com estrutura variável. Os sistemas com estrutura variável são aqueles cuja estrutura pode ser alterada por dispositivos de chaveamento como, por exemplo, relés. Possuem como principais características a rapidez no transitório e robustez a variações paramétricas e perturbações limitadas. x2 f + (x) x(0) s(x) > 0 s(x) ˙ <0. f − (x) s(x) < 0 s(x) ˙ >0. x1. s(x) = cx1 + x2 = 0. Figura 2.1: Superfície de deslizamento. Esses sistemas à estrutura variável, em sua forma por modos deslizantes, têm por ideia básica restringir a dinâmica do sistema a uma superfície denominada superfície deslizante, como retratado na Figura 2.1, sendo o sinal de controle responsável por guiar as variáveis de estado até esta superfície, mantendo-as sobre a mesma. No controle por modos deslizantes é necessário, primeiramente, definir a superfície deslizante que induza a uma dinâmica de ordem reduzida estável definida em projeto, e, em um segundo momento, sintetizar a lei de controle que conduza e, subsequentemente, mantenha as trajetórias do sistema em malha fechada sobre essa superfície. É necessário também que todas as variáveis de estado estejam disponíveis para uso da maioria das técnicas que utilizam modos deslizantes. Contudo, na prática, há limitações na medição das variáveis de estado de grande parte dos sistemas físicos, os quais apresentam apenas as variáveis de entrada e saída disponí-.

(35) 2.2. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA. 13. veis. Exemplos da resolução deste problema podem ser encontrados em (NARENDRA e VALAVANI, 1978) no caso do MRAC, e em (ARAÚJO, 1993) para o VS-MRAC, técnica de controle baseada no VSC e no MRAC, na qual são substituídas leis de adaptação integrais por leis chaveadas. Nesse contexto, utilizando a abordagem entrada/saída definida nos trabalhos supracitados do parágrafo anterior, a estrutura de controle por alocação de polos e o método de estimação baseado em uma lei de adaptação chaveada, é definido um controlador denominado VS-APPC para o qual apenas as medições da entrada e da saída do sistema estão disponíveis. Neste capítulo, é apresentada a descrição matemática para o projeto de um controlador PPC baseado no método polinomial, seguido de um exemplo para uma planta de primeira ordem; subsequentemente, o processo de estimação/adaptação paramétrica é introduzido; adicionalmente, é delineado o desenvolvimento matemático para o projeto de controle baseado apenas nas medições de entrada e saída do sistema, para uma planta de grau relativo arbitrário e estritamente própria e, por fim, é demonstrada a estabilidade do algoritmo de estimação baseado em leis chaveadas.. 2.2. Descrição do Problema. Considere a função de transferência de uma planta SISO e LTI y = G(s)u, G(s) =. bn−1 sn−1 + · · · + b1 s + b0 Z(s) = n R(s) s + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0. (2.1). onde G(s) é estritamente própria (o grau relativo é de pelo menos 1) e R(s) é um polinômio mônico (o coeficiente relacionado ao termo de maior potência em s é unitário). O objetivo do PPC é que a partir de um sinal de controle u seja feita a alocação dos polos em malha fechada da planta de modo que estes sejam iguais aos polos de um polinômio mônico e Hurwitz (todos os polos estáveis, ou seja, com parte real negativa) A∗ (s). Este polinômio, cujos polos são o objetivo final da alocação dos polos em malha fechada da planta, é denominado de polinômio característico. Inicialmente, é necessário considerar algumas suposições sobre a planta: S1. R(s) é um polinômio de grau n conhecido; S2. Z(s) e R(s) são polinômios coprimos e o grau de Z(s) é menor que n; As suposições S1 e S2 permitem que Z(s) e R(s) sejam não-Hurwitz, o que não acontece no caso do MRC, onde Z(s) tem de ser necessariamente Hurwitz. Para estender o objetivo do PPC ao incluir rastreamento (o sinal de saída y deve seguir uma certa classe de sinais de referência r), utiliza-se o princípio do modelo interno. De acordo com este princípio, a seguinte equação deve ser satisfeita Qm (s)r = 0. (2.2). onde Qm (s), o modelo interno de r, é um polinômio mônico conhecido de grau q sem raízes repetidas no eixo imaginário e que Qm (s) e Z(s) são coprimos..

(36) 14. CAPÍTULO 2. VS-APPC. 2.3. Método Polinomial. Considera-se a lei de controle Qm (s)L(s)u = −P(s)y + M(s)r. (2.3). onde P(s), M(s) e L(s) (L(s) mônico) são polinômios de grau q + n − 1, q + n − 1 e n − 1, respectivamente. Através da relação entrada/saída u = R(s) Z(s) y, substituindo-se u na equação (2.3), pode-se obter a relação entre a referência e a saída, dada por y=. Z(s)M(s) r Qm (s)L(s)R(s) + P(s)Z(s). (2.4). cuja equação característica, de ordem 2n + q − 1 , é dada por Qm (s)L(s)R(s) + P(s)Z(s) = 0. (2.5). Para alocar os polos desejados, deve-se calcular P(s) e L(s), de modo que satisfaça a equação diofantina Qm (s)L(s)R(s) + P(s)Z(s) = A∗ (s) (2.6) onde A∗ (s) é um polinômio mônico e Hurwitz, de ordem 2n + q − 1, o qual contém os novos polos desejados para o sistema em malha fechada. Como Qm (s)R(s) e Z(s) são coprimos, existe uma única solução para P(s) e L(s) que atende a equação (2.6). r. +. e −. P(s) Qm (s)L(s). u. y G(s). Figura 2.2: Diagrama de blocos do PPC. Usando 2.6, a planta em malha fechada é descrita por y=. Z(s)M(s) r A(s)∗. (2.7). De maneira similar, a partir das equações (2.1) ,(2.4) e (2.6), obtém-se u=. R(s)M(s) r A(s)∗. (2.8). R(s)M(s) Pelo fato de r ser um sinal uniformemente limitado e Z(s)M(s) A(s)∗ e A(s)∗ serem próprias e Hurwitz, os sinais y e u são uniformemente limitados para algum polinômio M(s). Assim o objetivo de alocação de polos é alcançado sem haver restrições sobre os polinômios M(s) e Qm (s)..

(37) 2.3. MÉTODO POLINOMIAL. 15. Quando r 6= 0 (problema de rastreamento), o erro de rastreamento e = r − y é dado por e = r−y = r−. A∗ (s) − Z(s)M(s) Z(s)M(s) r = r A∗ (s) A∗ (s). (2.9). Substituindo A∗ (s), de acordo com a equação (2.6), apenas no numerador da equação (2.9), obtém-se e=. Z(s)[P(s) − M(s)] L(s)R(s) r+ Qm (s)r ∗ A (s) A∗ (s). (2.10). Como, pelo princípio do modelo interno, Qm (s)r = 0, um dos termos da equação (2.10) se torna nulo. Para anular o termo que resta e tornar o erro e = 0, basta que M(s) = P(s). Assim, a alocação de polos e o rastreamento da referência r são realizados usando a lei de controle que se segue u=−. M(s) P(s) y+ r Qm (s)L(s) Qm (s)L(s). (2.11). que resulta em u=. P(s) e Qm (s)L(s). (2.12). Devido a L(s) não necessariamente ser Hurwitz, a realização em (2.12) pode ter uma função de transferência C(s) com polos instáveis. Uma realização alternativa pode ser obtida reescrevendo-se (2.12), como se segue u=. Λ(s) − L(s)Qm (s) P(s) u− (y − r) Λ(s) Λ(s). (2.13). onde Λ(s) é um polinômio Hurwitz de grau n + q − 1. A lei de controle em (2.13) é implementada de acordo com a Figura 2.3.. r +. e −. P(s) Λ(s). +. u +. G(s). y. Λ(s)−Qm (s)L(s) Λ(s). Figura 2.3: Diagrama de blocos de uma realização alternativa do PPC..

(38) 16. CAPÍTULO 2. VS-APPC. 2.3.1. Exemplificação - Planta de Primeira Ordem. Suponha uma planta de primeira ordem, cuja função de transferência é dada por G(s) =. b 1 = s−1 s+a. (2.14). Admitindo que o sinal de referência r é um degrau, então o polinômio Qm (s) = s, pelo princípio do modelo interno. Portanto, os graus dos polinômios P(s) e L(s) são, respectivamente, 1 e 0. A dinâmica desejada fornecida pelo polinômio A∗ (s), cujo grau é 2, foi escolhida de modo a tornar o sistema estável, realocando os dois polos do sistema em malha fechada em −1. Portanto, A∗ (s) = (s + 1)2 . De acordo com o diagrama da Figura 2.2, a relação entrada/saída do controlador e a função de transferência em malha fechada do sistema são, respectivamente, C(s) = e Gm f (s) =. p1 s + p0 s. b(p1 s + p0 ) b(p1 s + p0 ) = 2 s(s + a) + b(p1 s + p0 ) s + (a + bp1 )s + bp0. (2.15). (2.16). Assim, igualando o denominador da equação (2.16) ao polinômio A∗ (s), obtém-se s2 + (a + bp1 )s + bp0 = s2 + 2s + 1. (2.17). de modo que os parâmetros do controlador, p1 e p0 , podem ser calculados, respectivamente, por 2−a 2+1 p1 = → p1 = =3 (2.18) b 1 e 1 1 p0 = → p0 = = 1 (2.19) b 1 O sinal de controle pode ser obtido com base na equação (2.12), substituindo-se os polinômios P(s), L(s) e Qm (s). Assim, u=. 2.4. p1 s + p0 3s + 1 e→u= e s s. (2.20). Introdução ao Processo de Adaptação. Até este ponto, a análise foi realizada tratando o vetor de parâmetros da planta (coeficientes da equação (2.1)) como conhecido. Contudo, inúmeros sistemas físicos apresentam incertezas paramétricas, oriundas tanto pela imprecisão na medição de determinadas grandezas físicas, como também por variarem lentamente no tempo. Neste sentido, objetivando solucionar esse problema, juntamente com a ação de controle por alocação de polos, a qual tem por base o método polinomial descrito na seção 2.3, é proposto um.

(39) 2.5. MÉTODO ENTRADA/SAÍDA. 17. estimador de parâmetros cujas equações são obtidas a partir de dispositivos denominados relés 1 , responsáveis por gerar sinais chaveados. De acordo com o princípio da equivalência à certeza, apresentado na seção 1.7, uma vez que as estimativas dos parâmetros θc (t) convergem para seus valores verdadeiros θc∗ , então o desempenho do controlador C(θc ) tende a alcançar o desempenho de C(θc∗ ). O controlador proposto nessa dissertação é gerado com base na abordagem indireta do controle adaptativo e, assim, as estimativas θc (t) são calculadas em tempo real, a partir da estimação dos parâmetros da planta θ(t). Sendo assim, as equações que geram o sinal de controle u para o caso com parâmetros conhecidos, são válidas mesmo que considerada a existência de incertezas paramétricas. Para tanto, tomando como base o exemplo da seção 2.3, as equações (2.18), (2.19) e (2.20), devem ser substituídas, respectivamente, por 2 − aˆ bˆ. (2.21). 1 bˆ. (2.22). pˆ1 s + pˆ0 e s. (2.23). pˆ1 = ,. pˆ0 = e u=. onde aˆ e bˆ são as estimativas dos parâmetros da planta, ao passo que pˆ1 e pˆ0 são as estimativas dos parâmetros do controlador.. 2.5. Método Entrada/Saída. Pode-se reescrever a planta em (2.1), em espaço de estado, da seguinte maneira ( x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = hT x(t). (2.24). onde x ∈ Rn , x(0) = 0. Apenas a entrada u e a saída y estão disponíveis para medição e os parâmetros da planta são ditos desconhecidos ou conhecidos com incertezas. No domínio de Laplace, as equações podem ser reescritas como 1 No. seu surgimento o relé (do francês relais), ou, menos frequentemente, relê (por influência do inglês relay, embora esta forma ainda não esteja dicionarizada) era caracterizado por ser um interruptor eletromecânico. A movimentação física deste ocorre quando a corrente elétrica percorre as espiras da bobina do relé, criando assim um campo magnético que por sua vez atrai a alavanca responsável pela mudança do estado dos contatos. Estes dispositivos foram substituídos pelos relés estáticos, os quais são constituídos por transistores, diodos, resistores, dentre outros elementos. Com o avanço da microeletrônica, os relés estáticos deram lugar aos relés digitais, os quais podem ser configurados via computador. Exemplos atuais destes dispositivos são os relés microprocessados também conhecidos por relés numéricos ou relés inteligentes (IEDs), com alta capacidade de processamento de informações, autodiagnose e execução de tarefas lógicas internas..

(40) 18. CAPÍTULO 2. VS-APPC. ( sx(s) = Ax(s) + Bu(s) y(s) = hT x(s). (2.25). Isolando-se x(s) na equação (2.25) e substituindo em y(s) = hT x(s), pode-se obter a seguinte expressão para y(s): y(s) = hT (sI − A)−1 Bu(s) =. Z(s) u(s) R(s). (2.26). De acordo com as equações (2.26) e (2.1) R(s)y(s) = Z(s)u(s). (2.27). Expandindo os termos R(s) e Z(s) na equação (2.27), obtém-se (sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 )y(s) = (bn−1 sn−1 + · · · + b1 s + b0 )u(s). (2.28). Isolando o termo de maior grau em s, resulta em sn y(s) = (bn−1 sn−1 + · · · + b1 s + b0 )u(s) − (an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 )y(s). (2.29). Reescrevendo-se todos os parâmetros em um vetor de parâmetros da seguinte forma θ ∗T = [bn−1 , . . . , b1 , b0 , an−1 , . . . , a1 , a0 ] = [θ∗1 , . . . , θ∗n , . . . , θ∗2n ]. (2.30). e todos os sinais de entrada/saída e suas derivadas em um vetor de sinais da forma Y T = [sn−1 u(s), . . . , su(s), u(s), −sn−1 y(s), . . . , −sy(s), −y(s)]. (2.31). pode-se obter uma notação mais compacta do sistema dada em função do vetor de parâmetros e do vetor de sinais, na forma sn y(s) = θ ∗T Y. (2.32). A planta objeto de estudo deste trabalho não possui zeros em sua função de transferência. Sendo assim, os vetores θ ∗ e Y (s) sofrem uma pequena modificação, de acordo com as equações, respectivamente. θ ∗T = [b0 , an−1 , . . . , a1 , a0 ] = [θ∗1 , θ∗2 , . . . , θ∗n+1 ]. (2.33). Y T = [u(s), −sn−1 y(s), . . . , −sy(s), −y(s)]. (2.34). Considerando que se tem disponíveis apenas as medições de saída e entrada do sistema, e que o uso de diferenciação não é desejado, os sinais que apresentam diferenciais em Y devem ser evitados. Para tanto, pode-se filtrar esses sinais, utilizando um filtro.

(41) 2.5. MÉTODO ENTRADA/SAÍDA. 19. 1 ), onde estável de ordem n ( Λ(s). Λ(s) = sn + λn−1 sn−1 + · · · + λ1 s + λ0. (2.35). sn y(s) θ ∗T Y sn θ ∗T Y = = Λ(s) Λ(s) Λ(s) sn. (2.36). Assim,. Definindo. sn Λ(s). 0. = W (s), obtém-se 0. W (s)y(s) =. 0 θ ∗T Y sn θ ∗T Y = W (s) Λ(s) sn sn. (2.37). 0. Considerando z(s) = W (s)y(s) (z(s) corresponde à saída filtrada da planta), então 0. z(s) = W (s)θ ∗T Ψ onde. Y sn. Ψ=. (2.38). (2.39). 0. Como W (s), em geral, não é estritamente real positiva (ERP), então um polinômio 0 L (s) é escolhido de tal modo que o produto W 0 (s)L (s) seja estritamente real positivo. Assim, 0 0 Ψ = W (s)L0 (s)θ ∗T φ (2.40) z(s) = W (s)L0 (s)θ ∗T 0 L (s) 0. onde φ = LΨ 0 (s) . Utilizando as estimativas dos parâmetros θ, obtém-se então uma estimativa zˆ, dada por 0 zˆ = W (s)L0 (s)θ T φ (2.41) O erro de estimação e0 é gerado a partir da diferença entre z e sua estimativa zˆ, denotado por e0 = z − zˆ (2.42) e a normalização do erro de estimação é fornecida por 0. 0. ε0 = z − zˆ −W (s)L (s)ε0 n2s. (2.43). para o qual ns é um sinal normalizado, de modo que satisfaça a seguinte condição φ ∈ L∞ , m2 = 1 + n2s m. (2.44). Uma escolha usual para ns que satisfaz a condição (2.44) é n2s = φT P φ, para qualquer matriz P = P T > 0. Quando φ ∈ L∞ , a condição em (2.44) é satisfeita, m = 1, portanto ns = 0 e, assim, ε0 = e0 ..

(42) 20. CAPÍTULO 2. VS-APPC Definindo θ˜ = θ − θ ∗ , pode-se obter 0 0 ε0 = W (s)L (s)(−θ˜ T φ − ε0 n2s ). (2.45). Considera-se a seguinte representação em espaço de estado de (2.45), dada por e˙ = Ac e + bc (−θ˜ T φ − ε0 n2s ) ε0 = hTc e. (2.46). para a qual Ac , bc e hc são matrizes associadas à representação em espaço de estado da 0 0 função de transferência W (s)L (s) = hTc (sI − Ac )−1 bc . A estabilidade pode ser provada a partir do Lema de Kalman-Yakubovicht-Lefschtez, definido por: Lema de Kalman-Yakubovich-Lefschetz. Dados dois vetores hc e bc , uma matriz assintoticamente estável Ac , tal que o par (Ac , bc ) seja controlável e hTc (sI − Ac )−1 bc estritamente real positiva, existem P = P T > 0 e Q = QT > 0 que satisfazem ATc P + P Ac = −2Q e P bc = hc .. 2.6. Prova de Estabilidade. 2.6.1. Lei Integral de Adaptação. Seja a seguinte lei integral de adaptação dada por θ˙ = Γε0 φ. (2.47). Teorema 2.6.1. Para o sistema dado em (2.46), cuja lei de adaptação é fornecida pela equação (2.47), o ponto de equilíbrio [eT , θ˜ T ] = [0, 0] é um ponto de equilíbrio estável. Prova. Para uma candidata a função de Lyapunov dada por ˜ = 1 eT P e + 1 θ˜ T Γ−1 θ˜ > 0, Γ = ΓT > 0 V (e, θ) 2 2. (2.48). sua derivada resulta em ˜ = −eT Qe − ε20 n2s ≤ 0 V˙ (e, θ). (2.49). como demonstrado em (SILVA JÚNIOR, 2005). Portanto, o ponto de equilíbrio [eT , θ˜T ] = [0, 0] é estável.. 2.6.2. Lei de Adaptação Chaveada. Considere uma lei de adaptação chaveada dada por θi = θ¯ i sgn(ε0 φi ), θ¯ i > |θ∗i |. (2.50).

(43) 2.7. CONCLUSÃO. 21. Teorema 2.6.2. Para o sistema dado em (2.46), com a lei de adaptação fornecida pela equação (2.50), o ponto de equilíbrio e = 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. Prova. Escolhe-se uma candidata a função de Lyapunov dada por 1 V (e) = eT P e 2. (2.51). Então, 1 V˙ (e) = (e˙ T P e + eT P e) ˙ 2 1 V˙ (e) = [eT ATc + bTc (−θ˜ T φ − ε0 n2s )]P e 2 1 T + e P [Ac e + bc (−θ˜ T φ − ε0 n2s )] 2 1 V˙ (e) = [eT (ATc P + P Ac )e] 2 1 + [2ε0 (−θ˜ T φ − ε0 n2s )] 2 V˙ (e) = −eT Qe − ε20 n2s − ε0 θ˜ T φ V˙ (e) = −eT Qe − ε20 n2s − ε0 (θ − θ ∗ )T φ. (2.52). (2.53). (2.54) (2.55) (2.56). n+1. V˙ (e) = −eT Qe − ε20 n2s − ∑ [θ¯ i sgn(ε0 φi ) − θ∗i ]ε0 φi. (2.57). V˙ (e) = −eT Qe − ε20 n2s − ∑ (θ¯ i |ε0 φi | − θ∗i ε0 φi ). (2.58). i=1 n+1 i=1. Desde que θ¯ i > |θ∗i |, tem-se que V˙ (e) ≤ −eT Qe − ε20 n2s < 0 o que garante que e = 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.. 2.7. Conclusão. Neste capítulo, foi descrito matematicamente o PPC para uma planta arbitrária, cuja função de transferência é estritamente própria, com o projeto de controle baseado no método polinomial. Os objetivos do controlador foram definidos como: rastreamento2 de um sinal de referência r e alocação dos polos de malha fechada da planta, de acordo com a dinâmica fornecida por A∗ (s). Esse polinômio é escolhido pelo projetista e deve apre2O. problema de rastreamento ou seguimento de referência envolve a escolha de um polinômio que está em conformidade com o princípio do modelo interno, para uma determinada classe de sinais..