Sistematização da modelagem e simulação dinamica de manipuladores flexiveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CURSO DE PÓS-GRADUACÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

SISTEMATIZAÇÃO DA MODELAGEM E SIMULACAO DINÂMICA

DE MANIPULADORES FLEXÍVEIS

TESE SUBMETIDA A UNIVERSIDADE FEDERAL DE

JANTA CATARINA PARA A OBTENCÂO DO GRAU DE

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

FERNANDO ANTONIO FORCELLINI

FLORIANÓPOLIS, JUNHO DE 1994

F E R N A N D O A N T Ô N I O F O R C E L L I N I E S T A T E S E FOI J U L G A D A A D E Q U A D A P A R A A O B T E N Ç Ã O D O T Í T U L O D E D O U T O R E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A , Á R E A D E C O N C E N T R A Ç Ã O S Ó L I D O S , A P R O V A D A E M S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R S O D E P Ó S G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A O R I E N T A D O R B A N C A E X A M I N A D O R A ; LÍJIZ B E V I L A C Q U A , Ph. D.

B I O G R A F I A D O A U T O R F e r n a n d o A n t o n i o F o r c e i 1 ini, 31, é E n g e n h e i r o M e c â n i c o f o r m a d o e m 1985 p e l a U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a , o n d e a p r e s e n t o u s e u M e s t r a d o ( t a m b é m em E n g e n h a r i a M e c â n i c a ) e m 1989. D e s d e 1993 é p r o f e s s o r do D e p a r t a m e n t o de E n g e n h a r i a M e c â n i c a , da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a .

A G R A D E C I M E N T O S O a u t o r ao t é r m i n o d e s t e t r a b a l h o , d e s e j a a g r a d e c e r a t o d o s q u e d i r e t a o u i n d i r e t a m e n t e c o l a b o r a r a m p a r a a su a c o n c l u s ã o , e e m e s p e c i a l , A o P r o f . N e l s o n B a c k , p e l a o r i e n t a ç ã o , i n c e n t i v o e c o n f i a n ç a ; A o s a c a d ê m i c o s e a m i g o s J a i r o L e o K e g l e r e U l i s s e s D o b n e r D a n i e l , p e l o e l e v a d o e m p e n h o e c o o p e r a ç ã o no d e s e n v o l v i m e n t o c o m p u t a c i o n a l p r e s e n t e n e s t e t r a b a l h o : A o C u r s o de P ó s - G r a d u a ç ã o e m E n g e n h a r i a M e c â n i c a d a U F S C , p e l a o p o r t u n i d a d e c o n c e d i d a ; A o L a b o r a t ó r i o de P r o j e t o do D e p a r t a m e n t o de E n g e n h a r i a M e c â n i c a da U F S C , p e l a i n f r a - e s t r u t u r a e apo i o ; A o C A P E S , p e l o a p o i o f i n a n c e i r o .

E s t e t r a b a l h o t r a t a d o d e s e n v o l v i m e n t o de u m a m e t o d o l o g i a p a r a a m o d e l a g e m e s i m u l a ç ã o de m a n i p u l a d o r e s c o n t e n d o l i g a ç õ e s e j u n t a s r o t a c i o n a i s f l e x í v e i s . N a m o d e l a g e m s ã o u t i l i z a d a s as e q u a ç õ e s de L a g r a n g e . O c o n j u n t o d e c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s u t i l i z a d o é c o m p o s t o de c o o d e n a d a s q u e d e s c r e v e m os g r a n d e s d e s l o c a m e n t o s de c o r p o r í g i d o d a s l i g a ç õ e s , e d a s c o o r d e n a d a s q u e d e s c r e v e m os p e q u e n o s d e s l o c a m e n t o s d e v i d o s as d e f o r m a ç õ e s d a s l i g a ç õ e s . As l i g a ç õ e s s ã o d i s c r e t i z a d a s a t r a v é s de e l e m e n t o s f i n i t o s b a s e a d o s n a t e o r i a de v i g a s de T i m o s h e n k o , e a f l e x i b i l i d a d e d a s j u n t a s a t r a v é s de m o l a s t o r c i o n a i s l i n e a r e s . P a r a a s i m u l a ç ã o , f o r a m i m p l e m e n t a d o s p r o c e d i m e n t o s q u e p e r m i t e m a o b t e n ç ã o d a r e s p o s t a e s t á t i c a d a e s t r u t u r a p a r a d i f e r e n t e s c a r r e g a m e n t o s e p o s i ç õ e s , d a s f r e q u ê n c i a s n a t u r a i s e do s m o d o s de v i b r a ç ã o , e a r e s p o s t a d i n â m i c a no t e m p o p a r a d a d a s t r a j e t ó r i a s . A s i n f o r m a ç õ e s g e r a d a s p e r m i t e m q u e o d e s e m p e n h o do p r o j e t o e s t r u t u r a l s e j a a v a l i a d o p a r a v á r i a s s i t u a ç õ e s de t r a b a l h o .

A B S T R A C T T h i s w o r k d e a l s w i t h d e v e l o p i n g o f a m e t h o d o l o g y for m o d e l l i n g a n d s i m u l a t i o n o f t he m a n i p u l a t o r s w i t h f l e x i b l e s links a n d r o t a c i o n a l j o i n t s . In th e m o d e l l i n g a r e u t i l i z e d L a g r a n g e e q u a t i o n s a n d the a s s e m b l a g e of g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s u t i l i z e d is c o m p o s e d by c o o r d i n a t e s th at d e s c r i b e l a r g e r i g i d b o d y d i s p l a c e m e n t s o f the l i n k s a n d c o o r d i n a t e s tha t d e s c r i b e s s m al l d i s p l a c e m e n t s d u e the l i n k s d e f o r m a t i o n . T h e l i n k s a r e m o d e l l i n g b y f i n i t e e l e m e n t s b a s e d on T i m o s h e n k o b e a m t h e o r y a n d the j o in t f l e x i b i l i t y b y l i n e a r t o r c i o n a l s p r i n g s . F o r the s i m u l a t i o n a r e i m p l e m e n t e d p r o c e d u r e s that p e r m i t o b t a i n the s t r u t u r e s t a t i c r e s p o n s e for d i f f e r e n t l o a d i n g a n d p o s i t i o n s , n a t u r a l f r e q u e n c i e s , v i b r a t i o n m o d e s a n d d i n a m i c a l r e s p o n s e in the t i m e fo r g i v e n t r a j e c t o r i e s . T h e g e n e r a t e i n f o r m a t i o n a l l o w th e s t r u c t u r a l p r o j e c t p e r f o r m a n c e o f a m a n i p u l a t o r s be e v a l u a t e d for s e v e r a l w o r k s i t u a t i o n s .

ÍNDICE

C A P Í T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O ... 1 C A P Í T U L O II - R E V I S Ã O B I B L I O G R Á F I C A ... 13 2.1 - I n t r o d u ç ã o ... 13 2. 2 - F o r m u l a ç õ e s b a s e a d a s n a M e c â n i c a A n a l í t i c a ... 15 2 . 2 . 1 - E q u a ç õ e s de L a g r a n g e c o m M o d o s A s s u m i d o s ... 15 2 . 2 . 2 - E q u a ç õ e s de H a m i l t o n c o m M o d o s A s s u m i d o s ... 21 2 . 2 . 3 - E q u a ç õ e s de L a g r a n g e c o m M a t r i z e s de T r a n s f o r m a ç ã o 4x4 ... 23 2 . 2 . 4 - E q u a ç õ e s de L a g r a n g e c o m E l e m e n t o s F i n i t o s ... 29 2 . 2 . 5 - P r i n c í p i o de H a m i l t o n c o m E l e m e n t o s F i n i t o s ... 38 2 . 2 . 6 - E q u a ç õ e s de A p p e l ... 43 2. 3 - F o r m u l a ç õ e s b a s e a d a s na M e c â n i c a V e t o r i a l ... 45 2 . 3 . 1 - E q u a ç õ e s de N e w t o n - E u l e r ... 46 2 . 3 . 2 - E q u a ç õ e s de K a n e ... 49 2. 4 - F o r m u l a ç õ e s c o n s i d e r a n d o a f l e x i b i l i d a d e d a s j u n t a s ... 51 2.5 - C o n c l u s õ e s ... 52

C A P I T U L O III - U M A M O D E L A D E M D I N Â M I C A P A R A M A N I P U L A D O R E S F L E X Í V E I S ... 60 3.1 - I n t r o d u ç ã o ... 60 3 . 2 - F o r m u l a ç ã o do m o d e l o ... 61 3. 3 - E x p r e s s õ e s de e n e r g i a ... 64 3 . 4 - E q u a ç õ e s d e m o v i m e n t o ... 69 C A P I T U L O IV - M E T O D O L O G I A P A R A A M O D E L A G E M D I N Â M I C A D E M A N I P U L A D O R E S F L E X Í V E I S ... 74 4. 1 - I n t r o d u ç ã o ... 74 4 . 2 - D e s c r i ç ã o C i n e m á t i c a do M o d e l o ... 74 4 . 3 - E x p r e s s õ e s de E n e r g i a ... ... 79 4 . 4 - U m E x e m p l o de A p l i c a ç ã o d a M e t o d o l o g i a ... 81 4 . 4 . 1 - C o n d i ç õ e s de C o n t o r n o ... 95 C A P I T U L O V - D E S C R I Ç Ã O D E U M P R O G R A M A P A R A A S I M U L A Ç Ã O D E M A N I P U L A D O R E S F L E X Í V E I S ... 94 5.1 - I n t r o d u ç ã o ... 98 5 . 2 - D e s c r i ç ã o d o P r o g r a m a ... 98 5 . 2 . 1 - E n t r a d a de d a d o s ... 100 5 . 2 . 2 - M o d e l a g e m d a s l i g a ç õ e s ... 100 5 . 2 . 3 - M o d e l a g e m d a s j u n t a s ... 101 5 . 2 . 4 - E q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o ... 101 5.3 - O b t e n ç ã o d a s r e s p o s t a s ( s i m u l a ç ã o ) ... 102 5 . 3 . 1 - A n á l i s e e s t á t i c a ... 102 5 . 3 . 2 - A n á l i s e d o s a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s ... 105 5 . 3 . 3 - A n á l i s e t r a n s i e n t e ... 106 C A P I T U L O VI - S I M U L A Ç Õ E S ... 111 6.1 - I n t r o d u ç ã o ... 111 6 . 2 - S i m u l a ç õ e s p a r a o c a s o e s t á t i c o ... 111 6. 3 - S i m u l a ç õ e s p a r a a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s ... 125 i i

6. 4 - S i m u l a ç õ e s p a r a o c a s o t r a n s i e n t e ... .. 134 6 .5 - C o n c l u s õ e s ... .. 182 C A P I T U L O V I I - C O N C L U S Õ E S ... .. 185 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... 190 A P Ê N C I C E A ... 2 04 A P Ê N D I C E B ... .. 207 A P Ê N D I C E C ... .. 259 A P Ê N D I C E D ... .. 2 6 2 A P Ê N D I C E E ... 265 A P Ê N D I C E F ... 364 A P Ê N D I C E G ... 3 7 0

1

CAPITULO 1

INTRODUÇÃO

R o b ó t i c a é u m a c o m p o n e n t e p r o m i s s o r a d a a u t o m a ç ã o f a b r i l q u e a f e t a r á a m ã o - d e - o b r a h u m a n a em t o d o s os n í v e i s , d e s d e o p e r á r i o s e s p e c i a l i z a d o s a t é e n g e n h e i r o s p r o f i s s i o n a i s e g e r e n t e s d e p r o d u ç ã o . A t u a l m e n t e os r o b ô s t e m u m a a p l i c a ç ã o p r e d o m i n a n t e m e n t e i n d u s t r i a l ma s, os f u t u r o s r o b ô s p o d e r ã o e n c o n t r a r a p l i c a ç õ e s f o r a d a f á b r i c a , e m b a n c o s , r e s t a u r a n t e s e a t é m e s m o e m lares. É p o s s í v e l , t a l v e z p r o v á v e l , q u e a r o b ó t i c a v e n h a a se. t o r n a r u m c a m p o , c o m o a t e c n o l o g i a da c o m p u t a ç ã o hoje, d i f u n d í v e l p o r t o d a s as c a m a d a s da n o s s a s o c i e d a d e [1]. R o b ô s i n c l u e m h u m a n ó i d e s de f i c ç ã o c i e n t í f i c a , r o b ô s a u t ô n o m o s , r o b ô s de s e q u ê n c i a f i x a e v a r i á v e l , m á q u i n a s de c o n t r o l e n u m é r i c o e m a n i p u l a d o r e s i n d u s t r i a i s . O u seja, r o bô s m a n i p u l a d o r e s s ã o u m a p e q u e n a s u b c a t e g o r i a de robôs. S e g u n d o a U. S. R o b o t I n d u s t r i e s A s s o c i a t i o n (RIA), um r o b ô i n d u s t r i a l é u m " m a n i p u l a d o r r e p r o g r a r n á v e 1, m u l t i f u n c i o n a l , p r o j e t a d o p a r a m o v e r m a t e r i a i s , p e ç a s , f e r r a m e n t a s ou d i s p o s i t i v o s e s p e c i a i s a t r a v é s de m o v i m e n t o s v a r i á v e i s p r o g r a m a d o s p a r a a r e a l i z a ç ã o de u m a v a r i e d a d e de t a r e f a s ”. D e f i n i ç õ e s s i m i l a r e s s ã o a d o t a d a s p e l a B r i t i s h R o b o t A s s o c i a t i o n e a J a p a n e s e R o b o t A s s o c i a t i o n . A a n a l o g i a h u m a n a de u m r o b ô i n d u s t r i a l hoje, é m u i t o l i m i t a d a . Os r o b ô s n ã o se p a r e c e m c o m h u m a n o s e n ã o se c o m p o r t a m c o m o h u m a n o s . Ao c o n t r á r i o , sã o m á q u i n a s de u m só b r a ç o q u e q u a s e

s e m p r e o p e r a m a p a r t i r de u m local f i x o no p i s o da f á b r i c a . Os f u t u r o s r o b ô s p o d e r ã o ter u m n ú m e r o de a t r i b u t o s s i m i l a r e s aos do h o m e m . T e r ã o m a i o r e s c a p a c i d a d e s s e n s o r i a i s , m a i s i n t e l i g ê n c i a , u m n i v e l m a i s e l e v a d o de d e s t r e z a , a i n d a q u e c o m u m g r a u l i m i t a d o de m o b i l i d a d e . N ã o se p o d e n e g a r q u e a t e c n o l o g i a d a r o b ó t i c a c a m i n h a n a d i r e ç ã o de d o t a r e s s a s m á q u i n a s de m a i s e m a i s c a p a c i d a d e s s e m e l h a n t e s às d o s h o m e n s . As t e c n o l o g i a s e n v o l v i d a s e os c o n h e c i m e n t o s r e q u e r i d o s p a r a o p r o j e t o de m a n i p u l a d o r e s são b a s t a n t e a m p l o s e c o m p l e x o s . P o r t a n t o , u m a e q u i p e de p r o j e t o de r o b ô s i n d u s t r i a i s d e v e p o s s u i r m e m b r o s q u e t e n h a m f a m i l i a r i d a d e c o m o u s o de r o b ô s ( e n g e n h e i r o s de p r o d u ç ã o ) , p r o j e t o s m e c â n i c o s , e l é t r i c o s e a n á l i s e ( e n g e n h e i r o s e l é t r i c o s e m e c â n i c o s ) e i n t e r f a c e s c o m p u t a c i o n a i s ( e n g e n h e i r o s de a u t o m a ç ã o e de c o n t r o l e e p r o g r a m a d o r e s ) . T a n t o a c o m u n i d a d e a c a d ê m i c a q u a n t o a i n d u s t r i a l , t e m i d e n t i f i c a d o c o m o s e n d o de g r a n d e i m p o r t â n c i a , a m e t o d o l o g i a de p r o j e t o u t i l i z a d a , n o t o c a n t e a e v o l u ç ã o do s s i s t e m a s r o b o t i z a d o s [2-4]. O p r o c e d i m e n t o de p r o j e t o de r o b ô s n ã o é r i g o r o s o ou b e m o r g a n i z a d o . Os p r o j e t i s t a s u t i l i z a m i n t u i ç ã o , e x p e r i ê n c i a em o u t r o s c a m p o s e a t e n t a t i v a e erro. E n t r e t a n t o , c o m o a e x p e r i ê n c i a c o m m a n i p u l a d o r e s t e m a u m e n t a d o , as d e c i s õ e s de p r o j e t o t e n d e m a s e r m e l h o r d e f i n i d a s . U m a c a r a c t e r í s t i c a de p r o c e s s o s de p r o j e t o s o f i s t i c a d o s é a e l e v a d a u t i l i z a ç ã o de m o d e l a g e m e s i m u l a ç ã o do s i s t e m a a n t e s d a e x p e r i m e n t a ç ã o c o m o h a r d w a r e . U m f l u x o g r a m a m o s t r a n d o as e t a p a s de p r o j e t o de r o b ô s é p r o p o s t o n a f i g u r a 1.1. E s t e p r o c e d i m e n t o o b j e t i v a e x p l o r a r o m á x i m o p o s s í v e l a m o d e l a g e m e s i m u l a ç ã o de m o d o a m i n i m i z a r a

INICIO D E F I N I Ç Ã O D A T A R E F A R E Q U I S I T O S D E P R O J E T O S E L E Ç Ã O D O S A T U A D O R E S

T

S E L E Ç Ã O D O S S E N S O R E S E S T R A T É G I A D E C O N T R O L E P R O J E T O M E C Â N I C O D E T A L H A D O P R O J E T O E L É T R I C O D E T A L H A D O ____ I N T E G R A Ç Ã O D O S I S T E M A Fig. 1.1 - F l u x o g r a m a de p r o j e t o de um robô.

n e c e s s i d a d e de r e p r o j e t o , e x c e t o d u r a n t e as fases iniciais, onde

o c u s t o de r e p r o j e t o é baixo.

P o d e - s e d izer que, os robôs ind u s t r i a i s na sua fo rma

final, são c o n s t i t u i d o s b a s i c a m e n t e de três sistemas:

■ e s t r u t u r a m e c â n i c a , c o n s i s t i n d o das ligações m e c â n i c a s e

junta s c a p a z e s de v á r i o s mov i m e n t o s ;

■ s i s t e m a de c ontro le, p o d e n d o ser do tipo s e q üencial ou

s e r v o c o n t r o l a d o ;

■ u n i d a d e s de potê n c i a , que p o d e m ser hid r á u l i c a s , pneu m á t i c a s ,

e l é t r i c a s ou c o m b i n a ç õ e s destas, co m ou se m t r a n s m i s s õ e s

m e c â n i c a s .

A t u a l m e n t e tem -se feito m u i t o s p r o g r e s s o s a nível

mu n d i a l no d e s e n v o l v i m e n t o de sist e m a s de controle, s e n s o r e a m e n t o

do efet u a d o r , m o t o r e s d i r e c t - d r i v e e s i s t e m a s de visão.

E n t r e t a n t o , o b s e r v a - s e que u m a das d i f i c u l d a d e s p a r a a a c e i t a ç ã o

de robôs p e l a i n d ú s t r i a de u m m o d o geral, p r o v é m do seu e l e v a d o

custo, o qual é d e v i d o em gran de part e ao b a i x o nível t e c n o l ó g i c o

da sua e s t r u t u r a mecâ n i c a . Pois, des de que, o cust o do s i s t e m a de

c o n t r o l e i n c l u i n d o s e n s o r e s h a r d w a r e e softwa re, não depe n d e

s i g n i f i c a t i v a m e n t e do t a m a n h o do robô, o cust o d est e pode ser

s i g n i f i c a t i v a m e n t e i n f l u e n c i a d o pelo c usto do s i s t e m a m e c â n i c o

[5] .

E x i s t e também, um a g r ande n e c e s s i d a d e de sist e m a s

r o b o t i z a d o s que o p e r e m com alta v e l o c i d a d e e t e n h a m

c a r a c t e r í s t i c a s s u p e r i o r e s de performan ce.

O b s e r v a - s e que na g e r a ç ã o atual de robôs, este s são

p r o j e t a d o s com m e m b r o s a r t i c u l a d o s p o s s u i n d o g r a ndes m o m e n t o s de

inércia, alta rigidez, pes o subs t a n c i a l e que, p a r a c o n s e g u i r e m

5 e n t r e o p e s o da c a r g a e o p e s o do b r a ç o de a t é 1 : 1 0 0 [6 ], p a r â m e t r o s e s t e s , c a u s a d o r e s de r e s t r i ç õ e s s i g n i f i c a t i v a s t a n t o n a r e s p o s t a q u a n t o n a a p l i c a ç ã o d e s t e s e q u i p a m e n t o s . As b a i x a s r e l a ç õ e s e n t r e c a r g a e p e s o do b r a ç o , t o r n a m os r o b ô s c a r o s , p e s a d o s e p e r i g o s o s , o q u e l i m i t a e s t e s e q u i p a m e n t o s ao a m b i e n t e de f á b r i c a , o n d e p o d e m t r a b a l h a r r e g u l a r m e n t e , m o n t a d o s s o b r e b a s e s ó l i d a e i s o l a d o s a d e q u a d a m e n t e d o s t r a b a l h a d o r e s h u m a n o s . A p r ó x i m a g e r a ç ã o de rob ô s , d e v e r á se r s e n s i v e l m e n t e d i f e r e n t e d a a t u a l , no t o c a n t e a a p a r ê n c i a e c o m p o r t a m e n t o . Os f u t u r o s r o b ô s t e r ã o e s t r u t u r a s m u i t o m a i s leves e f l e x í v e i s , o n d e os m e m b r o s e s t r u t u r a i s i r ã o d e f o r m a r - s e t a n t o s o b a a ç ã o de c a r g a s , c o m o d u r a n t e os m o v i m e n t o s . C o m a f l e x ã o d o s m e m b r o s , o m o v i m e n t o d o s r o b ô s n ã o s e r á d e s a j e i t a d o e f e i t o ao s t r a n c o s , ma s t e n d e r á a se r s u a v e e g r a c i o s o . E l e s t a m b é m u s a r ã o a f l e x i b i l i d a d e p a r a a e x e c u ç ã o de t a r e f a s , qu e n ã o sã o e x e c u t a d a s p e l a a t u a l g e r a ç ã o de r o b ô s , ta is como: a r r e m e s s o a m a r t e 1a m e n t o . Os f u t u r o s r o b ô s d e v e r ã o m a n i p u l a r c a r g a s t ã o ou m a i s p e s a d a s qu e ele, e n ã o t e r ã o n e c e s s á r i a m e n t e de ser f i x o s ao chão. E l e s s e r ã o m o d u l a r e s de tal fo rma, que u m m e m b r o d i f e r e n t e p o d e r á ser i n s e r i d o n o r o b ô p a r a u m a d i f e r e n t e t a r e f a , e que p e q u e n o s r e p a r o s p o d e r ã o ser f a c i l m e n t e e x e c u t a d o s . D e v i d o ao s e u b a i x o pes o, s e r ã o m e n o s c u s t o s o s , e p e l a s u a f l e x i b i l i d a d e , s e r ã o m a i s s e g u r o s na s s u a s i n t e r a ç õ e s c o m as p e s s o a s e o u t r o s e q u i p a m e n t o s , e s u a s c o l i s õ e s n ã o d e v e r ã o ser c a t a s t r ó f i c a s . E n t ã o , as c a r a c t e r í s t i c a s de a l t a p e r f o r m a n c e ta is c o m o a l t a r e p e t i b i 1 i d a d e , b o a c a p a c i d a d e de ca rg a, p e q u e n o s t e m p o s de r e s p o s t a , b a i x o peso, b a i x o c o n s u m o de p o t ê n c i a e a l t a p r e c i s ã o

n o e f e t u a d o r , p o d e m ser o b t i d a s f a b r i c a n d o - s e m e m b r o s e s t r u t u r a i s de b a i x o p e s o c o m a d e q u a d a r i g i d e z e s t r u t u r a l [2]. P o r e x e m p l o , os b e n e f í c i o s a d v i n d o s do u s o de s i s t e m a s de v i s ã o s ã o f r e q u e n t e m e n t e l i m i t a d o s p e l o c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o d o rob ô, já q u e c e n a s s i m p l e s p o d e m ser a n a l i s a d a s p e l o s i s t e m a de c o n t r o l e de v i s ã o e m 250 m s o u m e n o s , u m r o b ô do t i p o U n i m a t e 2 0 0 0 B n e c e s s i t a de 50 0 ms p a r a r e s p o n d e r a u m s i m p l e s sinal do s i s t e m a de c o n t r o l e . O p r o j e t o m e c â n i c o de u m r o b ô c o n s i s t e no p l a n e j a m e n t o d a c o n s t r u ç ã o f í s i c a da s p a r t e s do r o b ô s u b m e t i d a s a c a r r e g a m e n t o s . E s t a t a r e f a inclu i a e s p e c i f i c a ç ã o d a fo rm a, s e ç ã o t r a n s v e r s a l e m a t e r i a i s u t i l i z a d o s e m c a d a lig a ç ã o , a t u a d o r e s e t r a n s m i s s õ e s . C o n c l u í d a e s t a e t a p a , p a r t e - s e p a r a u m a a n á l i s e do p r o j e t o m e c â n i c o , o b j e t i v a n d o v e r i f i c a r se o r o b ô a t i n g e a p e r f o r m a n c e d e s e j a d a . D o i s a s p e c t o s i m p o r t a n t e s d e v e m ser a n a l i s a d o s : u m q u a n t o a p r e c i s ã o , q u e e n v o l v e o c o m p o r t a m e n t o d e c o r r e n t e d a r i g i d e z e s t r u t u r a l e m v á r i a s c o n d i ç õ e s d i f e r e n t e s de c o n f i g u r a ç ã o e c a r r e g a m e n t o ; e o u t r o q u a n t o a f r e q ü ê n c i a , e n v o l v e n d o c a r a c t e r í s t i c a s de i n é r c i a e r i g i d e z , e c o m o e l a s a f e t a m a p e r f o r m a n c e do robô. A f i g u r a 1.2 q u e m o s t r a , m a i s d e t a l h a d a m e n t e , a e t a p a de a n á l i s e d i n â m i c a , p e r m i t e v e r i f i c a r a r e l e v â n c i a p a r a o p r o j e t o m e c â n i c o de r o b ô s de a l t a p e r f o r m a n c e , da s t e o r i a s de a n á l i s e d i n â m i c a d o s c o r p o s q u e f o r m a m os ro b ô s , b e m c o m o c o n h e c i m e n t o s das c i ê n c i a s dos m a t e r i a i s , p o i s se a g e o m e t r i a e as p r o p r i e d a d e s do s m a t e r i a i s qu e c o m p õ e m o b r a ç o d o s r o b ô s são o t i m i z a d o s , as c a r a c t e r í s t i c a s m e c â n i c a s de p e r f o r m a n c e a n t e r i o r m e n t e c i t a d a s t a m b é m s e r ã o o t i m i z a d a s .

7

c o m c a r g a e v e l o c i d a d e p r e e s c r i t a s , as c a r a c t e r í s t i c a s d i n â m i c a s

da r e s p o s t a do e f e t u a d o r e c o n s e q u e n t e m e n t e a precisão,

r e p e t i b i 1 idade e tempo de e s t a b i l i z a ç ã o , são lar gam ent e

i n f l u e n c i a d a s p e l a massa, r i g idez e p r o p r i e d a d e s dos memb r o s

e s t r u t u r a i s . O d e c r é s c i m o da m a s s a reduz a c a r g a inercial,

p o s s i b i l i t a n d o o a u m e n t o da v e l o c i d a d e u s a n d o os me smos

a t u a d o r e s e o a u m e n t o da rigi d e z di minui as d e f l e x õ e s dos me mbros

e s t r u t u r a i s . E n t ã o estas c a r a c t e r í s t i c a s in dicam que im portantes

M A T E R I A L G E O M E T R I A F O R Ç A S D E N S I D A D E R E S I S T Ê N C I A

n

M A S S A RIGIDEZ A M O R T E C I M . E Q U A Ç Õ E S D O M O V I M E N T O R E S P O S T A D O R O B Ô precisão repetibilidade capacidade tempo de resposta peso

v a r i á v e i s de p r o j e t o s ã o as p r o p r i e d a d e s d o s m a t e r i a i s e t a m b é m a g e o m e t r i a d o s c o m p o n e n t e s e s t r u t u r a i s . P o r t a n t o , p a r a u m b o m p r o j e t o t a n t o m e c â n i c o q u a n t o d o s i s t e m a de c o n t r o l e de r o b ô s , é de f u n d a m e n t a l i m p o r t â n c i a a m o d e l a g e m d i n â m i c a do m e s m o , p o i s q u e s t õ e s t a i s c o m o a p e r f o r m a n c e d o m a n i p u l a d o r , d e s c r i t a e m t e r m o s d a p r e c i s ã o do e f e t u a d o r , r e p e t i b i 1 i d a d e , c a p a c i d a d e de ca r g a , c o n t r o l e , etc. , s ã o r e g u l a d a s p e l o c o n c e i t o d a d i n â m i c a d o m a n i p u l a d o r . H i s t o r i c a m e n t e , a m o d e l a g e m d i n â m i c a de m e c a n i s m o s t a n t o de c a d e i a a b e r t a q u a n t o f e c h a d a , t e m s i d o b a s e a d a n a c o n s i d e r a ç ã o de q u e t a n t o as l i ga çõ es, q u a n t o as j u n t a s d a s c a d e i a s c i n e m á t i c a s s ã o c o r p o s r i g i d o s . P a r a os r o b ô s m a n i p u l a d o r e s q u e s ã o c a d e i a s c i n e m á t i c a s a b e r t a s , v á r i a s f o r m u l a ç õ e s d i n â m i c a s t ê m s i d o e m p r e g a d a s , u t i l i z a n d o a m e s m a c o n s i d e r a ç ã o a n t e r i o r m e n t e c i t a d a . O s m é t o d o s u t i l i z a d o s p a r a a o b t e n ç ã o d o s m o d e l o s m a t e m á t i c o s de m e c a n i s m o s a t i v o s p o d e m ser c l a s s i f i c a d o s d e n t r o de t r ê s g r u p o s b á s i c o s [7]: ■ m o d e l o s b a s e a d o s n a s e q u a ç õ e s de L a g r a n g e ; ■ m o d e l o s b a s e a d o s n a s e q u a ç õ e s de N e w t o n - E u l e r e n o s p r i n c i p a i s t e o r e m a s d a m e c â n i c a de s i s t e m a s ; ■ m o d e l o s b a s e a d o s n a " e n e r g i a " de a c e l e r a ç ã o de G i b b s . A f o r m u l a ç ã o L a g r a n g e a n a , m u i t o d i f u n d i d a , u t i l i z a u m a f u n ç ã o e n e r g i a e s c a l a r , e n v o l v e n d o a e n e r g i a c i n é t i c a e p o t e n c i a l . C o m o a e n e r g i a c i n é t i c a é f u n ç ã o d a v e l o c i d a d e a b s o l u t a , a p r e s e n ç a de v á r i a s l i g a ç õ e s n a c a d e i a c i n e m á t i c a r e q u e r o u s o de t r a n s f o r m a ç õ e s de c o o r d e n a d a s . A p ó s a i n t r o d u ç ã o d a s t r a n s f o r m a ç õ e s , v á r i a s d e r i v a d a s p a r c i a i s c o m r e l a ç ã o as c o o r d e n a d a s d a s j u n t a s e s u a s t a x a s de v a r i a ç ã o n a s e q u a ç õ e s

9 d e v e m s er c o m p u t a d a s , a c a r r e t a n d o o p e r a ç õ e s a d i c i o n a i s , q u e p o d e m l e v a r a p r o b l e m a s n u m é r i c o s n a i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l [ 8 ] . A s i m p l i f i c a ç ã o m a i s c o m u m d e s t e m é t o d o , c o n s i s t e em d e s p r e z a r os t e r m o s d e v i d o s a f o r ç a c e n t r í f u g a e de C o r i o l l i s , r e s u l t a n d o e m m e n o r e s f o r ç o c o m p u t a c i o n a l [9] [10]. C o n t u d o , e s t a é v á l i d a s o m e n t e e m c a s o s o n d e as v e l o c i d a d e s s ã o b a i x a s , pois, n a s a l t a s v e l o c i d a d e s de m o v i m e n t o as f o r ç a s de C o r i o l l i s e c e n t r í f u g a s ã o as m a i o r e s c o m p o n e n t e s n a d i n â m i c a de u m m a n i p u l a d o r [11]. O m é t o d o p o s s u i a v a n t a g e m , de e v i t a r c o n s i d e r a ç õ e s i m p r ó p r i a s de f o r ç a s i n t e r n a s , e n v o l v i d a s no s i s t e m a . A l é m diss o, c o n s t i t u i - s e n u m p r o c e d i m e n t o c l a r o p a r a a o b t e n ç ã o das e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o , p o s s i b i l i t a n d o as s i m , u m a b o a i n t e r p r e t a ç ã o do s i g n i f i c a d o f í s i c o e d a s i n f l u ê n c i a s dos t e r m o s d e s t a s e q u a ç õ e s . 0 m é t o d o de N e w t o n - E u l e r b a s e a d o e m e q u a ç õ e s v e t o r i a i s , faz u m b a l a n ç o de t o d a s as f o r ç a s e m o m e n t o s q u e a t u a m nas l i g a ç õ e s , i n c l u i n d o f o r ç a s e m o m e n t o s de a c o p l a m e n t o d i n â m i c o da s l i g a ç õ e s a d j a c e n t e s da c a d e i a c i n e m á t i c a . O s t e r m o s d e v i d o s às f o r ç a s de i n é r c i a e m o m e n t o s a n g u l a r e s s ã o a d i c i o n a d o s de a c o r d o c o m o p r i n c í p i o de D ’A l e m b e r t . As e q u a ç õ e s sã o o b t i d a s r e c u r s i v a m e n t e , r e l a c i o n a n d o - s e as l i g a ç õ e s a d j a c e n t e s . A p e s a r do m é t o d o a p r e s e n t a r a v a n t a g e m de n ã o n e c e s s i t a r de t r a n s f o r m a ç õ e s de c o o r d e n a d a s , t o d a s as f o r ç a s e r e a ç õ e s v i n c u l a r e s d e v e m se r i n c l u í d a s . As e q u a ç õ e s o b t i d a s n ã o se a p r e s e n t a m n a f o r m a f e c h a d a , s e n d o e n t ã o n e c e s s á r i a , u m a s e p a r a ç ã o e n t r e as f o r ç a s v i n c u l a r e s e os t o r q u e s n a s j u n ta s, de m o d o a q u e as e q u a ç õ e s a p r e s e n t e m u m a r e l a ç ã o e x p l í c i t a e n t r e as c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s do s i s t e m a e os t o r q u e s g e n e r a l i z a d o s .

As e q u a ç õ e s de A p p e l t a m b é m a p l i c a d a s n a d i n â m i c a de b r a ç o s de r o b ô s , s ã o b a s e a d a s n u m a f u n ç ã o " e n e r g i a " de a c e l e r a ç ã o , ou f u n ç ã o de G i b b s . F o r m u l a ç õ e s b a s e a d a s n e s t a s e q u a ç õ e s s ã o o b t i d a s n u m a f o r m a tal, q u e a s o l u ç ã o n u m é r i c a d i r e t a r e q u e r c o n s i d e r á v e l m e n t e m e n o s o p e r a ç õ e s do q u e as r e q u e r i d a s n o s m é t o d o s de L a g r a n g e e N e w t o n - E u l e r [8]. E n t r e t a n t o , n ã o p r o p o r c i o n a m u m a c l a r a i d e n t i f i c a ç ã o da i n f l u ê n c i a d o s t e r m o s de C o r i o l l i s , c e n t r í f u g o s e da g r a v i d a d e . U m a o u t r a t é c n i c a u t i l i z a d a na o b t e n ç ã o da s e q u a ç õ e s d i n â m i c a s de s i s t e m a s m e c â n i c o s , é o m é t o d o d e s e n v o l v i d o po r T h o m a s K a n e [12]. E s t e m é t o d o ( t a m b é m c o n h e c i d o c o m o f o r m a de L a g r a n g e do p r i n c í p i o de D ’A l e m b e r t ) , é u m a f o r m u l a ç ã o v e t o r i a l b a s e a d a n u m a m o d i f i c a ç ã o da s e q u a ç õ e s de N e w t o n . Ao i n v é s de f a z e r u m b a l a n ç o de t o d a s as f o r ç a s , u t i l i z a o c o n c e i t o de f o r ç a s g e n e r a l i z a d a s , p e l o q u al, as f o r ç a s de v í n c u l o n ã o e n t r a m n a o b t e n ç ã o d a s e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o . C o n s e q u e n t e m e n t e , t e m - s e m e n o s i n c ó g n i t a s q u e no m é t o d o de N e w t o n - E u l e r . N o e n t a n t o , e s t e m é t o d o por ser c o m p l e x o , é u m a b o a f e r r a m e n t a a p e n a s p a r a u s u á r i o s já e x p e r i e n t e s n a s u a u t i l i z a ç ã o [13] . O u t r o s m é t o d o s f o r a m d e s e n v o l v i d o s p a r a o e s t u d o do c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o de b r a ç o s de r o b ô s [14] [15] [16], c o n t u d o , d e v i d o ao i n e r e n t e a c o p l a m e n t o d i n â m i c o d e s t e s s i s t e m a s a l t a m e n t e n ã o l i n e a r e s , n e n h u m d e s t e s m é t o d o s t e m r e s u l t a d o e m e q u a ç õ e s c o m u m a f o r m a f e c h a d a s i m p l e s . E n t r e t a n t o , d e v i d o ao i n e v i t á v e l m o v i m e n t o o s c i l a t ó r i o d a s l i g a ç õ e s da c a d e i a c i n e m á t i c a , v e l o c i d a d e s r e l a t i v a m e n t e a l t a s e p e s a d a s c a r g a s , a c o n s i d e r a ç ã o da e s t r u t u r a c o m o s e n d o f o r m a d a p o r c o r p o s r í g i d o s t o r n a - s e i n a d e q u a d a , p o i s

c a r a c t e r í s t i c a s i m p o r t a n t e s t a i s c o m o p r e c i s ã o e r e p e t i b i 1 idade d e t e r i o r a m - s e c o m a d e f o r m a ç ã o e s t r u t u r a l das j u n t a s e da s l i g a ç õ e s d a c a d e i a c i n e m á t i c a . P o r e s t a r a z ã o , p a r a u m p r o j e t o t a n t o m e c â n i c o q u a n t o d o s i s t e m a de c o n t r o l e de ro bôs, t o r n a - s e n e c e s s á r i o q u e a m o d e l a g e m d i n â m i c a d e s t e s e q u i p a m e n t o s , s e j a f e i t a l e v a n d o em c o n s i d e r a ç ã o a f l e x i b i l i d a d e d os m e m b r o s e s t r u t u r a i s . A l é m d i s t o , os m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s q u a n d o c o m p a r a d o s c o m m a n i p u l a d o r e s r í g i d o s , a p r e s e n t a m u m a s é r i e de v a n t a g e n s , t a i s como, u m a m e n o r n e c e s s i d a d e de m a t e r i a l , r e s u l t a n d o -num m e n o r peso , m e n o r c o n s u m o de p o t ê n c i a e s e r e m m a i s f a c i l m e n t e m a n o b r á v e i s e t r a n s p o r t á v e i s , ou seja, a s u b s t i t u i ç ã o d o s m a n i p u l a d o r e s c o n t e n d o m e m b r o s e s t r u t u r a i s r í g i d o s , por m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s , r e s u l t a e m c o n s i d e r á v e i s g a n h o s nos c u s t o s o p e r a c i o n a i s e de e n e r g i a . A p e s a r di s t o , os m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s n ã o sã o p o p u l a r e s a n í v e l de i n d ú s t r i a , d e v i d o as d i f i c u l d a d e s de m o d e l a g e m e c o n t r o l e [37]. T o d a s e s t a s r a z o e s , t e m c o n t r i b u í d o p a r a u m c r e s c e n t e i n t e r e s s e a n í v e l i n t e r n a c i o n a l , p e l a á r e a de r o b ô s m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s . A c o n t r i b u i ç ã o f e i t a n e s t e t r a b a l h o c o n s i s t e no d e s e n v o l v i m e n t o de u m a f o r m u l a ç ã o , qu e p e r m i t e a m o d e l a g e m de s i s t e m a s r o b ó t i c o s c o n t e n d o j u n t a s r o t a c i o n a i s , o n d e a c a r a c t e r í s t i c a p r i n c i p a l é a i n c l u s ã o no m o d e l o , d o s e f e i t o s d e v i d o s a e x i s t ê n c i a de f l e x i b i l i d a d e na s l i g a ç õ e s e jun tas . O u t r o a s p e c t o do t r a b a l h o d e s e n v o l v i d o , r e f e r e - s e às s i m u l a ç õ e s i m p l e m e n t a d a s , as q u a i s p o s s i b i l i t a m qu e s e j a m e f e t u a d o s três t i p o s de a n á l i s e : a n á l i s e e s t á t i c a , a n á l i s e d o s a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s e a n á l i s e t r a n s i e n t e . 11

O s r e s u l t a d o s o b t i d o s c o m a m e t o d o l o g i a p r o p o s t a , f o r n e c e m u m i m p o r t a n t e a u x í l i o p a r a a t a r e f a de p r o j e t o m e c â n i c o de m a n i p u l a d o r e s , p r i n c i p a l m e n t e a t r a v é s da o b s e r v a ç ã o c l a r a do c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o do s i s t e m a m e c â n i c o . N o C a p í t u l o 2, é a p r e s e n t a d o u m l e v a n t a m e n t o b i b l i o g r á f i c o s o b r e m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s , o n d e sã o a b o r d a d a s e e x a m i n a d a s as d i f e r e n t e s f o r m u l a ç õ e s e m p r e g a d a s n a o b t e n ç ã o das e q u a ç õ e s de m o v i m e n t o , j u n t a m e n t e c o m as p r i n c i p a i s t é c n i c a s u t i l i z a d a s n a m o d e l a g e m d a s f l e x i b i 1 id a d e s do s m e m b r o s e s t r u t u r a i s . N o C a p í t u l o 3, c o m o o b j e t i v o de m e l h o r c o m p r e e n s ã o e i n t e r p r e t a ç ã o do p r o b l e m a d i n â m i c o de m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s , é d e s e n v o l v i d a u m a m a n e i r a s i s t e m á t i c a p a r a a o b t e n ç ã o da s e q u a ç õ e s de m o v i m e n t o , p e r m i t i n d o que s e j a m o b s e r v a d o s a s p e c t o s i m p o r t a n t e s q u a n t o a m o d e l a g e m e o b t e n ç ã o das e q u a ç õ e s d e s t e s s i s t e m a s . O C a p í t u l o 4, a p r e s e n t a a f u n d a m e n t a ç ã o t e ó r i c a da m e t o d o l o g i a a ser a d o t a d a n a m o d e l a g e m e s i m u l a ç ã o de m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s . O C a p í t u l o 5 d e s c r e v e a e s t r u t u r a g e ra l de u m p r o g r a m a , b a s e a d o na m e t o d o l o g i a de m o d e l a g e m p r o p o s t a n o c a p í t u l o a n t e r i o r , e os m é t o d o s de s o l u ç ã o e m p r e g a d o s p a r a as s i m u l a ç õ e s , as q u a i s s e r ã o m o s t r a d a s d e t a l h a d a m e n t e n o C a p í t u l o 6. O C a p í t u l o 7 a p r e s e n t a as c o n c l u s õ e s e d i s c u s s õ e s a r e s p e i t o do t r a b a l h o d e s e n v o l v i d o .

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CAPITULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - I n t r o d u ç ã o V á r i a s m e t o d o l o g i a s , p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o m o v i m e n t o de c a d e i a s de c o r p o s f l e x í v e i s , v e m s e n d o d e s e n v o l v i d a s b a s e a d a s n a s f o r m u l a ç õ e s c i t a d a s n o c a p í t u l o a n t e r i o r . E s t a s m e t o d o l o g i a s n o r m a l m e n t e u t i l i z a m c o n c e i t o s d o s m é t o d o s q u a s e - e s t á t i c o s , e l e m e n t o s f i n i t o s e a n á l i s e m o d a l . O b s e r v a - s e que, p a r a c o n j u n t o s de e q u a ç õ e s d i n â m i c a s de c o r p o s r i g í d o s , e s t e s a p r e s e n t a m e q u i v a l ê n c i a e n t r e u m e o u t r o [17]. O q u e n ã o o c o r r e p a r a o c a s o de c o r p o s f l e x í v e i s . I s t o d e v e - s e a o f a t o de q u e u m c o r p o f l e x í v e l e s t á a s s o c i a d o a u m n ú m e r o i n f i n i t o de g r a u s de l i b e r d a d e . E q u a l q u e r f o r m u l a ç ã o r e d u z u m c o r p o f l e x í v e l a u m s i s t e m a c o m f i n i t o s g r a u s d e l i b e r d a d e . E s t a r e d u ç ã o é f e i t a po r d i f e r e n t e s e n ã o e q u i v a l e n t e s c a m i n h o s , r e s u l t a n d o n u m a n ã o e q u i v a l ê n c i a e n t r e as v á r i a s f o r m u l a ç õ e s . As d i f e r e n ç a s p r i n c i p a i s e n t r e os m é t o d o s de a n á l i s e d i n â m i c a de s i s t e m a s de c o r p o s i n t e r c o n e c t a d o s po r j u n t a s , a l é m d a a b o r d a g e m s i m b ó l i c a o u n u m é r i c a e s t ã o n o t i p o de c o o r d e n a d a s u s a d a s p a r a d e t e r m i n a r a p o s i ç ã o e n o m é t o d o u t i l i z a d o p a r a o b t e r as e q u a ç õ e s de m o v i m e n t o . A m o d e l a g e m de m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s , c o m o e n c o n t r a d a na l i t e r a t u r a , p o d e se r f e i t a a t r a v é s de d o i s p r o c e d i m e n t o s

F i g . 2 . 1 - Esquema g e r a l d a s p o s s í v e i s f o r m a s de modelagem de m a n i p u l a d o r e s f l e x í v e i s .

15 d i s t i n t o s : a t r a v é s d a M e c â n i c a A n a l í t i c a e d a M e c â n i c a V e t o r i a l , c o n f o r m e m o s t r a a f i g u r a 2.1. A c a d a u m d e s t e s p r o c e d i m e n t o s sã o a s s o c i a d a s v ã r i a s f o r m u l a ç õ e s , e c o m u m a t o d a s e s t a s f o r m u l a ç õ e s as p r i n c i p a i s t é c n i c a s de m o d e l a g e m d a f l e x i b i l i d a d e de s i s t e m a s c o n t í n u o s . A s e g u i r s e r ã o a p r e s e n t a d a s a l g u m a s d e s t a s f o r m u l a ç õ e s , j u n t a m e n t e c o m as t é c n i c a s de m o d e l a g e m da s f l e x i b i 1 i d a d e s . 2. 2 - F o r m u l a ç õ e s b a s e a d a s n a M e c â n i c a A n a l í t i c a N e s t a s f o r m u l a ç õ e s , o s i s t e m a é c o n s i d e r a d o c o m o u m t o d o e as e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o s ã o o b t i d a s a t r a v é s de f u n ç õ e s t a i s c o m o e n e r g i a p o t e n c i a l tot al e e n e r g i a c i n é t i c a , t o d a s g r a n d e z a s e s c a l a r e s . A m e c â n i c a a n a l í t i c a c o n d u z a p r o c e d i m e n t o s g e r a i s de f o r m u l a ç ã o t a i s c o m o e q u a ç õ e s de L a g r a n g e , P r i n c í p i o de H a m i l t o n e e q u a ç õ e s de H a m i l t o n . A s e g u i r s e r ã o a p r e s e n t a d a s as p r i n c i p a i s t é c n i c a s de m o d e l a g e m d a s p e q u e n a s d e f o r m a ç õ e s d e n t r o do c o n t e x t o d a m e c â n i c a a n a l í t i c a . 2 . 2 . 1 - E q u a ç õ e s de L a g r a n g e c o m M o d o s A s s u m i d o s N e s t a a b o r d a g e m , a s o l u ç ã o p a r a o m o v i m e n t o d e c o r r e n t e d a f l e x i b i l i d a d e de c a d a l i g a ç ã o i, c o n s i d e r a n d o s o m e n t e a d e f l e x ã o , é e x p r e s s a a t r a v é s de u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r de f u n ç õ e s a d m i s s í v e i s $ (x^) q u e s a t i s f a z e m as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o g e o m é t r i c a s , m u l t i p l i c a d a s po r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s q (t), d e p e n d e n t e s d o te m p o , O m o v i m e n t o f l e x í v e l é e x p r e s s o por:

w . = £ 0 ( X . ) q (t) 1 jíi 1J 1 lj

(

2

_.

1

₎

N a d e s c r i ç ã o c i n e m á t i c a de u m s i s t e m a p l a n a r , u t i l i z a - s e u m s i s t e m a i n e r c i a l XY, e s i s t e m a s l o c a i s x y c o m i 1 o r i g e m e m c a d a j u n t a i. O s e i x o s x ’s sã o d e f i n i d o s c o m o p a r a l e l o s às l i g a ç õ e s q u a n d o e s t a s e s t ã o n o s e u e s t a d o i n d e f o r m a d o , c o n f o r m e m o s t r a a f i g u r a 2.2. Fig. 2. 2 - S i s t e m a s de c o o r d e n a d a s . O v e t o r p o s i ç ã o de u m p o n t o q u a l q u e r s o b r e a l i g a ç ã o 1

( 2 . 2 )

P = T r = i l i c© - s © 0' 'x i i i s© _i c© _i 0 w₁ 0 0 K 0

17 o n d e T é a m a t r i z t r a n s f o r m a ç ã o q u e r e l a c i o n a o s i s t e m a local 1 c o m o s i s t e m a i n e r c i a l , e é o v e t o r p o s i ç ã o do p o n t o r e l a t i v o a o s i t e m a local 1. O v e t o r p o s i ç ã o de u m p o n t o s o b r e a l i g a ç ã o 2 é e x p r e s s o p o r (2.3) P = P I _{2 1 1 x - 1 1} + T°r_{2 2} o n d e T° = t°T1 é a m a t r i z q u e r e l a c i o n a o s i s t e m a local 2 c o m o 2 1 2 s i s t e m a i n e r c i a l . As e x p r e s s õ e s de e n e r g i a c i n é t i c a e p o t e n c i a l p a r a a l i g a ç ã o i, p o d e m ser, r e s p e c t i v a m e n t e , e s c r i t a s como: T = — i 2 V = V 3 + V “ = - i i i p P .P d v ^ i i i (2.4) n 1 E I ( w , )2 dx (2.5) o n d e p é a d e n s i d a d e e V 9 e V são, r e s p e c t i v a m e n t e , as p a r c e l a s i i d e v i d o as f o r ç a s de c o r p o a g r a v i d a d e e a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o d a l i g a ç ã o , s e n d o e s t a m o d e l a d a c o m o u m a v i g a , u s a n d o a t e o r i a de v i g a de E u l e r - B e r n o u l 1 i . E as e n e r g i a s c i n é t i c a e p o t e n c i a l t o t a i s d o s i s t e m a são: T = £ T 1 * 1

(

2

.

6

)

C o m as e x p r e s s õ e s (2.6), o b t e m - s e o L a g r a n g i a n o total e, a t r a v é s d a s e q u a ç õ e s de L a g r a n g e , o b t é m - s e as e q u a ç õ e s de m o v i m e n t o d o s i s t e m a , q u e p o d e m se r e s c r i t a s d a s e g u i n t e forma: "M _{r r} (q) M _rf (q)' "q_r y (q)' ’* (q*q) - x + r = r r -Mf r ( q ) M f f (q)- - V .zf (q,q) - T r_ (2.7) o n d e os q ’s d e s c r e v e m o m o v i m e n t o r í g i d o da s l i g a ç õ e s , e n q u a n t o r q u e os q f Js s ã o os g r a u s de l i b e r d a d e q u e d e s c r e v e m o m o v i m e n t o d e v i d o a f l e x i b i l i d a d e d a s l i g a ç õ e s . As m a t r i z e s M _{r r} , M _rf ,M _tr e

M d e p e n d e m s o m e n t e d o s v a l o r e s de q = (q ,q ). As f u n ç õ e s y (q) f f r f r e y f(q) r e g i s t r a m as c o n t r i b u i ç õ e s d o p e s o e do c o m p o r t a m e n t o f l e x í v e l . As f u n ç õ e s Z r (q,q) e z f (q,q) r e p r e s e n t a m os t e r m o s n ã o l i n e a r e s , q u a d r á t i c o s e m q. E as f o r ç a s g e n e r a l i z a d a s a t u a n d o s o b r e as l i g a ç õ e s s ã o e x p r e s s a s po r x e x . B o o k e o u t r o s [18], foi o p r i m e i r o t r a b a l h o a a b o r d a r o p r o b l e m a d o c o n t r o l e de u m s i s t e m a c o m p o s t o de u m a c a d e i a a b e r t a c o n t e n d o d u a s l i g a ç õ e s f l e x í v e i s , d u a s j u n t a s r í g i d a s e m o v i m e n t o p l a n o . N o m o d e l o d o s i s t e m a f o r a m u t i l i z a d a s m a s s a s c o n c e n t r a d a s n a s e x t r e m i d a d e s de c a d a l i g a ç ã o , r e p r e s e n t a n d o os a t u a d o r e s e a c a r g a de t r a b a l h o . As l i g a ç õ e s f o r a m m o d e l a d a s c o m o v i g a s , s a t i s f a z e n d o as h i p ó t e s e s d a t e o r i a de v i g a de E u l e r - B e r n o u l 1 i . As f u n ç õ e s a d m i s s í v e i s f o r a m t o m a d a s c o m o as q u e r e p r e s e n t a m v i g a s n a f o r m a e n g a s t a d a - 1 i v r e . B a s e a n d o - s e n a c o n s i d e r a ç ã o de q u e as a m p l i t u d e s d o s a l t o s m o d o s d a s l i g a ç õ e s f l e x í v e i s são p e q u e n a s , q u a n d o c o m p a r a d a s c o m os p r i m e i r o s m o d o s , a e x p r e s s ã o (2.1) foi t r u n c a d a e m n = 2. As e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o o b t i d a s f o r a m l i n e a r i z a d a s e u t i l i z a d a s n a a v e r i g u a ç ã o de t r ê s d i f e r e n t e s e s t r a t é g i a s de c o n t r o l e . C h a l h o b e U l s o y [19], o b j e t i v a n d o i n v e s t i g a r as r e l a ç õ e s e n t r e a f l e x i b i l i d a d e e s t r u t u r a l d o b r a ç o de u m r o b ô de c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s e u m c o n t r o l a d o r l i n e a r p a r a o m o v i m e n t o de c o r p o r í g i d o , m o d e l a r a m o m o v i m e n t o f l e x í v e l d a ú l t i m a l i g a ç ã o d e s t e t i p o de robô. N e s t a m o d e l a g e m , f o r a m c o n s i d e r a d o s m o v i m e n t o s f l e x í v e i s n o s p l a n o s v e r t i c a l e h o r i z o n t a l d a li ga ç ã o , o n d e f o r a m u t i l i z a d a s f u n ç õ e s a d m i s s í v e i s r e p r e s e n t a n d o v i g a s do t i p o e n g a s t a d a - 1 i v r e . E s t a c o n s i d e r a ç ã o , p r o v o c a u m a a p r o x i m a ç ã o a d i c i o n a l n o m o d e l o , u m a v e z q u e e s t a s f u n ç õ e s s ã o d e f i n i d a s p a r a v i g a s de c o m p r i m e n t o c o n s t a n t e , e n a s i t u a ç ã o real o c o m p r i m e n t o

19 d a l i g a ç ã o v a r i a c o m o tem po . A s e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o o b t i d a s f o r m a m u m c o n j u n t o de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de s e g u n d a o r d e m , a l t a m e n t e n ã o l i n e a r e s e a c o p l a d a s , as q u a i s f o r a m u t i l i z a d a s e m s i m u l a ç õ e s p a r a v e r i f i c a r o d e s e m p e n h o d o c o n t r o l a d o r . O s r e s u l t a d o s d e s t a s s i m u l a ç õ e s , m o s t r a r a m q u e o c o r r e m i n s t a b i I i d a d e s n o s i s t e m a q u a n d o a f r e q ü ê n c i a d o c o n t r o l a d o r a p r o x i m a - s e d a f r e q ü ê n c i a n a t u r a l do m a n i p u l a d o r , e t a m b é m u m a d e t e r i o r a ç ã o d a p r e c i s ã o q u a n d o e m o p e r a ç õ e s e m a l t a v e l o c i d a d e . B e n a t i e M o r r o [17] a p r e s e n t a r a m u m a m e t o d o l o g i a p a r a m o d e l a g e m e o b t e n ç ã o d a s e q u a ç õ e s d i n â m i c a s de c a d e i a s de c o r p o s f l e x i v e i s t a m b é m u t i l i z a n d o a t é c n i c a do s m o d o s a s s u m i d o s . C a d a c o r p o foi t r a t a d o c o m o u m a v i g a , e s e g u i n d o a t e o r i a de E u l e r - B e r n o u l 1 i , m o d e l a d o de m o d o a ser d e s c r i t o p o r três c o o r d e n a d a s , u m a d e s c r e v e n d o o m o v i m e n t o d a ju nt a, e o u t r a s d u a s d e s c r e v e n d o a d e f l e x ã o e i n c l i n a ç ã o d a e x t r e m i d a d e f i nal d a 1 i g a ç ã o . C h a n g e G a n n o n e m s e u t r a b a l h o [35], t a m b é m d e s e n v o l v e r a m u m a m o d e l a g e m p a r a m a n i p u l a d o r e s u t i l i z a n d o a t é c n i c a d o s m o d o s a s s u m i d o s p a r a t r a t a r os p e q u e n o s m o v i m e n t o s d e v i d o s à f l e x i b i l i d a d e d a s l i g a ç õ e s . E s t a s , f o r a m t r a t a d a s c o m o v i g a s s e g u n d o a t e o r i a de E u l e r - B e r n o u l 1 i , c u j o m o v i m e n t o d e v i d o à f l e x i b i l i d a d e foi d e s c r i t o , a p e n a s , c o m os d o i s p r i m e i r o s m o d o s de v i g a s e n g a s t a d a - 1 i v r e . A d i c i o n a l m e n t e , c o n s i d e r o u - s e no m o d e l o , a e n e r g i a c i n é t i c a d e v i d a ao m o v i m e n t o d o r o t o r do s a t u a d o r e s . U m a v a l i d a ç ã o e x p e r i m e n t a l d o m o d e l o p r o p o s t o foi e f e t u a d a , o n d e u t i l i z o u - s e u m m a n i p u l a d o r c o n t e n d o a p e n a s u m a l i g a ç ã o , s o b d i f e r e n t e s c o n d i ç õ e s de c a r r e g a m e n t o . O s r e s u l t a d o s

o b t i d o s , m o s t r a r a m a l g u m a s d i f e r e n ç a s e n t r e os r e s u l t a d o s t e ó r i c o e e x p e r i m e n t a l , as q u a i s f o r a m a t r i b u í d a s a a l g u m a s h i p ó t e s e s u t i l i z a d a s n o m o d e l o , t a i s c o m o a t r u n c a g e m m o d a l e a d e s c o n s i d e r a ç ã o d a s d e f o r m a ç õ e s a x i a i s . C o m o p o d e s e r o b s e r v a d o , a t r a v é s d o s t r a b a l h o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e , a t é c n i c a d o s m o d o s a s s u m i d o s a p l i c a d a n a m o d e l a g e m de c o r p o s f l e x í v e i s , u t i l i z a u m a d e s c r i ç ã o m o d a l t r u n c a d a d o s i s t e m a e d e f o r m a ç õ e s d a s l i g a ç õ e s d e v i d a s s o m e n t e a d e f l e x ã o . A t r u n c a g e m m o d a l , q u e t e n d e a t o r n a r o m o d e l o m a i s r í g i d o , e a d e s c r i ç ã o d a s d e f o r m a ç õ e s d e s c o n s i d e r a n d o e f e i t o s i m p o r t a n t e s t a i s c o m o o c i s a l h a m e n t o e a f l e x i b i l i d a d e da s j u n t a s , s ã o f a t o r e s q u e a f e t a m a p r e c i s ã o do m o d e l o . P a r a q u e a e t a p a de a n á l i s e do p r o j e t o de u m r ob ô, s e j a a d e q u a d a e m t e r m o s de r e s u l t a d o s , u t i l i z a n d o e s t a t é c n i c a , é n e c e s s á r i o q u e n a m o d e l a g e m s e j a m i n c l u í d a s as d e f o r m a ç õ e s n o s p l a n o s t r a n s v e r s a i s às l i g a ç õ e s , d e f o r m a ç õ e s a x i a i s , d e f o r m a ç õ e s d e v i d a s a t o r ç ã o , e u m n ú m e r o a d e q u a d o de m o d o s . C o n t u d o , há u m a l i m i t a ç ã o q u a n t o a i n c l u s ã o d e s t e s e f e i t o s , p o i s e x i s t e u m c o m p r o m i s s o e n t r e p r e c i s ã o , c o m p l e x i d a d e e c us to . E n t r e t a n t o , a p r i n c i p a l d i f i c u l d a d e d e s t a t é c n i c a e n c o n t r a - s e n a e s c o l h a d a f o r m a e n ú m e r o d o s m o d o s , de f o r m a a t e r - s e u m a d e s c r i ç ã o p r e c i s a d a d e f o r m a ç ã o d a s l i g a ç õ e s . O p r o b l e m a d a i d e n t i f i c a ç ã o d a f o r m a d o s m o d o s , n ã o foi r e s o l v i d o s a t i s f a t o r i a m e n t e p e l a l i t e r a t u r a . E m b o r a a h i p ó t e s e u t i l i z a d a de q u e as l i g a ç õ e s c o m p o r t a m - s e c o m o v i g a s e n g a s t a d a - 1 i v r e , n ã o t e m s u a v a l i d a d e a i n d a c o n f i r m a d a [23], H a s t i n g s [32] m o s t r o u q u e p a r a u m a v i g a f l e x í v e l s i m p l e s c o m u m a c a r g a c o n c e n t r a d a n a e x t r e m i d a d e , m o d o s q u e r e p r e s e n t a m v i g a s e n g a s t a d a livre, c o n s t i t u e m u m a b o a a p r o x i m a ç ã o p a r a o c á l c u l o do s m o d o s d a

21 l i g a ç ã o , p r i n c i p a l m e n t e p a r a b a i x a s f r e q u ê n c i a s . A m o d e l a g e m de l i g a ç õ e s c o m j u n t a s p r i s m á t i c a s u s a n d o as m e s m a s f u n ç õ e s a d m i s s í v e i s u t i l i z a d a s e m l i g a ç õ e s c o m j u n t a s r o t a c i o n a i s , é u m p r o c e d i m e n t o i n a d e q u a d o , s e n d o a o b t e n ç ã o de f u n ç õ e s p a r a e s t e t i p o de 1 i g a ç ã o / j u n t a , u m p r o b l e m a a i n d a a ser s o l u c i o n a d o . q u a n t o a i n c l u s ã o d a s d e f o r m a ç õ e s n o e s p a ç o , a o b t e n ç ã o m a n u a l d a s e q u a ç õ e s d i n â m i c a s é t e d i o s a e p r o p e n s a a e r r o s , t o r n a n d o - s e u m a t a r e f a p r o i b i t i v a p a r a s i s t e m a s q u e t e n h a m q u a t r o o u m a i s l i g a ç õ e s f l e x í v e i s . E s t e p r o b l e m a p o d e ser c o n t o r n a d o a t r a v é s d a u t i l i z a ç ã o d e p r o g r a m a s c o m p u t a c i o n a i s , q u e d e r i v a m as e q u a ç õ e s d i n â m i c a s s e g u n d o o f o r m a l i s m o L a g r a n g i a n o , d o s q u a i s p o d e - s e c i t a r o R E D U C E [33] e o M A C S Y M A [34] c o m o e x e m p l o s . 2 . 2 . 2 - E q u a ç õ e s de H a m i l t o n c o m M o d o s A s s u m i d o s f i g u r a 2.2, s u a s c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s p o d e m se r d i v i d i d a s e m d o i s g r u p o s , u m g r u p o c o n t e n d o os 0 ’s, r e p r e s e n t a n d o as c o o r d e n a d a s d a s j u n t a s , e o u t r o c o n t e n d o os w ’s, q u e r e p r e s e n t a m as d e f l e x õ e s d a s l i g a ç õ e s . D e s t a form a, as e q u a ç õ e s d e H a m i l t o n d o m o v i m e n t o p o d e m ser e s c r i t a s c o m o [22]: A l é m d a i n c e r t e z a q u a n t o aos m o d o s e da s d i f i c u l d a d e s C o n s i d e r a n d o u m s i s t e m a p l a n a r c o n f o r m e m o s t r a d o n a

( 2 . 8 )

o n d e n e n s ã o as d e n s i d a d e s de m o m e n t u m , d a d a s por: oj wj

j i « l ' - $ J j i * 1 ^ j ' s e n d o 2 = T - V d e f i n i d o c o m o a d e n s i d a d e L a g r a n g i a n a d a i i i l i g a ç ã o i, e íj é a d e n s i d a d e H a m i 1 t o n i a n a a s s o c i a d a c o m a i i é s s i m a l i g a ç ã o , d e f i n i d a por: £ = n d + n w - £ (2. 10) 1 e í 1 wi 1 1 U t i l i z a n d o a e q u a ç ã o (2.1) p a r a d e s c r e v e r o m o v i m e n t o f l e x í v e l d a s l i g a ç õ e s , t e m - s e e n t ã o c o m o c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s p a r a o m o d e l o os © ’s e os q ’s. D e s t a for m a , as e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o , q u a n d o f o r ç a s e x t e r n a s s ã o a p l i c a d a s , f icam: k i * 1 ^ k J

-K = 2 ( i r ]

M j i ■ 1 i

K - È ( r )

i ■ 1 ek;

If1 ]

J i « 1 v i i k s l , . . . , 1) j - 1 , . - - , n

(

2

.

1 1

)

o n d e p e p s ã o d a d o s p o r • q e o H a m i l t o n i a n o p a r a c a d a l i g a ç ã o i é: n f>. = P è t + £ P q. , " (2. 13) 1 ° • 1 _{1 J * 1} t t ** I 4 1 J _{i J} 1 N i c o s i a et al. [21] t r a t a r a m do p r o b l e m a d a m o d e l a g e m e c o n t r o l e de r o b ô s f l e x í v e i s , c o n s i d e r a n d o o s i s t e m a c o m o u m a c a d e i a a b e r t a c o n t e n d o l i g a ç õ e s f l e x í v e i s , e j u n t a s r o t a c i o n a i s r í g i d a s . A d e f o r m a ç ã o o c o r r i d a n a s l i g a ç õ e s foi c o n s i d e r a d a c o m o s o m e n t e d e v i d a à f l e x ã o , e m o d e l a d a a t r a v é s d a t é c n i c a do s m o d o s a s s u m i d o s , s e n d o o p l a n o de f l e x ã o c o i n c i d e n t e c o m o p l a n o de

23 r o t a ç ã o . A e x p r e s s ã o (2.1) foi t r u n c a d a e m n = 4, e as e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o , q u e f o r m a m u m c o n j u n t o de e q u a ç õ e s d e p r i m e i r a o r d e m , u t i l i z a d a s n a c o n s t r u ç ã o de u m a lei de c o n t r o l e n ã o - l i n e a r , q u e b a s e a d a n o m é t o d o d a p s e u d o - 1 i n e a r i z a ç ã o , m o s t r o u - s e e f e t i v a n a v i z i n h a n ç a d o s p o n t o s de o p e r a ç ã o . O p r o c e d i m e n t o d a s e q u a ç õ e s de H a m i l t o n a p e s a r de f o r n e c e r e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o de p r i m e i r a o r d e m , o q u e t o r n a m a i s s i m p l e s a i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a p a r a a o b t e n ç ã o d a r e s p o s t a , r e q u e r u m n ú m e r o m a i o r de c á l c u l o s n a o b t e n ç ã o d a s e q u a ç õ e s , c o m p a r a t i v a m e n t e c o m o p r o c e d i m e n t o v i a e q u a ç õ e s de L a g r a n g e . A u t i l i z a ç ã o d a t é c n i c a d o s m o d o s a s s u m i d o s c o n j u n t a m e n t e c o m as e q u a ç õ e s de H a m i l t o n , a p r e s e n t a os m e s m o s a s p e c t o s e i m p l i c a ç õ e s d e s c r i t a s n o i t e m a n t e r i o r . 2 . 2 . 3 - E q u a ç õ e s de L a g r a n g e c o m M a t r i z e s de T r a n s f o r m a ç ã o 4 x 4 N e s t a m o d e l a g e m o m o v i m e n t o d e v i d o a f l e x i b i l i d a d e de u m a l i g a ç ã o i, é t r a t a d o c o m o o d e s l o c a m e n t o d o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s i ( l o c a l i z a d o n a j u n t a i+1, s e g u n d o a n o t a ç ã o de D e n a v i t - H a r t e n b e r g [27]), d a p o s i ç ã o P p a r a P , c o n f o r m e m o s t r a a f i g u r a 2.3. O d e s l o c a m e n t o é m e d i d o a p a r t i r d a c o n f i g u r a ç ã o i n d e f o r m a d a , p o d e n d o c a u s a r a m b o s t r a n s l a ç ã o e r o t a ç ã o d o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s i . Q u a n d o a l i g a ç ã o e s t á i n d e f o r m a d a , o m a p e a m e n t o do s i s t e m a de c o o r d e n a d a s i + 1 p a r a o s i s t e m a i, p o d e ser f e i t o a t r a v é s de u m a m a t r i z de t r a n s f o r m a ç ã o 4x4, T 1 [27], Q u a n d o a i + l * l i g a ç ã o se d e f o r m a , o m a p e a m e n t o do s i s t e m a p a r a o s i s t e m a p o d e ser f e i t o a t r a v é s de u m a m a t r i z E i , q u e p a r a p e q u e n o s m o v i m e n t o s d e v i d o s a f l e x i b i l i d a d e , p o d e s e r r e p r e s e n t a d a p e l a

s e g u i n t e t r a n s f o r m a ç ã o d i f e r e n c i a l [24]: 1 -<P. 1z iy £ix * i z 1 i x £_iy <p. iy <p.1 X 1 £i z 0 0 0 1 $ o n d e o s e ’s r e p r e s e n t a m a t r a n s l a ç ã o r e l a t i v a e n t r e C e C , i Í i e n q u a n t o q u e os <p ’s r e p r e s e n t a m a r o t a ç ã o e n t r e e s t e s d o i s i s i s t e m a s .

1

Fig. 2.3 - G e o m e t r i a da s l i g a ç õ e s . A t r a n s f o r m a ç ã o q u e m a p e i a u m v e t o r d e s c r i t o e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a de c o o r d e n a d a s da i é s i m a lig a ç ã o , e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a i n e r c i a l , l e v a n d o e m c o n t a as t r a n s f o r m a ç õ e s d e v i d a s a d e f o r m a ç ã o , p o d e ser e x p r e s s a como:

H° = E T°E T 1 ...E T i_1 = H° E T i_1 = H° T i_1 (2.15)

i 0 1 1 2 i - l i i - l i - l i i - l i o n d e E é u m a m a t r i z i d e n t i d a d e . As m a t r i z e s T ’s s ã o f u n ç õ e s dos o i p a r â m e t r o s d a s j u n t a s , e as m a t r i z e s d e p e n d e m da s c o o r d e n a d a s u t i l i z a d a s n a r e p r e s e n t a ç ã o d e d e f o r m a ç ã o das l i g a ç õ e s . E n t ã o , u m p o n t o q u a l q u e r d a l i g a ç ã o i, c u j ã p o s i ç ã o e m

25 r e l a ç ã o a o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s da l i g a ç ã o é d e s c r i t a po r u m v e t o r r., p o d e s e r d e s c r i t o e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a i n e r c i a l d a C o m i s t o , a e n e r g i a c i n é t i c a d a l i g a ç ã o i p o d e se r c o n s i d e r a d a c o m o o n d e T r é o o p e r a d o r tr aço. As p a r c e l a s d a e n e r g i a p o t e n c i a l d e v i d a s a o c a m p o g r a v i t a c i o n a l e à d e f o r m a ç ã o d a li ga ç ã o , s ã o r e s p e c t i v a m e n t e : d a li ga çã o. J u d d e F a l k e n b u r g [25], e x a m i n a r a m o p r o b l e m a d a m o d e l a g e m c i n e m á t i c a e d i n â m i c a de r o b ô s c o n t e n d o l i g a ç õ e s f l e x í v e i s e j u n t a s r í g i d a s , e p r o p u s e r a m u m m o d e l o o n d e t a n t o a d e s c r i ç ã o c i n e m á t i c a q u a n t o a d e s c r i ç ã o d i n â m i c a d a s d e f o r m a ç õ e s f o r a m f e i t a s u t i l i z a n d o m a t r i z e s de t r a n s f o r m a ç ã o 4x4. As c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s u t i l i z a d a s n a m o d e l a g e m , f o r a m os â n g u l o s d a s j u n t a s 0 . ’s e os c o m p o n e n t e s d a s m a t r i z e s de t r a n s f o r m a ç ã o E , e ’s e <t> ’s. A p r i n c i p a l s i m p l i f i c a ç ã o i i i i n t r o d u z i d a n o p r o c e d i m e n t o foi q u a n t o ao v e t o r p o s i ç ã o local r,., s e g u i n t e fo rma: (2.16) i í i e s u a v e l o c i d a d e c o m o v (2.17) i (2.18) V 9 = i T O j pg r . d v. i i (2.19) v e (2.2 0) o n d e e K. é a m a t r i z de r i g i d e z

q u e a s s u m i u - s e c o m o c o n s t a n t e n o te mp o, c o n s i d e r a n d o n u l a a s e g u n d a p a r c e l a d a v e l o c i d a d e (2. 17 ), d e c o n s i d e r a n d o a s s i m a e n e r g i a c i n é t i c a d e v i d a a d e f o r m a ç ã o d a s l i g a ç õ e s . I s t o t o r n a o m o d e l o i m p r e c i s o , e x c e t o p a r a c a s o s e s p e c i a i s o n d e as d e f o r m a ç õ e s d e c o r r e n t e s d a f l e x i b i l i d a d e s ã o m u i t o p e q u e n a s . Foi a p r e s e n t a d o u m e x e m p l o o n d e u m m a n i p u l a d o r p l a n a r , c o n t e n d o d u a s l i g a ç õ e s t r a t a d a s c o m o v i g a s s e g u n d o a t e o r i a de E u l e r - B e r n o u l i , foi m o d e l a d o , e d o qual f o r a m s o m e n t e o b t i d a s as e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o n a f o r m a l i n e a r i z a d a , d e s c o n s i d e r a n d o os t e r m o s d e v i d o s a o s e f e i t o s de C o r i o l i s e c e n t r í f u g o s . B o o k [26], t a m b é m u t i l i z a n d o m a t r i z e s de t r a n s f o r m a ç ã o 4 x 4 p a r a r e p r e s e n t a r o m o v i m e n t o da s j u n t a s e o d e v i d o a d e f l e x ã o d a s l i g a ç õ e s , a p r e s e n t o u u m a m o d e l a g e m d i n â m i c a p a r a m a n i p u l a d o r e s q u e c o n t e n h a m s o m e n t e j u n t a s r o t a c i o n a i s r í g i d a s . N a r e p r e s e n t a ç ã o d o s c o m p o n e n t e s da m a t r i z t r a n s f o r m a ç ã o q u e e x p r e s s a a d e f l e x ã o de u m a l i g a ç ã o ( e q u a ç ã o ( 2 . 1 4 ) ) , foi u t i l i z a d a a t é c n i c a d o s m o d o s a s s u m i d o s , s e n d o e s t e s c o m p o n e n t e s e s c r i t o s d a s e g u i n t e forma: e = V x q < f > = y < í > q i x ^ i j^i J v i x j J / i x j i J e. = E y. .q. . <t>. = E ♦. , (2.21) 1 y 1 j 1 j 1 y " , i y j i j j * l j * l n n e = T z q <t> =

y

<P q i z L i j i j i z .L . i z j ^ i j j = l j = l o n d e os x j . , e z ^ s ã o os c o m p o n e n t e s do m o d o j d a l i g a ç ã o i, <f> , <f> e <p s ã o os â n g u l o s e m t o r n o d o s e i x o s x , y e z i x j i y j i z j i i i r e s p e c t i v a m e n t e , p a r a o m o d o j. A v a r i á v e l q ^ r e p r e s e n t a a a m p l i t u d e d o m o d o j ( v a r i á v e l n o t e m p o ) d a l i g a ç ã o i. E d a m e s m a fo r m a , o v e t o r p o s i ç ã o local ^ foi