Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e semilineares do tipo Neumann

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(1)Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e semilineares do tipo Neumann. Patrícia Neves de Araújo. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Ciências. Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro da CAPES São Paulo, junho de 2019.

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(3) Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e semilineares do tipo Neumann. Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 02/07/2019. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira (orientador) - IME-USP • Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira - IME-USP • Profa . Dra . Silvia Sastre Gomez - UFPE.

(4) Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por me permitir ultrapassar os obstáculos que sempre surgem no caminho e chegar até aqui. Agradeço aos meus pais, Iva e Monteiro, por me apoiarem sempre e incondicionalmente. Obrigada por todo amor e paciência, nada disso seria possível se não fosse por vocês. Agradeço à minha irmã Paula por sempre estar disposta a me ajudar e por ter tanta paciência para lidar comigo. Cada parte desse trabalho tem um pouco de vocês e eu os amo imensamente. Gostaria também de agradecer ao Rafael, meu noivo, por estar comigo em todos os momentos e apoiar os meus sonhos. Te amo infinitamente. Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira, por toda a gentileza e disponibilidade em me orientar. Muito obrigada por tornar possível a realização deste trabalho. Agradeço aos colegas e professores que contribuíram para o desenvolvimento desta pesquisa, tanto em discussões em aulas, quanto em seminários e outros momentos. Agradeço ainda a todos os que me apoiaram e, de perto ou de longe, acompanharam esta jornada. Muito obrigada!. i.

(5) ii.

(6) Resumo ARAÚJO, P. N. de Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e semilineares do tipo Neumann. 2019. 70 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Neste trabalho abordamos dois exemplos de equações de difusão não locais do tipo Neumann: o problema linear homogêneo e um semilinear com termo de reação representado pela função f (u) = |u|p−1 u. Em ambos os casos, apresentamos condições de existência e unicidade de soluções e analisamos seu comportamento em relação ao tempo. Estudamos uma discretização para o problema linear e a utilizamos para realizar simulações numéricas nas quais podemos verificar algumas das propriedades demonstradas. Também simulamos o problema semilinear observando o comportamento de suas soluções mesmo em casos em que as hipóteses dos teoremas apresentados não são todas satisfeitas. Palavras-chave: equações não locais, problemas do tipo Neumann, comportamento assintótico, blow-up.. iii.

(7) iv.

(8) Abstract ARAÚJO, P. N. de Asymptotic behavior of nonlocal and semilinear diffusion problems of Neumann type. 2019. 70 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. In this work we approach two examples of nonlocal diffusion equations of Neumann type: the homogeneous linear problem and a semilinear with a reaction term represented by the function f (u) = |u|p−1 u. In both cases, we present conditions of existence and uniqueness of solutions and we analyze their behavior with respect to time. We study a discretization to the linear problem and use it to perform numerical experiments in order to illustrate some of the demonstrated properties. We also simulate the semilinear problem observing the behavior of its solutions even in cases where the hypothesis of the presented theorems are not all satisfied. Keywords: nonlocal equations, problems of Neumann type, asymptotic behavior, blow-up.. v.

(9) vi.

(10) Sumário Lista de Figuras. ix. Introdução. 1. 1 Contextualização e descrição do problema. 3. 2 Problema de difusão não local do tipo Neumann homogêneo. 9. 2.1. Existência e unicidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. Comportamento assintótico das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 2.3. Subsoluções e supersoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 3 Problema com condições de Neumann e um termo de reação. 9. 21. 3.1. Existência e unicidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 3.2. Condições e taxas de explosão de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 4 Tratamento numérico de problemas não locais 4.1. 4.2. 41. Discretização do operador linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1. Esquema semidiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 4.1.2. Esquema totalmente discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. Simulações numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 4.2.1. Problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 4.2.2. Problema com termo de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Conclusões. 66. Referências Bibliográficas. 69. vii.

(11) viii. SUMÁRIO.

(12) Lista de Figuras 4.1. Gráfico da solução do problema 1 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 50. 4.2. Gráfico da solução do problema 1.. 4.3. Gráfico da solução do problema 2 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 51. 4.4. Gráfico da solução do problema 2.. 4.5. Gráfico da solução do problema 3 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 52. 4.6. Gráfico da solução do problema 3.. 4.7. Gráfico da solução do problema 4 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 53. 4.8. Gráfico da solução do problema 4.. 4.9. Gráfico da solução do problema 5 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 55. 4.10 Gráfico da solução do problema 5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 4.11 Gráfico da solução do problema 6 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 56 4.12 Gráfico da solução do problema 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 4.13 Gráfico da solução do problema 7 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 58 4.14 Gráfico da solução do problema 7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. 4.15 Gráfico da solução do problema 8 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 59 4.16 Gráfico da solução do problema 8.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. 4.17 Gráfico da solução do problema 9 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 61 4.18 Gráfico da solução do problema 9.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 4.19 Gráfico da solução do problema 10 para t = 5, 754 · 10−1 no intervalo [−0, 08, 0, 08]. . 62 4.20 Gráfico da solução do problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.21 Gráfico da solução do problema 11 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . 64 4.22 Gráfico da solução do problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.23 Gráfico da solução do problema 12 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . 65 4.24 Gráfico da solução do problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. ix.

(13) x. LISTA DE FIGURAS.

(14) Introdução Neste trabalho, estudaremos uma classe de equações não locais com condições de Neumann homogêneas amplamente utilizadas na modelagem de fenômenos que envolvem difusão. Para tanto, consideramos ao longo de todo o trabalho Ω um aberto limitado em RN e J ∈ C 1 (RN , R) uma função não negativa, radial, contínua, com J(0) > 0 e tal que Z J(x)dx = 1. RN. Note que tais propriedades caracterizam J como uma função de densidade de probabilidade. O problema que trataremos inicialmente é ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.. (1). Esta formulação é conhecida como problema de difusão não local do tipo Neumann homogênea e é amplamente utilizada em diversas áreas, como redução de ruído em imagens [GO07], peridinâmica [TD13] e sistemas de partículas [OS17]. O outro problema a ser estudado é ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy + |u|p−1 u(x, t), x ∈ Ω, t > 0, (2) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, que pode ser entendido como um problema de difusão não local com condições de Neumann e um termo de reação não linear representado pela função monótona |u|p−1 u. Aqui assumimos p > 0. O objetivo deste trabalho é estudar propriedades referentes aos problemas mencionados, como existência, unicidade e comportamento assintótico das soluções no tempo. Além disso, apresentaremos uma discretização que será utilizada para obter simulações que nos permitam observar o comportamento das soluções para domínios Ω unidimensionais. O Capítulo 1 será dedicado a uma breve apresentação das equações não locais (1) e (2), suas motivações e relações com os problemas de difusão locais, com base nos estudos realizados por Fife [Fif03] e Sastre [Góm14]. No Capítulo 2, apresentaremos um estudo mais rigoroso do problema (1), cuja referência principal é o livro de Andreu-Vaillo et al. [AVt10]. Nesse Capítulo, verificaremos condições de existência e unicidade de soluções e o comportamento assintótico das mesmas, além de um princípio de comparação. No Capítulo 3, estudaremos as propriedades do problema (2), como condições de existência local e global, unicidade de soluções e taxa de explosão para os casos que apresentam blow-up com base em [PLR09] e utilizando [GR01] como material de apoio. No Capítulo 4 apresentamos um tratamento numérico para as equações (1) e (2). Para isto, seguiremos o artigo [PLR11] para estudo de uma discretização. Além disso, apresentaremos simulações numéricas sobre as quais poderemos verificar algumas propriedades demonstradas e conjecturar algumas outras com base na análise dos gráficos obtidos.. 1.

(15) 2.

(16) Capítulo 1. Contextualização e descrição do problema Os problemas não locais vêm sendo amplamente estudados devido à sua aplicação em diversas áreas do conhecimento. Em Biologia, por exemplo, os problemas estão relacionados à dinâmica de populações, sendo utilizados para analisar seu comportamento mediante determinadas condições. Nessa direção veja Carillo e Fife [CF05] onde uma formulação não local foi utilizada para analisar o comportamento de uma espécie sob específicas leis de movimento. Outro exemplo é a argumentação apresentada por Hutson et al. em [HMMV03], que também analisam o movimento de indivíduos em um habitat. Outra área na qual os problemas não locais estão sendo utilizados é a computação. Em [Tt18] se analisa redes neurais não locais e em [GO08] se estuda operadores não locais com aplicações em processamento de imagens. Em Física Estatística, o trabalho de Fournier e Laurençot [FL06] avalia a equação de coagulação de Smoluchowski em uma classe de núcleos homogêneos. Além das aplicações em outras áreas, os operadores não locais estão sendo utilizados para estudar modelos matemáticos propostos por equações diferenciais. Neste sentido, destacamos o estudo da equação de Cahn-Allen não local apresentado em [BC02] e o artigo [SMD18], dedicado a apresentar algoritmos para resolução de modelos não locais na esfera (entre eles, a equação de Cahn-Allen). Neste capítulo, veremos como podemos relacionar um operador não local ao operador de Laplace a fim de compreender os modelos de difusão não local. Iniciaremos considerando uma população em um habitat N -dimensional cuja densidade na posição x no instante t é representada por uma função u(x, t). Para o caso N = 1, temos a seguinte formulação, conforme apresentado por Sastre em [Góm14]. Seja Ω ⊂ R um intervalo representando o habitat considerado. Dividindo-o em partes de tamanho ∆x fixo, obtemos uma malha unidimensional {xi }, −M ≤ i ≤ M , na qual analisaremos a densidade populacional. Discretizamos o tempo em partes de tamanho ∆t. Seja u(i, t) a densidade de população no intervalo i, isto é, no intervalo [xi−1 , xi ] para −M < i ≤ M , no tempo t. Assumimos primeiramente que a taxa na qual os indivíduos saem da posição i para a posição j é constante. Consideramos que o número de indivíduos saindo do intervalo i para j é proporcional à população no intervalo i, dada por u(i, t)∆x, ao tamanho do intervalo, que é ∆x, e também ao intervalo de tempo durante o qual o trânsito de indivíduos está sendo analisado, isto é, ∆t. Assim, se denotamos por J(j, i) a constante de proporcionalidade temos que o número de indivíduos saindo da posição i para a posição j durante o intervalo [t, t + ∆t] é J(j, i)u(i, t)∆t(∆x)2 . Analogamente, o número de indivíduos que chegam em i, vindos de todas as posições, durante. 3.

(17) 4. 1.0. CONTEXTUALIZAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROBLEMA. o mesmo intervalo, é M X. J(i, j)u(j, t)∆t(∆x)2 .. j=−M +1. j6=i. Temos assim que a quantidade de indivíduos em i no tempo t + ∆t é dada pela soma dos indivíduos que lá estavam com os que vieram de outras posições, menos os que saíram, isto é, u(i, t + ∆t)∆x = u(i, t)∆x +. M X. 2. J(i, j)u(j, t)∆t(∆x) −. M X. j=−M +1. j=−M +1. j6=i. j6=i. J(j, i)u(i, t)(∆x)2 (∆t),. ou seja, u(i, t + ∆t)∆x − u(i, t)∆x =. M X. 2. J(i, j)u(j, t)(∆x) ∆t −. M X. j=−M +1. j=−M +1. j6=i. j6=i. J(j, i)u(i, t)(∆x)2 (∆t).. Dividindo os dois lados da equação por ∆x e ∆t, obtemos M M X X u(i, t + ∆t) − u(i, t) = J(i, j)u(j, t)∆x − J(j, i)u(i, t)∆x. ∆t j=−M +1 j=−M +1 j6=i. j6=i. Tomando então os limites ∆t → 0 e ∆x → 0, obtemos Z ut (x, t) = (J(x, y)u(y, t) − J(y, x)u(x, t))dy.. (1.1). Ω. Essa expressão nos fornece informações sobre a variação instantânea da densidade populacional em um ponto x ∈ Ω. Aplicando o mesmo raciocínio para N > 1, obteremos a mesma expressão. O problema (1.1) é chamado de problema de difusão não local por considerar o movimento de indivíduos não apenas na posição x, mas em todo o domínio. Consideramos uma função J : Rn → R satisfazendo as seguintes condições (H). J ∈ C(RN , R) é não negativa, com J(x) = J(−x), limitada (com K = ||J||∞ ) tal que Z J(0) > 0 e J(z)dz = 1. RN. A hipótese (H) caracteriza J como uma função de “densidade de probabilidade”. No estudo de difusão local, uma das condições de contorno mais comuns é a de Dirichlet. No caso, a difusão ocorre em RN , porém devemos definir o valor que ela assume fora do domínio Ω. Assim, a função u(x, t) satisfaz a expressão  R  ut (x, t) = RN J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,   u(x, t) = g(x), x∈ / Ω. Esta é a versão não local do problema de difusão com condições de Dirichlet. Note que a “condição de contorno” é não homogênea se g 6= 0. Caso estejamos modelando problemas nos quais não há entrada ou saída de indivíduos num determinado habitat Ω (ou seja, aos indivíduos se permite movimentação apenas em Ω), temos que.

(18) 1.0. 5. a difusão ocorre apenas em Ω e logo procuramos soluções para o problema ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω. Este é o nosso objeto de interesse neste estudo, a versão não local do problema com condições de Neumann ditas homogêneas, como destacam Sastre [Góm14], Fife [Fif03], Andreu-Vaillo et al. [AVt10] e diversos outros autores. Como visto, podemos utilizar formulações não locais para analisar problemas que são comumente modelados por equações locais. Veremos, a seguir, outra forma de relacionar estes dois tipos de problemas. O estudo proposto por Fife [Fif03] relaciona o problema semilinear com condições de Neumann homogêneas ut = ∆u − f (u) (1.2) definido pelo operador Laplaciano ∆ =. N X ∂2 à sua versão não local ∂x2i i=1. Z J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy − f (u(x, t)).. ut (x, t) = Ω. Caracterizaremos primeiramente −∆u como a derivada em u da integral Z 1 E0 (u) = |∇u|2 dx. Ω 2 De fato, temos que d E0 (u) = dt. Z. Z ∇u∇ut dx = −. Ω. Z ut ∆udx +. Ω. ut ∂Ω. ∂u dS, ∂η. onde η é o vetor normal a ∂Ω apontando para fora. Aqui utilizamos a identidade de Green. Logo, com condições de contorno apropriadas (como ut ≡ 0 ou ∂u ∂η ≡ 0 em ∂Ω para todo t ≥ 0) obtemos Z d E0 (u) = − ut ∆udx =< ut , −∆u > dt Ω em L2 (Ω) para toda função u suave nessas condições. Aqui < ·, · > denota o produto interno em L2 (Ω). Assim, podemos escrever formalmente que ∂E0 = −∆u. ∂u Observe que E0 (u) ≥ 0. Além disso, E0 (u) = 0 ⇐⇒ u é constante. Logo, a energia E0 (u) mede o quanto a função u está distante de ser constante. Uma forma alternativa de obter essa medida é Z Z 1 E10 (u) = J(x − y)(u(x) − u(y))2 dxdy, 4 Ω Ω onde J satisfaz as condições dadas pela hipótese (H). Vemos que E10 (u) ≥ 0 com E10 = 0 ⇐⇒ u é constante em Ω. Mas J é par e (u(x) − u(y))2 = (u(x) − u(y))u(x) − (u(x) − u(y))u(y). Logo Z Z Z Z 1 1 J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dxdy − J(x − y)(u(x) − u(y))u(y)dxdy E10 (u) = 4 4 ZΩ ZΩ ZΩ ZΩ 1 1 = J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dxdy + J(y − x)(u(y) − u(x))u(y)dydx Ω Ω 4 Ω Ω 4.

(19) 6. 1.0. CONTEXTUALIZAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROBLEMA. e, observando que as parcelas são iguais, obtemos que Z Z 1 E10 (u) = J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dxdy. 2 Ω Ω Logo d d E10 (u) = dt dt. Z Z Ω. Ω. 1 J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dxdy. 2. Daí, temos Z Z 1 d d E10 (u) = J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dxdy dt dt Ω Ω 2 Z Z 1 = J(x − y)((ut (x) − ut (y))u(x) + (u(x) − u(y))ut (x))dxdy 2 Z Z Z ZΩ Ω Z Z 1 1 J(x − y)u(x)ut (x)dxdy − = J(x − y)ut (y)u(x)dxdy − J(x − y)ut (x)u(y)dxdy. Ω Ω 2 Ω Ω Ω Ω 2. Utilizando a simetria de J, temos que Z Z Z Z 1 1 J(x − y)ut (y)u(x)dxdy = J(x − y)ut (x)u(y)dxdy, 2 2 Ω Ω Ω Ω e portanto d E10 (u) = dt. Z Z. Z Z J(x − y)u(x)ut (x)dxdy −. ZΩ ZΩ. Ω. J(x − y)(u(x) − u(y))ut (x)dxdy. = Ω. =. J(x − y)ut (x)u(y)dxdy Ω. D. Ω Z. E J(x − y)(u(y) − u(x))dy, ut (x) .. − Ω. Assim, se escrevemos A(x) =. R. Ω J(x. − y)dy, temos formalmente que. ∂E10 (x) = A(x)u(x) − (J ∗ u)(x), ∂u onde J ∗ u é o operador convolução. Por meio destes produtos internos, conseguimos relacionar ∆u e A(x)u(x) − (J ∗ u)(x), ou seja, obtivemos uma expressão não local para o Laplaciano com condições de contorno homogêneas de Neumann. De fato, se consideramos a energia local Z E(u) = E0 (u) + W (u)dx (1.3) Ω. com W 0 (u) = f (u) e a energia não local Z E1 (u) = E10 (u) +. W (u)dx Ω. (1.4).

(20) 1.0. 7. concluímos que Z d d W (u)dx E(u) = E0 (u) + dt dt Ω Z Z W 0 (u)ut dx = − ut ∆udx + Ω Ω Z Z = − ut ∆udx + f (u)ut dx. Ω. Ω. Desta forma, se assumimos (1.2) obtemos que ut = −. ∂E . ∂u. Por outro lado, segue da energia (1.4) que Z d d W (u)dx E1 (u) = E10 (u) + dt dt Ω Z W 0 (u)ut dx = A(x)u(x) − (J ∗ u)(x) + ZΩ f (u)ut dx. = A(x)u(x) − (J ∗ u)(x) + Ω. Isso nos permite escrever ∂E10 = A(x)u(x) − (J ∗ u)(x) + f (u). ∂u Portanto, relacionamos assim a equação (1.2) com condições de contorno homogêneas de Neumann à expressão não local dada por ut = J ∗ u − A(x)u − f (u).. (1.5). Essas relações são muito importantes e se justificam, pelo menos formalmente, mostrando evidências de que o problema local (1.2) e o não local (1.5) compartilham diversas propriedades, como veremos de maneira rigorosa no próximo capítulo..

(21) 8. CONTEXTUALIZAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROBLEMA. 1.0.

(22) Capítulo 2. Problema de difusão não local do tipo Neumann homogêneo Neste capítulo são apresentadas algumas propriedades do problema de difusão não local com condições de Neumann homogêneas. O estudo dessa equação foi realizado com base em [AVt10].. 2.1. Existência e unicidade de soluções. Consideramos o problema ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,. (2.1). com J satisfazendo (H) e Ω domínio limitado em RN . Recordamos que a versão local desse problema é formalmente dada por  ut (x, t) = ∆u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,   ∂u (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,  ∂η   u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω. Como veremos a seguir, a equação local e sua versão não local compartilham algumas propriedades como existência e unicidade de soluções, preservação da massa total em Ω e princípios de comparação. Entretanto, não há efeito de regularização das condições iniciais [AVt10]. Definimos como solução do problema (2.1) uma função u : [0, ∞) → L1 (Ω) tal que u(x, t) = e−A(x)t u0 (x) + e−A(x)t. Z. t. eA(x)s. 0. Z J(x − y)u(y, s)dyds,. x ∈ Ω,. t ≥ 0,. (2.2). Ω. R onde A(x) = Ω J(x − y)dx. Verificamos que encontrar uma função que satisfaz (2.2) é equivalente a encontrar uma solução de (2.1). De fato, multiplicando a primeira equação em (2.1) por eA(x)t , integrando em (0, t) e utilizando a condição inicial, obtemos a condição (2.2). Por outro lado, se partimos da definição de solução temos Z t Z u(x, t) = e−A(x)t u0 (x) + e−A(x)t eA(x)s J(x − y)u(y, s)dyds 0 Ω Z t Z A(x)t A(x)s ⇒e u(x, t) = u0 (x) + e J(x − y)u(y, s)dyds. 0. Ω. 9.

(23) 10. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. 2.1. Derivando em relação a t, obtemos Z J(x − y)u(y, t)dy A(x)eA(x)t u(x, t) + eA(x)t ut (x, t) = eA(x)t Ω Z ⇒u(x, t)A(x) + ut (x, t) = J(x − y)u(y, t)dy Ω Z J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy. ⇒ut (x, t) = Ω. Portanto, procuramos uma função que satisfaça a definição (2.2). Para tanto, seguimos o raciocínio apresentado por Pérez-Llanos e Rossi em [PLR09]. Iniciamos definindo, para t0 > 0 fixado, o seguinte espaço Yt0 = {w ∈ C([0, t0 ], L1 (Ω))} com a norma (Z ) ||w||Yt0 = max ||w(·, t)||L1 (Ω) = max |w(x, t)|dx . 0≤t≤t0. 0≤t≤t0. Ω. Nesse espaço, definimos o operador Tw0 : Yt0 → Yt0 por Tw0 (w)(x, t) = e. −A(x)t. −A(x)t. Z. t. e. w0 (x) + e. 0. A(x)s. Z J(x − y)(w(y, s) − w(x, s))dyds, Ω. para x ∈ Ω, t > 0 e w0 ∈ L1 (Ω). A solução do problema (2.2) é um ponto fixo do operador Tu0 , cuja existência é garantida pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach desde que este seja uma contração estrita e o espaço seja de Banach. Primeiramente, verificamos que (Yt0 , ||·||Yt0 ) é um espaço de Banach. Tomando uma sequência de Cauchy (xm ) ⊂ Yt0 , observamos que ||xm − xn ||Yt0 → 0 quando m, n → ∞. ⇒ max ||xm (t) − xn (t)||L1 (Ω) → 0 quando m, n → ∞. 0≤t≤t0. Vemos então que, para todo t ∈ [0, t0 ], (xm (t)) é uma sequência de Cauchy em L1 (Ω). Como é um espaço de Banach, a sequência converge para x(t) ∈ L1 (Ω). Para cada t ∈ [0, t0 ] tomamos x(t) = lim xn (t) em L1 (Ω).. L1 (Ω). n→∞. Sejam 0 ≤ t0 ≤ t ≤ t0 . Como as funções xn (t) estão em Yt0 , elas são contínuas em t. Logo, para todo m fixado, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ε |t − t0 |≤ δ ⇒ |xm (t) − xm (t0 )|< . 3 Pela convergência das sequências, dado ε > 0, existe N1 > 0 tal que |x(t)−xm (t)|≤ 3ε , ∀m > N1 . Da mesma forma, existe N2 > 0 tal que |xm (t0 ) − x(t0 )|≤ 3ε , ∀m > N2 . Tomemos então N = max{N1 , N2 }. Assim, para m > N , |x(t) − xm (t)|<. ε ε e |xm (t0 ) − x(t0 )|< . 3 3. Temos |x(t) − x(t0 )| = |x(t) − xm (t) + xm (t) − xm (t0 ) + xm (t0 ) − x(t0 )| ≤ |x(t) − xm (t)|+|xm (t) − xm (t0 )|+|xm (t0 ) − x(t0 )|..

(24) 2.1. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES. 11. Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |t − t0 |≤ δ ⇒ |x(t) − x(t0 )|<. ε ε ε + + = ε. 3 3 3. Logo x ∈ Yt0 de onde concluímos que Yt0 é um espaço vetorial normado e completo, i.e., um espaço de Banach. Além disso, obtemos que o operador Tw0 está bem definido, isto é, que Tw0 (w) ∈ C([0, t0 ], L1 (Ω)). Primeiro, vemos que Z. Z. −A(x)t. −A(x)t. Z. t A(x)s. Z. J(x − y)w(y, s)dyds|dx e w0 (x) + e Ω 0 Z t Z A(x)t0 ||w(s)||L1 (Ω) dsdx ≤ ||w0 ||L1 (Ω) +||J||∞ e |e. |Tw0 w(x, t)|dx =. Ω. Ω. 0. Ω t0. ≤ ||w0 ||L1 (Ω) +||J||∞ |Ω|e t0 ||w||Yt0 , pois e−A(x)t ≤ 1 e eA(x)t é crescente, dado que A(x) é positivo pela hipótese (H). Aqui também utilizamos que A(x) ≤ 1. Portanto, Tw0 ∈ L1 (Ω). Agora, como w0 , w(x, t) e e−A(x)t são contínuas em t temos que Tw0 w(x, t) também é contínua em t, de onde concluímos que o operador Tw0 está bem definido. Para verificar a existência e a unicidade de solução do problema (2.1), utilizamos o lema a seguir. Lema 2.1.1. Sejam w0 , z0 ∈ L1 (Ω) e w, z ∈ Yt0 . Então existe uma constante C dependendo apenas de J e Ω tal que ||Tw0 (w) − Tz0 (z)||Yt0 ≤ Ct0 ||w − z||Yt0 +||w0 − z0 ||L1 (Ω) . Demonstração: Temos que

(25)

(26) Z

(27)

(28)

(29)

(30)

(31) Tw0 (w)(x, t) − Tz0 (z)(x, t)dx

(32)

(33)

(34) Ω

(35) Z Z Z t

(36)

(37) eA(x)s J(x − y)w(x, s)dyds e−A(x)t w0 (x) + e−A(x)t =

(38)

(39) Ω Ω 0 !

(40) Z Z t

(41)

(42) A(x)s −A(x)t −A(x)t e J(x − y)z(x, s)dyds dx

(43) −e z0 (x) + e

(44) Ω 0

(45)

(46) Z Z

(47) Z tZ

(48)

(49)

(50) ≤ |w0 − z0 |(x)dx + et0 J(x − y)(w(y, s) − z(y, s))dyds

(51) dx.

(52)

(53) Ω Ω

(54) 0 Ω Para analisar a segunda parcela da soma acima, utilizamos a desigualdade de Hölder e obtemos

(55) Z Z tZ Z

(56)

(57) Z t Z

(58)

(59)

(60) t0 t0 |J(x − y)||w − z|(y, s)dydsdx e J(x − y)(w(y, s) − z(y, s))dyds

(61) dx ≤ e

(62)

(63) Ω Ω 0 Ω Ω

(64) 0 Z Z t Z t0 t0 ≤e ||J||L∞ (Ω) ||w(·, s) − z(·, s)||L1 (Ω) dsdx ≤ e tK||w − z||Yt0 dx Ω. 0. Ω. ≤et0 tK|Ω|||w − z||Y t0 . Tomando o máximo em t nos dois lados, obtemos ||Tw0 (w)(x, t) − Tz0 (z)(x, t)||Yt0 ≤ ||w0 − z0 ||L1 (Ω) +Ct0 ||w − z||Yt0 , provando assim a estimativa desejada.. . O teorema a seguir estabelece a condição de existência e unicidade de soluções em Ω × [0, ∞). Teorema 2.1.1. Para cada u0 ∈ L1 (Ω), existe uma única solução do problema (2.1) em [0, ∞)..

(65) 12. 2.2. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. Demonstração: Seja t0 tal que Ct0 < 1. Consideramos ainda, no lema anterior, w0 ≡ z0 ≡ u0 . Dessa forma, obtemos ||Tu0 (w) − Tu0 (z)||Yt0 < Ct0 ||w − z||Yt0 , logo Tu0 é uma contração de Yt0 em Yt0 . Pelo teorema do ponto fixo de Banach, Tu0 tem um ponto fixo u ∈ Yt0 . Assim, −A(x)t. u(x, t) = e. u0 (x) + e. −A(x)t. Z. t A(x)s. Z J(x − y)u(y, s)dyds,. e. x ∈ Ω,. t ∈ [0, t0 ].. Ω. 0. Como visto, u é solução em [0, t0 ]. Para obter uma solução definida em [0, 2t0 ], podemos tomar como condição inicial a função u(x, t0 ) e aplicar o procedimento acima. Podemos então obter uma solução definida em [0, nt0 ], para todo n, tomando como condição inicial a função u(x, (n − 1)t0 ). Assim, concluímos que existe uma única solução do problema em [0, ∞). . 2.2. Comportamento assintótico das soluções. Nesta seção é estudado o comportamento das soluções da equação não local linear. Para isto, iniciamos verificando que as soluções preservam a massa total em Ω. Teorema 2.2.1. Para cada u0 ∈ L1 (Ω), a única solução u do problema (2.1) preserva a massa total em Ω, isto é, Z Z u(x, t)dx = u0 (x)dx ∀t ∈ [0, +∞). Ω. Ω. Demonstração: Como u é solução, podemos escrevê-la na forma Z tZ u(x, t) = u0 (x) + J(x − y)(u(y, s) − u(x, s))dyds. 0. Ω. Integrando os dois lados da equação em x, aplicando o teorema de Fubini e observando que J é radial, obtemos que Z Z Z Z tZ u(x, t)dx = u0 (x)dx + J(x − y)(u(y, s) − u(x, s))dydsdx Ω Ω Ω 0 Ω Z Z tZ Z Z tZ Z = u0 (x)dx + J(x − y)u(y, s)dydxds − J(y − x)u(x, s)dxdyds Ω 0 Ω Ω 0 Ω Ω Z = u0 (x)dx. Ω. Prosseguimos com um resultado referente às soluções estacionárias do problema linear. Procurar soluções estacionárias para o problema é equivalente a encontrar soluções para a equação Z 0= J(x − y)(ϕ(y) − ϕ(x))dy, (2.3) Ω. pois u(x, t) = ϕ(x) ⇐⇒ ut (x, t) = 0. A proposição a seguir refere-se à forma das soluções estacionárias da equação linear. Proposição 2.1. Toda solução estacionária do problema (2.1), isto é, toda função ϕ ∈ L1 (Ω) que satisfaz (2.3) é constante..

(66) 2.2. COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DAS SOLUÇÕES. 13. Demonstração: A equação (2.3) implica que ϕ é contínua em Ω, e portanto pode ser estendida continuamente para o fecho Ω. De fato, temos que J(0) > 0 e Z 1 ϕ(x) = J(x − y)ϕ(y)dy, ∀x ∈ Ω. A(x) Ω Z 1 A integral J(x − y)ϕ(y)dy é contínua devido à regularidade de J. Seja g(x) = . Em decorA(x) Ω rência da hipótese (H) a função J é uniformemente contínua em conjuntos compactos de RN . Logo, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |x − x0 |< δ, então |J(x − y) − J(x0 − y)|< ε. Tem-se então

(67)

(68) Z Z

(69)

(70) 0 0 J(x − y)dy

(71)

(72) |A(x) − A(x )| =

(73)

(74) J(x − y)dy − Ω Z Ω ≤ |J(x − y) − J(x0 − y)|dy < ε|Ω|, Ω. de onde concluímos que A(x) é contínua. Verificamos que A(x) ≥ C > 0 em Ω. De fato, se isso não ocorre, então existe uma sequência (xn ) ⊂ Ω tal que 0 ≤ A(xn ) ≤ n1 . Desta forma, vemos que A(xn ) → 0 e podemos supor, tomando uma subsequência se necessário, que xn → x ∈ Ω, pois (xn ) ⊂ Ω, que é um conjunto limitado e fechado. Se x ∈ Ω, A(xn ) → A(x) pela continuidade de A e portanto Z J(x − y)dy > 0,. 0 = A(x) = Ω. R pois J(0) > 0 e J ≥ 0 por (H) e chegamos assim a um absurdo. Caso x ∈ ∂Ω, tem-se Ω J(x−y)dy = 0, o que também é absurdo por (H), uma vez que J é não nula em uma vizinhança de 0. Logo, A(x) é estritamente positiva e a função g(x) é contínua, o que implica na continuidade de ϕ. Assim ϕ admite extensão contínua para Ω. Sejam agora K = max ϕ(x) e Z = {x ∈ Ω|ϕ(x) = K}. O conjunto Z é não vazio e, por ser x∈Ω. imagem inversa de um conjunto fechado por uma função contínua, também será fechado em Ω. Então, para provar que Z = Ω, basta provar que Z é aberto em Ω. Tomamos x0 ∈ Z. Daí Z 0= J(x0 − y)(ϕ(y) − ϕ(x0 ))dy. Ω. Como J é não negativa, J(0) > 0 e ϕ(y) ≤ ϕ(x0 ), vale que ϕ(y) = ϕ(x0 ) para y ∈ Ω ∩ Bδ (x0 ) onde δ é tomado tal que Bδ (0) ⊂ supp(J). Portanto, Z é aberto e concluímos que Z = Ω já que Ω é conexo. Logo ϕ é constante, ou seja, ϕ(x) ≡ K. Avaliamos então o comportamento das soluções em relação à solução estacionária Z 1 ϕ= u0 (x)dx. |Ω| Ω Observe que Z. Z ϕdy =. Ω. Z u0 (x)dx =. Ω. u(x, t)dx,. ∀ t > 0.. Ω. Consideramos então a quantidade β1 =. inf. 2 (Ω) u∈L R u=0 Ω u6=0. 1 2. R R. y)(u(y) − u(x))2 dx . 2 Ω u (x)dx. Ω Ω J(xR−. (2.4). Conforme veremos, as soluções do problema convergem exponencialmente para ϕ de acordo com o valor de β1 . Neste sentido, verificamos algumas estimativas para tal quantidade..

(75) 14. 2.2. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. Proposição 2.2. Dado β1 conforme definido acima, β1 > 0. Z Z. 1 ≥ 0, pois 2. J(x − y)(u(y) − u(x))2 dx e Demonstração: Primeiramente, temos que β1 Ω Ω Z u2 (x)dx são não negativos. Para provar que β1 é estritamente positivo, considere o conjunto Ω R H = {u ∈ L2 (Ω)| Ω u(x)dx = 0} e o operador T : H → H dado por Z Z T (u)(x) = J(x − y)(u(x) − u(y))dy = − J(x − y)u(y)dy + A(x)u(x), Ω. Ω. Z J(x − y)dy.. onde A(x) = Ω. Temos que T é auto-adjunto, pois < u, T v > − < T u, v > ! Z Z Z = u(x) J(x − y)(v(x) − v(y))dy dx − Ω. =. Ω. Z Z . !. Z. J(x − y)(u(x) − u(y))dy dx. v(x). Ω. Ω. u(x)J(x − y)(v(x) − v(y)) − v(x)J(x − y)(u(x) − u(y)) dxdy. ZΩ ZΩ J(x − y)(−u(x)v(y) + v(x)u(y))dxdy Z Z =− J(x − y)u(x)v(y)dxdy + J(x − y)v(x)u(y)dxdy Ω Ω Ω Ω Z Z Z Z = − v(y) J(x − y)u(x)dxdy + v(x) J(y − x)u(y)dydx. =. ΩZ ΩZ. Ω. Ω. Ω. Ω. = 0, onde utilizamos o Teorema de Fubini e a simetria de J. O operador T é a soma de dois operadores, sendo eles B(u)(x) = A(x)u(x), que é inversível uma vez que A(x) é estritamente positiva, e R D(u)(x) = − Ω J(x − y)u(y)dy, que é compacto, por ser um operador de Hilbert-Schmidt (ver [Bre10]). Então, como T é simétrico, seu espectro σ(T ) é tal que σ(T ) ⊂ [m, M ], onde m=. inf. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. < T u, u > e M =. sup. < T u, u > .. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. Vemos que m=. inf. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. < T u, u > Z Z. =. R R =. J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dydx. inf. u∈H Ω ||u||L2 (Ω) =1. inf. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. Ω. Ω Ω J(x. − y)(u(x) − u(y))u(x)dydx R . 2 Ω u (x)dx. Mas Z Z. Z Z J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dydx =. Ω. Ω. J(x − y)(u(y) − u(x))u(y)dxdy Ω. Ω.

(76) 2.2. COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DAS SOLUÇÕES. 15. e ainda Z Z. Z Z. J(x − y)(u(y) − u(x))u(y)dxdy. J(x − y)(u(x) − u(y))u(x)dydx + ZΩ ZΩ = Ω. Ω. Ω. J(x − y)(u(y) − u(x))2 dydx,. Ω. logo R R. Ω Ω J(x. inf. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. − y)(u(x) − u(y))u(x)dydx R = 2 Ω u (x)dx. inf. 1 2. R R. Ω Ω J(x. u∈H ||u||L2 (Ω) =1. − y)(u(y) − u(x))2 dydx R 2 Ω u (x)dx. e portanto m = β1 . Sabemos que m ≥ 0. Suponha então que m = 0. Se isso ocorre, 0 ∈ σ(T ), ou seja, T não é inversível. Assim, T (u) = 0 possui solução não trivial, isto é, Z J(x − y)(u(x) − u(y))dy = 0 T (u)(x) = Ω. para u não trivial. Pela proposição (2.1), u deve ser constante. Entretanto, u ∈ H, onde H é o complemento ortogonal das constantes, o que nos leva a uma contradição. Portanto, β1 > 0. Estabelecemos agora um limite superior para o valor de β1 . Z Lema 2.2.1. Seja β1 conforme definido em (2.4). Então β1 ≤ min x∈Ω. J(x − y)dy. Ω. Z J(x − y)dy. Como Ω é compacto e A é uma função contínua,. Demonstração: Seja A(x) = Ω. então existe x0 ∈ Ω tal que A(x0 ) = min A(x). Para cada ε pequeno, sejam Bε (x1 (ε)) e Bε (x2 (ε)) x∈Ω. duas bolas disjuntas contidas em Ω, ambas com raio ε, com x1 e x2 de modo que xi (ε) → x0 , para i = 1, 2, quando ε → 0. Consideramos então a função característica ( 1, se x ∈ B, χB (x) = (2.5) 0, se x ∈ / B, que utilizamos como função teste em β1 . Usando uε (x) = χBε (x1 (ε)) (x) − χBε (x2 (ε)) (x), temos que Z uε (x)dx = 1|Bε (0)|−1|Bε (0)|= 0. (2.6) Ω. Vale que β1 ≤. 1 2. R R. Ω Ω J(x. R R =. Ω Ω J(x. − y)(uε (y) − uε (x))2 dydx R 2 Ω uε (x)dx. − y)(uε (x) − uε (y))uε (x)dydx R . 2 Ω uε (x)dx. Por outro lado Z Z Z Z u2ε (x)dx = χ2Bε (x1 (ε)) (x)dx − 2χBε (x1 (ε)) (x)χBε (x2 (ε)) (x)dx + χ2Bε (x2 (ε)) (x)dx Ω. Ω. = 2|Bε (0)|.. Ω. Ω.

(77) 16. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. 2.2. Logo R R. − y)(uε (x) − uε (y))uε (x)dydx R 2 Ω uε (x)dx R R R 2 Ω A(x)uε (x)dx − Ω Ω J(x − y)uε (y)uε (x)dydx = . 2|Bε (0)| Ω Ω J(x. Temos ainda que Z Z Z Z Z uε (x) · C0 dx = 0 uε (x) J(x − y)uε (y)dydx ≤ J(x − y)uε (y)uε (x)dydx = Ω. Ω. Ω. Ω. Ω. por (2.6). Neste caso, C0 = |Ω|K, pois Z Z uε (y)dy ≤ K|Ω|. J(x − y)uε (y)dy ≤ K Ω. Ω. Obtemos assim 2 Ω A(x)uε (x)dx. R. −. R R. Ω Ω J(x. − y)uε (y)uε (x)dydx. 2|Bε (0)| 2 Ω A(x)uε (x)dx. R =. 2|Bε (0)| 2 2 Ω A(x)(χBε (x1 (ε)) (x) + χBε (x2 (ε)) (x))dx. R =. 2|Bε (0)|. Tomando o limite da expressão acima, obtemos R R R 2 Ω A(x)uε (x)dx − Ω Ω J(x − y)uε (y)uε (x)dydx lim = A(x0 ). ε→0 2|Bε (0)| Z Assim, temos que β1 ≤ A(x0 ) = min J(x − y)dy. x∈Ω. . Ω. Por fim, apresentamos o resultado principal desta seção, que estima a convergência, em certo sentido, da solução da equação linear não local para o valor médio da condição inicial. Teorema 2.2.2. Para todo u0 ∈ L2 (Ω), a solução u(x, t) de (2.1) satisfaz

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85) Z Z

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93) 1 1

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101) u0

(102)

(103) u0

(104)

(105) ≤ e−β1 t

(106)

(107) u0 −

(108)

(109) u(·, t) −

(110)

(111)

(112)

(113) |Ω| Ω

(114)

(115) 2 |Ω| Ω

(116)

(117) 2 L (Ω). (2.7). L (Ω). para β1 como em (2.4). Além disso, se u0 é contínua e limitada, existe uma constante positiva C > 0 tal que

(118)

(119)

(120)

(121) Z

(122)

(123)

(124)

(125) 1

(126)

(127)

(128)

(129) ≤ Ce−β1 t . (2.8) u0

(130)

(131)

(132)

(133) u(·, t) −

(134)

(135) |Ω| Ω

(136)

(137) ∞ L (Ω). Demonstração: Definimos 1 H(t) = 2. Z Ω. 1 u(x, t) − |Ω|. !2. Z u0 Ω. dx..

(138) 2.2. 17. COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DAS SOLUÇÕES. Derivando a expressão acima, obtemos ! Z Z 1 1 2 u(x, t) − u0 ut (x, t)dx H 0 (t) = 2 Ω |Ω| Ω !Z ! Z Z Z Z 1 J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy dx = u(x, t) J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dydx − u0 |Ω| Ω Ω Ω Ω Ω !Z Z Z Z Z 1 = J(x − y)u(x, t)(u(y, t) − u(x, t))dydx − J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dydx u0 |Ω| Ω Ω Ω Ω Ω Z Z J(x − y)u(x, t)(u(y, t) − u(x, t))dydx = Ω ZΩ Z 1 =− J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))2 dydx. 2 Ω Ω Temos, pela conservação da massa, Z. 1 u(x, t)dx − |Ω|. Ω. Z. !. Z. u0 dx =. u(x, t)dx −. 1 |Ω|. Z Z. u(x, t)dx −. |Ω| |Ω|. Z. Ω. Ω. Z = Ω. 1 Logo, temos que u(x, t) − |Ω|. =. 1 2. R R. 1 2. R R. Ω Ω J(x. (. Z u0 = w(x, t) ∈. v ∈ L2 (Ω),. Ω. Ω. u0 (y)dy dx. Ω. u0 (x)dx = 0. Ω. ). Z. v = 0 . Portanto Ω. R 1 − y)((u(y, t) − |Ω| Ω u0 ) − (u(x, t) − R R 2 1 Ω (u(x, t) − |Ω| Ω u0 ) dx. 1 |Ω|. 2 Ω u0 )) dydx. R. − y)(u(y, t) − u(x, t))2 dydx R 2 1 Ω (u(x, t) − |Ω| Ω u0 ) dx. Ω Ω J(x. R. ≥β1 , pela definição de β1 . Multiplicando os dois lados da desigualdade por −. Z . u(x, t) −. Ω. obtemos 1 − 2. Z Z. 2. Z. J(x − y)(u(y, t) − u(x, t)) dydx ≤ −β1 Ω. Ω. Ω. Utilizando a expressão de H(t), segue-se que H 0 (t) ≤ −2β1 H(t). Integrando em (0, t), H(t) ≤ H(0)e−2β1 t .. 1 u(x, t) − |Ω|. Z. !2. Z u0 Ω. 1 |Ω|. dx.. u0 Ω. 2. dx.

(139) 18. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. 2.3. Desta forma, observamos que

(140)

(141) 2

(142)

(143) 2

(144)

(145)

(146)

(147) Z Z

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153) 1 1

(154)

(155)

(156)

(157) 1 1

(158)

(159)

(160)

(161)

(162)

(163) u0

(164)

(165) ≤

(166)

(167) u0 − u0

(168)

(169) e−2β1 t H(t) =

(170)

(171) u(·, t) − 2

(172)

(173) |Ω| Ω

(174)

(175) 2 2

(176)

(177) |Ω| Ω

(178)

(179) 2 L (Ω) L (Ω)

(180)

(181)

(182)

(183)

(184)

(185)

(186)

(187) Z Z

(188)

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

(195) 1 1

(196)

(197)

(198)

(199)

(200)

(201)

(202)

(203) ⇒

(204)

(205) u(·, t) − u0

(206)

(207) ≤

(208)

(209) u0 − u0

(210)

(211) e−β1 t ,

(212)

(213)

(214)

(215) |Ω| Ω

(216)

(217) 2 |Ω| Ω

(218)

(219) 2 L (Ω). L (Ω). que é a estimativa (2.7). Para verificar a estimativa (2.8), definimos a função Z. 1 w(x, t) = u(x, t) − |Ω|. u0 , Ω. cuja norma em L∞ (Ω) avaliamos. Como o operador que define o problema (2.1) é linear, temos que w é solução do problema em H. Logo satisfaz Z Z t A(x)s −A(x)t −A(x)t J(x − y)w(y, s)dyds, e w(x, t) = e w0 (x) + e Ω. 0. onde A(x) =. R. Ω J(x. − y)dy e w0 (x) = u0 (x) −. 1 |Ω|. Z u0 . Ω. Temos que |w(x, t)|≤ e−A(x)t |w0 (x)|+e−A(x)t. Z. t. eA(x)s. Z. 0. |J(x − y)||w(y, s)|dyds. Ω. Utilizando a estimativa (2.7), que se refere à norma de w em L2 (Ω), e a desigualdade de Hölder, temos que

(220)

(221)

(222)

(223) Z Z

(224)

(225)

(226)

(227) 1

(228)

(229)

(230)

(231) J(x − y)|w(y, s)|dy ≤ M

(232)

(233) u0 − u0

(234)

(235) e−β1 s ,

(236)

(237)

(238)

(239) |Ω| Ω Ω 2 L (Ω). onde M = max||J(x − ·)||L2 (Ω) . Assim x∈Ω. |w(x, t)|≤ e. −A(x)t. −A(x)t. Z. |w0 (x)|+C1 e. t. eA(x)s−β1 s ds,. 0. o que nos aponta o decaimento exponencial de w. Pelo Lema 2.2.1, A(x) − β1 ≥ 0. Na integral acima, se A(x) = β1 , a estimativa é verificada com C = C1 pois a desigualdade é válida para todo t. Caso contrário, Z t 1 1 1 e(A(x)−β1 )t − ≤ e(A(x)−β1 )t , eA(x)s−β1 s ds = A(x) − β1 A(x) − β1 A(x) − β1 0 e assim |w(x, t)|≤ e−A(x)t |w0 (x)|+. Ce−β1 t . A(x) − β1. Portanto, considerando t → ∞, temos que existe uma constante C tal que ||w(·, t)||L∞ (Ω) ≤ Ce−β1 t , conforme a estimativa (2.8).. .

(240) 2.3. 2.3. SUBSOLUÇÕES E SUPERSOLUÇÕES. 19. Subsoluções e supersoluções. Concluímos o capítulo com a definição de supersolução e resultados referentes à preservação de sinal das soluções. Definição 2.3.1. Uma função u ∈ C(Ω × [0, T ]) é uma supersolução do problema (2.1) se Z ut (x, t) ≥ J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy. Ω. Invertendo as desigualdades, definimos subsoluções. Lema 2.3.1. Seja u0 ≥ 0. Se u ∈ C(Ω×[0, T ]) é uma supersolução do problema (2.1), então u ≥ 0. Demonstração: Suponha que u é negativa em algum ponto (x1 , t1 ). Consideramos a função v(x, t) = u(x, t) + εt, com ε tão pequeno que v(x1 , t1 ) ainda seja negativa. Seja (x0 , t0 ) o ponto de mínimo da função v. Como u0 ≥ 0, temos que t0 > 0 e vt (x0 , t0 ) = ut (x0 , t0 ) + ε Z J(x0 − y)(u(y, t0 ) − u(x0 , t0 ))dy > ZΩ = J(x0 − y)(v(y, t0 ) − v(x0 , t0 ))dy ≥ 0, Ω. pois J é positiva e v(y, t0 ) ≥ v(x0 , t0 ) . Assim, vt (x0 , t0 ) > 0, o que é uma contradição pois (x0 , t0 ) é ponto de mínimo de v. Portanto, u ≥ 0. Corolário 2.3.0.1. Seja u ∈ C(Ω×[0, t]) uma solução do problema (2.1) com u0 ≥ 0. Então u ≥ 0. Demonstração: Uma solução u ∈ C(Ω × [0, t]) é uma supersolução do problema (2.1) que satisfaz as hipóteses do Lema 2.3.1. Portanto, u ≥ 0. Destacamos que Andreu-Vaillo et al. [AVt10] argumentam que vale um resultado mais geral que enunciaremos a seguir. Lema 2.3.2. Sejam u0 , v0 ∈ L1 (Ω) com u0 ≥ v0 . Sejam u e v soluções do problema (2.1) com condições iniciais u0 e v0 , respectivamente. Então u ≥ v. Demonstração: Seja w = u − v. Esta função é solução do problema (2.1) com condição inicial w0 = u0 − v0 ≥ 0. Considerando o Lema 2.1.1, obtemos a continuidade da solução em relação à condição inicial. Além disso, J ∈ L∞ (RN ). Desta forma, podemos considerar que u e v são contínuas, o que implica na continuidade de w. Estamos então nas hipóteses de (2.3.1) e portanto w ≥ 0. (ver [AVt10]). Destacamos, entretanto, a necessidade de considerar que a solução é contínua. Isto é feito considerando a densidade de C(Ω) em L1 (Ω), o que nos permite afirmar que qualquer solução pode ser aproximada por uma função contínua. Concluímos esta seção com um resultado de comparação entre subsoluções e supersoluções. Corolário 2.3.0.2. Sejam u ∈ C(Ω × [0, t]) e v ∈ C(Ω × [0, t]) uma supersolução e uma subsolução do problema (2.1). Então, u ≥ v. Demonstração: Seja w = u − v. A função w é supersolução do problema (2.1) com w0 ≡ 0. Daí, w ≥ 0. .

(241) 20. PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO. 2.3.

(242) Capítulo 3. Problema com condições de Neumann e um termo de reação Consideramos então o problema de difusão não local com condições de contorno de Neumann e um termo de reação não linear, dado por ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy + |u|p−1 u(x, t), x ∈ Ω, t > 0, (3.1) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, onde J satisfaz (H) e p > 0. Este problema apresenta algumas propriedades semelhantes ao problema local correspondente dado por  ut (x, t) = ∆u(x, t) + |u|p−1 u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,    ∂u (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,  ∂η   u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω. A seguir, estudamos propriedades relativas ao problema (3.1), como existência e unicidade de soluções, condições de explosão, entre outros, com base na discussão apresentada por Pérez-Llanos e Rossi em [PLR09]. Vemos também que, se a condição inicial u0 (x) for não trivial e não negativa, então a solução é não negativa em todos os pontos de [0, T ) × Ω fazendo com que o problema (3.1) seja equivalente a ( R ut (x, t) = Ω J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy + up (x, t), x ∈ Ω, t > 0, (3.2) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, com p > 0.. 3.1. Existência e unicidade de soluções. Compreendemos aqui como solução do problema (3.1) uma função u ∈ C([0, T ), C(Ω)) que satisfaz (3.1). Para verificarmos a existência e a unicidade de soluções utilizamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach com base nas ideias apresentadas em [Góm14] e [PLR09]. Para tanto, fixamos t0 > 0 e consideramos o espaço Xt0 = C([0, t0 ], C(Ω)) com a norma ||w||Xt0 = max ||w(·, t)||L∞ (Ω) = max max|w(x, t)|. 0≤t≤t0. 0≤t≤t0 x∈Ω. O espaço Xt0 é de Banach. De fato, seja (xn ) uma sequência de Cauchy em Xt0 . Então ||xm − xn ||Xt0 → 0 quando m, n → ∞. 21.

(243) 22. PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE NEUMANN E UM TERMO DE REAÇÃO. 3.1. Logo, fixado t ∈ [0, t0 ], ||xm (t) − xn (t)||L∞ (Ω) → 0 quando m, n → ∞, pois, se o máximo de ||xm (t) − xn (t)||L∞ (Ω) em [0, t0 ] tende a zero, então o mesmo acontece para cada valor de t. Dessa forma, (xn (t)) é uma sequência de Cauchy em C(Ω). O espaço (C(Ω), ||·||∞ ) é de Banach e x(t) := lim xn (t) é o limite uniforme de uma sequência n→∞. de funções contínuas, portanto é contínua. Do mesmo modo, podemos concluir que x(t) é contínua em t. Portanto, o espaço Xt0 é de Banach. Consideramos então o operador Tw0 : Xt0 → Xt0 dado por Tw0 (w)(x, t) = e−A(x)t w0 (x) +. Z. t. e−A(x)(t−s). Z. J(x − y)w(y, s)dy + |w|p−1 w(x, s) ds,. (3.3). Ω. 0. R no qual A(x) = Ω J(x − y)dy e w0 ∈ C(Ω). Utilizamos esse operador para verificar a existência e a unicidade de uma solução para o problema (3.1) com condição inicial w0 . Para isto, provamos o seguinte lema. Lema 3.1.1. Seja w0 ∈ C(Ω) e considere Tw0 : Xt0 → Xt0 o operador definido por (3.3). Então Tw0 está bem definido e satisfaz para todo aberto limitado U ∈ Xt0 que ||Tw0 (w) − Tz0 (z)||Xt0 ≤ ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) + Ct0 ||w − z||Xt0 para todo w0 , z0 ∈ C(Ω) e todo w, z ∈ U . Além disso, para t0 suficientemente pequeno, Tu0 é uma contração estrita na bola B(u0 , 2||u0 ||L∞ (Ω) ). Demonstração: Primeiramente, verificamos que Tw0 está bem definido. Para todos (x, t1 ), (x, t2 ) ∈ Ω × [0, t0 ], com t2 ≥ t1 , vale |Tw0 (w)(x, t2 ) − Tw0 (w)(x, t1 )|

(244)

(245) Z t2 Z Z t2

(246)

(247) −A(x)t2 A(x)t1 −A(x)(t−s) −A(x)(t−s) p−1

(248) =

(249) w0 (x)(e −e )+ e J(x − y)w(y, s)dyds + e |w| w(x, s)ds

(250)

(251) t1 Ω t1 Z Z t2 Z t2 −A(x)t2 A(x)t1 −A(x)(t−s) ≤|w0 (x)(e −e )|+ e |J(x − y)||w(y, s)|dyds + e−A(x)(t−s) |w|p (x, s)ds t1. ≤||w0 ||L∞ (Ω) |e. −A(x)t2. −. ≤||w0 ||L∞ (Ω) |e−A(x)t0 −. Ω. t1. e |+(t2 − t1 )K|Ω|||w||Xt0 +(t2 − t1 )||w||pXt 0 p 1|+(t2 − t1 ) max {K|Ω|, 1} (||w||Xt0 +||w||Xt ). 0 A(x)t1. Utilizamos acima os fatos de que A(x) > 0 em Ω e que e−t ≤ 1 se t ≥ 0. Assim, vemos que Tw0 é contínua para todo t ∈ [0, t0 ]. Temos que Tw0 (w) é contínua em x, pois w0 é contínua e a convolução com J também o é, visto que w é contínua em x. Portanto, Tw0 está bem definida. Provamos então a estimativa. Sejam w0 , z0 ∈ C(Ω) e w, z ∈ Xt0 . Para todo (x, t) ∈ Ω × [0, t0 ],.

(252) 3.1. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES. 23. vale |Tw0 (w)(x, t) − Tz0 (z)(x, t)|

(253) Z Z t

(254) −A(x)t −A(x)(t−s)

(255) J(x − y)(w(y, s) − z(y, s))dyds e =

(256) e (w0 (x) − z0 (x)) + Ω 0

(257) Z t

(258) −A(x)(t−s) p−1 p−1 e (|w| w(x, s) − |z| z(x, s))ds

(259)

(260) + 0

(261)

(262) Z t Z

(263)

(264) −A(x)t −A(x)(t−s)

(265) ≤e ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) +

(266) e J(x − y)(w(y, s) − z(y, s))dyds

(267)

(268) Ω 0

(269) Z t

(270)

(271)

(272) −A(x)(t−s) p−1 p−1

(273) +

(274) e (|w| w(x, s) − |z| z(x, s))ds

(275)

(276) 0 Z Z t ≤||w0 − z0 ||L∞ (Ω) + e−A(x)(t−s) |J(x − y)||w − z|(y, s)dyds Ω 0 Z t + e−A(x)(t−s) ||w|p−1 w(x, s) − |z|p−1 z(x, s)|ds. 0. Consideramos então a função f : R → R dada por f (x) = |x|p−1 x. Temos que ( pxp−1 , se x > 0, 0 f (x) = p−1 p−1 (−1) px , se x < 0. Daí, pelo Teorema do Valor Médio, para 0 < x < y, existe a ∈ (x, y) tal que |f 0 (a)|=. |f (x) − f (y)| ⇒ p|ap−1 ||x − y|= |x|x|p−1 −y|y|p−1 |. |x − y|. Logo, a partir dessa análise, verificamos que para cada (x, s) ∈ Ω×[0, t0 ] existe η ∈ (w(x, s), z(x, s)) que satisfaz ||w|p−1 w(x, s) − |z|p−1 z(x, s)|= pη p−1 |w(x, s) − z(x, s)|. . Podemos então tomar η ≤ max ||w||Xt0 , ||z||Xt0 de modo que valha a desigualdade ||w|p−1 w(x, s) − |z|p−1 z(x, s)|≤ pη p−1 |w(x, s) − z(x, s)|. Utilizamos ainda os fatos de que A(x) > 0 para todo x e e−t ≤ 1 se t ≥ 0 para obter Z t |Tw0 (w)(x, t) − Tz0 (z)(x, t)| ≤ ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) + K|Ω|||w(·, s) − z(·, s)||L∞ (Ω) ds 0 Z t p−1 + pη ||w(·, s) − z(·, s)||L∞ (Ω) ds 0. ≤ ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) +K|Ω|t||w − z||Xt0 +pη p−1 t||w − z||Xt0 = (K|Ω|+pη p−1 )t|||w − z||Xt0 . Logo, tomando o máximo nos dois lados da desigualdade, obtemos ||Tw0 (w) − Tz0 (z)||Xt0 ≤ ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) +K|Ω|t0 ||w − z||Xt0 +pη p−1 |t0 ||w − z||Xt0 = ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) +(K|Ω|+pη p−1 )t0 |||w − z||Xt0 = ||w0 − z0 ||L∞ (Ω) +Ct0 |||w − z||Xt0 e a estimativa está provada..

(277) 24. PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE NEUMANN E UM TERMO DE REAÇÃO. Escolhendo então t0 tal que Ct0 <. 1 2. 3.1. e u0 ≡ w0 ≡ z0 , temos. ||Tu0 (w) − Tu0 (z)||Xt0 ≤ Ct0 ||w − z||Xt0 < ||w − z||Xt0 . Então, Tu0 é uma contração estrita na bola B(u0 , 2||u0 ||L∞ (Ω) ).. . A partir daqui, podemos provar resultados referentes à existência e à unicidade de soluções contínuas para o problema. Além disso, provamos uma identidade acerca da massa total em Ω. Teorema 3.1.1. Para toda função u0 ∈ C(Ω) existe uma solução u ∈ C([0, T ), C(Ω)) de (3.1), onde T é o tempo maximal de existência da solução. Se T for finito, então a solução explode na norma L∞ (Ω), isto é lim sup||u(·, t)||L∞ (Ω) = ∞. t→T −. Além disso, a massa total de u em Ω verifica a identidade Z tZ Z Z |u|p−1 u(x, s)dxds. u0 (x)dx + u(x, t)dx = 0. Ω. Ω. Ω. Demonstração: Sejam Xt0 e Tu0 como definidos no Lema 3.1.1. Aplicando o Teorema do Ponto Fixo de Banach ao operador Tu0 verificamos que o mesmo possui apenas um ponto fixo, pois é uma contração (ver [Hön61]). Assim, existe uma única função u ∈ Xt0 tal que u(x, t) = e. −A(x)t. Z u0 (x) +. t. e. −A(x)(t−s). 0. Z. Z J(x − y)u(y, s)dyds +. Ω. t. e−A(x)(t−s) |u|p−1 u(x, s)ds.. 0. Verificamos então que uma função é solução do problema (3.1) se e somente se for ponto fixo de Tu0 . Se u é ponto fixo do operador Tu0 , então Z t J(x − y)e−A(x)(t−s) u(y, s)dyds + e−A(x)(t−s) |u|p−1 u(x, s)ds 0 Ω 0 Z tZ Z t ⇒ eA(x)t u(x, t) = u0 (x) + J(x − y)eA(x)s u(y, s)dyds + eA(x)s |u|p−1 u(x, s) 0 Ω 0 Z A(x)t A(x)t A(x)t J(x − y)u(y, t)dy + eA(x)t |u|p−1 u(x, t) ⇒ A(x)e u(x, t) + e ut (x, t) = e. u(x, t) = e−A(x)t u0 (x) +. Z tZ. Ω. e, como eA(x)t 6= 0, temos Z A(x)u(x, t) + ut (x, t) = J(x − y)u(y, t)dy + |u|p−1 u(x, t) Ω Z ⇒ ut (x, t) = J(x − y)(u(y, t) − u(x, t))dy + |u|p−1 u(x, t). Ω. Por outro lado, se ut (x, t) = eA(x)t ut (x, t) = eA(x)t. Z. R. Ω J(x. − y)u(y, t)dy − A(x)u(x, t) + |u|p−1 u(x, t), então. J(x − y)u(y, t)dy − eA(x)t A(x)u(x, t) + eA(x)t |u|p−1 u(x, t).. Ω. Integrando por partes o lado esquerdo da igualdade, temos Z t Z t eA(x)s ut (x, s)ds = u(x, t)eA(x)t − eA(x)s A(x)u(x, s)ds − u0 (x). 0. 0.