Normalização de termos no cáculo dos combinadores

(1)

Faculdade de Ciˆencias

Departamento de Matem´

atica

Normaliza¸

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ao de Termos no C´

alculo dos

Combinadores

Renata Maria Machado Teixeira

Mestrado em Matem´

atica

( ´

Algreba, L´

ogica e Fundamentos)

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Faculdade de Ciˆencias

Departamento de Matem´

atica

Normaliza¸

c˜

ao de Termos no C´

alculo dos

Combinadores

Renata Maria Machado Teixeira

DISSERTAC

¸ ˜

AO

Disserta¸c˜ao orientada pelo Prof. Doutor Fernando Jorge Inocˆencio Ferreira

Mestrado em Matem´

atica

( ´

Algreba, L´

ogica e Fundamentos)

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(5)

Sincero e justo é, em primeiro e indiscut´ıvel lugar, agradecer ao meu orientador, Pro-fessor Doutor Fernando Ferreira, pelo apoio que me deu durante o desenvolvimento deste trabalho. Agrade¸co a disponibilidade e o grande est´ımulo que me concedeu no sentido de avan¸car o presente estudo. Sem este apoio, é certo, que este trabalho ainda seria só uma ideia.

Expresso a minha particular gratidão à Professora Doutora Teresa Almada que me incentivou para esta área de especializa¸cão.

Ao Conselho Executivo da Escola Secundária onde exer¸co fun¸cões pelo apoio quanto à faculta¸cão de um horário de lecciona¸cão, no ano lectivo 2007/2008, mais organizado, para que nesta última fase pudesse ter mais tempo dispon´ıvel para a sua finaliza¸cão.

`

A Professora Doutora Margarida Gra¸ca, Coordenadora do Grupo de Matemática desta Escola, pela sua compreensão e pelo seu inestimável apoio na concretiza¸cão da atribui¸cão do referido horário.

Ao meu cunhado Vitor por estar sempre dispon´ıvel para resolver os meus pro-blemas inform´aticos.

Um agradecimento especial ao meus pais e irmãos por sempre me terem apoiado e compreenderem as minhas prolongadas ausências. Ao Nuno pelo grande apoio, paciência, boa companhia e amizade.

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(7)

Neste trabalho apresenta-se um estudo clássico do Cálculo dos Combinadores Não Tipado e Tipado e aborda-se ainda o Cálculo T de Gödel como uma extensão do Cálculo dos Combinadores Tipado. No Cálculo dos Combinadores Não Tipado prova-se que é válido o Teorema de Church-Rosser e que existem alguns resultados não decid´ıveis, como saber se um termo admite ou não forma normal. Para o Cálculo dos Combinadores Tipado mostra-se que também é válido o Teorema de Church-Rosser e que esta teoria satisfaz o Teorema da Normaliza¸cão Forte. Prova-se que estes dois últimos Teoremas também são satisfeitos pelo Cálculo T de Gödel.

PALAVRAS-CHAVE:

Combinadores. Cálculo Lambda. Teorema de Church-Rosser. Normaliza¸cão. Cálculo T de Gödel.

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This thesis presents a classical study of the Untyped and Typed Combinatory Calculus; furthermore, it studies G¨odel´s T Calculus as an extension of the Typed Combinatory Calculus.

Regarding the Untyped Combinatory Calculus, this work proves that the Church-Rosser Theorem is valid and some undecidability results (e.g., it is undecidable whether a term admits a normal form).

As far as the Typed Combinatory Calculus is concerned, not only the Church-Rosser Theorem is valid but it also enjoys the propriety of Strong Normalization. This is also the case for G¨odel´s T Calculus. Herein, we prove these Theorems.

KEYWORDS:

Combinators. Lambda Calculus. Church-Rosser Theorem. Normalization. G¨odel T Calculus.

(10)

(11)

Lista de Figuras ix

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Brev´ıssima Nota Hist´orica . . . 1

1.2 Resumo da Disserta¸c˜ao . . . 2

2 Cálculo de Combinadores Não Tipado 4 2.1 Lógica de Combinadores Não Tipada. Redu¸cão. . . 5

2.2 Termo em forma normal. Redu¸c˜ao de um termo a forma normal. . . . 10

2.3 Teorema de Church-Rosser . . . 13

2.4 Teorema do Ponto fixo . . . 19

2.5 C´alculo Lambda . . . 22

2.6 O Poder do C´alculo de Combinadores . . . 28

2.6.1 Representa¸c˜ao dos N´umeros Naturais . . . 29

2.6.2 Representa¸c˜ao das Fun¸c˜oes Parciais Recursivas. . . 30

2.7 Alguns Resultados Indecid´ıveis . . . 40

3 Cálculo de Combinadores Tipado 46 3.1 Termos da Lógica Combinatória Tipada. Redu¸cão. Teorema de Church-Rosser . . . 47

3.2 Teorema da Normaliza¸c˜ao . . . 53

4 Cálculo T de Gödel 59 4.1 Termos do Cálculo T de Gödel. Redu¸cão. . . 59

4.2 Teorema de Church Rosser . . . 63

4.3 Teorema da Normaliza¸c˜ao . . . 65

A Fun¸c˜oes Parciais Recursivas 70

B Demonstra¸cão do Teorema da Redu¸cão Mais à Esquerda 75

Bibliografia 80

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(13)

2.1 Uma representa¸cão pictórica da Propriedade do Losango . . . 14 2.2 Uma representa¸cão pictórica do Exemplo 17 al´ınea 1) . . . 15 2.3 Uma representa¸cão pictórica do Exemplo 17 al´ınea 2) . . . 15

(14)

(15)

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Brev´ıssima Nota Hist´

orica

Por volta da segunda metade do século XIX o conceito matemático de fun¸cão atingiu um ponto em que a nota¸cão standard era amb´ıgua, principalmente em teorias que utilizam operadores funcionais, isto é, fun¸cões que admitem outras fun¸cões como argumentos, pois a nota¸cão usual “f (x)” não faz distin¸cão entre a própria fun¸cão e o valor da fun¸cão quando aplicado a um determinado argumento.

Por exemplo, consideremos um operador P aplicado a uma fun¸cão f (x) expresso, muitas vezes, por P [f (x)]. Então o que significará P [f (x + 1)]? Será que determi-namos primeiro g (x) = f (x + 1) e depois P [g (x)]; ou primeiramente determidetermi-namos h (x) = P [f (x)] e seguidamente h (x + 1)? Apesar destes procedimentos levarem ao mesmo resultado para muitos importantes operadores, não temos o mesmo resultado no caso a seguir apresentado.

Consideremos P [f (x)] =    f (x) − f (0) x , se x 6= 0 f0(0) , se x = 0

Ent˜ao, se f (x) = x2 tem-se que P [g (x)] = P [x2+ 2x + 1] = x + 2, h (x) = P [f (x)] = x, e h (x + 1) = x + 1 6= P [g (x)].

Assim, nesta altura procura-se construir um sistema formal que sirva de funda-menta¸cão matemática para teorias gerais de fun¸cões e lógicas de ordem superior.

Neste sentido, a Lógica Combinatória surgiu no in´ıcio do século XX, em 1924, com os artigos de Moses Schönfinkel [15] e mais tarde, independetemente, em 1929, com os artigos de Haskell Curry [6] e [7], sendo este o responsável pelo seu desen-volvimento até 1970. Pela mesma altura e com a mesma inten¸cão, surgiu o Cálculo Lambda com os artigos de Alonzo Church [2] e [3]. Quando Kleene e Rosser [13]

(16)

mostraram a inconsistência destas teorias, Curry já tinha provado a consistência para a Lógica Combinatória pura [7], isto é, o subsistema da teoria apresentada por Curry restrito a combinadores e passou a dedicar-se ao desenvolvimento de teorias consistentes [8] e [9], sem no entanto atingir o objectivo final de fornecer fundamentos adequados para a matemática; Church abandonou o programa de fundamentos e ex-traiu a subteoria referente à parte funcional que hoje corresponde ao que chamamos Cálculo Lambda, cuja a consistência foi mostrada por Church e Rosser [5].

Schönfinkel introduziu a ideia de aplica¸cão e mostrou que a ideia de fun¸cão podia ser alargada de forma que fun¸cões podiam ser argumentos de outras fun¸cões. Intro-duziu algumas constantes especiais, em particular duas designadas por combinadores básicos ou primitivos, e mostrou que as fórmulas lógicas podem ser expressas sem variáveis e utilizando somente estes combinadores primitivos.

A Lógica Combinatória é uma teoria baseada num conjunto de constantes básicas, os combinadores primitivos, e na opera¸cão de aplica¸cão. Assim, a sua sintaxe, cujas expressões designam-se por termos da lógica combinatória, é bastante simples, tendo uma interpreta¸cão operacional de muito fácil compreensão.

Além da importância destas duas teorias para diversos campos, como a Teoria da Demonstra¸cão e a Teoria da Computa¸cão, elas desempenharam um papel importante na obten¸cão dos primeiros resultados sobre fun¸cões recursivas.

Não podemos deixar de referir que o Cálculo Lambda é também uma teoria que modela fun¸cões e o seu comportamento aplicativo. É uma linguagem formal cujas expressões designam-se por termos lambda e que na sua sintaxe existe uma opera¸cão designada por abstra¸cão que corresponde à opera¸cão inversa da aplica¸cão, que implicará que um dos conceitos centrais do Cálculo Lambda seja a substitui¸cão, que está quase ausente nos sistemas da Lógica Combinatória pois as variáveis não fazem parte da sua sintaxe. Mas mostraremos que qualquer sistema da Lógica Combinatória captura este termo lambda, pelo que estas teorias são consideradas variantes uma da outra.

1.2 Resumo da Disserta¸

c˜

ao

Apresentamos o sistema formal de termos da Lógica Combinatória pura, isto é, o sistema mais simples, sem restri¸cões sintácticas e complica¸cões, pelo que todas as ideias expostas e resultados apresentados estão na base de qualquer outro sistema.

Ao longo do trabalho a literatura seguida ser´a [12], mas para um leitor mais interessado aconselhamos [8] e [1].

Para a compreensão plena deste trabalho apenas necessitamos que o leitor tenha alguma familiariedade com os conceitos de conjuntos, rela¸cões e fun¸cões, no¸cões e conceitos que abordaremos ao longo do trabalho, sempre que considerarmos

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ade-quado, de forma a que o mesmo seja sempre percept´ıvel.

Na Lógica Combinatória existem sistemas não tipados e tipados. Nos sistemas não tipados da Lógica Combinatória, nunca se especifica o tipo de qualquer ex-pressão. Mais precisamente, não se espec´ıfica o dom´ınio e contradom´ınio de uma fun¸cão, o que nos garante maior flexibilidade. No entanto, quando tentamos aplicar um argumento a uma fun¸cão pode ser pouco compreens´ıvel a situa¸cão. Nos sistemas tipados está sempre bem definido o tipo espec´ıfico de cada expressão, pelo que nunca será permitido a aplica¸cão de uma fun¸cão a um argumento que não seja do mesmo tipo espec´ıfico do dom´ınio da fun¸cão.

No segundo cap´ıtulo apresentamos o sistema mais puro da Lógica Combinatória Não Tipada. Após a introdu¸cão das no¸cões elementares como o conjunto dos ter-mos deste sistema, substitui¸cão, redexe, contraçcão, redu¸cão (rela¸cão conhecida por redu¸cão fraca, mas que apenas designamos por redu¸cão pois não apresentamos mais redu¸cões) e forma normal de um termo, iremos provar que este sistema satisfaz o Teorema de Churh-Rosser, o Teorema do Ponto Fixo e que pode ser visto como induzindo uma variante do Cálculo Lambda. Como abordagem à computabilidade, mostramos ainda que este sistema representa as fun¸cões parciais recursivas e que é indecid´ıvel saber se um termo admite ou não forma normal.

Quanto ao terceiro cap´ıtulo, apresentamos o sistema puro da Lógica Combi-natória Tipada. Mostramos que continua a ser válido o Teorema de Church-Rosser e provamos o Teorema da Normaliza¸cão, isto é, neste sistema não existem redu¸cões infinitas.

No quarto cap´ıtulo apresentamos o Cálculo T de Godel que não é mais que uma extensão de um sistema puro tipado da Lógica Combinatória. Provamos que os resultados principais do cap´ıtulo antecedente são também satisfeitos neste sistema, nomeadamente: adaptamos as provas do Teorema de Church-Rosser e do Teorema da Normaliza¸cão.

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C´

alculo de Combinadores N˜

ao

Tipado

Neste cap´ıtulo introduzimos os conceitos básicos da Lógica Combinatória e apre-sentamos alguns dos principais resultados desta teoria. Nas primeiras duas seçcões, além de apresentarmos as no¸cões elementares, também pretendemos fixar a nota¸cão de forma a tornar a leitura da disserta¸cão independente da literatura seguida e de outras literaturas ou textos. Como principais resultados provamos o Teorema de Church-Rosser e mostramos, apesar da sua simples sintaxe, que este sistema repre-senta as Fun¸cões Parciais Recursivas.

Como forma de motiva¸cão, consideremos a propriedade comutativa da adi¸cão na aritmética. Esta propriedade pode ser expressa por:

∀x, y (x + y = y + x)

Mas também podemos indicar esta propriedade sem recorrer às variáveis x e y. Para tal, definimos

A (x, y) = x + y (para quaisquer x e y) e introduzimos um operador C definido por

(Cf ) (x, y) = f (y, x) (para quaisquer x e y) Assim, a propriedade comutativa fica simplesmente

A = CA O operador C designa-se por combinador.

(19)

2.1 L´

ogica de Combinadores N˜

ao Tipada. Redu¸

c˜

ao.

Nesta seçcão apresentamos o sistema formal de termos da Lógica Combinatória. Este sistema será o mais simples poss´ıvel, sem restri¸cões sintácticas e complica¸cões, sendo, no entanto, as ideias expostas comuns a qualquer outro sistema.

Os objectos de estudo da Lógica Combinatória são os termos combinatórios.

Defini¸cão 1 (Termos da lógica combinatória ou termos-LC)

Assumamos que nos é dada uma sequência finita de s´ımbolos, designados por variáveis, e uma sequência finita ou infinita de s´ımbolos a que chamamos constan-tes, na qual constam duas constantes denominadas por combinadores básicos: Q e P. Em particular, um sistema com apenas estes dois combinadores básicos como constantes diz-se um sistema puro, caso contrário sistema aplicado.

O conjunto dos termos da Lógica Combinatória, ou simplesmente termos-LC é definido indutivamente da seguinte forma:

a) Todas as vari´aveis e constantes s˜ao termos-LC;

b) Se X e Y são termos-LC, então (XY ) é um termo-LC o qual se denomina por aplica¸cão.

Chamamos átomo a uma variável ou a uma constante. Designamos por átomo não-redexe um átomo diferente de Q e de P. Em particular, uma constante não-redexe é uma constante diferente de Q e de P. Um termo diz-se um termo fechado se é um termo que não contém variáveis. Um combinador é um termo cujos únicos átomos são Q e P. (Num sistema puro é o mesmo que afirmar que é um termo fechado.)

Exemplo 2 ((P (Q P)) Q) e ((P (Q x)) ((P Q) Q)) s˜ao termos-LC; em parti-cular, o primeiro termo ´e um combinador.

Ao longo deste cap´ıtulo as letras maiúsculas denotarão quaisquer termos-LC. Também ao longo deste documento, as letras x, y, z, u, v, w representarão variáveis e variáveis distintas serão representadas por letras diferentes.

De forma a não sobrecarregar a nota¸cão, os parêntesis serão omitidos de tal forma que, por exemplo, “M N P Q” denotará (((M N ) P ) Q). Esta conven¸cão é designada por associa¸cão à esquerda.

(20)

A identidade sintáctica dos termos será denotada por “≡”. Por exemplo, M ≡ N significa que M é exactamente o mesmo termo-LC que N . Refira-se que o s´ımbolo “=” será utilizado para a igualdade de objectos que não são termos-LC.

Também assumiremos que as três classes de termos (variáveis, constantes e aplica¸cões) não têm elementos comuns.

Mais, ao referirmos “termo” significar´a termo-LC.

Intuitivamente, a aplica¸cão (M N ) é interpretada como a aplica¸cão de um argu-mento N à fun¸cão representada pelo termo M . Claro para que esta interpreta¸cão tenha sentido é necessário que M seja um termo-LC que represente uma fun¸cão; considera-se (por constru¸cão) que (M N ) é sempre um termo-LC quaisquer que se-jam os termos-LC M e N .

Tendo em conta a interpreta¸cão informal, esperan¸cosamente pensamos estar nada mais do que a “calcular” com os termos e porquanto apenas necessitamos de subs-tituir termos por variáveis. É verdade! No entanto, antes de introduzirmos formal-mente este conceito, precisamos de apresentar mais duas no¸cões.

Defini¸cão 3 O comprimento de um termo X, ou comp (X), é o número de ocorrências de um átomo em X:

a) comp (a) = 1 em que a ´e um ´atomo. b) comp (U V ) = comp (U ) + comp (V ) .

Defini¸cão 4 A rela¸cão X ocorre em Y ou X é subtermo de Y é definida indu-tivamente da seguinte forma:

a) X ocorre em X;

b) Se X ocorre em U ou em V , ent˜ao X ocorre em (U V ).

As variáveis que ocorrem num termo denominam-se por variáveis livres e representamos o conjunto de todas as variáveis livres que ocorrem num termo X por V L (X).

Há que referir que, de acordo com a abreviatura estipulada para a utiliza¸cão dos parêntesis, é necessário um certo cuidado para averiguar se um termo ocorre noutro termo. Por exemplo, consideremos o termo ux (yz). Apesar de parecer que o

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termo x (yz) é subtermo de ux (yz), isto não é de facto verdade pois, não omitindo os parêntesis, tem-se que ux (yz) é ((ux) (yz)).

Estas no¸cões serão agora utilizadas para definir a importante opera¸cão de subs-titui¸cão.

Defini¸cão 5 A substui¸cão de todas as ocorrências de uma variável x por um termo-LC U no termo-termo-LC Y denota-se por Y [U/x], isto é, indutivamente sobre a estrutura de Y :

a) x [U/x] ≡ U ;

b) a [U/x] ≡ a, com a um ´atomo distinto de x; c) (V W ) [U/x] ≡ (V [U/x]) (W [U/x]) .

Ainda, para quaisquer U1, ..., Un e quaisquer x1, ..., xn mutuamente distintos,

de-finimos Y [U1/x1, ..., Un/xn] como sendo o termo resultante de substituir

simultane-amente U1 por x1, U2 por x2, ..., Un por xn em Y .

Refira-se que no termo Y [U1/x1, ..., Un/xn] , a condi¸c˜ao de ser simultˆanea a

subs-titui¸cão das variáveis é de facto necessária e bem distinta de fazermos a substitui¸cão de uma forma sucessiva como se pode observar pelo seguinte exemplo:

(xy) [y/x, x/y] ≡ yx (xy) [y/x] [x/y] ≡ xx.

Na verdade, tem-se que Y [U1/x1, ..., Un/xn] ≡ Y [U1/x1] ... [Un/xn] quando ∀i =

1, ..., n (x1, ..., xi−1 n˜ao ocorrem em Ui).

De seguida apresentamos um Lema a ser utilizado posteriormente. Este Lema descreve a estrutura do termo resultante após a substitui¸cão de uma variável por um termo.

Lema 6 Seja M um termo, arbitr´ario. a) M [x/x] ≡ M ;

b) x /∈ V L(M ) =⇒ M [N/x] ≡ M ;

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d) comp (M [y/x]) = comp(M ).

Demonstra¸c˜ao. Trivial

Até agora pouca importância foi dada aos combinadores básicos. Contudo, estas constantes desempenham um papel fundamental no processo de “simplifica¸cão” de um termo, como veremos de seguida.

Defini¸cão 7 Qualquer termo da forma Q XY e P XY Z é designado por redexe. Contrair uma ocorrência de um redexe num termo, digamos U , significa subs-tituir, em U , a ocorrência:

Q XY por X,

P XY Z por XZ (Y Z) .

Se U muda para Uápós a contraçcão de um redexe, dizemos que U é contra´ıdo em U´ ou U´é uma contraçcão de U e escrevemos U →w U´.

Diz-se que U reduz-se a V ou V ´e uma redu¸c˜_{ao de U , e denota-se por U}w V ,

se V é obtido de U por uma série finita (talvez vazia) de contraçc˜_{oes, pelo que}w

´e o fecho reflexivo e transitivo de →w .

Nota 8 Seja R uma rela¸c˜ao bin´aria do conjunto dos termos-LC.

O fecho reflexivo de uma rela¸cão R é a menor rela¸cão R= _{que satisfaz:}

1) P RM =⇒ P R=_{M ;}

2) P R=P.

O fecho transitivo de uma rela¸cão R é a menor rela¸cão R∗ que satisfaz: 1) P RM =⇒ P R∗M ;

2) P R∗M e M R∗N =⇒ P R∗N.

Exemplo 9 Nas trˆes redu¸c˜oes seguintes, indica-se o redexe a ser contra´ıdo sublinhando-o.

(23)

a) Para I ≡P Q Q, tem-se que IX w X, para todo X, pois:

IX ≡ P Q Q X

→ w Q X (Q X)

→ w X

Daqui em diante, o combinadorP Q Q ≡def I e denominamo-lo por combinador

identidade.

b) Consideremos B ≡P (Q P) Q.

Ent˜_{ao BXY Z}w X(Y Z) uma vez que:

BXY Z ≡ P (Q P) Q XY Z

→ w Q P X (Q X) Y Z

→ w P (Q X) Y Z

→ w Q XZ (Y Z)

→ w X (Y Z)

c) Se W ≡P P (Q I) (em que I ≡ P Q Q), ent˜_{ao W XY}w XY Y para

quais-quer X e Y : W XY ≡ P P (Q I) XY → w P X Q IXY → w P XIY → w XY (IY )

w XY Y por aplica¸c˜ao de a).

Antes de terminarmos esta sec¸c˜ao, apresentamos o seguinte Lema.

Lema 10 (Lema da substitui¸cão para a redu¸cão) Se X w Y , então:

a) v /∈ V L(X) =⇒ v /∈ V L(Y ); b) Z [X/v] w Z [Y /v] ;

(24)

Demonstra¸c˜ao.

a) Se v /∈ V L(Q W V ), então v /∈ V L(W ); Se v /∈ V L(P W V U ), então v /∈ V L(W U (V U )). Informalmente, esta afirma¸cão diz-nos que nenhuma variável nova é introduzida durante a redu¸cão.

b) Por indu¸c˜ao sobre a estrutura de Z : Caso 1) Se Z ≡ v:

Z [X/v] ≡ v [X/v] ≡

defini¸c˜ao 5 a)X w Y defini¸≡c˜ao 5 a)v [Y /v] ≡ Z [Y /v]

Caso 2) Se Z ≡ a com a um ´atomo distinto de v: Z [X/v] ≡ a [X/v] ≡

defini¸c˜ao 5 b)a w adefini¸c˜≡ao 5 b)a [Y /v] ≡ Z [Y /v]

Caso 3) Se Z ≡ U V :

Z [X/v] ≡ (U V ) [X/v]

≡ (U [X/v]) (V [X/v]) (defini¸c˜ao 5 c))

w (U [Y /v]) (V [Y /v]) (Hip´otese de indu¸c˜ao)

≡ (U V ) [Y /v] (defini¸c˜ao 5 c)) ≡ Z [Y /v] .

c) Ora se X ≡Q V W , ent˜ao Y ≡ V e tem-se:

X [U1/x1, ..., Un/xn] ≡ (Q V W ) [U1/x1, ..., Un/xn]

≡ Q (V [U1/x1, ..., Un/xn]) (W [U1/x1, ..., Un/xn])

pela defini¸c˜ao 5 al´ıneas b) e c) → w V [U1/x1, ..., Un/xn]

≡ Y [U1/x1, ..., Un/xn]

Para X ≡P V W T a demonstra¸cão é análoga.

2.2 Termo em forma normal.

Redu¸

c˜

ao de um

termo a forma normal.

Pelo exemplo 9 observamos que o processo de “simplifica¸cão” termina quando ob-temos um termo que não contém redexes, pelo que faz todo o sentido apresentar a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 11 Um termo que não contém redexes diz-se estar em forma normal. Se existir uma redu¸c˜_{ao de M , M}w N , tal que o termo N está em forma normal,

(25)

an´alogo a afirmar que M admite forma normal, ou N ´e a forma normal de M.

De acordo com a defini¸cão acima, os três termos que constam no exemplo 9 admitem forma normal, pelo que são normalizáveis.

Será então que todos os termos são normalizáveis? Na verdade, não! Existem termos sem forma normal como a seguir exemplificamos:

Exemplo 12 a) Consideremos o termo Ω ≡ P II (P II). A única forma de redu¸cão deste termo é considerá-lo como um redexe do tipo P XY Z em que X ≡ I, Y ≡ I e Z ≡P II, logo:

Ω ≡ P II (P II)

→ w I (P II) (I (P II)) w P II

IPII (Exemplo 9 a))

w P II (P II) (novamente pelo exemplo 9 a))

≡ Ω

w ...

Pelo que o termo dado não é normalizável e até o processo de redu¸cão não ter-mina, é infinito.

b) Consideremos P ≡ XX com X ≡P (P II) (Q y). Então, por razões análogas `

as expressas no exemplo anterior: P ≡ P (P II) (Q y) X → w P IIX Q yX → w P IIXy → w IX (IX) y

w X (IX) y pelo exemplo 9 a)

w XXy novamente pelo exemplo 9 a)

≡ P y

w P yy w...

Note-se que ao fazermos o segundo passo da redu¸c˜ao optamos por contrair o termo Q y (P (P II) (Q y)), mas poderiamos ter antes decidido contrair o redexe

(26)

P II (P (P II) (Q y)). Todavia tal op¸cão, neste caso, seria indiferente pois con-cluiriamos que a redu¸cão continuaria a ser infinita e, em ambos os casos, o termo P não admite forma normal.

Pelos exemplos anteriores, além de verificarmos a existência de termos que não são normalizáveis, observamos que o processo de simplifica¸cão de termos pode não os simplificar e até não terminar.

Os exemplos dados colocam-nos por conseguinte outra questão: Será que um termo que admita uma redu¸cão infinita não é normalizável? Na verdade, também não! Existem termos que admitem uma sequência de redu¸cão infinita, mas, contudo, são normalizáveis. Apresentamos a seguir um exemplo.

Exemplo 13 Consideremos P o termo descrito na al´ınea b) do exemplo 12 e L ≡ Q xP . Entre outras, existem duas sequˆencias de redu¸c˜ao para o termo L como seguidamente se ilustra:

• L ≡Q xP →w x;

•

L ≡ Q xP

≡ Q xP (P II) (Q y) (P (P II) (Q y))

w Q x (P y) por contraçcão de P w Q x (P yy) por contraçcão de P

etc.

Logo L é normalizável pois existe uma redu¸cão no qual L admite forma normal, mas também L possui uma redu¸cão infinita.

Será então que um termo pode admitir formas normais diferentes, quando os processos (estratégias) de redu¸cão são distintos? Igualmente, não! Certamente que qualquer sistema que afirma representar o resultado final de uma computa¸cão, deve ser independente do caminho escolhido. Se esta propriedade falhasse para a redu¸cão, a argumenta¸cão de a Lógica combinatória poder ser vista como uma Linguagem de Programa¸cão falharia desde o in´ıcio. Será este o objectivo da próxima seçcão.

(27)

2.3 Teorema de Church-Rosser

A forma normal de um termo é vista como o resultado final da computa¸cão. O resultado seguinte mostra que esta interpreta¸cão intuitiva é correcta, isto é, se uma computa¸cão termina, então o resultado é único.

Teorema 14 (Teorema de Church Rosser)

Se M w X e M w Y , ent˜ao existe um termo T tal que X w T e Y w T .

Corol´ario 15 Um termo-LC admite quanto muito uma forma normal.

Demonstra¸c˜_{ao. Suponhamos que M}w X e M w Y com X e Y formas normais

de M. Pelo Teorema 14 existe T tal que X w T e Y w T. Mas X e Y s˜ao termos

em forma normal, pelo que X ≡ T ≡ Y.

Para provarmos o Teorema de Church-Rosser vamos usar a no¸cão de redu¸cão paralela, no¸cão introduzida por Tait e Martin-Löf na demonstra¸cão deste Teorema, uma das mais simples demonstra¸cões até então. Intuitivamente, significa reduzir um número de redexes (existentes num termo-LC) simultaneamente [1]. A no¸cão de redu¸cão paralela é a mesma que a no¸cão de “contraçcão simultânea do conjunto de redexes não sobrepostos de um termo” que é definida utilizando res´ıduos de um redexe [12] (Apêndice 1). Apesar de utilizarmos a no¸cão de redu¸cão paralela para provarmos o Teorema de Churh-Rosser, ela pode ser definida directamente por indu¸cão sobre a estrutura dos termos (sem fazermos referência aos res´ıduos e outras no¸cões auxiliares) e esta defini¸cão dá-nos exactamente o que necessitamos para provar indutivamente este Teorema [19].

´

E pertinente referir que a demonstra¸cão deste Teorema nas três cita¸cões acima referidas são apresentadas para o sistema do Cálculo Lambda e não para a Lógica Combinatória. No entanto, quanto às duas primeiras cita¸cões, como os autores referem, a demonstra¸cão do Teorema de Church-Rosser para a Lógica Combinatória segue racioc´ınios análogos à que é apresentada, mas obviamente com uma ligeira adapta¸cão a este sistema.

Assim, para provar o Teorema de Church-Rosser, primeiro relembramos a de-monstra¸cão deste Teorema segundo Tait e Martin-Löf, na qual apresentamos a de-fini¸cão indutiva de redu¸cão paralela e depois seguimos [19], mas a demostra¸cão é por nós adaptada para a Lógica Combinatória.

(28)

Defini¸c˜ao 16 Dada uma rela¸c˜ao >R do conjunto dos termos-LC, diz-se que >R

satisfaz a propriedade do losango se para quaisquer termos P, M, N tais que P >RM

e P >R N , existe um termo T tal que M >RT e N >R T .

Uma rela¸c˜ao diz-se confluente se o seu fecho transitivo satisfaz a propriedade do Losango.

De forma pict´orica, a propriedade do Losango pode ser representada pela seguinte figura:

Figura 2.1: Uma representa¸c˜ao pict´orica da Propriedade do Losango

Assim, o Teorema de Church-Rosser afirma-nos que a rela¸c˜ao →w ´e confluente.

Claramente, se uma rela¸cão satisfaz a propriedade de Losango, também o seu fecho transitivo a satisfaz, basta então que →w satisfa¸ca a propriedade do Losango para

que w tamb´em verifique essa propriedade (por ser o fecho reflexivo e transitivo de

→w). Contudo, →w n˜ao satisfaz a propriedade de Losango, como observamos pelo

exemplo seguinte.

Exemplo 17 1) →w n˜ao ´e reflexiva

Consideremos o termo M ≡Q y (P xyz). Temos que: M ≡Q y (P xyz) →w y

M ≡Q y (P xyz) →w Q y (xz (yz)) →w y

Para que esta redu¸cão satisfa¸ca a propriedade do Losango, necessitavamos que y →w y. Mas isso não é poss´ıvel pois a variável y está na forma normal.

(29)

Figura 2.2: Uma representa¸c˜ao pict´orica do Exemplo 17 al´ınea 1)

2) →w n˜ao ´e paralela

Consideremos o termo X ≡P xy (Q yz). Temos que: X ≡P xy (Q yz) →w P xyy →w xy (yy)

X ≡ P xy (Q yz) →w x (Q yz) (y (Q yz)) ≡ N →w xy (y (Q yz)) →w

xy (yy)

Figura 2.3: Uma representa¸c˜ao pict´orica do Exemplo 17 al´ınea 2)

Apesar do termo N reduzir-se a xy (yy), é claro, qualquer que seja a estratégia de redu¸cão escolhida, que não conseguimos fazê-lo somente com um passo de con-traçcão.

Para provar o Teorema de Church-Rosser, basta-nos ent˜ao encontrar uma rela¸c˜ao que satisfa¸ca a Propriedade do Losango tal que w seja o seu fecho transitivo, donde

→w será confluente. Apresentamos a no¸cão de rela¸cão de redu¸cão paralela.

Defini¸c˜ao 18

a) Indutivamente, definimos a rela¸c˜ao de redu¸c˜_{ao paralela, denota-se por}_F, como se segue:

(30)

(w1) a F a, com a um ´atomo;

(w2) U F U´ e V F V´ =⇒ U V F U´V´;

(w3) X F X´, Y F Y´ =⇒ Q XY F X´;

(w4) X F X´, Y F Y´, Z F Z´ =⇒ P XY Z F X´Z´(Y´Z´).

Na defini¸c˜_{ao acima, as regras (w1) e (w2) garantem que}_F ´e reflexiva. Por outro lado, intuitivamente M F M´ significa que M´ ´e obtido a partir de M por

contraçcão simultânea de algum número de redexes, possivelmente sobrepostos, en-tre os subtermos do termo M .

Exemplo 19 1) Consideremos novamente X ≡P xy (Q yz) .

Temos que x F x, y F y e z F z. Por y F y e z F z ent˜aoQ yz F y,

por aplica¸c˜ao de (w3). Assim, X ≡P xy (Q yz) F xy (yy), tendo em conta (w4).

2) Seja P XY Z, com X ≡ Q x, Y ≡ P xyz e Z ≡ Q xy.

Ent˜aoP XY Z F Q xx (xz (yz) x).Por outro lado, Q xx (xz (yz) x) F x (xz (yz) x),

mas não se tem que P XY Z F x (xz (yz) x), pelo que a rela¸cão F não é

tran-sitiva.

Vamos, ent˜_{ao, mostrar que}w ´e o seu fecho transitivo. Primeiro, apresentamos

o seguinte Lema:

Lema 20 Sejam M e M´ termos-LC, quaisquer. a) Se M →w M´, ent˜ao M F M´;

b) Se M F M´, ent˜ao M w M´.

Demonstra¸cão. a) Admitamos que M →w M´. A demonstra¸cão será feita por

indu¸c˜ao sobre a complexidade dos termos. • Se M ≡ U V : ent˜ao ou:

− M´≡ U´V com U →w U´ : por hip´otese de indu¸c˜ao U F U´ e V F V , por F ser reflexiva, donde M ≡ U V F U´V ≡ M´.

(31)

• Se M ´e ele pr´oprio um redexe:

− M ≡_{Q XY e M´≡ X: por}_F _{ser reflexiva temos que M}_F M´;

− M ≡P XY Z e M´≡ XZ(Y Z): por reflexividade tem-se tamb´em M F M´.

Portanto, provamos que →w⊆ F .

b) Suponhamos que M F M´. Demonstramos por indu¸c˜ao sobre a

complexi-dade dos termos.

• Se M ≡ a, com a um ´atomo: Imediato, por w ser reflexiva;

• Se M ≡ U V e M´≡ U´V´com U F U´e V F V´

Por hip´otese de indu¸c˜_{ao, U}w U´ e V w V´. Sejam x e y duas vari´aveis

distintas, quaisquer, e Z ≡ xy. Por w ser reflexiva Z w Z, logo por aplica¸c˜ao,

sucessiva, do Lema 10 al´ınea b) temos que (Z [U/x]) [V /y] w (Z [U´/x]) [V´/y], isto

´_{e, M ≡ U V}w U´V´≡ M´.

• Se M ´e ele pr´oprio um redexe:

− M ≡Q XY e M´≡ X´com X F X´e Y F Y´: por reflexividadeQ w

Q e por hip´otese de indu¸c˜_{ao, X}w X´e Y w Y´, pelo que M w M´

− M ≡ P XY Z e M´ ≡ X´Z´(Y´Z´) com X F X´, Y F Y´ e Z F Z´: por

hip´otese de indu¸c˜_{ao X}w X´, Y w Y´e Z w Z´, eP w P donde M w M´.

Conclui-se que F⊆ w .

Lema 21 w ´e o fecho transitivo (e reflexivo) de F .

Demonstra¸c˜ao. Claramente atendendo ao Lema acima, temos(1)

(→w) = ⊆ F⊆ w Ent˜ao w= ((→w) = )∗ _⊆∗_F_{⊆ (}w) ∗ = w

Assim, basta agora provar que F satisfaz a Propriedade do Losango:

P F A e P F B =⇒ ∃T (A F T e B F T )

Contudo, a seguinte afirma¸cão é mais forte e é demonstrada de uma forma mais simples:

(32)

M F N =⇒ N F M∗

em que M∗ é um termo determinado a partir de M e é independente de N . Intui-tivamente, a propriedade acima é satisfeita por um termo M∗ que é obtido a partir de M por contraçcão de todos os redexes existentes em M simultaneamente.

Defini¸cão 22 Definimos o termo M∗ por indu¸cão sobre a estrutura do termo M : (w1*) a∗ ≡ a, com a um átomo;

(w2*) (U V )∗ ≡ U∗_V∗_{, se U V n˜}_{ao ´}_{e um redexe;}

(w3*) (Q XY )∗ ≡ X∗_;

(w4*) (P XY Z)∗ ≡ X∗_Z∗_(Y∗_Z∗_{) .}

Teorema 23 M F N =⇒ N F M∗.

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre a estrutura de M :

Caso 1) Se M ≡ a, com a um ´_{atomo, tem-se que M ≡ a}_F N , ent˜ao N ≡ a F a ≡ a∗ ≡ M∗;

Caso 2) Se M ≡ U V e M não é um redexe, ent˜_{ao N ≡ U´V´ com U}_F U´ e V F V´. Por hipótese de indu¸cão, U´ F U∗ e V´ F V∗, pelo que N ≡ U´V´ F

U∗V∗ ≡ (U V )∗ _{≡ M}∗_;

Caso 3) Se M ≡Q XY F N , ent˜ao N ≡ X´ com X F X´; por hip´otese de

indu¸c˜_{ao X´}_F X∗_{, logo N ≡ X´}_F X∗ ≡ (Q XY )∗ ≡ M∗_;

Caso 4) Se M ≡ P XY Z, ent˜ao N ≡ X´Z´(Y´Z´) com X F X´, Y F Y´, e

Z F Z´; por hip´otese de indu¸c˜ao, X´ F X∗, Y´ F Y∗ e Z´ F Z∗, pelo que

N F X∗Z∗(Y∗Z∗) ≡ (P XY Z) ∗

≡ M∗_.

O Lema supra mencionado imediatamente implica que Fsatisfaz a propriedade

do Losango:

Lema 24 (Propriedade do Losango para F)

(33)

Demonstra¸c˜ao. ´E imediato. Basta tomar T ≡ M∗.

Finalmente, temos a prova do Teorema de Church-Rosser: Demonstra¸c˜ao. do Teorema 14

Uma vez que F satisfaz a propriedade do Losango, segue-se que o seu fecho

reflexivo e transitivo a satisfaz, isto ´_ew pelo Lema 21 e esta propriedade n˜ao ´e

mais que o Teorema de Church para →w .

Esta demonstra¸cão, relembramos novamente que foi adaptada de [19], beneficia de ser mais directa e curta e de ser, do nosso ponto de vista, matematicamente mais clara e compreens´ıvel uma vez que a no¸cão de redu¸cão paralela capta precisamente o que necessitamos para expressar a ideia intuitiva da demonstra¸cão.

2.4 Teorema do Ponto fixo

No sistema puro da Lógica combinatória todo o termo admite um ponto fixo e, além disso, existe um combinador Y que descobre todos os pontos fixos, isto é, tal que YX é o ponto fixo de X, para qualquer termo X. Antes, porém, de provarmos a existência deste combinador, necessitamos da seguinte no¸cão:

Defini¸cão 25 Dizemos que X é igual a Y , denota-se por X =w Y , se e só se Y é

obtido de X por uma série finita (possivelmente vazia) de contraçcões ou contraçcões inversas, pelo que =w é o fecho simétrico de w, que é o mesmo que afirmar que

=w é o fecho transitivo, reflexivo e simétrico de →w, isto é =w é a menor rela¸cão

que satisfaz:

i) P →w M =⇒ P =w M ;

ii) P =w M e M =w N =⇒ P =w N ;

iii) P =w P ;

iv) P =w M =⇒ M =w P.

De acordo com a defini¸c˜ao acima, ´_{e imediato que se X}w Y , ent˜ao X =w Y .

Tamb´em, caso X =w Y e considerando que apenas Y est´a na forma normal, temos

a intui¸c˜ao que s´_{o se pode ter X}w Y e aplicando o corol´ario do Teorema de church

Rosser, Y ´e a forma normal de X. Contudo, caso Y n˜ao esteja na forma normal, ao afirmar que X =w Y nada nos garante que se tenha X w Y ou Y w X, pois

(34)

sabemos que podemos efectuar contraçcões inversas. Intuitivamente, pensamos que, independentemente das estratégias de redu¸cão, deve existir pelo menos um termo T tal que X w T e Y w T . De facto, é verdade!

Teorema 26 (Teorema de Church-Rosser para a igualdade) Se X =w Y , ent˜ao existe um termo T tal que X w T e Y w T .

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos X =w Y . Por defini¸c˜ao existem termos X0, ..., Xn,

com n ≥ 0, tal que X ≡ X0, Y ≡ Xne para todo k = 1, ..., n temos que Xk−1 →w Xk

ou Xk →w Xk−1. Provamos, por indu¸c˜ao sobre k, que existe um termo Tk tal que

X w Tk e Xk w Tk.

Se k = 0: imediato.

Hip´otese de indu¸c˜ao: admitamos que existe um termo Tk tal que X w Tk e

Xk w Tk.

Sabe-se que uma das seguintes contrac¸c˜oes ocorrem: Xk+1 →w Xk ou Xk →w

Xk+1.

• Se Xk+1 →w Xk:

Ent˜ao Xk+1 w Tk, por Xk w Tk, donde basta tomar Tk+1 ≡ Tk.

• Se Xk →w Xk+1:

Uma vez que tamb´em Xk w Tk, o Teorema de Church-Rosser garante-nos a

existˆencia de um termo Tk+1 tal que Xk+1 w Tk+1 e Tk w Tk+1. Por X w Tk e

Tk w Tk+1, tem-se X w Tk+1.

Corolário 27 a) Se X =w Y e Y está na forma normal, então X w Y.

b) Se X =w Y , então ambos não são normalizáveis ou admitem a mesma forma

normal.

c) Se X e Y admitem formas normais distintas, ent˜ao X 6=w Y .

Demonstra¸cão. Imediato por aplica¸cão do Teorema 26 e do Corolário 15. Podemos, agora, mostrar que todo o termo admite um ponto fixo.

Teorema 28 (Teorema de Ponto Fixo)

(35)

a) Yx =w x (Yx) .

b) Na verdade existe Y com a propriedade: Yx w x(Yx).

Demonstra¸cão. Refira-se que Y não é único, por exemplo consultar [9].

Iremos definir dois combinadores. O primeiro combinador enunciado deve-se a Curry mas apenas satisfaz a al´ınea a), enquanto o segundo combinador deve-se a Alan M. Turing e satisfaz tamb´em a al´ınea b), como mostramos.

Definimos

YCurry ≡ P V V com V ≡ P (P (Q P) Q) (Q (P II))

YT uring ≡ ZZ com Z ≡P (Q (P I)) (P II)

Seja Y ≡ YCurry. Vejamos que Y satisfaz a):

Indica-se o redexe contra´ıdo sublinhando-o.

Yx ≡ P V V x

→ w V x (V x)

≡ P (P (Q P) Q) (Q (P II)) x (V x) por defini¸c˜ao de V

→ w P (Q P) Q x Q (P II) x(V x) → w P (Q P) Q x (P II) (V x) → w Q P x (Q x) (P II) (V x) → w P (Q x) (P II) (V x) → w Q x (V x) (P II (V x)) → w x P II (V x) → w x I(V x)(I (V x) w x

V x(I (V x) _{por IM}w M (exemplo 9 a)) w x(V x(V x)) novamente por IM w M , para todo M

(36)

Seja, agora, Y ≡ YT uring. Tendo em conta que IM w M , para todo o termo

M , tem-se que Y satisfaz b) pois

Yx ≡ P (Q (P I)) (P II) (P (Q (P I)) (P II))x

→ w Q (P I) (P (Q (P I)) (P II)) (P II (P (Q (P I)) (P II))) x

→ w P I (P II (P (Q (P I)) (P II))) x → w Ix (P II (P (Q (P I)) (P II)) x) w x P II (P (Q (P I)) (P II))x → w x

I (P (Q (P I)) (P II)) (I (P (Q (P I)) (P II))) x

w x

P (Q (P I)) (P II)I (P (Q (P I)) (P II))x

w x (P (Q (P I)) (P II) (P (Q (P I)) (P II)) x)

≡ x (Yx)

2.5 C´

alculo Lambda

Outra relevância dos combinadores básicos deve-se ao facto, de dado um termo M, possivelmente com variável livre x, destes permitirem definir a expressão do tipo λx.M que pode ser vista como uma fun¸cão que quando aplicada a x obtemos M. Mais precisamente:

Defini¸cão 29 Para cada termo-LC M e para qualquer variável x definimos λx.M por indu¸cão sobre a estrutura de M :

a) λx.M ≡Q M se x /∈ V L(M )

b) λx.x ≡ I com I ≡P Q Q

c) λx. (U V ) ≡P (λx.U ) (λx.V ) , caso contr´ario

Desigamos as expressões do tipo λx.M por λ−abstraçcão, ou simplesmente abstraçcão.(2)

(2)_{No c´}_{alculo lambda, para cada vari´}_{avel x e termo M , o termo abstrac¸}_c˜_{ao faz parte da sua}

sintaxe, pelo que é necessário fazer referência à no¸cão de variáveis mudas, no¸cão que não é por nós apresentada pois de facto no cálculo dos combinadores não há variáveis mudas.

(37)

Intuitivamente, interpreta-se um termo da forma λx.M como fun¸c˜ao de parˆametro formal x.

Por outro lado, tendo em conta a interpreta¸cão informal de λx.M como fun¸cão, as nossas expectativas esperam que (λx.M ) N represente a aplica¸cão dessa fun¸cão ao argumento N , donde faz sentido que (λx.M ) N seja “simplificado” pelo termo M [N/x] e, na verdade, este processo de simplifica¸cão é assegurado pelo seguinte teorema:

Teorema 30 (Completude Combinatorial)

Para qualquer termo-LC M e qualquer vari´avel x tem-se (λx.M ) N w M [N/x]

A este tipo de redu¸c˜ao designamos por redu¸c˜_{ao-β e denota-se por}β.

Demonstra¸c˜ao. Tendo em conta o Lema 10 c) ´e suficiente provar que: (λx.M ) x w M

A demonstra¸cão será feita por indu¸cão sobre a estrutura de M . Caso 1) Se M ≡ x, tem-se que:

(λx.x) x ≡

defini¸c˜ao 29 b)Ixexemplo 12 a)w

x ≡ M Caso 2) Se M ≡ a, com a um ´atomo distinto de x.

(λx.a) x ≡

defini¸c˜ao 29 a)Q ax →w a ≡ M

Caso 3) Se M ≡ U V , tem-se por hip´otese de indu¸c˜_{ao que (λx.U ) x}w U e

(λx.V ) x w V. Consideremos agora os seguintes subcasos:

i) Se x /∈ V L(M ), então é análogo ao caso 2). ii) Se x ∈ V L(M ), então

(λx.U V ) x ≡ P (λx.U ) (λx.V ) x pela defini¸c˜ao 29 c) → w (λx.U ) x ((λx.V ) x)

w U V por hip´otese de indu¸c˜ao

(38)

Defini¸cão 31 Para quaisquer variáveis x1, ..., xn, não necessariamente distintas,

λx1...xn.M ≡ λx1. (λx2. (... (λxn.M ) ...))

Exemplo 32 Tendo em conta a defini¸c˜ao 29, tem-se que: a)

λxy.x ≡ λx. (λy.x)

≡ λx.Q x pela al´ınea a)

≡ P (λx. Q) (λx.x) pela al´ınea c)

≡ P (Q Q) I pelas al´ıneas a) e b), respectivamente. b)

λx.xy ≡ P (λx.x) (λx.y) pela al´ınea c)

≡ XI (Q y) por b) e a), respectivamente

Teorema 33 Para quaisquer vari´aveis distintas x1, ..., xn,

(λx1...xn.M ) U1...Un w M [U1/x1, ..., Un/xn] .

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 10 al´ınea c), basta provar que (λx1...xn.M ) x1...xn w M .

Este resultado ´e obtido pelo Teorema 30 por indu¸c˜ao sobre n.

Lema 34 (Substitui¸cão e abstraçcão)

a) y /∈ V L(M ) =⇒ λx.M ≡ λy. (M [y/x]) (Designa-se esta substitui¸c˜ao por mudan¸ca de vari´avel)(3)_;

b) y /∈ V L(xN ) =⇒ (λy.M ) [N/x] ≡ λy.(M [N/x]).

(3)_{Mais precisamente, no C´}_{alculo Lambda designa-se esta substitui¸}_c˜_{ao por mudan¸}_{ca de vari´}_aveis

(39)

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre a estrutura de M . a) Suponhamos que y /∈ V L(M ).

Caso 1) Se M ≡ x

λy. (M [y/x]) ≡ λy. (x [y/x])

≡ λy.y pela defini¸cão 5 a) ≡ I por b) da defini¸cão 29 ≡ λx.x por b) da defini¸cão 29 ≡ λx.M

Caso 2) Se M ≡ a, com a um ´atomo distinto de x (e claro diferente de y): λy. (M [y/x]) ≡ λy. (a [y/x])

≡ λy.a (defini¸cão 5 b)) ≡ Q a (defini¸cão 29 a)) ≡ λx.a (defini¸cão 29 a)) ≡ λx.M

Caso 3) Se M ≡ U V . Como y /∈ V L(M ) = V L(U ) ∪ V L(V ), por hip´otese de indu¸c˜ao assumimos que λx.U ≡ λy.U [y/x] e λx.V ≡ λy.V [y/x].

i) Se x /∈ V L(M )

λy. (M [y/x]) ≡ λy. ((U V ) [y/x])

≡ λy. (U [y/x]) (V [y/x]) pela defini¸c˜ao 5 c) ≡ λy.U V pelo Lema 6 b)

≡ Q M pela defini¸c˜ao 29 a)

≡ λx.M pela al´ınea a) da defini¸c˜ao 29 .

ii) Se x ∈ V L (M ), ent˜ao:

λy. (M [y/x]) ≡ λy. ((U V ) [y/x])

≡ λy. (U [y/x]) (V [y/x]) pela defini¸c˜ao 5 c)

≡ P (λy.U [y/x]) (λy.V [y/x]) pela defini¸cão 29 c) ≡ P (λx.U ) (λx.V ) por hipótese de indu¸cão ≡ λx.U V pela defini¸cão 29 c)

≡ λx.M

b) Suponhamos que y /∈ V L(xN ), pelo que as vari´aveis x e y s˜ao distintas e y /∈ V L(N ).

(40)

Caso 1) Se M ≡ y

(λy.M ) [N/x] ≡ (λy.y) [N/x] ≡

defini¸c˜ao 29 b)I [y/x]defini¸≡c˜ao 5 a)I

e

λy. (M [N/x]) ≡ λy. (y [N/x]) ≡

defini¸c˜ao 5 b)λy.y defini¸c˜≡ao 29 b)I

Caso 2) Se M ≡ x

(λy.M ) [N/x] ≡ (λy.x) [N/x]

≡ (Q x) [N/x] pela defini¸c˜ao 29 a)

≡ (Q [N/x]) (x [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c)

≡ Q N pela defini¸c˜ao 5 al´ıneas b) e a), respectivamente e

λy. (M [N/x]) ≡ λy. (x [N/x])

≡ λy.N pela defini¸c˜ao 5 a)

≡ Q N pela defini¸c˜ao 29 a), pois y /∈ V L(N ) Caso 3) Se M ≡ a um ´atomo distinto de x e y.

(λy.M ) [N/x] ≡ (λy.a) [N/x] ≡ (Q a) [N/x] pela defini¸cão 29 a) ≡ (Q [N/x]) (a [N/x]) pela defini¸cão 5 c) ≡ Q a pela defini¸cão 5 b) e λy. (M [N/x]) ≡ λy. (a [N/x])

≡ λy.a pela defini¸c˜ao 5 b) ≡ Q a pela defini¸c˜ao 29 a) Caso 4) Se M ≡ U V

i) Se y /∈ V L(M )

(λy.M ) [N/x] ≡ (λy.U V ) [N/x]

≡ (Q (U V )) [N/x] pela defini¸c˜ao 29 a)

≡ (Q [N/x]) ((U V ) [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c) ≡ Q ((U [N/x]) (V [N/x])) pela defini¸c˜ao 5 b) e c),

(41)

e

λy. (M [N/x]) ≡ λy. ((U V ) [N/x])

≡ λy. (U [N/x]) (V [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c)

≡ Q ((U [N/x]) (V [N/x])) pela defini¸c˜ao 29 a), pelo Lema 6 c) e por y ∈ V L(N )/

ii) Se n˜ao se aplica o caso anterior: (λy.M ) [N/x] ≡ (λy.U V ) [N/x]

≡ (P (λy.U ) (λy.V )) [N/x] pela defini¸c˜ao 29 c)

≡ ((P (λy.U )) [N/x]) ((λy.V ) [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c) ≡ (P [N/x]) ((λy.U ) [N/x]) ((λy.V ) [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c) ≡ P (λy. (U [N/x])) (λy. (V [N/x])) , respectivamente pela

defini¸cão 5 b) e por hipótese de indu¸cão e

λy. (M [N/x]) ≡ λy. ((U V ) [N/x])

≡ λy. (U [N/x]) (V [N/x]) pela defini¸c˜ao 5 c)

≡ P (λy. (U [N/x])) (λy. (V [N/x])) pela defini¸c˜ao 29 c)

Nota 35 1) As condi¸cões introduzidas na defini¸cão 29 garantem que se x /∈ V L (V ), com y 6≡ x, então λx. (U [V /y]) ≡ (λx.U ) [V /y], conforme al´ınea b) do Lema 34, pois sem elas não se tem em geral esta propriedade. Isto é, consideremos a defini¸cão de λ−abstra¸cão por indu¸cão sobre a estrutura de M da seguinte forma:

i) λx.a ≡Q a, para a um ´atomo diferente de x; ii) λx.x ≡ I

iii) λx.U V ≡P (λx.U ) (λx.V )

Ent˜ao temos que, por exemplo, tomando U ≡ y e V ≡ Q Q, apesar de x /∈ V L (Q Q) , y 6≡ x, de facto λx. (U [V /y]) 6≡ (λx.U ) [V /y] pois

•

λx. (U [V /y]) ≡ λx. (y [Q Q /y])

≡ λx.Q Q , al´ınea a) da defini¸c˜ao 5 ≡ P (λx. Q) (λx. Q) , por iii) acima ≡ X(Q Q) (Q Q) , por i) acima

(42)

•

(λx.U ) [V /y] ≡ (λx.y) [Q Q /y]

≡ (Q y) [Q Q /y] , por i) acima

≡ (Q [Q Q /y]) (y [Q Q /y]) , pela al´ınea c) da defini¸c˜ao 5

≡ Q (Q Q) , pelas al´ıneas b) e a), respectivamente, da defini¸c˜ao 5

Contudo, por outro lado, de acordo com a nossa defini¸cão de abstraçcão, de-fini¸cão 29, não é satisfeita a propriedade de “todos os termos da forma λx.M sejam normalizáveis, para qualquer termo M ”. No entanto, considerando a defini¸cão de abstraçcão sem restri¸cões, conforme al´ıneas i), ii) e iii) supra mencionadas, esta propriedade, “λx.M é normalizável, para todo o termo M ”, é claramente verda-deira.

Por exemplo, considerando M ≡ P II (P II) de acordo com a nossa defini¸cão λx.M ≡ Q (P II (P II)) não é normalizável, pois a sua única forma de redu¸cão é contrair o redexe P II (P II) que já vimos não admitir forma normal (exemplo 12).

2) Existem outras defini¸cões para a abstraçcão. Noutras literaturas, como por exemplo, na literatura [12] acrescenta-se na defini¸cão mais uma al´ınea, a saber: λx.M x ≡ M se x /∈ V L(M ), aplicando-se apenas a al´ınea c) da defini¸cão 29 quando as al´ıneas a), b) e esta ficam exclu´ıdas.

A não introdu¸cão da al´ınea acima referida na nossa defini¸cão deve-se ao facto de pretendermos apresentar o conjuntos dos termos-LC da forma mais pura poss´ıvel.

2.6 O Poder do C´

alculo de Combinadores

Nesta seçcão mostramos que apesar da Lógica Combinatória ter uma simples sintaxe, esta linguagem é bastante poderosa: conseguimos representar números naturais, donde outros termos representarão fun¸cões numéricas. Mostraremos que as fun¸cões que podem ser representadas de forma combinátoria são precisamente as fun¸cões efectivamente computáveis. Como defini¸cão de fun¸cões (efectivamente) computáveis, utilizaremos a classe de fun¸cões parciais recursivas.

(43)

2.6.1 Representa¸

c˜

ao dos N´

umeros Naturais

Denotamos por N = {0, 1, 2, ...} o conjunto dos números naturais. Os números naturais serão usualmente representados pelas letras minúsculas n, m, i, j, k, etc..

Para quaisquer termos-LC X e Y , utilizamos a seguinte abreviatura: Xn_{Y ≡ X(X(...(X}

| {z }

n vezes

Y )...)) para n ≥ 1 e X0_{Y ≡ Y .}

Antes de vermos como podemos representar os números naturais no conjunto dos termos-LC, apresentamos a sua representa¸cão no Cálculo Lambda de forma a que a no¸cão por nós facultada para o cálculo dos combinadores seja mais clara e intuitiva.

No Cálculo Lambda, a ideia utilizada por Church para representar números naturais foi considerá-los como funcionais, chamados por numerais, que para cada número natural n o termo lambda que o representa é n ≡ λxy.xn_{y, pelo que os}

numerais podem ser vistos como itera¸c˜ao, j´a que quando aplicamos um numeral a dois argumentos, tem-se: nf z ≡ λxy.xn_y

β fnz ≡ f (f (...(f

| {z }

n vezes

z)..)).

Apresentamos, de seguida, uma forma de representar os n´umeros naturais no conjuntos dos termos-LC, no¸c˜ao que capta precisamente a propriedade acima men-cionada, como provamos.

Defini¸c˜ao 36 (Numerais de Church)

Para cada n´umero natural n, representamos n pelo termo-LC n em que n ≡ (P B)n(Q I), com B ≡ P (Q P) Q, conforme exemplo 9 al´ınea b).

Designa-se n por numeral.

Teorema 37 Para quaisquer termos-LC F e X temos que nF X w FnX.

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n: Passo base:

0 ≡ (P B)0_{(Q I) ≡ Q I; Logo 0F X ≡ Q IF X →}

w IX w X ≡ F0X.

Hip´otese de indu¸c˜ao:

Admitamos nF X w FnX.

Como n + 1 ≡ (P B)n+1(Q I) ≡ (P B) ((P B)n(Q I)) ≡ P Bn e por BXY Z w

X (Y Z) para quaisquer termos X, Y e Z, conforme exemplo 9 al´ınea b), temos n + 1F X ≡P BnF X →w BF (nF ) X w F (nF X) w

H.I.

(44)

2.6.2 Representa¸

c˜

ao das Fun¸

c˜

oes Parciais Recursivas.

Uma vez que a Lógica Combinatória pode ser vista como uma Linguagem de Pro-grama¸cão, então deve poder representar as fun¸cões efectivamente computáveis, isto é, as fun¸cões parciais recursivas. De facto isto é verdade, como passamos a provar.

Tese de Church: A classe das fun¸cões efectivamente computáveis é precisa-mente a classe das fun¸cões parciais recursivas.

O leitor poderá consultar o Apêndice A onde se faculta uma abordagem destes assuntos. Optamos por colocá-los em Apêndice pois para um leitor familiarizado com os mesmos tornaria a leitura desta seçcão um pouco cansativa.

Quanto à nota¸cão necessária a esta seçc˜_{ao: para cada k ≥ 1, N}k_{denota o produto}

cartesiano de k factores de N, isto ´e, Nk = N × ... × N

| {z }

k vezes

. Logo N1 ´_{e N. O caso em que} k = 0 corresponde `as constantes naturais. Em geral, tamb´em usamos as seguintes abreviaturas:

• para quaisquer x1, ..., xk ∈ N para cada x1 ∈ N, ..., xk ∈ N

• quando não é necessário especificar k, escrevemos −→x para denotar o k-uplo (x1, ..., xk) ∈ Nk.

Uma fun¸cão numérica k-ária, ou fun¸cão numérica de aridade k, digamos f , é uma fun¸c˜_{ao do tipo f : X ⊆ N}k _{→ N. Como nesta seçcão apenas iremos trabalhar}

com fun¸cões numéricas de aridade k, por vezes apenas escrevemos fun¸cão k-ária ou até fun¸cão. As fun¸cões serão normalmente representadas pelas letras minúsculas f , g, h, etc, mas por vezes utilizamos também letras gregas, com vista a evidênciá-las perante outras.

Sendo f uma fun¸cão numérica k-ária, dizemos que f está definida para o k-uplo (x1, ..., xk) ∈ Nk, denota-se por f (x1, ..., xk) ↓, quando existe n ∈ N tal

que f (x1, ..., xk) = n; caso contrário diz-se que f não está definida para o k-uplo

(x1, ..., xk) ∈ Nk e escrevemos f (x1, ..., xk) ↑ .

Uma fun¸cão númerica k-ária que não está definida para algum k-uplo (x1, ..., xk) ∈

Nk, diz-se propriamente parcial; caso contrário, diz-se total. Como usual, uma fun¸cão numérica k-ária parcial não é mais que uma fun¸cão propriamente parcial ou total. Utilizamos a nota¸c˜_{ao f : N}k_{* N para afirmar que f é uma fun¸cão numérica,}

k-´aria, parcial.

Dadas duas fun¸c˜oes num´ericas f e g, de aridade k, escrevemos f (x1, ..., xk) '

g (x1, ..., xk) para afirmar que f (x1, ..., xk) est´a definida se e somente se g (x1, ..., xk)

(45)

não está definida para um determinado k-uplo, também a outra não o está para esse k-uplo.

Defini¸cão 38 Seja f uma fun¸cão numérica parcial k-ária, arbitrária.

Dizemos que f é definivel combinatorialmente, ou ainda f é definivél-LC, se existe um termo F tal que, para quaisquer x1, ..., xk ∈ N se tem:

i) F x1...xk=w f (x1, ..., xk), se f (x1, ..., xk) ↓;

ii) F x1...xk não é normalizável, se f (x1, ..., xk) ↑ .

Caso uma fun¸cão parcial k-ária f seja definivél-LC por um termo F , também afirmamos que o termo-LC F define-LC a fun¸cão f .

Pela defini¸cão, caso o termo F defina-LC uma fun¸cão parcial f , então está garan-tido, para qualquer k-uplo (n1, ..., nk) tal que f (n1, ..., nk) ↓, que F n1...nk é

norma-lizável, pelo Corolário 27, al´ınea a), já que F n1...nk =w f (n1, ..., nk), f (n1, ..., nk) é

um numeral e qualquer numeral está na forma normal. Por esta razão, na defini¸cão 38 podemos mesmo substituir, na al´ınea i), =w por w. Além disso, o processo de

normaliza¸cão providência um algoritmo para calcular a fun¸cão f num dado “input”. Basta ir efectuando sistematicamente todas as redu¸cões poss´ıveis. Caso f esteja de-finida nesse input, sabemos que este processo pára num numeral, o qual dá o valor da fun¸cão; caso contrário, o processo não termina.

Quando uma fun¸cão k-ária é total, afirmar que a fun¸cão é defin´ıvel combinatori-almente é garantir a existência de um termo F que satisfaz a al´ınea i) da defini¸cão acima, pois a fun¸cão está definida para qualquer −→_{x ∈ N}k_.

Conforme referimos, vejamos que toda a fun¸cão parcial recursiva é defin´ıvel com-binatorialmente, pelo que as fun¸cões numéricas definiveis combinatorialmente con-cordam com a no¸cão de computabilidade efectiva, permitindo abordar o estudo da computabilidade no contexto da Lógica Combinatória.

Defini¸cão 39 A classe F RP RIM das fun¸cões primitivas recursivas é a

me-nor classe:

• que contém as seguintes fun¸cões totais designadas por fun¸cões atómicas: I) A fun¸c˜_{ao constante nula Zero : N → N tal que, para todo n ∈ N, Zero (n) = 0;} II) A fun¸c˜_{ao Sucessor Suc : N → N tal que, para todo o n ∈ N, Suc (n) = n + 1;}

(46)

III) Para todo k ≥ 1 e cada 1 ≤ i ≤ k, a fun¸cão projeçcão P_ik _{: N}k _{→ N tal que,} para qualquer k-uplo (n1, ..., nk) tem-se Pik(n1, ..., nk) = ni.

• e ´e fechada para:

IV) a composi¸c˜_{ao: se g : N}k _{→ N pertence a FR}

P RIM e para cada 1 ≤ i ≤ k, hi :

Nj → N são elementos de FRP RIM, então a fun¸cão f : Nj → N , em que para

qualquer (n1, ..., nj) ∈ Nj se tem f (n1, ..., nj) = g (h1(n1, ..., nj) , ..., hk(n1, ..., nj)),

pertence a F RP RIM.. Diz-se que f se obt´em por composi¸c˜ao a partir de g e

h1, ..., hk, e denota-se por f = go hh1, ..., hki .

V) e a recurs˜_{ao primitiva: se g : N}k _{→ N e h : N}k+2 _{→ N pertencem a FR} P RIM,

ent˜ao a fun¸c˜_{ao f : N}k+1 _{→ N tal que que para qualquer y ∈ N e x}

1, ..., xk∈ N

se tem

f (0, x1, ..., xk) = g (x1, ..., xk)

f (y + 1, x1, ..., xk) = h (y, f (y, x1, ..., xk) , x1, ..., xk)

pertence a F RP RIM. Diz-se que f se obt´em por recurs˜ao a partir de g e h e

denotamos por f = rec (g, h) .

Lema 40 Qualquer fun¸cão atómica φ é defin´ıvel combinatorialmente por um com-binador φ que está na forma normal.

Demonstra¸cão. Sendo φ é uma fun¸cão atómica, então: I) Para φ = Zero basta considerar Zero ≡Q I;

II) Para φ = Suc, tomamos Suc ≡P B; III) Para φ = Pk

i , para todo k ≥ 1 e cada 1 ≤ i ≤ k, consideramos Pik ≡ λx1...xk.xi.

´

E imediato que todos os termos indicados est˜ao na forma normal.

Lema 41 Existe um termo R que satisfaz a seguinte propriedade para quaisquer X, Y e k

(

RXY 0 =w X

RXY k + 1 =w Y k RXY k

(47)

Demonstra¸cão. Para uma melhor compreensão de como construimos o combinador R, consideremos a seguinte fun¸cão primitiva recursiva φ definida por recorrência: φ (0) = m e φ (k + 1) = ϕ (k, φ (k)), com ϕ uma fun¸cão primitiva recursiva.

Para calcular φ (k) vamos considerar o par ordenado (0, φ (0)), isto é, o par (0, m), seguidamente iterar k vezes uma opera¸cão f tal que f (n, φ (n)) = (n + 1, ϕ (n, φ (n))) e finalmente escolher a segunda componente do par ordenado à esquerda da igual-dade anterior. Para definirmos o combinador R seguiremos um processo, combina-torial, análogo ao descrito.

Primeiro definimos D ≡ λxyz.z (Q y) x.

Pela defini¸c˜ao 36 e pelo Teorema 33 temos para quaisquer X, Y e k ( DXY 0 =w X DXY k + 1 =w Y (2.2) pois DXY 0 ≡ (λxyz.z (Q y) x) XY 0 w 0 (Q Y ) X ≡ Q I (Q Y ) X, por 0 ≡ Q I → w IX w X e DXY k + 1 w k + 1 (Q Y ) X ≡ XBk (Q Y ) X → w B (Q Y ) k (Q Y ) X w Q Y k (Q Y ) X → w Y

Intuitivamente, o termo Dm n pode ser visto como um construtor do par orde-nado (m, n), uma vez que a propriedade (2.2) d´a-nos um m´etodo efectivo de escolher uma das suas componentes.

Por outro lado, também D pode ser, informalmente, visto como um termo “con-dicional”, no sentido que DXY Z ≡ (Se Z ≡ 0 então X, senão Y ).

Consideremos agora o termo Q ≡ λyv.D Suc v0 y v0 v1, sendo Suc o combinador que define a fun¸c˜ao at´omica Sucessor. Este termo satisfaz as seguintes propriedades para quaisquer X, Y e k

Q1) QY DkX =w D k + 1

(48)

Basta ter em conta o Teorema 33 e a propriedade (2.2): QY DkX = w D Suc DkX0 Y DkX0 DkX1 = w D Suc k Y kX = w D k + 1 Y kX

Assim, QY “imita” a opera¸c˜ao f acima descrita, caso Y seja um termo que defina ϕ.

Q2) (QY )k D0X =w DkXk para algum termo Xk (na verdade, Xk

cor-responde ao valor de φ (k) acima, caso Y defina ϕ e X seja m). Mostramos esta propriedade por indu¸c˜ao sobre k

• Passo base: Se k = 0 ´e imediato.

• Hip´otese de indu¸c˜ao: Admitamos (QY )k D0X =w DkXk, para algum

Xk.

(QY )k+1 D0X = w QY

(Qy)k D0X

= w QY DkXk , para algum Xk por hip´otese

de indu¸c˜ao

= w D k + 1 Xk+1, para algum Xk+1 por Q1)

Finalmente, definimos R ≡ λxyu.u (Qy) D0x 1. Tem-se

RXY k ≡ k (QY ) D0X 1, pelo Teorema 33 = w (QY )k D0X 1, pelo Teorema 37

= w DkXk1, pela propriedade Q2)

= w Xk, pela propriedade (2.2)

Por ´ultimo, vejamos que R satisfaz (2.1):

RXY 0 = w 0 (QY ) D0X 1, pelo Teorema 33

= w (QY )0 D0X 1, pelo Teorema 37

= w D0X1, por defini¸c˜ao de (QY )0

(49)

e

RXY k + 1 = w k + 1 (QY ) D0X 1, pelo Teorema 33

= w (QY )

k+1 _{D0X 1, pelo Teorema 37}

= w (QY )

(QY )k D0X1, por defini¸c˜ao de (QY )k+1 = w QY DkXk 1, de acordo com a propriedade Q2)

= w D k + 1 Y kXk 1, pela propriedade Q1) = w Y kXk, pela propriedade (2.2) = w Y k RXY k

Lema 42 Qualquer fun¸c˜ao primitiva recursiva φ ´e defin´ıvel combinatorialmente por um termo φ que admite forma normal.

Demonstra¸cão. O termo φ será escolhido por indu¸cão sobre a forma como obtemos fun¸cões primitivas recursivas.

• Se φ é uma fun¸cão atómica: é imediato pelo Lema 40;

• Se φ = go hh1, ..., hki, com g : Nk → N, h1, ..., hk : Nj → N todas fun¸c˜oes

primitivas recursivas:

Por hipótese de indu¸cão, as fun¸cões g, h1, ...e hk são defin´ıveis-LC pelos termos,

respectivamente G, H1, ... e Hk. Então a fun¸cão φ = go hh1, ..., hki é definivel-LC

pelo termo φ ≡ λx1...xj. (G (H1x1...xj) ... (Hkx1, ...xj)), como facilmente se verifica.

Além disso, por hipótese de indu¸cão os termos G, H1, ... e Hkadmitem forma normal,

pelo que tamb´em o termo φ. • Se φ =rec(g, h), com g : Nk

→ N e h : Nk+2

→ N fun¸cões primitivas recursivas: Por hipótese de indu¸cão, g e h são fun¸cões definiveis-LC pelos termos G e H, respectivamente, que admitem forma normal. Considerando R o termo definido no Lema 41, basta considerar o termo

φ ≡ λyx1...xk.R (Gx1...xk) (λyz.Hyzx1...xk) y, pois para quaisquer X1, ..., Xk

φ 0X1...Xk = w R (GX1...Xk) (λyz.HyzX1...Xk) 0 ,pelo Teorema 33

(50)

e

φ k + 1X1...Xk = w R (GX1...Xk) (λyz.HyzX1...Xk) k + 1, tendo em

conta o Teorema 33

= w (λyz.HyzX1...Xk) k R (GX1...Xk) (λyz.HyzX1...Xk) k ,

aplicando (2.1)

= w (λyz.HyzX1...Xk) k φ kX1...Xk , por defini¸c˜ao de φ

= w Hk φ kX1...Xk X1...Xk, pelo Teorema 33

Por G e H admitirem forma normal, tamb´em φ admite forma normal.

Lema 43 Existe um combinador µ na forma normal tal que:_b (

b

µXY =w Y , se XY =w 0

b

µXY =w bµX SucY , se XY =w n + 1 para algum n

(2.3)

Demonstra¸c˜ao. Definimos µ ≡ λxy.Tx (xy) (Tx) y em que:_b T ≡ λx.D0 λuv.u x Suc v u Suc v

D ≡ λxyz.z (Q y) x que satisfaz as propriedades mencionadas em (2.2). Sejam X e Y termos arbitr´arios e consideremos u, v /∈ V L (XY ) . Ent˜ao, tendo em conta o Teorema 33:

b

µXY = w TX(XY )(TX)Y

= w D0 λuv.u X Suc v u Suc v (XY ) (TX)Y

Por (2.2), tem-se: • Se XY =w 0 : b µXY =w 0(TX)Y ≡ 0≡QI Q I(TX)Y =w IY =w Y • Se XY =w n + 1, para algum n:

Novamente por aplica¸c˜ao do Teorema 33:

b

µXY = w λuv.u X Suc v u Suc v (TX)Y

= w TX X SucY (TX) SucY

= w µX SucYb

(51)

Lema 44 Toda a fun¸c˜ao total recursiva φ ´e definivel combinatorialmente por um termo φ que admite forma normal.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja φ : N}k _{→ N uma fun¸c˜ao total recursiva. Pelo teorema de}

Kleene para a forma normal existem fun¸c˜oes primitivas recursivas g e h tal que φ (x1, ..., xk) = h (µy (g (x1, ..., xk, y) = 0))

Sabemos, por φ ser total, que para quaisquer x1, ..., xk∈ N existe y ∈ N tal que

g (x1, ..., xk, y) = 0. Também, por g e h serem fun¸cões primitivas recursivas, então

s˜ao definiveis-LC, digamos pelos termos G e H, respectivamente.

Primeiro iremos definir um termo J com a seguinte inten¸cão: uma das formas para calcular µy é, por exemplo, definir um algor´ıtmo θ (y) que dá o resultado final y se g (x1, ..., xk, y) = 0, e passa para θ (y + 1), caso contrário. Claro, que este

algor´ıtmo deve come¸car com y = 0, para que o resultado da execu¸c˜ao seja o menor y que satisfaz g (x1, ..., xk, y) = 0.

Definimos J ≡ λx1...xky.bµ (Gx1..., xk) y, com bµ conforme Lema 43. Temos que: JX1...XkY = w µ (GXb 1..., Xk) Y , pelo Teorema 33 = w ( Y , se GX1..., XkY =w 0 JX1...Xk SucY , se GX1..., XkY =w n + 1 por (2.3)

O termo J conforme definido pode ser visto como a forma combinat´oria do al-gor´ıtmo supramencionado. Por outras palavras, Jx1...xky ´e da forma: se Gx1..., xky =w

0 ent˜ao y caso contr´ario Jx1..., xk Sucy.

Definimos, ainda, F ≡ λx1...xk.H Jx1...xk0e consideramos

φ ≡ λx1...xk.bµ (Gx1...xk) 0I (F x1...xk).

Realmente, φ define-LC a fun¸c˜ao f e φ admite forma normal pois, para quaisquer x1...xk ∈ N, temos que

• Existe um y tal que µy (g (x1, ..., xk, y) = 0), pelo que φ (x1...xk) = h (y);

• Donde φx1...xk =w yI (F x1...xk) =w Iy(F x1...xk) =w F x1...xk =w Hy =w

h (y) =w φ (x1...xk).

(52)

Demonstra¸c˜ao. Imediato pelos lemas anteriores.

Por último, para provarmos que toda a fun¸cão parcial recursiva é defin´ıvel com-binatorialmente precisamos de apresentar outra no¸cão.

De facto, sendo φ uma fun¸cão parcial recursiva k-ária necessitamos de garantir a existência de um termo φ que garanta as duas condi¸cões da defini¸cão 38 e que seja claro que φx1...xk não é normalizável quando φ (x1, ..., xk) não está definido, para

alguns x1, ..., xk ∈ N. Contudo, caso um termo não seja normalizável, isto é, não

admita forma normal, não basta exibir uma qualquer sequência de redu¸cão, desse termo, infinita, pois vimos, em seçcões anteriores, que um termo pode admitir uma sequência de redu¸cão infinita e admitir forma normal. Intuitivamente, já percebe-mos, pelos exemplos facultados, que a escolha do redexe contra´ıdo em cada passo de contraçcão é fundamental para conseguirmos obter a forma normal de um termo, caso exista. Passamos a formalizar estas no¸cões.

Defini¸cão 46 Uma sequência de contraçcões finita ou infinita M ≡ M0 →w M1 →w

... diz-se uma sequência de redu¸cão do termo M. Designamos por comprimento da redu¸cão o número de contraçcões dessa sequência de redu¸cão. Se uma sequência de redu¸cão de um termo é finita, termina ao fim de n contraçcões, o comprimento da redu¸cão é n. Se uma sequência de redu¸cão de um termo é infinita, o seu comprimento é ∞.

Defini¸c˜ao 47 Sejam X e Y dois termos tal que X →w Y . Dizemos que X ´e

contra´ıdo em Y por contraçcão do redexe mais à esquerda, escrevemos X →e w

Y se: i) X ≡Q X1X2 e Y ≡ X1; ii) X ≡P X1X2X3 e Y ≡ X1X3(X2X3) ; iii) X ≡ X1X2, X1 e →w Y1, X2 →w Y2 e Y ≡ Y1Y2 Escrevemos X e

w Y se X w Y e pelo menos uma das contrac¸c˜oes na

sequência de redu¸cão de X para Y é feita através da contraçcão do redexe mais `

a esquerda. A rela¸c˜_aoe

w designa-se por redu¸c˜ao mais `a esquerda.

Lema 48 Seja X um termo que admite uma sequˆencia de redu¸c˜ao infinita X0, ..., Xn, ...

(53)

i) X0 ´e X;

ii) Xi e

w Xi+1.

Ent˜ao X n˜ao admite forma normal.

Demonstra¸c˜ao. Apˆendice B.

Este Lema faculta-nos o que necessitamos para provar o ambicionado resultado:

Teorema 49 Qualquer fun¸c˜ao parcial recursiva φ ´e definivel combinatorialmente por um termo φ que admite forma normal.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja φ : N}k _{* N uma fun¸c˜ao parcial, arbitr´aria. Pelo Teorema}

Kleene para a forma normal existem fun¸c˜oes primitivas recursivas g e h tal que φ (x1, ..., xk) ' h (µy (g (x1, ..., xk, y) = 0))

Por g e h serem fun¸cões primitivas recursivas, então são definiveis-LC, digamos pelos termos G e H, respectivamente.

Neste caso, sabemos que µy pode n˜ao estar definido para todo o k-uplo.

Consideramos φ ≡ λx1...xk. bµ (Gx1...xk) 0I (F x1...xk), com F e J os termos definidos na demonstra¸c˜ao do Lema 44, mais precisamente:

F ≡ λx1...xk.H Jx1...xk0

e J ≡ λx1...xky.bµ (Gx1..., xk) y. Sejam x1, ..., xk tais que:

• φ (x1, ..., xk) ↓:

Ent˜ao existe k tal que g (x1, ..., xk, k) = 0. Seja j = µy (g (x1, ..., xk, y) = 0).

Temos que φx1...xk =w jI (F x1...xk) =w Ij(F x1...xk) =w F x1...xk=w φ (x1...xk)

• φ (x1, ..., xk) ↑:

Ent˜ao n˜ao existe k tal que g (x1, ..., xk, k) = 0. Mas para cada k existe pk tal que

g (x1, ..., xk, k) = pk+ 1, tendo em conta que g ´e uma fun¸c˜ao primitiva recursiva,

logo total.

Consideremos X ≡ Gx1...xk e M ≡ F x1...xk.

Tem-se para todo natural k, que Xk ≡ Gx1...xkk =w g (x1, ..., xk, k), por g

ser recursiva primitiva e defin´ıvel-LC pelo termo G. Por g (x1, ..., xk, k) = pk+ 1,

aplicando o Teorema de Church-Rosser e tendo em conta que cada numeral est´a na forma normal, temos precisamente que Xk w pk+ 1.