PO-4-Programação Inteira

Definição

● A Programação Linear Inteira (PLI) é um caso

particular da Programação Linear (PL)

● As variáveis (ou pelo menos uma parte delas)

devem assumir valores inteiros

● Também conhecida com Programação Inteira e

Aplicações

● As aplicações decorrem quando variáveis com

valores reais não possuem um significado razoável

● Ex: Se x representa o número de funcionários a

serem contratados o valor 4.16 não representa um valor praticável. Decisões do tipo sim ou

Características

● Espaço de busca discreto

● Em muitos casos práticos o conjunto de

soluções é finito

● Difícil tratamento: NP-Difícil ou NP-Completo

Exemplo

● Seja um conjunto de 50 cidades

● Um indivíduo precisa passar por todas elas

vendendo produtos e depois retornar a cidade origem

● O objetivo é encontrar a rota que minimiza a

distância percorrida

● Este é o Problema do Caixeiro Viajante ou

Enumeração

● Enumerar todas as soluções e encontrar a

melhor é possível, mas inviável na maioria dos casos

● Alguns problemas não possuem um poliedro

bem formado, com um lado ilimitado, logo o número de soluções é infinito

● Em alguns casos exitem soluções demais para

Enumeração

● Existem (n-1)!/2 soluções ● 49! =

6082818640342675608722521633212953768875528313 79210240000000000 ~ 6X1062

● Os computadores modernos realizam 4x109 instruções por

segundo aproximadamente

● Supondo que uma solução tivesse sua qualidade avaliada

em uma única instrução (o que não é verdade)

● São necessários aproximadamente 2X1045 anos para

Exemplo

● Uma determinada empresa produz dois

produtos, x1 e x2 e quer determinar a

quantidade de produtos a serem feitos de forma a maximizar o seu lucro

● O produto x1 dá uma unidade de lucro, o

Exemplo

● Ambos os produtos requerem dois tipos de

matéria-prima

● O produto x1 consume uma unidade de cada

matéria-prima, já o produto x2 consome 20 unidades da primeira matéria-prima e uma unidade da segunda matéria-prima

Exemplo

● A produção está limitada ao estoque de cada

matéria-prima que é de 50 unidades da primeira e 20 unidades da segunda

Exemplo

max x₁+19x₂ s. a. x₁+20x₂≤50 x₁+ x₂≤20 x_1, x₂∈ℤ x_1, x₂≥0

Exemplo

max x₁+19x₂ s. a. x₁+20x₂≤50 x₁+ x₂≤20 x_1, x₂∈ℤ x_1, x₂≥0 Lucro Matéria-prima 1 Matéria-prima 2 integralidade Não negatividade

Simplex

● O Algoritmo Simplex pode ser usado como

aproximação

● Ignora-se as restrições de integralidade e

resolve-se o problema como se ele fosse contínuo

Exemplo

max x₁+19x₂ s. a. x₁+20x₂≤50 x₁+ x₂≤20 x_1, x₂≥0

Removendo a restrição de integralidade temos uma solução linear

x1=18,42 x2=1,58

Exemplo

Analisando as soluções Inteiras próximas a solução ótima temos

X1=18 x2=1 → fo(x) = 37

X1=19 x2=1 é a solução ótima? X1=18 x2=2 → inviável

X1=19 x2=1 → fo(x) = 38 X1=19 x2=2 → inviável

Exemplo

● A solução ótima deste problema é x1=10, x2=2

● A função objetivo neste caso é 48, longe do 38

da solução anterior

● A solução pode ser obtida através do algoritmo

Branch-and-Bound Inicialização

● Seja o conjunto L o conjunto de problemas a ser

resolvido. Seja z o valor da melhor solução inteira encontrado no processo de solução

● No início L é um conjunto vazio e z indeterminado ● Retira-se as restrições de integralidade do

problema original

● Insere-se o problema contínuo em L ● Enquanto L tiver elementos faça:

Branch-and-Bound

● Retira-se um problema de L, referenciado por p

Branch-and-Bound

● Retira-se um problema de L, referenciado por p

● Caso a solução de p seja inteira atualiza-se o

valor de z caso necessário

● Caso a solução de p seja inviável p é

Branch-and-Bound

Branch-and-Bound

● Caso a solução seja contínua e pior que z, p

deve ser descartado

● Caso a solução seja contínua e melhor que z,

deve-se escolher uma variável qualquer do problema, com valor contínuo, e realizar a operação de ramificação

Branch-and-Bound

● Seja s a solução de p. Escolhe-se uma variável

fracionária qualquer referenciada por y. Seja s_y o valor da variável y em s.

● Na ramificação são criados dois novos

problemas: p’ e p’’

● Em p’ é inserida a restrição y >= teto(s

y)

● Em P’’ é inserida a restrição y <= piso(s

y)

Branch-and-Bound

X1=? X2=? Z=? Descartado Em análise

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 Z=? Descartado

Branch-and-Bound

● No exemplo, podemos tomar a variável

x1=18,42

● Em p’ acrescenta-se a restrição x1>=19

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=? X2=? fo(X)=? x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=? Descartado

Branch-and-Bound

● O algoritmo realiza as operações de

ramificação e descarte enquanto houver problemas no conjunto L

● Melhor caso: a cada passo um problema é

descartado

● Pior caso: a cada passo um problema é

Branch-and-Bound

X1=18,42

X2=1,58 fo(X)=48,42 Z=?

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=? X2=? fo(X)=? x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=? Descartado Em análise

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=? Descartado

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=? Descartado Em análise Solução Inteira

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=38 Descartado Solução Inteira

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=? X2=? fo(X)=? x1<=18 Z=38 Descartado Em análise

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 Z=38 Descartado

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=? X2=? fo(X)=? x2>=2 X1=? X2=? fo(X)=? x2<=1 Z=38 Descartado Em análise

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=10 X2=2 fo(X)=48 x2>=2 X1=? X2=? fo(X)=? x2<=1 Z=38 Descartado Solução Inteira

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=10 X2=2 fo(X)=48 x2>=2 X1=? X2=? fo(X)=? x2<=1 Z=48 Descartado Em análise

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=10 X2=2 fo(X)=48 x2>=2 X1=18 X2=1 fo(X)=37 x2<=1 Z=48 Descartado

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=10 X2=2 fo(X)=48 x2>=2 X1=18 X2=1 fo(X)=37 x2<=1 Z=48 Descartado Em análise Solução Inteira

Branch-and-Bound

X1=18,42 X2=1,58 fo(X)=48,42 X1=19 X2=1 fo(X)=38 x1>=19 X1=18 X2=1,6 fo(X)=48,4 x1<=18 X1=10 X2=2 fo(X)=48 x2>=2 X1=18 X2=1 fo(X)=37 x2<=1 Z=48 Descartado

Branch-and-Bound

● Seja L um Conjunto de subproblemas

● Seja fo(s) a função objetivo de uma solução s

● Seja s* a melhor solução inteira encontrada ao

longo da busca

Branch-and-Bound

Algoritmo branchAndBound( PPL p ) Início

Seja s a solução de p Se (s for inteira) Então Retorne s

Branch-and-Bound

L = {}, z = null, s*=null

Seja x uma das variáveis fracionarias de s PPL p1=p, p2=p Adicione em p1 a restrição Adicione em p2 a restrição Inserir p1 em L Inserir p2 em L x≤ piso(s_x) x≥teto(s_x)

Branch-and-Bound

Enquanto (L não estiver vazia) Faça Remova um elemento r de L

Seja sr a solução de r

Se (Inviável(sr) | z != null & fo(sr) pior que z) Então Descarte r

Branch-and-Bound

Se (sr for inteira ) então

Se(z==null | fo(sr) melhor que z ) Então z=fo(sr)

s* = sr Fim Se

Branch-and-Bound

PPL paux1=r, paux2=r

Seja x’ uma variável fracionária de sr Adicione em paux1 a restrição

Adicione em paux2 a restrição Inserir paux1 em L

Inserir paux2 em L

Fim Se // solução de r é fracionária

x '≤ piso(sr_{x '}) x '≥teto(sr_{x '})

Branch-and-Bound

retorne s*

Fim Se //solução Fracionária Fim

Exemplo

max x₁+19x₂ s. a. x₁+20x₂≤50 x₁+ x₂≤20 x_1, x₂∈ℤ x_1, x₂≥0

Graficamente

x1 x2

5 u.m. x1

Graficamente

x1 x2 5 u.m. x1 X1 + x2 <=20

Graficamente

x1 x2 5 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1 >= 19 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1 >= 19 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1 <=18 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1 <=18 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1 <=18 X1+20x2 <=50 x2 <=1

Graficamente

x1 x2 2 u.m. x1 X1 + x2 <=20 X1+20x2 <=50 X1 <=18 x2 >=2

Exercício 1 -Implementando no IBM

OPLIDE

● Crie um novo projeto

● Ao criar o projeto marque para adicionar as

IBM OPL

dvar int+ x1; dvar int+ x2; maximize 1*x1+19*x2; subject to{ 1*x1+ 20*x2 <=50; x1 + x2 <=20; }

Exercício 2 – Uma Formulação

Matemática mais elegante

max

_∑

i∈ produtos producao_ilucro_i s. a.

∑

i∈ produtos

producao_iconsumo_ji≤estoque_j, ∀ j∈materiais

Criando um modelo mais elegante

{string} produtos={"x1","x2"}; {string} materiais={"m1","m2"}; float lucro[produtos] = [1, 19]; float consumo[materiais][produtos]=[[1,20],[1,1]]; float estoque[materiais]=[50,20];

dvar int+ producao[produtos]; maximize

sum (i in produtos)lucro[i]*producao[i]; subject to{

forall(j in materiais)

sum (i in produtos) consumo[j][i]*producao[i] <=estoque[j]; }

Exercício 3 -Separando o modelo

dos dados

● Crie um arquivo de dados

● Mande incluir na configuração que você está utilizando ● Insira os dados no arquivo (o formato do arquivo é

diferente do formato da OPL)

● Generalize o modelo usando o operador reticencias

Dados

produtos = { "x1" "x2" }; materiais = { "m1" "m2" }; consumo = [ [1 20] [1 1] ]; lucro = [1 19]; estoque = [50 20];

Modelo Geral

{string} produtos=...; {string} materiais=...; float lucro[produtos] =...; float consumo[materiais][produtos]=...; float estoque[materiais]=...;

dvar int+ producao[produtos]; maximize

sum (i in produtos)lucro[i]*producao[i]; subject to{

forall(j in materiais)

sum (i in produtos) consumo[j][i]*producao[i] <=estoque[j]; }

Exercício 4- Usando a interface de

texto

● Crie um arquivo de texto com extensão lp

● Cloque neste arquivo as equações no formato

lp (amplamente difundido). Use um programa para gerar o arquivo se necessário

● Na interface de comandos invoque o cplex

● Use o comando read para ler o arquivo

● Use o comando optimize para resolver o

Arquivo LP

\ENCODING=ISO-8859-1

\Problem name: modeloProducao Maximize obj: x_1 + 19 x_2 Subject To c1: x_1 + 20 x_2 <= 50 c2: x_1 + x_2 <= 20 Bounds x_1 >= 0 x_2 >= 0 Generals x_1 x_2 End

Exercício 5 – Problema da Dieta

Inteiro

● Possivelmente o primeiro problema de otimização tratado como ppl ● O corpo humano tem uma série de requisitos mínimos de vitaminas

e sais minerais que precisam ser ingeridos por dia

● Exitem alguns alimentos a disposição de um “cheff”, cada um deles

com uma determinada quantidade de cada nutrientes conforme a tabela a seguir

● Cada porção de alimento possui um preço(também incluso na

tabela)

● O objetivo é montar uma refeição que atenda as exigências

mínimas de cada nutriente (exposta a seguir) usando a menor quantidade de dinheiro possível

Exigências

● Vitaminas: mínimo 500 mg

● Calorias: mínimo 2000 kcal

Alimentos/nutrientes

Alimentos/

nutrientes Calorias ferro vitaminas preço

Arroz 128 0,1 0 0,1

Feijão 76 1,3 0 0,5

Cerveja 40 0 40 1

Cenoura 29 0,1 20 0,5