CAPÍTULO VI
PRODUTO MISTO
A operação produto misto será definida para vetores de V3 , em relação a base ortonormal positiva E = (i, j, k). 6. PRODUTO MISTO Sejam os vetores u( ,u u u1 2, 3) , v( , , )v v v1 2 3 e w(w w w1, 2, 3) . O produto misto dos vetores u, v e w é o número real
1 2 3 1 2 3 1 2 3 u u u v v v u v w w w w Notações: u v w e u v w, ,
( lê-se: produto misto de u
, v e w ). Exemplificando: Dados os vetores u = (2,0,1) , v = (3,1,2) e w(2, 3, 0) , pede u v w . Solução: 2 0 1 3 1 2 2 3 0 uv w = (0 + 0 + 9) – (2 + 12 + 0) = –5 . Observação 6.1:
1) O produto misto, indicado por u v w
, é o número real obtido pelo produto escalar dos vetores (u v) e w.
Temos que: 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 u u u u u u u v i j k v v v v v v e ww i1 w j2 w k3 . Logo, (uv) w 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 u u u u u u i j k v v v v v v (w i1w j2w k3)= = 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2 u u u u u u w w w
v v v v v v e, pela regra de Laplace,
= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 u u u v v v w w w .
2) Não é necessário utilizar parênteses para indicar o produto vetorial uv
quando se apresenta u v w ou w u v, pois ele (produto vetorial) é realizado primeiro.
3) A expressão u (v w ) não representa produto misto de vetores, pois (v w ) não é vetor e, neste caso, não é possível realizar o produto vetorial de u
com ele. 6.1. PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO
Sejam u( ,u u u1 2, 3), v( , , )v v v1 2 3 e w(w w w1, 2, 3) vetores de V3 em relação a base ortonormal positiva E = ( i
, j , k ) e . 6.1.1. u v w, , = v w u, , = w u v, ,
O produto misto é um determinante e o seu valor se mantém inalterado quando se permuta suas linhas em número par de vezes.
Observe que o segundo produto misto, indicado acima, tem em sua terceira linha as coordenadas do vetor u
, igual ao da primeira linha do primeiro produto misto. O
terceiro produto misto tem em sua primeira linha as coordenadas de w, igual ao da terceira linha do primeiro produto misto. Houve dupla permutação de linhas em relação ao primeiro determinante em ambos os casos e, por isso, são iguais.
O determinante troca o sinal quando se permutam suas linhas em número ímpar de vezes. Assim, u v w , , = v u w , , . Houve permutação da primeira linha pela segunda, portanto, uma só permutação.
O exposto acima nos permite entender que: v u w , , = w v u, , = u w v , ,
Nota:
O ciclo ao lado nos ajuda memorizar os produtos mistos de mesmo valor. Basta considerar os produtos que têm os seus vetores seguindo a ordem horária ou anti-horária. Um produto de ordem horária tem sinal contrário ao de ordem anti-horária.
Uma conseqüência da propriedade é que: (u v)w = w ( u v), pois o pro-duto vetorial é realizado em primeiro lugar e, depois, o propro-duto escalar que é comutativo. 6.1.2. . , ,u v w = u v w , ,
Utilizando o fato “Um determinante fica multiplicado por real se apenas uma de suas linhas for multiplicada pelo ”, a propriedade fica provada.
w v u Fig.6.1
6.1.3. u t v w , , = u v w , , + t v w , ,
Temos que u t v w , , = (u t ) v w = (u v t v) = w
= u v w t v w = u v w , , + t v w , , . Interpretação geométrica do produto misto:
Consideremos três vetores não coplanares u
, v
e w
(formam conjunto LI). ( u v) w H v u Fig. 6.2 ( u v )
Vemos construído, a partir dos vetores, um paralelepípedo. Queremos o seu volume:
O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela respectiva altura.
Se u
e v
são os vetores do paralelogramo da base, então sua área é A = u v . A altura H, distância entre as bases, é a medida da projeção de w
na direção de u v: H = proj ( ) ( ) ( ).( ) u v u v w w u v u v u v 2 (u v) w u v u v u v w u v ou H = , , u v w u v . Então, V = A . H = u v . u v w u v = uv w .
O volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w é igual ao valor absoluto do produto misto dos três vetores.
O volume de um prisma de base triangular determinado pelos vetores u , v e w é a metade do volume do paralelepípedo determinado pelos mesmos vetores. Daí,
w H v Fig. 6.3 u
O volume de uma pirâmide triangular determinado pelos vetores u , v e w é 1/3 do volume do prisma de base triangular e, portanto, 1/6 do volume do paralelepípedo determinado pelos mesmos vetores. Daí,
w H v Fig. 6.4 u Nota:
As alturas do tetraedro podem ter medidas diferentes, dependendo da base de vetores escolhida. H1 = u v w u v
se a base é formada com u
e v . H2 = u v w u w
se a base é formada com u
e w . H3 = u v w v w
se a base é formada com v
e w . H4 = ( ) ( ) u v w v u w u
se a base é formada com (v u) e (w u ).
Se u v w = 0 , então u, v e w são coplanares e, daí, V = u v w = 0. --- VT = 2 uv w e H =T u v w u v V = Te 6 u v w e H =Te u v w u v
EXEMPLO 6.1 1) Dados os vetores u = (2,1, 1) , v = (0, 2, 1) e w(2, 3, 0) , pede u v w e discutir
a posição relativa dos vetores. Solução: 2 1 1 0 2 1 2 3 0 uv w
= 0. Os vetores u, v e w são coplanares, sendo w u v
.
2) Dados os pontos A(1, 2, 0), B(1, 3, 1), C(3,1,2) e D(0,2,3), determinar o volume do paralelepípedo que tem arestas AB , AC e AD .
Solução: Temos: u = AB= (0, 1, 1) , v = AC = (2, 1, 2) e w = AD= (1, 0, 3). 0 1 1 2 1 2 1 0 3 uv w
= 9. Os vetores não são coplanares, pois u v w
0.
Portanto, V = u v w = 9 = 9 uv.
3) Os pontos A(2, 1, 5), B(3, 1, 3), C(0, 2, 4) e D(1, 3, 2) são vértices de um tetraedro. Determine:
a) O volume do tetraedro ABCD. Temos: u = AB= (1, 2, 2) , v = AC = (2, 1, 1) e w = AD= (1, 4, 3). 1 2 2 2 1 1 1 4 3 u v w = 15. Portanto, VTe = 6 u v w = 15 6 = 15 6 uv. b) A altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC.
1 2 2 2 1 1 i j k u v = (4, 5, 3) e, daí, u v = 2 2 2 4 5 ( 3) = 5 2 . Portanto, 1 T H = u v w u v = 15 5 2 = 3 2 2 uc. c) A altura do tetraedro ABCD relativa a base ABD.
1 2 2 1 4 3 i j k u w = (2, 5, 6) e, daí, u w = 2 2 2 ( 2) 5 ( 6) = 65 .
Portanto, 2 T H = u v w u w = 15 65 = 15 65 = 3 65 13 uc.
d) A altura do tetraedro ABCD relativa a base BCD. Temos que BC v u
3, 3, 1
e BD w u
2, 2, 1
. BC BD 3 3 1 2 2 1 i j k = (1,5, 12) e, daí, BC BD = 2 2 2 ( 1) ( 5) 12 = 170 . Portanto, 3 T H = BC BD u v w = 15 170 = 15 170 = 15 170 170 = 3 170 34 uc.Fica confirmado, no exemplo, que as alturas relativas a cada uma das bases têm valores diferentes.
4) Os pontos X, Y e Z são distintos não colineares e estão no planoe A não pertence a . Utilize a interpretação geométrica do produto misto para mostrar que a distância do ponto A ao plano é igual a
XY XZ XA XY XZ . Solução:Considerar que o ponto X é fixo em . Tomemos os vetores XY e XZ. Queremos calcular a altura H (distância de A até : dA,) do paralelepípedo que tem os pontos X, Y e Z em sua base.
A área da base do paralelepípedo é Abase= XYXZ
. O volume do paralelepípedo é VParalelepipedo= (XYXZ) XA
. Altura do paralelepípedo dA, = H = Paralelepipedo base V A =
XY XZ
XA XY XZ .5) Calcule a distância de A(0,0,0) ao plano que tem os pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Solução:
Consideremos o plano contendo o conjunto dos pontos X(1, 0, 0), Y(0,1, 0) e Z(0, 0, 1). O ponto X é fixo em . O ponto A(0, 0, 0) não pertence a . Tomemos os vetores XY= (1, 1, 0) e XZ = (1, 0, 1) e XA = (1, 0, 0).
Queremos calcular a altura (distância de A até ) do paralelepípedo que tem os pontos X, Y e Z em sua base.
Temos que XYXZ = 1 1 0 1 0 1 i j k = (1, 1, 1) e ( XYXZ ) XA = 1.
A área da base do paralelepípedo é Abase= XY XZ = 2 2 2
1 = 3 uc. 1 1 O volume do paralelepípedo é VParalelepipedo= (XY XZ) XA = 1 = 1.
Altura do paralelepípedo d = H = Paralelepipedo base V A =
XY XZ
XA XY XZ = 1 3 = 3 3 . 6) Supondo que u 0, mostre que é verdadeira a sentença:“Se u vu w e u v u w , então v w ”. Solução:
Temos, da hipótese, que u 0 e:
1º) u v u w , logo, u v u w 0 e, daí, u v w ( ) 0. Assim, u (v w ) (I) 2º) u v u w , logo, u v u w 0 , daí, u (v w)0 . Assim, //(u v w ) (II) Comparando (I) e (II), verificamos que (v w )
é ortogonal e, também, paralelo a
u. Nestas condições, entende-se que (v w )0 e, daí, segue que v w .
7) Apresente uma interpretação geométrica que justifique a conclusão do exercício acima. Solução:
Temos, do exercício acima, que u (v w)
e, também, que u v u w
. Esta última relação nos informa que os vetores (u v )
e (uw)
têm mesma direção e sentido. Logo, os vetores u , v e w
são coplanares. Vê-se, também, que u v u w e, daí, que as áreas dos paralelogramos formados a partir dos vetores u
e v e dos vetores u e w são iguais. w v w H v h u
Os paralelogramos possuem mesma base com medida u e alturas H e h, respectiva- mente, onde H = h + v w
. O fato das áreas e das bases serem iguais, impõe que H = h. Portanto, v w =0 e, daí, v w 0
. Então, segue que v w
.
Prof Aguinaldo diz: “Aprendi com o Prof. Dr. Paul G. Ledergerber”
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6.1
Resolva, em relação à base ortonormal positiva E = (i
, j, k
), as seguintes questões:
1) Determinar o produto misto dos vetores u, v e w:
a) u= (1, 1, 4) v= (2, 1, 2) w= (0, 2, 3) R. a) 3 b) u= (4, 2, 3) v= (5, 0, 1) w= (8, 4, 6) R. b) 0 c) u = (5, 1, 2) v= (2, 1, 0) w = (3, 1, 1) R. c) 9 2) Verifique se os pontos A(3, 1, 2), B(1, 0, 1), C(2, 1, 3) e D(5, 2, 7) são coplanares. R. Sim 3) Determinar o volume do paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD , onde A(3, 1, 2), B(1, 1, 1), C(2, 1, 3), D(2, 3, 5).
R. 2 4) Determinar o volume do prisma triangular de base ABC e D o vértice da base oposta, sendo A(2, 1, 0), B(1, 3, 1), C(1, 0, 1), D(3, 1, 0).
R. 3/2 5) Determinar o volume do tetraedro de vértices A(0, 0, 1), B(3,1, 2), C(1,1,1), D(3,1,0). R. 1 6) Determinar o volume do tetraedro de vértices A(0, 2, 1), B(1,0, 1), C(1,1,2), D(0,3,2). R. 0 (não temos um tetraedro) 7) Dados os pontos A(0, 0, 1), B(1, 3, 1), C(0, 1, 1), D(2, 1, 1), determinar a altura do: a) paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD , relativa ao vértice D.
b) tetraedro ABCD, relativa à base ABC.
R. a) 2 b) 2 8) Dados os pontos A(0, 2, 1), B(1,0, 1), C(1,1,2), D(3,2,1), determinar:
a) o volume do paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD . b) volume do prisma de base triangular ABC e arestas AB , AC e AD . c) volume do tetraedro ABCD.
d) altura do tetraedro ABCD, relativa ao vértice D.
R. a) 6 b) 3 c) 1 d) 6 9) Calcule a distância de O(0,0,0) ao plano que tem os pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). R. 6/7 uc 10) Utilizando coordenadas, mostre que u (vw)
= (uv) w
(comutam sinais).
11) Considere os pontos O(0,0,0), I(1,0,0), J(0,1,0) e K(0,0,1). Calcule: a) as distâncias entre O e I, O e J e O e K.
b) as áreas das faces do tetraedro OIJK
c) o volume do tetraedro determinado pelos pontos OIJK. d) centro do tetraedro OIJK.
e) verifique se A2IJK A2OIJ A2OJK A2OKJ.
R. a) 1 uc, 1uc e 1uc b) base IJK = 3
2 ua e as demais iguais a 1/2 ua c) 1/6 uv d) C(½, ½, ½) e) É verdadeiro.