Lições de arithmética, vol. 1, 1904

eots 0[ IfillHIIEIICi

IIKDIGIDAS PGR

_{2 5 6}

ofioo CastelJo Branco

J'J»M">FESSOK PIUMAIUO

^liEIRO FOLfflG (AritieEca

Ti n

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5

c o 5

OHLWV

O K M I A U Z A D O

MINERVA, DE Assis BE-^ki

1 9 0 4

1

- «t i l - H * i R 1 $ r S f f 7 $ s 5 $ Ç 7 $ 5 R x ? ? ^ ' f x ' R ^ f x y f ^ ^ • * ' * ♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦«♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦

A QUEM LER

A - . X

Se aquUlo que mui}o non cunla, de

quanta nos cusia^ augmenta em

va-lo)', certo este Ihrinho vale alguma

•cousa ;qtie em tanto avalto oque elle

a mini me tern custado em noites

fierdidas, dissahores e decepqôes.

Agora, leiior, se a ohra nao te agrada, queima-a; maSyj'^oy Deun, l)erdôa ao pohre aufor o crime de

seu amor pelo trabalho.

Releva, entrelanto, uma

observa-•qdo; ndo quero, ao de ignorante, juntar 0 diploma depresumido:—

tudo 0 que ahi se encontro, salvo os disparates, existe mais ou menos em todos OS compendios / e alguma coti

sa fenho quasi que transcripto. As inklaes seguintes, escriptas

■apôs umaproposiÇ,%o, demonstraçào,

etc, indicam os aulores a quern

re-c o r r l .

M, Dr. F. Marcondes —

Aponta-mentosde Aritlimetica—Ceard 1901.

V. Dr. Joâo José Luis Vianna-^

v ^ :

A Q U K J I L E K

E l e m e n t o s d e A v i t h m e t i c a — e d — M i o — 1 8 9 7 .

S. Ers. Samuel de Oliveira e

Li-herato Bittencourt — Arifhmetica —

1.'' edic/w—Capital Federal—1897. C. Coronet Z«is' Cele^tino de

C«s-tro—Arithmetica'^2.^edi<;(io-^Por' to Alegre—1894. C. C. Charlen de ComberoztKse — Arithmétique — ed—Parût 1 8 8 4 . B. Bourdon — Arithmétique — ,5iema ^cl.—Parût 1878. Ser. Sei'ra.tqueiro—Arithmetica— 13.^ ediçcio—Coimhra 1895,

Sao estet os mestres a quern mabi

Imz&s pedi ; o que^ de modo algum^

me desligade minha ohrigaqào para

c o m o u t r o . t .

Que 0 critico xincero me advirfa

de meus erroSj em proveito men e

daquelles que minha ignoranda

po-deria prejudicar ; quanta porem ao.t

critiqueiros de rodas de cafés,

in-capazes de qualquer esforço em

he-neficîo seti oit de alguem, e, par isso

mesmOj sempre armados contra

aquelles que tratudham, a elles o

meu desprezo, G€Urd—Ahril~~1903.

0 A u t o ï î

\ W ^ -W TV TV W T»? -W +V TH' VT' T-T' T'Y' T'T' TV

LICOES DE ARITHMETICA

Pf eliaifta res

v v, ® t u d o q u a n t o c s u s c e p t i v e l d e a u

-ft neuto ou diminuiçilo como o comprimeiito de um

r»^î'r^.? corpo, a pressào athmospherica, o

M? iiitensidade de uma dor etc.

<io7.:i foniiar idéa exacta de uma

graii-«im qirmdo eu outra, eomparaiido-as ;

as-«ala, eue é urau grÛudeT'^t"" "

•iiouto clo pulmo dù vn,-'^ corn o

coinpn-dezas tambem. ' ' ' c-ovado, que siio

graii-. s a l a ° c o n i p r i m e u t o d a

os duas grandezis , ^'^Porando-os, porque

i^oino se eu refcrisse' o on especie; assiiu

o^tn. ^^^audoza df cla sala a u.na

■CMda, uenhumaidéapoder4ei-i n Jo'

conlie-d a s a l a . ' ^ c o m p r i m c n t o

.. «"trrfc!?î.oT.rdV™.'"~ «"■>»»».

" " " V i

« » « £ ! . "

« ■

ye medir ou avili ir f îïi'Jiudezas

chaîna-q u e

t a r a

0

n o i u e ' d è

" " t r a

serve de term'o cînomp-u- conhecida que

mes-^ I . I Ç Ô E S D E A K I T H . M E T I C A

Exaniinando agora os Pxeii;plos do graiidescafs

apontados, recoiiiecemos que o comprimeiito do fio

pocie ser avaliado por ineio de coraparaçùo com inn

detenniiiado comprimento; que o peso de urn corno

pode scr comparado com urn determinado peso- quo

para a avaliaçao da pressao athmosplierica e do ca'

n^leis ' dp 'phfconstruidos seguiulo

as leis de Ihjsica; ein quanto é impossivel pré

cisai mos lima dor com a qual possamos comp ir tr

io mnfDos°amn""^ de civisiim

? n d ? v i d u o ? ° d a q u o l l o

pm pf "uidade, e a impossibilidade de a obtor

do .Sr aquellassusceptivci.

vSomente das grandezas menroui-avei^! n ^ «

paramos ; porque as immeiuodraveis nio nn ■

submettidas ao domioiiu mathem-itien V

ha lima distinee^o que estabelecer '

e - e t a A B

A

-a linh-a si "mn^tod

deriamos dividir de onrrr^ i unico que

po-riamento outros po.Uos sm'au^'

arbitra-meira divisào ' I ^ ® importe a

pri-r, S "" T"» <« - "»•■

to<lo que poderemos divipir e^ene « u'u

em poiçôes maiores ou

adopte/ r?dS; 0 mesmo exemplo do autor de queni

L Ï Ç Ô E S D E A R I T H M E T I C A 3

uieiiores, sem attendermos a esta ou âquella unidade

n i v a r i a v e l m c n t e .

Entretauto, uma collecçAo de livros, por exem

plo, podcremos dividi-la em porçOes maiores ou

me-uores; porem, em cada uma dessus porçOcs, teremos

quo atteuder a uuidade compoiiente—o livre.

fiA , grandezas continuas a linha, o peso

coiw tempo ; grandezas toes como a

_{iiecçao de livres recebein o nome de de»continua«.}

1110=.^^'? iivaliaçAo das grandezas continuas,

podere-uma" ^ °P''|'"="''^i'i':"'mmente esta ou aquella unidade,

o llT g'-'n'Jeza :-o palmo, o pé oj

g r m n n v t ° » « k i l o

-o

_{svLum na avaliaçilo do tempo.}

s e c u l o

n V n

v

o u

l'mlo 6 torços°imonf descontinuas, a

uni-formamotodô--a nv^M''*^ partes distinetas que

para o exercito o H vî-i*" ° o soldado

«o adoptarmos o mm '^°'l®oçao de livres,

duiia, o cm.tVo o ■in.''

coUecti-unid.ulos sao obtidas pol-i'renoHrr^"°''''^™°® t"e taes

A imid ido collecti'vi a.,'pî , V'^'i^i'desimples.

d.i repeti^qào d,i unidade liv ro n f°'"'nou-SO

veî I formou-so d i Vonm" collectiva

ve io-io'" " imidade CD o, P? ""'dade

é <lada pela propria^,^„^Af a

• ± L I Ç O E S D E A R I T I I M E H C A

wma collecçilo de livros on de re^îoas, aîd temo.s unia

grandeza descontiniia, e nào cogitâmes do tamanlio

de cada uma das partes que podem ser ogiiaes ou

deseguaes entre si. Agora, se tratasscmos clo pe.s.>

desses livres ou de cada uni dellos, do compriniento

de todas as regoas ou de cada uma délias,

asgrando-dféUiUn^.^ar"/''" l'^seaqui a

uni.la-de c a iMtiana, ali e forçosameiite o livro ou a re"oa •

P o i We " ' " " '■' ' « ' ' c « o n e c t i v a '

lodeiemos pois apresentar coino caracteristico

l o q ^ é n " P " i - g r ! i o . s n i a i o -

es 01 mcnores, segundo nossa vontade sendo r

bitraria a unldade para sua avaliaj^o; 'e dîî grau-"

n n f i • ' " ' S ' n e i i t a r o u d i i n i

-uuii senao por graos determinados, sendo tainbeiii

partes distlnctas que'constitu^m a ".aX f"

Nao assim quando se frif».

nuas, as quaes podem conter on

conti-mente a unldade; sendo que aLda n?"'""

potbe^^grande.apode^:^,^^^;îrmi:r:};:5^

pode^siTZl.?^ dasgrandozas continuas.

" m a o u c x a c t a m e n t e

tantf nfm ?v'contem®ne°''°'' ""'d"de e

pur-_ 3:» A grandeza é maioTdo''qLTun'^'r!"®'

l'°rT,n exattame^te

_{-"ejam AB é grandeza e mn a unldade.}

A '

~ i —

I

î

' 1

m — n B

Para avallar a grandeza AB por meio da

uni-l.IVÔKS DK AlîlTIl.METirA "

<lude mn. superi>oreiuos esta Aa,

a'»-;<iuaiitas for possivel. contando

eguaes a mn que a e pq a miidade.

2 ° CASO-.<ojam CD a grandeza e pq

I n » y ^ * - • k I i l n o m u n i

-1

_{■ Neste ease a grandeza uAo segunda}

.

n r n t e i i i

a

u n i d a d e

>{'"a vcz. Procnraremos „do coin ella un a

'J^do, menor do que a primci • exaçjamen^^

J^elaçao dctermiiiada e quo ® Esta

«"'^'l.,,iien-P a e r r n n r i n r ^ o o n l n a l s ^ e z e 3 . e X c a c t a i n e n

h . i m c i r O > •

„i a avaliaça° como no P' _

Começarenios aqui '

" L I Ç O E S D E A I l l T I I M E T I C A

caso, superpoiido a unidade â grandeza ; (Tacliaremos. por exemplo, que. até o ponto c, ^MN contevc très

vezes a unidade gk, faltando ainda avaliar a poredo

cA, nienor do que a unidade.

Para a avaliaçîio de cX proeederemos como no

segundo caso, diviilindo a unidade en\ partes eguaes

(seja em quatro partes), e acharemos, por exemplo.

que uma dessus partes se conteve très vezes ein cN

Dircmos entào que a grandeza MX contein quatro

\ezes a unidade gk c mais très vezes a quarta

par-• t e d e g k . .

qwi^Iquer dos très casos estudados

conse-cUimos determinar a relaçào entre a grandeza c a

uniaade ou a expres.sàb das vezes que a grandeza

contem a unidade ou partes da unidade dividida em

partes eguaes; e este resultado da comparaçao da

grandeza coin a unidade c que se chaîna numéro

No primeiro caso, em que a grandeza contem a

unidade inteira uma ou mais vezes, o resultado é

segundo caso, em que é

ne-cessano dividir a unidade para que uma. das ivirtes

eguaes em que a tenhamos dividido se contenlm unn

0 mais vezes na grandeza, o numéro resuîtanto d

uma fiacçao, no terceiro caso o numéro resulfinto

e um mteiro augmentado de uma fracçào e recebo

it denominaçào de numéro mi.cfo.

r e s u k a n t r i c a s o , o n u m é r o

liacao f anting fracçao, em quanto referida a

ava-p s A ^ i n i e n m n r e f e r i d a a

m i x t e r e f e r î H n ' ^ * ^ u m n u m é r o

o ~

q u S t :

A ?

r - !

é medida commum entre

niÇÔES DE AlUTHMETICA

se contem exnctmncnte cm pq m ■

quatre, isto é, ps é mcdida commum e> P^;

C no terceiro caso, a grandeza eau

medida commum gh- „nulade ha

me-. quaiulo, entre a grandeza e a

e^su-dida commum, diz-se que a grande ,

ravel com a unidade; e o numéro résultante da

. paraçào cluima-se commeiisuracel. unidade,

Seiam porcm M N uma grandeza e ab a unmaa

M *

Lra fazer a avaliat^ ^^^tem

t^n-tercmos que diMclii baraque uma délias

tas quantas forem »ecesbaiias para qu

se coutenha exactamente sujeitemos

o caso que, seja quai foi a nartes eguaes

a enidnde ab, nào tuenha

exacta-em qno ella soja V sexacta-empre um resto, o

m e n t e u a g r a n d e z a , a d o p t a d n .

q u a i s e r a m e n o r d o q u e a e n

-Noste caso, cm que nao ba m.-ma -o®'" ^

tro a srruudeza e a unidade, isto e, a SiJ-^eza

incommemm-avd com a unidade, é

um resultado exacte da avahaçâo.

i-erdadel-a obter esse resulti-erdadel-ado lào Jîîè divi"

ro quanto nos '=0"^®"'®,' .g;, menores. 0 resto,

dindo a unidade e® que n, unidade

auxi-UaradoptodatToîlerà ser desprezado, quando a

uni-lliîde toj mitnclenteme^^

8 L I Ç Ô E S D E A R I T I I M E T I C A

tenha exactamente na graudeza. 0 numéro incom-menmracel é sempre substitiiido por outro

cominen-suravehe este, poderemos obtê-lo corn a

approxima-çào que nos convier, coino ficou iiidicado.

Noteraos ainda que a incomniensurabilkhide ado

é propriedade de neiihuina grandezii; depende

uni-cainente da unidade adoptada. Uina grandeza

incoin-inensuravel corn uina certa imidade. pode ndo ser

incointnensuravel corn outra.

Os numéros podem ser ainda concretos ou ab-s t r a c t o ab-s .

Numéro coucretOj ou qaantidade, é aquelle a que

se junta o nome da unidade, corno cinco métros, qua

t r e c o v a d o s .

Numéro ahstracto, ou simplesraento numéro^ é

aquelle a que nào se junta o nome da unidade, como

très, sete, dezenove. (*)

Até aqui temos supposto a avaliaçîlo fcita

di-rectamente, por superposiçîlo da unidade â grandeza.

Isto entretanto 6 irapossivel na maioria dos casos.

por exemple, quando se quer déterminai' a

dis-tancia entre mn poiuo 'q'irilquer e outro inaccessivel,

entre dois pontos inaccessiveis. Entdo é

recorrer a processos indirectos para detenninar a relaçao enti'e a grandeza e a unidade.

Mathematica éa sciencia que se occupa da

nie-dida indirecta das grandezas.

Arithmetica éa parte da mathematica que

estu-da os numéros, suas proprieestu-dades e os modes de os

combinai' compondo-os ou decompondo-os

I

para^'of ° f ""S cercam

Mas ow'nHn e pluralidade.

do em cada compartimLto®um'°' estante,

ten-_ ten-_ten-_ p unento uma porçao de livros,

(') C^vemler AaraoReis-Avithmetica-l.a ed. „s.8,9,10

I

LIÇOES DE ARITHMETICA ^

, o r e . n n A o p î l . r «

sentîmes que a biinpies icit.i u y

nos é sufficicnte. lîvrns' outres ha que

uma idéa da porçAo de li\ J' • ' grupo

dosou-E- necessano ^ P,,,

exis-t r o s g r i i p o s , i s o fi n a l m e n exis-t e o s e u

tentes cm cada giap^^i da f^randeza

gru-numéro - resultaclo da conipiO^o da ,ian

po do livros corn coni a ûnW cscolldda,

Ainda se compaïaimos ^ continuas, por

o paimo por excmplo, determinado a

re-exemplo duas Imhas, nao teiem primeira

laçào'ciuo existe entre o que^a

tein ninitos palmes e a segumla ™ Liaçao entre

ainda te.nos grnpos de tto é, a re

el les é a relavilo entre a- : i.Jdé e o segundo,

laçAo entre o primc.ro fpri.neiT-o

mi-ou cm mi-outros te.;mos a relaçilo ent ® P ^ exprime

more e o segundo, e aiiida uin iium q jida

quantas vezes a primeira Imha conteii.i

t o m a d a p o r u n i d a d e . . _ j j m n e r o s ,

Formados os grupos de 6, dar

faz-se sentira necessidade

a entendcr que nos refcrimos a uni dctei

po e iK\o a uni grupo qualquer. o-randeza

' Para isto, abstral.indo da natureza dn

^Mdade

com-Zs Tgrandeza pode conte.-a unidade mais f ®

^ûr/. P se a uma unidade juntar-se outia, as exjfa

uma ' ' g successivamente, teremos foi

Ï O _{LIÇÔEg DE ARITUMETICA}

chstiQgLu-los, seni iiecessiirio ura nome p:irticular para

cada um delles.

Tal raeio de exprimir os numéros, numerardo

en-l>ontanea, sQrla sufficiente a principio ;" porem a cada

numéro formado poderemos juntar mais uma imidade

e assim indefinidamente, ohegando emfim d conclusao

de que a serie natural dos numéros 6 infinita (*)

necessai'io uni numéro tambem

de fo m nirn T'T e a impossibilidadc

certo Ibnut t "oraenclatura ao monos atc um

f enunnH^' \ ® "«"«^sidade de systeniatisar-se

de mhv. ii^ nunieros de modo tal que o numéro

iiVel e'npregadas fosse o mais limitado

pos-unidadeT'fnvmn® U'i certo numéro de

mena essas diversas relaçôes ou modes de denen"

clencia de uns grupos para os outrr "°""

dem Xa nT. de grupos ou unidades do uma

or-raente su'pe'rior ™e^essp nu "''de'"

biimediata-mante affirmativ^Com^erfei\o

serae-concretos som vô-los- con<5P,i.„;'r.f dos numéros

tir a existencla de «eria absurd" ato£

OUreira & Liberate Bittencourt JArTthm.'pagî'îà d"

i- v«

t : ' ' /

' S

LIÇOES DE AKITH.METICA 11

Repousa deste modo o artificio empregado paia

a enunciaçAo dos nunieros no prineipio

convcii-c i o n a l : —

— Tantax auUladex de imia

ordeni quantas foreni as

unitla-dcs (la base, formarâo uma

uni-(lade de ordem immedialainenie

superior.

Ora, até aqni nào temos ainda

e Poder-se-ia escolher esta ou ;

correspoiule-inente; e como a cada base a< ^ luiver

J'ia um novo systeina, ,,!!,„e.L.ao e o

nies-l ' m a i n fi n i d a d e d e a i v e r s o c m c a d a

ïno numéro exprimir-se-ia de modo dner^ocn

»'n delles.

System a decimal

K e s t a - n o s a g o r . x u m a n a t u r a l

-base ; a quai, eutretanto, se nos apresen

"^"dc facto, representando as ^jjdj'jdes P^^^

Jas raàos, modo P"'""'"]'° dedo'réuuindo outro,

para o primeiro dedo ; a um i os

toremos formado o Si"P°. juntando aos cmco

grupos très, î««'™ e cmcu, a^oi , j jgi-eiuos o grii-dedos de uma das milos un » gg jete, oito, noce

PO seis e assim P®,f "^otalidade dos

de-e tinalmde-entde-e dde-ez ou dde-ezde-ena paia a totai

d o s d a s d u a s m n o s . ^ f A r e m o s Q u e v o l t a r

Para continuar a cqf tageffl,^^t™

e, ao griipo de unidades ^ f dois, très...

dade dos dedos, accrescentai ei

nove, dizeiido dez e um, dez e dois, dez

e nove. dois dez ou duas dezenas. ..

Dabi por diante e pelo rnesmo p

Duas dezenas e um; duas dezenas e dois,

1 2 _{LIÇÔES DT AKITHMETICA}

Tren dezenas e um^ e dois, e très, e iiove, quatro

ilezenan.

Finalmente: nove dezenas e Um, e dois, e très,., o nove, dez dezenas.

Corn as dez dezenas obtidas, formaremos um novo grnpo on unidade de terceira ordem, a qutil recebe

0 n o m e d e c e n t e n a .

As centenas contanvse da racsina forma que as

dezenas e as unidades simples : uma centena, duas, très, quatro nove centenas; e da mesma forma que para chegar a uina dezena tivemos que passai'

primci-raniente pelos numéros inferiores, c portanto in tercalai* os numéros um, dois, très, quatro nove en

tre. dezena e dezena, ndo poderemos chegar a cen tena sem passai* polo numéros anteriores, os quaes

deverào ser intercalados entre centcna e cenicua.

dizendo-se : uma centena e um...., uma centena c dez uma centena e dez e um cinco centenas, duas

dezenas e nove , nove centenas, novo dezenas

e nove, dez centenas.

Com a reuniao de dez centenas, formaremos,

sc-gundo a marcha até aqui seguida, uma nova ordem

de unidades, a quai recebeu o nome de mil ou milha^' ;

e os mdhares contareraos da mesma forma que as

centenas, dezenas e unidades, dizendo; um milhar,

niUhares, dez milhares; ponde,

en-tre milhar e milhar, successivamente, todos os numé

ros mfenores a uma unidade desta ordem.

milhares, forma uma nova

or-• ophpr 11 ^ quai, entretanto, ein vez de

re-Ihnr . r particular, foi chamado dezena

demi-très, nove, deZ

d u a s

T t p p t

®

e n t r e

dezena de milhaïf numéros inferiores a uma

unidad^d^orHpmmilhar. formarerabs uma

e s t a s t r è s m i l h a r - e ,

ens, formaremos a classe dos mi''

\ J

. q

f \

hlÇÙES DE ARITIIMETICA 1 3 'fhai-e.-i, daiido-se ûs très primeiras o nome de classe

"Jan unidades.

Coutinuando a coiitar, formaremos com dez cen tenas de milhares uma nova ordem, a quai tem a

denomiiiîiçjlo. relativamente recente (1), de milMo; <i é a primeira ordem da classe de milhOes^ cujas de

zenas e centenas formaremos pelo mesmo processo cmpregado para os milliares, isto é, uma dezena de iiiilhôes com dez milhôes; uma centena de milhôes

c o r n d e z d e z e n a s d e m i l h ô e s .

A r e u n i à o d e d e z c e n t e n a s d e m i l h ô e s f o r m a

uma unidade de hilhoes, primeira ordem da classe dos billioes, composta, como as precedentes, de très

o r d e i i s

-. E assini formaremos as classes successivas dos

Irilhoes, quatrilhoes nonilhôes, etc, conseguiudo, por

tanto, exprimir todos os numéros imaginaveis, em-pregando imicamente nove palavras distiiictas para

exprimir os numéros inferiores a base do systoma; uma nova para cada uma das très ordens e uma para eada clas.se, como se vê do seguinte quadro.

) D

n

.11

CLASSES l Trilhôes Bilhôes (2) Milhôes Milhares Unidades

O R D E N S D E

CADA CLASSE^

NC.MBUO.S { \ I 9 ^ ^ ® CD 5 3 N S" CD — O p p C î C -P CO CD * t » 2 o 3

| § |

-g « p-çi en p u a o C D 3 3 CS3 p-C D ^ 2 = P p d c 2 o 3 « 3 P S S ë._{c r . C D} e n C O p O d 2 CD 3 ^ CD C-g H C-g. ^ « S

i.NFEKio- )rjin, dois, très, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove

ItlîS À V.\SE\

Entretanto a nomenciatura dos numéros tem

so-ffrido, com o uso, aIgumat(-moclificaçôe3 que tornam

(1) E' dévida a Viette, seculo XVI, a substituiçao de mil mil, como era eutîLo designada a 3.® classe, pela palavra

mi-I h à o .

(2) A palavra hiîhào parece ter sido empregada pela pri

nume-V.

Î 4 _{LIÇÔEH DR ARITn.METrCA}

aenunciaçao mais rapîcla, sem attentai- contni a

ix-r-f e i ç ix-r-f t o t h e o r i c a c l o s v s t e m i i . a p t i

Asaim é que, em lognr de dez e tmi doz o dois

tiez c très, dez e quatro. dez e cinco diz-so . m"

plesmcnte onze, doze, treze, qimtorzc. quinze- cm

lon a s I d z s e k ' d e z c

-senta e,' dâhi por dhnte'

ses-tenninaç;.o

trahie!^ '"«iica o sey-uintu tpuulro,

.-x-^liJliones Beeades inillioncs !Lent(!niH.sinillion(.: ^dhu millionesI l < > / « n . . . . U n i t a t f s * ' t . Seciindas ÏJecatles

S S s

_{Q'^tas Doeades niitlia ®lia n.ill™'^""^}

3

. „ ,

S c x t i i t ; m i l

-- — c S ; „ „ . ' i

j,i„.,„.

-■SS5|SS3=£=S::

1 _{l-'' CLAS?JE}a / ~ i T . ° ^AS UXIDAUES Unulades ^^zenas centPtias milhares CLASSE HILHOE.S Unidades oezenas céntenas milhares 3-" CLASSE B I L I I O E S ^ - " ' « v x t î s " ^ " i - f u a s ' ■

Dczenas dti mîiv. ^dhares

Unidadtjs

O G z e i i a s

c e n t e n a s

^ïilhares

LIÇÔES DE ARITHMETICA 1 5

noventa; as palavras duas centeuas ou dois centos,

très, einco ceuteiias, foram substituidas por duzentos,

trczcntos,quinhentos,o nas outrasdiz-secentos cm vez

de centenas—quatroccntos, seiscentos novecentos. U systenia de nmnernçào que fica exposto e que letn por base o mimcro r/ez, donde a denominaçào

de decintal, é o iiniversalinciite adoptado polos

po-vos cultes; nào obstante, poder-se-ia conio vinios for-inar outres systenias, l)astando para isto miidar de base, adoptando (piaJquor niiinero inteiro maior do

que am (*) e crcar iiina. noincRciatura para os numé

r o s n o s y s t c m n r o n n a d o .

Numeraçâo e scrip ta

Os uumpj-oj;^e<^M-jp_tos çomo eram eiiunciados,

tra-Z!ain*;>-ravesiiiconvoideiùes'' taes conrjV^um^i^^

que liavcria nas ti'ansacçôes entre povos que nào

talasscni a mesina lingua; a iuipossibilidade de

des-cobi il por esse meio as propriedades dos numéros ;

ti impossibilidade do os coinbinar: a extensào da

es-eiipta etc.

Daiii a iiecessidade de crearem-se signaes

par-tîf'iilares, os quaes, attribuiiido-se-liies valores de

con-M'Jiçâo, resoJvcssciii a qiiestào da representaçào dos

m u i i e r o a .

(-> priuieiro systoiua de signaes »Ie que lançou

inào cada povo, loi constitiiido pelas letras do

al-pliabeto respectivo, as quaes cram empregadas na represcntaçào dos numéros seguiido conveuçOes es-tabelecidas. E assîm.foi praticada por muito tempo

a escripta dos numéros, s\in que podesse barer um systenia universal, pois cada povo preferia entre to-dos 0 seu proprio alphabeto.

(*) E' evidento que uSo poderia haver um systeraa de base nm: pois que em talsystema uma unidade de qualquer

LIÇOES de ARITlIMEXrCA

Aqui estudaremos ligeiraiiientc os svstciaas

ffrc-g o e r o m a n o .

S y si e m asgregoeroma KO"

1 aia il represeiitaçùo dos miiiici'os os erosos

iuii-tai-am as vmte e quatre letras de sou alpUabcto très

outres caractères e cotu estes viute c soto svnVbe os

rdltru"evè"''sv.:',' 'r 1-nieira classe sir

nmnere do u^idade^ttti^t^'^^^tte^''" "

Oas Se

mtr as Midades e dezeiias de mill,ares-u v

ex;^-,:;^"er

îi l'cprcsentacào do<^ ,nr oi'einefftoi; par<a

tas oovental'no^ 11^!

"ovoccn-tas noventa e nove iinidiJ l tinl.

novccen-Ihôes, novecentas noventa c nn^' ^

venta e nove unidades. ' novecentas

no-escripta; e era''quamV?'■! ''o numeraçâo

rtes ordinarias. Eiitretanto^ fnV' ®""®

uecessida-medes, corne problema repreIenH?^°'"°

quer, por maior que fosse • mat n numéro

qtial-Pregados na soluçào da q'uestlo ®'"'

postes aqui (*), qtiestao nao podem ser

ex-todas as Sts tlo''idph!îbetf mt"!' S'"®®?®'

numéros; tambem oLl - tepresentaçao dos

gi'egos as convcnçoes entTln tlas dos

e s s e fi m . e s t a b e l e c i d a s p a r a

LIÇOES DE AIUTIIMETICA 1 7 V representavn. cinco ; e. para exprimir o

nuine-ï'o qiiatroj faziain précéder esta letra de Ij ficando

assini o valor della diminuido do desta; e

escreven-do r. U, JH, à dircita de V, era este valor

augmcn-tado daquelles, ficando assiin represenaugmcn-tados os nu

méros seis, scte e oito.

l'ara o valor dez era cnipregada a letra X a

quai, prccedida de I, sen valor ficava diminuido de inna unidade c portante IX representava novo.

Os valores vinte e trinta eram indicados pela

l'cpetiçao de X, da mesma forma que a repetiçdo de

ï exprlmia dois e très.

A letra L foi tomada para exprimir ciucoenta;

representando-se quarenta pela anteposiçào de X a L e sessenta, setenta, oitenta, escreveudo X, XX, XXX

i l d i r c i t a d e L .

C representava cein; e precedido de X

signi-fi c a v a n o v e n t a .

Assim estavam representadas as unidadese as dé

menas; c, para ter uni numéro composto destas duas ordens, fazia-sc seguir da notaçao das unidades a das

doxenas; assim LXXXVII representava o numéro

oi-tenta e sete; XCIX noventa e nove.

_{- 0 CC; COO, exprimiam uma, duas, très}

cente-nas- epara exprimir quinhontos empregava-se a le

tra b que precedida de C, ficava seu valor

desfal-cado de uma centena e portante CD significava qua-trocentos: e seguida de G, CC, 000, ficava seu va

lor au°'inentado de ceiu, duzentos, tresentos,

repre-sentando assim DC,_ DOC, DOOO, os numéros

sels-eentos, setecentos, oitocentos.

AI era a notaçilo do imlnar, e, escrevendo-se

an-ces de M 0 svmbolo 0, tnba-se o valor do

primei-ro menos o do segimdo, isto é, CM significava

nove-^^'^^Assim era rcpresentada toda a primeira classe;

nara os numéros comprebendidos entre centena e

centena fazia-se seguir â notaçào desta ordem as das

1 8 _{LIÇÔZS DE ARITH3IETICA} n , I I I . -o I OUDENS , ~ ^ ^ n \ u d u a s Unidades T jj Dczcnas X XX Centeiias C CC Unidades M Dezenas x Centenas "c CC

Unidades ^ Inf

Dezenas X 3^ Centenas 7] CC

Ucs (juat. dti

m I V - V ^ ' X X X L U C C C D itnhIadeM s e t e o l l o n o v r u x x x X C D C C C C M c i b s i g n a l a r c a d a ^ l u a l o u e r • h n X

. Ï S s »

"m numéro quaiquer dei,

"LIÇUES DE ARITHMETICA

10

a ^tros nrtincios dos quoes n^o nos

oem.pu-' " " oem.pu-' T oem.pu-' ^ oem.pu-' i n s oem.pu-' S e l f "

(li.me.ite mx^i-iiiiein mi. v",!™. ®°""f •

segui-lo D, que uào se

re-««oîj» ifpssïzr-'''''

i n î r e p r é s e n t a u m v a l o r m i l v e z e s

A 2ot'm îo®TV''■•"•'•o liorisontal.

tuida Doi rm nlguimis ve^es

substi-10 tem seu valor dez, cem,

nul vezes maior pelo augmento de imi, dois, très o

Il sua dire.ta; a oada, um dos valores assim repre

sent,idos torna-se duplo esei-evendo-se li esqiierda de

1 tantos C quantos q liouver â sua dircita.

entre nos este systema de numemçào tem

<litlerentes empregos, como na mmieraçao de

capi-îu os de obras, nas indicaçôes dos raosfradorcs de

relogjos. nas datas dos monumentos, etc,- razdopor

que temos pi'ociiraJo estudâ-io com algiini descjivol-v i n i e n t o .

^ ■ è U

ALGARISMOS ARABICOS

Por mais engenhosos que fossem os arfcificios euv

pregados pelos diversos povos para a represeutaciio

uni-2 0 LIÇOES DE AKITMMETil'A

versîil; differia de um povo a oatro, desde os cara

ctères empregados atc a inaneira de os coinbinar.

0 systema que depois cliegon a predomin;ir,

ge-neralisando-se seu emprego até nossos dias, c, por

aP-uns, attribuido aos arabes, donde o nome do

al-ga'iâsmos arabicos dado aos symboles por elle empre

gados. Nào obstante, essa origem tem sido

conttîs-tada por alguns autores.

Os symIx)los empregtulos fonrni a principio

1 , 2 , % 4 , 5 , b , 0

representatives do» valores—um, dois, très, quatre,

einco, seis, sete, oito, nove.

Para exprimivem-se os muneros por ineio «les tes nove signaes era cmpregado o alxico que

eon-sistia em nm quadro dividido em eoluinnas vertieaes,

CûiTespondendo cada uiiâi. délias a uma ordoin de

unidades, indicada no alto, como se vô em

sCgiJidd-C

X 1 I

5 4 3 7 4 î t 5 8 « 4 4 n 3 I I 7 ₀

_{. 0}

!)

Para escrever o numéro cinco mil quatrocontos

.8 trinta e sete que se compOe de 5 milhares 4

ecn-tenas 3 dezenas e 7 unidades, escrcvia-se no abaco

0 algarismo 5 na columna îl (milhares), 4 na columna,

C (centenas), 3 na columna X (dezenas) c 7 na colum na I (unidades). Da mesma forma representava-se o

LIÇÔES DE ARlTUMEnCA 2 1

i'i

I

numéro quatrocentos e novo, escreveado 4 na

na das ccntcnas, C, e 9 lui das unidades, ï , - - ^

em branco a columna X das dezenas.

Jlais tarde, porem, ompregou-se um ponte ou o

sb'nâl II para preenclier as coluumas onde nao

hou-^efse unidades; e asslm. é que no quadr.

mes representados os numéros cmco mil oitocentos

•

™

" ■

erinh S;" numéros, o quai tomou depois as formas

^ 'e n rccebeudo o nome de zero; e foi, corn o nso,

®umSmènte modifieado, até adquirir a forma que

h o j e t e m s v s t e m a d e s i

-C o m

a

p o r t a n t e

s u p p r i

-gnaes, ® .abaco De facto, baataria

midas as cxeinplo, o numéro très mil

para ^ escrever 3 (algarismo dos

mi-, mi-, u a t r o c e n t o s c s mi-, c o l u m n a a p a r t i r d a

liiares, 4 oiac^ das centcuas (a terceira ) séria

d i r o i t a ; a c o U i i ' n o n u m é r o d a d o

oceupadacomoa „mibra ordem,

escre-vcr-sèdaMTO^(Ô) na segunda columna, occupando a

primoira com o algarismo f

bas-' Semelhantemcnte para lei o """f f ger

taria observai- 51"® esquerda, pelas

unida-occupadas da * jib.ires etc; e portante o

des, 5>®>'®"f ' vcha na quarta columna,

repre-algarismo 3, que f | ja terceira columna,

senta 3 milhaies, S- gegunda ordem onde ha

4 c e n t e n a s ; e c o l u m n a d a s u n i

-zero (0), paia ^®y ' mil qiiatrocentos e sete.

dades, tom-se ° ^'"® gervindo do inesmo proeesso,

Porem se, amd^ o numéro quatre mil

qua-escrevermos, P« ouatro 414|4'4', notaremos que,

t , o c e n t o s p e l o m e s m o a l g a r i s m o

sendo esse segunda columna,

ap -iBd 'sn b .tu .iq u.3 i

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0 s om 9.i0 AO .ro s9 o^ ui.g .io cT o is uuo zo] ) m os 'so pup iur

' suitiooo.nunl 'oaou 0 'o o)si suiiopioo o.^unb OAOU 9 moo ' sap up uin su p u oq po s-oiiSo s n o sop iip

uir u^uo.iunb somo: 'oouio o Si o^si suuozop o.nunb oouio 0 *up uA 0p S lum u p on b H mio uilt cI u u '— sop upi nn o so

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2 4 _{LIÇÔES DE AKITJLMETICA}

da direita, os algarismos do numéro dado l'cpresen-tam respectivaniente as unidades, dezenas e centenas de cada classe, e que estas ainda no mesino seiitido, sSo, — unidades, milhares, niilhoes, bilhôes .. • etc} portante, a priineira cousa que devereinos fnzei* para 1er 0 numéro proposto é dividi-io cm classes de très algarismos da direita para a esquerda, assim:

7 0, 4 T) 2, « 0 9 G 4

< l u c c l u c d u e d u

I

depois daremos a cada classe, a partir da direita,

nome respectivo

B i l h ô e s m i l h ô e s m i l . u i i i d a d e r t

7 0 4 5 2 8 0 3 0 G 4 j

c agora, lendo da esquerda para a direita, eiuinci

aremos cada classe com o numéro de unidades ciue ella contein: setenta billiOes, quatrocentos cincoenta e dois milhCies, oitocentos c très rail, noveccntas c sessenta e quatro unidades.

Consegue-se 1er um numéro qualquer por ineio

da seguinte

REGRA:—D'ivule->^eo mimero em classe.-^ de

très- ah/arismofi, da direita para a es

querda, podendo a ultima classe d es querda ter vienos de très algarismos ;

depois, ainda no mesmo sentido,

ddo-se as clasddo-ses assim formadas, os no^

mes de unidades, mïlhares, milhàes,

bilhôes, trîlhôes... etc. e, lendo,

final-mente, i a esqtierda para a direita,

enuncia-se cada classe corn o numeny

de unidades que ella contem.

Resta-nos unia observaçâo. Se â esquerda de uni

numéro qualquer, por exemple 358, escrevernios

zeros, 00358, cada algarisrao significativo deste

nu-LIÇÔES DE AlUTllMETICA

1

'mere continuando na mcsma ordem em que se achava,

Iseu valor relative niio soffreu alteraçào alguma, isto

|c, 0 algarisrao 8 que em 358 représenta 8

unida-<les, représenta ainda. 8 unidades em 00358; da mes-Inia forma 5, que em 358 représenta 5 dezenas, ainda tem 0 niesmo valor em 00358; e ainda oalgarismo |3 représenta 3 centenas, quer em ura, quer em outro

numéro. Entao 358 e 00358 representam um e o

ines-Inio valoi', isto é,—zeros escriptos d esquerda de uni

nu-I t é r a n à o a l t e r a m o v a l o r d e l l e .

0 mesmo jâ se nao dâ, se â direita de 358

es-irevermos um ou mais zeros; pois o algarismo 8 que

jni 358 représenta unidades, représenta dezenas em

|580, centenas em 35800, milhares em 358000 e assitn

>or (liante, raciocinando-se semelhantemente sobre

valor relative de cada um dos outres algarismos.

3gO

um numéro torna-se dez, cem,

mil... vezesmaior quandoâsua. direita se escrevem um, dois,

t r è s . . . z e r o s .

Invcrsauiente o algarismo 8 que représenta mi-lares em 358000, passa a représentai- centenas em

5800, dezenas em 3580 e unidades em 358; isto é,

um numéro terminado por ze

ros torna-se 10, 100, 1000... ve-zes inoiior, supprimindo-se um,

dois, très... zeros â sua direita. Estas observaçôes sao ainda uma consequencia Ho valor relative dos algarismos.

0 valor de posiçao ou relative dos algarismos ata do seculo I.X de nossa era., sendo Mohammed

eu Mousa (Alkarismi) «d'primeiro que teve a idéa

0 simples e tùo îuminosa—uma verdadeira

rovolu-ao scientifica«—(*) de dar a cada uni dos signaes

umeraes, desde zero até nove inclusive, valores de

2G

LIÇOES DE AKlTliM^TlCA

LKÔES DE AEITHMETIC'A

(le'/eutts etc. iucoutcstJivelmcntc u^o do zero

<ffVlkîxrisini * ^ « ,ip (Uffereiieu o oue se chiiioit

- 0 dcsignava yelo 'X?.. dàcUnàlTporcp.c di/. quo os

hojc posiyao ou Old , ^ e,„ (UrtorciUcs

loga-lo aeAul (H'^ffer-obr cita Ui pag ^

Eiitretanto foi "^uito Rmi a a p. op- ,

tema, c sô no scculo Wl toinoub^.

eiïiprego ^ kv - . V uotac-ao romana foi

cm-°°'"Slntè até a iaU'oducçào dos

alsaris-LTar:4°os.°FUa - esta i.itrodiicçao no fini do sej

''"'°]^âinda 0 mesiiio autor; "So cm loOO toi'noinst

commum aeu uso ein França. Coutm" dm ,i

inuito tempo a empregar sinniltaneammitc .

sYstemas. Escrevia-se por exemplo X , a , ' J

lï 12, 13. A propria forma dos sof

va'riaçt>es e sô'em 1650 ficoa assentada deEiuitiva-|

mente». {GG 47).

m a s

.Ta vimos que qualquer numéro inteiro, maior

do que 1, pode servir de base a um sjstcma de

i n e r a ç a o .

0 proprlo mcio de contar que apontaïuos como

primitive o que conduziu ao .systema de base dcz

ou decimal, poderia levar ao systema quinano ou

d e b a s e 5 . , .

Dentre todos os systemas que poderuim sei^

adoptadoSjé preconisado por A. Comte o de base sete;

8 por outres o de base doze.

' j i

grnmlG

* Entretanto, diz o Dr. Aarào Reis. lao teria de ser a i*evoIuçâo produzida no doniinio tico dîi juatlicmatica pela substitm\'ào do aetiiaJ sjs-tema do numcravAo por outre qualquer. que po(

e-rjamos considorar iiupossivcl qualquer tentatnji nos-se scntido». Aarào Keis—Arith—1.*'' ed. pag. ml.

Seja, poreiu, quai for o systema em que

tenlia-mos de représentai" os numéros, précisâmes de um

algarismo para exprimir cada numéro inferior a base,

seiulo quo, aiem desses, é iinpresciiulfvel o zero paid

precncher as oi'dens onde nào Jiaja uiiidades. No systema quinario, por exempJo, os numéros serào representados pelos algarismos 0, I, -, , ?

no svstema sotimal por 0, 1, 2, 3, 4, o, 0;

tçma. binario por 0, 1 ; isto é, os numéros sào

lepre-s<3ntados em um systema de base dada, poi ta Mlgarismos, inclusive o zero, quantas forem as

um-d,a-dcs da base (*); e a escripta dos numéros

assen-sobrc 0 principle:

Um algarismo eseripto à e.s-quorda de outre, vale tentas

vezes mais do que se occupcasse

0 logar desse outre, quantas fo

rem as iiniclades da base do

systema.

Ë©prv0LS\©iitaçâ@ 0 lolt-TU'®

" cf-i®'i

Na avaliaçiio das grandezas menores do que

I imidade, torna-se necesraria a divisao desta era

cartes eguaes e tantas quantas sejain necessanas

fiTMii 0 definir-se base de nm systema de numeraçao

mirnero dc algavisinos necessarios pava a representaçfio doa

' ilni ncssb systema. Entretanto nuo adoptei tal dcfmiçflo

Tr p^reeer. talvez erradamente. queella nSo sat.sfoz. De

icto?antes dos dez algarismos jà esistia abase dez; e

en-s « 2 !=J s ® e g a o S - p ." « P £ 3 r t e s » p , ^ § 2 O S o ® H P 8 3 t fi m p o » -t » W ^ o " es o • ^ 0 3 S S w O o -< " ■ e s g <5 p 5 w " < ® s o ag^ s «5 o P " «PC*—.' P o 1 = ^ e s t f l . — e s 5 * e s o e s o ° I P « 3 w h-p « 3 ( = • 23 g- ® ff i «^03^o 5 0 p U 3

!l|i^

a» ® S '"• o p p « e s e n «/3 I--. •p es '^!? 2: c a g " ^c g : à w C D C O >; &- Ç 5 'O — z a C O to ® ® 1 -^ C L C S C L 2 » b î 2 " C O O C D t o ^ -. CD to o f o ^ Ï3 «£. N o j? 3 g P - S a . g -o ® 3 g o o eo o o o< CD CO rs cr S to B■ CO CD O 3 --^ ^ O 2

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§

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^ss'a'S

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^ c: ' O i B 2 ; ® é 2 r ^ CD CD 'to B = - S - r? O to to* CD 1 rra " O 2 I ^ C O J-- 2 » û ^ S g â s = C D c S -,2 S e 3 I—' ^ S? a O C !» m C O »o O M CO w H S« _{O >} «o -d

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♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦

B e f i E i ç Ô é s

Teremos de empregar no nosso estudo alguiis

termes cujas definiçôes se^toriiam necessarias.

I^foponiçHo 6 G ciiuiiciado de um juizo.^

Axioma é a proposiçào évidente por si mesma.

0 todo é inalor do que cada unia de suas partes;

juntar ou subtrahir uni todo é o mesmo que juntar

ou subtraliir cada uina de suas partes ; duas

cou-sas eguaes a uina tereeira sào cguaes entre si. Sao

|xiomas.

Theorema é a proposiçao que nào é évidente por

i niesina ; toriuindo-se necessario demonstrâ-la. ^

^ Demonstmr mu tlieorema é provar sua

veraci-\ ^ Em uni theorema ha que considérai' a hypothèse

J M these : hifpothese 0 que é ou se suppôe

estabele-iido- these 0 que existe ou deve existir cm

conse-Uflo .ao axionu.«; porcm que

aamitteni como verdadeiras pela diCl.culdade de

fienionstracào, Sîlo os postuïudos, ^

Uma proposiçào pode ser em relaçao a outia,

rfir-inmon contraria ou coiitradictoria.

1 Uma'pi-oposiçâo é recq^vca de outra quando tem

lor hvpotlieàe e por these a these e '

■utra-'Kera todas as reoiP™cas sao veidadeua^

E' contraria quando se oppôe a outia, hypotliese

" tem a mesma hypothèse

•^2 LIÇÛES DK Aïîrru.METlCA

com hypothèse contraria. Si iima proi>05iÇ

dadeira sua contradictoria ù falsa. ,

jpfO-Uina proposiçào é (Urecta em rolaçilo a î*® *

c a , i l c o n t r a r i a e à c o n t r a d i c t o r i a .

Cot'olJario é unia consequeucia de uma '

« i c î i o .

J rohlenia é uina questào a resolver Ha

problcma quantidadea conîiocidas e outras a iletd' mmar. As_ primoiras sùo 03 dados du ouestào;

outras as tncognitas.

Em um problema pode havei* uma ou niuitas-^V

cognitns a cleterminar.

Quando o problema 6 satisfeito por utua infini dado de valores para oada incognita, diz-se hule'

miuadit ; determlnado se o numéro de soluçôes ^

m i t a d o .

Ref/ra {*) é a indicaçao pratiea. da marcha a se

para chegar a um resultado.

Fonnula é a imlioaçao abreviada, por nieio

signaes, de toc as as operaçOes a ettectuar d ,Vo

conrpt^'o? nurro:. -™Por ^

_{sac operaçOes arithmeticas-—! cl ri ,v.% . 1}

multiphcaçao, divlsao, poteneîar-an ^

_{bao operaçoes de compo^k^t '".^^'ciaçào.}

phcaçao e potenciaçào- de mmti

cçao, divisao e racUeiaçàl : - suCa

A arithnietica eiïipreo'a fiîï^ I

■ ^ siguaes que tèif

dianti ao do °leUol de ora sà

LIÇÔKS DE AlllTHMEnUA 3 3

jtpr fiiit ;ii>i,'pviar a. Hnguagem e. tornar o raciocinio

mais gc-r,i).

Destcs sigiixes iii licain qiuintldacies ou numéros as letras do alpliabeto. Assim quaudo alguem se

référé a unia graiideza a ou a um numéro />,

satis-fazeiulo dadas coiidiçôes, refere-se a uma grandeza

quaiquer ou a uin qualquer numéro, sem idea alguma de valor; o tudo o que se disse de a ou de h c

applicavcl a todas as grandezas ou a todos os nu méros que estivereiu nas condiçôes de a ou de h,

K' costume indicareiu-se pelas ipriineiras letras do alpliabeto, a, h, c, d as quantidades conhecidas;

0 pelas ultimas //, z, as incognitas. Indieam operaçOes os seguintes :

-f- (mais) a addiçîlo

— i(meuo3} a subtracçTio

X ou • (nuiltiplicado por) a multîplicaçao

H- ou : (dividido porl a divisào y (raiz de) a radicia(,a\o.

Il 0 expoente que opportunameiite definircmos, in

-dica a potenciaçao.

1 ( ) inostra que a operaçdo ncllo

cncer-rada deve ser effectuada :i parte.

' ' Quando diias quantidades do mesmo valor, A o 13, podem-se substituir luutuamente, a rclaçào entre

d'ias é a de eyualdade que se indica xV=I3.

Em uma egiialdade cliama-se primeiro menihro a

expressao que fica antes do signal=; segttndo

niem-hro a que fica depots do signal.

\ Axioma.—Uma eguald".de nao se altera se os seus

ois membres soffrem, ao mesmo tempo, modificaçîlo

^ u transformaçâo identica.

A deseffu-'^^do j- quantidades e

mcli-iada PL ou por < (inenor do que).

A > B (A maior do que B) ; B << A (B menor do

^ LIÇÔES DE AIÏITHMETICA

Sao aînaa de emprego constante:

• ow : (esta para) • ( a s s i m c o m o )

, -^^contra-se algumas vezes

• • <iue se lô «logo»

biiiaclos. ®^®^"tiam-sea!giin3 clesses signaes

corn-± mais ou menos

+ menos ou mais

•S maior ou meiioi- do que; cUrfereute de

maior ou egual

< mener ou egual.

o p e r a ç ô e s

I ASdîfâo

é a onor-1

opeRH-ao ,vo«,„„ '""P"" Pavcella.; e „ re^mt,. ,

«^PiSV?ra e'if"■«''"«nte se ^,.3

deeompor um dos a adàiÔa^"'^

nos-unidades o innf '^"'"eros, 5 no. Proposta

t i - o n u m é r o . u m a , s u # '

un,n1.^- '-on^os: sete "-Racles ao „..b

nnidade, f,®- ° numéro <ioze ô ?'""'Onze-on

" ""•'"* " ""MM-4î,,f'«S'î

ino obteriamos"'" ° ''®^n"ado da on

0TIIS9UI 'GJT90.ï3:j

"Bp SOp

Ultl BpBO

^ 131X0^

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'b-I'i-cI os-iîôouioo opnoAOJOsa 0 'a TH9

8T L I 91 QX fl 81 51 I I 01 6 L I 91 91 1^1 81 51 XI 01 6 8 01 91 fl 81 51 I t 01 (j 8 1 91 fl 81 51 I I 01 0 8 L 9 • t l 81 51 TI OT 6 8 L 0 Ç 81 Z \ T I 0 1 0 8 L 9 Ç f 6 l I T OT 0 8 L 9 ( J f 0 < • I T 01 6 8 L 9 Q f 8 6 01 6 8 L 9 9 f 8 5 X 6 8 L 9 C J f 8 5 T 0

'O

Yô

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Yo

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o^u in Sos lip 0 T9 m . lo d op uxxn s -9j 0 oju ou iu xiiip oimu i jo xqc sou iu T .ia po d oiib u io o

siio sio mu ou soa us xdu 'so o uio o ou xo xdmo o jcl do oxso t x» o p O SU O o u O X nS O Ul ) 11 O X UO U lllX l O X .to d O A XO S O . I 'o d HV : )U

O (ï .id Do sso b 'o ou os x") uo io iu U im 7iiD vu o ] n ■tt9

•opuSoAdiuo OSS000.KÏ ot.idoad op

opniJiA.^^<^c;nn so\ ox) nl> u o p s ) so ox" si nu om soa X) -t?

)iip iui i s otio m ui ou vo ix aK ii ii uv aa sa o6 n

L I Ç O e S d e A ï î r T H . M E T f C / " *

processo relativnmenfe aos da seguni?. ;

Anioiit'*-f o r m a d a u n i a l i i i l i a q a a l q i i e r, j u i i t a - s e U u i i i "

cada uni dos nuaieros nellu contîdos e assini bVv -a linli-a seguinte.

Para tor per mejo da taboa a somma <Ie dois nu-incros simploSj 5 e 7 por cxomplo, prociira*so uni

délies na primeira liiilia horisontal, o outro iia

pri-raeira columiia â osquerda; e no oncontroda columna

oncimada pelo primeiro, corn a linha lionsontfil

co-meçada pcio segundo, esta a somma procurada. Assiin se procurarinos na primeira linha

hori-soutal 0 numéro o e na primeira columna â esuuerda

o numéro 1, e procedermos como ficou indicado

e.i-eontraremos 12 para somma dos dois numéros* s'^n

do de notar que este mesmo resultado eiicoiitrarianinJ

procurando o numéro 7 na primeira linha horisontnl

o numéro o na primeira columna â e<oim,îa ' cedeiido como precedentemeute. e

pro-A relaçtio entre os numéros 7- ^ io * t

abreviadamente do seguinte modo mdica-se

5 + 7 = 12.

' o s T S V T V ' • !

etuar; e°o 9Î<^nal — ll?dic? ^ operaçao a

effo-entre 12e 5 + 7 " ^ eguald'nut

'7 + 5 + 8+;Î 4-9

Ao°nume?™7"juntara^ seguinte modo;

nnidades de 5 e tm-emof n ' '"das as •

a somma 23 conte^ ,

* L I Ç O E S D E A R I T H M E T I C A H O

t

»âes quantas contêm os numéros 7, ô,

clos;* erv^jniente, juntando a 23, uma a uma, as

uni-clades de U, obteremos o numéro 32, somma de

to-d o s o s n u m é r o s to-d a to-d o s .

Deste modo teremos rcsolvido perfeitamente a questao no caso de numéros simples, quer se trate de

duas parcellas, quer de muitas ; entretanto o

proces-so atô.aqui empregado nào pode scr directamente

applieado quando se trata de numéros compostos. De facto, tratando-sc, por excmplo, do sommar

os numéros 8355 + 520 5478 + 575, n operaçào

tornar-se-ia impossivcl se fossemos réunir ao numéro

8356, uma a uma, todas as unidades de 529, para

reunir depois ao resultado cada uniclade de 5478 e assiin por diante.

Poderemos porcm chcgar ao desejado fini,

pro-curando uni numéro que contenba cm si tantas uni

dades de cada ordeni quantas unidades dessa ordem

uouver nos numéros propostos; e como as unidades

de cada ordem dos numéros propostos somente

po-derao ser representadas, cm valor absoluto, por nu

méros simples, ficara a quest&o, nestc caso mais

com-plexo, decomposta em questôes simples que

resol-veremos pelo processo espontaneo, como ficou

indi-caau.'

Sommando, por exemple, as unidades de milhares dos numéros propostos, temos

8 + 5 = 13 ; para somma das centenas

3 + 5 + 4 + 5 = ^ 1 7 ;

V

-para somma das dezenas

5+2 + 7 + 7 = 21; para somma das unidades simples

6+9+8 + 5 = 28.

LIÇÔES DE AlîlTllMETICA ^

—-Deste modo a somaia dos numéros ,,iii.

center 13 miiUarçg^ 27 as. ^3 di^Konas e

c l a c i e s . i \ p 7 C \ \ a S i

i'oreiu eiu uuidadoâ ha 8 umdades e

-c estas ultimas, reuuldas as 21 exlsteut-cs. 'J '

dezenas ou 3 dezeuas c 2 centenas; as "2 c H

leumdas us 17, fazcm 19 ccntonas on 1

miif-rp? ?n?®' huaUnente, reuniudo 1 milhar a 1-^. ^

de 'li uiilliurcsj e a somma pi'ocurada

isVt 3 dezeuas e S unid.^^

8356 + 529 + 5478 + 575 = 14938

de uumeros em suas unhj'^jl^g

torna"^^^ dessus unida-^^^;

disposlcao tnl ^*^P^dus, so derinos as parcelias a

c o n t r e m t o d a s ^ m o r d e i n s e «

tao, percorrendo cad-i ^olumna ; porque e

nharemos îacilmeute\,3

v e r o . o s d e s o m m a r, t

8 3 5 6 5 2 9 547!S 5 7 5 13718 1 2 2 1 4 9 3 8

passaremos a sommai- ao cent milliares

tantes escreveremos 7 ab-Uxo n"*®'i ® I'' ''ssul

com as 10 urn miUiar que esc^-e,^^r''°

a somma da columna d-ifdn^I 'los 13

^ena, que se esore"rabaKo do f f ® ^

e 2eeiiteuasque se reunem as 7 dezenas,'

LIÇÔES DE ARITIIMETICA 41

'lîules (jue se esercvem abaixo da columna respecti-^*a e 2 dezeiias que se rcutieni as dezcnas da soiuina,

•luntando ainda as unidades de cada ordem,

te-t'GUïos a somma procurada 14l);î8.

Uma ligeira niodificaçào no modo de procéder

d'ara à operaçao mu ultimo aperfeiçoamento,

abre-^'lanclo-a quunto possivel.

A forniaçîlodius unidades de uma ordem por meio

das de' ordem immediatamcnle inferior, e a reuniAo

dus unidades uovameiite formadas as da mesma or

dem obtidas anteriormente, podem dar logar a duas

du mais operaçôes suceessivas, o que torna o

pro-desso por demais moroso e enfadonho.

ordem inferior, sAo logo

transpor-• " " transpor-• « ■■■ p i " . ' " . " » B:i56 5 2 9 5 4 7 8 5 7 5 1 4 9 8 8

IcQmna, tormando corn as 20 duas (Îo7p^

Lenteurs? eUreve^r^n^o' ?2

Kentenas para a columna resnec'tW.: as

Mois; e très, cinco;e cinco dot t vao

LI^OeS de AlUTIiMETlOA

da addiçùo de numéros inteiros : e recapituln.iido

m o s : —

Ha no estudo desta priineira operaçTio

tica dois casos rpie considérai-, segundo se tra »

addiçao de numéros simples ou da addlçào de

meros coinpostos.

sniviUn questao é pcrfeitamentc ij'

du-iq ? pvocesso eapontanco, quer se tratc d

sultàdT?i-i parcellas ; sendo que o i

Ides so parcellas numéros siin-^

d-i addio^ r*' unmediatauiente por mcio da ta

Ha mdofnJ ^ conservai- de mCi

simples o rn^^f addiçOes de dois nume. - ^

No'se-umln operaçùo ainda mais

rapid^^'-tematisaçùo, o quai como ' "^®*^'^odo de sy3-=

-

i

d ç g

ïleâaâes da adtîçàfl

THTOREHAI. 0 ';oBuUa,ort^

diçcio e sempre o jnel

«eja quai for a o

T r u t a n fl o r i 1 . p a r c e l l a s .

iudirtero;te,yî;?: ^ qn3

a mna uniclades de T ^u r7""''

nos doig numéros 5 e i ' niudacles quantas h

■ • » «1

J L I Ç Ô E S D E A K I T H M E T I C A 4 3

as unidacles de h, quer juntemos a h, uma a uma, as unidadesdeo; porquc o resultado obtido, de um modo oa de outre, couterâ todas as unidades dos

iiu-, meros dadosiiu-, e nào contera maisiiu-, cm virtude do

pro-prio processo empregado.

Se, em logarde (lois numéros, livermos

quesom-mar très ou mais, por exemple, a, c, rf, obteremos a somma pro(3urada rcunindo a a, uma a uma, as

unidades de h; ao resultado, uma a uma, as uni

dades de c, e assim por diantc ; do sorte que

quan-do chegarmos a uma parcella qualquer, d por

exein-plo, jii teremos formado a somma de todas as

par-cellas anteriores, e é a esta somma- que vamos

jun-tar a' parcella considerada.

E como cada uma dessas operaçôes parciaes é

uma addiçào de duas parcellas, é indifférente a

or-dem dessas parcellas; o que or-demongtra aproposi^-ao,

THEOREilxV II, Em uma addiçdo de

mui-tas parcellas, podenvse

substituir duas ou mais

dessas parcellas por sua

somma effectuada, sem

que 0 resultado final se

a l t é r é .

Effectuando a somma a h c d vimos que,

cjiegados a uma parcella qualquer, d por cxemplo,

jâ temos formado a somma de todas as parcellas an teriores e é a esta somma que vamos juntar a par

cella considerada. Deste modo substituimos as par

cellas a, Zj, c, por sua somma effectuada som que se

ïi'Uere o resultado final.

Porem a + & + c mesmo que rf+fl-j-ft+c ;

Cj procedendo como anteriormente, quando

chegar-ttios â parcella c, jâ temos formado a somma das

parcellas anteriores e é a esta somma que vamos jun-tar as unidades de c. Eeste modo substituiremos as

parcellas d^ a, &, por sua somma effectuada, sem que

11

Supponhwnos conliecidas uma

paroellas, 12 por ®x®™P'°'. que se procura det u

raarfora°p.r:it .uè, CO. 4, coueorreu p •

V'empre-ado '^erà' o que aqui poremos cm P •

parte elualî'qrcoâmccmos, aparté quefiear sera

_{pffual â que procuramos déterminai.}

AppUcando este raciocinio ao exemple pioposto,

leconhecemos que, se do numéro tu

rar ou subtraliir 4, a parte que hcai

desta operaçao, sera egual a que f ,

detitc que de 12 tercmos tirado ou subtiahido^ 4, t

rando ou subtrabindo de 12, uma a uma, as unidaucs

d e 4 .

(,*) A theoritt da sttbtvact^fto tal qual se cncontra aqui é

a que ensiiio desde 1807 ; ilictilndo aos meus alumnos pov nào

havev livro de meu oonheeiinento que a trouxesse.

Admivei-me, povtanto, quondo a mesma thcoria exposta, em parte do mesmo modo, encontvei nos Apontamento^ de ArithmpfS^J. An

Ulu.tre Dr. Mavcondes. No mesmo d\a do appare^Mmo'l .

liçOes de arithmetica 4 7

Procedendo, pois, como fica indicado, tereraos:

*loze mènes um, onze; onze menos um, dez; dez

me-Ros um, nove; nove menos um, oito. 8 é, portauto,

o resultîido da opera^^ào; a parte que, reunida a 4,

^ capaz de fazer a somma 12. i j •

A operaçAo que nos conduziu a este resultado, c

a subtracv-Ao que se define: ^ a a. ^

Subft'ac('(lo é a operaçào que tem por fim, dadas

Ruia somma de duas 2>arcellas e uma délias,

detei-R i i n a r

a

o u t r a .

,

, .

A somma conhecida, 12 no nosso exemplo, cna

^»a.se mhiuendo; a parcella conhecidaou

'^jmnuidnr; o resultado da operaçûo resta,

'^'llerença, seKundo a naturoza da questio P ;

, 0 minuendo e o subtrahcndo sfto os

""btracçito; e a relaçilo entre o resultado e os teiraos

_{da subtracçilo 6 indicada}

12—4 = 8

Um segundo process© ainda

lia deterndniiçao do resultado da subtiacçd ,

?"al consiste era juiitar ao subtiaihendo, uraa a uma,

'^ntas unidades quantas forera necessarias paia n

'f 0 egualao minuendo. 0 numéro de ua'dfes cleste

•noclo reunidas ao subtrahendo responde a quest. .

Assira tereraos: 4+1 = ô ô+l = 6 0 + 1 7+1 =W

H + 1 = 9

9+1 = 10

10+1 = 11

n+1 ■—1-'

Janeiro. Eu poreni nâo conhecia trabalho algum d

^ ^ ï ' c o n d c s . ^ d ê a o t r a b a l h o d o 1 ^ e x p l i c a ç î l o . Q u e r a q u e e u n î l o