O TEOREMA DA CONVERGÊNCIA MONÓTONA PARA SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS COM APLICAÇÕES

(1)

ÁREA TEMÁTICA: (marque uma das opções) ( ) Ensino de Matemática

( x ) Matemática

( ) Probabilidade e Estatística

O TEOREMA DA CONVERGÊNCIA MONÓTONA PARA

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS COM APLICAÇÕES

Matheus Tabajara Sampaio Handler1 UEPG bentivimatheus@gmail.com Marcos Teixeira Alves2 UEPG mtmarcos@gmail.com Resumo: Neste trabalho, apresentamos resultados clássicos envolvendo sequências em R: os teoremas da Convergência Monótona e de Bolzano-Weiertrass. Inicialmente caracterizamos sequências numéricas e definimos a noção de convergência. Estabelecidas algumas propriedades envolvendo limite de sequên-cias, passamos às demonstrações dos teoremas supracitados. Finalizaremos este texto exibindo duas possibilidades de aplicação do Teorema da Convergência Monótona: uma aproximação via sequência para√2 e a caracterização do número e (base dos logaritmos naturais).

Palavras-chave: Sequências numéricas, Convergência Monótona, Teorema de Bolzano-Weiertrass.

Introdução

O surgimento de uma sequência na história da humanidade é muito antigo. Um dos primeiros regis-tros aparece no conhecido Papiro de Rhind. O Papiro de Rhind (ou Ahmes), aproximadamente 1650 a.C., é um texto matemático na forma de um manual prático que contém 85 problemas, sendo uma fonte rica sobre a Matemática egípcia antiga (EVES, 2004, p. 69). Seu 79oproblema, de forma adaptada, apresenta o seguinte enunciado: “Numa aldeia egípcia há sete casas. Em cada casa, há sete gatos. Para cada gato, há sete ratos. Para cada rato, há sete espigas de trigo. Em cada espiga, há sete grãos. Quantos grãos ao todo nas sete casas? Casas, gatos, ratos, espigas e grãos, quantos objetos são ao todo?"Podemos perceber que esses números caracterizam uma sequência finita que, com a notação de sequência que utilizamos atualmente, se escreve como an= 7n, em que n denota a ordem dos fatos ocorridos no problema.

Outro exemplo clássico de sequência na História da Matemática trata-se da sequência dos números fi-gurativos, que são números naturais provenientes da contagem de pontos em certos arranjos geométricos, atribuída aos pitagóricos. Por exemplo, números triangulares são números naturais provenientes da con-tagem de pontos em arranjos triangulares, que pode ser definida pela sequência recursiva: an= an−1+ n.

1_{Graduando do curso de Licenciatura em Matemática da UEPG e bolsista PROVIC.}

2_{Professor do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG.}

(2)

Já no século XIII, no livro Liver Avaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci) encontra-se o seguinte pro-blema: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?"Este problema deu origem a famosa sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ), em que an= an−2+ an−1para todo n ≥ 3.

Um importante exemplo de sequência foi estudada por Bernoulli em 1683 motivado por um problema envolvendo juros compostos. Trata-se da sequência: an=

1 +1

n n

. Bernoulli notou que, à medida que ncresce, os valores de anaumentam, porém aproximam-se de um limite. Leonard Euler foi o primeiro a

utilizar a letra e para indicar esse limite, em uma carta de 1731. Um dos objetivos do presente trabalho é estabelecer a convergência da sequência (an) como aplicação do Teorema da Convergência Monótona.

Para isso, organizamos este resumo da seguinte forma: inicialmente definimos sequência numéricas e as classificamos quanto a limitação e a monotonicidade. Em seguida, caracterizamos limite de sequências e os principais resultados relacionados. O ponto auge encontra-se nas demonstrações dos teoremas da convergência monótona e de Bolzano-Weiertrass. Finalizamos o texto apresentado duas aplicações do Teorema da Convergência Monótona: uma aproximação via sequência para√2 e a convergência da sequência (an) estudada por Bernoulli e descrita no parágrafo anterior.

1 Sequências Numéricas

Definição 1.1. Uma sequência de números reais: (x1, x2, x3, ...) é uma função x de N em R, em que

indicamos x(n) por xn. A imagem xn é chamadatermo geral da sequência. Escreveremos (xn) para

denotar a sequência x.

A sequência (3, 7, 11, 15, . . . ) possui termo geral: xn= 4n − 1. Já a sequência: (−1, 1, −1, 1, . . . ) possui

yn= (−1)ncomo termo geral.

Observação: Para muitas sequências é impossível determinar a expressão que caracteriza o termo geral. Por exemplo, a sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, ...).

Definição 1.2. Uma subsequência da sequência x é uma restrição de x a um subconjunto infinito e ordenado N0= {n1, n2, n3, . . . , ni, . . . } de N, em que n1< n2< n3< · · · < ni< · · · .

Notação: Representaremos subsequências por (xni)ni∈N0 ou simplesmente por (xni).

Exemplo: Considere a sequência: xn= (−1)n. Se N0= {2i; i ∈ N}, obtemos a subsequência

cons-tante: (1, 1, 1, . . . ). Agora, se N0 = {2i + 1; i ∈ N}, obtemos outra subsequência constante dada por (−1, −1, −1, ...).

Definição 1.3. Dizemos que a sequência (xn) é limitada quando existem números reais A e B tais que

A6 xn6 B para todo n ∈ N. Quer dizer, (xn) é limitada quando todos os seus termos pertencem a algum

intervalo fechado.

A sequência ((−1)n) é limitada, basta considerar A = −1 e B = 1. Também a sequência 1 n

é limitada, pois 06 xn6 1, ∀n ∈ N. Por outro lado, as sequências: (n), (n2) e (−3n + 1) não são limitadas.

(3)

Definição 1.4. Uma sequência (xn) chama-se

• crescente quando x1< x2< x3< · · · < xn< · · · , isto é, xn< xn+1, ∀n ∈ N.

• decrescente quando x1> x2> x3> · · · > xn> · · · , isto é, xn> xn+1, ∀n ∈ N.

• não decrescente quando xn6 xn+1, ∀n ∈ N.

• não crescente quando xn> xn+1, ∀n ∈ N.

Em qualquer caso, dizemos que a sequência émonótona. A sequência de termo geral dado por xn=

n

n+ 1 é crescente, pois xn+1− xn> 0 para todo n ∈ N. Já as sequências: ((−1)n) e (−1)

n

não são monótonas, pois seus termos são alternadamente negativos e positivos.

2 Sequências Convergentes

Informalmente, dizemos que uma sequência tem limite L ∈ R (ou converge para L) quando, a partir de determinado termo, todos os demais termos da sequência estão arbitrariamente próximos de L. Mais precisamente, temos a

Definição 2.1. Dizemos que a sequência (xn) tem limite L quando para todo número real ε > 0, existir

n0∈ N, que pode depender de ε, tal que |xn− L| < ε para todo n > n0. No caso em que a sequência

converge para L∈ R, diremos que é convergente. Caso contrário, a sequência é divergente. Notação: Denotamos a convergência de (xn) para L por lim

n→+∞xn= L ou simplesmente por lim xn= L.

Exemplo 2.1 Considere a sequência (xn) definida por xn=

10n

3 + 2n. Mostraremos que lim xn= 5. Seja ε > 0. Devemos encontrar n0∈ N tal que |xn− 5| < ε para todo n > n0. Observamos que

|xn− 5| < ε ⇐⇒ 10n 3 + 2n− 5 < ε ⇐⇒3 + 2n 15 > 1 ε ⇐⇒ n > 15 2ε − 3 2. Logo, se n > 15 2ε − 3

2, então |xn− 5| < ε. Assim basta tomar n0como o menor número natural maior do que15

2ε − 3

2, o que sempre será possível. Isso garante que lim 10n 3 + 2n= 5.

A noção de convergência na Definição 2.1 apresentada acima estabelece a unicidade do limite: Teorema 2.2. Se lim xn= A e lim xn= B, então A = B.

Demonstração: Ver [5].

(4)

Teorema 2.3. Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração: Suponhamos que (xn) converge para L ∈ R. Então, dado ε > 0, existe algum número

natural n0tal que xn∈ (L − ε, L + ε) para todo n ≥ n0. Em particular, para ε = 1, existe n0∈ N tal que

xn∈ (L − 1, L + 1) para todo n ≥ n0. Seja X o conjunto {x1, x2, . . . , xn0−1, L − 1, L + 1}. Este conjunto é

finito, pois tem no máximo n0+ 1 elementos e, portanto, possui um elemento mínimo A e um elemento

máximo B. Como todos os termos xn, com n ≥ n0, estão no intervalo (L − 1, L + 1), garantimos que

A≤ xn≤ B para todo n ∈ N, o que mostra que (xn) é limitada.

Observação: A recíproca do Teorema 2.3 é falsa. A sequência ((−1)n_{) é limitada, mas não converge.}

O próximo teorema estabelece as operações envolvendo sequências convergentes:

Teorema 2.4. Se (xn) e (yn) são sequências que convergem para L, M ∈ R, respectivamente, então

(i) (xn+ yn) converge para L + M;

(ii) (cxn) converge para cL para todo c ∈ R;

(iii) (xnyn) converge para LM;

(iv) xn yn converge para L M, desde que M6= 0. Demonstração: Ver [5].

3 Teoremas da Convergência Monótona e de Bolzano-Weiertrass

Teorema 3.1. (da Convergência Monótona) Toda sequência monótona e limitada converge.

Demonstração: Seja (xn) uma sequência monótona limitada. Faremos a prova para o caso em que (xn)

é não decrescente, isto é, xn≤ xn+1 para todo n ∈ N. Consideremos o conjunto X = {x1, x2, · · · }.

Ob-servamos que X ⊂ R é um subconjunto não vazio e limitado superiormente. Pelo Princípio do Supremo, existe α = sup X . Mostraremos que lim

n→+∞xn= α. De fato, dado ε > 0, existe n0∈ N tal que α − ε < xn0,

pois α é a menor cota superior para X . Se n > n0, temos xn0 ≤ xn, já que (xn) é não decrescente. Com

isso,

α − ε < xn0 ≤ xn≤ α < α + ε para todo n > n0.

Logo, |xn− α| < ε quando n > n0, o que mostra a convergência de (xn) para α.

O lema a seguir será de grande valia para a demonstração do Teorema de Weierstrass: Lema 3.2. Qualquer sequência (xn) contém uma subsequência monótona.

Demonstração: Utilizaremos a seguinte definição: dizemos que um número natural n é ponto de pico da sequência (xn) se xm< xnpara todo m > n. Estudaremos dois casos possíveis:

(5)

Caso 1: A sequência (xn) possui uma infinidade de pontos de pico. Nesse caso, sejam n1< n2< · · · <

ni< · · · seus pontos de pico. Então temos xn1 > xn2 > · · · > xni > · · · . Construimos assim uma

sub-sequência (xni) monótona decrescente.

Caso 2: A sequência (xn) possui uma quantidade finita de pontos de pico. Escolhemos n1∈ N tal que

n₁> m para todo ponto de pico m. Como n1não é ponto de pico, existe n2> n1tal que xn2≥ xn1. Também

n2não é ponto de pico, logo existe n3> n2 tal que xn3 ≥ xn2. Prosseguindo desse modo, obtemos uma

subsequência monótona não decrescente.

Teorema 3.3. (de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma sub-sequência convergente.

Demonstração: Seja (xn) uma sequência limitada. Decorre do lema que (xn) possui uma subsequência

(xni) monótona. Observamos que (xni) é limitada, visto que (xni) o é. Logo, garantimos via Teorema da

Convergência Monótona que (xni) é convergente.

Observação: Sem a hipótese de ser limitada, uma sequência pode não possuir uma subsequência conver-gente. Adicionalmente, uma sequência não limitada também pode possuir subsequências convergentes.

4 Aplicações

Aplicação 1. A sequência (xn) definida recursivamente por x1= 2 e xn+1=

1 2 xn+ 2 xn para todo n ∈ N converge para√2.

Os primeiros quatro termos desta sequência já fornecem uma “boa aproximação"para√2: x1= 2,

x2= 1, 5, x3≈ 1, 41667 e x4≈ 1, 41421. Iremos mostrar que lim xn=

√ 2. De fato, inicialmente observamos que xn− xn+1 =

x2_n− 2 2xn . Como xn2− 2 = 1 4 xn−1− 2 xn−1 2 ≥ 0 para todo n ≥ 2, concluímos que xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N, o que mostra que (xn) é monótona. A

limitação de (xn) decorre de xn≥ 0 para todo n ∈ N e por ser não crescente. Segue do Teorema da

Convergência Monótona que (xn) converge. Considere L = lim xn. Usando que lim xn= lim xn+1= L,

obtemos a equação: L=1 2 L+2 L =⇒ L = −√2 ou L = √ 2. Como xn≥ 0 para todo n ∈ N, não é possível L = −

√

2. Portanto, lim xn=

√ 2. Aplicação 2. Considere a sequência an=

1 +1

n n

. Vamos provar que (an) é limitada e crescente.

Logo, converge pelo Teorema da Convergência Monótona. O número e é, por definição, o limite dessa sequência, isto é, lim

1 +1

n n

= e ≈ 2, 7182818284.

(6)

Binômio de Newton e a desigualdade: 2n−1≤ n! válida para todo n ∈ N, garantimos que 1 +1 n n = 1 + 1 +n(n − 1) n2 · 1 2!+ n(n − 1)(n − 2) n3 · 1 3!+ · · · + n! nn· 1 n! ≤ 1 + 1 + 1 2!+ 1 3!+ · · · + 1 n! ≤ 1 + 1 + 1 2+ · · · + 1 2n−1 < 3,

o que mostra que (an) é limitada. Também utilizando o desenvolvimento do Binômio de Newton é

possível concluir que an< an+1para todo n ∈ N, isto é, (an) é crescente.

Conclusões

Este trabalho trata dos primeiros resultados do projeto de iniciação científica intitulado: Séries In-condicionalmente Convergentesiniciado em agosto deste ano. Na fase atual em que se encontra, já foi possível estabelecer os principais resultados envolvendo sequências numéricas.

Para este estudo, houve a preocupação de que pré-requisitos fossem discutidos antecipadamente de forma detalhada, evitando grandes dificuldades no desenvolvimento dos resultados, como por exemplo: os conhecimentos relativos às sequências, às noções de supremo e ínfimo e o Princípio do Supremo em R.

O próximo passo deste trabalho inclui o estudo das séries numéricas do ponto de vista da convergên-cia absoluta e incondicional.

Agradecimentos

O autor agradece ao professor Marcos Teixeira Alves do DEMAT pela orientação e a UEPG pela oportunidade de participar do projeto de Iniciação Científica na modalidade PROVIC.

Referências

[1] ÁVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2006. [2] EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. [3] GIMENEZ, C. S. C.; STARKE, R. Cálculo I. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. [4] GONÇALVES, M. B.; GONÇALVES, D. Elementos de Análise. Florianópolis:

UFSC/EAD/CED/CFM, 2012.