6 GBPM: Modelagem matemática e computacional

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Neste cap´ıtulo serão abordados assuntos relativos à integra¸cão das equa¸cões do modelo. Também, introduziremos temas que servem de base para a sua implementa¸cão. Além disso, serão mencionadas as dificuldades de aplicar o modelo no caso 3D.

A ordem dos temas das se¸cões desse cap´ıtulo a primeira vista é um pouco arbitrária, por isso, será feita uma breve introdu¸cão para que o leitor possa ter uma visão geral do cap´ıtulo.

A se¸cão 6.1 expõe a constru¸cão da geometria inicial do modelo. Como já foi comentado, para integrar as equa¸cões de Newton, é necessário informar as posi¸cões e velocidades iniciais das part´ıculas. E para que a formula¸cão do GBPM funcione é necessário construir a malha de contatos.

Depois, temos o problema de trabalhar com o caso 3D. A parte mais dif´ıcil dessa tarefa, é a maneira de se representar as posi¸cões angulares e suas derivadas. Na se¸cão 6.2 é apresentada uma maneira de se fazer isso utilizando os quatérnios, e é apresentado um conjunto de equa¸cões livres de singularidades. Nas se¸cões 6.4 e 6.5 será introduzido o tema de interpola¸cão. Em certas aplica¸cões é importante representar a deforma¸cão, do material granular, de forma cont´ınua.

Mais tarde, no cap´ıtulo 8, todos esses elementos ser˜ao utilizados na aplica¸c˜ao do modelo.

6.1

Constru¸c˜ao da geometria inicial

Para simular um material cimentado, com o modelo GBPM é necessário informar as posi¸cões e as velocidades iniciais das part´ıculas e também definir quais são os contatos cimentados.

Alguns autores já trabalharam no sentido de resolver esse problema , Potyondy et al. (56), utiliza um esquema que detecta part´ıculas com poucos contatos, e aumenta seus raios para que elas fiquem presas. Benabbou (7) utiliza um esquema mais avan¸cado aplicando o diagrama de Voronoi para detectar os espa¸cos vazios. Não existe uma única solu¸cão para esse problema,

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ent˜ao iremos adotar uma metodologia, que esteja de acordo com a f´ısica do problema.

Nos resultados a serem apresentados no cap´ıtulo 10 é efetuada uma analogia à gênese das rochas sedimentares. Essas rochas são compostas por sedimentos, carregados pelo vento e água, que se acumulam em áreas deprimidas. E possuem bastante importância, pois correspondem a 80% da ´

area dos continentes, e também, nelas são encontradas a maior parte do material fóssil.

A gênese do modelo de contato consiste em quatro etapas, que estão ilustradas nas figuras 6.1 e 6.2. Essas etapas são:

1. Defini¸cão das posi¸cões das part´ıculas. Essa distribui¸cão é feita de forma aleatória, onde não é permitida a intra-penetra¸cão entre as part´ıculas. Uma maneira relativamente fácil de fazer isso é, sortear aleatoriamente uma posi¸cão e um raio e , em seguida, verificar se essa part´ıcula não está em conflito com as demais part´ıculas. Caso esteja, descarte essa part´ıcula e sorteie uma nova.

2. Deposi¸cão usando a gravidade. Depois de determinadas as posi¸cões iniciais, a for¸ca gravitacional atua sobre as part´ıculas, até o modelo se acomodar e chegar a um ponto de equil´ıbrio estático. Deve-se tomar um pouco de cuidado, pois esse processo pode gerar uma anisotropia na distribui¸cão dos grãos, na base teremos maior compressão mutua. Para minimizar esse efeito, reduzimos gradualmente a for¸ca da gravidade, até o modelo entrar num estado mais homogêneo.

3. Deteçcão dos pontos de contato. Essa etapa come¸ca logo depois que as part´ıculas atinjam o equil´ıbrio. Inicialmente, são determinadas as part´ıculas que estão em contato mecânico. Em seguida, os pontos de contato são determinados. E para evitar erros numéricos, é definido um limiar de distância, digamos , e utilizado o seguinte critério para definir as part´ıculas que estão em contato:|ξij| < .

4. Inicializa¸cão da rede de contatos. Depois de detectados os pares que estão em contato, e seus respectivos pontos de contato, basta ligar as part´ıculas. Para fazer isso, simplesmente adicionamos o contato à lista de contatos do modelo.

Uma vez que o modelo é definido, é poss´ıvel utilizá-lo em diversas situa¸cões. Por exemplo, podemos definir um modelo que preenche um cubo de lado l, e mais tarde, remover partes desse modelo para gerar geometrias diversas. Com isso, reaproveitamos o material.

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Figura 6.1: Direita: defini¸cão da posi¸cão inicial das part´ıculas utilizando uma distribui¸cão aleatória. Centro: etapa intermediária de deposi¸cão das part´ıculas. Direta: estado de equil´ıbrio.

Figura 6.2: Esquerda: região detalhada. Meio: deteçcão dos pontos de contato. Direita: inicializa¸cão da rede de contatos.

Esse processo pode ser utilizado para “esculpir” ou “preencher” uma determinada geometria, e dessa maneira, economizar esfor¸co computacional. 6.2

Quat´ernios e modelagem 3D

Existem dificuldades técnicas para a correta implementa¸cão do modelo em 3D. Primeiramente, é necessária uma formula¸cão 3D do modelo. No caso do modelo GBPM, temos a vantagem de utilizar a mesma formula¸cão para o modelo 2D e 3D. Outros modelos, como o BPM, possuem diferentes formula¸cões para cada um desses casos, dessa forma, dificultando a sua implementa¸cão.

A maior dificuldade da modelagem em 3D reside no fato de que, é necessário utilizar as informa¸cões sobre as orienta¸cões e velocidades angulares dos grãos.

Em 2D, esse processo é simplificado, pois a posi¸cão de uma part´ıcula é

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definida por três escalares: dois representando a posi¸cão do centro de massa, e um terceiro para representar o ângulo ϕ, que descreve a orienta¸cão angular.

Em 3D, são necessárias três coordenadas para o centro de massa, e mais três escalares para armazenar a orienta¸cão angular, por exemplo, empregando os ângulos de Euler Φ, Θ, Ψ.

Para descrever o movimento da part´ıcula, ´e preciso definir os seguintes sistemas de coordenadas: o sistema fixo no espa¸co SG, tamb´em conhecido como

sistema de coordenada global, e um sistema de coordenada local, SL, que

move-se juntamente do centro de gravidade da part´ıcula, e cujos eixos estão fixos aos eixos principais do grão. No caso, podemos escolher dire¸cões arbitrárias, pois assumimos que os grãos são esféricos.

Utilizar os ângulos de Euler para descrever a orienta¸cão angular, é uma alternativa. De fato, a velocidade angular, ω, está relacionada aos ângulos de Euler e suas derivadas através da seguinte rela¸cão:

   ω1 ω2 ω3   =   

sin Φ sin Ψ cos Ψ 0 sin Φ sin Ψ − sin Ψ 0

cos Φ 0 1       d dtΦ d dtΘ d dtΨ   .

Essa representa¸cão apresenta um sério problema. Quando sin Φ = 0 a matriz se torna singular. E como se faz necessário inverter essa matriz para integrar as equa¸cões do movimento, conclu´ımos que essa representa¸cão não é uma boa op¸cão.

Para evitar esse tipo de problema, vamos abandonar a representa¸cão com ângulos de Euler, e usaremos quatérnios para representar as orienta¸cões angulares.

Mais adiante, vamos mostrar que, ao utilizar um quat´ernio q = q1i +

q2j + q3k + q4 de norma unit´aria, para armazenar a orienta¸c˜ao. A velocidade

angular ω, está associada às derivadas do quatérnio q, pela seguinte rela¸cão:       ω1 ω2 ω3 0       = 2W       d dtq1 d dtq2 d dtq3 d dtq4       , (6-1) onde W =       q4 q3 −q2 −q1 −q3 q4 q1 −q2 q2 −q1 q4 −q3 q1 q2 q3 q4       ,

observe que kqk = 1 ent˜ao W ´e uma matriz ortogonal, o que permite a inverter

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simplesmente a transpondo, e com isso, permitindo integrar as equa¸c˜oes de movimento livres de singularidades.

Esses resultados vêm do seguinte fato, uma rota¸cão R(t) pode ser representada pelo quatérnio q(t),

R(t) = q(t)R(0)q∗(t),

onde R(t) é a orienta¸cão angular de um objeto no tempo t, R(0) é a orienta¸cão inicial do objeto, q(t) é o quatérnio que representa a rota¸cão e q∗(t) é o quatérnio conjugado.

Derivando a equa¸c˜ao acima obtemos: d dtR(t) = d dt(q(t)) R(0)q ∗_{(t) + q(t)R(0)}d dtq ∗_(t). _(6-2) Agora, aplicando q∗(t) e q(t) R(0) = q∗(t)R(t)q(t), (6-3)

e derivando a norma, temos:

1 = (0, 0, 0, 1)T = q(t)q∗(t) =⇒ 0 =(0, 0, 0, 0)T = d dt(q(t)) q ∗ (t)+q(t)d dt(q ∗ (t)) , o que nos leva a concluir:

d dtR(t) = d dt(q(t)) R(0)q ∗ (t) + q(t)R(0)d dtq ∗ (t) = d dt(q(t)) q ∗ (t)R(t)q(t)q∗(t) + q(t)q∗(t)R(t)q(t)d dtq ∗ (t) = d dt(q(t)) q ∗ (t)R(t)1 + 1R(t)q(t)d dtq ∗ (t) = d dt(q(t)) q ∗ (t)R(t) − R(t)d dt(q(t)) q ∗ (t).

Por outro lado, a componente escalar de _dtd (q(t)) q∗(t) ´e zero. De fato

d dt (q(t)) q ∗ (t) = −q(t)d dt(q ∗ (t)) =⇒ d dt (q1) q1+ d dt (q2) q2+ d dt (q3) q3+ d dt(q4) q4 | {z } parte escalar de _dtd(q(t))q∗_(t) = − d dt(q1) q1+ d dt(q2) q2 + d dt(q3) q3+ d dt(q4) q4 | {z } parte escalar de q(t)_dtd(q∗_(t)) =⇒ PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0610742/CA

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d dt (q1) q1+ d dt(q2) q2+ d dt(q3) q3+ d dt(q4) q4 | {z } parte escalar de_dtd(q(t))q∗_(t) = 0 e com isso d

dtR(t) = u(t) × R(t) − R(t) × u(t) = 2u(t) × R(t),

onde u(t) é a parte vetorial do quatérnio U (t) = _dtd (q(t)) q∗(t), cuja componente escalar é zero.

Por defini¸c˜ao de velocidade angular _dtdR(t) = ω × R(t), vale tamb´em

ω = 2U (t). Combinando, chegamos a seguinte equa¸c˜ao

ω = 2 d dt(q(t)) q ∗ (t) = −2 q(t)d dt (q ∗ (t)) .

Buscamos expressar ω em fun¸cão de _dtdq(t). Para isso é aplicada a fórmula de multiplica¸cão de quatérnios na sua forma matricial

d dt(q(t)) q ∗ (t) = (d dtq1, d dtq2, d dtq3, d dtq4)(−q1, −q2, −q3, q4) T =       (d dtq1, d dtq2, d dtq3, d dtq4)       q4 −q3 q2 q1 q3 q4 −q1 q2 −q2 q1 q4 q3 −q1 −q2 −q3 q4             T =       q4 −q3 q2 q1 q3 q4 −q1 q2 −q2 q1 q4 q3 −q1 −q2 −q3 q4       T       d dtq1 d dtq2 d dtq3 d dtq4       =       q4 q3 −q2 −q1 −q3 q4 q1 −q2 q2 −q1 q4 −q3 q1 q2 q3 q4             d dtq1 d dtq2 d dtq3 d dtq4       = W       d dtq1 d dtq2 d dtq3 d dtq4       ,

com isso, chegamos a express˜ao na equa¸c˜ao (6-1).

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Agora estamos interessados na segunda derivada para calcular os torques. Em um sistema de coordenada global, o torque M ´e igual `a taxa de mudan¸ca do momento angular L:

M = d

dtL.

A mudan¸ca de coordenada, do sistema global para o sistema de coordenada local da part´ıcula, respeita a seguinte equa¸c˜ao

d dtL global = d dtL local + ω × L.

Combinando as expressões, conseguimos obter uma expressão para o torque, em fun¸cão da velocidade angular ω, e do momento angular L, e em coordenadas locais: M1 = d dtL1+ ω2L3− ω3L2, M2 = d dtL2− ω1L3+ ω3L1, M3 = d dtL3+ ω1L2− ω2L1.

No sistema de coordenada local, cada um dos componentes de L possui uma forma simples: Li = Iiiωi, onde Iii ´e o i-´esimo componente diagonal do

tensor de in´ercia.

Substituindo nas equa¸c˜oes acima, temos:

I11 d dtω1 = M1+ (I22− I33)ω2ω3, I22 d dtω2 = M2+ (I33− I11)ω1ω3, I33 d dtω3 = M3+ (I22− I11)ω1ω2.

Essas são as equa¸cões de Euler que descrevem a rota¸cão de um corpo r´ıgido. As equa¸cões, relacionadas às acelera¸cões em quatérnios, são obtidas derivando a expressão ω = 2 _dtd (q(t)) q∗(t) . PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0610742/CA

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d dtω = 2 d dt d dt(q(t)) q ∗ (t) = 2 d 2 dt2 (q(t)) q ∗ (t) + d dtq(t) d dt(q ∗ (t)) = 2 d 2 dt2 (q(t)) q ∗ (t) + d dtq(t) 2! .

Multiplicando por q(t) e arranjando os termos, obtemos: d2 dt2q(t) = 1 2 d dtω − d dtq(t) 2! q(t). E colocando em forma vetorial, temos:

      d2 dt2q1 d2 dt2q2 d2 dt2q3 d2 dt2q4       = 1 2W T       d dtω1 d dtω2 d dtω3 −2 _dtdq(t) 2       . ´

E poss´ıvel eliminar os termos _dtdωi, do lado direito da equa¸c˜ao acima,

usando as expressões com quatérnios. Com o auxilio da equa¸cão (6-1), podemos escrever as componentes de ω como combina¸cões lineares de _dtdqi .

Como resultado, são obtidas as equa¸cões para o movimento de rota¸cão, inteiramente em termos da representa¸cão por quatérnios, e de suas derivadas. 6.3

Determinando o tensor de estresse

Da teoria do tensor de estresse obtemos a seguinte equa¸c˜ao

σ−→n =−→F /a, (6-4)

onde n é a normal unitária de uma se¸cão transversal do objeto com área a, F é a for¸ca atuando nessa se¸cão transversal, o tensor de estresse σ é uma matriz simétrica 3 × 3: σ =    σ11 σ12 σ13 σ12 σ22 σ23 σ13 σ23 σ33   .

No caso da esfera, vamos calcular o tensor estresse no seu centro. Nesse caso, a se¸cão transversal é um circulo com o mesmo raio da esfera r, e sua área é dada pela seguinte expressão

(9)

a = Cte = πr2.

Vamos definimos um σ que satisfa¸ca a equa¸c˜ao (6-4).Defina σ ≡ (−→F /a)−→nT

Essa escolha satisfaz (6-4), de fato

σ−→n = ((−→F /a)−→nT)−→n = (−→F /a) k−→n k2 =−→F /a.

Obtemos ent˜ao uma aproxima¸c˜ao do tensor de estresse para o centro da esfera: Tomamos a soma de todas as for¸cas aplicadas na superf´ıcie da esfera e somamos. σ =X(−→F /a)nT =X − → F −→nT πr2 .

Utilizamos a express˜ao acima para determinar os componentes do tensor de estresse.

6.4

Thin plate splines

Uma limita¸cão do GBPM, no contexto de deforma¸cões, é que ele trabalha com um modelo completamente discreto. Em uma situa¸cão onde é desejável uma deforma¸cão suave, como no caso de se mapear texturas, é necessário aplicar alguma forma de interpola¸cão.

Para lidar com essa limita¸cão, é proposta a aplica¸cão das “Thin plate splines” ou TPSs. Elas serão utilizadas para interpolar os movimentos das part´ıculas.

As TPSs são uma generaliza¸cão das splines cúbicas no caso unidimensi-onal, e sua teoria está descrita nos trabalhos de Bookstein e Wahba (9, 76). Elas foram introduzidas por Duchon (25), esse foi o primeiro de uma série de trabalhos, que exploram as TPSs para representar deforma¸cões de imagens, no contexto de medicina. Consulte a coletânea feita por Zitova e Flusser (86).

A aplica¸cão dessas fun¸cões, em computa¸cão gráfica, foi difundida no trabalho de Brown e Rusinkiewicz (13). Nesse trabalho, foram utilizadas para realizar o registro não r´ıgido de scans 3D. Esse método é capaz de encontrar correspondências de pontos, entre diferentes scans 3D. E em seguida, calcular uma deforma¸cão espacial, que é representada na forma de uma TPS.

Em particular, as TPSs podem ser utilizadas no contexto de interpola¸cão, e deforma¸cão. Como é o caso do trabalho de Botsch et al. (10). Nesse trabalho,

(10)

para se definir uma deforma¸cão espacial é minimizada a energia elástica sobre células volumétricas. E nesse caso, a TPS é calculada com base no centroide da célula original e da célula deformada.

Na próxima se¸cão, será proposto um esquema similar de interpola¸cão, que será utilizado para interpolar a deforma¸cão discreta do GBPM. Isso será feito a partir dos centros das part´ıculas, antes e depois da simula¸cão f´ısica. 6.5

Deforma¸c˜ao cont´ınua

Dadas as posi¸c˜oes iniciais das part´ıculas S0, e sejam suas posi¸c˜oes em

um determinado tempo t, denotadas por St. Estamos procurando uma fun¸c˜ao

f : R2 _{7→ R}2_{, que mapeie suavemente a deforma¸c˜}_{ao do espa¸co, levando S} 0 em

St.

Será considerado apenas o caso 2D, pois nessa tese vamos aplicar a interpola¸cão apenas no contexto de deforma¸cão de imagens, mas a teoria das TPSs serve também para definir um método 3D.

Se for poss´ıvel encontrar uma f, que satisfa¸ca os requerimentos acima, então é poss´ıvel interpolar a distor¸cão, sofrida pelo conjunto S0, em pontos

arbitr´arios do plano. Em particular levando o os pontos do conjunto S0 no

conjunto St, como ilustrado na figura 6.3.

Figura 6.3: Deforma¸cão discreta e interpola¸cão para a deforma¸cão cont´ınua.

As TPSs representam uma classe de deforma¸c˜oes globais. Dados dois conjuntos com n pontos: X = {X1 = (x1, y1), ...,(Xn= xn, yn)} e X

0 _{= {X}0 1 =

(x0₁, y0₁), ...,X_n0 = (x0_n, y0_n)}, foi demonstrado por Duchon (25), que existe uma

(11)

´

unica fun¸c˜ao f , tal que f (Xi) = Xi0, com a propriedade de minimizar a energia

de tor¸c˜ao, definida por:

J = Z X i,j ∂2 ∂xi∂xj f 2! dx1...dxn,

isso ´e, a fun¸c˜ao f minimiza a soma dos quadrados das derivadas parciais de segunda ordem.

Para construir a TPS, seguimos os passos descritos no trabalho de Bookstein (9). A formula¸c˜ao das TPS gera diretamente o seguinte sistema de equa¸c˜oes w d ! (n+3×1) = K(n×n) P(3×n) PT (n×3) 0(3×3) ! (n+3)×(n+3) V(n×1) 0(3×1) ! (n+3×1) (6-5)

onde a matriz sim´etrica K possui os elementos definidos por:

K =       |x1− x1| = 0 |x1− x2| · · · |x1− xn| |x2− x1| |x2− x2| = 0 · · · |x2− xn| · · · · |xn− x1| |xn− x2| · · · |xn− xn| = 0       .

P é uma matriz, cujas entradas são as coordenadas homogêneas dos pontos do conjunto de entrada P =       1 x1 y1 1 x2 y2 · · · · 1 xn yn      

V é um vetor com os valores a serem interpolados. No nosso caso, estamos inte-ressados em duas propriedades, as coordenadas dos pontos após a deforma¸cão (x0₁, ..., x0_n) e (y₁0, ..., y_n0). Devido a isso, resolvemos o sistema (6-5) duas vezes.

Na primeira vez, com as coordenadas x dos pontos deformados, com V = (x0₁, ..., x0_n)T_{. E na segunda vez, com as coordenadas y dos pontos}

deformados, ou seja tomamos V = (y₁0, ..., y_n0)T_.

As inc´ognitas do sistema s˜ao os vetores: w = (w1, ..., wn)T e d =

(d1, dx, dy)T.

Após resolver o sistema (6-5), e com os valores de w e d em mãos, podemos interpolar, por todo o plano, os valores presentes no vetor V. Para isso é empregada a seguinte fun¸cão,

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f (x, y) = d1+ dxx + dyy + n X i=1 wi|(xi, yi) − (x, y)| . PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0610742/CA